第25章一元二次方程基础与拔尖闯关2026-2027学年数学九年级上册人教版

第25章一元二次方程基础与拔尖闯关-2026-2027学年数学九年级上册人教版（2024）

一、单选题

1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ）

A． B．

C． D．

2．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（    ）

A．2，  B．2，1 C．2，或，1 D．2，0

3．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ）

A． B．且

C．且 D．且

4．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（     ）

A． B． C． D．

5．某校组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了15场比赛，则这次参加比赛的球队个数为（     ）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ）

A．1 B．－1 C．0 D．2

7．在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（     ）

A． B．

C． D．

8．如表是小明输入某软件的对话，软件在思考几秒后，给出的正确答案是（     ）

某企业2023年芯片销售总额为36亿元，经过两年技术革新，该企业2025年芯片销售总额达到81亿元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为 ；

A． B． C． D．

9．某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出100件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出10件，若要使每周销售该款T恤获利2250元，设每件降低元，则可列方程为（     ）

A． B．

C． D．

10．对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（    ）

①若方程的两个根为和1，则．

②若，则方程一定有解．

③若，则．

④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

11．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________

12．用配方法将方程化成的形式，则的值为___________．

13．已知是方程的两个实数根，则代数式的值是___________．

14．在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm．

15．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ____________．

16．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中引用的三角形数表如图所示，此数表又被称为“杨辉三角”．若将“杨辉三角”中每一行从左往右数的第三个数字取出，比如，从第3行中取出数字1，从第4行中取出数字3，从第5行中取出数字6，…，以此类推，则数字15是从第_________行中取出的．

三、解答题

17．解方程：

(1)；

(2)．

 

 

 

 

 

 

 

 

18．已知关于的一元二次方程．

(1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根；

(2)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根．

 

 

 

 

 

 

19．如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长．

 

 

 

 

 

 

 

 

20．【课内链接】

我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解．

【拓展新知】

利用完全平方公式，可以将多项式（、、是常数，且）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：，我们把这样的变形方法叫做多项式（）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”．

【理解新知】

配方法的应用．例如：

(1)将配方成的形式为：_________________________；

(2)利用配方法分解因式：_________________________；

(3)多项式的最小值为_________________________；

(4)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_________________________．

 

 

 

 

 

 

 

 

21．换元法是数学中非常重要的运算技巧．比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以．即，解得，．认识了换元法，我们来解决下列问题：

(1)用换元法求解方程：．

(2)已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解．

 

 

 

 

 

 

 

 

22．在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系．

(1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________．

(2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ）

A．     B．     C．     D．

(3)若的三个根分别为，，，则的值是___________．

(4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值．