专题03 函数的概念与性质（期中真题汇编，江苏专用）高一数学上学期

**基本信息** 高一上函数专题期中试题汇编，精选江苏多地期中真题，覆盖函数概念、性质、幂函数及应用四大核心考点，题型多样且梯度分明，注重基础巩固与数学思维能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择（含多选）|约60题|函数定义域、同一函数判断、奇偶性与单调性|结合狄利克雷函数、高斯函数考查抽象性质，设置多选型辨析题| |填空|约20题|定义域求解、函数值计算、单调区间|注重定义域与值域综合应用，如复合函数定义域求解| |解答|约15题|单调性证明、实际问题建模、函数性质综合|设计“漂亮区间”“局部倒负函数”等创新情境，解答题融入数学建模与逻辑推理|

专题03 函数的概念与性质 4大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）下列图象中，表示函数关系的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数的定义判断即可； 【详解】 解：对于A、B、C，图象中均存在一个与多个对应的情况，故A、B、C都不满足函数关系， 对于D：对于定义域内任意都有且只有一个与其相对应，故D是函数关系； 故选：D 2．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次根式被开方数非负及分式分母不为零可列不等式组，进而求解即可. 【详解】 由 ，解得且，所以函数的定义域为. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）已知函数，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合函数解析式，由函数有意义的条件，求函数定义域. 【详解】 函数，则， 有意义，则 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 4．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）（多选）下列各组函数是同一函数的有（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AD 【分析】 根据同一函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】 A选项，， 所以与是同一函数，A选项正确. B选项，的定义域是， 的定义域是，所以不是同一函数，B选项错误. C选项，的值域是， 的值域是，所以不是同一函数，C选项错误. D选项，、的定义域、对应关系、值域都相同， 所以是同一函数，D选项正确. 故选：AD 5．（2026·江苏淮安·11月调研）已知函数，且，则（     ） A.  B. 26 C.  D. 18 【答案】C 【分析】 根据给定条件，代入计算即可得解. 【详解】 函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 6．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 根据相同函数的概念，依次判断选项即可. 【详解】 A：的解析式不同，不是相同函数，故A不符合题意； B：的定义域为，的定义域为R，不是相同函数，故B不符合题意； C：的定义域为，的定义域为， 是相同函数，故C符合题意； D：的解析式不同，不是相同函数，故D不符合题意； 故选：C 7．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查函数的概念，根据函数的概念逐一判断即可. 【详解】 对于A，当时，对应的分别为，所以A错误； 对于B，当时，对应的分别为，所以B错误； 对于C，当时，对应的分别为，所以C正确； 对于D，当时，对应的分别为，所以D错误. 故选：C. 8．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）（多选）下列选项中表示同一函数的有（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【分析】 判断每个选项的两函数的定义域和对应关系是否都相同，都相同的两函数相等，否则不相等. 【详解】 A. 定义域为,定义域为，定义域相同，解析式相同，为同一函数 B．定义域，定义域为，故定义域相同，解析式不同，不是同一函数. C. 定义域为，定义域为，故定义域不同，解析式相同，不是同一函数. D. ,,定义域相同，解析式相同，是同一函数. 故选：AD 9．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）（多选）下列函数为同一函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【分析】 定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数. 【详解】 对于A，的定义域为，且， 的定义域为，且，则两函数为同一函数，故A正确； 对于B，，由 得，故的定义域为， ，由得或，故的定义域为， 则两函数不为同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为 ，解得， 的定义域为，解得， 故两个函数的定义域均为，且， 则两函数为同一函数，故C正确； 对于D，的定义域为R，的定义域为R，且对应法则相同，值域也相同， 则两函数为同一函数，故D正确. 故选：ACD 10．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 直接根据被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解即可. 【详解】 由已知得 ，解得且， 即函数定义域为. 故选：C. 11．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）（多选）下列各组函数是同一个函数的有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 对于A、D，根据函数定义域不同即可判断；再根据同一函数概念判断BC即可． 【详解】 对于A，的定义域为，的定义域为， 所以不是同一函数，故A不符合题意； 对于B，与定义域和对应关系均相同，是同一函数，故B符合题意； 对于C， 的定义域、对应关系、值域都相同，是同一函数，故C符合题意； 对于D，定义域不同，不是同一函数，故D不符合题意； 故选：BC． 12．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题意，利用同一函数的判定方法，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】 对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以A不符合题意； 对于B，函数和的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数和的定义域都是，其两函数的对应法则相同， 所以两函数是同一函数，所以C符合题意； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以D不符合题意. 故选：C. 13．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知，则（       ） A.  B.  C. 3 D.  【答案】B 【分析】 应用赋值法计算求解. 【详解】 因为，令，则. 故选：B. 14．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）（多选）下列关于函数的说法中，正确的有（     ） A. 与是同一个函数 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 的最小值为2 【答案】BC 【分析】 逐个分析每个选项，通过定义域判断、换元法、函数单调性等方法分别验证对错. 【详解】 选项A，定义域为，定义域为， 定义域不同，不是同一函数，A错误. 选项B，由 ，解得，B正确. 选项C，令，则，， 即，C正确. 选项D，令，则，在单调递增， 所以，D错误. 故选：BC 15．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）设函数 ，若，则（     ） A. 0或2 B. 0或3 C. 2 D. 0或2或3 【答案】A 【分析】 由和分别计算求解即可. 【详解】 当时，，得， 当时，，得（舍去）或， 所以0或2， 故选：A 16．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）（多选）下列说法中正确的有（     ） A. ，，对任意的，，表示从到的函数 B. 已知函数，则， C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数的值域为 【答案】ABC 【分析】 由函数定义可判断A，由配凑法可判断B，由抽象函数定义域求解可判断C，由单调性求最值，可判断D. 【详解】 对于A：当，，且唯一，符合函数定义，正确， 对于B，，所以，，正确， 对于C，由，得，则函数的定义域为，正确， 对于D，，由解析式可知函数在定义域上单调递增， 所以当时，得最小值为1，错误， 故选：ABC 17．（2026·江苏淮安·11月调研）（多选）函数 称为狄利克雷函数，关于的下列说法正确的是（     ） A. 的值域为 B. 的定义域为 C. ， D. 任意的，则有恒成立 【答案】BC 【分析】 本题考查分段函数中狄利克雷函数的定义域、值域、函数值等性质，根据选项依次判断即可. 【详解】 因为函数 ，所以只有两个函数值，所以的值域为 ，选项A错误； 函数定义域为两段上得并集，即全体有理数集并上全体无理数集为全体实数，所以的定义域为，选项B正确； ，的值为0或1都是有理数，所以，选项C正确； 任意，则是无理数，所以，此时，选项D错误； 故选：BC 18．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）函数的定义域为，函数的值域为，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据根式有意义求得集合，根据二次函数性质求得集合，再根据集合并集运算计算即可求解. 【详解】 要使函数有意义， 则 ，解得，即集合， 由二次函数性质可知函数开口向上，对称轴为， 所以函数的最小值为，即，所以， 所以. 故选：D 19．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 式子可表示自变量为x、因变量为y的函数 B. 若，则 C. 函数的图象与直线最多有1个交点 D. 若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素 【答案】BC 【分析】 根据函数的定义、定义域和值域的性质判断ACD，根据解析式求值判断B. 【详解】 对于A，要使有意义，则 ，即 ，无解， 所以式子不可表示自变量为x、因变量为y的函数，错误； 对于B，因为，所以，正确； 对于C，根据函数定义，在定义域内任意x只能对应唯一的函数值y， 所以函数的图象与直线最多有1个交点，正确； 对于D，对于函数，值域只含有一个元素1，但是定义域为全体实数，错误. 故选：BC 20．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）函数满足，且，则这样的函数个数有（　　） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 10个 【答案】C 【分析】 先分析出值域中包含元素，然后分别根据值域中包含个元素进行分类讨论，由此求得结果. 【详解】 因为，所以值域中必有元素， 当值域中仅有一个元素，则值域为，此时，仅有个函数满足； 当值域中有两个元素，只能其中一个为，另一个为或， 若值域中的两个元素是时，则或， 若值域中的两个元素是时，则或， 此时有个函数满足； 当值域中有三个元素，即值域为， 只能，此时有个函数满足， 综上所述，共有个函数满足要求， 故选：C. 21．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（多选）已知函数 若，且，则（       ） A. 的最小值 B. 的最大值为1 C. ，使 D. 存在唯一，使 【答案】AC 【分析】 令，易得，对于A，换元后构造成二次函数求其在中的最小值即可判断；对于B，换元构造新函数，判断其在中的最大值即可判断；对于C，举例即可判断；对于D，分类讨论，根据其根是否符合题意进行判断. 【详解】 在上的值域为，在上的值域为， 令，易得，且，， 对于A，， 令，， 所以是开口向上，对称轴为的二次函数， 所以在上的最小值为，故A正确； 对于B，， 令，， 则其为开口向下，对称轴为即的二次函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为，故B错误； 对于C，取，则，，因此，使得，故C正确； 对于D，当时，， 当时，，解得， 当时，，解得， 所以存在两解，故D错误； 故选：AC． 22．（2026·江苏淮安·11月调研）已知函数，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 由函数解析式的含义可得. 【详解】 因为函数，所以. 故答案为：. 23．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）函数的定义域是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】 要使函数有意义，则 ，解得， 即函数的定义域为. 故答案为：． 24．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）函数的定义域为________________________； 【答案】 【详解】要使有意义， 则， 函数的定义域为 25．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据使函数有意义得到 ，即可求出函数的定义域. 【详解】 对于函数，可得 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 26．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）设函数 ，则　　　　　. 【答案】 【分析】 先求出，再求出，即可得的值. 【详解】 由函数 ，知. 所以，. 故答案为： 27．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知 ，求　　　　　　　　　　. 【答案】9 【分析】 先判断自变量所属区间，再代入对应解析式，根据函数值所属区间再代入对应解析式解得结果. 【详解】 ， 又. 故答案为： 28．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 应用抽象函数的定义性质计算求解. 【详解】 由函数的定义域为， 则函数中，即得， 则函数的定义域为. 故答案为：. 考点02 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由是定义在R上的奇函数，得，又时，，进而利用奇函数性质求解. 【详解】 因为是定义在R上的奇函数，所以， 当时，，所以， 所以， 故选：B 2．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）定义在上的奇函数满足时，，则当时的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用奇函数的性质求解即可. 【详解】 由时，，且是定义在上的奇函数， 则当时，，所以， 所以. 故选：D. 3．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）（多选）下列说法中正确的有（       ） A. 若定义在上的函数满足，则函数不是偶函数 B. 若定义在上的函数满足，则函数不是奇函数 C. 若定义在上的函数满足，则函数不是单调减函数 D. 若定义在上的函数满足，则函数是单调减函数 【答案】AC 【分析】 根据函数奇偶性和单调性的特点逐一判断即可. 【详解】 对于A：若定义在上的函数满足，则函数不是偶函数，A正确； 对于B：若定义在上的函数满足，则函数有可能是奇函数，如，B错误； 对于C：若定义在上的函数满足，明显不满足对任意，都有，则函数不是单调减函数，C正确； 对于D：若定义在上的函数满足，由于不一定满足单调性定义中的任意性，故函数可能不是单调函数，D错误. 故选：AC. 4．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）某同学晚饭后计划出门散步，用圆心表示该同学家的位置（如图所示）.若该同学从家里出发，沿箭头所指的扇形实线路线以一定的速率散步，则离家的距离与散步时间之间的函数图象可能是（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 根据给定的扇形，结合该同学的速度一定，离家距离的变化情况判断即可得结论. 【详解】 由题意可知，该同学速度一定，从家出发时在一定时间内离家距离均匀增加， 到达扇形的弧上时，离家距离不变，最后一段沿扇形的半径往家的方向走时， 离家距离均匀减小，只有D选项符合题意，ABC均不符合题意. 故选：D. 5．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）下列函数为偶函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据函数奇偶性的定义逐项判断即可． 【详解】 对于A，定义域为，，所以不恒成立，故A不符合题意； 对于B，定义域为，，，所以不恒成立，故B不符合题意； 对于C，定义域为，， 当时，所以不恒成立，故C不符合题意； 对于D，定义域为，， 则为偶函数，故D符合题意； 故选：D． 6．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）“，”是“为R上的偶函数”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 结合偶函数定义与充分条件及必要条件定义判断即可得. 【详解】 若为R上的偶函数，则对，， 故，时，不一定为偶函数， 故“，”是“为R上的偶函数”的必要不充分条件. 故选：B. 7．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）若定义在上的偶函数和奇函数满足.则（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【分析】 分别令和，得到和，联立方程组，即可求解. 【详解】 因为定义在上的偶函数和奇函数满足， 令，可得， 令，可得，即， 联立方程组 ，可得. 故选：C. 8．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出函数的对称轴，根据函数得单调性求出的范围即可. 【详解】 函数， 所以的单调递增区间是，依题意知，， 所以，即实数的取值范围是 故选：D． 9．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数 ，称为狄利克雷函数，则关于函数，下列说法正确的是（       ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. ， D. 任意一个非零有理数T，对任意恒成立 【答案】D 【分析】 根据函数解析式一一判断即可； 【详解】 解：因为 ，所以函数的定义域为，值域为，故A、B错误； 因为或且与均为有理数，所以或，故C错误； 对于任意一个非零有理数，若为有理数，则也为有理数，则； 若为无理数，则也为无理数，则； 综上可得任意一个非零有理数，对任意恒成立，即D正确； 故选：D 10．