第25章 一元二次方程（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 人教版初中数学第25章一元二次方程拔尖卷，120分钟120分，25题覆盖定义、解法、应用等核心知识，通过生活情境与数学文化融合，适配单元复习提升学生数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、根的判别式、配方法|接力游戏（4题）考查配方法步骤，体现推理意识| |填空题|6/18|根与系数关系、实际问题建模|矩形观景平台扩建（13题）考查方程应用，培养模型观念| |解答题|9/72|利润问题、换根法、赵爽弦图|大学生创业销售T恤（21题）融合经济情境，赵爽弦图（25题）体现文化传承，发展创新意识|

第25章 一元二次方程·拔尖卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 4．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若实数、满足，且，则的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 6．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 7．（24-25九年级下·江西·期末）满足方程的所有正整数解有：（    ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 8．（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 9．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26九年级上·甘肃陇南·月考）三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（  ） A． B．或 C．或 D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·山东威海·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为____． 12．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为______． 13．（25-26九年级上·浙江台州·期末）温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为______米． 14．（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为_______． 15．（25-26八年级上·上海·期中）已知方程和方程的根完全相同，则_____． 16．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知：的两个实数根为、；方程的两个实数根为、，且，则_____． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． (1)小海的求解过程从 步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 18．（6分）（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求证：为非负数； (2)若a，b，c均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由． 19．（6分）（25-26八年级上·吉林长春·期中）我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：． ，，的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)代数式的最小值是______； (2)求代数式的最小值； (3)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，当时，的周长为______． 20．（8分）（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等． (1)求证：； (2)求的值． 21．（8分）（25-26九年级上·山西晋中·期末）当前，政策扶持大学生自主创新创业，王明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，利用暑期销售原创设计的手绘图T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)王明希望每天获得的利润达到1050元，同时顾客优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ (2)王明的同学想要每天获得1200元的利润，并且保证每件T恤衫的利润率不低于，请你分析能否实现？若能实现，求出售价应定为多少；若不能，请说明理由（利润率） 22．（9分）（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 23．（9分）（25-26九年级上·河南南阳·期末）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为． 求该收纳盒的高是多少？ 判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 24．（10分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 25．（10分）（24-25八年级上·广东深圳·期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间的数量关系的相关问题．我国汉代数学家赵爽（公元世纪）就通过一幅“弦图”，证明出勾股定理，后人称之“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是由个全等的直角三角形拼成的一个大正方形，记为“正方形”，设直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，面积为． 小桐用这个直角三角形拼出图所示的正方形，发现：若、的值确定，则正方形的面积、正方形的面积、直角三角形的面积的值都唯一确定， 当，时，_________，_________； 小桐进一步思考，并提出问题：已知、、中的任意两个量可否求出、的值？于是给出以下条件，并进行探索： 条件 条件 条件 选择条件 ，则_________，_________； 选择条件 ，请你帮小桐计算出，的值； 【探索发现】选择条件 ，由得：，由得：，进而得出关于的方程：，小桐尝试从“形”的角度来确定的值，将看作是长为，宽为的长方形，且长方形面积为，根据“赵爽弦图”的构图思路，小桐用个这样的长方形构造“空心”大正方形（如图），则图中大正方形的面积为：，也可以表示为：，于是：，因此，所以或（舍去），故，．这正是赵爽在《勾股圆方图注》中记载的一类方程的几何解法． 【类比迁移】小桐继续根据以上解法求解方程，请将其解答过程补充完整．第一步：利用四个全等的长方形构造“空心”大正方形； 第二步：根据大正方形的面积可得新的方程__________________，解得原方程的一个正根为_________； 【拓展应用】一般地，对于关于x的方程可以构造图求解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么，此方程中的_________，求得方程的正根为_________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第25章 一元二次方程·拔尖卷 【新教材人教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此计算m的取值即可 【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的解一元二次方程，从表格中直接读取代数式的值为时对应的值，即为方程的根． 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或． 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】分类讨论：方程为一元一次方程或一元二次方程，结合一元一次方程根的性质和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ，即， ∵方程有实数根， ∴， 化简得， 解得， 即此时且； 当方程是一元一次方程时， ，即， 方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 综上，的取值范围是． 4．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：甲：应化为，甲错误； 乙：应化为，乙正确； 丙：应化为，丙错误； 丁：应化为，丁正确； 可知，接力中，自己负责的计算出现错误的是甲和丙． 故选：C． 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若实数、满足，且，则的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】整理等式确定是同一个一元二次方程的两个不相等的实根，再利用根与系数的关系求出和，最后通分计算目标代数式即可． 【详解】解：实数，满足， ，且， 整理第二个等式得， 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，， ． 6．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，这是一个三角点阵，从上向下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，……，第n行有n个点，前n行的点数之和不能是以下哪个结果（   ） A．28 B．44 C．55 D．66 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，求出前n行的点数之和是解题的关键． 先求出前n行的点数之和，再分别求出该代数式的值分别为28、44、55、66时n的值，再进行判断即可解答． 【详解】解：由题意可得：前n行的点数之和为， A．当前n行的点数之和为28，则，解得：或（不合题意舍去），故A不符合题意； B．当前n行的点数之和为44，则，解得：都不是整数，不可能，故B符合题意； C．当前n行的点数之和为55，则，解得：或（不合题意舍去），故C不符合题意； D．当前n行的点数之和为66，则，解得：或（不合题意舍去），故D不符合题意． 故选：B． 7．（24-25九年级下·江西·期末）满足方程的所有正整数解有：（    ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的应用，二元一次方程的正整数解，将原方程变形为关于x的一元二次方程，通过求根公式和判别式分析可能的正整数解，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：原方程变形为： 将其视为关于x的一元二次方程，判别式为： ， ∵方程有正整数解， 即判别式为非负完全平方数， 即，且y为正整数， 解得y的可能取值为,,,： 当时，则， 此时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当时，则， 此时， ∴ （舍去）， 即方程组的正整数解为 ； 当时，则， 此时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当时，则， 此时， ∴ ， 即方程组的正整数解为 或 ； 综上，共有三组正整数解， 故选：C 8．（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，整体代入法求代数式的值，掌握一元二次方程根的概念是关键；由题意得，则有，，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：D． 9．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查新定义下的运算，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据新定义下的运算，分类讨论计算即可． 【详解】解：①当时，， ∴6是集合中的元素，则， ②当，且时， ， 即， ， 解得或， ③当，且时， ， 即， 解得， 综上所述，n的值为6，1，，0． 故选D． 10．（25-26九年级上·甘肃陇南·月考）三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（  ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解． 由，可利用因式分解法求得的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】， 解得：，， 当时，则三角形是等腰三角形，如图：，，是高， ，， ， 当时，如图，，，， ， 是直角三角形，， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·山东威海·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为____． 【答案】 【分析】将代入原方程得到关于的方程，结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，筛选得到符合条件的的值． 【详解】解：把代入得， 因式分解得， 解得，， 原方程是关于的一元二次方程， ， 即， 因此． 12．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、配方法的应用、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先根据已知等式用含的代数式表示，然后通过配方及非负数性质求解即可． 【详解】解：， ． 则． 的最小值为 故答案为： 13．（25-26九年级上·浙江台州·期末）温岭市石塘镇“东海好望角”景区为提升游客体验，计划将一块靠海的矩形观景平台扩建．原平台长为30米，宽为20米．计划建造三侧环抱式玻璃栈道（如图所示），玻璃栈道的宽度相同，已知扩建后的矩形观景平台总面积达到1000平方米，则玻璃栈道的宽度为______米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设玻璃栈道的宽度是米，则扩建后矩形的长为米，宽为米，可列方程，解方程即可求出玻璃栈道的宽度． 【详解】解：设玻璃栈道的宽度是米， 则扩建后的矩形的长为米，宽为米， 根据题意得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：玻璃栈道的宽度是5米． 故答案为：5． 14．（25-26九年级上·四川成都·期中）设、是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系．根据方程的解得到，根据根与系数的关系得到，然后将表达式进行变形，利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：因为α是方程的实数根， 所以， 即． 因为α，β是方程的两个实数根， 所以根据根与系数的关系，． ∴ 故答案为：． 15．（25-26八年级上·上海·期中）已知方程和方程的根完全相同，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程；由于两个方程的根完全相同，先求第一个方程的根，再代入第二个方程求参数，最后求和． 【详解】解：解方程 ，得 ，． 将 代入方程 ， 得 ， 即 ， ， ， 所以 ． 则第二个方程为 ， 两边乘以2，得 ． 解此方程，， 所以 ，． 因此 ， 故 ． 故答案为：． 16．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知：的两个实数根为、；方程的两个实数根为、，且，则_____． 【答案】 【分析】由根与系数的关系可得：，，得：，从而推出，解得，，再根据，解得或，可知（舍去），，将和联立，解得，，从而求得，，根据，求得，即可求解． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， 得：， 又， ，解得，， ∵方程有两个实数根， ，即，解得或； （舍去），， ∴， ，联立， 解得，， 又， 解得，， 又， 解得， ∴． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． (1)小海的求解过程从 步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握解法是解题的关键． （）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴小海的求解过程从第步开始出现错误， 故答案为：； （2）解：， ， ，，， ， ， ∴，． 18．（6分）（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求证：为非负数； (2)若a，b，c均为奇数，该一元二次方程是否有整数解？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)该一元二次方程没有整数解，理由见解析 【分析】此题考查了根的判别式和方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． （1） 根据一元二次方程有实数根的性质，利用根的判别式即可证明结论． （2）假设方程有整数解，将其代入方程，结合奇数与偶数的运算性质，分情况讨论推导矛盾，进而判断方程是否有整数解． 【详解】（1）证明： ∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴为非负数； （2）解：该一元二次方程没有整数解，理由如下： 设关于x的一元二次方程的整数解为， 则 移项得 ∵为奇数， ∴为奇数， ∴为奇数． ①若为奇数，则为奇数， ∵为奇数，为奇数， ∴为奇数，为奇数， ∴奇数－奇数=偶数， 这与为奇数矛盾，不符合题意； ②若为偶数，则为偶数， ∵为奇数，为奇数， ∴为偶数，为偶数， ∴偶数－偶数=偶数， 这与为奇数矛盾，不符合题意． 综上，无论为奇数或偶数都矛盾，故该一元二次方程没有整数解． 19．（6分）（25-26八年级上·吉林长春·期中）我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决一些数学问题．比如求代数式的最小值时，可以这样做：． ，，的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)代数式的最小值是______； (2)求代数式的最小值； (3)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，当时，的周长为______． 【答案】(1)4； (2)11； (3)13． 【分析】本题考查完全平方公式，三角形周长问题，平方的非负性等． （1）将配方得，继而求出代数式的最小值； （2）将配方得，继而得到本题答案； （3）将整理成完全平方形式得，利用平方非负性得，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， ∴代数式的最小值是4， 故答案为：4； （2）解：∵， ∴， ，， ， ∴的最小值11； （3）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的周长：， 故答案为：13． 20．（8分）（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知：是关于的方程的一个根，．其中均为正整数，且这三个数互不相等． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式得到方程根的表达式，结合的表达式及的条件，确定的表达式，再通过两式相加证明． （2）通过将、的表达式相乘得到，结合、为正整数且互不相等的条件确定、的值，最后代入方程求出的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 是关于的方程的一个根， ∴， ∴， ． ． 由①+②，得， ． （2）解：由（1）得， ， ①②，得， ． 均为正整数，， ． 把代入，得． ． 21．（8分）（25-26九年级上·山西晋中·期末）当前，政策扶持大学生自主创新创业，王明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，利用暑期销售原创设计的手绘图T恤衫，已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)王明希望每天获得的利润达到1050元，同时顾客优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？ (2)王明的同学想要每天获得1200元的利润，并且保证每件T恤衫的利润率不低于，请你分析能否实现？若能实现，求出售价应定为多少；若不能，请说明理由（利润率） 【答案】(1)每件T恤衫的销售价应该定为75元 (2)能实现，每件T恤衫的销售价应该定为90元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）设每件T恤衫降价x元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）设每件T恤衫降价m元，根据“为了保证每件T恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设每件T恤衫降价x元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠最大， ∴， ∴每件T恤衫的销售价应该定为75元； （2）解：能实现，理由如下： 设每件T恤衫降价m元， ∵为了保证每件T恤衫的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴符合题意， （元） ∴每件T恤衫的销售价应该定为90元． 22．（9分）（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）根据方程根的定义得到，则，即可求出答案； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则， 所以， 把代入， 得； （2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025， ， ， 是方程的实数根． 故答案为：． （3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2， ， ， 方程 化为：方程， 整理得， 因式分解得， 解得． 23．（9分）（25-26九年级上·河南南阳·期末）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为． 求该收纳盒的高是多少？ 判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【答案】(1) (2) ；不能；理由见解析． 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，然后解方程并检验即可； 求出，，但，，从而即可判断玩具车不能完全放入该收纳盒． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； （2）解：根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； ∵，，但，， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 24．（10分）（24-25八年级下·湖南长沙·期末）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义运算． （1）直接根据“超强代码”的定义作答即可； （2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出，再根据“超强代码”的定义计算即可； （3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到，可知，再根据“的一个根是的一个根的2倍”列出所有情况，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：， 故答案为：； （2）解：∵是“友好方程”， ∴且为完全平方数， ∵， ∴， ∴=36或49或64， ∴或或， ∵为整数， ∴， 将代入原方程，则， ∴， ∴方程的“超强代码”为； （3）解：方程的“超强代码”为： ， 由得： 方程的“超强代码”为： ， 由得： ∵是的“最佳搭子方程”， ∴， 即， 整理得，， ∵，均为正整数且， ∴， ∴， 即， 又∵的一个根是的一个根的2倍， ∴①当时，得：，， ②当时，，，（舍）， ③当时，得：（舍）， 综上所述：，． 25．（10分）（24-25八年级上·广东深圳·期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间的数量关系的相关问题．我国汉代数学家赵爽（公元世纪）就通过一幅“弦图”，证明出勾股定理，后人称之“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是由个全等的直角三角形拼成的一个大正方形，记为“正方形”，设直角三角形较短的直角边为，较长的直角边为，面积为． 小桐用这个直角三角形拼出图所示的正方形，发现：若、的值确定，则正方形的面积、正方形的面积、直角三角形的面积的值都唯一确定， 当，时，_________，_________； 小桐进一步思考，并提出问题：已知、、中的任意两个量可否求出、的值？于是给出以下条件，并进行探索： 条件 条件 条件 选择条件 ，则_________，_________； 选择条件 ，请你帮小桐计算出，的值； 【探索发现】选择条件 ，由得：，由得：，进而得出关于的方程：，小桐尝试从“形”的角度来确定的值，将看作是长为，宽为的长方形，且长方形面积为，根据“赵爽弦图”的构图思路，小桐用个这样的长方形构造“空心”大正方形（如图），则图中大正方形的面积为：，也可以表示为：，于是：，因此，所以或（舍去），故，．这正是赵爽在《勾股圆方图注》中记载的一类方程的几何解法． 【类比迁移】小桐继续根据以上解法求解方程，请将其解答过程补充完整．第一步：利用四个全等的长方形构造“空心”大正方形； 第二步：根据大正方形的面积可得新的方程__________________，解得原方程的一个正根为_________； 【拓展应用】一般地，对于关于x的方程可以构造图求解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么，此方程中的_________，求得方程的正根为_________． 【答案】，； ，； ； 【类比迁移】，； 【拓展应用】，方程的正根为或． 【分析】当，时，可以求出，，根据正方形的面积公式分别求出大正方形和小正方形的面积； 根据正方形的面积公式可得、，再根据正方形的边长不能是负数可得方程组，解方程组求出、的值； 根据三角形的面积公式和正方形的面积公式可得，， ，利用完全平方公式之间的关系可得：，从而得到：、，解方程组求出、的值； 仿照i小桐的方法构造正方形，利用正方形的面积公式可得方程，解方程求出：，，因为表示的是正方形的边长，所以要把负数舍去； 【拓展应用】：仿照【类比迁移】构造正方形，利用正方形的面积公式求解． 【详解】解：当，时， ，， ，；     解：，， ，， 、表示的是三角形的边长， ，， ， 解得：， ，；     ， ， ， 、表示的是三角形的边长， 、表示的均为正数， ，     ， ，、均为正数， ， 方程组， 得：； 【类比迁移】：如下图所示，长方形的长为，长比宽多， 则长方形的面积为，小正方形的边长为， 大正方形的面积可以表示为， 大正方形的面积也可以表示为， 整理得：， ， 解得：，(舍去)， 故答案为:，； 【拓展应用】：如下图所示，已知每个矩形的面积为， ， ， 中间围成的正方形的面积为， ， 或(舍去)， ， 整理得：， ， 解得：，， 方程的正根为或． 【点睛】本题主要考查了数形结合的思想，解决本题的关键是根据方程中未知数之间的关系构造正方形，利用正方形的面积公式解一元二次方程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $