精品解析：江苏省启东中学创新班2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

江苏省启东中学2025-2026学年度高一创新班第一学期期中考试(数学) 考查内容：集合与逻辑、函数（重点考察图像、性质、解析式）、三角函数与解三角形、平面向量、立体几何、不等式、复数、新定义与数学文化（体现创新与拓展） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合， ， （    ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知在区间上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为，的横坐标为，则的值为 A. B. C. D. 6. 已知，，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，三边长满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 向量在方向上的投影向量为 10. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的值域为 C. 函数是周期函数 D. 函数是减函数 11. 如图，直线AB垂直于圆O所在的平面，内接于圆O，且BD为圆O的直径，，E为垂足，则下列结论正确的是（ ） A. 若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值 B. 若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值 C. 若BD的长为定值，则EO的长也为定值 D. 若CD的长为定值，则的长也为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义域为，函数的定义域为___________． 13. 如图， 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为______． 14. 已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知命题p：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A． （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 16. 在中，，，分别是角，，的对边，向量，，且. （1）求； （2）若，，的平分线交于点，求的长. 17. 已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x+1，且f(1)=-4. （1）求f(x)的解析式. （2）设函数 ①当时，求不等式g(x)>0的解集 ②若g(x)的最小值为-6m，求m的值. 18. 如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 （1）求证：平面BCD； （2）求值； （3）若二面角的大小为，求四面体的体积. 19. 切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫（Tschebyscheff，1821-1894）名字命名的重要的特殊函数，第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式（简称切比雪夫多项式）.其定义为：设次多项式，若满足，则称为（第一类）次切比雪夫多项式，例如：由于，所以为二次切比雪夫多项式.已知切比雪夫多项式具有下列性质： （i）对于任意，都有 （ii）若为最高次数为，且最高次数项系数与相等的任意多项式，设在上的最大值为，则，等号成立当且仅当. （1）利用以上材料中的信息，求三次切比雪夫多项式； （2）利用切比雪夫多项式的性质解决以下问题： ①已知函数在上最大值为，求的最小值； ②设，当时，恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省启东中学2025-2026学年度高一创新班第一学期期中考试(数学) 考查内容：集合与逻辑、函数（重点考察图像、性质、解析式）、三角函数与解三角形、平面向量、立体几何、不等式、复数、新定义与数学文化（体现创新与拓展） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合， ， （    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出指数函数的值域及函数的定义域，分别确定出集合M和N，找出两集合解集的公共部分即可得到两集合的交集． 【详解】表示函数值域，则. 表示函数定义域，则. 则. 故选：A 2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由复数的模长公式计算出，再根据复数的除法运算，化简即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为， 故选：C. 3. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 4. 已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 5. 已知在区间上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为，的横坐标为，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两个函数图像相交，交点的坐标相同列方程，化简后求得的值，再利用正切的二倍角公式求得的值. 【详解】依题意得，即. = .故选B. 【点睛】本小题主要考查两个函数交点的性质，考查同角三角函数的基本关系式，考查正切的二倍角公式，属于基础题. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用均值不等式“1”的代换，求得最小值. 【详解】因为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为. 故选：C. 7. 已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到为偶函数，且在上单调递减，，分和两种情况，变形，结合的单调性得到不等式，，满足不等式，从而求出答案. 【详解】是定义域为的奇函数，故， 定义域为， ， 故是偶函数， 又在上单调递增，故在上单调递减， 是定义域为的奇函数，，故， 故， 当时，， 而在上单调递增，故； 其中， 当时，， 而在上单调递减，故； 当时，，满足不等式． 综上，． 故选：D． 8. 在中，三边长满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：利用正弦定理边化角可得到，利用两角和差正弦公式可得，结合二倍角公式可得，利用两角和差余弦公式和同角三角函数商数关系可求得结果； 方法二：利用特殊值法，取，，，利用二倍角正切公式可求得，结合即可求得结果. 【详解】方法一：，由正弦定理得：， ，，； ， ， ，又， ， ，，， ，即， 整理可得：， ，，，，； 方法二：令，，，则满足； 则可知：，； 由得：，解得：或， ，，，. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于ABC，根据平面向量基本知识即可求解；对于D，求出在方向上的投影向量表达式，再根据表达式求解即可． 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，， ， 因为， 所以与不平行，故B错误； 对于C，设向量与的夹角为， ， ， ， 又，所以，故C正确； 对于D，设和的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为， ，， 则，故D错误． 故选：AC． 10. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的值域为 C. 函数是周期函数 D. 函数是减函数 【答案】BC 【解析】 【分析】结合函数性质逐项判断即可得. 【详解】对A：当，则， 当，则， 故函数的值域为，故A错误； 对B：当，则，， 当，则，， 即函数的值域为，故B正确； 对C：， 故函数是周期函数，故C正确； 对D：由函数是周期函数，故函数不是减函数，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，直线AB垂直于圆O所在的平面，内接于圆O，且BD为圆O的直径，，E为垂足，则下列结论正确的是（ ） A. 若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值 B. 若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值 C. 若BD的长为定值，则EO的长也为定值 D. 若CD的长为定值，则的长也为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取AD的中点H，通过证明、推导出为外接球的球心，则AD为外接球直径，即可判断选项对错；对于B，通过体积法，举例证伪选项即可；对于C，通过证明即可判断BD和EO的长度关系，进一步可判断选项对错；对于D，通过变换，结合、，可得与CD长度的关系，即可判断选项对错． 【详解】对于A，取AD的中点H，如图所示， 平面BCD，平面BCD，，， 平面BCD，平面BCD，， ，，BC、平面ABC， 平面ABC，平面ABC，， ，为外接球球心，AD是直径，该三棱锥外接球的半径为，故A正确； 对于B，假设内切球的球心为， 第一种情况不妨假设，，，，，此时内切球的半径为， 根据， 即， 即， 解得； 第二种情况不妨假设，，，，，此时内切球的半径为， 根据， 即， ， 解得； 综上所述，当AC的长为定值，三棱锥内切球的半径不为定值，故B错误； 对于C，由选项A可知，又，，AC、平面ACD， 平面ACD，平面ACD，， ，若BD的长为定值，则EO的长也为定值，故C正确； 对于D，由以上分析可知，，故，， 由于O为BD中点， 故 ， 故CD的长为定值，则的值也为定值，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的定义域为，函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数的形式和抽象函数的定义域的求法，即可求解. 【详解】由条件可知，，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为： 13. 如图， 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】作交于点，利用几何知识可证得，再由余弦定理求得，再结合，从而可求解. 【详解】作交于点， 因为点为中点，所以点为中点，即， 又因为为中点，即， 又因为，所以，即， 在，由余弦定理可得， 在中，， 则 ， 所以，则. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据，先将转化为，再根据的解集为空集，由求解. 【详解】因为， 又因为不等式的解集为空集， 所以， 解得 所以实数a的取值范围是 故答案为： 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法及应用，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知命题p：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A． （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程有实数解，即判别式不小于0可得结果； （2）将是的必要不充分条件化为是的真子集后，列式可求出结果． 【详解】（1）由命题为真命题，得，得 ∴． （2）∵是的必要不充分条件，∴是的真子集． ∴（等号不能同时成立）， 解得. 16. 在中，，，分别是角，，的对边，向量，，且. （1）求； （2）若，，的平分线交于点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示结合二倍角公式可得，再根据正弦定理进行边角互化可得解； （2）由余弦定理可得，再利用等面积法可得角分线的长度. 【小问1详解】 由， 则， 即， 再由正弦定理可知， 即，则， 又，则， 所以，， 又，所以； 【小问2详解】 由，， 则，即， 解得， 又为的平分线， 则， 所以，即， 所以， 解得. 17. 已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x+1，且f(1)=-4. （1）求f(x)的解析式. （2）设函数 ①当时，求不等式g(x)>0的解集 ②若g(x)的最小值为-6m，求m的值. 【答案】（1） （2）①或，②或 【解析】 【分析】（1）首先设，再根据，求解即可. （2）①由题知：，再利用换元法求解不等式即可，②首先，得到函数，再分类讨论结合最小值求解即可. 【小问1详解】 设， 因为， 所以，所以，. 【小问2详解】 ①， 因为，， 所以. 设，当且仅当，即时取等号. 所以，即，解得：. 所以，整理得：， 解得：或，即或，解集为或. ②， 设，当且仅当，即时取等号. 所以， 当时，函数在为增函数， 所以，解得. 当时，函数在为减函数，在为增函数， 所以，解得或（舍去）. 综上：或 18. 如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 （1）求证：平面BCD； （2）求的值； （3）若二面角的大小为，求四面体的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理得出，进而应用平面平面BCD的性质定理证明线面垂直； （2）先根据线面平行性质定理得出，结合边长关系得出比例关系； （3）根据二面角定义得出即为二面角的平面角，再结合边长关系得出，最后应用三棱锥体积公式计算求解. 【小问1详解】 在三角形ABO中，，，， 因此，可得 由于平面平面BCD，AO在平面ABD内，平面平面， 因此平面BCD； 【小问2详解】 连接PE，平面，平面ABD，平面平面， 因此因为，， 因此，，因此； 【小问3详解】 设四面体的体积为V， 由（2）得，则， 由于平面平面BCD，平面平面，，平面BCD， 因此平面ABD， 又平面BCD，平面BCD，则， 过O作于点F， ，FO，平面AFO，则平面AFO， 又平面AFO，因此， 因此即为二面角的平面角， 因为，，，则， 又，在中由勾股定理得，又， 由，得， 因此 19. 切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫（Tschebyscheff，1821-1894）的名字命名的重要的特殊函数，第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式（简称切比雪夫多项式）.其定义为：设次多项式，若满足，则称为（第一类）次切比雪夫多项式，例如：由于，所以为二次切比雪夫多项式.已知切比雪夫多项式具有下列性质： （i）对于任意，都有 （ii）若为最高次数为，且最高次数项系数与相等的任意多项式，设在上的最大值为，则，等号成立当且仅当. （1）利用以上材料中的信息，求三次切比雪夫多项式； （2）利用切比雪夫多项式的性质解决以下问题： ①已知函数在上的最大值为，求的最小值； ②设，当时，恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）转化，由定义求解； ①令，求出的取值范围，用将函数表示出来，求出此函数最大绝对值最小的值，构造与切比雪夫多项式对应的多项式，求出该多项式的最大绝对值即可求解； ②将区间缩放为，并调整系数使得最大绝对值为2求出，令最高次数项系数为1求出，求出，求出的绝对值最大值，求出区间长度即可. 【小问1详解】 根据三角函数的恒等式：， 由定义，当时：， 令，则； 【小问2详解】 ①令，则，当时，， ， 根据性质（ii），最高次数项系数为16的三次多项式在上的最大绝对值最小为， 但实际需要构造与切比雪夫多项式对应的多项式：（系数为 16，对应缩放后的切比雪夫多项式）， 此时，该多项式在上的最大绝对值为4（原最大绝对值为1，缩放后为）， 当时，函数为在上的最大绝对值为4， 所以M 的最小值为 ； ②二次切比雪夫多项式在上绝对值不超过1， 若将区间缩放为，并调整系数使得最大绝对值为2， 则， 令最高次数项系数为1，即， 解得，此时， 当时，的绝对值最大为2， 区间长度，所以最大值为4. 【点睛】本题（2）②关键点在于将区间缩放为，并调整系数使得最大绝对值为2求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $