专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学讲义以“一线三等角模型”为核心，通过分类框架系统梳理知识体系，将模型分为锐角、直角（K型图）、钝角三种类型，结合图形示例呈现同侧型、异侧型及变异型的条件与结论，用逻辑推导图展示相似证明过程，清晰呈现模型与相似三角形判定、外角定理等知识的内在联系。 讲义亮点在于“模型识别-推理证明-综合应用”的递进式练习设计，如结合矩形折叠问题（典例1）、动点函数图象问题（典例2），培养学生几何直观与推理能力。易错点总结通过对比表格区分相似与全等条件，分层习题（A组基础计算、C组压轴综合）满足不同学生需求，解题口诀帮助学生快速掌握思路，为教师实施精准分层教学提供支持。

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 一线三等角，指同一条直线上有三个相等的角，利用外角性质推导两组角对应相等，证明三角形相似，特殊情况可证全等。模型分为锐角、直角、钝角三种类型，直角一线三等角也常叫 K 型图，是中考高频模型。 主要考查：线段长度计算、线段比例、等积式证明，动点问题、折叠问题里出现较多，常放在填空压轴、几何大题，也会结合函数、矩形、正方形综合考查。核心解题思路：先找到共线的三个等角，利用外角推导角相等，锁定相似三角形，列出比例式求解。 易错点：分不清对应顶点，比例式写反；动点背景下漏考虑多解情况。该模型识别门槛低，只要看到直线上三个等角，优先考虑一线三等角相似，是解决几何线段问题的重要工具。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.一线三等角模型（相似模型） 2 易错点与方法总结 9 模型运用 10 A组（基础题） 10 B组（能力提升题） 13 C组（综合压轴题） 18 一线三等角没有古代几何原名，是国内初中数学教研总结出来的几何模型。其理论基础是三角形外角定理与相似判定，最早大量出现在各地中考与竞赛试题中。模型核心：一条直线上存在三个相等的角，利用外角推导等角，证三角形相似，直角版本俗称 K 型图。 早期这类题型分散，没有统一名称。教研教师提炼图形特征，命名为一线三等角，方便学生快速识别。模型可拓展到锐角、钝角场景，全等是相似的特殊情况。如今广泛用于动点、折叠、函数几何综合题，是中考相似板块的重点模型。 1）相似三角形AA判定定理；相似三角形的对应边成比例； 2）三角形外角定理，内角和定理； 3）同角的余角相等（直角三垂直推导核心）； 4）全等三角形AAS判定（特殊情况）； 5）平面直角坐标系点坐标，勾股定理。 模型1.一线三等角模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等）， ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3，∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵E为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 【模型运用】 【典例1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，将矩形沿对折，点C落在Q处，点D落在边上的E处，与相交于点F，若，，，则周长的大小为（     ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图1，在中，，D是边上一动点（不与B，C重合），连接，分别过点D，C作的垂线交于点E，连接．设的长度是x，的值是y，y与x的关系图象如图2．当点D运动到中点时，的长度是（     ） A． B．3 C．4 D． 【典例3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【典例4】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【典例5】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：． (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长． (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，则的长为 ．（请直接写出答案） 模型常见易错点 1）对应顶点书写错误，比例式颠倒 错误：顶点乱序，线段比例写反。解决方案：相等角一一对应写顶点；写完成相似符号再列比例。 2）不会做角度推导，直接默写一线三等角得相似 错误：大题直接写“由一线三等角得△XXX∽△XXX”，缺少角度推导扣分。 解决方案：选填可以直接识别模型提速；解答大题，必须写：同角的余角相等（直角型）或者外角定理，证明两组内角相等，再AA证相似。 3）分不清什么时候是相似、什么时候是全等 错误：看见K字型一律当成全等。 解决方案：只有中间那个角的两条夹边相等才是全等；其余情况只是相似。 4）模型隐藏，不会自己作辅助线构造一线三等角 错误：坐标系出现直角，没有现成直线，识别不出模型。 解决方案：过直角顶点向坐标轴做水平、竖直垂线，主动造出“一条直线上三个直角”，构造K字三垂直。 5）点在直线延长线上（外侧型）直接套用内侧比例 解决方案：无论点在线段上还是延长线，先重新推导角度，重新写相似，不要直接照搬内侧图形的比例。 解题方法总结 直角三垂直（K字型）解答步骤 1）识图：确认同一直线上存在三个直角；或者主动做水平竖直辅助线构造三垂直；2）利用同角的余角相等，推导出一组锐角相等；3）AA证明三角形相似；夹边相等则证明ASA或AAS全等；4）写出对应边成比例；坐标系中转化横纵坐标差；5）列方程求解线段长度或者点坐标。 通用（锐角/钝角）一线三等角 1）找到共线三点，确认直线上三个角度大小相等；2）利用三角形内角和或者外角定理推导得到第二组等角；3）AA证明两个三角形相似；4）严格按照对应顶点列出比例式，代数计算。 终极口诀 一线之上三等角，内角外角找等角；直角优先余角等，AA相似马上成； 夹边相等变全等，坐标构造K字形；大题莫要直接写，角度推导不能省。 1．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，，，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板绕直角顶点旋转，、分别交边、于、，连接，当时，的长为（    ）    A．6 B． C． D． 4．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，在中，，，是上一点，，是上一动点，连接，作，射线交线段于. （1）求证：； （2）当是线段中点时，求线段的长； 5．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 6．（2026·福建莆田·模拟预测）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 8．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（    ） A． B． C．7 D．9 10．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 12．（2025·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 13．（25-26九年级上·山东济南·期中）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 14．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在中，点，，分别在，，边上，，． （1）求证：； （2）设，若，求线段的长． 15．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°． （1）求证：； （2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长． 16．（25-26九年级上·四川·阶段检测）如图，在中，，，点为边上一点，且，点为中点，． （1）求的长． （2）求证：． 17．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、． （1）当为的中点，且、时，如图1，_______： （2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______； （3）若改变点到图3的位置，且时，求的值． 18．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 19．（2025·山东枣庄·一模）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F． （1）求证：； （2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长． 20．（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 21．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当是等腰三角形时，请求出的值． 22．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 23．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在矩形中，点E是线段上的一点，，将沿翻折，得到，若，，则点F到的距离为_____． 24．（25-26九年级下·全国·期中）如图，在正方形中，E为边的中点，G，F分别为边上的点．若，则正方形的边长为_____ 25．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上中点处，点的对应点为，连接交边于点，若，则的长为____________． 26．（2025·浙江杭州·二模）如图，矩形中，点是上一点，将沿折叠，使点落在上的点处．点、、分别在线段、、上，若，，则__________，当且四边形为矩形时，__________． 27．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解答下列问题： (1)【探究解题】 如图1，等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由； (2)【拓展延伸】 如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并证明； (3)【归纳应用】 在（2）的条件下，若，，点D是直线上任意一点，当时，求的长． 28．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）综合与探究： 数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 【初步探究】如图2，正方形的边长为4，点是边的中点，点在边上，连接，若，求的长； 【深入探究】如图3，等边的边长为6，点是的三等分点，点在边上，连接，若，求的长； 【拓展延伸】如图4，在中，点为边上的一点，点为边上的一点．若，求的值． 29．（25-26八年级上·广东东莞·期中）妙妙酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助妙妙完成相关内容，“一线三垂直”模型的探索与拓展． 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90°，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又∵，∴． 【模型探索】问题1：如图2，在中，，，点D为BC上一点，连接AD．过点B作于点E，过点C作交AD的延长线于点F．若，．求：线段EF的长，写出详细解答过程． 【模型应用】问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，，若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，为等边三角形，点D，E，F在三边上，，．求证：是等边三角形．                       30．（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点．求证：≌ (2)如图3，，，点D在上，．求证：∽； (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 31．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 一线三等角，指同一条直线上有三个相等的角，利用外角性质推导两组角对应相等，证明三角形相似，特殊情况可证全等。模型分为锐角、直角、钝角三种类型，直角一线三等角也常叫 K 型图，是中考高频模型。 主要考查：线段长度计算、线段比例、等积式证明，动点问题、折叠问题里出现较多，常放在填空压轴、几何大题，也会结合函数、矩形、正方形综合考查。核心解题思路：先找到共线的三个等角，利用外角推导角相等，锁定相似三角形，列出比例式求解。 易错点：分不清对应顶点，比例式写反；动点背景下漏考虑多解情况。该模型识别门槛低，只要看到直线上三个等角，优先考虑一线三等角相似，是解决几何线段问题的重要工具。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.一线三等角模型（相似模型） 2 易错点与方法总结 9 模型运用 10 A组（基础题） 10 B组（能力提升题） 13 C组（综合压轴题） 18 一线三等角没有古代几何原名，是国内初中数学教研总结出来的几何模型。其理论基础是三角形外角定理与相似判定，最早大量出现在各地中考与竞赛试题中。模型核心：一条直线上存在三个相等的角，利用外角推导等角，证三角形相似，直角版本俗称 K 型图。 早期这类题型分散，没有统一名称。教研教师提炼图形特征，命名为一线三等角，方便学生快速识别。模型可拓展到锐角、钝角场景，全等是相似的特殊情况。如今广泛用于动点、折叠、函数几何综合题，是中考相似板块的重点模型。 1）相似三角形AA判定定理；相似三角形的对应边成比例； 2）三角形外角定理，内角和定理； 3）同角的余角相等（直角三垂直推导核心）； 4）全等三角形AAS判定（特殊情况）； 5）平面直角坐标系点坐标，勾股定理。 模型1.一线三等角模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等）， ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3，∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵E为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 【模型运用】 【典例1】（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，将矩形沿对折，点C落在Q处，点D落在边上的E处，与相交于点F，若，，，则周长的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，通过勾股定理即可求出a值，再根据同角的余角相等可得出，从而得出，根据相似三角形的周长比等于对应边的比即可求出结论． 【详解】解：设，则， 在中，， ，即， 解得． ， ． 又， ， ． ， ． 【典例2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图1，在中，，D是边上一动点（不与B，C重合），连接，分别过点D，C作的垂线交于点E，连接．设的长度是x，的值是y，y与x的关系图象如图2．当点D运动到中点时，的长度是（     ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据图2可求得；过E作于H，则可证明，同理，可证明，得．设．由可求得x的值，再由勾股定理即可求得的长度． 【详解】解：由题意，根据图2可得，当时，即时，， ∴． 又∵， ∴当点D运动到中点时，则． 如图，过E作于H， ∵， ∴． 又∵， ∴． 同理，． ∴． 设． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，经检验，是方程的根． ∴， ∴． 【典例3】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】求出的长，证明得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【典例4】（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 【典例5】（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）小明同学在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）进行探究，产生了一系列问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：． (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长． (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，则的长为 ．（请直接写出答案） 【答案】(1)证明： ∵，， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）通过证明即可得到； （2）由（1）的结论结合可得，再利用相似三角形的性质求出即可； （3）取中点，连接、，设，由等腰三角形与直角三角形的性质可得，，，．容易证明，则，计算得，，进而得到．在中，使用勾股定理构造方程求解出，最后计算出即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，取中点，连接、，设， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵点为的中点， ∴，， 在中，，点为的中点， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 模型常见易错点 1）对应顶点书写错误，比例式颠倒 错误：顶点乱序，线段比例写反。解决方案：相等角一一对应写顶点；写完成相似符号再列比例。 2）不会做角度推导，直接默写一线三等角得相似 错误：大题直接写“由一线三等角得△XXX∽△XXX”，缺少角度推导扣分。 解决方案：选填可以直接识别模型提速；解答大题，必须写：同角的余角相等（直角型）或者外角定理，证明两组内角相等，再AA证相似。 3）分不清什么时候是相似、什么时候是全等 错误：看见K字型一律当成全等。 解决方案：只有中间那个角的两条夹边相等才是全等；其余情况只是相似。 4）模型隐藏，不会自己作辅助线构造一线三等角 错误：坐标系出现直角，没有现成直线，识别不出模型。 解决方案：过直角顶点向坐标轴做水平、竖直垂线，主动造出“一条直线上三个直角”，构造K字三垂直。 5）点在直线延长线上（外侧型）直接套用内侧比例 解决方案：无论点在线段上还是延长线，先重新推导角度，重新写相似，不要直接照搬内侧图形的比例。 解题方法总结 直角三垂直（K字型）解答步骤 1）识图：确认同一直线上存在三个直角；或者主动做水平竖直辅助线构造三垂直；2）利用同角的余角相等，推导出一组锐角相等；3）AA证明三角形相似；夹边相等则证明ASA或AAS全等；4）写出对应边成比例；坐标系中转化横纵坐标差；5）列方程求解线段长度或者点坐标。 通用（锐角/钝角）一线三等角 1）找到共线三点，确认直线上三个角度大小相等；2）利用三角形内角和或者外角定理推导得到第二组等角；3）AA证明两个三角形相似；4）严格按照对应顶点列出比例式，代数计算。 终极口诀 一线之上三等角，内角外角找等角；直角优先余角等，AA相似马上成； 夹边相等变全等，坐标构造K字形；大题莫要直接写，角度推导不能省。 1．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质证明，根据相似比求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 2．（2026·广东广州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，，，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构建直角三角形，利用相似三角形的判定和性质求出，，结合点在坐标系中的位置，即可求解． 【详解】解：过点作轴，交于点，如图： 根据题意可得，， 在中，， ∵， ∴， 故， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， 则， ∵点在第二象限， 故点的坐标是． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含角的直角三角板绕直角顶点旋转，、分别交边、于、，连接，当时，的长为（    ）    A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，由相似三角形的性质得出，求出，，过点作于点，由勾股定理可求出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 过点作于点，   ，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 4．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，在中，，，是上一点，，是上一动点，连接，作，射线交线段于. （1）求证：； （2）当是线段中点时，求线段的长； 【答案】（1）见解析；（2）长为2或3 【分析】（1）由三角形外角性质可得∠CED=∠B+∠BDE，结合∠DEF=∠B可推出∠BDE=∠CEF，再加上∠B=∠C可证明△DBE∽△ECF； （2）由△DBE∽△ECF可得对应边成比例，设，则，建立方程求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵，， ∴. ∴. （2）∵（已证）. ∴； ∵为的中点，， ∴. 设，则；又， ∴，解得或3. 故长为2或3. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，此图形可作为“一线三等角”模型记住证明方法，第（2）题由相似得到对应边成比例，建立方程是解题的关键. 5．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°， ∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°， ∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC， ∴△ABP∽△PCD ； （2）3． 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论； （2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1， ∴， ∵△ABP∽△PCD ， 设，则， ∴ 经检验：是原方程的解， 所以三角形的边长为：3． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键． 6．（2026·福建莆田·模拟预测）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 【答案】1 【分析】过点作垂直于轴，过点作垂直于轴，根据点的坐标求出的长度，利用勾股定理求出的长度，再通过解直角三角形求出的长度，最后利用“字模型”求出的距离，根据的几何意义求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直于轴，垂足为点，过点作垂直于轴，垂足为点， ∴， ∵点， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， 又∵， ∴， 又∵反比例函数图像在第一象限， ∴． 7．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】先根据等腰三角形的性质得到，然后根据三角形的外角得到，即可得到，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 8．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 9．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，矩形的边，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象经过点，则值为（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及求反比例函数的比例系数，作轴，证推出得，即可进一步推出点的坐标，即可求解； 【详解】解：作轴，如图所示： 则， ∴； ∵， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设点， ∵，，，为矩形的四个顶点， ∴，解得， ∴， ∴； 故选：B 10．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，矩形中，将以为折痕对折，使点B的对应点G落在线段上，与折痕的交点为点I，其中，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折的性质等知识点，作，可推出四边形、四边形、四边形均是矩形；由翻折可知：，得到；推出，得，求出；证得，即可求解； 【详解】解：作，如图所示： 则四边形、四边形、四边形均是矩形， ∴，， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C 11．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ． (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 12．（2025·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）略 （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 13．（25-26九年级上·山东济南·期中）（1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形    是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 14．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在中，点，，分别在，，边上，，． （1）求证：； （2）设，若，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据线段的和差即可得． 【详解】（1）， ， 在和中，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 15．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，已知四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，P是BC边上的一点，∠APD＝90°． （1）求证：； （2）若BC＝10，CD＝3，PD＝3，求AB的长． 【答案】 （1）证明：， ， ， 在和中，， ； （2）8． 【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）略 （2）在中，， ， ， ， 由（1）已证：， ，即， 解得． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 16．（25-26九年级上·四川·阶段检测）如图，在中，，，点为边上一点，且，点为中点，． （1）求的长． （2）求证：． 【答案】（1）5； （2）由（1）可知，∵，∴， 在和中，，∴≌ ∴ 【分析】（1）先证明出∽，得出，假设BD为x，则DC=15-x，代入分式方程求出BD的长； （2）由（1）可知，推出≌，得出结果； 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴∽，∴， ∵为中点，∴， ∵，设，则， 即：，解得：，， ∵， ∴． （2） 略 【点睛】本题考查三角形全等的性质，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质并灵活运用． 17．（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知在中，，，，为边上的一点．过点作射线，分别交边、于点、． （1）当为的中点，且、时，如图1，_______： （2）若为的中点，将绕点旋转到图2位置时，_______； （3）若改变点到图3的位置，且时，求的值． 【答案】（1）2；（2）2；（3） 【分析】（1）由为的中点，结合三角形的中位线的性质得到 从而可得答案； （2）如图，过作于 过作于结合（1）求解再证明利用相似三角形的性质可得答案； （3）过点分别作于点，于点，证明,可得 再证明，利用相似三角形的性质求解 同法求解 从而可得答案． 【详解】解：（1）为的中点， 故答案为： （2）如图，过作于 过作于 由（1）同理可得 ： 故答案为： （3）过点分别作于点，于点， ∵，∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 同理可得：． ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，三角形中位线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 18．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 【答案】(1) 证明：∵，，， ， ； (2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，   ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 19．（2025·山东枣庄·一模）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F． （1）求证：； （2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）． 【分析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据翻折的性质可得，然后根据角的和差、直角三角形的性质可得，最后根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，先根据翻折的性质可得，再根据勾股定理可得，从而可得，然后根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1） 略 （2）设， 由翻折的性质得：， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ， ∴， 由（1）可知，， ∴，即， 解得， 即． 【点睛】本题考查了矩形的翻折问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 20．（25-26九年级下·吉林四平·阶段检测）【问题情景】 （1）如图①，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别落在、、上，则线段与的数量关系为_________； 【变式探究】 （2）如图②，小红把三角板（）放置到矩形中，使得顶点、、分别在、、边上，若，，求的长； 【拓展应用】 （3）如图③，小红把放到平行四边形中，使得顶点、、分别在、、边上，，，以为顶点作，交于点，交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先利用含角的直角三角形的性质得到，再通过证明得到，即可得出结论； （2）过点作于，通过证明得到，求出的长，通过证明四边形是矩形得到，即可求出的长； （3）利用平行四边形和等腰三角形的性质推出，，得到，利用比例的性质即可求出的值． 【详解】解：（1），理由如下： 四边形是矩形， ， ， ，， ，， ，， ， ， ； （2）如图，过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， （3），理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 又， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 【点睛】添加适当的辅助线构造“”型相似是解题的关键． 21．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当是等腰三角形时，请求出的值． 【答案】(1)4， (2)是， (3) 【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解决问题； （2）结论：的值为定值．证明方法类似（1）； （3）连接交于，在中，，代入数据求得，进而即可求解． 【详解】（1）解：作于交于． 四边形是矩形， ，，， ． 在中，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为4，． （2）结论：的值为定值． 理由：由，可得．，，， ， ； （3）连接交于． ，所以只能， ， ， ， ， 垂直平分线段， 在中，， ， ， ， ． 综上所述，的值为． 【点睛】本题属于四边形综合题、考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形的构成条件等重要知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大． 22．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】由等边三角形性质得出及三角形的边长，结合利用外角性质证明，从而证得，利用对应边成比例求解． 【详解】解： ∵为等边三角形， ∴， ，， ∴， ， ∵是的外角， ∴ ， 又∵，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 在和中， ， ∴ ， ∴ ； 即 ， ∴． 23．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在矩形中，点E是线段上的一点，，将沿翻折，得到，若，，则点F到的距离为_____． 【答案】 【分析】设交于点H，作于点G，先证明，可得，则可得到；设，则，由平行线性质及折叠角性质可得，，在直角三角形中，由勾股定理可得方程，解得，再根据，可得． 【详解】解：设交于点H，作于点G，如图， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得：或9（9不合题意，舍去）． ∴， 设，则， ∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得，， 解得：， ∴，， ∵， ∴． 24．（25-26九年级下·全国·期中）如图，在正方形中，E为边的中点，G，F分别为边上的点．若，则正方形的边长为_____ 【答案】 【分析】先根据正方形的性质说明，可得，再代入数值可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴， 即， 解得， ∴， 所以正方形的边长为． 25．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上中点处，点的对应点为，连接交边于点，若，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得，，，，，由线段中点定义可得，设，在中利用勾股定理求出的值，进而求出的长，证明，利用相似三角形的性质求出和的长，从而得出的长，设，表示出的长，在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质可得：，，，， 是的中点， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ，， ， ， 又， ， 又， ， ，即， 解得：，， ， 设，则， 在中，，即， ∴， 解得：， ． 26．（2025·浙江杭州·二模）如图，矩形中，点是上一点，将沿折叠，使点落在上的点处．点、、分别在线段、、上，若，，则__________，当且四边形为矩形时，__________． 【答案】 / 【分析】（1）由矩形性质、折叠的性质以及勾股定理求得、的长，设，然后在中，由勾股定理列出方程，解方程即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，再证，得，则，然后由勾股定理求得的长即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠可得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，， 解得：， 即； 当，且四边形为矩形时，点在的垂直平分线上， 即垂直平分， ， ， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 即， 解得：， 在中，． 27．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解答下列问题： (1)【探究解题】 如图1，等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接．判断和数量关系并说明理由； (2)【拓展延伸】 如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并证明； (3)【归纳应用】 在（2）的条件下，若，，点D是直线上任意一点，当时，求的长． 【答案】(1)，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (2)成立，证明： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴； (3)为或． 【分析】（1）由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而可得，则问题可求证； （3）由题意可分当点D在线段上，当点D在线段的延长线上，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图1，当点D在线段上， 根据（2）可得， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 如图2，当点D在线段的延长线上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 综上所述，为或． 28．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）综合与探究： 数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 【初步探究】如图2，正方形的边长为4，点是边的中点，点在边上，连接，若，求的长； 【深入探究】如图3，等边的边长为6，点是的三等分点，点在边上，连接，若，求的长； 【拓展延伸】如图4，在中，点为边上的一点，点为边上的一点．若，求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可求解； （2）根据等边三角形的性质证明即可求解； （3）在的延长线上取点，连接，使得，证明，由相似三角形的性质可得出答案 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵等边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的三等分点， ∴；或， ∵或 解得， ∴的值为； （3）在的延长线上取点，连接，使得， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确利用“一线三等角”基本图形求解． 29．（25-26八年级上·广东东莞·期中）妙妙酷爱数学，勤于思考，善于反思，在学习八年级上册数学知识之后，他发现“全等三角形”和“轴对称”两章中许多问题有关联，问题解决的方法相通．于是撰写了一篇数学作文．请你认真阅读思考，帮助妙妙完成相关内容，“一线三垂直”模型的探索与拓展． 【模型呈现】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为90°，且它们的顶点在同一条直线上，所以称为“一线三垂直模型”．若有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．例如：如图1，，过点C作任意一条直线m，于点D，于点E，则三个直角的顶点都在同一条直线m上，这就是典型的“一线三垂直”模型；如果，那么由，可得，又∵，∴． 【模型探索】问题1：如图2，在中，，，点D为BC上一点，连接AD．过点B作于点E，过点C作交AD的延长线于点F．若，．求：线段EF的长，写出详细解答过程． 【模型应用】问题2：如图3，在平面直角坐标系中，，，若是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【模型迁移】问题3：如图4，为等边三角形，点D，E，F在三边上，，．求证：是等边三角形．                       【答案】 问题1：由题意得，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 问题2：点P的坐标为或或或或或． 问题3：证明： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查点的坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 问题1：利用等量代换得，证明，可得，，再根据求解即可； 问题2：由题意可得，，分类讨论：当时，当时， 当时，根据三角形全等的判定与性质求解即可； 问题3：根据等边三角形的性质可得，再利用等量代换可得，证得，可得，再根据等边三角形的判定定理即可得证． 【详解】解：问题1：略 问题2：如图，∵，， ∴，， 当时， ①过点作轴于点C， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ②过点作轴于点D， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时， ③过点作轴于点E， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， ④过点作轴于点F， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 当时， ⑤当时，如图， 过点作轴， 轴于点D， ∴ ∴, ∴； ∴ ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴，解得 ∴， ⑥当点与关于直线对称时，为等腰直角三角形，且点M为的中点，设， ∴， 即 ∴ 解得， ∴ 综上所述，点P的坐标为或或或或或． 问题3：略 30．（25-26九年级上·北京通州·阶段检测）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点．求证：≌ (2)如图3，，，点D在上，．求证：∽； (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 【答案】(1) 证明：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌； (2) 证明：，， ， ， ， ， ， ∽； (3) 【分析】本题是几何图形的综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据，，可得，再由，可得，从而利用角角边证得≌即可； 根据，，可得，再由，可得，从而证得结论； 在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得∽，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ∽， ． 31．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1) 解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）略 （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $