第二十五章 一元二次方程常考题2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版2024九年级上《一元二次方程》单元卷，覆盖概念、解法及实际应用，以真实情境与文化素材体现数学眼光、思维与语言，适配新授课巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|定义、解的意义、根的判别式、配方法、实际应用（如传染问题、增长率）|结合《九章算术》“引葭赴岸”问题，考查抽象能力与几何直观| |填空题|5|方程定义、配方、分支问题、几何应用|以运动员互赠纪念品为情境，培养模型意识| |解答题|8|解方程、根与系数关系、新定义、利润问题、几何综合|设计“哪吒2”票房与手办销售问题，体现时代性；通过三角形与方程综合题，发展推理能力|

人教版（2024）九年级上《第二十五章 一元二次方程》常考题 一．选择题（共10小题） 1．下列方程，属于一元二次方程的是（　　） A．x2-xy=1 B．x2-2x+3=0 C． D．2（x+1）=x 2．若x=1是关于x的方程2x2-ax+3=0的一个解，则a的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．关于一元二次方程2x2+5x-2=0根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．用配方法解方程x2-4x+1=0，下列配方正确的是（　　） A．（x-2）2=5 B．（x+2）2=5 C．（x-2）2=3 D．（x+2）2=3 5．若m、n是关于x的方程2x2-4x+1=0的两个根，则的值为（　　） A．4 B．-4 C． D． 6．如果关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≠0 C．k＜1且k≠0 D．k＞1 7．《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的正中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′处，则水深和芦苇长各多少尺？若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（　　） A．102+（x-1）2=x2 B．52+（x-1）2=x2 C．102+（x-1）2=（x+1）2 D．52+（x-1）2=（x+1）2 8．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有81个人患了流感，设平均每轮每人传染x个人，则下列等式成立的是（　　） A．1+x+x2=81 B．1+x+x（x+1）=81 C．1+x+（1+x）2=81 D．1+（1+x）2=81 9．某电影上映第一天票房收入约3亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到10亿元．若增长率为x,则下列方程正确的是（　　） A．3（1+x）=10 B．3（1+x）2=10 C．3+3（1+x）2=10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2=10 10．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m,宽为22m.停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m,根据题意所列方程为（　　） A．（40-2x）（22-x）=520 B．（40-x）（22-x）=520 C．（40-x）（22-2x）=520 D．（40-x）（22+x）=520 二．填空题（共5小题） 11．武汉军运会结束后，部分运动员赛后相互赠送了共132件纪念品，若设这部分运动员有x人，可列方程为______． 12．已知（m-1）x|m|+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=______． 13．若方程x2-4x+n=0可以配方成（x-2）2=2，则n的值为______． 14．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x小分支，那么根据题意可以列方程为 ______． 15．如图，有一块矩形铁皮，其长是宽的2倍，在铁皮的四角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是120cm2，则矩形铁皮的宽为______cm. 三．解答题（共8小题） 16．解方程： （1）x2-10x+16=0； （2）3x2+5x-2=0． 17．解方程： （1）x2-4x-1=0 （2）3x2-5x+1=0 18．已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+m=0． （1）求证：对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足x1+x2-2x1x2=3，求m的值． 19．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程，其中a,b,c为常数（且a,c≠0）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程-4x2+3x+1=0的倒方程是______； （2）若x=-1是一元二次方程x2-2x+c=0的倒方程的解，求出c的值； （3）若m是一元二次方程-6x2+x+1=0的倒方程的一个实数根，则m3+m2-6m+2025的值为______． 20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件． （1）若每件衬衫降价5元，则该商场每天可盈利多少元？ （2）若商场平均每天要盈利1200元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元？ （3）商场平均每天可能盈利1600元吗？请说明理由． 21． 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 22．请阅读下列材料： 已知方程x2+x-3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=， 把x=代入已知方程，得-3=0． 化简，得y2+2y-12=0，故所求方程为y2+2y-12=0， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：______； （2）已知方程2x2-7x+3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数； （3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为3，-2，求一元二次方程ay2-（2a-b）y+a-b+c=0的两根． 23．已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+3（m-2）=0的两个实数根． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）当m为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （3）当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 人教版（2024）九年级上《第二十五章 一元二次方程》常考题 (参考答案) 一．选择题（共10小题） 1、B 2、A 3、A 4、C 5、A 6、C 7、B 8、B 9、D 10、B  二．填空题（共5小题） 11、x（x-1）=132； 12、-1； 13、2； 14、1+x+x2=91； 15、14；  三．解答题（共8小题） 16、解：（1）原方程因式分解可得： （x-8）（x-2）=0， 则x-8=0或x-2=0， 解得x1=8，x2=2． （2）原方程因式分解可得： （3x-1）（x+2）=0， ∴3x-1=0或x+2=0， 解得，x2=-2． 17、解：（1）∵x2-4x=1 ∴（x-2）2=5 ∴ ∴ （2）a=3，b=-5，c=1， Δ=b2-4ac=（-5）2-4×3×1=13＞0， 方程有两个不等的实数根 ∴x==， ∴， 18、（1）证明：Δ=[-（m+2）]2-4×m=m2+4， ∵m2＞0， ∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系可知：， ∵x1+x2-2x1•x2=3， ∴m+2-2m=3， ∴m=-1． 19、解：（1）方程-4x2+3x+1=0的倒方程是：x2+3x-4=0； 故答案为：x2+3x-4=0； （2）由条件可倒方程为cx2-2x+1=0， 把x=-1代入方程， 得c+2+1=0， ∴c=-3； （3）由题意得：方程-6x2+x+1=0的倒方程为x2+x-6=0， ∵m是方程x2+x-6=0的一个实数根， ∴m2+m-6=0， ∴m3+m2-6m+2025=m（m2+m-6）+2025=2025． 故答案为：2025． 20、解：（1）（10+20）×（40-5）=1050（元）． 答：商场每件降价5元，商场每天可盈利1050元； （2）设每件衬衫应降价x元， 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得x1=10，x2=20， ∵“扩大销售量，减少库存”， ∴x1=10应舍去， ∴x=20． 答：每件衬衫应降价20元． （3）不可能．理由如下： （40-x）（20+2x）=1600， 整理，得x2-30x+400=0， ∵Δ=900-4×400=-700＜0， ∴所列方程无实数解， 答：商场平均每天不可能盈利1600元． 21、解：（1）设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x, 由题意得：6（1+x）2=8.64， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为20%； （2）设降价m元，则下调后每个手办的售价为（65-m）元，销售量为（30+3m）个， 由题意得：（65-m-30）（30+3m）=1500， 整理得：m2-25m+150=0， 解得：m1=15，m2=10（不符合题意，舍去）， ∴65-m=50， 答：下调后每个手办的售价为50元； （3）平均每天不能获利2100元，理由如下： 设每个手办应降价y元，则下调后每个手办的售价为（65-y）元，销售量为（30+3y）个， 由题意得：（65-y-30）（30+3y）=2100， 整理得：y2-25y+350=0， ∵Δ=（-25）2-4×1×350=-775＜0， ∴原方程无实数根， ∴平均每天不能获利2100元． 22、解：（1）设所求方程的根是y,则y=-x,所以x=-y, 把x=-y代入x2+x-2=0， 得y2-y-2=0， 故答案为：y2-y-2=0； （2）设所求方程的根是y,则y=， 所以x=， 把x=代入方程2x2-7x+3=0，得 2（）2-7•+3=0， 化简，得3y2-7y+2=0； （3）一元二次方程整理后可得：a（y-1）2+b（y-1）+c=0， ∵令y-1=x, ∴y=x+1， 则方程 a（y-1）2+b（y-1）+c=0 的两根比 ax2+bx+c=0（a≠0）两根大1， 所以方程 a（y-1）2+b（y-1）+c=0 的两根分别是4、-1． 23、解：（1）∵x2-（m+1）x+3（m-2）=0， ∴Δ=[-（m+1）]2-4×1×3（m-2） =m2+2m+1-12m+24 =m2-10m+25 =（m-5）2≥0； ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：AC+AB=m+1，AC•AB=3（m-2）， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形， ∴BC2=AB2+AC2， ∴AB2+AC2=（AB+AC）2-2AC•AB =（m+1）2-2×3（m-2） =m2-4m+13=25， 解得：m=6或m=-2（不合题意，舍去）； ∴m=6； （3）①当BC为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： 25-5（m+1）+3（m-2）=0， ∴m=7， ∴方程为：x2-8x+15=0， 解得：x1=3，x2=5， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：5+5+3=13； ②当BC为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴Δ=（m-5）2=0， ∴m=5， ∴方程为：x2-6x+9=0， 解得：x1=x2=3， ∴等腰三角形的周长为：3+3+5=11； 综上：周长为11或13． 学科网（北京）股份有限公司 $