专题07锐角的正弦.余弦与正切精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦锐角正弦、余弦、正切核心知识点，从定义前提（直角三角形）出发，系统梳理三大三角比定义、函数意义、同角与互余角关系、特殊角值及增减规律，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过三类解题模型（构造直角、坐标转化、等角代换）和20种分层题型，结合常见错误警示，培养学生几何直观与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识与运算能力。

专题07锐角的正弦.余弦与正切精讲学案 核心立意 理解锐角三角比（正弦、余弦、正切）的定义，明确锐角三角比是锐角的函数，大小仅由角度决定；掌握直角三角形内求值、同角与互余两角三角比关系；熟记30°、45°、60°特殊角三角比，能完成特殊角三角比混合运算；会用计算器求三角比或由三角比反求锐角；掌握构造直角三角形、等角转化、坐标系内求三角比的常用方法，体会边角转化、数形结合思想。 定义适用前提 正弦、余弦、正切仅在直角三角形中定义； RtABC，C=90，对锐角 A：对边BC、邻边AC、斜边AB；斜边为直角对边，是最长边。 三大锐角三角比定义 sin A（正弦：对边比斜边） cos A=（余弦：邻边比斜边） tan A=（正切：对边比邻边） sin A、cos A、tan A为完整专用符号，不可拆分；三角比是无单位正数，只与锐角大小有关，和三角形边长无关。 锐角三角比的函数意义 锐角角度确定，则sin A、cos A、tan A的值唯一确定。 三角比恒等关系（计算必考） 1. 同角商数关系：tan A= 2. 同角平方关系：sin2A+cos2A=1 3. 互余两角关系：A+B=90sin A=cos B,cos A=sin B 取值范围（0<<90） 0<sin<1，0<cos<1，tan>0 增减变化规律 0<<90内：角度增大，sin、tan增大；cos减小（可用于比较三角比大小）。 30°、45°、60°特殊角三角比（混合运算核心） sin30°=, sin45=, sin60= cos30=, cos45=, cos60= tan30=, tan45=1 ,tan60= 计算器使用 ①已知锐角，求sin、cos、tan近似值；②已知三角比，反求锐角度数。 三类核心解题模型（支撑本节全部题型） 1. 斜三角形：作垂线构造直角三角形，再套用定义求值； 2. 坐标背景：过点向坐标轴作垂线，构造直角三角形求三角比； 3. 等角转化：相等锐角，对应的三角比相等。 三角比混合运算规则 遵循实数运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；代入特殊角准确值后化简、分母有理化。 ① 找错锐角的对边、邻边，混淆正弦、余弦、正切比例式； ② 不在直角三角形中直接套用三角比定义，未构造Rt△； ③ 误以为三角形放大后三角比改变，三角比仅由角度决定； ④ 拆分sin A、cos A等专用符号，角标识书写不规范； ⑤ 计算时遗忘同角平方关系sin2A+cos2A=1； ⑥ 互余角转化时正弦、余弦互换出错； ⑦ 增减规律记反，误认为角度越大，余弦值越大； ⑧ 记错特殊角三角比，代入数值运算出错； ⑨ 坐标题型混淆横纵坐标，对错边、邻边； ⑩ 混合运算二次根式化简、分母有理化出错。 题型 考察方向 难度 题型一 正弦的概念辨析 ★ 题型二 求角的正弦值 ★ 题型三 已知正弦值求边长 ★★ 题型四 余弦的概念辨析 ★ 题型五 求角的余弦值 ★ 题型六 已知余弦求边长 ★★ 题型七 正切的概念辨析 ★ 题型八 求角的正切值 ★ 题型九 已知正切值求边长 ★★ 题型十 特殊三角形的三角函数 ★★ 题型十一 特殊角三角函数值的混合运算 ★★ 题型十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 ★★ 题型十三 用计算器求锐角三角函数值 ★ 题型十四 根据特殊角三角函数值求角的度数 ★★ 题型十五 已知角度比较三角函数值的大小 ★★ 题型十六 根据三角函数值判断锐角的取值范围 ★★★ 题型十七 利用同角三角函数关系求值 ★★★ 题型十八 求证同角三角函数关系式 ★★★ 题型十九 互余两角三角函数的关系 ★★★ 题型二十 三角函数综合 ★★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★综合 题型一：正弦的概念辨析 解题思路：紧扣正弦定义sin A=；①先确认是否在直角三角形内；②找准目标锐角，区分对边、邻边、斜边；③判断比值是否为「对边÷斜边」，排除邻边/斜边、对边/邻边等干扰项。 1．在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 2．如图所示，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度可用三角函数表示为______米． 3．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕．若矩形纸片的宽，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 题型二：求角的正弦值 解题思路：①锁定目标锐角，在Rt△中找到它的对边与斜边；②直接代入正弦定义列式求值；③边长若未知，先用勾股定理求出缺失边，再算比值，结果化为最简。 4．如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 5．如图在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，在下列网格中小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 题型三：已知正弦值求边长 解题思路：①写出正弦定义式sin A=；②把已知数值代入比例式；③设未知数，结合勾股定理列方程求解边长；④检验边长为正数。 7．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点A到的距离为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，垂足为E．若，则BC的长为_______． 9．如图，在中，，将沿向右平移得到，的对应边恰好经过的中点，连接，若，，则的长为（     ） A．3 B． C． D． 题型四：余弦的概念辨析 解题思路：紧扣余弦定义cos A=；①确认在直角三角形内；②找准目标锐角，区分邻边与斜边；③核验比值是否为「邻边÷斜边」，排除其他比例干扰。 10．如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 11．如图，、是的两条高，连接，那么的值为（    ） A． B． C． D． 12．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 题型五：求角的余弦值 解题思路：①在Rt△中找到目标锐角的邻边、斜边；②代入余弦定义计算；③缺边长先用勾股定理计算，最终分数要约至最简。 13．如图，在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 14．如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 15．如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则为（     ） A． B． C． D． 题型六：已知余弦求边长 解题思路：①列出余弦关系式cos A=；②代入已知数值设未知数；③搭配勾股定理建立方程求边长；④注意斜边一定是直角三角形最长边。 16．如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 17．如图，在中，，点是上一点，连接，当___________时，．    18．如图，，为矩形的对角线，于点，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．4 题型七：正切的概念辨析 解题思路：紧扣正切定义tan A=；①确认直角三角形；②区分目标角的对边、邻边（不含斜边）；③判断比值是否为对边÷邻边。 19．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 20．如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为_____． 21．如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则______． 题型八：求角的正切值 解题思路：①在Rt△中找出目标锐角的对边、邻边；②代入正切公式；③缺少边长先用勾股定理求出，化简比值；注意正切不需要斜边。 22．如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为________． 24．如图，将一张矩形纸片沿折叠，B点恰好落在边上，设此点为F，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 题型九：已知正切值求边长 解题思路：①写出tan A=；②代入已知值设未知数，表示两条直角边；③利用勾股定理列方程求解；看清所求边是直角边还是斜边。 25．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成角（即），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 26．如图，在中，，，，，则____，____，_____．   27．图1是两个完全相同的含角的直角三角板拼成的图形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右上方移动，当四边形是菱形（如图2），且长直角边时，平移距离的长是（     ） A． B． C． D． 题型十：特殊三角形的三角函数 解题思路：①等腰、等边、含30°/45°直角三角形，先作高构造标准Rt△；②利用特殊三角形边长比例（1::2、1:1:）标注各边；③再按sin/cos/tan定义求对应三角比。 28．的相反数为（     ） A． B． C． D． 29．在中，，则_______． 30．如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为____ ． 31．如图，在中，，高交于点F，已知，，则长为（     ） A． B． C．2 D．3 题型十一：特殊角三角函数值的混合运算 解题思路：①先写出30°、45°、60°对应sin、cos、tan准确值；②遵循实数运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；③二次根式分母有理化、合并同类二次根式，最终化简。 32．的值等于（     ） A．0 B．2 C． D． 33．计算：______． 34．_____． 35．若规定，则（   ） A． B． C． D． 题型十二：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 解题思路：①根据三角比反推锐角度数；②算出三角形三个内角；③按角判断（直角/等腰/等边），或利用边长比例判断特殊直角三角形。 36．在中，都是锐角，且，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 37．在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 38．在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 题型十三：用计算器求锐角三角函数值 解题思路：①计算器切换至角度模式（DEG）；②直接输入角度，按sin/cos/tan得到近似小数；③看清题目要求保留几位小数。 39．求，用计算器的按键顺序正确的是（    ） A． B．或 C． D． 40．求，用计算器的按键顺序正确的是（     ） A．     B．      （或      ） C．       D．          41．如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型十四：根据特殊角三角函数值求角的度数 解题思路：①熟记30°、45°、60°的三角比对照表；②匹配已知函数值，直接写出锐角；非特殊角使用计算器第二功能（sin-1/cos-1/tan-1）反求角度。 42．若为锐角，且，则为（    ） A． B． C． D． 43．已知为锐角，且关于的方程有两个相等的实数根，则的大小为___________． 44．已知一个菱形的较短的对角线与较长的对角线的比值为，则这个菱形中较小的内角为_____． 45．中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型十五：已知角度比较三角函数值的大小 解题思路：①利用增减性：锐角范围内，sin、tan随角度增大而增大，cos随角度增大而减小；②特殊角可直接算出数值再比较；③不同名函数优先转化成同名再比较。 46．的大小关系是（   ） A． B． C． D． 47．比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 48．已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型十六：根据三角函数值判断锐角的取值范围 解题思路：①对照30°、45°、60°的函数值，锁定目标值介于哪两个特殊值之间；②结合sin/cos/tan增减规律，反推角度区间；③端点注意不等号方向。 49．用科学计算器求的值，探究的值随锐角变化的规律．根据这个规律，若，则（   ） A． B． C． D． 50．已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 51．用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 题型十七：利用同角三角函数关系求值 解题思路：优先使用两个核心公式：sin2A+cos2A=1、tan A=；①已知一个三角比，直接代入公式求另外两个；②注意锐角三角比全部为正数，舍去负根。 52．在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 53．已知中，，，则的值为______． 54．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 题型十八：求证同角三角函数关系式 解题思路：①在Rt△内，用三边字母（对边a、邻边b、斜边c）写出sin A、cos A、tan A；②分别代入等式左右两边，利用勾股定理a2+b2=c2化简；③证明左右表达式相等。 55．常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A． B． C． D． 56．在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 57．如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 题型十九：互余两角三角函数的关系 解题思路：牢记：若 A+ B=90，则sin A=cos B,cos A=sin B；①识别互余角；②实现正弦、余弦互换转化；常用于化简、等量代换求值。 58．若，，则（    ） A． B． C． D． 59．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则_________． 60．高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点），若，则________． 题型二十：三角函数综合 解题思路：①无直角则作垂线构造Rt△；②结合等角转化、勾股定理、同角/互余三角比关系；③按需代入特殊角值或列方程；④分步拆解，先求边长/角度，再计算目标三角比或线段长。 61．如图，已知，是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 62．如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时___________． 63．光从真空射入介质发生折射现象时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．材料的折射率越高，使入射光发生折射的能力越强．如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为，折射角为，且，，则此玻璃的折射率是（   ） A． B． C． D． 解答题 1．计算：． 2．如图，在中，是上一点，是的中点，点在线段的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 3．如图，在菱形中，延长至点E使，延长至点F使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，，求的长． 4．如图，在中，，设；若关于的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)试求的值； (2)在（1）问的基础上，若周长为，求三边的长分别是多少？ 5．如图，在中，，过点作边上的高线，． (1)求的长； (2)若，求的长． 6．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 7． 解答下列各题∶ (1)化简求值∶ (2)在中，，化简． 8．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 9．先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 10．如图，是矩形的对角线，和分别沿着，所在直线进行折叠，使得点和恰好落在对角线上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07锐角的正弦.余弦与正切精讲学案 核心立意 理解锐角三角比（正弦、余弦、正切）的定义，明确锐角三角比是锐角的函数，大小仅由角度决定；掌握直角三角形内求值、同角与互余两角三角比关系；熟记30°、45°、60°特殊角三角比，能完成特殊角三角比混合运算；会用计算器求三角比或由三角比反求锐角；掌握构造直角三角形、等角转化、坐标系内求三角比的常用方法，体会边角转化、数形结合思想。 定义适用前提 正弦、余弦、正切仅在直角三角形中定义； RtABC，C=90，对锐角 A：对边BC、邻边AC、斜边AB；斜边为直角对边，是最长边。 三大锐角三角比定义 sin A（正弦：对边比斜边） cos A=（余弦：邻边比斜边） tan A=（正切：对边比邻边） sin A、cos A、tan A为完整专用符号，不可拆分；三角比是无单位正数，只与锐角大小有关，和三角形边长无关。 锐角三角比的函数意义 锐角角度确定，则sin A、cos A、tan A的值唯一确定。 三角比恒等关系（计算必考） 1. 同角商数关系：tan A= 2. 同角平方关系：sin2A+cos2A=1 3. 互余两角关系：A+B=90sin A=cos B,cos A=sin B 取值范围（0<<90） 0<sin<1，0<cos<1，tan>0 增减变化规律 0<<90内：角度增大，sin、tan增大；cos减小（可用于比较三角比大小）。 30°、45°、60°特殊角三角比（混合运算核心） sin30°=, sin45=, sin60= cos30=, cos45=, cos60= tan30=, tan45=1 ,tan60= 计算器使用 ①已知锐角，求sin、cos、tan近似值；②已知三角比，反求锐角度数。 三类核心解题模型（支撑本节全部题型） 1. 斜三角形：作垂线构造直角三角形，再套用定义求值； 2. 坐标背景：过点向坐标轴作垂线，构造直角三角形求三角比； 3. 等角转化：相等锐角，对应的三角比相等。 三角比混合运算规则 遵循实数运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；代入特殊角准确值后化简、分母有理化。 ① 找错锐角的对边、邻边，混淆正弦、余弦、正切比例式； ② 不在直角三角形中直接套用三角比定义，未构造Rt△； ③ 误以为三角形放大后三角比改变，三角比仅由角度决定； ④ 拆分sin A、cos A等专用符号，角标识书写不规范； ⑤ 计算时遗忘同角平方关系sin2A+cos2A=1； ⑥ 互余角转化时正弦、余弦互换出错； ⑦ 增减规律记反，误认为角度越大，余弦值越大； ⑧ 记错特殊角三角比，代入数值运算出错； ⑨ 坐标题型混淆横纵坐标，对错边、邻边； ⑩ 混合运算二次根式化简、分母有理化出错。 题型 考察方向 难度 题型一 正弦的概念辨析 ★ 题型二 求角的正弦值 ★ 题型三 已知正弦值求边长 ★★ 题型四 余弦的概念辨析 ★ 题型五 求角的余弦值 ★ 题型六 已知余弦求边长 ★★ 题型七 正切的概念辨析 ★ 题型八 求角的正切值 ★ 题型九 已知正切值求边长 ★★ 题型十 特殊三角形的三角函数 ★★ 题型十一 特殊角三角函数值的混合运算 ★★ 题型十二 由特殊角的三角函数值判断三角形形状 ★★ 题型十三 用计算器求锐角三角函数值 ★ 题型十四 根据特殊角三角函数值求角的度数 ★★ 题型十五 已知角度比较三角函数值的大小 ★★ 题型十六 根据三角函数值判断锐角的取值范围 ★★★ 题型十七 利用同角三角函数关系求值 ★★★ 题型十八 求证同角三角函数关系式 ★★★ 题型十九 互余两角三角函数的关系 ★★★ 题型二十 三角函数综合 ★★★★ 拔高题 10题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★综合 题型一：正弦的概念辨析 解题思路：紧扣正弦定义sin A=；①先确认是否在直角三角形内；②找准目标锐角，区分对边、邻边、斜边；③判断比值是否为「对边÷斜边」，排除邻边/斜边、对边/邻边等干扰项。 1．在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的定义，理解相似三角形中对应角不变，三角函数值不变是关键． 根据三角函数的定义，正弦值是对边与斜边的比值，当三边都扩大相同倍数时，比值不变． 【详解】∵在中，， ∵三边都扩大为原来的3倍，则新三角形中，对边变为，斜边变为， ∴， ∴的正弦值不变． 故选：C． 2．如图所示，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为4米．若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度可用三角函数表示为______米． 【答案】 【详解】利用正弦的定义求解即可． 解：如图，过点作，垂足为，则为栏杆A端升高的高度， 米， 米， ， 米． 3．如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕．若矩形纸片的宽，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，锐角三角函数的定义，平行线的性质，在中，解直角三角形求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：∵将矩形纸片对折一次，使边与重合，得到折痕， ∴． ∵再一次折叠纸片，使点A落在的处并使折痕经过点B，得到折痕， ∴． 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 题型二：求角的正弦值 解题思路：①锁定目标锐角，在Rt△中找到它的对边与斜边；②直接代入正弦定义列式求值；③边长若未知，先用勾股定理求出缺失边，再算比值，结果化为最简。 4．如图，在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用勾股定理得到，再根据正弦的计算求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴ ． 5．如图在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据网格结构确定直角三角形的直角边长，利用勾股定理求出斜边长，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，为直角三角形，， 网格小正方形边长为 1， ，， 由勾股定理得， ． 【点睛】 6．如图，在下列网格中小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，用勾股定理先求出，的长，利用面积法求出的长，由即可得． 【详解】解：过点作于点， ，， ， ， ， ． 题型三：已知正弦值求边长 解题思路：①写出正弦定义式sin A=；②把已知数值代入比例式；③设未知数，结合勾股定理列方程求解边长；④检验边长为正数。 7．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，，，则点A到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作于D，利用锐角三角函数的定义列式即可． 【详解】解：如图，过点A作于D， 则点A到的距离为． 8．如图，在中，，垂足为E．若，则BC的长为_______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 根据同角的余角相等可得，那么两角的正弦值相等，由此可求出的长． 【详解】解： ． ， ， ， ， 故答案为：． 9．如图，在中，，将沿向右平移得到，的对应边恰好经过的中点，连接，若，，则的长为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质得出，利用三角函数求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：将沿向右平移得到， ， ，， ， ，是的中点， ． 题型四：余弦的概念辨析 解题思路：紧扣余弦定义cos A=；①确认在直角三角形内；②找准目标锐角，区分邻边与斜边；③核验比值是否为「邻边÷斜边」，排除其他比例干扰。 10．如图，在中，，，，分别是，，的对边，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据余弦、正切的定义逐一判断即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 11．如图，、是的两条高，连接，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、锐角三角形的定义等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由已知条件易证可得，即∶ ，再证可得，最后根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴，即∶ ， 又∵， ∴， ∴． 故选∶B． 12．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】A．∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠ADB=90°， ∴∠B+∠BCD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠B=∠ACD， 在Rt△ACD中，cos∠ACD=， ∴cosB=， 故A不符合题意； B．在Rt△DBC中，cosB=，故B不符合题意； C．在Rt△DBC中，cos∠BCD=， ∵∠A≠45°， ∴∠B≠45°， ∴∠B≠∠BCD， ∴cosB≠， 故C符合题意； D．在Rt△ABC中，cosB=，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关键． 题型五：求角的余弦值 解题思路：①在Rt△中找到目标锐角的邻边、斜边；②代入余弦定义计算；③缺边长先用勾股定理计算，最终分数要约至最简。 13．如图，在中，，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：由题意得，， ∴． 14．如图，在等腰三角形中，，点D为的中点，于点E，则_______． 【答案】/ 【分析】连接，利用等腰三角形的性质得到，，勾股定理求出，求出，即可求出． 【详解】解：如图，连接， ∵三角形是等腰三角形，，点D为的中点， ∴，， ∴， ∵于点E， ∴ 即， ∴． 15．如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，由折叠性质可知垂直平分，且，结合为中点可得，进而证得，即可得，从而得；在中利用勾股定理求，最后根据余弦定义求解即可． 【详解】解：连接交于点，如图： ∵是由沿折叠得到的， ∴，，， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴. 题型六：已知余弦求边长 解题思路：①列出余弦关系式cos A=；②代入已知数值设未知数；③搭配勾股定理建立方程求边长；④注意斜边一定是直角三角形最长边。 16．如图，中，，斜边，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的定义，在直角三角形中，一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值，在，，根据余弦函数的定义即可求得． 【详解】解：三角形为直角三角形， ， ， ． 17．如图，在中，，点是上一点，连接，当___________时，．    【答案】或 【详解】如下图所示，分两种情况：，∴当时，．即，解得．过点作于点，作点关于的对称点．在中，，．．    【易错点分析】根据条件容易想到构造相似三角形，从而得到当时，，又在中，不是的夹角，的形状无法确定，点有两种可能． 18．如图，，为矩形的对角线，于点，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】如图，解，求出，再根据矩形的性质可得结论． 【详解】解：如图， 在中，，，， ∴， ∴； 又四边形是矩形， ∴． 题型七：正切的概念辨析 解题思路：紧扣正切定义tan A=；①确认直角三角形；②区分目标角的对边、邻边（不含斜边）；③判断比值是否为对边÷邻边。 19．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（　　） A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键． 【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系， 因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化， 故选：． 20．如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为_____． 【答案】 【分析】先求出，设，求出，在根据余弦的概念求出即可． 【详解】解：， ， ， 设， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是求出的长度． 21．如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则______． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的性质与判定，掌握相关知识点，结合图形找到合适的相似三角形是解题的关键．通过证明，利用相似三角形的性质得到，再根据正切的定义得到，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 题型八：求角的正切值 解题思路：①在Rt△中找出目标锐角的对边、邻边；②代入正切公式；③缺少边长先用勾股定理求出，化简比值；注意正切不需要斜边。 22．如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质可知，再根据正切函数的定义进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 在中，． 23．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，利用网格得到线段的长度，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作，交的延长线于点， 根据图像可知：， ∴． 24．如图，将一张矩形纸片沿折叠，B点恰好落在边上，设此点为F，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件设，则，根据矩形的性质及折叠的性质得出，再由勾股定理确定，根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴． 题型九：已知正切值求边长 解题思路：①写出tan A=；②代入已知值设未知数，表示两条直角边；③利用勾股定理列方程求解；看清所求边是直角边还是斜边。 25．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳到地面，如图所示．已知彩旗绳与地面形成角（即），彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即米），则的长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到正切值，解题的关键在于熟练掌握正切值的概念.根据正切值的概念即对边与直角边之比，即可求出答案. 【详解】解：表示的是地面，表示的是图书馆， ， 为直角三角形， （米）. 故选：A. 26．如图，在中，，，，，则____，____，_____．   【答案】 /4厘米 /5厘米 【分析】本题考查了解直角三角形，根据正切的定义求得，进而勾股定理求得，再根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：，，． 27．图1是两个完全相同的含角的直角三角板拼成的图形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右上方移动，当四边形是菱形（如图2），且长直角边时，平移距离的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，求出，由等腰三角形的性质推出，求出，得到，推出，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平移距离的长等于的长是． 题型十：特殊三角形的三角函数 解题思路：①等腰、等边、含30°/45°直角三角形，先作高构造标准Rt△；②利用特殊三角形边长比例（1::2、1:1:）标注各边；③再按sin/cos/tan定义求对应三角比。 28．的相反数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的相反数为． 29．在中，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题关键． 由可得，进而求得，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 30．如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为____ ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的锐角三角函数值. 根据，可得，利用特殊角的锐角三角函数值解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 31．如图，在中，，高交于点F，已知，，则长为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据，，，求解即可； 【详解】解：，高交于点F， ，， ，， ，， , 故； 题型十一：特殊角三角函数值的混合运算 解题思路：①先写出30°、45°、60°对应sin、cos、tan准确值；②遵循实数运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；③二次根式分母有理化、合并同类二次根式，最终化简。 32．的值等于（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将特殊角的三角函数值，代入后按实数运算法则计算即可得到结果. 【详解】解：原式 . 33．计算：______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 34．_____． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行乘方，特殊角的三角函数值，开方运算，再进行负整数指数幂和去绝对值运算，最后进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 35．若规定，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据规定，，利用特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解：． 题型十二：由特殊角的三角函数值判断三角形形状 解题思路：①根据三角比反推锐角度数；②算出三角形三个内角；③按角判断（直角/等腰/等边），或利用边长比例判断特殊直角三角形。 36．在中，都是锐角，且，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值与三角形形状的判定，掌握利用特殊角的三角函数值求出角的度数，进而判断三角形形状是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值求出和的度数，再判断三角形的形状． 【详解】解：，且是锐角， ； ，且是锐角， ；则， 三个角都为， 是等边三角形． 故答案为：C． 37．在中，若，，都是锐角，则是_____三角形． 【答案】等边 【分析】利用绝对值和平方的非负性求出与的值，结合锐角条件确定的度数，再通过三角形内角和求出，最终判定为等边三角形。 【详解】解：∵， ∴根据绝对值和平方均非负， ∴，． ∵、为锐角， ∴，，则， ∴为等边三角形． 38．在中，，，那么是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．根据和的值求出和的度数，再计算的度数，从而判断三角形类型． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， 故选：A． 题型十三：用计算器求锐角三角函数值 解题思路：①计算器切换至角度模式（DEG）；②直接输入角度，按sin/cos/tan得到近似小数；③看清题目要求保留几位小数。 39．求，用计算器的按键顺序正确的是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据度分秒格式角度的输入按键规则，输入即可． 【详解】 解：首先按下功能键，激活正切计算模式，再输入度数值，按下度分秒转换键，确认的单位为度，最后输入数值，按下度分秒转换键，确认的单位为分，由此可得用计算器的按键顺序正确的是或． 40．求，用计算器的按键顺序正确的是（     ） A．     B．      （或      ） C．       D．          【答案】B 【分析】根据度分秒格式角度的输入按键规则，输入即可． 【详解】解：首先按下功能键，激活正切计算模式，再输入度数值，按下度分秒转换键，确认的单位为度，最后输入数值，按下度分秒转换键，确认的单位为分，由此可得用计算器的按键顺序正确的是或． 41．如图，若用科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下： 按键结果为a，按键结果为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学计算器的有关计算，掌握计算器是解题的关键．根据按键顺序，列出算式，求出，的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图可知：，， ； 故选：C． 题型十四：根据特殊角三角函数值求角的度数 解题思路：①熟记30°、45°、60°的三角比对照表；②匹配已知函数值，直接写出锐角；非特殊角使用计算器第二功能（sin-1/cos-1/tan-1）反求角度。 42．若为锐角，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵为锐角， ∴也是锐角， ∵，且， ∴， ∴． 43．已知为锐角，且关于的方程有两个相等的实数根，则的大小为___________． 【答案】45 【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根可得，再结合题意可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程有相等的实数根， ， 即， 为锐角， ， 解得 ． 44．已知一个菱形的较短的对角线与较长的对角线的比值为，则这个菱形中较小的内角为_____． 【答案】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分、平分内角的性质，将问题转化为直角三角形中求角度，即可得到结果． 【详解】解：如下图所示， 设，，则和， ∴， ， 菱形较小内角为． 45．中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，再根据特殊角三角函数值得出答案． 【详解】解：在中，，，， 则， ∴是直角三角形， 在中，， ∴． 题型十五：已知角度比较三角函数值的大小 解题思路：①利用增减性：锐角范围内，sin、tan随角度增大而增大，cos随角度增大而减小；②特殊角可直接算出数值再比较；③不同名函数优先转化成同名再比较。 46．的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较和的大小，再分析的值，最后综合得出顺序． 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 47．比较大小：__________．（填“>”“=”或“<”） 【答案】< 【分析】本题主要考查了正弦、余弦的性质，掌握当锐角时，正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小是解题的关键． 根据正弦、余弦的性质求解即可． 【详解】解：∵正弦的函数值随角度的增大而增大，余弦的函数值随角度的增大而减小， ∴， ∴，即． 故答案为：<． 48．已知在中，，，设，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余弦的增减性与特殊角的余弦值，熟练掌握余弦的增减性是解题关键．先求出特殊角的余弦值，再根据余弦的增减性求解即可得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：B． 题型十六：根据三角函数值判断锐角的取值范围 解题思路：①对照30°、45°、60°的函数值，锁定目标值介于哪两个特殊值之间；②结合sin/cos/tan增减规律，反推角度区间；③端点注意不等号方向。 49．用科学计算器求的值，探究的值随锐角变化的规律．根据这个规律，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出个锐角的正弦值，得出的值随锐角的增大而增大，继而由可得答案． 【详解】解：∵、、、、、、、， ∴的值随锐角的增大而增大， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用计算器计算三角函数值，解题的关键是通过计算得出的值随锐角的增大而增大． 50．已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的性质，根据正弦函数在锐角范围内的单调性，由可得，结合为锐角可得取值范围． 【详解】解：在中，内角可能是锐角或直角， 当时，，不满足，故不可能是直角， ∴只能是锐角，即， ∵， ∴， ∵为锐角， ∴． 故答案为：． 51．用计算器求、、、、、、、的值，研究的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数值的变化规律，解题的关键是掌握正弦函数值在锐角内随角度增大而增大的性质． 先找出特殊角的正弦值，再根据正弦函数值的变化规律确定的取值范围． 【详解】解：在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，． ∵， ∴， 则的取值范围是． 故选∶A． 题型十七：利用同角三角函数关系求值 解题思路：优先使用两个核心公式：sin2A+cos2A=1、tan A=；①已知一个三角比，直接代入公式求另外两个；②注意锐角三角比全部为正数，舍去负根。 52．在中，，，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数、勾股定理，根据勾股定理和三角函数定义，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】∵ 在中，，对边分别为a、b、c（c为斜边）， ∴ 由勾股定理，，选项A正确； ∵， ∴选项B正确； ∵， ∴选项C错误； ∵ ， ∴选项D正确． 故选：C． 53．已知中，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查同角三角函数的关系的应用，解题的关键是掌握：，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴． 故答案为：． 54．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．将所代数式变形为，根据一元二次方程根与系数的关系可求出，再结合整体代入求值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 题型十八：求证同角三角函数关系式 解题思路：①在Rt△内，用三边字母（对边a、邻边b、斜边c）写出sin A、cos A、tan A；②分别代入等式左右两边，利用勾股定理a2+b2=c2化简；③证明左右表达式相等。 55．常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（    ）（假设有任意角α） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意即可写出式子． 【详解】解：“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：， 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数关系，明确题意，用数学语言正确表达是解题的关键． 56．在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系． 【详解】解：如图，在中，， A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意； B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，又∵ ∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意． 故选：D． 57．如图，在直角梯形中，，，如果对角线，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的比值关系，平行线的性质，熟悉掌握角三角函数的比值关系是解题的关键． 利用角的等量代换和三角函数的比值关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 题型十九：互余两角三角函数的关系 解题思路：牢记：若 A+ B=90，则sin A=cos B,cos A=sin B；①识别互余角；②实现正弦、余弦互换转化；常用于化简、等量代换求值。 58．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了互余的两个角的三角函数关系，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A． 59．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则_________． 【答案】 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为锐角， ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． 60．高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形表示一个“鱼骨”，平行于车辆前行方向，，过B作的垂线，垂足为（A点的视觉错觉点），若，则________． 【答案】15． 【分析】根据同角的余角相等得到，进一步根据三角函数求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵且四边形为平行四边形， ∴，， 又∵, ∴， ∴， ∴, 又∵， ∴mm． 故答案为：15． 【点睛】本题考查三角函数的实际应用，解题的关键是利用同角的余角相等找出角的关系，根据同角三角函数关系求值． 题型二十：三角函数综合 解题思路：①无直角则作垂线构造Rt△；②结合等角转化、勾股定理、同角/互余三角比关系；③按需代入特殊角值或列方程；④分步拆解，先求边长/角度，再计算目标三角比或线段长。 61．如图，已知，是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数的理解和计算，正确理解各种三角函数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，是斜边边上的高，， ∴都是直角三角形． 在中， ∵， 故选项B不正确； 在中， ∵， 故选项A、C不正确． 在中， ∵， ∴． ∴， 故选项D正确． 故选：D． 62．如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时___________． 【答案】 【分析】过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．，先求出和的值，再通过勾股定理求出，通过角度的代换，证得，通过即可求解． 【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接， 点是点关于直线的对称点， 直线垂直平分， ，，， ， 当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值． ，， ． ，且，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ，， 在中，， ， ． 当取最小值时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点最值的将军饮马模型，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握动点最值类模型的解题思路是解题关键． 63．光从真空射入介质发生折射现象时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．材料的折射率越高，使入射光发生折射的能力越强．如图，光从真空射入一玻璃镜片中，入射角为，折射角为，且，，则此玻璃的折射率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数相关计算，根据，求得，进而将代入，进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴，， ∵ ∴ 故选：D． 解答题 1．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 . 2．如图，在中，是上一点，是的中点，点在线段的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)证明：∵是的中点， ∴． 在与中，， ∴； (2) 【分析】（1）利用中点性质得到，结合对顶角相等与已知，通过判定三角形全等； （2）借助全等三角形的性质转化角，得到，由垂直条件确定为直角三角形，设参数表示边长，利用勾股定理求出斜边，再根据正弦定义计算三角函数值． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 3．如图，在菱形中，延长至点E使，延长至点F使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，，． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形、对角线相等的平行四边形是矩形，即可证得结论； （2）先根据菱形的性质和正弦的定义求得，，然后证得四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，接着利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，从而得到，进而得到，最后由勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接并延长交于点G，交于点H， ∵菱形， ∴，，，， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 4．如图，在中，，设；若关于的一元二次方程有两个相等的实数根． (1)试求的值； (2)在（1）问的基础上，若周长为，求三边的长分别是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程有两个相等的实数根，则，由此计算的值． （2）由（1）得出两边的比值，根据比值设未知数，并利用勾股定理表示第三边，利用周长列方程求得未知数的值，即可代入计算三边长． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴ ∴， ∵是直角三角形的锐角， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：在中，，， 设， 则， ∵周长为， ∴， ∴， ∴， 即三边长分别为． 5．如图，在中，，过点作边上的高线，． (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，根据余弦的定义求出的长度，然后根据勾股定理求解即可； （2）先求出的长度，然后在中，根据勾股定理求解即可. 【详解】（1）解：为边上的高线， ， ，， ， ； （2）解：，， ， ，， ． 6．如图，在中，，，的平分线交于点D，，求． 【答案】 【分析】求出的值，可知，根据角平分线的定义得到，根据计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 平分， ， 在中，， ． 7． 解答下列各题∶ (1)化简求值∶ (2)在中，，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式化简，熟练掌握三角函数定义，是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，进行求解即可； （2）根据，再根据二次根式性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵中，， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴ ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上分析可知：． 8．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 9．先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 【答案】（1）a，b，a，b，1，1；（2） 【分析】本题主要考查直角三角形中正切的定义（对边与邻边的比值），以及通过计算归纳出互余锐角的正切值关系（乘积为1），解决问题的关键是熟练掌握正切函数的定义. 【详解】（1）解：在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为1．即1． 故答案为： （2）解：已知，则_______． 互余的两个锐角的正切值的乘积为1， 故答案为： 10．如图，是矩形的对角线，和分别沿着，所在直线进行折叠，使得点和恰好落在对角线上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，， ， 根据折叠的性质可知，，， ， ， 四边形是平行四边形； (2)四边形的面积为 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，推出，结合折叠的性质可推出，得到，即可得证； （2）根据矩形和折叠的性质可得，，根据求出，利用勾股定理求出，进而求出，根据，得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ， 由折叠可得，，， ， ，即， ， ， ， ，即 ， 四边形的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $