专题04 二次函数常考几何模型专训（9大题型+15道拓展培优题） 讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学讲义以二次函数常考的9大几何模型为框架，通过题型分类系统梳理知识脉络，将旋转、翻折、最值等模型按内在逻辑整合，突出二次函数与几何变换的联系，呈现重难点分布。 讲义亮点在于“模型专训+拓展培优”的练习设计，如旋转模型中“旋转函数”定义题培养抽象能力，最值模型中面积最值问题发展几何直观。例题涵盖基础到综合，帮助不同学生掌握方法，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

专题04 二次函数常考几何模型专训（9大题型+15道拓展培优题） 题型一 二次函数中的旋转模型 题型二 二次函数中的翻折模型 题型三 二次函数中的平移模型 题型四 二次函数中的轴对称模型 题型五 二次函数中的最值模型 题型六 二次函数中的存在模型 题型七 二次函数中特殊角度模型 题型八 二次函数中面积关系模型 题型九 二次函数中新定义模型 【经典例题一 二次函数中的旋转模型】 1．（2026·陕西西安·二模）已知抛物线：与轴交于、两点与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线绕原点旋转后得到抛物线，的顶点为，点为上的一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 2．（25-26九年级上·上海青浦·阶段检测）定义：如果二次函数（、、、是常数）与（、、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”． (1)写出函数的旋转函数． (2)若函数与互为旋转函数，求的值． (3)已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”． 3．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，点P是直线l上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)将线段绕点P旋转，得到线段，点C的对应点为点Q，当点Q在抛物线上时，直接写出点Q的坐标． 4．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点为y轴上的动点，点P是第一象限抛物线上的动点，分别将点B、P绕点M旋转得到、，顺次连接得到四边形． (1)若点，求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)在（1）条件下，当时，求四边形面积S的最大值，并求此时点P的坐标； (3)当点P与抛物线的顶点重合时，探究满足什么条件时，存在点M，使得四边形为菱形？请说明理由． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知点是第一象限内一点，且是以为直角边的等腰直角三角形，则点坐标为 ； （3）在直线左侧有一点，将抛物线的图象绕点旋转得到抛物线，其中点、的对应点分别是、，若以、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标并直接写出抛物线的表达式． 6．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（，为常数）与轴交于点，顶点为点．点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上找一点E，使得取得最小值，求E点坐标； (3)若点坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，连接，以，为邻边构造矩形． ①设的长为l，求l关于m的函数解析式； ②请直接写出当点P在矩形外部时，m的取值范围． 【经典例题二 二次函数中的翻折模型】 7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，二次函数图像顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． (1)该函数图像与x轴的另一个交点坐标为_______； (2)求这个二次函数的表达式； (3)若将该二次函数沿x轴翻折，则翻折后的图像的函数表达式为_______． 8．（2026·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图①，折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．若，，求的面积； 问题解决 （2）如图②，某生态农庄计划建造一个形状为矩形ABCD的休闲区域，并在矩形区域内规划出一个区域开发成垂钓中心，其余区域开发成休息区，使点M，N分别在CD、BC上（点N可与端点重合），，，米．根据设计需求，要使的面积尽可能的小，请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值并求此时DM的长；若不存在，请说明理由． 9．（2026·黑龙江·模拟预测）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，，的长是一元二次方程的两个实数根，点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度向终点O运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，将沿直线折叠得到，设与矩形重合部分的面积为S，运动时间为t秒． (1)求点B的坐标； (2)求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当点D落在上时，点N在x轴上，直线上是否存在点M，使以D，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接与出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（24-25九年级下·广东惠州·期中）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若矩形的顶点，在位于轴上方的抛物线上，一边在轴上（如图2），设点的坐标为，矩形的周长为，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的前提下（即当取得最大值时），在抛物线的对称轴上是否存在一点，使沿直线折叠后，点刚好落在轴上？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”．如，是“不动点”． 【迁移应用】如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，点，与轴交于点． (1)求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标； (2)若直线与抛物线有且只有一个交点，试求的值； (3)如图2，当时，将抛物线在直线上方的图像折叠，与原图像剩余部分组成如图所示的粗线部分为新的图象．若上恰好有3个“不动点”，则的值为______． (4)如图3，点为“不动点”，点是抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 12．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【经典例题三 二次函数中的平移模型】 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系 中，将抛物线沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移2个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线相交于C． (1)求平移后抛物线的解析式； (2)求的面积． 14．（2026九年级·浙江温州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 15．（2026·上海松江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，，抛物线经过A、B两点，顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，求四边形的面积； (3)将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足，求点P的坐标． 16．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数解析式和顶点坐标． (2)坐标平面内存在点，满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离． (3)在二次函数图象上取点（不与点重合），使得在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点的坐标． 17．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，为轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 18．（25-26九年级上·四川巴中·期中）在平面直角坐标系中，已知点，在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，若直线与抛物线交于点、，连接和，直接写出的正切值． (3)在（2）的条件下，为抛物线上的一点（点与点不重合），当的面积与的面积相等时，求出点的坐标． (4)如图2，已知点，，抛物线向左或向右平移后，点、点的对应点分别为、当四边形的周长最小时，请直接写出平移后抛物线的顶点坐标． 【经典例题四 二次函数中的轴对称模型】 19．（24-25九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线和线段，其中点，点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点． (1)求直线的解析式； (2)点在抛物线上，且与点关于对称轴对称，连接，，，射线交轴于点，连接，，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求的值；如果不能，说明理由； (3)若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求的取值范围． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线L：与x轴交于两点，抛物线与L关于y轴对称． (1)求抛物线L的解析式； (2)M为抛物线L上一点，过点M作轴交于点N，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 21．（2026·陕西·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上且横坐标为6． (1)求点的坐标； (2)点在抛物线上且与点关于对称轴对称，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 22．（25-26九年级上·广西梧州·期中）如图，已知抛物线经过点和． (1)求出抛物线的解析式； (2)点 与点Q均在抛物线上（其中），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标； (3)在满足（2）的情况下，在抛物线的对称轴上存在点E，使得△QEA的周长最小，请求点E的坐标． 23．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连结，作直线． (1)求b、c的值； (2)求点A、B的坐标； (3)求证：； (4)点P在抛物线上，点Q在直线上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 24．（2026·山东临沂·二模）【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【经典例题五 二次函数中的最值模型】 25．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，求函数y的最小值和最大值．彤彤的解答如下： 解：当时，则； 当时，则； 所以函数的最小值为2，最大值为4． 彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 26．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． (1)若抛物线经过点． ①求的值； ②当时，函数的最大值与最小值的差是，求的取值范围． (2)已知，，若二次函数的图像与线段有且只有一个交点，求的取值范围． 27．（25-26九年级下·河南郑州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 28．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，抛物线，抛物线，图像与图像组合成图像． (1)求的顶点坐标，并直接写出中函数值随增大而减小时的取值范围； (2)求图像上到轴的距离为3的点的坐标； (3)在图像上取点，（与不重合），的横坐标为，的横坐标为．，之间的图像记为，当图像对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 29．（2025·安徽淮北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，抛物线与轴的两个交点分别为点，． (1)求，的值； (2)当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围； (3)若为线段的中点，且点在第二象限内，为抛物线的顶点，当的面积最小时，求的值． 30．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一动点，连接，，点M是y轴上一个动点，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将原抛物线沿着方向平移，使得新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一个交点记为点E，与原抛物线的对称轴的交点记为点D．已知点N为新抛物线上的一点，且，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求其中一个点N的过程． 【经典例题六 二次函数中的存在模型】 31．（2025九年级下·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系运动中，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)图象上有两点． ①若，求的值； ②探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 32．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（25-26九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 34．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)x轴上存在点P使得的面积为12，请求出点P坐标． (3)作直线，问抛物线上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 36．（2026·山东威海·模拟预测）已知，如图1，抛物线与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，对称轴交于点E，交x轴于点D，且． (1)求抛物线解析式； (2)在对称轴上是否存在一点F使？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点P是第一象限抛物线上一点，过点P作轴于点Q，轴于点H，交抛物线于点N，过点N作轴于点M．直线l是过点Q的任意一条直线，设点P、M到直线l的距离分别为，当时，求的最大值． 【经典例题七 二次函数中特殊角度模型】 37．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）情境阅读：初三第一次考试10月份阶段评价马上来临，小明同学在数学复习时，再读了九年级上册书中“一元二次方程”的“数学活动”，重新思考了“活动围长方形”下图呈现的是“活动围长方形”的介绍及“小明发现”的内容： 请根据“小明发现”，分别应用一元二次方程和二次函数来解决以下问题： “能围出面积为的长方形吗？”（注：此题给出两种解决方法才能给满分） 活动  围长方形 小明发现，之前是根据一元二次方程的根的情况解决了这个问题，现在可以从二次函数最值角度解决…… 用一根的细绳围长方形 试一试，你能围出面积是的长方形吗？如果可以，计算它的长和宽，如果不可以，通过计算说明理由． 38．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，交y轴于点C．已知A（﹣3，0），C（0，﹣3），抛物线的顶点为点D．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式，直接写出顶点D的坐标． （2）P是抛物线上的一动点，当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为 ． 39．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，点为抛物线上第一象限内的一个动点．    (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当的面积为4时，求点D的坐标； (3)该抛物线上是否存在点D，使得，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由． 40．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，连接．当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 41．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 42．（2026·湖南株洲·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是y轴上一点，，求点P的坐标； (3)当时，二次函数的最小值为2a，求a的值． 【经典例题八 二次函数中面积关系模型】 43．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的关系解析式； (2)点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 44．（2026·河南平顶山·模拟预测）考向预测综合与实践综合与实践 【活动背景】随着科技的不断进步，扫地机器人已经深入千家万户，成为现代家庭清洁的得力助手． 【活动调查】为了解A，B两款扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间，某实验小组成员分别随机调查了A，B两款扫地机器人各10台，记录下它们运行的最长时间（单位：分钟），并对数据进行整理、描述和分析[运行最长时间用x（分钟）表示，共分为四组：不合格，合格，良好，优秀]，下面给出了部分信息： 10台A款扫地机器人一次充满电后运行最长时间分别是：111，88，95，104，98，107，104，102，97，104． 10台B款扫地机器人一次充满电后运行最长时间属于良好的数据分别是：102，103，105，101，104，102． A，B两款扫地机器人运行最长时间统计表 平均数 中位数 众数 方差 A 101 103 a 39.4 B 101 b 102 43.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据调查数据，该实验小组成员认为A款扫地机器人的性能更好，请你说明理由． 【实验操作】 为进一步了解A款扫地机器人需要多久能充满电，以及充满电后扫地机器人的最大打扫区域面积，该实验小组成员设计了两组实验． 实验Ⅰ：探究充电状态下扫地机器人显示屏显示增加的电量y（）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 表1 扫地机器人充电状态 时间t/分钟 0 20 100 120 … 增加的电量y/% 0 10 50 60 … 观察表1，发现y与t成一次函数关系，表达式为． 实验Ⅱ：探究充满电后扫地机器人打扫过程中显示屏显示剩余的电量e（）与已打扫区域面积s（平方米）的关系，数据记录如表2； 表2 扫地机器人打扫过程 已打扫区域面积s/平方米 0 160 320 340 … 剩余的电量 100 60 20 15 … 【建立模型】 (3)观察表2，猜想e关于s的函数关系为______（填序号），并写出e关于s的函数表达式：______． ①一次函数；②反比例函数；③二次函数 【解决问题】 (4)已知该款扫地机器人设计了智能断点续扫功能，电量低于时自动回充后再继续清洁．在某次清扫过程中，扫地机器人显示剩余电量是，还有300平方米的区域未打扫，在自动回充前能否完成打扫？若能，请说明理由；若不能，最少还需要充电多少分钟才能完成打扫？ 45．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． (3)如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 46．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】在一个直角三角形中，以斜边上任意一点向两直角边做垂直，所截取的矩形的最大面积是多少？ 【规律探究】如图①，是一个直角三角形，，在上任取点，作，，得到矩形，我们可以设，证明得到后，经过推导，用含有的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案． 探究：如图①，，，请根据材料， 填空：①______；②______；③矩形的最大面积的值为______． 【问题应用】如图②，已知有一块“缺角矩形”，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【拓展延伸】如图③，现有一块四边形的木板余料，经测量，，，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点、在边上且面积最大的矩形，则该矩形的面积为______．（直接写出答案） 47．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图（1），在中，，点从点出发以/的速度沿路线→→运动，点从点出发以/的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．以，为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点，，重合或在一条直线上时，不妨设），探究与的关系． (1)当点由点运动到点时， ①若， ； ②关于的函数解析式为 ， (2)当点由点运动到点时，经探究发现关于的函数解析式为，其图象如图（2）所示． ①的值为 ； ②求关于的函数解析式． (3)当点在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，． ①求与的数量关系； ②当时，求，的值． 48．（26-27九年级上·全国·单元测试）【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 【经典例题九 二次函数中新定义模型】 49．（25-26九年级上·广东广州·期末）对于实数和，定义新运算“”： （1）若，求实数的值； （2）设函数，若函数的图象与坐标轴恰有两个交点，求实数的取值范围． 50．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）定义；函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 （1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有_________（填序号）； （2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，请直接写出和的值． 51．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有相同的交点，（点在点的右侧），与轴的交点分别为，． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点是轴下方抛物线上的点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段与线段的长度的比值． 52．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由函数可知，，，根据，，求出，，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面的问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、、关于原点的对称点分别是、、．试证明经过点、、的二次函数与函数互为“旋转函数”． 53．（24-25九年级上·北京·阶段检测）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是． (1)函数和中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； (2)如果函数（，）的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围； (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 54．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，先将抛物线向右平移1个单位长度，再将平移后的图象位于直线上方的部分沿该直线向下翻折，得到如图所示的图象．当直线与图象有四个交点时，的取值范围是（   ） A． B．1 C． D． 3．（2026·广东汕头·一模）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2020，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，是直角三角形，．点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动）；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动；当其中一个动点到达终点时，则另一个动点也停止运动，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·山东日照·期中）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法：①；②（为全体实数）；③若图象上存在点和，当时，满足，则m的取值范围为；④若直线与抛物线两交点横坐标为分别为，．则不等式的解集为．其中正确个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26九年级上·广西梧州·期末）一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y与x之间的函数表达式是：________． 7．（2026·广东河源·一模）抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为________． 8．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为______． 9．（24-25九年级上·山东烟台·期末）将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是______． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知二次函数的图象经过点． （1）______； （2）将抛物线沿x轴平移n个单位，使平移后的抛物线经过点，则______； （3）当时，该二次函数y的取值范围为______． 11．（24-25九年级上·山东泰安·期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． (1)下列三个函数：①；②；③．其图象上存在“近轴点”的是哪几个函数； (2)若一次函数图象上存在“近轴点”，求的取值范围． 12．（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，抛物线的图像与轴交于点，点，与轴交于点，且． (1)求这个二次函数的解析式，并求出顶点的坐标； (2)若点为第一象限内抛物线上一点，求点坐标为多少时，的面积最大，并求出这个最大面积． 13．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线过点和点． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)将抛物线L沿y轴翻折得到抛物线，与x轴交于点B和点D（点B在点D的右侧），抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（25-26九年级下·北京海淀·期中）已知：二次函数． (1)把二次函数的表达式化成的形式，并写出顶点坐标； (2)已知二次函数的图象经过点． ①求a的值； ②点B在二次函数的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围． 15．（2026·山东济宁·二模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴的正半轴交于点C (1)求二次函数的表达式 (2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，BF，探究是否存在点D使得四边形ACFB的面积最大？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由 (3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，直接写点P的坐标；若不存在，说明理由 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数常考几何模型专训（9大题型+15道拓展培优题） 题型一 二次函数中的旋转模型 题型二 二次函数中的翻折模型 题型三 二次函数中的平移模型 题型四 二次函数中的轴对称模型 题型五 二次函数中的最值模型 题型六 二次函数中的存在模型 题型七 二次函数中特殊角度模型 题型八 二次函数中面积关系模型 题型九 二次函数中新定义模型 【经典例题一 二次函数中的旋转模型】 1．（2026·陕西西安·二模）已知抛物线：与轴交于、两点与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线绕原点旋转后得到抛物线，的顶点为，点为上的一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用待定系数法解得即可； （2）先确定抛物线的顶点，由于抛物线和抛物线关于原点对称，确定出抛物线的解析式，设，过点作轴交于点，由，得到直线的表达式为，进而求出用表示出点坐标和的长， 再根据的面积等于的面积得到关于的方程，最后求出的值得解． 【详解】（1）∵与轴交于、， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵， ∴． ∴． ：． ∴． ∵与关于原点对称， ∴， ∴． 设， 过点作轴交于点， 由，得到直线的表达式为． ∴． ∴． ∴，即， 解得，． ∴，． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征，其中用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与几何变换，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解本题的关键． 2．（25-26九年级上·上海青浦·阶段检测）定义：如果二次函数（、、、是常数）与（、、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”． (1)写出函数的旋转函数． (2)若函数与互为旋转函数，求的值． (3)已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”． 【答案】(1) (2) (3) 证明：当时， ， 解得：，， ，， 当时， ， 点A，B，C关于原点的对称点分别是、、， ，，， 设经过点，，的二次函数为：，则有 ， 解得：， ， 又 ， ， 两个函数互为“旋转函数”． 【分析】本题考查了新定义，待定系数法等； （1）由旋转函数的定义即可求解； （2）由旋转函数的定义求出、的值，代入计算，即可求解； （3）分别求出点A，B，C，由关于原点的对称规律求出、、，由待定系数法求出，由，即可得证； 理解新定义，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：设所求旋转函数为，则有 ， 解得：， ∴所求旋转函数的解析式为：； （2）解：由题意得， ， 解得， ． （3）略 3．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l，点P是直线l上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)将线段绕点P旋转，得到线段，点C的对应点为点Q，当点Q在抛物线上时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据旋转的性质求解，的图象与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分点Q在直线l左侧，点Q在直线l的右侧，点Q在抛物线顶点三种情况讨论，分别求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：当点Q在直线l左侧时，如图1， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴对称轴为直线， ∵将线段绕点P旋转，得到线段， ∴，， ∴C与Q关于直线l对称， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点Q在直线l的右侧时，如图2， 过点Q作于F，于E， 由旋转知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴点Q的坐标为， 代入中， 解得∶或（舍去）， ∴Q的坐标为， 当点Q在抛物线顶点时，如图3， 将线段绕点P旋转，得到线段，点C坐标为， 假设P点纵坐标与C点相同， ∵P点坐标为， ∴， ∵，，此时三角形为等腰直角三角形， ∴，Q点坐标为， ∴Q点在抛物线的顶点坐标处． 综上，点Q的坐标为或或． 4．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点为y轴上的动点，点P是第一象限抛物线上的动点，分别将点B、P绕点M旋转得到、，顺次连接得到四边形． (1)若点，求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)在（1）条件下，当时，求四边形面积S的最大值，并求此时点P的坐标； (3)当点P与抛物线的顶点重合时，探究满足什么条件时，存在点M，使得四边形为菱形？请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形面积S的最大值为，此时点P的坐标为； (3) 解：，理由如下： ∵抛物线与x轴相交于，两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； 如图所示，取中点H，则， ∵四边形为菱形， ∴， 由（2）可得三点共线，三点共线， ∴； ∴点M在以H为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当与y轴有交点时，存在M使得四边形为菱形， 当与y轴相切时，此时轴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴当时，与y轴有交点，即此时存在M使得四边形为菱形． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，切线的性质，两点间距离计算公式，求二次函数解析式等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）由旋转的性质得到，且三点共线，三点共线，则可证明四边形是平行四边形，得到；求出，进而得到直线的解析式为；过点P作轴，交于D，设，则，则，可求出，据此利用二次函数的性质求解即可； （3）可求出对称轴为直线，则，进而可得，则可求出抛物线的顶点坐标为；取中点H，则，由菱形的性质得到，则点M在以H为圆心，的长为半径的圆上运动，故当与y轴有交点时，存在M使得四边形为菱形，求出当与y轴相切时，a的值即可得到答案． 【详解】（1）解：把，，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：如图所示，连接， ∵分别将点B、P绕点M旋转得到、， ∴，且三点共线，三点共线， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵点B绕点M旋转得到， ∴点M为点B，点的中点， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴，交于D， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， 此时， ∴四边形面积S的最大值为，此时点P的坐标为； （3）略 5．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知点是第一象限内一点，且是以为直角边的等腰直角三角形，则点坐标为 ； （3）在直线左侧有一点，将抛物线的图象绕点旋转得到抛物线，其中点、的对应点分别是、，若以、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标并直接写出抛物线的表达式． 【答案】（1）；（2）（2，1）；（3）点M为（，）；抛物线的表达式为． 【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式； （2）设点D为（m，n），由等腰直角三角形的性质，得到AD⊥AC，AD=AC，，然后找出关系列出方程，即可求出点D的坐标； （3）设点M的坐标为（x，y），利用正方形的性质：对角线互相垂直且相等，得到，，则△AMC是等腰直角三角形，然后得到，再找出关系列出方程，即可求出答案． 【详解】解：（1）直接把点，点代入抛物线，则 ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）根据题意，设点D为（m，n）， ∵是以为直角边的等腰直角三角形，且点D在第一象限， ∴线段AD也是直角边，即AD⊥AC，如图， ∵， ∴①， ∵， ∴②， ∴联合①②式，解得（负值已舍去）， ∴点D的坐标为（2，1）； 故答案为：（2，1）； （3）由题意，设点M的坐标为（x，y）， 若以、、、为顶点的四边形是正方形， ∴点M是正方形的对称中心，也是对角线的交点， ∵正方形的对角线互相垂直且相等， ∴，， ∵，， ∴， ∵△AMC是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∵点M在直线AC的左侧， ∴点M的坐标为（，）； ∴点关于点M（，）对称的坐标为（，）， 点关于点M（，）对称的坐标为（，）； ∵抛物线的顶点坐标为（1，）， ∴绕点旋转后的顶点坐标为（，0）； 设抛物线的解析式为， 把点（，）代入，则 ， ∴， ∴抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，中心对称的性质，以及坐标与图形，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的分析题意，找出点的对应关系进行解题． 6．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（，为常数）与轴交于点，顶点为点．点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上找一点E，使得取得最小值，求E点坐标； (3)若点坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，连接，以，为邻边构造矩形． ①设的长为l，求l关于m的函数解析式； ②请直接写出当点P在矩形外部时，m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②点P在矩形外部时，或或 【分析】（1）把，点分别代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）确定点A、B是关于对称轴的对称点，连接点B与点C，与对称轴的交点就是线段和最小的位置，解得即可． （3） ①根据点M坐标为，点，线段的中点Q，得到，当即时，点在点A的右侧，此时；当即时，点在点A的左侧，此时，解答即可；②根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：把，点分别代入抛物线， 得， ∴， 故抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵，点满足， ∴两点是关于直线的对称点， 连接，交直线于点，则点就是满足取得最小值的点， ∵，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：①∵点坐标为，点， ∴线段的中点的横坐标为， ∴， 如图所示，点在点右边， ∴，即时，点在点A的右侧， 此时； 如图所示，点在点左边， ∴，即时，点在点A的左侧， 此时． 综上所述，l关于m的函数解析式为； ②点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为， 点坐标为，点是线段的中点，且， 第一种情况，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线上方，此时点在矩形外部， ∴在点中，，则，在点中，， ∴此种情况不存在； 第二种情况，如图所示，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线下方，过点作于点，当时点在矩形外部，， ∴，即， ∴，， ∴， 解得，或， ∴； 第三种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点右边，则，此时点在矩形外部， ∴； 第四种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点左边，点右边，则，当时点在矩形外部，， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点在矩形外部时，或或． 【经典例题二 二次函数中的翻折模型】 7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，二次函数图像顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． (1)该函数图像与x轴的另一个交点坐标为_______； (2)求这个二次函数的表达式； (3)若将该二次函数沿x轴翻折，则翻折后的图像的函数表达式为_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据抛物线的轴对称性质，得该函数图像与x轴的另一个交点坐标为，即可作答． （2）依题意，设二次函数的表达式为，再把代入，求出二次函数的解析式为，即可作答． （3）因为将该二次函数沿x轴翻折，且原函数的顶点坐标是，二次项系数是1，故翻折后的图像的函数的顶点坐标是，二次项系数是，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数图像顶点坐标为，与x轴其中一个交点坐标为． ∴， ∴该函数图像与x轴的另一个交点坐标为， 故答案为：； （2）解：∵该函数图像与x轴的交点坐标为和， ∴设二次函数的表达式为， 把代入， 得， 解得， ∴； （3）解：∵将该二次函数沿x轴翻折，且原函数的顶点坐标是，二次项系数是1， ∴翻折后的图像的函数的顶点坐标是，二次项系数是， ∴， ∴整理得， 则翻折后的图像的函数表达式为， 故答案为：． 8．（2026·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图①，折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．若，，求的面积； 问题解决 （2）如图②，某生态农庄计划建造一个形状为矩形ABCD的休闲区域，并在矩形区域内规划出一个区域开发成垂钓中心，其余区域开发成休息区，使点M，N分别在CD、BC上（点N可与端点重合），，，米．根据设计需求，要使的面积尽可能的小，请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值并求此时DM的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，面积的最小值为平方米，此时DM的长为300米． 【分析】（1）先证明，求出BF的长，然后根据面积公式求解即可； （2）连接BM，作的外接圆⊙O，根据求出∠MBC=30°，根据圆周角定理可得∠MAN=30°，从而得出，则可求，设，由勾股定理求得，代入后根据次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）由矩形ABCD可得，， ∴．由折叠得． ∴． ∴． ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． （2）连接BM，作的外接圆⊙O， 在矩形ABCD中，，， ∵， ∴AN是⊙O直径， 又， ∴点M在⊙O上． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，， ∴， 在中，， ∴ ∴当时，， 综上，存在符合设计要求的面积最小的，面积的最小值为平方米，此时DM的长为300米． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数，二次函数的最值问题等，构造△ABN的外接圆是解第2题的关键． 9．（2026·黑龙江·模拟预测）如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，，的长是一元二次方程的两个实数根，点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度向终点O运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，将沿直线折叠得到，设与矩形重合部分的面积为S，运动时间为t秒． (1)求点B的坐标； (2)求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当点D落在上时，点N在x轴上，直线上是否存在点M，使以D，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接与出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）解一元二次方程，推出，，可得； （2）点D落在上时，再分和两种情况分别计算即可； （3）求出点D落在上时点D，P，Q的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，设，，分点M在x轴下方，点M在x轴上方、下方，点M在上方三种情况，利用平行四边形的性质分别列式求解即可 【详解】（1）解：解方程， 得，． ∵，． ∴，， ∴点B的坐标为． （2）解：由题意，得，． 在中，， ∴． 由折叠可知，，． 当点D落在上时，如下图所示： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ①当时， ； ②当时，设与，分别交于点E，F． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，． （3）解：由（1）知，点D落在上时， 此时，，， ∴，，， ∴， ∴，，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 点N在x轴上，点M在直线上， ∴设，， 以D，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况： 当点M在x轴下方时，如图所示： 由平行四边形的性质可得，，， 即， 解得， ； 当点M在x轴上方、下方时，如图所示： 由平行四边形的性质可得，，， 即， 解得， ； 当点M在上方时，如图所示： 由平行四边形的性质可得，，， 即， 解得， ； 综上可知，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查解一元二次方程，矩形中的动点问题，解直角三角形，平行四边形存在性问题等，解题的关键是求出点D落在上时点D，P，Q的坐标，画出不同情况下点M和点N的位置示意图． 10．（24-25九年级下·广东惠州·期中）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若矩形的顶点，在位于轴上方的抛物线上，一边在轴上（如图2），设点的坐标为，矩形的周长为，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的前提下（即当取得最大值时），在抛物线的对称轴上是否存在一点，使沿直线折叠后，点刚好落在轴上？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为，； (3)或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、矩形的性质、轴对称的性质等知识，数形结合是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，根据对称性得到，则矩形的周长为，即可求出答案； （3）设点，由（2）可知，点，则点，沿直线折叠后，点刚好落在轴上，即为点， 由题意可知，，且,即，且，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）设点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点M和点F关于直线对称， ∴， ∴矩形的周长为， 即的最大值为，此时，即； （3）存在， 设点，由（2）可知，点，则点，沿直线折叠后，点刚好落在轴上，即为点， 由题意可知，，且, 即，且， 解得，， ∴或 11．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”．如，是“不动点”． 【迁移应用】如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，点，与轴交于点． (1)求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标； (2)若直线与抛物线有且只有一个交点，试求的值； (3)如图2，当时，将抛物线在直线上方的图像折叠，与原图像剩余部分组成如图所示的粗线部分为新的图象．若上恰好有3个“不动点”，则的值为______． (4)如图3，点为“不动点”，点是抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点，，使？若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线上“不动点”的坐标为或 (2)； (3) (4)存在，点坐标为或． 【分析】 本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，令，求出不动点即可； （2）联立得，令，求出的值即可； （3）当直线和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线和直线只有一个交点，则直线、关于直线设该直线和轴的交点为对称，则是的中点，即可求解； （4）分点在抛物线内部和点在抛物线外部两种进行讨论，利用相似三角形的判定与性质求出点M的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， ∴， 当时，， 解得：或， ∴抛物线上“不动点”的坐标为：，； （2）解：联立得，即， 则， 解得； （3）解：由题意，设“不动点”所在的直线表达式为：，如图直线， 当直线和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线和直线只有一个交点， 则直线、关于直线设该直线和轴的交点为对称，则是的中点， 联立和原抛物线得：， 则，则， ∴直线，当时，， ∴， ∵是的中点， ∴， 把代入，得：； （4）解：存在，理由： ∵，，， ∴，，， 则，即为直角三角形，且， ， ∴，， ∴， 设点， ①当点在抛物线内部时，过点作轴，交轴于点，作交的延长线于点， 则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∵在抛物线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点； ②当点在抛物线外部时，过点作轴，交轴于点，作于点， 同法可得：， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； 综上：点坐标为或． 12．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示： 【问题】 （1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴的另一个交点为，则_____，点的坐标为_____． 【操作】 （2）将图①中的抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：_____ 【探究】 （3）在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数随的增大而增大时，的取值范围是_____． 【应用】结合上面的操作与探究，继续思考： （4）如图③，若抛物线与轴交于，两点（在左），将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象． ①求、两点的坐标；（用含的式子表示） ②当时，若新图象的函数值随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】（1）1，（2）（3）或（4）①②或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，运用数形结合思想是解题的关键； （1）把代入可求得a的值；令，即可求得二次函数与x轴的另一个交点的坐标； （2）先写出沿x轴折叠后所得抛物线的解析式，根据图象可得对应取值的解析式； （3）根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大，写出x的取值； （4）①令，即可求得二次函数与x轴的交点A，B的坐标； ②根据图象写出关于h的不等式，进而求得h的取值范围． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 ， 解得， 令， 解得 ， 二次函数与x轴的另一个交点的坐标为： ， 故答案为：1，； （2）解：抛物线的顶点坐标为：， 翻折后抛物线开口向下，顶点坐标为：， 故翻折后这部分抛物线对应的函数解析式为：， 故答案为：； （3）解：根据图象呈上升趋势的部分，即y随x增大而增大时， x的取值范围为：或； （4）解：①令， 解得：， ； ②当时，新图象的函数值y随x增大而增大， 或， 解得：或． 【经典例题三 二次函数中的平移模型】 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系 中，将抛物线沿y轴向上平移1个单位长度，再沿x轴向右平移2个单位长度，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线与平移后的抛物线相交于B，与直线相交于C． (1)求平移后抛物线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）二次函数图象平移口诀：左加右减，上加下减； （2）先根据抛物线解析式写出点A坐标，再求出直线的解析式，求出点B，点C的坐标，根据图象和三角形面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：将抛物线沿轴向上平移1个单位长度，再沿轴向右平移2个单位长度，得到平移后抛物线的解析式为：； （2）∵平移后抛物线的解析式为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 将代入，得， 点的坐标为， 将代入得：， 点的坐标为， 图象大致如下： ， ． 【点睛】二次函数图象平移口诀：左加右减，上加下减；正比例函数的解析式为，函数几何结合采用数形结合的思想． 14．（2026九年级·浙江温州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． (1)求该抛物线的函数表达式和对称轴． (2)将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 【答案】(1)；直线 (2)， 【分析】（1）根据待定系数法即可求解解析式，进而可知对称轴； （2）根据平移的性质即可求得坐标，进而代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ． ， ，， ，， 代入到抛物线的表达式得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线． （2）解：由（1）得，点， 由平移的性质得，点，， 将点代入函数表达式可知： 解得或（舍去）． 15．（2026·上海松江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，，抛物线经过A、B两点，顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，求四边形的面积； (3)将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)四边形的面积为7 (3)满足条件得P点坐标为或 【分析】（1）根据，求得点A的坐标，代入即可求得抛物线解析式； （2）由旋转可得出，再求出抛物线顶点，利用勾股定理及其逆定理可得，根据，即可求得答案； （3）根据平移规律可得平移后的抛物线解析式为，分两种情况：①若点P在x轴上方时，②若点P在x轴下方时，分别求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入抛物线，得， 解得：，′ ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵将绕点A顺时针旋转后，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，且， ∴ 即四边形的面积为7． （3）解：当时，， 可知抛物线经过点， ∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位过点， ∴平移后得抛物线解析式为：； ①若点P在x轴上方时，作轴，交抛物线于P点， ∴， ∴点P与点C关于抛物线的对称轴直线对称， ∴； ②若点P在x轴下方时，如图2，作的中垂线，与x轴交与E点，联结并延长，交抛物线于P点， 根据线段的垂直平分线的性质可得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 作轴，垂足为H，则， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 解得：（舍去），， 当时， ∴P， 综上所述，满足条件得P点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移变换，旋转变换的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数等，第（3）小题分两种情况讨论是解题关键． 16．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数解析式和顶点坐标． (2)坐标平面内存在点，满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离． (3)在二次函数图象上取点（不与点重合），使得在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)二次函数解析式为，顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分别将代入即可求出二次函数解析式，化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）根据题意可设，可知，求解即可； （3）求出点C坐标，根据题意分情况得到的纵坐标，再代入二次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：分别将代入得： ， 解得： ∴二次函数解析式为， ∴顶点坐标为； （2）解：∵点满足向左、向右或向下平移个单位后均落在二次函数图象上， ∴点在对称轴上，设， ∴点向右平移个单位后的坐标为， ∴， 解得（舍去），； （3）解：当时，，即， 当D在C左侧时，二次函数的最小值为， ∵在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1， ∴的纵坐标为4， 此时， 解得（舍去），， ∴点的坐标为； 当D在对称轴右侧时，二次函数的最小值为， ∵在之间的图象上（含两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1， ∴的纵坐标为5， 此时， 解得（舍去），， 点的坐标为； 当D在C右侧且在对称轴左侧时，此时二次函数的最大值为，不符合题意，舍去； ∴综上所述，点的坐标为或． 17．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作交于点，为轴上一动点，当线段的长度取得最大值时，求点的坐标； (3)在平面内，将抛物线沿射线方向平移，当平移后的新抛物线经过点时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)当，最大，且最大值为， (3)点M的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点P作轴，交于点H，交x轴与点N，先确定直线的解析式为：，设，则，则，利用配方法得到，结合，根据抛物线性质解答即可； （3）根据题意，确定这是一个向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度的平移变换，设平移后抛物线的解析式为，，确定解析式，取的中点，连接，交抛物线于点，此时；过点作，交抛物线于点，此时． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，， ，解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线的解析式为，得， ∴， ∴， 过点P作轴，交于点H，交x轴与点N， 则， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ，解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则 ∴ ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当，最大，且最大值为， ∴； （3）解：根据题意，得， 由抛物线沿射线方向平移，且， 故设该平移变换是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换， 故设平移后抛物线的解析式为，， 由平移后的新抛物线经过点时停止平移， ∴把点代入得：， 整理，得，解得， 故平移后抛物线的解析式为，即， 取的中点K，连接，交抛物线于点M， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得， ∴，符合题意， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，得， 解得或（舍去）， ∴，此时； 过点作，交抛物线于点， ∴，符合题意， 设直线的解析式为 ∵，， ∴，解得， ∴直线的解析式为：． ∵， ∴直线的解析式为：． 联立，得， 解得或（舍去）， ∴， 此时； 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，构造二次函数求线段的最值，直角三角形的性质，两点间距离公式，三角函数的应用，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键． 18．（25-26九年级上·四川巴中·期中）在平面直角坐标系中，已知点，在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，若直线与抛物线交于点、，连接和，直接写出的正切值． (3)在（2）的条件下，为抛物线上的一点（点与点不重合），当的面积与的面积相等时，求出点的坐标． (4)如图2，已知点，，抛物线向左或向右平移后，点、点的对应点分别为、当四边形的周长最小时，请直接写出平移后抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或或 (4) 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）用待定系数法即可求解； （2）证明为直角三角形且为直角，即可求解； （3）设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于点，在点上方取点使，过点作直线交抛物线于点、，则点、、为所求点，进而求解； （4）过、作轴平行线，作关于直线的对称点，过作，且，连接交直线于，过作，交直线于，通过作图可知：四边形和四边形是平行四边形，此时转化到一条直线上，最小，最小值为的长度，而、为定值，此时四边形的周长最小，进而求解． 【详解】（1）解：将点，，代入得： ，解得， 抛物线的表达式为：． （2）联立和得： ，解得，． 故点、的坐标分别为、． 则，，， ． 为直角三角形且为直角， ． （3）设直线交轴于点，过点作直线交抛物线于点，在点上方取点使，过点作直线交抛物线于点、，则点、、为所求点， 则点， 直线的表达式为：， 直线的表达式为：， 联立和得： ，解得（舍去），． 点． 联立和得： ，解得． ，． 综上所述，点的坐标为：或或． （4）过、作轴平行线，作关于直线的对称点，过作，且，连接交直线于，过作，交直线于，连接，如图， 作图可知：四边形和四边形是平行四边形， ，，，． ，． ∴四边形是平行四边形， ． ∵关于直线的对称点， ． ． ． 此时转化到一条直线上，最小，最小值为的长度， 而、为定值， ∴此时四边形的周长最小． ∵关于直线的对称点， ． ∵四边形是平行四边形，，， ． 设直线解析式为， 则，解得， 直线解析式为． 令，，解得． ． ． 即抛物线向右平移个单位后，四边形的周长最小， 此时抛物线为． 则抛物线的顶点坐标为：． 【经典例题四 二次函数中的轴对称模型】 19．（24-25九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线和线段，其中点，点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点． (1)求直线的解析式； (2)点在抛物线上，且与点关于对称轴对称，连接，，，射线交轴于点，连接，，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求的值；如果不能，说明理由； (3)若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)四边形能构成平行四边形，； (3)的取值范围为或 【分析】本题考查待定系数法，平行四边形性质及应用，二次函数与一元二次方程的关系等，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）设的解析式为，用待定系数法可得直线的解析式为； （2）由，，，知向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，故当向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到时，四边形是平行四边形，即得； （3）联立，得，当时，即时，直线与抛物线只有一个交点，交点在线段上，当时，即，直线与抛物线有两个交点，若抛物线过时，，得，当抛物线过时，，得，由图可得抛物线L与线段只有一个交点，m的取值范围为或． 【详解】（1）解：设的解析式为， 把点，点代入得，， 解得， 直线的解析式为； （2）解：四边形能构成平行四边形，理由： ∵， 抛物线顶点，对称轴为直线， 当时，， 点， 、都在抛物线上，且关于对称轴对称， ， ，，， ，且， ， ，，， 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到， 当向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到时，四边形是平行四边形， ∵在轴上， ， ； （3）解：联立， 整理得：， ， 当时，即时，直线与抛物线只有一个交点，交点在线段上，如图： 当时，即时，直线与抛物线有两个交点， 若抛物线过时，， 解得， 此时直线与抛物线有两个交点，坐标分别为，都在线段上；如图： 当抛物线过时，， 解得， 此时直线与抛物线有两个交点坐标分别为，，只有一个点在线段上；如图： 综上所述，抛物线与线段只有一个交点时，的取值范围为或．． 20．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线L：与x轴交于两点，抛物线与L关于y轴对称． (1)求抛物线L的解析式； (2)M为抛物线L上一点，过点M作轴交于点N，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接写出交点式即可得出结果； （2）根据对称性求出抛物线的解析式，分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线L：与x轴交于两点， ∴； （2）解：∵抛物线与L关于y轴对称， ∴抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线的解析式为， 设， ∵轴交于点N， ∴设， ∴当以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，分2种情况讨论： ①当四边形为平行四边形时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； ②当四边形为平行四边形时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴； 综上：或． 21．（2026·陕西·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上且横坐标为6． (1)求点的坐标； (2)点在抛物线上且与点关于对称轴对称，连接，在抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或 【分析】将代入，即可得点的坐标，将代入，即可得点的坐标； 由点的坐标，可得的面积与抛物线的对称轴，从而得的面积及D点坐标，得，再根据的面积即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：令，则， 解得或 ， 点的横坐标为6， 当时， ； （2）解：如图， ，抛物线的对称轴为， 点在抛物线上且与点关于对称轴对称，，对称轴为， ，点到轴的距离为 ， ， ，即， 当点在上方时，，即， 解得或， ， 当点在下方时，，即 ， 综上，存在点，使得点满足要求，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数中的面积问题，会运用分类讨论的思想解决数学问题，由坐标表示线段长度时，要考虑加绝对值符号． 22．（25-26九年级上·广西梧州·期中）如图，已知抛物线经过点和． (1)求出抛物线的解析式； (2)点 与点Q均在抛物线上（其中），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q的坐标； (3)在满足（2）的情况下，在抛物线的对称轴上存在点E，使得△QEA的周长最小，请求点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先得到点P在直线上，联立求出点P的坐标即可求出m的值，再根据P、Q都在抛物线上切关于对称轴对称即可求出点Q的坐标； （3）作点A关于对称轴对称的点C，连接，则 ，由轴对称的性质可得的周长，则当三点共线时，最小，即的周长最小，求出直线的解析式即可求出点E的坐标 ． 【详解】（1）解：把、代入抛物线解析式中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为，即， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点P和点Q均在抛物线上，且这两点关于抛物线的对称轴对称， ∴点Q的坐标为 （3）解：作点A关于对称轴对称的点C，连接，则 ， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即的周长最小， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，则， ∴点E的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，灵活运用所学知识是解题的关键． 23．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连结，作直线． (1)求b、c的值； (2)求点A、B的坐标； (3)求证：； (4)点P在抛物线上，点Q在直线上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)，； (2)、的坐标分别为、； (3) 证明：由抛物线的表达式知：点， 则点， 则，，， ，， ； (4)点的坐标为：或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）令，解得或，即可求解； （3）由，，即可求解； （4）当为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式列出方程组，进而求解；当、是平行四边形的对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 即，； （2）解：令， 解得：或， 故点、的坐标分别为、； （3）略 （4）解：设点，点，， 当为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：， 整理得：， 解得：舍去或， 则， 即点； 当是平行四边形的对角线时，可得：， 解得：， 即点； 当是平行四边形的对角线时，可得：， 解得：， 即点的坐标为或， 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，解直角三角形，平行四边形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 24．（2026·山东临沂·二模）【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （2）先得出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （3）先求出点的坐标，则可得抛物线的解析式，再分两种情况：①和②，利用抛物线的增减性求出最小值，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，即， ∴抛物线的表达式为， 将点代入得：， 解得． （2）解：∵点的坐标， ∴由题意得：点的坐标为， 将点代入得：， 解得． （3）解：∵扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称， ∴轴， ∵点的坐标为，顶点到线段的距离为，扩音口宽度为， ∴，， ∴抛物线的表达式为， 由（2）已得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； ②当时， 在内，随的增大而减小， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； 综上，此时的值为或． 【经典例题五 二次函数中的最值模型】 25．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）已知二次函数，当时，求函数y的最小值和最大值．彤彤的解答如下： 解：当时，则； 当时，则； 所以函数的最小值为2，最大值为4． 彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 【答案】不正确，二次函数的最大值为4，最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性和增减性，二次函数的最值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据二次函数的性质，先求出其对称轴，然后确定函数图像的增减性，利用增减性和对称性求解即可得到答案． 【详解】解：彤彤的解答不正确， ∵ ∴二次函数的对称轴， ∵，且， ∴当时，二次函数有最小值， 二次函数在时，随增大而减小，二次函数在时，随增大而增大， ∵， ∴当时，二次函数有最大值， ∴二次函数的最大值为4，最小值为． 26．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线（是常数）． (1)若抛物线经过点． ①求的值； ②当时，函数的最大值与最小值的差是，求的取值范围． (2)已知，，若二次函数的图像与线段有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的综合应用，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （）①利用待定系数法解答即可求解；②由①可得，即得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，又可得和时，进而根据及函数的最大值与最小值的差是即可求解； （）由解析式可得抛物线开口向上，顶点坐标为，根据图象解答即可； 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点， ∴， 整理得，， 解得； ②∵， ∴抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵时，， ∴由对称性可得，当时，， ∵当时，函数的最大值与最小值的差是，且， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 解得：或； 当时，， 解得：或； ∵，， 如图，当抛物线过点时，或； 当抛物线过点时，或； 根据图象可得，当二次函数的图像与线段有且只有一个交点时，或， 综上，当或时，二次函数的图像与线段有且只有一个交点． 27．（25-26九年级下·河南郑州·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． (1)求点的坐标和抛物线的解析式． (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． (3)点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）先利用点求出直线的解析式，再求出点，最后使用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分为，和三类讨论，结合抛物线的增减性求出每种情况的最大值和最小值，判断两数之差是否为定值即可； （3）根据题意，点，，结合线段与抛物线有一个公共点可得不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， ①当时， ∴在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 不是定值，不符合题意； ②当时， ∴抛物线在顶点处取得最大值，即当时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最小值， 为定值，符合题意； ③当时， 同理，当时，取得最大值；当时，取得最小值； 不是定值，不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：根据题意，点的坐标为， ∵点向上平移两个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴， 由①得， 由②得或， ∴点的横坐标的取值范围为或． 28．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，抛物线，抛物线，图像与图像组合成图像． (1)求的顶点坐标，并直接写出中函数值随增大而减小时的取值范围； (2)求图像上到轴的距离为3的点的坐标； (3)在图像上取点，（与不重合），的横坐标为，的横坐标为．，之间的图像记为，当图像对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)，， (3) 【分析】（1）根据，可得顶点坐标和随增大而减小的值的范围； （2）分，两种情况解答； （3）根据顶点和函数与y轴交点 ，可知图像K的函数值范围为，最大值最小值不受自变量变化影响，根据时，，当时，，得，得，或，即得． 【详解】（1）解：∵， 开口向上，对称轴为直线，的顶点坐标为， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴随增大而减小的x取值范围是； （2）解：对，令，则， 解得，，， ， 对，令，则， 解得，（舍），； ， 综上，满足图像上到轴的距离为3的点的坐标有，，； （3）解：对，，，开口向上，顶点， ∴当时y有最小值2，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∵当时，， ∴图像与y轴交点 ； 对，，，开口向下，顶点不在范围，当时，y随x的增大而增大； ∴当图象K的函数取值范围为，最大值和最小值不受自变量变化而变化， 当时， 解得或（舍去）， 当时， 解得， 当时，解得或， 若，则，不合题意， 若，则，此时，不合题意， ∴， 或， 即， 综上，的取值范围为． 【点睛】本题考查分段二次函数．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的对称性和增减性，点到x轴的距离，二次函数与一元二次方程，分类讨论，是解本题的关键． 29．（2025·安徽淮北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，与轴相交于点，抛物线与轴的两个交点分别为点，． (1)求，的值； (2)当时，的最大值与最小值的差为，求的取值范围； (3)若为线段的中点，且点在第二象限内，为抛物线的顶点，当的面积最小时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，二次函数最值问题等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由抛物线，则当时，；当时，，从而可求出的取值范围； （）联立得，求出点的坐标为，则点，过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点，通过面积公式得，然后由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得， 解得； （2）解：由（）知， ∴抛物线， 当时，；当时，， ∵点的坐标是， ∴的取值范围是； （3）解：由（）知，点的坐标为， 联立得， ∴， 解得，， 当时，， ∴点的坐标为， ∵点， ∴点， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，轴于点， 则，，，，， ∴ ， ∴当时，最小， ∴的值为． 30．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段上方抛物线上的一动点，连接，，点M是y轴上一个动点，连接，，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将原抛物线沿着方向平移，使得新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一个交点记为点E，与原抛物线的对称轴的交点记为点D．已知点N为新抛物线上的一点，且，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求其中一个点N的过程． 【答案】(1) (2) (3)或， ∵将原抛物线沿着方向平移，， ∴将原抛物线沿着方向平移，可以看成抛物线向右平移m个单位长度，向下平移m个单位长度， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍）或， ∴抛物线的解析式为； 当时，， 解得或， ∴， ∵原抛物线的对称轴为直线， ∴， 取，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴N点在直线上， ∵，， ∴设直线的解析式为，，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， 当时， 解得或， ∴； 作点F关于直线的对称点G，则，过点G作轴于，轴于，则四边形为矩形， ∵直线的解析式为， ∴设直线与y轴的交点为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵，中， ∴， 解得或（舍）， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， 解得或， ∴； 综上所述：N点坐标为或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于Q点，设设，则，则的面积，当时，的面积最大，此时，作B点关于y轴对称点，连接交y轴于点M，当P、、M三点共线时，的最小值为； （3）设抛物线向右平移m个单位长度，向下平移m个单位长度，则平移后的抛物线解析式为，将点B代入可求抛物线的解析式为；分别求出，，取，连接，由，可推导出，所以N点在直线上，直线与抛物线的交点为N；作点F关于直线的对称点G，过点G作轴，设直线与y轴的交点为，由，可得，设，则，再由，求出，则直线与抛物线的交点为N． 【详解】（1）解：将点，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴将代入得， 解得， ∴， 过点P作轴交于Q点， 设，则， ∴的面积， 当时，的面积最大，此时， 作B点关于y轴对称点，连接交y轴于点M， ∵， ∴， 当P、、M三点共线时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）略 【经典例题六 二次函数中的存在模型】 31．（2025九年级下·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系运动中，已知二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)图象上有两点． ①若，求的值； ②探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①存在最小值为0 【分析】本题考查待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①先由已知求得，再代入求得； ②由于，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由已知，二次函数的图象经过点， ∴， 解得． （2）解：①由题意，， ∴． ； ②存在最小值． 由， 得存在最小值为0． 32．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于两点（点在点的左边），点是该函数图象的顶点． (1)求点的坐标； (2)在二次函数的图象上是否存在点P，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点坐标为 (2)点坐标为或 【分析】（1）将点代入二次函数解析式中，解得二次函数解析式，令求出点的坐标，将二次函数转化为顶点式，得到顶点的坐标； （2）将点的坐标设出来，根据求出的面积，从而解出点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴抛物线解析式为； 当时，，解得，则， ∵， ∴点坐标为． （2）解：存在．理由如下： 设， ∵， ∴， 得， 当，解得， 此时P点坐标为或， 当时，方程没有实数解． 综上所述，P点坐标为或． 33．（25-26九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 34．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，且． (1)求二次函数的解析式； (2)x轴上存在点P使得的面积为12，请求出点P坐标． (3)作直线，问抛物线上是否存在点M，使得，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或． (3)M的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据，得出点的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）设点坐标为，根据三角形面积公式列方程即可求解； （3）分点在点的上方和下方两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵抛物线过，， ∴，解得：， ∴； （2）解：设点坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或． （3）存在， ∵， ∴， 如图，分以下两种情况：    ①当点在点上方时，交轴于，， ∴， ∴，即 解得：， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴， ②当点在点下方时，交轴于， ， 同理可求， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得：， ∴， 联立，解得：或， ∴． 综上：或． 35．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)点坐标为 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识． （1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点在线段的垂直平分线上，则可求得点纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标； （3）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大时点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把，，三点坐标代入可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在，理由如下： 作的垂直平分线，交于点，交下方抛物线于点，如图1， ，此时点即为满足条件的点， ∵， ， 点纵坐标为， 代入抛物线解析式可得，解得（小于0，舍去）或， ∴存在满足条件的点，其坐标为； （3）解：由题意可设， 过作轴于点，交直线于点，如图2， 设直线解析式为，则有： ，解得：， ∴直线解析式为， ， ， ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴点坐标为． 36．（2026·山东威海·模拟预测）已知，如图1，抛物线与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，对称轴交于点E，交x轴于点D，且． (1)求抛物线解析式； (2)在对称轴上是否存在一点F使？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，若点P是第一象限抛物线上一点，过点P作轴于点Q，轴于点H，交抛物线于点N，过点N作轴于点M．直线l是过点Q的任意一条直线，设点P、M到直线l的距离分别为，当时，求的最大值． 【答案】(1) (2)存在，点F的坐标为或 (3) 【分析】（1）首先确定点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）连接，首先确定该抛物线对称轴为，进而确定，；由对称性可得，，进而可得，再证明，易得为等腰直角三角形，可得，；证明为等腰三角形，可得，进而确定点坐标；根据对称性，确定当点在轴下方时的坐标，即可获得答案； （3）设，过点作于点，过点作于点，分点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点下方、点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点上方、点在该抛物线的对称轴的左侧三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：对于抛物线， 当时，可得，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， 将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为； （2）存在， 当点在轴上方时，如下图，连接， ∵该抛物线对称轴为， ∴， ∴， 由对称性可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由对称性可知，当点在轴下方时，可得 综上所述，点F的坐标为或； （3）设，过点作于点，过点作于点，则， 分三种情况讨论， 情况1，当点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点下方时，如下图，连接，设与直线交于点，此时， 则， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在和中，， ∴， ∴当三点重合时，取最大值， 即的最大值； 情况2，当点在该抛物线的对称轴的右侧且点在点上方时，如下图，连接，设与直线交于点，此时， 则， ∵， ∴，解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∵轴，轴，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴在和中，， ∴， ∴当三点重合时，取最大值， 即的最大值； 情况3，当点在该抛物线的对称轴的左侧时，如下图，连接，设与直线交于点，此时， 则， ∵， ∴，解得，， ∵， ∴此种情况下，符合题意的点不存在． ∵， ∴的最大值为． 【经典例题七 二次函数中特殊角度模型】 37．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）情境阅读：初三第一次考试10月份阶段评价马上来临，小明同学在数学复习时，再读了九年级上册书中“一元二次方程”的“数学活动”，重新思考了“活动围长方形”下图呈现的是“活动围长方形”的介绍及“小明发现”的内容： 请根据“小明发现”，分别应用一元二次方程和二次函数来解决以下问题： “能围出面积为的长方形吗？”（注：此题给出两种解决方法才能给满分） 活动  围长方形 小明发现，之前是根据一元二次方程的根的情况解决了这个问题，现在可以从二次函数最值角度解决…… 用一根的细绳围长方形 试一试，你能围出面积是的长方形吗？如果可以，计算它的长和宽，如果不可以，通过计算说明理由． 【答案】 不能围出面积是的长方形， 理由：方法一： 设长方形的长为，围成的面积为， 则， 整理得，， ∵， ∴当时，y取最大值，最大值为900， ∴用长度为长的细绳围成的长方形面积最大值为， ∴不能围出面积是的长方形； 方法二：不能围出面积是的长方形，理由如下： 设长方形的长为， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴方程无解， ∴不能围出面积是的长方形． 【分析】方法一：设长方形的长为，围成的面积为，可得，由二次函数的性质即可求解； 方法二：设长方形的长为，可得，根据根的判别式即可求解． 【详解】略 【点睛】本题考查二次函数的实际应用、一元二次方程的实际应用，理解题意列方程和关系式是解题的关键． 38．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，交y轴于点C．已知A（﹣3，0），C（0，﹣3），抛物线的顶点为点D．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式，直接写出顶点D的坐标． （2）P是抛物线上的一动点，当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为 ． 【答案】（1），（-1，-4）；（2）（-2，-3）或（-4，5） 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，抛物线过 A（﹣3，0），C（0，﹣3），代入解析式得：，解方程组，求出解析式配方为顶点式即可； （2）先用待定系数法求出AC解析式，设PB解析式为，过点B（1，0）根据PB∥AC，得出，PB解析式为，联立方程组求解得出点P（-4，5）再根据OA=3，OC=3，∠AOC=90°，OA=OC，△AOC为等腰直角三角形，当PB⊥AC时，∠CAO=∠OBP=45°，△EOB为等腰直角三角形，求出PB解析式为，联立方程组即可． 【详解】解：（1）∵抛物线过 A（﹣3，0），C（0，﹣3），代入解析式得： ， 解得：， 抛物线， 抛物线， 抛物线的顶点（-1，-4）； （2）当PB∥AC时，∠CAO=∠PBO， 设AC解析式为把A、C坐标代入得： ， 解得， AC解析式为， 设PB解析式为，过点B（1，0）， ∵PBAC， ∴， ∴， ∴， ∴PB解析式为， 点P在直线PB与抛物线上， ∴， 消去y得， 解得， ，点P（-4，5）， ，点B（1，0）， ∵OA=3，OC=3，∠AOC＝90°，OA=OC， ∴△AOC为等腰直角三角形， 当PB⊥AC时，∠CAO=∠OBP=45°，PB交y轴于E， ∵∠BOE=90°， ∴OE=OB=1， 点E（0，-1）， 设BE解析式为，把B、E坐标代入得： ， 解得， ∴BE解析式为， 点P在直线BE与抛物线上， ， 消去y得， 解得， 当，P（-2，-3）， 当，B（1，0）． 综合得当∠PBO＝∠CAO时，则点P的坐标为（-2，-3）或（-4，5）． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，配方顶点式，一次函数解析式，联立方程组，解方程组，分类讨论思想，掌握待定系数法求抛物线解析式，配方顶点式，一次函数解析式，联立方程组，解方程组，分类讨论思想是解题关键． 39．（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，点为抛物线上第一象限内的一个动点．    (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当的面积为4时，求点D的坐标； (3)该抛物线上是否存在点D，使得，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可； （2）过点D作的平行线交y轴于点M，设点M的坐标为，使得的面积为4，求出，得出直线的解析式为，的解析式为，，联立，即可得出答案； （3）当时，取点，连接，得出，再求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入得： 解得： 故抛物线的解析式为 （2）如图2：过点D作的平行线交y轴于点M，    设点M的坐标为，使得的面积为4，， ∴， ∵点，， ∴直线的解析式为， ∵， ∴的解析式为：， 联立抛物线解析式， 解得，， ∴点D的坐标为； （3）当时，取点，连接，如图3所示．    ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵点，， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立直线及抛物线的解析式成方程组得：， 解得： （舍去），， ∴点D的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数解析式，二次函数解析式，利用待定系数法求解是解题的关键． 40．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线对称轴上的一个动点，连接．当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题属于二次函数的综合应用，考查待定系数法求解析式，三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）设，则，，由得：，得到，求解即可； （3）当时，，则，而对称轴为直线，即可求点． 【详解】（1）解：把代入中，得： ，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：记对称轴交轴于，交于点，作于点，    抛物线对称轴为：直线， 把代入中，得：， ∴点坐标是， 设直线， 把，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为 设，则， ∴， ∵， 由得：， ∴ 整理得： 解得： ∴点的坐标为或； （3）解：存在，如图： 当时， ， ∴， 抛物线对称轴为：直线， ∴． 41．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 (3)存在， 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，然后即可求出抛物线与轴和轴的交点坐标； （2）分三种情况，先确定四边形的对角线，找到对角线的中点，然后根据中点坐标公式即可求解； （3）如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于，即，点即为所求；证明，则，，待定系数法求直线的解析式为，将代入，计算求解，进而可得． 【详解】（1）解：将，代入解析式得， ， 抛物线的解析式为， 点的坐标为； （2）解：由题意知，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况求解； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 当为对角线，则为对角线， 设的中点为，则， 设， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或； （3）解：存在，理由如下； 如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于， ∵，， ∴，即，点即为所求； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 由题意知，的对称轴为直线， 将代入得，， ∴， ∴存在，． 【点睛】本题综合考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与平行四边形综合，二次函数与角度综合，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与平行四边形综合，二次函数与角度综合，一次函数解析式是解题的关键． 42．（2026·湖南株洲·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线对称，点A的坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是y轴上一点，，求点P的坐标； (3)当时，二次函数的最小值为2a，求a的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）二次函数的对称轴是直线，求出，将A的坐标代入中，即可求解； （2）先求出B、C的坐标，进而推出，再分点P在点C上方时，，当点P在点C下方时，，两种情况求出点P的坐标即可； （3）分三种情况利用二次函数的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入中， 解得． ∴二次函数的表达式为； （2）解：在中，令，则，令，解得或， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点C上方时， ∵， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 当点P在点C下方时，则， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：①若，即时， 则当时，函数值最小， ∴， 解得：或（舍去）； ②若，即时， 则当时函数值最小， ∴， 解得：（不合题意）； ③若， 则当时函数值最小， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线与一元二次方程的关系及抛物线与不等式的关系等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【经典例题八 二次函数中面积关系模型】 43．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求这个二次函数的关系解析式； (2)点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在点，使的面积最大，点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）连接，设点的坐标为，根据列式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点、， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设点的坐标为，，    ∴ ． ，， ∴当时， 有最大值， 此时． ∴存在点，使的面积最大，点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值等知识点，根据题意表示出的面积是解答本题的关键． 44．（2026·河南平顶山·模拟预测）考向预测综合与实践综合与实践 【活动背景】随着科技的不断进步，扫地机器人已经深入千家万户，成为现代家庭清洁的得力助手． 【活动调查】为了解A，B两款扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间，某实验小组成员分别随机调查了A，B两款扫地机器人各10台，记录下它们运行的最长时间（单位：分钟），并对数据进行整理、描述和分析[运行最长时间用x（分钟）表示，共分为四组：不合格，合格，良好，优秀]，下面给出了部分信息： 10台A款扫地机器人一次充满电后运行最长时间分别是：111，88，95，104，98，107，104，102，97，104． 10台B款扫地机器人一次充满电后运行最长时间属于良好的数据分别是：102，103，105，101，104，102． A，B两款扫地机器人运行最长时间统计表 平均数 中位数 众数 方差 A 101 103 a 39.4 B 101 b 102 43.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据调查数据，该实验小组成员认为A款扫地机器人的性能更好，请你说明理由． 【实验操作】 为进一步了解A款扫地机器人需要多久能充满电，以及充满电后扫地机器人的最大打扫区域面积，该实验小组成员设计了两组实验． 实验Ⅰ：探究充电状态下扫地机器人显示屏显示增加的电量y（）与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 表1 扫地机器人充电状态 时间t/分钟 0 20 100 120 … 增加的电量y/% 0 10 50 60 … 观察表1，发现y与t成一次函数关系，表达式为． 实验Ⅱ：探究充满电后扫地机器人打扫过程中显示屏显示剩余的电量e（）与已打扫区域面积s（平方米）的关系，数据记录如表2； 表2 扫地机器人打扫过程 已打扫区域面积s/平方米 0 160 320 340 … 剩余的电量 100 60 20 15 … 【建立模型】 (3)观察表2，猜想e关于s的函数关系为______（填序号），并写出e关于s的函数表达式：______． ①一次函数；②反比例函数；③二次函数 【解决问题】 (4)已知该款扫地机器人设计了智能断点续扫功能，电量低于时自动回充后再继续清洁．在某次清扫过程中，扫地机器人显示剩余电量是，还有300平方米的区域未打扫，在自动回充前能否完成打扫？若能，请说明理由；若不能，最少还需要充电多少分钟才能完成打扫？ 【答案】(1)104，102，10； (2)A款扫地机器人运行最长时间的平均数与B款相同，但中位数和众数均大于B款，且方差小于B款； (3)①；； (4)不能，最少还需要充电10分钟才能完成打扫． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求得，再求得优秀的占比即可解答； （2）利用平均数，中位数做决策即可解答； （3）根据表格数据即可判断，再利用待定系数法即可解答； （4）将代入，可得，再结合题意判断即可． 【详解】（1）解：根据题意可得104出现的次数最多，所以众数； 根据题意可得B款数据合格和不合格的数据之和为个， 则B款数据中第5个为，第6个为， 所以中位数； ， 所以； （2）解：略 （3）解：根据表2中的数据，可得e关于s的函数关系为一次函数； 设， 把，代入可得 ， 解得， 所以e关于s的函数关系为； （4）解：在自动回充前不能完成打扫． 将代入，得； 打扫300平方米的区域，扫地机器人需要用电， ，， 扫地机器人至少需要充电． 将代入，得． 最少还需要充电10分钟才能完成打扫． 45．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）抛物线与x轴交于、B两点．与y轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式 (2)如图1，连接，点P在抛物线上，若为直角三角形，且，求点P的坐标． (3)如图2，过点A的直线，点Q是直线上方抛物线上一动点，过点Q作，垂足为点E，连接，，，，当四边形的面积最大时，求点Q的坐标及四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）将、代入抛物线解析式中，转化为关于待定系数的方程组求解即可； （2）先求得点的坐标，结合，求得，再说明，进而得出，从而可得，就可求得，设直线的解析式为∶，将其上的两点坐标代入求得直线的解析式．再联立，求得P点的坐标； （3）设直线的解析式为，将、，代入求得直线的解析式，再根据，得出(同底等高)，再，设()，可用t表示出点的坐标，从而可用t表示出，就可求得，再利用求得当时，，从而可求得点的坐标． 【详解】（1）解∶∵抛物线过、， ∴， 解得：，， 抛物线解析式为； （2）解∶令， 解得∶(点A的横坐标)，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 过B作，交y轴于M， 则， ∴， ∴， 又， ∴是的高， ∴， ∴， 设直线为∶， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 联立， ∴， 解得∶(即点B的横坐标)，， 当时，， ∴． （3）解∶设直线的解析式为， ∵、， ∴， ∴直线的解析式为∶， ∵， ∴(同底等高) ， ∵、、， ∴，，， ∴， 设()，过Q作x轴的垂线，交于点F， 则， ． ∴， ∴ ∵ ∴当时，， 此时，即． 【点睛】本题考查了的图象与性质，的最值，待定系数法求二次函数解析式，面积问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 46．（2025·陕西西安·模拟预测）【问题提出】在一个直角三角形中，以斜边上任意一点向两直角边做垂直，所截取的矩形的最大面积是多少？ 【规律探究】如图①，是一个直角三角形，，在上任取点，作，，得到矩形，我们可以设，证明得到后，经过推导，用含有的代数式表示出该矩形的面积，从而求得答案． 探究：如图①，，，请根据材料， 填空：①______；②______；③矩形的最大面积的值为______． 【问题应用】如图②，已知有一块“缺角矩形”，，，，，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积． 【拓展延伸】如图③，现有一块四边形的木板余料，经测量，，，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点、在边上且面积最大的矩形，则该矩形的面积为______．（直接写出答案） 【答案】规律探究：，，12；问题应用：720；拓展延伸： 【分析】规律探究：由知，得，，根据矩形面积公式表示面积，再根据二次函数性质求出最大值； 问题应用：延长交于点F，延长交于点G，延长交于点H，取的中点I，的中点K，证明和，得，再利用【规律探究】的结论即可求出结果； 拓展延伸：延长交于点E，过点E作于点H，转化为图①中模型解决问题即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值是12， 故答案是：，，12； 问题应用： 如图，延长交于点F，延长交于点G，延长交于点H，取的中点I，的中点K， 由题意知四边形是矩形， ∵，，，， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴中位线的两端点在线段和上，过点K作于点L， 由【规律探究】知矩形的最大面积为； 拓展延伸： 如图，延长交于点E，过点E作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴的中点Q在线段上， ∵， ∴的中点P在线段上， ∴中位线的两端点在线段上，由【规律探究】知，矩形的最大面积为． 【点睛】本题考查四边形的综合问题，解题的关键是熟练掌握中位线定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质． 47．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）如图（1），在中，，点从点出发以/的速度沿路线→→运动，点从点出发以/的速度沿运动，，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动．以，为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点，，重合或在一条直线上时，不妨设），探究与的关系． (1)当点由点运动到点时， ①若， ； ②关于的函数解析式为 ， (2)当点由点运动到点时，经探究发现关于的函数解析式为，其图象如图（2）所示． ①的值为 ； ②求关于的函数解析式． (3)当点在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，． ①求与的数量关系； ②当时，求，的值． 【答案】(1)①；② (2)①；② (3)①；②， 【分析】（1）①当点在上运动时，过作的垂线，利用求出高，再代入计算平行四边形面积； ②用含的式子表示、及高，推导关于的函数解析式． （2）①将代入（1）中解析式，得到的值； ②利用图象上的两点和，用待定系数法求的解析式． （3）①由推出，根据相似三角形对应边成比例列方程，得到与的数量关系； ②联立与的关系式和，解出、，再分别代入对应解析式求、． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， 过作于， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． ②∵，， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：①∵当时，到点， ∴， 故答案为：． ②∵抛物线过，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． （3）解：①∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故与的数量关系为：． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故，． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、含角的直角三角形性质、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点并正确求出函数解析式是解题的关键． 48．（26-27九年级上·全国·单元测试）【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池的边加长长度为（）（），加长后水池1的总面积为（），则关于的函数解析式为：（）；设水池2的边的长为（）（），面积为（），则关于的函数解析式为：（），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是 ；当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是 ； (2)在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时的值； (3)假设水池的边的长度为（），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积（）关于（）（）的函数解析式为：（）．若水池3与水池2的面积相等时，（）有唯一值，直接写出的值． 【答案】(1)；或 (2)两个水池面积差的最大值为，此时 (3) 【分析】（1）将二次函数化为顶点式可得水池2面积的最大值；利用因式分解法解一元二次方程求出两函数图像的交点C、E的横坐标，再结合图像法求解即可得到的取值范围； （2）结合（1）的结论得出当时，两个水池面积差的最大值为的最大值，将的解析式化为顶点式求解即可； （3）根据面积相等结合题意列出一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：（）， 的顶点坐标为， ， 的图像开口向下， 当时，水池2面积最大，为； 当（）时，（）， 化简得（）， 因式分解得（）， 解得或， 由图像知，当或时，， 即当水池1的面积大于水池2的面积时，的取值范围是或； （2）解：由（1）得，当时，， 当时，两个水池面积差的最大值为的最大值， （），， 当时，取最大值，为， 两个水池面积差的最大值为，此时； （3）解：当水池3与水池2的面积相等时，， 整理得， （）有唯一值， ，解得． 【经典例题九 二次函数中新定义模型】 49．（25-26九年级上·广东广州·期末）对于实数和，定义新运算“”： （1）若，求实数的值； （2）设函数，若函数的图象与坐标轴恰有两个交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）2或−；（2）m＞4或m＝2或m≤0． 【分析】（1）分2x−1≤3−2x，2x−1＞3−2x两种情况，分别求解即可； （2）分（2−x2）≤（4x−x2），（2−x2）＞（4x−x2）两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）①当2x−1≤3−2x，即x≤1时， （2x−1）（3−2x）＝（2x−1）＋（3−2x）＝x2， 解得：x2＝2， x＝±， ∵x≤1， ∴x＝−； ②当2x−1＞3−2x，即x＞1时， （2x−1）（3−2x）＝（2x−1）−（3−2x）＝x2， 解得：x1＝x2＝2， 综上，x＝2或−； （2）当（2﹣x2）≤（4x﹣x2），即x≥0.5时， y1＝（2﹣x2）+（4x﹣x2）＝﹣2x2+4x+2＝﹣2（x﹣1）2+4， 当（2﹣x2）＞（4x﹣x2），即x＜0.5时， y1＝（2﹣x2）﹣（4x﹣x2）＝﹣4x+2， 由y2＝y1﹣m的图象与坐标轴恰好有两个交点， 可得，函数y1上下平移后一定距离后与坐标轴恰好有两个交点， 如图（1），即为函数的图象，此时，图象与坐标轴只有两个交点，如果图象向上平移，图象与坐标轴始终只有两个交点， ∴m≤0， 如图（2），当直线经过原点的时候，y2的图象与坐标轴只有两个交点， ∴﹣4×0+2﹣m＝0， 解得：m＝2， 如图（3），当抛物线顶点在x轴上时，y2的图象与坐标轴有三个交点， ∴﹣2×（1﹣1）2+4﹣m＝0， 解得：m＝4， 图象继续向下平移，与坐标轴一直只有两个交点． 综上：m＞4或m＝2或m≤0． 【点睛】本题考查的是抛物线和x轴交点，涉及到一元二次方程根的判别式，一元二次方程，这类新定义题，要理解题目的意思，转化为熟悉的知识，进行求解． 50．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）定义；函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 （1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有_________（填序号）； （2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，请直接写出和的值． 【答案】（1）②④；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数图象和性质，一元二次方程根的判别式，一次函数图象的和性质，二元一次方程组的计算，理解完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象和性质是解题的关键． （1）把坐标代入函数解析式，判断点是否在函数图象上，再分别求出点到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判断，即可得到答案； （2）根据题意得出，得到，求出完美点坐标，即可求出的值； （3）根据完美点可得二次函数与一次函数有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可． 【详解】解：（1）①当时，， 点在此函数图象上， 点到轴的距离是，到轴的距离是， ， 依据完美点的定义可知，点不是完美点； ②当时，， 点在此函数图象上， 点到轴的距离是，到轴的距离是， 依据完美点的定义可知，点是完美点； ③当时，， 点不在函数图象上， 点不是完美点； ④当时，， 点在函数图象上， 点到轴的距离是，到轴的距离是， 依据完美点的定义可知，点是完美点； 综上，是函数的完美点的有②④， 故答案为：②④； （2）反比例函数的图象在第二象限， ， 点为反比例函数第二象限图象上的完美点， ， 解得：， ，， 点的坐标为， ； （3）二次函数的图象上有且只有一个完美点， 二次函数与直线有且只有一个交点， ， 整理得， ，即， 把点代入得， 即， 联立方程组得， 解得 ． 51．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有相同的交点，（点在点的右侧），与轴的交点分别为，． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点是轴下方抛物线上的点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段与线段的长度的比值． 【答案】(1)抛物线的解析式为，； (2)线段与线段的长度的比值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （）将、代入中，即可求函数的解析式，再根据二次函数的性质即可求出点的坐标； （）设，则，，分别求出，，再求比值即可． 【详解】（1）解：将、代入中， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，令，则， ∴； （2）解：设，则，， ∴，， ∴， ∴线段与线段的长度的比值为． 52．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题： 定义：如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由函数可知，，，根据，，求出，，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面的问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点、、关于原点的对称点分别是、、．试证明经过点、、的二次函数与函数互为“旋转函数”． 【答案】(1) (2) (3) 证明：当时，，则， 当时，， 解得，， 则，， 点、、关于原点的对称点分别是，，， ，，， 设经过点，，的二次函数解析式为， 把代入得， 解得， 经过点，，的二次函数解析式为， 而， ，，， 经过点、、的二次函数与函数互为“旋转函数”． 【分析】（1）根据“旋转函数”的定义求出，，，从而得到原函数的“旋转函数”； （2）根据“旋转函数”的定义得到，，再解方程组求出和的值，然后根据乘方的意义计算； （3）先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定，，，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到，，，则可利用交点式求出经过点，，的二次函数解析式为，再把化为一般式，然后根据“旋转函数”的定义进行判断． 【详解】（1）解：，，， ，，， ，，， 函数的“旋转函数”为； （2）解：根据题意得，，解得，， ； （3）略 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力． 53．（24-25九年级上·北京·阶段检测）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是． (1)函数和中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； (2)如果函数（，）的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围； (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 【答案】(1)； (2) (3)的值为0或 【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解； （2）由题意可知：，再由，，，即可求的取值范围； （3）分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①， ①无上确界； ②， ， ②有上确界，且上确界为1； （2）解：，随值的增大而减小， 当时，， 上确界是， ， 函数的最小值不超过， ， ， ， ， ， 的取值范围为：； （3）解：的对称轴为直线，开口向上， 当时，则， 的最大值为， ，为上确界， ， 解得：或（舍去）； 当时，则， 的最大值为， ，为上确界， ， 解得：或（舍去）； 当时，则， 同理，或， 解得：（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）； 综上所述：的值为0或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． 54．（2026·江西·模拟预测）定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 【答案】（1）C； （2）①2； ②画图如图所示： ③或 【分析】本题主要考查了新定义下二次函数的图像与性质，理解新定义，准确计算是正确解答此题的关键． （1）根据伴随二次函数的定义逐一判断即可； （2）①将变形即可求解；②根据画函数图像的步骤即可画出伴随二次函数的图像；③结合取值范围及二次函数的性质分情况求解即可． 【详解】解：（1）对于二次函数 当伴随值为1时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为2时，其伴随二次函数是 ； 当伴随值为时，其伴随二次函数是 ； 故选：C． （2）①设伴随值为t， 则 ， ， ． 故答案为：2； ②列表： 0 2 3 4 6 5 5 依次描出点， ③令 得或； 令 得或． 结合函数图象可知，只能是或， 或3．     当时，，此时且随x的增大而减小， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 当时，，此时且随x的增大而增大， ∴当时，有最小值，为 ∴此时W的最低点的坐标为． 综上，W的最低点的坐标为或． 1．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线为，再结合由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”，从而可得新的抛物线为，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，抛物线为， 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得新抛物线为，即． 此时顶点坐标为． 故选：B． 2．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，先将抛物线向右平移1个单位长度，再将平移后的图象位于直线上方的部分沿该直线向下翻折，得到如图所示的图象．当直线与图象有四个交点时，的取值范围是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质及函数图象交点问题，解题关键是掌握一次函数在坐标系中的平移与变换后的二次函数图象的位置关系． 先找到一次函数与新图象有三个交点的和，再求出此时m的取值，即可得到答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，得， 令，则， 解得或， ∴， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点，如图所示： ①当直线位于时，此时l1过点， ∴，即； ②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， ∴方程， 即有两个相等实根， ∴， 即 由①②知若直线与新图象只有四个交点，m的取值范围为． 故选C． 3．（2026·广东汕头·一模）如图，一段抛物线y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），记为抛物线C1，它与x轴交于点O、A1；将抛物线C1绕点A1旋转180°得抛物线C2，交x轴于点A2；将抛物线C2绕点A2旋转180°得抛物线C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一条“波浪线”，若点M（2020，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8 【答案】D 【分析】由y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），结合函数图象观察整个函数图象得到每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等，而2020＝12×168+4，由此即可计算． 【详解】解：由y＝﹣x2+6x（0≤x≤6），结合函数图象观察整个函数图象得到每隔6×2＝12个单位长度，函数值就相等， 又∵2020＝12×168+4， 所以m的值等于x＝4时的纵坐标， 所以m＝﹣42+6×4＝8． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数与几何变换，解决此题的关键在于能根据函数图象发现规律：m的值等于x＝4时的纵坐标． 4．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，是直角三角形，．点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动）；同时点从点出发，沿方向以的速度向点运动到达点停止运动；当其中一个动点到达终点时，则另一个动点也停止运动，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动点问题中三角形面积的最值求解，解题的关键是用含时间的表达式表示出的底和高，进而得出面积表达式，再根据二次函数性质求最值．先设运动时间为秒，分别表示出、的长度，再根据三角形面积公式得出面积关于的表达式，最后求该表达式的最大值． 【详解】解：点从到运动时间为秒，点从到运动时间为秒， 其中一个动点到达终点，另一个动点也停止运动， ． 已知点速度为，点速度为， 设运动时间为秒，则， ． ， ，且， 当时，有最大值，最大值为． 故选：A． 5．（25-26九年级下·山东日照·期中）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法：①；②（为全体实数）；③若图象上存在点和，当时，满足，则m的取值范围为；④若直线与抛物线两交点横坐标为分别为，．则不等式的解集为．其中正确个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识，由抛物线的对称轴得出，由图象可得，当时，，即可判断①；用与的数量关系，可将原式化简得到关于的不等式，即可判断②；利用二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系即可判断③；利用二次函数与一次函数的交点问题即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ， ，代入原解析式得：， 由图象可得，当时，，即， ，故①正确； 设，则， ， 左侧为时的函数值，右侧为时的函数值，显然不成立，故②错误； 由题意得，、是一元二次方程的两个根， 从图象上看，由于二次函数具有对称性，、关于直线对称， 当且仅当时，存在点和，当时，满足，即m的取值范围为，故③正确； 直线与抛物线两交点横坐标为分别为，．则不等式，即的解集为或，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 6．（25-26九年级上·广西梧州·期末）一个正方形的边长为5，如果边长增加x，那么面积增加y与x之间的函数表达式是：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数表达式，解题的关键是找到相应的等量关系． 根据正方形的面积公式列出函数表达式即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 7．（2026·广东河源·一模）抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为________． 【答案】 【分析】易得抛物线的顶点坐标，进而可得到平移后的新坐标，也就得到了平移后的抛物线的解析式，绕抛物线顶点旋转180°得到新抛物线的解析式的二次项系数互为相反数，顶点坐标不变，即可解答． 【详解】解： 所以原抛物线的顶点为，向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为； 可设新抛物线的解析式为， 代入得：， 把抛物线绕顶点旋转180°， 可得新抛物线的解析式的二次项的系数为，顶点不变， 所以，所求的抛物线解析式为：， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·安徽宣城·阶段检测）新定义：为二次函数（，，，为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若“图象数”是的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为______． 【答案】或2/2或 【分析】根据新定义得到二次函数的解析式为，然后根据判别式的意义得到，从而解的方程即可． 【详解】解：由题意得：二次函数的解析式为， ， 解得：，， 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 9．（24-25九年级上·山东烟台·期末）将抛物线的图象位于直线以下的部分向上翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点；则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分别确定直线与抛物线有一个交点、直线经过点时的的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，画出新图象如图所示： 直线与抛物线有一个交点时：方程有一个实数根， 整理方程得：， ， 解得：； 由解得：，， ∴ 当直线经过点时，得， ∴m的取值范围是： 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知二次函数的图象经过点． （1）______； （2）将抛物线沿x轴平移n个单位，使平移后的抛物线经过点，则______； （3）当时，该二次函数y的取值范围为______． 【答案】 2 3或1/1或3 【分析】（1）将点A代入函数表达式，求出b值即可； （2）由（1）得到函数表达式，设出平移后的表达式，将点B代入，求出n值即可； （3）求出抛物线对称轴和开口方向，根据x的范围求出y的最大值和最小值即可． 【详解】解：（1）将代入中， 得：， 解得：； （2）由（1）得抛物线为， 设平移后的表达式为：或， ∵平移后的抛物线经过点， ∴或， 解得：（舍）或（舍）或或； （3）∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，且， ∴当时，y取最小值为2， 当时，y取最小值为11， ∴y的取值范围是． 故答案为：2，3或1，． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质和最值，二次函数图象的平移，解题的关键善于借助函数图象解决问题． 11．（24-25九年级上·山东泰安·期中）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． (1)下列三个函数：①；②；③．其图象上存在“近轴点”的是哪几个函数； (2)若一次函数图象上存在“近轴点”，求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)或 【分析】本题考查了新定义——“近轴点”，正确理解新定义，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键． （1）①中，时，，得到是函的“近轴点”； ②，由对称性，取，不存在“近轴点”； ③，时，，是的“近轴点”； （2）的图象恒过点，当直线过时，；得到；当直线过时， ，得到． 【详解】（1）解：①中，时，， 是函的“近轴点”； ②，由对称性，当时，， 函数不存在“近轴点”； ③， 时，， 是的“近轴点”； 上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是①③ （2）中， 时，， 图象恒过点， 当直线过时，， ； ； 当直线过时，， ， ； 的取值范围为或． 12．（25-26九年级上·山东滨州·期末）如图，抛物线的图像与轴交于点，点，与轴交于点，且． (1)求这个二次函数的解析式，并求出顶点的坐标； (2)若点为第一象限内抛物线上一点，求点坐标为多少时，的面积最大，并求出这个最大面积． 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2)点M的坐标为，面积的最大值为4 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质、二次函数和一次函数的综合，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． （1）根据题意可知、、的坐标，再将其代入中，利用待定系数法即可求解得，即可求解； （2）利用待定系数法求得直线的解析式为，过点M作轴交直线于点M，交x轴于点N，设M点的坐标为，则P点的坐标为，可得，可得，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， 把代入得：， ∴抛物线变为：， 把点、点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴这个二次函数图象的顶点D的坐标为； （2）设直线的解析式为， 代入，，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图所示：过点M作轴交直线于点M，交x轴于点N， 设M点的坐标为，则P点的坐标为， ∴ ∴， ∴当时，面积的最大值为4． 当时，， 此时点M的坐标为． 13．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线过点和点． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)将抛物线L沿y轴翻折得到抛物线，与x轴交于点B和点D（点B在点D的右侧），抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图象特征，解答本题的关键是求出翻折后的函数解析式． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出翻折后的函数解析式，求出，的坐标，再根据可求出到轴的距离，从而确定的纵坐标，然后再用解析式求出的横坐标即可． 【详解】（1）将，代入，得： ， 解得：， ∴； （2）由题意得的解析式为， 令， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴Q到BD的距离为6， 当时，， ，， ∴，， 当时，，无解； 综上所述：Q的坐标为或． 14．（25-26九年级下·北京海淀·期中）已知：二次函数． (1)把二次函数的表达式化成的形式，并写出顶点坐标； (2)已知二次函数的图象经过点． ①求a的值； ②点B在二次函数的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围． 【答案】(1)y1＝a（x+1）2﹣1（a≠0），顶点坐标（﹣1，﹣1）； (2)①a＝；②≤k或k＝﹣4 【分析】（1）化成顶点式即可求得； （2）①把点A（﹣3，1）代入二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1即可求得a的值； ②根据对称的性质得出B的坐标，分两种情况讨论即可求得． 【详解】（1）由题意可知，二次函数C1：y1＝ax2+2ax+a﹣1（a≠0）， 整理得，y1＝a（x+1）2﹣1（a≠0）， ∴对称轴：x＝﹣1，顶点坐标（﹣1，﹣1）； （2） ①∵二次函数C1的图象经过点A（﹣3，1）， ∴a（﹣3+1）2﹣1＝1， 解得：a＝； ②∵A（﹣3，1），对称轴为直线x＝﹣1， ∴B（1，1）； 当k＞0时， 二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过A（﹣3，1）时，1＝9k﹣3k，解得k＝， 二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象经过B（1，1）时，1＝k+k，解得k＝， ∴≤k， 当k＜0时， ∵二次函数C2：y2＝kx2+kx＝k（x+）2﹣k， ∴﹣k＝1， ∴k＝﹣4， 综上所述，二次函数C2：y2＝kx2+kx（k≠0）的图象，与线段AB只有一个交点，k的取值范围是≤k或k＝﹣4． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值问题，轴对称的性质等，分类讨论是解题的关键． 15．（2026·山东济宁·二模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴的正半轴交于点C (1)求二次函数的表达式 (2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，BF，探究是否存在点D使得四边形ACFB的面积最大？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由 (3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，若存在，直接写点P的坐标；若不存在，说明理由 【答案】(1)； (2)； (3)点P的坐标为或或或． 【分析】（1）将A、B坐标代入二次函数解析式求解即可； （2）求得C点坐标，从而得到BC解析式，设D（m，0），则，，根据求解即可； （3）过点P作PG⊥BC，过点P作PH∥BC，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，交x轴于点M，求出PH的解析式，联立直线PH和二次函数解析式，求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入可得 ，解得 即解析式为：； （2）解：由可得C（0，3）， 由B（-3，0），C（0，3）可得BC解析式为：， 设D（m，0），则，， ∵， ∴时，最大，此时， （3）解：过点P作PG⊥BC，过点P作PH∥BC，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，交x轴于点M，如图： 由题意可得：OB=OC， ∴ ∴ ∴ 当以P为圆心，为半径的圆与直线BC相切，可得， ∴ ∴， 即BC沿y轴向上或向下平移了2个单位，所以PH的解析式为或， 联立直线PH和二次函数解析式可得： 或 解得：或或或 ∴点P的坐标为或或或 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，圆的切线的性质，图象的平移，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解，难度始终． 学科网（北京）股份有限公司 $