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据对勾函数的单调性，即可求解. 【详解】 当时，为单调递增函数，不符合题意， 当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意， 当时，在单调递增，在单调递减， 故在上单调递减，则， 故选：C 11．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 借助排除法，判断出函数奇偶性后利用对勾函数性质得到函数单调性即可得. 【详解】 由，又定义域为， 故为奇函数，故可排除B； 当时，， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 故可排除C、D. 故选：A 12．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则、、的大小关系为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据题设可得函数关于直线对称，在区间上单调递减，在区间上单调递增，进而判断即可. 【详解】 因为函数是偶函数，所以， 则函数关于直线对称， 又因为函数在区间上单调递减， 函数在区间上单调递增， 又因为，所以， 又因为，所以，所以. 故选：C. 13．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）若函数 是上的减函数，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据分段函数单调性的性质得到关于的不等式组，解这个不等式组即可求出的取值范围. 【详解】 由题意 ， 解得. 故选：C. 14．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）（多选）已知函数，则下列结论中满足的x的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 利用函数性质，把函数不等式转化为代数不等式求解，根据其解集进行判断. 【详解】 对函数， 由或，故函数定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 又时，在上单调递增，所以函数在上单调递减. 所以 . 由或. 由或或. 所以不等式组 的解集为. 故选：BC 15．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，若，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数奇偶性和单调性，判断函数值在各区间上的正负，从而判断结果. 【详解】 因为是上的偶函数，在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递增，， 因为在区间上单调递减且，所以时，，当时，， 因为在区间上单调递增且，所以时，，当时，， 则时，得. 故选：C. 16．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）已知函数的定义域为，对任意的，，.若对任意，，有，则满足时实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分析函数的单调性与奇偶性，由可得出关于实数的不等式，解之即可． 【详解】 因为函数的定义域为，对任意的、，， 令，可得，所以， 令，可得，所以， 所以函数为奇函数， 因为对任意、，有， 不妨设，则，所以函数在上为减函数， 由可得， 所以，则，解得， 因此，满足时实数的取值范围为． 故选：C. 17．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. “”是“”的充要条件 B. 若，则且 C. 若函数为上的减函数，则也为上的减函数 D. 若函数为偶函数，则的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】 利用集合的关系与交集的意义可判断A；利用交集的意义可判断B；利用复合函烽的单调性可判断C；利用函数图像的变换可判断D. 【详解】 对于A，由，可得，所以“”是“”的充分条件， 由，可得，所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的充要条件，故A正确； 对于B，因为，所以集合必有公共元素，故且，故B正确； 对于C，因为函数为上的减函数，则由复合函数的单调性可知为上的增函数，故C错误； 对于D，若函数为偶函数，则函数图像关于直线对称， 又函数是函数图像向左移动一个单位而得到的， 故的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ABD. 18．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）已知函数是上的偶函数，当时，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数的奇偶性得到函数解析式，再考虑和两种情况，解不等式得到答案. 【详解】 当时，，. 当时，，即，解得，故； 当时，，即，解得或，故. 综上所述：. 故选：B. 19．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求出分段函数的最小值，再求解一元二次不等式. 【详解】 当时，； 当时，； 当时，， 则的最小值为， 由题意得，，解得， 故实数的取值范围为. 故选：A 20．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）（多选）符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，以下结论正确的是（       ） A. 函数的定义域是R，值域为 B. 方程有无数个解 C. 函数是奇函数 D. 函数是增函数. 【答案】AB 【详解】利用的定义，结合函数的定义域、值域、奇偶性的定义进行判断. 【详解】 对于选项A：函数的定义域是，但，其值域为，故选项A正确； 对于选项B：，可得，则，，都是方程的解，故选项B正确； 对于选项C：函数的定义域是，而，如，， 故函数不是奇函数，故选项C不正确； 对于选项D：由选项B可知，，，当时，函数函数的值都是，所以不是增函数，故选项D不正确， 故选：AB 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是理解函数的定义以及，因为， 其值域为，，可知解集是，，， 可判断不是奇函数，由，，可知不是增函数. 21．（2026·江苏淮安·11月调研）（多选）若函数，则下列结论正确的是（     ） A. 对恒成立，则实数的取值范围是 B. 若，使得，则实数的取值范围是 C. 若，使得，则实数的取值范围是 D. 对，都，使得成立 【答案】ACD 【分析】 求出、的值域，再根据恒成立问题或能成立问题逐项判断可得答案. 【详解】 当时，， 当时，， 对于A，，若恒成立，则， 所以实数的取值范围是，故A正确； 对于B，，若，则， 所以实数的取值范围是，故B错误； 对于C，，有解，则实数的取值范围是，故C正确； 对于D，由于，，使得， 等价于在上的值域是在上的值域的子集， 而， 显然，故D正确. 故选：ACD. 22．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（多选）下列条件能成为“为上的增函数”的充分条件的有（       ） A. ， B. ， C. ，且，有 D. ，且，有 【答案】BCD 【分析】 结合增函数定义，逐项判断即可得. 【详解】 对A：构造函数 ，则恒成立， 当，，故不是上的增函数，故A错误； 对B：对且，令，则， 则，即， 故为上的增函数，故B正确； 对C：对且，有，则， 故为上的增函数，故C正确； 对D：对且，有， 由，则， 故为上的增函数，故D正确. 故选：BCD. 23．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知，若对于正数，满足，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先判断出的单调性和奇偶性，然后将条件转化为关于的等量关系，利用“的代换”求解出的最小值，则的最大值可知. 【详解】 因为，且的定义域为关于原点对称， 所以为上的奇函数， 又因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即 时取等号， 所以的最小值为， 又因为，所以的最大值为， 故选：D. 24．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用单调性定义确定函数单调性，再利用单调性、偶函数性质比较大小. 【详解】 由对任意的，都有不等式，得函数在上单调递增， 由是R上的偶函数，得在上单调递减，而， 因此，所以的大小关系为. 故选：C 25．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先根据奇函数的图象特征补全图象，再应用符号法列不等式组，进而应用数形结合求解不等式即可. 【详解】 根据奇函数的图象特征，作出在上的图象如图所示， 由，得， 等价于 或 解得或，或． 故不等式解集为． 故选：C. 26．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）设函数,则使成立的的取值范围是 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】试题分析：，定义域为 ，∵ ，∴函数 为偶函数，当 时， 函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴ ，∴ ，∴ 的范围为故答案为A. 考点：抽象函数的不等式. 【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数 为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在 大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为 ，解绝对值不等式即可． 27．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知 ，若在上恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 作出，在上的图象，当的图象在的图象的上方时，分析此时的取值范围即可. 【详解】 作出，在上的图象如下图所示：     因为在上恒成立，所以的图象在的图象的上方（可以部分点重合）， 且，令，所以，所以， 根据图象可知：当经过点时，有最小值，， 当经过点时，有最大值，， 综上可知的取值范围是， 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键是采用数形结合思想解决问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质. 28．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上均单调递增，则下列说法正确的有（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 根据题意，结合函数的单调性与奇偶性，结合选项，逐项化简、判断，即可求解. 【详解】 由是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数， 且在上均递增，则在上递减，在上递增， 对于A，由，可得， 但与的符号不能确定，所以和大小不确定， 即与大小不确定，所以A不正确； 对于B，由，因为， 又由， 因为，所以，所以 B正确； 对于C，由，则， 可得，即，所以C正确； 对于D，由， 且， 因为，可得，所以， 所以，所以D错误. 故选：BC. 29．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意计算可得函数在上的单调性，再利用为偶函数可得性质，再将及化为形式后，利用单调性及对称性计算即可得. 【详解】 由，则， 即有，令， 则当且时，有， 故在上单调递增， 由是定义在上的偶函数， 则， 故也是定义在上的偶函数， 则，即， 又， 则可化为， 化简得，故， 即有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：B. 30．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）（多选）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如．下列命题正确的是（　　） A. 不等式的解集为 B. 若恒成立，则实数的取值范围是 C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【分析】 由题意可得可取，0，1，再由定义求解判断A；由题意可得，，求出的最小值即可判断B；由题意可得，结合的定义求解即可判断C；由题意可得，1，2，从而得，代入求解即可判断D． 【详解】 对于A，解不等式，即， 因表示不超过实数的最大整数，故可取，0，1， 对应；对应；对应， 合并解集为，故A正确； 对于B，当时，可取1，2，3，4， 不等式变为，即， 当时，；时为6.5；时为6；时为6.25，故最小值为6， 又因为恒成立，所以，故B错误； 对于C，解不等式，设， 方程的根为和， 二次函数开口向上，小于0的区间为，无整数，故解集为空集，C正确； 对于D，解集对应，1，2， 所以需满足， 时；时；时，故； 对（如，需，否则解集会包含； 对（如，需， 否则解集会包含，故，D正确． 故选：ACD． 31．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【分析】 根据条件判断出的奇偶性，然后构造函数结合条件判断出的奇偶性，再根据最值的关系可求得. 【详解】 因为对任意实数，恒有， 令，所以，所以， 令，所以，所以，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数， 令，则，且定义域为关于原点对称， 所以为奇函数， 令，其中为奇函数， 所以为奇函数，由奇函数的图象特点可知， 所以，所以， 故选：D. 32．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）（多选）关于定义域为的函数，给出下列四个结论，其中正确结论是（　　） A. 存在上的单调递增函数使得恒成立 B. 存在上的单调递增函数使得恒成立 C. 使得恒成立的函数存在且有无穷多个 D. 使得恒成立的函数存在且唯一 【答案】BC 【分析】 A：假设存在满足，当时推出矛盾即可；B：取分析即可；C：取(为常数)分析即可；D：根据条件判断出，然后推出矛盾. 【详解】 对于A：假设存在上的单调递增函数满足条件， 当时，因为，所以， 所以，所以，所以，解得， 显然这与矛盾，所以假设不成立，故A错误； 对于B：取，显然是上的单调递增函数， 此时，满足条件，故B正确； 对于C：取(为常数)，所以， 由为常数可知，的取值有无穷个，故C正确； 对于D： 因为，将替换为可得， 与相加可得，此等式仅在时成立，与题设要求对任意恒成立矛盾， 所以使得恒成立的函数不存在，故D错误； 故选：BC. 33．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）已知是定义在R上的函数，的图象关于点对称，对任意，都有．若，则实数的取值范围为（     ） A. 或 B. 或 C.  D. 或 【答案】C 【分析】 构造函数，然后结合函数的单调性和奇偶性求解． 【详解】 因为是定义在R上的函数，的图象关于点对称， 所以为奇函数，， 因为，即，所以， 构造函数，则有，所以在R上单调递减， 因为，所以为奇函数， 变形， 则有，即， 所以，即，解得， 即实数的取值范围为. 故选：C 34．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知函数 ，若，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 要解决这个问题，我们需要先分析函数的性质，再根据与的关系，求解时实数的取值范围. 【详解】 当时，，则, 当时，，则, 当时，，因此，是奇函数， 当时，，是一个开口向上， 对称轴为的二次函数，在上单调递增，因为是奇函数， 所以在也单调递增，因此在上单调递增， 已知，则可转化为即 因此或，又， 即或，又在上单调递增， 所以或，解得或， 综上，实数的取值范围为， 故选:C 35．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）（多选）已知函数，，.用表示，中的较大者，记为，设 则（     ） A.  B. 若函数在区间上单调递减，则 C. 方程的所有实数根之和为 D. 若当时，的取值范围为，则的最大值为5 【答案】ACD 【分析】 根据题意作出的函数图像，根据图像即可判断AB，分别求出方程的实数根，即可判断C，根据图像先求的根，再求的根，即可判断D. 【详解】 根据题意作出的函数图像：        由图可知，，故A正确； 由函数在区间上单调递减，所以，故B错误； 若方程，所以当时，，解得， 当时，， 当时，， 所以，故C正确； 由，所以， 由，所以， 所以当时，的取值范围为，所以， 所以，则的最大值为，故D正确； 故选：ACD. 36．（2026·江苏淮安·11月调研）如果函数 在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由分段函数单调递减，可知在上音调递减，所以，且，由此可得实数的取值范围. 【详解】 当时，. 函数 在上是单调递减函数，所以 ，解得 . 故实数的取值范围是. 故选：A. 37．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）（多选）已知函数，则（       ） A. 函数的图象关于点对称 B. 如果函数的定义域为，则值域为 C. 方程有且仅有三个不同的实数解 D. 如果不等式的解集为，则不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】 对于A，由题可得即可判断；对于B，根据函数单调性确定值域即可；对于C，根据因式分解求根即可判断；对于D，由题可知是方程的根，求出，再用因式分解法解不等式即可． 【详解】 对于A，， 则函数的图象关于点对称，故A正确； 对于B，因为都是上的增函数， 所以在单调递增，且，，故值域为，故B正确； 对于C，令，即， 解得： 所以方程有且仅有两个不同的实数解，故C错误； 对于D，不等式的解集为， 则是方程即的根， 所以 ，解得 ， 则不等式为， 即， ，解得， 则不等式的解集为，故D正确； 故选：ABD． 38．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 结合函数奇偶性，借助赋值法可求出、，则可解出、，再利用赋值法，得到将，从而计算即可得. 【详解】 由为奇函数，则， 令，则，故， 由为偶函数，则， 令，则，故，即， 对，令，则， 即， ，解得 ， 故当时，， 对，令，则， 对，令，则， 则. 故选：C. 39．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）已知函数 ，若存在，使成立，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 对进行分类讨论，结合直线、抛物线的知识求得的取值范围. 【详解】 ， ，过定点， 开口向上，对称轴， 当时，在递减，在递增，最小值为， 根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立. 当时， ，， 所以存在，使成立， 当时，在上递增，在递增， 即在上递增，所以不存在符合题意的. 当时，在上递增，在上递减，在上递增， 根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立. 综上所述，的取值范围是. 故选：D 【点睛】 对于含有参数的分段函数的分析，关键在于对参数进行分类讨论，本题中，涉及直线、抛物线，参数与直线的单调性、抛物线的对称轴（单调性）有关，由此可确定分类的标准，从而使分类做到“不重不漏” 40．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）（多选）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对成立，则称为上的“类函数”，则（       ） A. 可为上的4类函数 B. 可为上的3类函数 C. 若为上的类函数，则 D. 若是上的3类函数，则，有 【答案】BCD 【分析】 结合“类函数”的定义及所给解析式判断A、B、C，根据“类函数”的定义可得，即可判断D. 【详解】 对于A，因为的定义域为， ， 又因为，只有才成立， 不满足“类函数”的定义，故A错误； 对于B，因为的定义域为， ， 所以可为上的“类函数”，故B正确； 对于C，因为， 又因为，， 所以， 所以， 所以不相等时，，当时，依然成立， 所以，故C正确； 对于D，因为为上的3类函数， 则，，有， 又因为， 所以，故D正确. 故选：BCD. 41．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先分析函数的单调性，根据函数单调性把函数不等式转化为代数不等式，再根据分离参数求最值，即可得出实数的取值范围. 【详解】 因为函数满足：对均有，所以在上单调递增， 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式可化为，恒成立， 所以，，即，， 由，，， 由，，， 综上，. 故选：A 42．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知函数为上的偶函数，，，都有，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由已知，可得，构造函数，由其单调性和奇偶性即可求解. 【详解】 由题意，，，则， 由，得， 即， 因为，，得， 设，则函数在上单调递增， 又，则， 则不等式，即， 即 则， 所以， 又函数为定义在上的偶函数， 在上是奇函数， 所以在上的奇函数， 所以函数在上单调递增，且 所以当时，不等式，即， 即 则， 所以， 综上不等式的解集为. 故选：A. 43．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）（多选）已知函数的定义域为，且满足，则下列说法中正确的有（     ） A.  B. 函数是偶函数 C.  D. 若时，，则在上单调递增 【答案】AD 【分析】 通过赋值法、举反例和单调性定义，分别验证各选项的正确性. 【详解】 选项A，令，，代入， 得，解得，A正确. 选项B，令，，得，结合，解得. 再令，得，即是偶函数. 但， 故不是偶函数，B错误. 选项C，举反例，假设, ， 满足， 则，，，C错误. 选项D，任取且，令（）， 则. 因为时， 故，即在上单调递增，D正确. 故选：AD 44．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）若函数 ，在上为增函数，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出结果. 【详解】 由题意可知 ，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 45．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）函数 是定义在上的增函数，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分段函数的单调性，结合二次函数、一次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】 设， 当即时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增， 又在R上为增函数，所以， 即，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 46．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知函数 在上为减函数，则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据二次函数以及反比例函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】 由题意可得 ，解得， 故答案为： 47．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）已知函数． （1）解不等式； （2）求在上的最小值； （3）若，，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或；     （2）     （3）      【分析】 （1）求出方程的根，分两个根的大小讨论，可得不等式的解集； （2）分对称轴与区间的位置可得函数的最小值的解析式； （3）将不等式整理可得，换元后由对勾函数的单调性可得的范围． (1) 小问详解： 函数， 因为方程，即，解得或， 当，即，不等式即为，则不等式的解集为； 当，即，不等式的解为或； 当，即，不等式的解为或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； (2) 小问详解： 函数，开口向上，对称轴， 在上，当，即时，函数单调递增，所以； 当，即时，函数单调递减， 所以； 当时，函数在上先减后增， 所以； 综上所述： ； (3) 小问详解： 若，，即， 可得，可得， 即， 令， 设，，令，可得， 则由对勾函数性质可知上，单调递减，上，单调递增， 又因为， ， 所以， 所以恒成立，所以． 所以实数的取值范围为． 48．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）已知函数，对任意的，且当时，． （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）设函数，判断的奇偶性并说明理由． 【答案】（1）；     （2） 在上单调递减； 设，因为， 所以， 所以，因为，所以， 所以，故在上单调递减.     （3） 令得：，所以 ，所以， 所以 是奇函数.      【分析】 （1）利用赋值法计算求解； （2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性； （3）利用赋值结合奇函数定义可证明. (1) 小问详解： 令得：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 49．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）函数的单调递增区间是　　　　　　． 【答案】 【分析】 由，求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】 由，可得， 因为在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性，可知的单调递增区间为. 故答案为： 50．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，． （1）求的值； （2）求在上的解析式． 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）先求出的值，再结合奇函数的性质可得出的值； （2）利用奇函数的性质可求出函数在时的解析式，再由可得出函数在上的解析式. (1) 小问详解： 因为是定义域为的奇函数，当时，， 则，故. (2) 小问详解： 当时，，则， 由于函数是上的奇函数，故， 因此 . 51．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）函数在区间上不是单调减函数，则实数a的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 先分离常数得出，根据在区间上不是单调减函数便可得出，从而得出实数的取值范围． 【详解】 在上不是单调减函数， ，解得 故答案为： 52．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）当时，的最小值为，求实数a的值； （3）当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数.理由如下： 因为，定义域为， 若，则，满足， 所以为偶函数； 若， 因为，因为不能恒为0，所以不是偶函数； 因为，因为不能恒为0，所以不是奇函数. 所以函数为非奇非偶函数. 综上，当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数.     （2）     （3）       【分析】 （1）根据函数奇偶性的概念，分和讨论. （2）利用换元法，转化为二次函数在给定区间上的最小值问题求解. （3）先把问题转化成“在上恒成立”，再结合基本不等式求在的最大值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为， 设，，因为函数在上单调递增，所以. 又， 可设，. 问题转化为，的最小值为，求的值. 因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为. 当即时，在上单调递增，所以，不合题意； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，可得； 当即时，在上单调递减，所以， 由， 因为，故不合题意，舍去. 综上可知：. (3) 小问详解： 当时，. 问题转化为在上恒成立，求的取值范围. 由在上恒成立. 则不小于在的最大值. 因为，当且仅当即时取等号，所以. 所以，即实数的取值范围为. 53．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）已知函数 在上是单调函数，则实数的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意得到 ，求解即可. 【详解】 因为在单调递增， 所以函数 在上是单调递增函数， 可得： ， 解得， 故答案为： 54．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知函数是定义域上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在区间上的单调性并说明理由； （3）若正数，满足，且，求的取值范围. 【答案】（1）     （2） 由（1）知， 函数在区间上单调递减，理由如下： 任取，则，， ， 所以，因此函数在区间上单调递减；     （3）      【分析】 （1）借助奇函数性质计算即可得； （2）借助函数单调性定义，任取，计算正负即可得； （3）借助基本不等式计算可得范围，再结合函数单调性计算即可得. (1) 小问详解： 因为的定义域为且是奇函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，所以，整理得， 因为，，，所以，即，且，， 所以，当且仅当时，取等号， 由，，不能由，得到， 但，时，也有，所以， 由（2）知在区间上单调递减， 所以， 当时，， 又，所以， 所以的取值范围为. 55．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）在（2）的条件下，解不等式. 【答案】（1）     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， ∵，∴，，，， ∴， ∴在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据、求出解析式，再利用奇函数的定义检验； （2）利用单调性的定义证明； （3）根据单调性求解不等式. (1) 小问详解： 因函数是定义在上的奇函数，则，即， 又因，得，故， 检验，，故为奇函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）可知，函数在区间单调递增， 所以，得， 故不等式的解集为. 56．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 求出两个函数的值域，再利用集合之间的包含关系求参. 【详解】 在上的值域为， 在上的值域为， 由题意得，，则 ，得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 57．（2026·江苏淮安·11月调研）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义给出证明； （3）设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2） 函数在上单调递增.证明如下： ， ， 由，得，， 则，即， 所以函数在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）利用奇函数的性质求解并验证即得. （2）判断单调性，再利用增函数的定义直接证明. （3）由（2）求出的最大值1，根据给定条件，将问题转化为在上的最小值不小于1，再按分类求解. (1) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 此时，，是奇函数， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）得， 由，，都有恒成立，得在上的最小值不小于1， 即当时，恒成立， 当时，函数在上单调递增，， 则，而，因此； 当时，恒成立，因此； 当时，函数在上单调递减，， 则，而，因此， 所以实数k的取值范围是. 58．（2026·江苏淮安·11月调研）已知是定义在上的函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 分别在和的情况下，根据二次函数性质可得到在上连续且单调递增，将恒成立的不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得的范围. 【详解】 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递增，因此函数在上单调递增， 不等式，则， 由对任意的，不等式恒成立，得恒成立， 而函数在上单调递增，即当时，， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 59．（2026·江苏淮安·11月调研）三叉戟是古希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的一些图象恰如其形，因而得名三叉戟函数.已知函数，其中是常数，且. （1）讨论函数的奇偶性，并给出证明； （2）已知.若，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）已知.设.当时，函数的最大值为2，求的值. 【答案】（1） 函数的定义域为， 当时，是奇函数， ，，所以函数是奇函数； 当时，是非奇非偶函数， ，而， 所以是非奇非偶函数.     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据给定条件，按分类，利用奇偶函数的定义判断并证明. （2）求出函数，由给定恒成立的不等式分离参数，借助基本不等式及二次函数求出最小值即可. （3）求出函数，确定函数的单调性，求出的最大值即可列式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，得，解得，， ，不等式恒成立， 又， 当时，，当且仅当时取等号， 令，函数在上单调递增，当时，， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. (3) 小问详解： 由，得，解得，， 因为， 则，函数在上单调递减， 则，即，由函数在上的最大值为2， 得或，而，解得或， 当时，，，函数在上的最大值为2，符合题意； 当时，，，函数在上的最大值为7，不符合题意， 所以的值为. 60．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的偶函数，，且在上单调递增．则函数在上单调递　　　　　　　　　　　（增、减），不等式的解集为　　　　　　　　　　　． 【答案】① 减    ② 【分析】 根据偶函数及在区间上单调递增可确定函数在上单调递减；结合可确定或时，，时，，再分类讨论解不等式即可． 【详解】 函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 在上单调递减， 又，所以或时，，时，， 不等式， ，或 ， ，或 ， 解得，或， 即不等式的解集为． 故答案为：减； 61．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）解不等式. 【答案】（1）     （2） 任取，不妨设， 则 ， 因为，所以，即， 又因为，所以，即， 所以有， 根据定义有函数在上单调递增；     （3）.      【分析】 （1）由奇函数，结合分段函数思想来求解即可； （2）利用定义法来作差证明函数的单调性； （3）利用函数的奇偶性和单调性以及定义域来求解不等式即可. (1) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数，则， 所以， 再由，可得，即， 所以当时，， 当时，由奇函数可得：， 综上可得：当时，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数，可得， 又因为函数在上的单调递增， 所以，解得， 即不等式的解集为. 62．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）研究发现：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.请根据以上结论解决下列问题： （1）求函数的值域； （2）已知函数. ①写出的单调减区间，并用定义法证明； ②若，满足，证明：. 【答案】（1）     （2） ①的单调减区间为. 证明如下：设， ，（*） 因为，所以， 因为， 所以. 又，所以，即， 所以的单调减区间为. ②因为，由知，. 又，所以， 所以，所以.      【分析】 （1）利用题目中给的结论得到函数的单调性，再结合函数的奇偶性可得答案； （2）① 利用题目中给的结论得到函数的单调性，并用函数单调性定义证明；② 由得，再化简即得答案. (1) 小问详解： 由，知，所以， 所以当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又， 所以是奇函数， 所以当时，. 所以的值域为. (2) 小问详解： ① 略 ② 略 63．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知函数为偶函数． （1）求的值； （2）若函数，且恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用偶函数的定义可求答案； （2）利用定义法判断的单调性，根据单调性求出在的最小值即得答案. (1) 小问详解： 由是偶函数得， 即，解得． (2) 小问详解： 由（1）得，则， 因为恒成立， 即． 当时，， 因为，所以， 则，则， 因此，即， 故函数在区间上单调递增， 则， 则原不等式等价于，解得， 故的取值范围是． 64．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知函数，. （1）利用定义证明函数单调递增； （2）求函数的最大值和最小值. 【答案】（1）任取、且， 因为， 所以， ， ，，， ， 即， 因此，函数在区间上为增函数； （2）最大值；最小值. 【分析】 （1）任取、且，求，因式分解，然后判断的符号，进而可得出函数的单调性； （2）利用（1）中的结论可求得函数的最大值和最小值. 【详解】 （1）略 （2）由（1）知，当时，函数取得最小值； 当时，函数取得最大值. 【点睛】 关键点睛：求函数的最值利用函数的单调性是解决本题的关键. 65．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）已知是定义在上的奇函数，且． （1）求实数，的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2） 解：函数是定义域上的减函数. 证明如下：由（1）知，函数，可函数的定义域为， 任取，且， 则， 因为，所以，可得， 所以，即， 所以函数是定义域上的减函数.     （3）      【分析】 （1）根据题意，由，求得，再由，求得，联立方程组，即可求得的值； （2）由（1）知，函数，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，把不等式，不等式恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. (1) 小问详解： 解：由函数是定义在上的奇函数，可得，即， 又由，可得，即， 联立方程组 ，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：因为函数是上的奇函数， 则不等式，即为， 由（2）知函数是定义域上的单调递减函数，可得， 又因为对任意实数，不等式恒成立， 即对任意实数，不等式恒成立， 因为， 所以，即实数的取值范围为. 66．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）已知定义在上的偶函数与奇函数满足．若恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，得到，联立方程组，求得，化为，设，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由定义在上的偶函数与奇函数满足， 可得，即， 联立方程组 ，解得， 由不等式，可得， 即，转化为， 设，则函数为单调递增函数，可得， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 67．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知函数为奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）试研究函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）解关于x的不等式. 【答案】（1）     （2）在上单调递减，在上单调递增，证明如下： 任取且， . 当时，，，，故， 即在上单调递减； 当时，，，，故， 即在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用奇函数性质和已知条件求解析式； （2）用定义法分区间证明单调性； （3）通过换元法转化为不等式求解. (1) 小问详解： 因为是奇函数，所以. 将化简为，则. 由，得，解得. 又，即，解得，故. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令，则. 不等式即，整理得，解得（因，舍去）. 由，得，解得或， 故不等式的解集为. 68．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）函数的单调递减区间为　　　　　　. 【答案】 【分析】 由，求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】 由，可得：， 因在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性，可知的单调递减区间为. 故答案为： 69．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）已知为实数，函数. （1）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； （2）设函数，为在区间上的最大值，求的解析式； （3）对于（2）中的，若对及上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或     （2）     （3）      【分析】 （1）由二次函数的性质可得在上的单调性，再讨论与区间的关系即可得解； （2）分、、及进行讨论，结合函数在上的单调性及其正负即可得； （3）由（2）中所得可求出的最小值，从而得到与、有关的不等式，再结合的范围计算即可得到的范围. (1) 小问详解： 由，故在上单调递减，在上单调递增， 若函数在区间上具有单调性，则有或； (2) 小问详解： 当时，则在区间上单调递增，又， 则当时，，故， 则； 当时，则在区间上单调递减，又， 则当时，，故， 则； 当，时， ， 在、上单调递增，在上单调递减， 有，， 当，即或时， 即时，， 当时，； 当，时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故； 综上所述， ； (3) 小问详解： 由 ， 则当时，， 当时，， 当时，， 故， 即有对恒成立， 即，则有 ， 即 ，解得. 【点睛】 关键点点睛：最后一问关键点在于求出的最小值，从而得到与、有关的不等式，再结合的范围得到的范围. 70．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）设是定义在上的函数，对任意，均有，当时，，则当，时，　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题可得的周期为4，求出时的的解析式，利用函数周期性求得答案. 【详解】 由，得， 所以，即函数是周期为4的周期函数. 当时，， ，又， 所以， 当，时，则， ， 又， . 故答案为：. 71．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）函数的图象关于点对称的充要条件是“对于函数定义域内的任意x都有”．已知函数的图象关于点对称，且当时，． （1）求的值； （2）设函数， ①若的图象关于点对称，求实数m的值； ②在①的条件下，对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）4     （2）①                       ②      【分析】 (1) 令，代入.得出答案. (2)①代入，解出m的值.      ②，分类讨论求出a的取值范围. (1) 小问详解： 因为函数的图象关于点对称，所以,令，. (2) 小问详解： ① 因为的图象关于点对称，所以, ，计算得. ② 由对任意，总存在，使得成立, 可以得到当时，， 当时，，所以单调递增. 所以最小值是. 因为,当时，， 那么当时，，. 当时， 时，单调递增，时，也是单调递增. 所以最小值为,解. 当时， ，先减后增，，解 ，先增后减，， 所以. 当时，，单调递减，，单调递减. 所以最小值为，解得. 综上所述，实数a的取值范围. 72．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）用函数的单调性定义证明函数在上是减函数； （3）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的范围. 【答案】（1）为奇函数     （2） 任取，不妨设， . 因此，即. 故在上是减函数.     （3）      【分析】 （1）由与的关系判断函数奇偶性； （2）用定义法证明函数的单调性； （3）由题可知在上的值域是在上值域的子集，根据（2）的结论可求出的值域，再分类讨论二次函数的对称轴的位置，结合在区间上的单调性确定值域，使其包含的值域即可得解 (1) 小问详解： 的定义域为，关于原点对称，且， 是奇函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）可知，在上是减函数，故在上的值域为. 由题可知，在上的值域是在上值域的子集. ，对称轴为. ① 若，此时，则有： ，解得； ② 若，此时，则有： ，此时无解； ③ 若，此时，则有： ，此时无解； ④ 若，此时，则有： ，此时无解； 综上所述，. 73．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知函数. （1）用分段函数的形式表示； （2）画出的图象，并写出函数的单调区间、值域； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）     （2） . 函数的单调递增区间为，无单调递减区间，函数的值域为.     （3）      【分析】 （1）分与两种情况可化简函数的解析式； （2）根据函数的解析式可作出函数的图象，结合图象可得出函数的单调区间与值域； （3）即求在上的最小值. (1) 小问详解： 当时，；当时，，故： . (2) 小问详解： 函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为，无单调递减区间，函数的值域为. (3) 小问详解： 由题可知，恒成立，即求 在上的最小值. 对来说，当时，取到最小值；对来说，当时，取到最小值. 即的最小值为. 故. 74．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）对于定义域为的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“漂亮区间”.已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递减； （2）若函数 . （i）判断并证明函数的奇偶性； （ii）函数，存在“漂亮区间”，求实数的取值范围. 【答案】（1） 设任意，，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递减；     （2） （i）判断：函数是奇函数， 证明如下： 由 知函数的定义域为，关于原点对称， 由 ， 当时，， 当时，， 综上，当时，总有， 故函数是奇函数； （ii）      【分析】 （1）利用作差法证明函数的单调性； （2）（i）根据分段函数及奇函数的定义可证明函数为奇函数；（ii）由（1）可得函数单调递减，结合“漂亮区间”的定义转化为方程组有解，即可得到是方程的两个不等的负实根，利用根的判别式及韦达定理得到不等式组，解得即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）略 （ii）因为，所以函数， 由（1）知在上单调递减， 因为存在“漂亮区间”，则 有解，即 ， 即是方程的两个不等的负实根， 即方程在有两个不等的实根， 所以 ，解得， 故实数的取值范围为. 75．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间上的“局部倒负函数”. （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数 是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）对任意的，，都有，且.若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数是上的“局部倒负函数”     （2）存在，     （3）      【分析】 （1）利用求解即可；另法：计算，可得结论； （2）由题意可得存在，使得，分，两种情况求解即可得的取值范围； （3）利用赋值法求得，进而可得在区间上有解，利用换元即可求解. (1) 小问详解： 因为，解得， 所以区间内存在实数，满足， 所以函数是上的“局部倒负函数”. 另法：因为，且，满足“局部倒负函数”的定义， 所以函数是上的“局部倒负函数”. (2) 小问详解： 假设存在实数，使得函数是区间上的“局部倒负函数”. 由“局部倒负函数”的定义知，存在，使得. 因为，所以. 当时，，则，即① ， 当时，，则，即②. 所以① 或② 有解，即在上有解或在上有解， 当时，；当时，，所以. 所以存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”. (3) 小问详解： 因为，，函数满足. 令，，则，又，所以. 令，则. 此时， 而，满足条件， 所以. 因为是区间上的“局部倒负函数”， 所以存在实数，满足，又，所以， 所以. 则在区间上有解. 令，由于函数在上单调递减，上单调递增， 所以，则上式可化为在区间上有解， 因为，当且仅当时取等号. 所以. 所以实数的取值范围为. 76．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学研究该函数，分别得到如下结论： 甲：函数图象的对称中心为； 乙：； 丙：函数只有增区间，没有减区间； 丁：函数的图象与两坐标轴共有3个不同的交点； 其中有且只有3位同学的结论是对的． （1）下列四个函数： ，，， 只有一个函数满足题意，求满足题意的的解析式； （2）已知函数． ①若的定义域为，求的值域； ②探求函数对称中心的坐标，并证明你探究的结论． 【答案】（1）     （2）①； ② 函数图象的对称中心为，证明如下： (法一)设是函数图象上任一点，则， 关于的对称点为， 因为，且． 所以． 即点也在图象上． 所以的图象关于点中心对称． (法二)设函数对称中心为，则为奇函数， 所以， 所以， 整理得：恒成立． 所以， 所以． 所以函数对称中心为． （法三）， 设，因为， 所以为奇函数，对称中心为， 所以的对称中心为．      【分析】 （1）解法一先判断条件的只能是反比例函数，再根据对称中心设函数，再由可得函数解析式；解法二将反比例函数进行常数分离，得函数的对称中心，再由可得函数解析式； （2）①根据函数的单调性可得值域；②解法一先判断函数的对称中心，再证明；解法二先设函数对称中心为，得为奇函数，再由奇函数的定义可得；解法三通过对函数解析式进行变形，构造为奇函数，进而可得原函数的对称中心. (1) 小问详解： （法一）函数是满足甲、乙、丙结论． 因为对称中心为，设， 又，得，所以， 所以． （法二）函数是满足甲、乙、丙结论． 因为，对称中心为， 所以， 因为，可得，所以， 所以． (2) 小问详解： ①函数， 则在为单调递增函数，，. 所以的值域为. ② 略 77．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知函数是奇函数． （1）求λ的值； （2）判断的单调性，并用证明你的结论； （3）对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）1     （2） 函数为增函数，证明如下： 任取，因为， 由于是增函数，所以，又因为， 所以， 所以， 所以函数为增函数．     （3）      【分析】 （1）法一，利用奇函数的定义结合待定系数法计算即可；法二、利用计算参数，再根据定义验证即可； （2）利用单调性的定义作差计算即可； （3）先利用函数的单调性脱去函数符号，再根据整体思想分离参数得出，结合换元法构造新函数，由单调性的定义判定其单调性计算函数最值即可. (1) 小问详解： 法一、因为函数是R上奇函数， 所以恒成立， 则， 由于，则，所以． 法二、因为函数是R上奇函数， 所以， 即，解得． 当时，由于， 此时函数是奇函数，所以． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为为单调增函数， 当，不等式恒成立， 所以恒成立， 即， 则， 在为增函数，则， 所以， 有． 令， 则， 令，由于，设， 则， 由于， 则， 所以， 所以在单调递增． 所以函数在为增函数， 则，则， 所以． 78．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知函数. （1）利用定义证明在区间上单调递增； （2）解不等式：； （3）若，，都有，求的取值范围. 【答案】（1） 设，则 ， 由、，则、， 故，故在区间上单调递增；     （2）     （3）      【分析】 （1）借助函数单调性定义，设出，作差计算即可得； （2）借助换元法，令，再分与讨论即可得； （3）求出的最大值后，借助参变分离可得在上有解，计算出在上的最大值即可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意可得，则， 令，则有，即， 若，即时，恒成立，即有； 若，则时，， 化简得，解得， 又，故； 综上可得，即，则或；故不等式解集 (3) 小问详解： 由函数在上单调递增，则， 由题意可得在上有解， 则在上有解， 由在上递增，故， 即，又，故. 79．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）已知函数为上的增函数，对于任意都有. （1）求； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）已知为实数，解关于的不等式. 【答案】（1）     （2） 函数是上的奇函数. 证明如下：由题意知，函数的定义域为，关于原点对称， 因为对于任意都有，且， 令，可得，即， 所以函数是上的奇函数.     （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）根据题意，令，求得的值； （2）根据函数的奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （3）根据题意，转化为，利用为上的增函数，转化为 ，结合含参数的不等式的解法，即可求解. (1) 小问详解： 解：因为对于任意都有， 令，可得，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由不等式，可得， 因为函数是上的奇函数，可得， 又因为对于任意都有，可得， 函数为上的增函数，所以， 即，即， 当时，不等式即为，解得，此时不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得或，不等式的解集为. 当时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得或，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 80．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）给出定义：若a，b为常数，满足，则称函数的图象关于点成中心对称．已知函数，定义域为A． （1）判断的图象是否关于点成中心对称； （2）当时，求证：． （3）对于给定的，设计构造过程：，，…，，…．如果（），构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值． 【答案】（1）的图象关于点成中心对称     （2） 设， 则， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数， 所以当时，，即．     （3）      【分析】 由已知，可将代入解析式验证，并可证明函数关于中心对称。 可通过定义证明函数的单调性，并由单调性证明 由题设条件构造过程可以无限进行下去即关于x的方程无解， 即关于x的方程无解或有唯一解，代入可解得 (1) 小问详解： 因为， 所以． 由定义可知，的图象关于点成中心对称． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为构造过程可以无限进行下去， 所以对任意恒成立， 即关于x的方程无解， 即关于x的方程无解或有唯一解， 所以 或 ，解得． 【点睛】 本题侧重考查逻辑推理、数学运算素养．对逻辑推理的考查主要体现在利用定义推理得到结论，对数学运算的考查主要体现在推理过程中的计算． 81．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. (1) 小问详解： 函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ① ，解得， ② ，解得， ③ ，解得 ，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 (3) 小问详解： 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 82．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. （1）判断是否为“伴随函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； （3）已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围. 【答案】（1） 函数的定义域为， 取，则，此时，不存在，使得， 因此，函数不是“伴随函数”.     （2） 因为函数在定义域上为增函数，则存在， 使得，若，则， 根据题意，存在，使得，矛盾， 故，所以，， 所以，，即.     （3）      【分析】 （1）取，结合“伴随函数”的定义判断即可； （2）推导出，结合指数运算可证得结论成立； （3）分、两种情况讨论，当时，可知不是“伴随函数”；当时，函数在上单调递增，根据求出的值，利用基本不等式求出的最小值，再利用参变量分离得出，令，可得，利用二次函数的基本性质求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若，则当时，， 此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”， 所以，，函数在上单调递增， 则，， 由“伴随函数”的定义可得， 因为，解得，即，， 当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，，恒有， 则，所以，， 令，则，由题意可得， 令，，函数在上单调递增， 所以，，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】 结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 83．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，当时，． （1）若． ①求时，的表达式； ②求不等式的解集； （2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）① ；②     （2）      【分析】 （1）① 令，结合奇函数定义与时解析式计算即可得；② 分、及讨论即可得； （2）由奇函数定义可得，再分及进行讨论，当时，可结合奇函数定义得到函数在上的解析式，再将图象画出，结合图象计算即可得. (1) 小问详解： ① 由，则当时， ； 当时，有，则， 又函数是定义域在上的奇函数， 则， 故当时， ； ② 由题可得 ， 当时，令，解得，故； 当时，令，解得，故； 当时，令，解得，故； 综上所述：该不等式的解集为； (2) 小问详解： 由函数是定义域在上的奇函数，则，则， 若，则当时，，当时，， 即，则，此时恒成立； 若，则当时， ； 当时，有，则， 又函数是定义域为的奇函数， 则 ； 故 ， 由的图象为将函数向左平移个单位所得， 则如下图所示，要使得对于任意，都有成立， 则，解得，又，则； 综上所述：实数的取值范围为. 84．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的每一个都成立，则称函数是“型函数”． （1）判断函数是否为“型函数”，并说明理由； （2）若函数是“型函数”，求的值； （3）已知函数是“型函数”，且时，．若对任意，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） 解：函数不是“型函数”. 理由：由函数，可得， 即，不存在实数对使得对于定义域内的任意都成立， 所以函数不是“型函数”.     （2）      （3）       【分析】 （1）由函数，根据题意，得到，根据不存在使得都成立，即可得到结论； （2）由函数是“型函数”，根据题意，化简得到求得，即可求解； （3）由函数是“型函数”，可得，令，求得，满足题意；把对任意，都有，转化为任意，都有，令，得到，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：因为函数是“型函数”，可得， 即对于定义域上的任意都成立， 所以，则. (3) 小问详解： 解：由函数是“型函数”，可得， 令，可得，解得，满足， 又由当时，， 则时，可得，则， 要使得对任意，都有，只需对任意，都有， 令，因为，可得，且， 因为的图象开口向上，且对称轴为， 当时，即时，函数在单调递增， 则满足 ，解得，所以 当时，即时，函数在单调递减，在递增， 则满足 ，解得，所以 当时，即时，函数在单调递减， 则满足 ，解得，所以， 综上可得，满足，即实数的取值范围为. 85．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知函数，. （1）当时，写出函数的单调递减区间； （2）当时，证明曲线是中心对称图形； （3）当时，求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】（1）和     （2） 当时，. 令，则，代入得. 函数是奇函数，关于原点中心对称， 因此原函数关于点中心对称，故曲线是中心对称图形.     （3）最大值，最小值      【分析】 （1）分析二次函数绝对值的图像特征求单调区间； （2）通过换元转化为奇函数证明中心对称； （3）换元后结合二次函数的性质来求最值. (1) 小问详解： 当时，，则. 函数的零点为和，顶点横坐标为. 结合绝对值函数的图像，可得的单调递减区间为和. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时， . 令，则. 函数的开口向上，对称轴为，在区间内， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以， 则，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 考点03 幂函数 1．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）已知幂函数的图象过点，则（     ） A.  B.  C. 8 D. 9 【答案】D 【分析】 根据题意，设，代入求得，得到，即可求得的值，得到答案. 【详解】 因为函数为幂函数，设， 又因为函数的图象过点，可得，可得，所以， 所以. 故选：D. 2．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据幂函数定义和定义域求出的值，得到解析式，解不等式得解. 【详解】 由题，得，即，解得或， 当时，，定义域为R，不合题意； 当时，，定义域为，合题意. 所以，即，所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知幂函数的图象经过点，则　　　　　. 【答案】2 【分析】 待定系数法求出的解析式即可. 【详解】 设幂函数 ，其中  为常数， 函数图象经过点 ， 因此，有：， 解得：. 所以，幂函数为 . 故. 故答案为：2 4．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）已知幂函数过点，则实数　　　　　　　　　　　，的定义域为　　　　　　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 根据幂函数的图象经过已知点，可求的值，再根据函数的解析式求函数的定义域. 【详解】 因为幂函数过点， 所以. 所以，函数定义域为. 故答案为：； 考点04 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（       ） A. 甲、乙两车均超过规定限速 B. 甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C. 甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D. 甲、乙两车均未超过规定限速 【答案】B 【分析】 本题考查根据二次不等式求解实际问题中的车速范围，进而判断车辆是否超速，解题思路是分别根据甲、乙两车的刹车距离与车速的关系列出不等式，求解不等式得到车速范围，再与限速比较. 【详解】 因为甲车的刹车距离小于且，所以，得到； 因为乙车的刹车距离略超过且，所以，得到； 所以甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速. 故选：B 2．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． （1）求关于的函数解析式； （2）若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 【答案】（1）     （2）立方米      【分析】 （1）利用分段函数思想求解出关于的函数解析式； （2）根据解析式判断出水费为元时用水量的范围，然后根据对应段函数解析式可求结果. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，关于的函数解析式为 . (2) 小问详解： 由（1）可知，当时，， 当时，， 当时，， 因此当月缴纳的水费为元时，用水量， 所以，解得（立方米）， 答：此户居民本月用水量为立方米. 3．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）随着工业的高速发展，能源紧缺导致能源价格上涨，某地去年油价为7元/升，年消耗量为m万升，本年度计划将油价调整到7.5元/升至8元/升之间，而用户期望油价为7.2元/升，经测算，上涨后新增油耗量和实际油价与用户期望油价的差成反比（比例系数为k），该地区的油价成本为6.5元/升． （1）当时，本年度实际油价为多少时，本年度收益最低（收益实际耗油量（实际油价成本价））； （2）当时，油价最低定多少时，可保证收益比上年至少增长188%． 【答案】（1）元/升     （2）元/升      【分析】 （1）设本年度实际油价为x元/升，先根据收益公式求得收益，然后结合换元法利用基本不等式求解最值，即可得解. （2）设本年度实际油价为x元/升，先根据收益公式求得收益，然后由求解即可. (1) 小问详解： 设本年度实际油价为x元/升，由题意得新增耗油量为，故实际耗油量为， 所以本年度收益， 令，，可得， 故. 因为，当且仅当即时等号成立， 所以时，本年度收益y取得最小，即本年度实际油价为元/升时，本年度收益最低； (2) 小问详解： 上年实际收益为：，故本年度收益. 设本年度实际油价为x元/升，实际耗油量为， 所以本年度收益， 所以，即， 令，因为，所以， 故得，化简得，即， 解得或，因，故， 即，所以. 即油价最低定元/升时，可保证收益比上年至少增长188%. 4．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）2025年江苏城市足球联赛期间，沭阳某官方授权商家销售赛事定制纪念T恤.根据销售量不同，原材料采购成本与总利润的计算方式有所差异，总利润（单位：元）与销售量（单位：件，为正整数）的函数关系为： （1）若商家某次销售100件纪念T恤，求此次总利润； （2）当销售量时，求商家销售该纪念T恤总利润最小值，并指出此时的销售量； （3）当总利润不低于1000元时，求销售量至少为多少件. 【答案】（1）300元；     （2）总利润最小值为元，销售量为件；     （3）件.      【分析】 （1）直接代入总利润函数求值即可. （2）根据基本不等式求解最值即可. （3）结合一次函数的性质以及一元二次不等式的解法解分段不等式即可. (1) 小问详解： 因为，所以总利润为元. (2) 小问详解： 当时，总利润为元. 当且仅当即件，满足， 所以总利润最小值为元，此时的销售量为件； (3) 小问详解： 当时， 总利润为，不符合题意； 当时，由题意总利润为，即， 所以，解得或（与矛盾舍去），所以； 综上，当总利润不低于1000元时，销售量至少为件. 5．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）某公司生产某种产品的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入100元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：件）满足函数： ，总收入=利润+总成本. （1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数； （2）在企业经营的财务分析中，产品的单位利润是一个重要指标，用来评估单个产品的盈利效率，以便控制成本，制定定价策略.试计算当月产量为何值时，产品的单位利润最大？最大单位利润为多少元？（单位利润=利润÷月产量） 【答案】（1）     （2）当月产量为200件时，产品的单位利润最大，最大单位利润为100元.      【分析】 （1）分为、两种情况，然后根据“利润总收入总成本”即可得出结果； （2）首先可根据得出 ，然后分为、两种情况进行讨论，依次求出最值，即可得出结果. (1) 小问详解： 依题设知，总成本为元， 则 ； (2) 小问详解： 产品的单位利润 当时，， 当且仅当即时，； 当时，是减函数，所以. 所以当月产量为200件时，产品的单位利润最大，最大单位利润为100元. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 4大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）下列图象中，表示函数关系的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）已知函数，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）（多选）下列各组函数是同一函数的有（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5．（2026·江苏淮安·11月调研）已知函数，且，则（     ） A.  B. 26 C.  D. 18 6．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）（多选）下列选项中表示同一函数的有（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）（多选）下列函数为同一函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）（多选）下列各组函数是同一个函数的有（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知，则（       ） A.  B.  C. 3 D.  14．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）（多选）下列关于函数的说法中，正确的有（     ） A. 与是同一个函数 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 的最小值为2 15．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）设函数 ，若，则（     ） A. 0或2 B. 0或3 C. 2 D. 0或2或3 16．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）（多选）下列说法中正确的有（     ） A. ，，对任意的，，表示从到的函数 B. 已知函数，则， C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数的值域为 17．（2026·江苏淮安·11月调研）（多选）函数 称为狄利克雷函数，关于的下列说法正确的是（     ） A. 的值域为 B. 的定义域为 C. ， D. 任意的，则有恒成立 18．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）函数的定义域为，函数的值域为，则（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 式子可表示自变量为x、因变量为y的函数 B. 若，则 C. 函数的图象与直线最多有1个交点 D. 若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素 20．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）函数满足，且，则这样的函数个数有（　　） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 10个 21．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（多选）已知函数 若，且，则（       ） A. 的最小值 B. 的最大值为1 C. ，使 D. 存在唯一，使 22．（2026·江苏淮安·11月调研）已知函数，则　　　　　　. 23．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）函数的定义域是　　　　　　． 24．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）函数的定义域为________________________； 25．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　. 26．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）设函数 ，则　　　　　. 27．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知 ，求　　　　　　　　　　. 28．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　　　　　. 考点02 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）定义在上的奇函数满足时，，则当时的解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）（多选）下列说法中正确的有（       ） A. 若定义在上的函数满足，则函数不是偶函数 B. 若定义在上的函数满足，则函数不是奇函数 C. 若定义在上的函数满足，则函数不是单调减函数 D. 若定义在上的函数满足，则函数是单调减函数 4．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）某同学晚饭后计划出门散步，用圆心表示该同学家的位置（如图所示）.若该同学从家里出发，沿箭头所指的扇形实线路线以一定的速率散步，则离家的距离与散步时间之间的函数图象可能是（     ） A.      B.      C.      D.      5．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）下列函数为偶函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）“，”是“为R上的偶函数”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）若定义在上的偶函数和奇函数满足.则（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数 ，称为狄利克雷函数，则关于函数，下列说法正确的是（       ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. ， D. 任意一个非零有理数T，对任意恒成立 10．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）函数的图象大致为（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）已知函数在区间上单调递减，且是偶函数，则、、的大小关系为（　　） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）若函数 是上的减函数，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）（多选）已知函数，则下列结论中满足的x的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，若，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）已知函数的定义域为，对任意的，，.若对任意，，有，则满足时实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. “”是“”的充要条件 B. 若，则且 C. 若函数为上的减函数，则也为上的减函数 D. 若函数为偶函数，则的图象关于直线对称 18．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）已知函数是上的偶函数，当时，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）（多选）符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，以下结论正确的是（       ） A. 函数的定义域是R，值域为 B. 方程有无数个解 C. 函数是奇函数 D. 函数是增函数. 21．（2026·江苏淮安·11月调研）（多选）若函数，则下列结论正确的是（     ） A. 对恒成立，则实数的取值范围是 B. 若，使得，则实数的取值范围是 C. 若，使得，则实数的取值范围是 D. 对，都，使得成立 22．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（多选）下列条件能成为“为上的增函数”的充分条件的有（       ） A. ， B. ， C. ，且，有 D. ，且，有 23．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知，若对于正数，满足，则的最大值为（       ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知偶函数的定义域为，对任意的，都有不等式成立.设，则的大小关系为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）设函数,则使成立的的取值范围是 A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知 ，若在上恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）（多选）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且在上均单调递增，则下列说法正确的有（　　） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）（多选）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如．下列命题正确的是（　　） A. 不等式的解集为 B. 若恒成立，则实数的取值范围是 C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 31．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）已知函数对于任意实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 32．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）（多选）关于定义域为的函数，给出下列四个结论，其中正确结论是（　　） A. 存在上的单调递增函数使得恒成立 B. 存在上的单调递增函数使得恒成立 C. 使得恒成立的函数存在且有无穷多个 D. 使得恒成立的函数存在且唯一 33．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）已知是定义在R上的函数，的图象关于点对称，对任意，都有．若，则实数的取值范围为（     ） A. 或 B. 或 C.  D. 或 34．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知函数 ，若，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）（多选）已知函数，，.用表示，中的较大者，记为，设 则（     ） A.  B. 若函数在区间上单调递减，则 C. 方程的所有实数根之和为 D. 若当时，的取值范围为，则的最大值为5 36．（2026·江苏淮安·11月调研）如果函数 在上是单调递减函数，则实数的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  37．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）（多选）已知函数，则（       ） A. 函数的图象关于点对称 B. 如果函数的定义域为，则值域为 C. 方程有且仅有三个不同的实数解 D. 如果不等式的解集为，则不等式的解集为 38．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）已知函数 ，若存在，使成立，则实数a的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  40．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）（多选）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对成立，则称为上的“类函数”，则（       ） A. 可为上的4类函数 B. 可为上的3类函数 C. 若为上的类函数，则 D. 若是上的3类函数，则，有 41．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）函数为偶函数，且满足对均有，对满足，则实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  42．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知函数为上的偶函数，，，都有，且，则不等式的解集为（     ） A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）（多选）已知函数的定义域为，且满足，则下列说法中正确的有（     ） A.  B. 函数是偶函数 C.  D. 若时，，则在上单调递增 44．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）若函数 ，在上为增函数，则实数的取值范围是　　　　　　. 45．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）函数 是定义在上的增函数，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　. 46．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知函数 在上为减函数，则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 47．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）已知函数． （1）解不等式； （2）求在上的最小值； （3）若，，求实数的取值范围． 48．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）已知函数，对任意的，且当时，． （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）设函数，判断的奇偶性并说明理由． 49．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）函数的单调递增区间是　　　　　　． 50．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，． （1）求的值； （2）求在上的解析式． 51．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）函数在区间上不是单调减函数，则实数a的取值范围是　　　　　　． 52．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）当时，的最小值为，求实数a的值； （3）当时，恒成立，求实数a的取值范围． 53．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）已知函数 在上是单调函数，则实数的取值范围为　　　　　. 54．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知函数是定义域上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在区间上的单调性并说明理由； （3）若正数，满足，且，求的取值范围. 55．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）在（2）的条件下，解不等式. 56．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　. 57．（2026·江苏淮安·11月调研）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义给出证明； （3）设，若，，都有恒成立，求实数的取值范围. 58．（2026·江苏淮安·11月调研）已知是定义在上的函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　. 59．（2026·江苏淮安·11月调研）三叉戟是古希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的一些图象恰如其形，因而得名三叉戟函数.已知函数，其中是常数，且. （1）讨论函数的奇偶性，并给出证明； （2）已知.若，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）已知.设.当时，函数的最大值为2，求的值. 60．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的偶函数，，且在上单调递增．则函数在上单调递　　　　　　　　　　　（增、减），不等式的解集为　　　　　　　　　　　． 61．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）解不等式. 62．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）研究发现：函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.请根据以上结论解决下列问题： （1）求函数的值域； （2）已知函数. ①写出的单调减区间，并用定义法证明； ②若，满足，证明：. 63．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知函数为偶函数． （1）求的值； （2）若函数，且恒成立，求的取值范围． 64．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知函数，. （1）利用定义证明函数单调递增； （2）求函数的最大值和最小值. 65．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）已知是定义在上的奇函数，且． （1）求实数，的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 66．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）已知定义在上的偶函数与奇函数满足．若恒成立，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 67．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知函数为奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）试研究函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）解关于x的不等式. 68．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）函数的单调递减区间为　　　　　　. 69．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）已知为实数，函数. （1）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； （2）设函数，为在区间上的最大值，求的解析式； （3）对于（2）中的，若对及上恒成立，求实数的取值范围. 70．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）设是定义在上的函数，对任意，均有，当时，，则当，时，　　　　　　． 71．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）函数的图象关于点对称的充要条件是“对于函数定义域内的任意x都有”．已知函数的图象关于点对称，且当时，． （1）求的值； （2）设函数， ①若的图象关于点对称，求实数m的值； ②在①的条件下，对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围． 72．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）用函数的单调性定义证明函数在上是减函数； （3）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的范围. 73．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）已知函数. （1）用分段函数的形式表示； （2）画出的图象，并写出函数的单调区间、值域； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 74．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）对于定义域为的函数，若存在区间，使在上的值域为，则称区间为函数的“漂亮区间”.已知函数. （1）证明：函数在区间上单调递减； （2）若函数 . （i）判断并证明函数的奇偶性； （ii）函数，存在“漂亮区间”，求实数的取值范围. 75．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）对于函数，若在区间内存在实数，满足，则称函数是区间上的“局部倒负函数”. （1）判断函数是否为上的“局部倒负函数”； （2）设函数 是否存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”.若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）对任意的，，都有，且.若函数是区间上的“局部倒负函数”，求实数的取值范围. 76．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知函数，甲、乙、丙、丁四位同学研究该函数，分别得到如下结论： 甲：函数图象的对称中心为； 乙：； 丙：函数只有增区间，没有减区间； 丁：函数的图象与两坐标轴共有3个不同的交点； 其中有且只有3位同学的结论是对的． （1）下列四个函数： ，，， 只有一个函数满足题意，求满足题意的的解析式； （2）已知函数． ①若的定义域为，求的值域； ②探求函数对称中心的坐标，并证明你探究的结论． 77．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知函数是奇函数． （1）求λ的值； （2）判断的单调性，并用证明你的结论； （3）对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 78．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知函数. （1）利用定义证明在区间上单调递增； （2）解不等式：； （3）若，，都有，求的取值范围. 79．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）已知函数为上的增函数，对于任意都有. （1）求； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）已知为实数，解关于的不等式. 80．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）给出定义：若a，b为常数，满足，则称函数的图象关于点成中心对称．已知函数，定义域为A． （1）判断的图象是否关于点成中心对称； （2）当时，求证：． （3）对于给定的，设计构造过程：，，…，，…．如果（），构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值． 81．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知函数为奇函数. （1）求实数a的值； （2）若，求实数x的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围. 82．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”. （1）判断是否为“伴随函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； （3）已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围. 83．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）已知函数是定义域在上的奇函数，当时，． （1）若． ①求时，的表达式； ②求不等式的解集； （2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围． 84．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的每一个都成立，则称函数是“型函数”． （1）判断函数是否为“型函数”，并说明理由； （2）若函数是“型函数”，求的值； （3）已知函数是“型函数”，且时，．若对任意，都有，求实数的取值范围． 85．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知函数，. （1）当时，写出函数的单调递减区间； （2）当时，证明曲线是中心对称图形； （3）当时，求函数在区间的最大值与最小值. 考点03 幂函数 1．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）已知幂函数的图象过点，则（     ） A.  B.  C. 8 D. 9 2．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）幂函数的定义域为，则关于x的不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知幂函数的图象经过点，则　　　　　. 4．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）已知幂函数过点，则实数　　　　　　　　　　　，的定义域为　　　　　　　　　　　． 考点04 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）汽车在行驶中，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为80km/h的桥梁上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于，乙车的刹车距离略超过．又知甲、乙两种车型的刹车距离（单位：）与车速（单位：）之间分别有如下关系：．则（       ） A. 甲、乙两车均超过规定限速 B. 甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速 C. 甲车超过规定限速，乙车未超过规定限速 D. 甲、乙两车均未超过规定限速 2．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． （1）求关于的函数解析式； （2）若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 3．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）随着工业的高速发展，能源紧缺导致能源价格上涨，某地去年油价为7元/升，年消耗量为m万升，本年度计划将油价调整到7.5元/升至8元/升之间，而用户期望油价为7.2元/升，经测算，上涨后新增油耗量和实际油价与用户期望油价的差成反比（比例系数为k），该地区的油价成本为6.5元/升． （1）当时，本年度实际油价为多少时，本年度收益最低（收益实际耗油量（实际油价成本价））； （2）当时，油价最低定多少时，可保证收益比上年至少增长188%． 4．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）2025年江苏城市足球联赛期间，沭阳某官方授权商家销售赛事定制纪念T恤.根据销售量不同，原材料采购成本与总利润的计算方式有所差异，总利润（单位：元）与销售量（单位：件，为正整数）的函数关系为： （1）若商家某次销售100件纪念T恤，求此次总利润； （2）当销售量时，求商家销售该纪念T恤总利润最小值，并指出此时的销售量； （3）当总利润不低于1000元时，求销售量至少为多少件. 5．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）某公司生产某种产品的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入100元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：件）满足函数： ，总收入=利润+总成本. （1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数； （2）在企业经营的财务分析中，产品的单位利润是一个重要指标，用来评估单个产品的盈利效率，以便控制成本，制定定价策略.试计算当月产量为何值时，产品的单位利润最大？最大单位利润为多少元？（单位利润=利润÷月产量） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．D 2．B 3．D 4．AD 5．C 6．C 7．C 8．AD 9．ACD 10．C 11．BC 12．C 13．B 14．BC 15．A 16．ABC 17．BC 18．D 19．BC 20．C 21．AC 22．【答案】 【分析】 由函数解析式的含义可得. 【详解】 因为函数，所以. 故答案为：. 23．【答案】 【分析】 根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】 要使函数有意义，则 ，解得， 即函数的定义域为. 故答案为：． 24．【答案】 【详解】要使有意义， 则， 函数的定义域为 25．【答案】 【分析】 根据使函数有意义得到 ，即可求出函数的定义域. 【详解】 对于函数，可得 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 26．【答案】 【分析】 先求出，再求出，即可得的值. 【详解】 由函数 ，知. 所以，. 故答案为： 27．【答案】9 【分析】 先判断自变量所属区间，再代入对应解析式，根据函数值所属区间再代入对应解析式解得结果. 【详解】 ， 又. 故答案为： 28．【答案】 【分析】 应用抽象函数的定义性质计算求解. 【详解】 由函数的定义域为， 则函数中，即得， 则函数的定义域为. 故答案为：. 考点02 函数的基本性质 1．B 2．D 3．AC 4．D 5．D 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．A 12．C 13．C 14．BC 15．C 16．C 17．ABD 18．B 19．A 20．AB 21．ACD 22．BCD 23．D 24．C 25．C 26．A 27．C 28．BC 29．B 30．ACD 31．D 32．BC 33．C 34．C 35．ACD 36．A 37．ABD 38．C 39．D 40．BCD 41．A 42．A 43．AD 44．【答案】 【分析】 根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出结果. 【详解】 由题意可知 ，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 45．【答案】 【分析】 根据分段函数的单调性，结合二次函数、一次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】 设， 当即时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增， 又在R上为增函数，所以， 即，解得. 综上，的取值范围为. 故答案为： 46．【答案】 【分析】 根据二次函数以及反比例函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】 由题意可得 ，解得， 故答案为： 47．【答案】（1） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或；     （2）     （3）      【分析】 （1）求出方程的根，分两个根的大小讨论，可得不等式的解集； （2）分对称轴与区间的位置可得函数的最小值的解析式； （3）将不等式整理可得，换元后由对勾函数的单调性可得的范围． (1) 小问详解： 函数， 因为方程，即，解得或， 当，即，不等式即为，则不等式的解集为； 当，即，不等式的解为或； 当，即，不等式的解为或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； (2) 小问详解： 函数，开口向上，对称轴， 在上，当，即时，函数单调递增，所以； 当，即时，函数单调递减， 所以； 当时，函数在上先减后增， 所以； 综上所述： ； (3) 小问详解： 若，，即， 可得，可得， 即， 令， 设，，令，可得， 则由对勾函数性质可知上，单调递减，上，单调递增， 又因为， ， 所以， 所以恒成立，所以． 所以实数的取值范围为． 48．【答案】（1）；     （2） 在上单调递减； 设，因为， 所以， 所以，因为，所以， 所以，故在上单调递减.     （3） 令得：，所以 ，所以， 所以 是奇函数.      【分析】 （1）利用赋值法计算求解； （2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性； （3）利用赋值结合奇函数定义可证明. (1) 小问详解： 令得：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 49．【答案】 【分析】 由，求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】 由，可得， 因为在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性，可知的单调递增区间为. 故答案为： 50．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）先求出的值，再结合奇函数的性质可得出的值； （2）利用奇函数的性质可求出函数在时的解析式，再由可得出函数在上的解析式. (1) 小问详解： 因为是定义域为的奇函数，当时，， 则，故. (2) 小问详解： 当时，，则， 由于函数是上的奇函数，故， 因此 . 51．【答案】 【分析】 先分离常数得出，根据在区间上不是单调减函数便可得出，从而得出实数的取值范围． 【详解】 在上不是单调减函数， ，解得 故答案为： 52．【答案】（1）当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数.理由如下： 因为，定义域为， 若，则，满足， 所以为偶函数； 若， 因为，因为不能恒为0，所以不是偶函数； 因为，因为不能恒为0，所以不是奇函数. 所以函数为非奇非偶函数. 综上，当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数.     （2）     （3）       【分析】 （1）根据函数奇偶性的概念，分和讨论. （2）利用换元法，转化为二次函数在给定区间上的最小值问题求解. （3）先把问题转化成“在上恒成立”，再结合基本不等式求在的最大值即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为， 设，，因为函数在上单调递增，所以. 又， 可设，. 问题转化为，的最小值为，求的值. 因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为. 当即时，在上单调递增，所以，不合题意； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由，可得； 当即时，在上单调递减，所以， 由， 因为，故不合题意，舍去. 综上可知：. (3) 小问详解： 当时，. 问题转化为在上恒成立，求的取值范围. 由在上恒成立. 则不小于在的最大值. 因为，当且仅当即时取等号，所以. 所以，即实数的取值范围为. 53．【答案】 【分析】 由题意得到 ，求解即可. 【详解】 因为在单调递增， 所以函数 在上是单调递增函数， 可得： ， 解得， 故答案为： 54．【答案】（1）     （2） 由（1）知， 函数在区间上单调递减，理由如下： 任取，则，， ， 所以，因此函数在区间上单调递减；     （3）      【分析】 （1）借助奇函数性质计算即可得； （2）借助函数单调性定义，任取，计算正负即可得； （3）借助基本不等式计算可得范围，再结合函数单调性计算即可得. (1) 小问详解： 因为的定义域为且是奇函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 所以； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，所以，整理得， 因为，，，所以，即，且，， 所以，当且仅当时，取等号， 由，，不能由，得到， 但，时，也有，所以， 由（2）知在区间上单调递减， 所以， 当时，， 又，所以， 所以的取值范围为. 55．【答案】（1）     （2） 在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， ∵，∴，，，， ∴， ∴在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）根据、求出解析式，再利用奇函数的定义检验； （2）利用单调性的定义证明； （3）根据单调性求解不等式. (1) 小问详解： 因函数是定义在上的奇函数，则，即， 又因，得，故， 检验，，故为奇函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）可知，函数在区间单调递增， 所以，得， 故不等式的解集为. 56．【答案】 【分析】 求出两个函数的值域，再利用集合之间的包含关系求参. 【详解】 在上的值域为， 在上的值域为， 由题意得，，则 ，得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 57．【答案】（1）；     （2） 函数在上单调递增.证明如下： ， ， 由，得，， 则，即， 所以函数在上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）利用奇函数的性质求解并验证即得. （2）判断单调性，再利用增函数的定义直接证明. （3）由（2）求出的最大值1，根据给定条件，将问题转化为在上的最小值不小于1，再按分类求解. (1) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数，得，解得， 此时，，是奇函数， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）得， 由，，都有恒成立，得在上的最小值不小于1， 即当时，恒成立， 当时，函数在上单调递增，， 则，而，因此； 当时，恒成立，因此； 当时，函数在上单调递减，， 则，而，因此， 所以实数k的取值范围是. 58．【答案】 【分析】 分别在和的情况下，根据二次函数性质可得到在上连续且单调递增，将恒成立的不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得的范围. 【详解】 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递增，因此函数在上单调递增， 不等式，则， 由对任意的，不等式恒成立，得恒成立， 而函数在上单调递增，即当时，， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 59．【答案】（1） 函数的定义域为， 当时，是奇函数， ，，所以函数是奇函数； 当时，是非奇非偶函数， ，而， 所以是非奇非偶函数.     （2）；     （3）.      【分析】 （1）根据给定条件，按分类，利用奇偶函数的定义判断并证明. （2）求出函数，由给定恒成立的不等式分离参数，借助基本不等式及二次函数求出最小值即可. （3）求出函数，确定函数的单调性，求出的最大值即可列式求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，得，解得，， ，不等式恒成立， 又， 当时，，当且仅当时取等号， 令，函数在上单调递增，当时，， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. (3) 小问详解： 由，得，解得，， 因为， 则，函数在上单调递减， 则，即，由函数在上的最大值为2， 得或，而，解得或， 当时，，，函数在上的最大值为2，符合题意； 当时，，，函数在上的最大值为7，不符合题意， 所以的值为. 60．【答案】① 减    ② 【分析】 根据偶函数及在区间上单调递增可确定函数在上单调递减；结合可确定或时，，时，，再分类讨论解不等式即可． 【详解】 函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 在上单调递减， 又，所以或时，，时，， 不等式， ，或 ， ，或 ， 解得，或， 即不等式的解集为． 故答案为：减； 61．【答案】（1）     （2） 任取，不妨设， 则 ， 因为，所以，即， 又因为，所以，即， 所以有， 根据定义有函数在上单调递增；     （3）.      【分析】 （1）由奇函数，结合分段函数思想来求解即可； （2）利用定义法来作差证明函数的单调性； （3）利用函数的奇偶性和单调性以及定义域来求解不等式即可. (1) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数，则， 所以， 再由，可得，即， 所以当时，， 当时，由奇函数可得：， 综上可得：当时，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由函数是定义在上的奇函数，可得， 又因为函数在上的单调递增， 所以，解得， 即不等式的解集为. 62．【答案】（1）     （2） ①的单调减区间为. 证明如下：设， ，（*） 因为，所以， 因为， 所以. 又，所以，即， 所以的单调减区间为. ②因为，由知，. 又，所以， 所以，所以.      【分析】 （1）利用题目中给的结论得到函数的单调性，再结合函数的奇偶性可得答案； （2）① 利用题目中给的结论得到函数的单调性，并用函数单调性定义证明；② 由得，再化简即得答案. (1) 小问详解： 由，知，所以， 所以当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以. 又， 所以是奇函数， 所以当时，. 所以的值域为. (2) 小问详解： ① 略 ② 略 63．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用偶函数的定义可求答案； （2）利用定义法判断的单调性，根据单调性求出在的最小值即得答案. (1) 小问详解： 由是偶函数得， 即，解得． (2) 小问详解： 由（1）得，则， 因为恒成立， 即． 当时，， 因为，所以， 则，则， 因此，即， 故函数在区间上单调递增， 则， 则原不等式等价于，解得， 故的取值范围是． 64．【答案】（1）任取、且， 因为， 所以， ， ，，， ， 即， 因此，函数在区间上为增函数； （2）最大值；最小值. 【分析】 （1）任取、且，求，因式分解，然后判断的符号，进而可得出函数的单调性； （2）利用（1）中的结论可求得函数的最大值和最小值. 【详解】 （1）略 （2）由（1）知，当时，函数取得最小值； 当时，函数取得最大值. 【点睛】 关键点睛：求函数的最值利用函数的单调性是解决本题的关键. 65．【答案】（1）     （2） 解：函数是定义域上的减函数. 证明如下：由（1）知，函数，可函数的定义域为， 任取，且， 则， 因为，所以，可得， 所以，即， 所以函数是定义域上的减函数.     （3）      【分析】 （1）根据题意，由，求得，再由，求得，联立方程组，即可求得的值； （2）由（1）知，函数，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，把不等式，不等式恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. (1) 小问详解： 解：由函数是定义在上的奇函数，可得，即， 又由，可得，即， 联立方程组 ，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：因为函数是上的奇函数， 则不等式，即为， 由（2）知函数是定义域上的单调递减函数，可得， 又因为对任意实数，不等式恒成立， 即对任意实数，不等式恒成立， 因为， 所以，即实数的取值范围为. 66．【答案】 【分析】 根据题意，得到，联立方程组，求得，化为，设，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由定义在上的偶函数与奇函数满足， 可得，即， 联立方程组 ，解得， 由不等式，可得， 即，转化为， 设，则函数为单调递增函数，可得， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 67．【答案】（1）     （2）在上单调递减，在上单调递增，证明如下： 任取且， . 当时，，，，故， 即在上单调递减； 当时，，，，故， 即在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）利用奇函数性质和已知条件求解析式； （2）用定义法分区间证明单调性； （3）通过换元法转化为不等式求解. (1) 小问详解： 因为是奇函数，所以. 将化简为，则. 由，得，解得. 又，即，解得，故. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 令，则. 不等式即，整理得，解得（因，舍去）. 由，得，解得或， 故不等式的解集为. 68．【答案】 【分析】 由，求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】 由，可得：， 因在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性，可知的单调递减区间为. 故答案为： 69．【答案】（1）或     （2）     （3）      【分析】 （1）由二次函数的性质可得在上的单调性，再讨论与区间的关系即可得解； （2）分、、及进行讨论，结合函数在上的单调性及其正负即可得； （3）由（2）中所得可求出的最小值，从而得到与、有关的不等式，再结合的范围计算即可得到的范围. (1) 小问详解： 由，故在上单调递减，在上单调递增， 若函数在区间上具有单调性，则有或； (2) 小问详解： 当时，则在区间上单调递增，又， 则当时，，故， 则； 当时，则在区间上单调递减，又， 则当时，，故， 则； 当，时， ， 在、上单调递增，在上单调递减， 有，， 当，即或时， 即时，， 当时，； 当，时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故； 综上所述， ； (3) 小问详解： 由 ， 则当时，， 当时，， 当时，， 故， 即有对恒成立， 即，则有 ， 即 ，解得. 【点睛】 关键点点睛：最后一问关键点在于求出的最小值，从而得到与、有关的不等式，再结合的范围得到的范围. 70．【答案】 【分析】 由题可得的周期为4，求出时的的解析式，利用函数周期性求得答案. 【详解】 由，得， 所以，即函数是周期为4的周期函数. 当时，， ，又， 所以， 当，时，则， ， 又， . 故答案为：. 71．【答案】（1）4     （2）①                       ②      【分析】 (1) 令，代入.得出答案. (2)①代入，解出m的值.      ②，分类讨论求出a的取值范围. (1) 小问详解： 因为函数的图象关于点对称，所以,令，. (2) 小问详解： ① 因为的图象关于点对称，所以, ，计算得. ② 由对任意，总存在，使得成立, 可以得到当时，， 当时，，所以单调递增. 所以最小值是. 因为,当时，， 那么当时，，. 当时， 时，单调递增，时，也是单调递增. 所以最小值为,解. 当时， ，先减后增，，解 ，先增后减，， 所以. 当时，，单调递减，，单调递减. 所以最小值为，解得. 综上所述，实数a的取值范围. 72．【答案】（1）为奇函数     （2） 任取，不妨设， . 因此，即. 故在上是减函数.     （3）      【分析】 （1）由与的关系判断函数奇偶性； （2）用定义法证明函数的单调性； （3）由题可知在上的值域是在上值域的子集，根据（2）的结论可求出的值域，再分类讨论二次函数的对称轴的位置，结合在区间上的单调性确定值域，使其包含的值域即可得解 (1) 小问详解： 的定义域为，关于原点对称，且， 是奇函数. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）可知，在上是减函数，故在上的值域为. 由题可知，在上的值域是在上值域的子集. ，对称轴为. ① 若，此时，则有： ，解得； ② 若，此时，则有： ，此时无解； ③ 若，此时，则有： ，此时无解； ④ 若，此时，则有： ，此时无解； 综上所述，. 73．【答案】（1）     （2） . 函数的单调递增区间为，无单调递减区间，函数的值域为.     （3）      【分析】 （1）分与两种情况可化简函数的解析式； （2）根据函数的解析式可作出函数的图象，结合图象可得出函数的单调区间与值域； （3）即求在上的最小值. (1) 小问详解： 当时，；当时，，故： . (2) 小问详解： 函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为，无单调递减区间，函数的值域为. (3) 小问详解： 由题可知，恒成立，即求 在上的最小值. 对来说，当时，取到最小值；对来说，当时，取到最小值. 即的最小值为. 故. 74．【答案】（1） 设任意，，且， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上单调递减；     （2） （i）判断：函数是奇函数， 证明如下： 由 知函数的定义域为，关于原点对称， 由 ， 当时，， 当时，， 综上，当时，总有， 故函数是奇函数； （ii）      【分析】 （1）利用作差法证明函数的单调性； （2）（i）根据分段函数及奇函数的定义可证明函数为奇函数；（ii）由（1）可得函数单调递减，结合“漂亮区间”的定义转化为方程组有解，即可得到是方程的两个不等的负实根，利用根的判别式及韦达定理得到不等式组，解得即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）略 （ii）因为，所以函数， 由（1）知在上单调递减， 因为存在“漂亮区间”，则 有解，即 ， 即是方程的两个不等的负实根， 即方程在有两个不等的实根， 所以 ，解得， 故实数的取值范围为. 75．【答案】（1）函数是上的“局部倒负函数”     （2）存在，     （3）      【分析】 （1）利用求解即可；另法：计算，可得结论； （2）由题意可得存在，使得，分，两种情况求解即可得的取值范围； （3）利用赋值法求得，进而可得在区间上有解，利用换元即可求解. (1) 小问详解： 因为，解得， 所以区间内存在实数，满足， 所以函数是上的“局部倒负函数”. 另法：因为，且，满足“局部倒负函数”的定义， 所以函数是上的“局部倒负函数”. (2) 小问详解： 假设存在实数，使得函数是区间上的“局部倒负函数”. 由“局部倒负函数”的定义知，存在，使得. 因为，所以. 当时，，则，即① ， 当时，，则，即②. 所以① 或② 有解，即在上有解或在上有解， 当时，；当时，，所以. 所以存在实数，使得是区间上的“局部倒负函数”. (3) 小问详解： 因为，，函数满足. 令，，则，又，所以. 令，则. 此时， 而，满足条件， 所以. 因为是区间上的“局部倒负函数”， 所以存在实数，满足，又，所以， 所以. 则在区间上有解. 令，由于函数在上单调递减，上单调递增， 所以，则上式可化为在区间上有解， 因为，当且仅当时取等号. 所以. 所以实数的取值范围为. 76．【答案】（1）     （2）①； ② 函数图象的对称中心为，证明如下： (法一)设是函数图象上任一点，则， 关于的对称点为， 因为，且． 所以． 即点也在图象上． 所以的图象关于点中心对称． (法二)设函数对称中心为，则为奇函数， 所以， 所以， 整理得：恒成立． 所以， 所以． 所以函数对称中心为． （法三）， 设，因为， 所以为奇函数，对称中心为， 所以的对称中心为．      【分析】 （1）解法一先判断条件的只能是反比例函数，再根据对称中心设函数，再由可得函数解析式；解法二将反比例函数进行常数分离，得函数的对称中心，再由可得函数解析式； （2）①根据函数的单调性可得值域；②解法一先判断函数的对称中心，再证明；解法二先设函数对称中心为，得为奇函数，再由奇函数的定义可得；解法三通过对函数解析式进行变形，构造为奇函数，进而可得原函数的对称中心. (1) 小问详解： （法一）函数是满足甲、乙、丙结论． 因为对称中心为，设， 又，得，所以， 所以． （法二）函数是满足甲、乙、丙结论． 因为，对称中心为， 所以， 因为，可得，所以， 所以． (2) 小问详解： ①函数， 则在为单调递增函数，，. 所以的值域为. ② 略 77．【答案】（1）1     （2） 函数为增函数，证明如下： 任取，因为， 由于是增函数，所以，又因为， 所以， 所以， 所以函数为增函数．     （3）      【分析】 （1）法一，利用奇函数的定义结合待定系数法计算即可；法二、利用计算参数，再根据定义验证即可； （2）利用单调性的定义作差计算即可； （3）先利用函数的单调性脱去函数符号，再根据整体思想分离参数得出，结合换元法构造新函数，由单调性的定义判定其单调性计算函数最值即可. (1) 小问详解： 法一、因为函数是R上奇函数， 所以恒成立， 则， 由于，则，所以． 法二、因为函数是R上奇函数， 所以， 即，解得． 当时，由于， 此时函数是奇函数，所以． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为为单调增函数， 当，不等式恒成立， 所以恒成立， 即， 则， 在为增函数，则， 所以， 有． 令， 则， 令，由于，设， 则， 由于， 则， 所以， 所以在单调递增． 所以函数在为增函数， 则，则， 所以． 78．【答案】（1） 设，则 ， 由、，则、， 故，故在区间上单调递增；     （2）     （3）      【分析】 （1）借助函数单调性定义，设出，作差计算即可得； （2）借助换元法，令，再分与讨论即可得； （3）求出的最大值后，借助参变分离可得在上有解，计算出在上的最大值即可得. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题意可得，则， 令，则有，即， 若，即时，恒成立，即有； 若，则时，， 化简得，解得， 又，故； 综上可得，即，则或；故不等式解集 (3) 小问详解： 由函数在上单调递增，则， 由题意可得在上有解， 则在上有解， 由在上递增，故， 即，又，故. 79．【答案】（1）     （2） 函数是上的奇函数. 证明如下：由题意知，函数的定义域为，关于原点对称， 因为对于任意都有，且， 令，可得，即， 所以函数是上的奇函数.     （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.      【分析】 （1）根据题意，令，求得的值； （2）根据函数的奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （3）根据题意，转化为，利用为上的增函数，转化为 ，结合含参数的不等式的解法，即可求解. (1) 小问详解： 解：因为对于任意都有， 令，可得，解得. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由不等式，可得， 因为函数是上的奇函数，可得， 又因为对于任意都有，可得， 函数为上的增函数，所以， 即，即， 当时，不等式即为，解得，此时不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得或，不等式的解集为. 当时，不等式即为，解得，不等式的解集为； 当时，不等式即为，解得或，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 80．【答案】（1）的图象关于点成中心对称     （2） 设， 则， 所以在上是增函数， 所以在上是增函数， 所以当时，，即．     （3）      【分析】 由已知，可将代入解析式验证，并可证明函数关于中心对称。 可通过定义证明函数的单调性，并由单调性证明 由题设条件构造过程可以无限进行下去即关于x的方程无解， 即关于x的方程无解或有唯一解，代入可解得 (1) 小问详解： 因为， 所以． 由定义可知，的图象关于点成中心对称． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为构造过程可以无限进行下去， 所以对任意恒成立， 即关于x的方程无解， 即关于x的方程无解或有唯一解， 所以 或 ，解得． 【点睛】 本题侧重考查逻辑推理、数学运算素养．对逻辑推理的考查主要体现在利用定义推理得到结论，对数学运算的考查主要体现在推理过程中的计算． 81．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义即可求解； （2）根据的单调性，分类讨论解不等式； （3）先求出的值域，利用换元法得到的值域，根据题意得到两个值域的包含关系从而得到结果. (1) 小问详解： 函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得，解得，此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意， 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，其定义域为， 显然在，上均单调递减， 且当时，，，，所以， 同理可得当时，， 若，可能满足以下几种情况： ① ，解得， ② ，解得， ③ ，解得 ，显然无解， 综上，实数x的取值范围是 (3) 小问详解： 由（2）知，， 当时，，故， 所以在上值域为， 又，， 令，， 则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上值域为， 因为对任意的，总存在，使得成立， 则，可得，解得. 所以实数m的取值范围是. 82．【答案】（1） 函数的定义域为， 取，则，此时，不存在，使得， 因此，函数不是“伴随函数”.     （2） 因为函数在定义域上为增函数，则存在， 使得，若，则， 根据题意，存在，使得，矛盾， 故，所以，， 所以，，即.     （3）      【分析】 （1）取，结合“伴随函数”的定义判断即可； （2）推导出，结合指数运算可证得结论成立； （3）分、两种情况讨论，当时，可知不是“伴随函数”；当时，函数在上单调递增，根据求出的值，利用基本不等式求出的最小值，再利用参变量分离得出，令，可得，利用二次函数的基本性质求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 若，则当时，， 此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”， 所以，，函数在上单调递增， 则，， 由“伴随函数”的定义可得， 因为，解得，即，， 当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，，恒有， 则，所以，， 令，则，由题意可得， 令，，函数在上单调递增， 所以，，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】 结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 83．【答案】（1）① ；②     （2）      【分析】 （1）① 令，结合奇函数定义与时解析式计算即可得；② 分、及讨论即可得； （2）由奇函数定义可得，再分及进行讨论，当时，可结合奇函数定义得到函数在上的解析式，再将图象画出，结合图象计算即可得. (1) 小问详解： ① 由，则当时， ； 当时，有，则， 又函数是定义域在上的奇函数， 则， 故当时， ； ② 由题可得 ， 当时，令，解得，故； 当时，令，解得，故； 当时，令，解得，故； 综上所述：该不等式的解集为； (2) 小问详解： 由函数是定义域在上的奇函数，则，则， 若，则当时，，当时，， 即，则，此时恒成立； 若，则当时， ； 当时，有，则， 又函数是定义域为的奇函数， 则 ； 故 ， 由的图象为将函数向左平移个单位所得， 则如下图所示，要使得对于任意，都有成立， 则，解得，又，则； 综上所述：实数的取值范围为. 84．【答案】（1） 解：函数不是“型函数”. 理由：由函数，可得， 即，不存在实数对使得对于定义域内的任意都成立， 所以函数不是“型函数”.     （2）      （3）       【分析】 （1）由函数，根据题意，得到，根据不存在使得都成立，即可得到结论； （2）由函数是“型函数”，根据题意，化简得到求得，即可求解； （3）由函数是“型函数”，可得，令，求得，满足题意；把对任意，都有，转化为任意，都有，令，得到，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：因为函数是“型函数”，可得， 即对于定义域上的任意都成立， 所以，则. (3) 小问详解： 解：由函数是“型函数”，可得， 令，可得，解得，满足， 又由当时，， 则时，可得，则， 要使得对任意，都有，只需对任意，都有， 令，因为，可得，且， 因为的图象开口向上，且对称轴为， 当时，即时，函数在单调递增， 则满足 ，解得，所以 当时，即时，函数在单调递减，在递增， 则满足 ，解得，所以 当时，即时，函数在单调递减， 则满足 ，解得，所以， 综上可得，满足，即实数的取值范围为. 85．【答案】（1）和     （2） 当时，. 令，则，代入得. 函数是奇函数，关于原点中心对称， 因此原函数关于点中心对称，故曲线是中心对称图形.     （3）最大值，最小值      【分析】 （1）分析二次函数绝对值的图像特征求单调区间； （2）通过换元转化为奇函数证明中心对称； （3）换元后结合二次函数的性质来求最值. (1) 小问详解： 当时，，则. 函数的零点为和，顶点横坐标为. 结合绝对值函数的图像，可得的单调递减区间为和. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 当时， . 令，则. 函数的开口向上，对称轴为，在区间内， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以， 则，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 考点03 幂函数 1．D 2．A 3．【答案】2 【分析】 待定系数法求出的解析式即可. 【详解】 设幂函数 ，其中  为常数， 函数图象经过点 ， 因此，有：， 解得：. 所以，幂函数为 . 故. 故答案为：2 4．【答案】①     ② 【分析】 根据幂函数的图象经过已知点，可求的值，再根据函数的解析式求函数的定义域. 【详解】 因为幂函数过点， 所以. 所以，函数定义域为. 故答案为：； 考点04 函数的应用（一） 1．B 2．【答案】（1）     （2）立方米      【分析】 （1）利用分段函数思想求解出关于的函数解析式； （2）根据解析式判断出水费为元时用水量的范围，然后根据对应段函数解析式可求结果. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，关于的函数解析式为 . (2) 小问详解： 由（1）可知，当时，， 当时，， 当时，， 因此当月缴纳的水费为元时，用水量， 所以，解得（立方米）， 答：此户居民本月用水量为立方米. 3．【答案】（1）元/升     （2）元/升      【分析】 （1）设本年度实际油价为x元/升，先根据收益公式求得收益，然后结合换元法利用基本不等式求解最值，即可得解. （2）设本年度实际油价为x元/升，先根据收益公式求得收益，然后由求解即可. (1) 小问详解： 设本年度实际油价为x元/升，由题意得新增耗油量为，故实际耗油量为， 所以本年度收益， 令，，可得， 故. 因为，当且仅当即时等号成立， 所以时，本年度收益y取得最小，即本年度实际油价为元/升时，本年度收益最低； (2) 小问详解： 上年实际收益为：，故本年度收益. 设本年度实际油价为x元/升，实际耗油量为， 所以本年度收益， 所以，即， 令，因为，所以， 故得，化简得，即， 解得或，因，故， 即，所以. 即油价最低定元/升时，可保证收益比上年至少增长188%. 4．【答案】（1）300元；     （2）总利润最小值为元，销售量为件；     （3）件.      【分析】 （1）直接代入总利润函数求值即可. （2）根据基本不等式求解最值即可. （3）结合一次函数的性质以及一元二次不等式的解法解分段不等式即可. (1) 小问详解： 因为，所以总利润为元. (2) 小问详解： 当时，总利润为元. 当且仅当即件，满足， 所以总利润最小值为元，此时的销售量为件； (3) 小问详解： 当时， 总利润为，不符合题意； 当时，由题意总利润为，即， 所以，解得或（与矛盾舍去），所以； 综上，当总利润不低于1000元时，销售量至少为件. 5．【答案】（1）     （2）当月产量为200件时，产品的单位利润最大，最大单位利润为100元.      【分析】 （1）分为、两种情况，然后根据“利润总收入总成本”即可得出结果； （2）首先可根据得出 ，然后分为、两种情况进行讨论，依次求出最值，即可得出结果. (1) 小问详解： 依题设知，总成本为元， 则 ； (2) 小问详解： 产品的单位利润 当时，， 当且仅当即时，； 当时，是减函数，所以. 所以当月产量为200件时，产品的单位利润最大，最大单位利润为100元. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $