专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，江苏专用）高一数学上学期

**基本信息** 汇集江苏多地高一上期中试题，聚焦一元二次函数、方程和不等式三大考点，通过选择、多选、填空及解答题，结合接力跑、旅游加油等生活情境与逻辑推理，实现基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|约50题|等式与不等式性质（如比赛人数比较）、基本不等式（如最值计算）、二次函数与不等式（如解集判断）|结合苏超足球联赛等真实情境，考查性质应用与逻辑推理| |填空|约10题|因式分解、参数范围、面积最值|注重数学表达与简洁计算，如折叠矩形面积问题| |解答题|约11题|不等式证明（如接力跑时间比较）、函数图像应用、综合最值（如矩形花坛扩建）|分层设计三问，从猜想到证明再到函数解释，体现数学建模与创新应用|

专题02 一元二次函数、方程和不等式 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．C 2．B 3．ABD 4．BC 5．AC 6．A 7．C 8．D 9．C 10．BC 11．【答案】（1）方案所用时间较短.     （2） 对方案，甲乙各跑公里，用的时间为， 对方案，设用的时间为，则甲乙均跑了的时间，所以，所以用的时间为. 则.下面用作差法证明. 因为， 因为，且，，所以， 即.     （3） 设函数，.如图，    函数在上为凹函数，对，有. 所以对，，，恒有. 即.      【分析】 （1）利用特殊情况，猜测即可. （2）列出两个方案所用的时间，利用作差法比较它们的大小. （3）设，，利用函数的凹凸性说明（2）中的结论. (1) 小问详解： 假设甲的速度为，乙的速度为， 方案用时：， 方案用时为，则. 猜测方案所用的时间较短. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 考点02 基本不等式 1．C 2．B 3．B 4．ACD 5．D 6．BC 7．B 8．AC 9．ACD 10．B 11．B 12．BCD 13．B 14．AC 15．ACD 16．ABD 17．AB 18．C 19．AD 20．ABD 21．D 22．B 23．ABD 24．ABD 25．【答案】 【分析】 设，根据条件先分析出的取值范围，然后根据与全等表示出，结合三角形面积公式以及基本不等式可求解出面积的最大值. 【详解】 设，点翻折后的位置为点， 因为矩形周长为，所以，所以， 又因为，所以，解得，所以， 因为， 所以与全等，所以， 设，则， 在中，，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以， 故答案为：. 26．【答案】（1）     （2）米，米，最小面积为平方米.      【分析】 （1）先表达出矩形的面积表达式，再由面积大于16平方米求解即可. （2）由（1）得到的矩形的面积表达式，化简根据基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 因为的长为米，且四边形为矩形，所以，所以，因为， 所以，所以，解得或，所以的长应在. (2) 小问详解： 由（1）可知，，当且仅当时，即时取等号， 所以此时米，米时，矩形花坛的面积最小，面积为平方米. 27．【答案】（1）；     （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，.      【分析】 （1）设，得到，再由基本不等式即可求解； （2）（ⅰ）由几何关系，通过，得，进而可求得的周长； （ⅱ）设，在中，可得，再结合三角形面积公式及基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 由题意，长方形（）的周长为，， 所以， 设，则， 所以， 由于，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值是. (2) 小问详解： （ⅰ）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以，，，所以， 所以， 所以； （ⅱ）设，则， 由 可得 ，解得. 由（ⅰ）知，， 在中，有， 解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值为，此时. 28．【答案】 【分析】 令则，，可得 .用表示，得到，令，化简后利用对勾函数的单调性即可求解. 【详解】 令则，， 又则，解得 . ， 令，则，. 函数在上单调递增，所以，所以 故答案为： 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．B 2．A 3．B 4．B 5．C 6．A 7．A 8．A 9．C 10．AC 11．【答案】 【分析】 根据，设，利用待定系数法求解. 【详解】 因为， 所以设， ， 则 ，解得 ， 所以， 故答案为： 12．【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）求出的定义域与值域，把集合具体化，然后利用集合的运算法则可得答案； （2）由，得，解一元二次不等式可得到，利用集合的基本关系可得答案. (1) 小问详解： 由，得，即. 由， 因为，所以，即. 所以. (2) 小问详解： ，得. 因为，所以， 所以\left[-1,3\left\right]\subseteq \right[-1,1-m]， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 13．【答案】 【分析】 利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】 ，所以， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 故答案为： 14．【答案】 【分析】 由一元二次不等式求得集合，根据充分不必要条件可得集合之间的包含关系，从而建立不等式，可得答案. 【详解】 ， 由是成立的一个充分不必要条件，则是的一个真子集， 所以，解得. 故答案为：. 15．【答案】 【分析】 先求6个数的总和，将问题转化为二次函数的最值问题，确定使平方和最小的和的取值，再从数中选取对应和的组合计算结果． 【详解】 6个数的总和：． 设，，则，所求为． ，当时，该式取得最小值，此时． 在数7，4，3，1，8，9中，取，剩余，满足． 故． 故答案为： 16．【答案】（1）、     （2）     （3）      【分析】 （1）令，求出方程的解，即可得解； （2）依题意可得在上有解，令，，求出函数的值域，即可求出参数的取值范围； （3）依题意可得存在，使不等式成立，则，即可求出参数的取值范围. (1) 小问详解： 对于函数，令，即， 解得或， 所以的零点为、； (2) 小问详解： 因为存在，使等式成立， 即方程在上有解， 即在上有解， 令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以， 因为在上有解， 即与在上有交点， 所以； (3) 小问详解： 因为存在，使不等式成立， 即存在，使不等式成立， 所以，所以的取值范围为. 17．【答案】 【分析】 根据分式不等式的解法，以及一元二次不等式的解法，求出不等式的解集，根据充分不必要条件，判断解集之间的包含关系，求出结果. 【详解】 由得，解得， 由得，解得， 当是的充分不必要条件时，可得是的真子集， 则 ，解得， 所以实数的取值集合是. 故答案为：. 18．【答案】 【分析】 由，不等式为真命题，结合和两类情况讨论即可. 【详解】 由题意，不等式”为真命题， 当时，恒成立，不符合题意； 当时，若,显然符合题意； 若,则需使，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 19．【答案】3. 【分析】 由题可得为方程的根，结合根与系数关系可得，，代入化简，结合基本不等式即可求解. 【详解】 不等式可化为：，等价于 ， 因为关于的不等式的解集为， 则为方程的根，所以 ， 因为， 则， 所以， 因为，则，当且仅当时，即时去等号， 所以的最小值是 故答案为： 20．【答案】； 【分析】 由于的解集为,可得，列出不等式即可求解. 【详解】 由于的解集为,则，所以 ，解得：， 所以实数的取值范围为； 故答案为： 21．【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）由题可得1，是方程的两根，进而求出,再由分式不等式的解法求解即可； （2）讨论的范围，结合二次函数的单调性求解即可. (1) 小问详解： 因为不等式的解集为， 所以1，是方程的两根， 所以 ，解得 . 不等式即为，不等式可化为，等价于 解得，所以不等式的解集为. (2) 小问详解： 因为， 当时，在上单调递增，所以； 当时，所以； 当时，在上单调递减，所以， 所以 . 22．【答案】（1） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为     （2）     （3）      【分析】 （1）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （2）分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，分别求出函数的最小值； （3）依题意可得对于恒成立，则 ，解得即可. (1) 小问详解： 不等式化简得：， ①当时，解得，即不等式的解集为， ②当时，解得或，即不等式的解集为， ③当时，解得或，即不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． (2) 小问详解： 函数的对称轴为， ①当，即时，在上为增函数， 所以； ②当，即时，在上为减函数， 所以； ③当，即时，． 综上所述，的最小值为 . (3) 小问详解： 依题意可得对于恒成立， 所以且， 即 ，解得或， 即的取值范围为． 23．【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）先通过解一元二次不等式和分式不等式求得集合，再进行集合的基本运算即可求解； （2）由，得到，根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可得到的取值范围. (1) 小问详解： 因为集合， 所以. 或 则或或， (2) 小问详解： 因为，所以， 又因为， 所以的取值范围为. 24．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）化简再应用一元二次不等式计算求解； （2）根据条件关系可得包含关系，再根据包含关系可得关于的不等式组，故可求其范围. 【详解】 （1）由，故， ， 解得， 所以解集； （2）由题意可知：， 因为非空，故，故， 而“”是“”的必要不充分条件，故是的真子集， 故 ，且等号不同时成立，解得. 25．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意，利用二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解； （2）根据题意，得到和是方程的解，结合一元二次方程根与系数的关系，列出方程组，即可求解； （3）根据题意，转化为对成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. (1) 小问详解： 解：函数，可得函数的图象开口向上，对称轴为， 因为函数在上单调递减，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 解：由不等式的解集为或， 即不等式的解集为或， 即和是方程的解，可得 ，解得. (3) 小问详解： 解：因为，对于成立， 即，不等式对成立， 即对成立，所以 ，即 ， 两式相加，可得，即， 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为. 26．【答案】16 【分析】 利用二次函数的最值可得，从而可得的解集，再结合已知的解集可求实数的值. 【详解】 因为函数的最小值为0， 所以由二次函数的性质可得，故． 不等式即为，其解集为， 因为的解集为， 所以 ，故即. 故答案为：16． 27．【答案】（1）     （2）     （3）或.      【分析】 （1）利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案； （2）利用二次函数的单调性可得答案； （3）根据对称轴与定义域的关系分类讨论，结合二次函数的单调性可得答案. (1) 小问详解： 由条件，在上恒成立， 当，不符合； 当时，显然也不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是. (2) 小问详解： 由条件，在上单调递减， 当，符合； 当时，显然不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是 (3) 小问详解： 由，即. 由条件在上的最大值为6， 当，即时，， 即，解得，符合； 当，即时，， 即，解得，符合. 所以符合条件的的取值为或. 28．【答案】 【分析】 把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可. 【详解】 要使不等式在上有解， 则，在上有解， 令，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故时，， 因此要使不等式在上有解， 则， 故答案为：. 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求集合和的补集，再求并集； （2）分为空集和非空集两种情况，结合子集关系列不等式求解. (1) 小问详解： 解不等式，即，得， 当时，，则或， 因此. (2) 小问详解： 因为是的充分条件，所以. 当时，，解得，满足. 当时，，且需满足 ，解得. 综上，实数的取值范围是. 30．【答案】（1），     （2）     （3）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为.      【分析】 （1）由为方程的两根，结合韦达定理即可求解； （2）问题转换成恒成立即可求解； （3）通过，，，，讨论即可. (1) 小问详解： 由题意得为方程的两根，且， 由韦达定理得，，解得， (2) 小问详解： ， 即， 所以， 题目等价于存在实数，使得成立， 故只需，即 (3) 小问详解： 由题意得，即， 故， 若，则，解得，故解集为； 若，的两根为，，且， 故的解集为； 若，① 当，即时的解集为； ② 当即时，由，故解集为； ③ 当即时，的解集为 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 31．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）利用待定系数法求出解析式. （2）由（1）及已知建立不等式并分离参数，利用二次函数求出最小值即得. （3）由不等式的解集求得，再求出不等式的解集，结合整数解个数建立不等式求出范围. (1) 小问详解： 由，得，由恒成立， 得，即恒成立， 因此 ，解得 ，， 所以函数的解析式是. (2) 小问详解： 由（1）知，， 由当时，函数的图象恒在直线的上方， 得，恒成立， 而函数在单调递减，则当时，， 所以实数的取值范围. (3) 小问详解： 由不等式的解集为， 得是方程的两个根，且， 则，即，， 不等式， 整理得，而，解得， 由不等式有且只有15个整数解，得，解得， 所以正实数的取值范围. 32．【答案】或 【分析】 由题意可得与有公共的正零点，设为，则可得，可得且，结合可得或，再分类计算即可得. 【详解】 当时，，则， 由， 则单调递减，且在上单调递增， 则时，，当时，， 则与有公共的正零点，设为， 则，即有， 解得，且有， 则在上单调递减，又在上单调递增， 当时，，，满足题意； 当时，，，满足题意； 由，则，，又，则或； 若，则，此时； 若，则，此时. 故答案为：或. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的人数至少为（       ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【分析】 利用不等式的性质求出参加各项比赛的最少人数即可求出. 【详解】 设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为，，，且，，为正整数， 则由题意得，，，可得， 即，所以，，故参加这三项比赛的人数至少为． 故选：C. 2．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）在教材中，呈现了如下的不等式的基本性质： 性质1：若，则． 性质2：若，则． 性质3：若，则． 性质4：若，则；若，则． 性质5：若，则． 性质6：若，则． 在证明不等式的基本性质6时，有如下过程： 证明： 因为，，所以． 因为，，所以． 所以．在该证明过程中，引用性质正确的是（　　） A. 性质1和性质2 B. 性质2和性质4 C. 性质3和性质4 D. 性质4和性质5 【答案】B 【分析】 根据证明过程中所应用的不等式的性质判断即可. 【详解】 因为，，利用性质4得到． 因为，，利用性质4得到． 再由，，利用性质2得到. 故选：B 3．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）（多选）若非零实数满足，则下列不等式不一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 通过代特殊值，或是根据做差法，判断选项. 【详解】 A.当时，不等式不成立，故A正确； B.当时，不成立，故B正确； C.因为是非零实数，且满足，所以一定成立，故C错误； D.，因为，所以，但可能是正数，负数，或零，所以不一定成立，故D正确. 故选：ABD 4．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【分析】 利用不等式的性质即可判断BC，举反例即可判断AD 【详解】 对于A,若，，则，故A错误； 对于B,若，则，即，故B正确； 对于C,若，两边同乘以得，两边同乘以得， 则，故C正确； 对于D,满足，则得不到，故D错误 故选：BC 5．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）（多选）下列命题正确的有（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】AC 【分析】 根据不等式的性质判断A、C，利用特殊值判断B、D. 【详解】 对于A：因为，所以，所以，不等式两边同除以得，，故A正确； 对于B：当，，满足，但是，故B错误； 对于C：因为，且， 当时，即，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以； 综上可得，故C正确； 对于D：当，，，，满足， 但是，，即，故D错误. 故选：AC 6．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】A 【分析】 通过不等式性质和举反例的方法，逐个分析选项的正确性. 【详解】 选项A，由，因，两边同乘得，A正确； 选项B，取，，，则，，，B错误； 选项C，取，，，，则，，，C错误； 选项D，当时，，D错误. 故选：A 7．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则的取值范围是 【答案】C 【分析】 由不等式的性质结合特殊值逐项判断即可. 【详解】 对于A，取，此时，A错， 对于B，取，此时，B错， 对于C，因为，，， 所以，即，C正确， 对于D，由，，得，D错， 故选：C 8．（2026·江苏淮安·11月调研）下列命题中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【分析】 根据不等式的性质，逐一判断即可. 【详解】 选项A，若，只有当时，，当时，，故A错误； 选项B，若，则，或，或，故B错误； 选项C，若，当时，，故C错误； 选项D，若，则，则，故D正确. 故选：D. 9．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）若，，则下列不等式恒成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 举出反例可得A、B、D；分类讨论从而去掉绝对值可得C. 【详解】 对A：取，则，故A错误； 对B：取，，则，，有，故B错误； 对C：若，则，， 由可得，，则； 若，则，，则； 若，则，，由，则， 则，即； 综上所述：恒成立，故C正确； 对D：取，，，，此时，故D错误. 故选：C. 10．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）（多选）设，则下列不等式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BC 【分析】 通过赋值法和不等式的性质对逐个选项进行分析即可. 【详解】 对于选项，令，则，，故选项错误. 对于选项，，，又，根据不等式的性质可得，故选项正确. 对于选项，，，，，即，， ，，故选项正确. 对于选项，令，则，，，故选项错误. 故选：. 11．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）2025年，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）火爆出圈，激发了全民运动热情．为进一步改善员工身体健康状况，某单位顺势举办一场接力跑活动，规定两人组成一队，接力跑完1公里的路程．现有两种接力方案．方案：每队的两人跑相等的路程；方案：每队的两人跑相等的时间．设甲、乙两人组成一队，两人都是匀速跑，但速度不相等． （1）猜想甲、乙两人应选择哪一种方案，才能使两人所用的总时间较短（不用说明理由）； （2）设甲、乙两人的速度分别是，试用一个含有和的不等式表示你的猜想，并用数学方法给出证明； （3）我们都有从函数观点出发解决不等式问题的体验．例如： 二次函数的图象     的解集 试引用某函数的图象说明（2）中的含有和的不等式的正确性． 【答案】（1）方案所用时间较短.     （2） 对方案，甲乙各跑公里，用的时间为， 对方案，设用的时间为，则甲乙均跑了的时间，所以，所以用的时间为. 则.下面用作差法证明. 因为， 因为，且，，所以， 即.     （3） 设函数，.如图，    函数在上为凹函数，对，有. 所以对，，，恒有. 即.      【分析】 （1）利用特殊情况，猜测即可. （2）列出两个方案所用的时间，利用作差法比较它们的大小. （3）设，，利用函数的凹凸性说明（2）中的结论. (1) 小问详解： 假设甲的速度为，乙的速度为， 方案用时：， 方案用时为，则. 猜测方案所用的时间较短. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）已知，，，则的最小值为（     ） A. 36 B. 25 C. 16 D. 9 【答案】C 【分析】 利用“的代换”的方法，结合基本不等式求得正确答案. 【详解】 由两边除以得， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 2．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）已知，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将代数式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）已知，则函数有（       ） A. 最大值1 B. 最小值9 C. 最小值1 D. 最大值9 【答案】B 【分析】 利用基本不等式求最小值，则可得函数有最小值9. 【详解】 因为，所以，根据基本不等式可知：， 当且仅当，即取等号，故. 即函数有最小值9. 故选：B. 4．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）（多选）若，则下列不等式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 根据不等式的性质判断ABC；利用基本不等式求解判断D. 【详解】 对于A，由，得，正确； 对于B，由可得，即可得，错误； 对于C，由可得，正确； 对于D，由得，则， 当且仅当时取等号，由于等号取不到，故，正确. 故选：ACD 5．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）设，则的最小值为（       ） A.  B. 2 C. 4 D. 3 【答案】D 【分析】 直接利用基本不等式可得答案. 【详解】 因为， 所以， 当且仅当即时取等号. 故的最小值为3. 故选：D 6．（2026·江苏淮安·11月调研）（多选）设正实数满足，则下列说法正确的是（       ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最大值为2 【答案】BC 【分析】 根据基本不等式结合1的妙用，逐项判断即可. 【详解】 因为为正实数，， 则，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1，则A错误； ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，则B正确； 因为， 当且仅当时，等号成立，所以， 的最大值为2，故C正确； 因为， 由A项知，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2，故D错误， 故选：BC. 7．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一，出行中小胡有两种加油方案：第一种，每次均加升的燃油；第二种，每次加元的燃油，则下列说法正确的是（       ） A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样 D. 无法确定 【答案】B 【分析】 设两次加油时的油价分别为元/升和元/升，计算出两种方案下的燃油的均价，利用基本不等式比较即得. 【详解】 任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升． 第一种方案的均价：， 当且仅当时取等号； 第二种方案的均价：， 因，则， 故，当且仅当时取等号. 综上，第一种方案的均价不低于第二种方案的均价（当且仅当时取等号）.结合题干“各地燃油价格高低不一”可知油价会变化，此时第二种方案更划算． 故选：B． 8．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）（多选）设为正数，且，则下列选项中正确的是（　　） A. 的最小值为2 B. 的最小值为2 C. 的最小值为9 D. 的最小值为6 【答案】AC 【分析】 利用基本不等式求解最值判断AB；由，利用基本不等式可判断C；由，结合基本不等式，可判断D. 【详解】 因为为正数，且，，当且仅当时取等号，故A正确； ，当且仅当，即时取等号，故B错误； ， 当且仅当，即时取等号，故C正确； ， 当且仅当，即时取等号，故D错误． 故选：AC． 9．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）（多选）已知，，，则下列结论中正确的结论是（　　） A. 0 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D.  【答案】ACD 【分析】 根据不等式的性质判断A的真假；根据二次函数的值域判断B的真假，根据基本不等式可判断CD的真假. 【详解】 对A：因为，所以，又，所以，故A正确； 对B：因为， 因为，所以，所以，故B错误； 对C：因为，当且仅当，即，时取等号.故C正确； 对D：因为，当且仅当 即 时取等号.故D正确. 故选：ACD 10．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由乘1法，求得的最小值，即可求解. 【详解】 ， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 故选：B 11．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）若，，且，则的最小值为（     ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 16 【答案】B 【分析】 应用常数代换结合基本不等式计算求解. 【详解】 因为，所以， 则， 当且仅当时，取最小值9. 故选：B. 12．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）（多选）下列命题为真命题的是（        ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【分析】 A举反例；B由不等式的性质判断；C由基本不等式判断；D利用判断. 【详解】 A选项，当时，可知A错误； B选项，由不等式的性质可知，B正确； C选项，因，则由基本不等式可知，，则，故C正确； D选项，因，则，等号成立时， 因，则，等号成立时，故D正确. 故选：BCD 13．（2026·江苏淮安·11月调研）若正数满足， 则的最小值为（       ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【分析】 根据题意确定的正负，利用基本不等式求得答案. 【详解】 由题意可得正数满足， 当时，则， 当且仅当时取等号， 当时，，不合题意； 故的最小值为9， 故选：B 14．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（多选）已知正实数，满足，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AC 【分析】 利用基本不等式计算可得A、B、C；借助消元法，结合二次函数性质计算可得D. 【详解】 对A：，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对B：， 当且仅当，即、时，等号成立，故B错误； 对C：， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对D：由，则， 故， 则当时，有最大值，故D错误. 故选：AC. 15．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）（多选）已知且，则下列结论正确的有（       ） A. 的最大值为10 B. 的最大值为40 C. 的最小值为 D. 的最小值为200 【答案】ACD 【分析】 利用基本不等式一一判断即可. 【详解】 对于A：因为且， 所以，所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为10，故A正确； 对于B：， 所以，当且仅当，即，时取等号， 即的最大值为，故B错误； 对于C： ， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，故C正确； 对于D：因为， 所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为200，故D正确. 故选：ACD 16．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（多选）已知是正数，且，则下列选项正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【分析】 由条件变形选项中的式子，再利用基本不等式求最值，即可判断选项. 【详解】 A.，解得， 当且仅当且，即时，的最大值为，A正确； B.， 当且仅当时，的最小值为，B正确； C.， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为1，C错误； D.， 当且仅当，，即时等号成立， 故的最小值为，D正确. 故选：ABD． 17．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A. 函数与不是同一函数 B. 若，则 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 【答案】AB 【分析】 根据两个函数的对应法则不同可判断A；利用基本不等式可判断B；利用对勾函数的单调性可判断C；利用一元二次不等式恒成立的条件可判断D. 【详解】 对于A，函数，所以函数与不是同一个函数，故A正确； 对于B，，当且仅当取得等号，故B正确； 对于C，，因为函数在上单调递增，所以当时，，故C错误； 对于D，当时，不等式即，满足题意，当时，则有 ，解得. 综上所述，满足题意的的取值范围是，故D错误. 故选：AB 18．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A. 2 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 通过变形已知条件得到两个正数的和为定值，构造所求式子与该和的乘积形式，借助基本不等式求出最小值. 【详解】 由，，，可得，且，. 则 , 由基本不等式，, 故, 当且仅当且，即，时，等号成立. 故选：C 19．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）（多选）已知，，且，则（       ） A. xy的最大值为1 B. 的最大值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【分析】 对A，利用基本不等式求解；对B，由题可得，利用二次函数单调性求解判断；对C，举反例说明；对D，将原式变形，利用基本不等式求解. 【详解】 对于A，由，，所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，，得， 则，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，， 当且仅当，即，时，取等号，故D正确. 故选：AD. 20．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）（多选）已知，为正实数，且，则（     ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为4 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 【答案】ABD 【分析】 由，得到，再结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】 由得， 则，当且仅当时，取等号，A正确， ， 当且仅当时，取等号，B正确， ， 即，又，为正实数， 得，则的最大值为2，C错误， 由，得且，即， 所以 当且仅当时，取等号，故D正确， 故选：ABD 21．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知，均为正数，且，设，，，则下列关系中不可能成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用基本不等式可得，再按，，分类讨论可判断ABD，对于C：利用完全平方式可得到，再令，可计算出，进而可判断C. 【详解】 已知，均为正数，且， 因为，即， 由基本不等式可知：，所以， 由于 ，考虑   相对于 2 的位置： 当时，选项A可能成立，选项D不成立； 当时，选项B可能成立，选项D不成立； 当时，则，， 若选项D成立，则成立，即，此时， 同时成立，即， 当 ，则 ，要求 ，即 ，但 ，矛盾； 当 ，则 ，要求 ，即 ， 由  得 ，与  矛盾； 故选项 D 在所有情况下均不可能成立. 对于C， 由，，得： ， 所以，令得，故此时 ，，， 故：，故选项C可能成立. 故选：D 22．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）函数，若存在正实数，，…，，其中且，使得，则的最大值为（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【分析】 根据基本不等式求出，则由不等式的性质可知，将题意转化为，得关于的不等式组，解之即可. 【详解】 ， 当时，， ，， 即，所以， ， 由知， 集合， 因为且，所以， 所以，即，又， 所以的最大值为7. 故选：B． 23．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）（多选）已知为正实数，且，则（       ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【分析】 根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】 对于A，由，得，即， 解得，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，即， 解得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，得，则， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，由，得，且， 因此 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 24．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）（多选）已知，则（     ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【分析】 利用基本不等式可判断A、C、D的真假，借助消元法与二次函数性质计算可判断B的真假. 【详解】 对A：， 当且仅当，即、时，等号成立， 故的最大值为，故A正确； 对B：由，则，则， ， 故的最小值为，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当，即、时，等号成立， 故，故C错误； 对D：， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故D正确. 故选：ABD 25．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设，根据条件先分析出的取值范围，然后根据与全等表示出，结合三角形面积公式以及基本不等式可求解出面积的最大值. 【详解】 设，点翻折后的位置为点， 因为矩形周长为，所以，所以， 又因为，所以，解得，所以， 因为， 所以与全等，所以， 设，则， 在中，，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以， 故答案为：. 26．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点．已知米，米，设的长为米．    （1）要使矩形的面积大于16平方米，则的长应在什么范围内？ （2）求当，的长度分别是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值； 【答案】（1）     （2）米，米，最小面积为平方米.      【分析】 （1）先表达出矩形的面积表达式，再由面积大于16平方米求解即可. （2）由（1）得到的矩形的面积表达式，化简根据基本不等式求解即可. (1) 小问详解： 因为的长为米，且四边形为矩形，所以，所以，因为， 所以，所以，解得或，所以的长应在. (2) 小问详解： 由（1）可知，，当且仅当时，即时取等号， 所以此时米，米时，矩形花坛的面积最小，面积为平方米. 27．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）如图，长方形（）的周长为.                     图                                                         图 （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；     （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在，.      【分析】 （1）设，得到，再由基本不等式即可求解； （2）（ⅰ）由几何关系，通过，得，进而可求得的周长； （ⅱ）设，在中，可得，再结合三角形面积公式及基本不等式即可求解. (1) 小问详解： 由题意，长方形（）的周长为，， 所以， 设，则， 所以， 由于，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值是. (2) 小问详解： （ⅰ）沿折叠使点到点位置，交于点， 所以，，，所以， 所以， 所以； （ⅱ）设，则， 由 可得 ，解得. 由（ⅰ）知，， 在中，有， 解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积存在最大值为，此时. 28．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）已知，，则的取值范围为　　　　　　． 【答案】 【分析】 令则，，可得 .用表示，得到，令，化简后利用对勾函数的单调性即可求解. 【详解】 令则，， 又则，解得 . ， 令，则，. 函数在上单调递增，所以，所以 故答案为： 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】由不等式解集可求，代入求解即可. 【详解】 由题意知：，则有， ∴，解之得， 故选：B 2．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）已知a为实数，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 根据题意，解不等式得或，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】 ，即， ，解得或， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）已知，，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 首先根据题意得到，即可得到答案. 【详解】 ， 因为， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 4．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）设为实数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分，两种情况讨论可求得的取值范围. 【详解】 当时，不等式为，解得，所以不等式不恒成立， 当时，由不等式恒成立， 所以 ，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 5．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）若命题“，是真命题，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分析二次函数开口方向，利用判别式小于0求解实数的取值范围. 【详解】 因为对任意，恒成立，且二次项系数， 所以其判别式. 化简得，即，因式分解为， 解得. 故选：C 6．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中），恒成立的充要条件是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分情况讨论，根据在上恒成立求的取值范围. 【详解】 根据题意，不等式在上恒成立. 若，则不等式可化为，所以不合题意. 若0，则不等式可化为. 因为在上恒成立，所以必有的根为1， 所以. 故选：A 7．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）已知不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由题意得，且是方程的两根，由韦达定理得，代入 中，因式分解即可求解. 【详解】 因为不等式的解集为， 所以，且是方程的两根， 由韦达定理得，即. 所以不等式可化为即， ，则， 所以不等式的解集为. 故选：A 8．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）设为实数，命题：不等式对一切实数都成立，则“”是“为真命题”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 不等式对一切实数都成立，按照和讨论求解， 当时， ，计算求出的范围，利用充分条件和必要条件的定义得到结论. 【详解】 不等式对一切实数都成立， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式对一切实数都成立， ， ，， 综上可知，不等式对一切实数都成立，则； 则“”是“为真命题”的充分不必要条件. 故选：A. 9．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中不正确的是（     ） A.  B.  C. 不等式的解集为 D.  【答案】C 【分析】 由一元二次不等式的解集得到一元二次方程的解，由韦达定理得到的关系式，且，进而逐项判断即可. 【详解】 由题意得：的解为和，且， 所以，解得：， 故A正确， ，故B正确； ，即，解得：，故C错误； ，D正确， 故选：C 10．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）（多选）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AC 【分析】 由一元二次不等式的解集可得 判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【详解】 由题设，的解集为， ∴，则 ， ∴，，则A正确，D错误； 原不等式可化为的解集为， 而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，    ∴由图知：，，故B错误，C正确. 故选：AC. 11．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）因式分解：　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据，设，利用待定系数法求解. 【详解】 因为， 所以设， ， 则 ，解得 ， 所以， 故答案为： 12．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知函数.设的定义域为集合，的值域为集合，集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）.      【分析】 （1）求出的定义域与值域，把集合具体化，然后利用集合的运算法则可得答案； （2）由，得，解一元二次不等式可得到，利用集合的基本关系可得答案. (1) 小问详解： 由，得，即. 由， 因为，所以，即. 所以. (2) 小问详解： ，得. 因为，所以， 所以\left[-1,3\left\right]\subseteq \right[-1,1-m]， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 13．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）不等式的解集是　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】 ，所以， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 故答案为： 14．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由一元二次不等式求得集合，根据充分不必要条件可得集合之间的包含关系，从而建立不等式，可得答案. 【详解】 ， 由是成立的一个充分不必要条件，则是的一个真子集， 所以，解得. 故答案为：. 15．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）将6个数7，4，3，1，8，9重新排列为，使得的值最小，则这个最小值是　　　　　　 【答案】 【分析】 先求6个数的总和，将问题转化为二次函数的最值问题，确定使平方和最小的和的取值，再从数中选取对应和的组合计算结果． 【详解】 6个数的总和：． 设，，则，所求为． ，当时，该式取得最小值，此时． 在数7，4，3，1，8，9中，取，剩余，满足． 故． 故答案为： 16．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）已知函数，，． （1）求的零点； （2）若存在，使等式成立，求的取值范围； （3）若存在，使不等式成立，求的取值范围． 【答案】（1）、     （2）     （3）      【分析】 （1）令，求出方程的解，即可得解； （2）依题意可得在上有解，令，，求出函数的值域，即可求出参数的取值范围； （3）依题意可得存在，使不等式成立，则，即可求出参数的取值范围. (1) 小问详解： 对于函数，令，即， 解得或， 所以的零点为、； (2) 小问详解： 因为存在，使等式成立， 即方程在上有解， 即在上有解， 令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以， 因为在上有解， 即与在上有交点， 所以； (3) 小问详解： 因为存在，使不等式成立， 即存在，使不等式成立， 所以，所以的取值范围为. 17．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据分式不等式的解法，以及一元二次不等式的解法，求出不等式的解集，根据充分不必要条件，判断解集之间的包含关系，求出结果. 【详解】 由得，解得， 由得，解得， 当是的充分不必要条件时，可得是的真子集， 则 ，解得， 所以实数的取值集合是. 故答案为：. 18．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为　　　　　. 【答案】 【分析】 由，不等式为真命题，结合和两类情况讨论即可. 【详解】 由题意，不等式”为真命题， 当时，恒成立，不符合题意； 当时，若,显然符合题意； 若,则需使，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 19．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）若关于的不等式的解集为，其中，则的最小值是　　　　　. 【答案】3. 【分析】 由题可得为方程的根，结合根与系数关系可得，，代入化简，结合基本不等式即可求解. 【详解】 不等式可化为：，等价于 ， 因为关于的不等式的解集为， 则为方程的根，所以 ， 因为， 则， 所以， 因为，则，当且仅当时，即时去等号， 所以的最小值是 故答案为： 20．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）若对任意的，都有，则实数的取值范围为　　　　　. 【答案】； 【分析】 由于的解集为,可得，列出不等式即可求解. 【详解】 由于的解集为,则，所以 ，解得：， 所以实数的取值范围为； 故答案为： 21．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知函数，. （1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）记函数在上的最小值为，求的表达式. 【答案】（1）     （2） 【分析】 （1）由题可得1，是方程的两根，进而求出,再由分式不等式的解法求解即可； （2）讨论的范围，结合二次函数的单调性求解即可. (1) 小问详解： 因为不等式的解集为， 所以1，是方程的两根， 所以 ，解得 . 不等式即为，不等式可化为，等价于 解得，所以不等式的解集为. (2) 小问详解： 因为， 当时，在上单调递增，所以； 当时，所以； 当时，在上单调递减，所以， 所以 . 22．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知函数． （1）解关于的不等式； （2）当时，求的最小值； （3）对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为     （2）     （3）      【分析】 （1）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （2）分、、三种情况讨论，结合函数的单调性，分别求出函数的最小值； （3）依题意可得对于恒成立，则 ，解得即可. (1) 小问详解： 不等式化简得：， ①当时，解得，即不等式的解集为， ②当时，解得或，即不等式的解集为， ③当时，解得或，即不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． (2) 小问详解： 函数的对称轴为， ①当，即时，在上为增函数， 所以； ②当，即时，在上为减函数， 所以； ③当，即时，． 综上所述，的最小值为 . (3) 小问详解： 依题意可得对于恒成立， 所以且， 即 ，解得或， 即的取值范围为． 23．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知集合． （1）求和； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），或     （2）      【分析】 （1）先通过解一元二次不等式和分式不等式求得集合，再进行集合的基本运算即可求解； （2）由，得到，根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可得到的取值范围. (1) 小问详解： 因为集合， 所以. 或 则或或， (2) 小问详解： 因为，所以， 又因为， 所以的取值范围为. 24．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（1）求不等式的解集； （2）记（1）中的解集为集合A，非空集合.设，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）化简再应用一元二次不等式计算求解； （2）根据条件关系可得包含关系，再根据包含关系可得关于的不等式组，故可求其范围. 【详解】 （1）由，故， ， 解得， 所以解集； （2）由题意可知：， 因为非空，故，故， 而“”是“”的必要不充分条件，故是的真子集， 故 ，且等号不同时成立，解得. 25．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）已知是实数，函数. （1）函数在上单调递减，求的取值范围； （2）若不等式的解集为或，求的值； （3）若，对于成立，求的最大值. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据题意，利用二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解； （2）根据题意，得到和是方程的解，结合一元二次方程根与系数的关系，列出方程组，即可求解； （3）根据题意，转化为对成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. (1) 小问详解： 解：函数，可得函数的图象开口向上，对称轴为， 因为函数在上单调递减，则满足，解得， 所以实数的取值范围为. (2) 小问详解： 解：由不等式的解集为或， 即不等式的解集为或， 即和是方程的解，可得 ，解得. (3) 小问详解： 解：因为，对于成立， 即，不等式对成立， 即对成立，所以 ，即 ， 两式相加，可得，即， 当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为. 26．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为　　　　　　　　　　. 【答案】16 【分析】 利用二次函数的最值可得，从而可得的解集，再结合已知的解集可求实数的值. 【详解】 因为函数的最小值为0， 所以由二次函数的性质可得，故． 不等式即为，其解集为， 因为的解集为， 所以 ，故即. 故答案为：16． 27．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为6，求的值. 【答案】（1）     （2）     （3）或.      【分析】 （1）利用一元二次不等式恒成立的解法可得答案； （2）利用二次函数的单调性可得答案； （3）根据对称轴与定义域的关系分类讨论，结合二次函数的单调性可得答案. (1) 小问详解： 由条件，在上恒成立， 当，不符合； 当时，显然也不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是. (2) 小问详解： 由条件，在上单调递减， 当，符合； 当时，显然不符合， 所以，且， 解得. 综上，的取值范围是 (3) 小问详解： 由，即. 由条件在上的最大值为6， 当，即时，， 即，解得，符合； 当，即时，， 即，解得，符合. 所以符合条件的的取值为或. 28．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 把关于的不等式在上有解的问题，利用分离参数求最值转化为，在上有解，再求，的最小值即可. 【详解】 要使不等式在上有解， 则，在上有解， 令，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故时，， 因此要使不等式在上有解， 则， 故答案为：. 29．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知集合，，全集. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先求集合和的补集，再求并集； （2）分为空集和非空集两种情况，结合子集关系列不等式求解. (1) 小问详解： 解不等式，即，得， 当时，，则或， 因此. (2) 小问详解： 因为是的充分条件，所以. 当时，，解得，满足. 当时，，且需满足 ，解得. 综上，实数的取值范围是. 30．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）设函数. （1）若关于的不等式的解集是，求实数的值； （2）存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1），     （2）     （3）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为.      【分析】 （1）由为方程的两根，结合韦达定理即可求解； （2）问题转换成恒成立即可求解； （3）通过，，，，讨论即可. (1) 小问详解： 由题意得为方程的两根，且， 由韦达定理得，，解得， (2) 小问详解： ， 即， 所以， 题目等价于存在实数，使得成立， 故只需，即 (3) 小问详解： 由题意得，即， 故， 若，则，解得，故解集为； 若，的两根为，，且， 故的解集为； 若，① 当，即时的解集为； ② 当即时，由，故解集为； ③ 当即时，的解集为 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为. 31．（2026·江苏淮安·11月调研）已知二次函数. （1）若对都满足，且.求函数的解析式； （2）对（1）中的函数，当时，函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围； （3）已知关于的不等式的解集为，且不等式有且只有15个整数解，求正实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）利用待定系数法求出解析式. （2）由（1）及已知建立不等式并分离参数，利用二次函数求出最小值即得. （3）由不等式的解集求得，再求出不等式的解集，结合整数解个数建立不等式求出范围. (1) 小问详解： 由，得，由恒成立， 得，即恒成立， 因此 ，解得 ，， 所以函数的解析式是. (2) 小问详解： 由（1）知，， 由当时，函数的图象恒在直线的上方， 得，恒成立， 而函数在单调递减，则当时，， 所以实数的取值范围. (3) 小问详解： 由不等式的解集为， 得是方程的两个根，且， 则，即，， 不等式， 整理得，而，解得， 由不等式有且只有15个整数解，得，解得， 所以正实数的取值范围. 32．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）若，其中，则　　　　　　　　　　. 【答案】或 【分析】 由题意可得与有公共的正零点，设为，则可得，可得且，结合可得或，再分类计算即可得. 【详解】 当时，，则， 由， 则单调递减，且在上单调递增， 则时，，当时，， 则与有公共的正零点，设为， 则，即有， 解得，且有， 则在上单调递减，又在上单调递增， 当时，，，满足题意； 当时，，，满足题意； 由，则，，又，则或； 若，则，此时； 若，则，此时. 故答案为：或. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 考点01 等式性质与不等式性质 1．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的人数至少为（       ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 15 2．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）在教材中，呈现了如下的不等式的基本性质： 性质1：若，则． 性质2：若，则． 性质3：若，则． 性质4：若，则；若，则． 性质5：若，则． 性质6：若，则． 在证明不等式的基本性质6时，有如下过程： 证明： 因为，，所以． 因为，，所以． 所以．在该证明过程中，引用性质正确的是（　　） A. 性质1和性质2 B. 性质2和性质4 C. 性质3和性质4 D. 性质4和性质5 3．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）（多选）若非零实数满足，则下列不等式不一定成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）（多选）下列命题正确的有（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 6．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）下列说法中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 7．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）下列结论正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则的取值范围是 8．（2026·江苏淮安·11月调研）下列命题中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）若，，则下列不等式恒成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）（多选）设，则下列不等式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）2025年，江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）火爆出圈，激发了全民运动热情．为进一步改善员工身体健康状况，某单位顺势举办一场接力跑活动，规定两人组成一队，接力跑完1公里的路程．现有两种接力方案．方案：每队的两人跑相等的路程；方案：每队的两人跑相等的时间．设甲、乙两人组成一队，两人都是匀速跑，但速度不相等． （1）猜想甲、乙两人应选择哪一种方案，才能使两人所用的总时间较短（不用说明理由）； （2）设甲、乙两人的速度分别是，试用一个含有和的不等式表示你的猜想，并用数学方法给出证明； （3）我们都有从函数观点出发解决不等式问题的体验．例如： 二次函数的图象     的解集 试引用某函数的图象说明（2）中的含有和的不等式的正确性． 考点02 基本不等式 1．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）已知，，，则的最小值为（     ） A. 36 B. 25 C. 16 D. 9 2．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）已知，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）已知，则函数有（       ） A. 最大值1 B. 最小值9 C. 最小值1 D. 最大值9 4．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）（多选）若，则下列不等式中正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）设，则的最小值为（       ） A.  B. 2 C. 4 D. 3 6．（2026·江苏淮安·11月调研）（多选）设正实数满足，则下列说法正确的是（       ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最大值为2 7．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一，出行中小胡有两种加油方案：第一种，每次均加升的燃油；第二种，每次加元的燃油，则下列说法正确的是（       ） A. 采用第一种方案划算 B. 采用第二种方案划算 C. 两种方案一样 D. 无法确定 8．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）（多选）设为正数，且，则下列选项中正确的是（　　） A. 的最小值为2 B. 的最小值为2 C. 的最小值为9 D. 的最小值为6 9．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）（多选）已知，，，则下列结论中正确的结论是（　　） A. 0 B. 的最大值为2 C. 的最大值为 D.  10．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）若，，且，则的最小值为（     ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 16 12．（25-26学年高一上·江苏扬州邗江区公道中学·期中）（多选）下列命题为真命题的是（        ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 13．（2026·江苏淮安·11月调研）若正数满足， 则的最小值为（       ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 14．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（多选）已知正实数，满足，则（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 15．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）（多选）已知且，则下列结论正确的有（       ） A. 的最大值为10 B. 的最大值为40 C. 的最小值为 D. 的最小值为200 16．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）（多选）已知是正数，且，则下列选项正确的是（       ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 17．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A. 函数与不是同一函数 B. 若，则 C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 18．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A. 2 B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）（多选）已知，，且，则（       ） A. xy的最大值为1 B. 的最大值为6 C. 的最小值为 D. 的最小值为 20．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）（多选）已知，为正实数，且，则（     ） A. 的最小值为1 B. 的最小值为4 C. 的最大值为4 D. 的最小值为 21．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知，均为正数，且，设，，，则下列关系中不可能成立的是（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）函数，若存在正实数，，…，，其中且，使得，则的最大值为（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 23．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）（多选）已知为正实数，且，则（       ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 24．（25-26学年高一上·江苏无锡宜兴·期中）（多选）已知，则（     ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 25．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为　　　　　　　　　　　． 26．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点．已知米，米，设的长为米．    （1）要使矩形的面积大于16平方米，则的长应在什么范围内？ （2）求当，的长度分别是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值； 27．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）如图，长方形（）的周长为.                     图                                                         图 （1）若点在线段上运动，点在线段上运动，且满足，，则面积的最大值是多少？ （2）沿折叠使点到点位置，如图所示，交于点，请解决下面两个问题. （ⅰ）求的周长； （ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出面积取最大值时的长度，若不存在，请说明理由. 28．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）已知，，则的取值范围为　　　　　　． 考点03 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）关于的不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）已知a为实数，则“”是“”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）已知，，则是的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）设为实数，若关于的不等式恒成立，则的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）若命题“，是真命题，则实数a的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中），恒成立的充要条件是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·江苏苏州常熟·期中）已知不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）设为实数，命题：不等式对一切实数都成立，则“”是“为真命题”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法中不正确的是（     ） A.  B.  C. 不等式的解集为 D.  10．（25-26学年高一上·江苏连云港灌南县·期中）（多选）已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）因式分解：　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知函数.设的定义域为集合，的值域为集合，集合. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 13．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）不等式的解集是　　　　　　. 14．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年高一上·江苏连云港东海县·期中）将6个数7，4，3，1，8，9重新排列为，使得的值最小，则这个最小值是　　　　　　 16．（25-26学年高一上·江苏南京鼓楼区·期中）已知函数，，． （1）求的零点； （2）若存在，使等式成立，求的取值范围； （3）若存在，使不等式成立，求的取值范围． 17．（25-26学年高一上·江苏宿迁沭阳县·期中）设命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值集合是　　　　　　. 18．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）已知命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为　　　　　. 19．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）若关于的不等式的解集为，其中，则的最小值是　　　　　. 20．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）若对任意的，都有，则实数的取值范围为　　　　　. 21．（25-26学年高一上·江苏苏州·期中）已知函数，. （1）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集； （2）记函数在上的最小值为，求的表达式. 22．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知函数． （1）解关于的不等式； （2）当时，求的最小值； （3）对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 23．（25-26学年高一上·江苏镇江·期中）已知集合． （1）求和； （2）若，求实数的取值范围． 24．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）（1）求不等式的解集； （2）记（1）中的解集为集合A，非空集合.设，，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 25．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）已知是实数，函数. （1）函数在上单调递减，求的取值范围； （2）若不等式的解集为或，求的值； （3）若，对于成立，求的最大值. 26．（25-26学年高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为　　　　　　　　　　. 27．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）已知函数. （1）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若函数在上的最大值为6，求的值. 28．（25-26学年高一上·江苏徐州·期中）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　　． 29．（25-26学年高一上·江苏月期中学·期中）已知集合，，全集. （1）当时，求； （2）若是的充分条件，求实数a的取值范围. 30．（25-26学年高一上·江苏扬州高邮·期中）设函数. （1）若关于的不等式的解集是，求实数的值； （2）存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 31．（2026·江苏淮安·11月调研）已知二次函数. （1）若对都满足，且.求函数的解析式； （2）对（1）中的函数，当时，函数的图象恒在直线的上方，求实数的取值范围； （3）已知关于的不等式的解集为，且不等式有且只有15个整数解，求正实数的取值范围. 32．（25-26学年高一上·江苏南通·期中）若，其中，则　　　　　　　　　　. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $