专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学讲义以“手拉手模型”为核心，通过逻辑框架系统梳理相似三角形知识体系，涵盖模型来源、知识储备、模型提炼与证明、易错总结及分层应用，用图文结合方式呈现共顶点旋转本质，明确全等与相似模型的条件、结论及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导的创新性，A、B、C组题分别对应基础巩固、能力提升与综合压轴，如典例1通过旋转探究线段关系，培养学生几何直观与推理意识。解题步骤口诀帮助快速识别模型，易错总结解决对应边混淆等问题，支持学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型 手拉手模型核心是共顶点、等线段，由两个顶角相等的等腰图形组成，常为等腰三角形、等边三角形、正方形。主要考查全等与相似两类：顶角相等时先证全等；顶角不相等，对应边成比例则证相似。 常考结论：拉手线段相等或成比例、夹角等于顶角、连线交点处角固定。题型以线段求值、角度计算、线段关系证明为主，常结合旋转，放置在几何压轴小题与大题。解题关键：找准共顶点，识别两组等角，构造全等或相似。易错点：找错对应边，忽略旋转带来的角度变化。 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 3 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 3 易错总结 8 模型运用 9 A组（基础题） 9 B组（能力提升题） 11 C组（综合压轴题） 14 手拉手模型并非古代几何的固定名称，是近代初中教研归纳出的几何模型。它的理论根基源自欧几里得《几何原本》中的三角形全等、相似与旋转思想。模型本质是**共顶点旋转**：两个有公共顶点、顶角相等的等腰图形，绕公共顶点旋转，两组对应顶点相连，形似两手相握，因此得名 “手拉手”。 最早这类旋转几何题零散出现在竞赛与中考题中，没有统一叫法。教研工作者为方便学生识别题型，提炼出共顶点、等顶角、拉手线等特征，将其命名为手拉手模型。 模型分为全等型和相似型：等边、等腰直角三角形多为全等手拉手；顶角相同、两等腰三角形边长成比例，就是相似手拉手。如今广泛用于初中几何，常考线段相等、比例、角度不变性，是几何压轴题的经典载体。 1）相似三角形SAS判定：两边对应成比例且夹角相等；AA判定； 2）等式性质：等量加等量、等量减等量，推导夹角相等； 3）三角形外角定理、对顶角； 4）旋转的性质：旋转不改变图形形状大小； 5）全等手拉手基础（作为特殊情况）。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 【模型提炼与证明】 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 【模型运用】 【典例1】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的关系． 【问题探究】 (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系： ；数量关系： ； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由； 【拓展应用】 (3)当，，时，将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求的长． 【典例2】（2026·海南·模拟预测）如图，在中，，绕点A顺时针方向旋转，到，连接，交于点P，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2026·河南周口·一模）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【典例4】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到． (1)当点E恰好落在延长线上时，求的度数； (2)在（1）的条件下连结交于点D．若，，求的长． 【典例5】（2026·河南周口·一模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)求证：∽； (2)若，求的长； (3)过点作的平行线交的延长线于点，直接写出的值． 模型常见易错点 1）混淆全等手拉手与相似手拉手结论 错误：相似手拉手直接写AC=BD；只有k=1全等时拉手线才相等。 解决方案：先看是否OA=OB，OC=OD；边长不等得到的是比值相等，不是线段相等。 2）找错要证相似的两个三角形 错误：看见图形就证△OAB∽△OCD之后直接跳结论，分不清△OAC、△OBD。 解决方案：公共顶点O不动；“OA配OC，OB配OD”组成新三角形△OAC、△OBD；严格按顶点书写。 3）夹角推导时不会使用8字型倒角 错误：直接默写“拉手夹角等于顶角”，大题不给推导。 解决方案：解答大题不能直接默写结论；需要借助相似得到一组等角，再用8字型倒角完成角度证明。选填可以直接用结论提速。 4）角度加减出错，推不出∠AOC=∠BOD 错误：图形旋转重叠后，分不清是加公共角还是减公共角。 解决方案：两顶角同时加上中间角，或者同时减去中间重叠角；等式性质保证夹角相等。画图圈出∠AOB、∠COD，再看公共部分。 5）旋转之后图形位置改变，判定模型失效 解决方案：手拉手只看公共顶点、顶角相等、两边成比例；图形旋转翻转，结论不变。 解题方法总结 相似手拉手解答步骤 1）识图定位：锁定公共顶点O；确认两个三角形顶角相等，对应边成比例； 2）角度处理：利用等式性质（加/减公共角）证明相似；3）整理比例：由已知相似，变形得到比例式； 4）SAS证明三角形相似；5）得到拉手线段比值； 6）（如需证夹角）：由相似得到一组对应角相等；利用8字型倒角证明拉手线夹角等于顶角。 终极口诀： 共顶两三角，顶角要相等；加减公共角，夹角就生成； 两边成比例，SAS证相似；拉手看比值，八字证夹角。 1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）如图，正方形和正方形有公共顶点A，连接． (1)如图1，当点G在上，点F在上时，求的值； (2)如图2，将图1中的正方形绕点A按逆时针方向旋转，连接、、，求的值； (3)如图3，将图1中的正方形绕点A按逆时针方向旋转，连接、、，若，，当C，G，E三点共线时，求的长度． 2．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在中，，将绕点C旋转，使得点A的对应点D落在边上，得到，边交于点O，连接．求证： (1)； (2)． 3．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点的对应点分别为点、，连接，若，则（　　） A． B．2 C． D． 4．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，在和中，，，，，．将绕点旋转，当、、点在同一直线上时，的长是______ 5．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图1，在中，，点分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现 ①当时，________；②当时，________． (2)拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决 当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 6．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】 如图，在中，，，．将绕顶点C顺时针旋转一个角度，点A落在点，点B落在点，边与边相交于点D，与边相交于点E． (1)如图①，当时，画出图形后可得，此时，则______． (2)当时，利用尺规在图②中作出旋转后的（不写做法，保留作图痕迹），并直接写出的值______． 【特殊位置】 (3)如图③，当点恰好落在边上时，求的值． 7．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段检测）综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 8．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段检测）如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 10．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中， ，，． 【问题探究】 （1）如图①，连接，在纸片绕点旋转过程中，求证：∽； 【问题解决】 （2）如图②，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的高线的延长线上，连接，求的长； 【问题拓展】 （3）如图③，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的中线的延长线上，连接，求的周长． 11．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）【课前引入】 【问题背景】如图1 ，在和中，，且，连接，易证明；小刚同学尝试改变条件，继续探究．如图2，在中，，将旋转一定的角度，如图3 ，连接和，求证： ； 【尝试运用】 如图4，，且，点D在上， ① 的值为 ； ②若 ，求的值； ③若在②的基础上，与的交点为M，直接写出的值 12．（2025·安徽合肥·三模）如图，在和中，，连接．    (1)如图1，求证：； (2)当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； (3)将绕点B旋转，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形；若能，请直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 13．（2025·吉林白城·模拟预测）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图①），还能得到吗？若能，请给出证明，若不能，请说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图②），试问当与的大小满足怎样的关系时，，请说明理由； (3)把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，如图③，且，请直接写出与满足的数量关系． 14．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】已知正方形和正方形，其中，． 【初步探究】（1）如图1，正方形的边，分别与正方形的边，重合． ①填空：与的数量关系是________； ②求证：； 【拓展探索】（2）将图1中的正方形绕点按逆时针方向旋转． ①如图2，当点落在边上时，连接，，延长与交于点，求的长； ②如图3，连接，，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接，若存在实数满足等式，求出的值． 15．（2025·山东东营·三模）【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究和的数量关系和位置关系． 【问题探究】 （1）如图1，当时，直接写出和的数量关系是___________，位置关系是___________； （2）如图2，当时，（1）中位置关系的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，请直接写出的长． 16．（2025·辽宁铁岭·二模）【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 17．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 18．（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 19．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 20．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）在北京欢乐谷玩“水晶神翼”过山车时，马超同学发现：过山车启动前，两侧的翼形座舱会沿中心轴同步展开，整个过程与曾经感到困惑的几何模型“手拉手”高度契合，带着这个问题，他展开了如下探究： (1)等腰直角三角形的斜边长与腰长的比值是__________； 顶角为的等腰三角形的底边与腰长的比值是__________； (2)如图1，点为等腰底边上一点，以为腰在其右侧作等腰，连接，，若，则___________； (3)如图2，在（2）的条件下，分别取边，的中点，，连接，求的度数； (4)如图3，顶角为的等腰的腰上有一动点，连接，并以为底边在其上方作等腰，且，若，当点从点运动到点的过程中，请直接写出点的运动路径长．（用含的代数式表示） 21．（25-26九年级上·广东佛山·期中）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题．正方形和正方形如图1放置，连接和，． (1)请探究与之间的数量关系并证明； (2)如图2，连接． ①请探究与之间的数量关系并证明； ②若，，求的长； (3)如图3，当四边形和均为矩形，且时，若，，，直接写出k的值． 22．（25-26九年级上·河北·单元复习）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是___________，___________； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： “智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则___________； 23．（2025·河南洛阳·模拟预测）综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．    (1)操作判断  已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，如图1，若和均为等边三角形，请完成如下判断： ①线段与线段的数量关系是________； ②直线与直线相交所夹锐角的度数是________； (2)迁移探究  如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由； (3)拓展应用：如图3，若，，，，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 24．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 “手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用． 某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究： 如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，． 深入探究： （1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，． 解决问题： （2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______． 拓展应用： （3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点） 25．（25-26八年级下·吉林·期末）综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作． (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． (2)猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (3)结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，则_______． (4)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．当绕点B旋转过程中，直接写出当面积最大时，的面积是_______． 26．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【原题呈现】 (1)如图，，．当点在内部时，直线与交于点，与交于点，此时的值是________； 【变式探究】 (2)如图，将（1）中的绕点旋转一定的角度，使点在外部，且（1）中的其它条件不变． ①求的值； ②写出和的数量关系并证明； 【应用拓广】 (3)如图，矩形中，，，点在边上且，连接．点在线段的延长线上，作，连接，．若，求的长． 27．（2026·河南周口·二模）综合与探究 【问题情境】：数学课上，同学们以直角三角形为基本图形探究图形旋转变化问题．已知直角三角形纸片，，，，将绕点旋转得到． (1)【操作判断】：如图1，当点恰好落在的延长线上时，____； (2)【深入探究】：旋转到图2位置，连接、，与交于点，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】：若旋转后，直线与直线交于点，射线交直线于点，直接写出的长． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形重要模型之手拉手模型 手拉手模型核心是共顶点、等线段，由两个顶角相等的等腰图形组成，常为等腰三角形、等边三角形、正方形。主要考查全等与相似两类：顶角相等时先证全等；顶角不相等，对应边成比例则证相似。 常考结论：拉手线段相等或成比例、夹角等于顶角、连线交点处角固定。题型以线段求值、角度计算、线段关系证明为主，常结合旋转，放置在几何压轴小题与大题。解题关键：找准共顶点，识别两组等角，构造全等或相似。易错点：找错对应边，忽略旋转带来的角度变化。 模型来源 2 知识储备 2 例讲模型 3 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 3 易错总结 8 模型运用 9 A组（基础题） 9 B组（能力提升题） 11 C组（综合压轴题） 14 手拉手模型并非古代几何的固定名称，是近代初中教研归纳出的几何模型。它的理论根基源自欧几里得《几何原本》中的三角形全等、相似与旋转思想。模型本质是**共顶点旋转**：两个有公共顶点、顶角相等的等腰图形，绕公共顶点旋转，两组对应顶点相连，形似两手相握，因此得名 “手拉手”。 最早这类旋转几何题零散出现在竞赛与中考题中，没有统一叫法。教研工作者为方便学生识别题型，提炼出共顶点、等顶角、拉手线等特征，将其命名为手拉手模型。 模型分为全等型和相似型：等边、等腰直角三角形多为全等手拉手；顶角相同、两等腰三角形边长成比例，就是相似手拉手。如今广泛用于初中几何，常考线段相等、比例、角度不变性，是几何压轴题的经典载体。 1）相似三角形SAS判定：两边对应成比例且夹角相等；AA判定； 2）等式性质：等量加等量、等量减等量，推导夹角相等； 3）三角形外角定理、对顶角； 4）旋转的性质：旋转不改变图形形状大小； 5）全等手拉手基础（作为特殊情况）。 模型1.“手拉手”模型（旋转模型） 【模型提炼与证明】 1.手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 【模型运用】 【典例1】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的关系． 【问题探究】 (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系： ；数量关系： ； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由； 【拓展应用】 (3)当，，时，将绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1)， (2)成立，不成立，证明如下： 如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）延长交于点G，根据，得出，，证明，得出，根据三角形内角和求出，进而求解即可； （2）延长交于点G，证明，得出，，根据三角形内角和求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 由（2）可知，， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示： 设，则， 由（2）可知，， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上可知，或． 【典例2】（2026·海南·模拟预测）如图，在中，，绕点A顺时针方向旋转，到，连接，交于点P，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点．由勾股定理得，证明是等腰直角三角形，进而证明是等腰直角三角形，可得．然后证明，利用相似三角形的性质得，则可求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． ， ． 将绕点顺时针方向旋转得到， ， 是等腰直角三角形， ； 又， 是等腰直角三角形， ． ， ， ，即， ∴． 又， ， ∴， ． 【典例3】（2026·河南周口·一模）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴令， 由勾股定理得， ∴； （3）解：①如图所示，，，三点共线， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②如图所示，，，三点共线， 此时，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上，的长为． 【典例4】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到． (1)当点E恰好落在延长线上时，求的度数； (2)在（1）的条件下连结交于点D．若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质分别得到和，从而得到结果； （2）证明，得到，结合，计算出结果。 【详解】（1）解：由题意可得：， 又∵E在的延长线上， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 【典例5】（2026·河南周口·一模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)求证：∽； (2)若，求的长； (3)过点作的平行线交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】(1) 证明： 将绕点旋转得到，点的对应点在边上， ∴，，， ，， (2) (3)1 【分析】（1）根据旋转的性质和相似三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质可知是直角三角形，根据旋转的性质可知，使用勾股定理计算即可； （3）根据旋转可构造角度相等，证明，可知． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， ， 在中，， ， （3）解：由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 模型常见易错点 1）混淆全等手拉手与相似手拉手结论 错误：相似手拉手直接写AC=BD；只有k=1全等时拉手线才相等。 解决方案：先看是否OA=OB，OC=OD；边长不等得到的是比值相等，不是线段相等。 2）找错要证相似的两个三角形 错误：看见图形就证△OAB∽△OCD之后直接跳结论，分不清△OAC、△OBD。 解决方案：公共顶点O不动；“OA配OC，OB配OD”组成新三角形△OAC、△OBD；严格按顶点书写。 3）夹角推导时不会使用8字型倒角 错误：直接默写“拉手夹角等于顶角”，大题不给推导。 解决方案：解答大题不能直接默写结论；需要借助相似得到一组等角，再用8字型倒角完成角度证明。选填可以直接用结论提速。 4）角度加减出错，推不出∠AOC=∠BOD 错误：图形旋转重叠后，分不清是加公共角还是减公共角。 解决方案：两顶角同时加上中间角，或者同时减去中间重叠角；等式性质保证夹角相等。画图圈出∠AOB、∠COD，再看公共部分。 5）旋转之后图形位置改变，判定模型失效 解决方案：手拉手只看公共顶点、顶角相等、两边成比例；图形旋转翻转，结论不变。 解题方法总结 相似手拉手解答步骤 1）识图定位：锁定公共顶点O；确认两个三角形顶角相等，对应边成比例； 2）角度处理：利用等式性质（加/减公共角）证明相似；3）整理比例：由已知相似，变形得到比例式； 4）SAS证明三角形相似；5）得到拉手线段比值； 6）（如需证夹角）：由相似得到一组对应角相等；利用8字型倒角证明拉手线夹角等于顶角。 终极口诀： 共顶两三角，顶角要相等；加减公共角，夹角就生成； 两边成比例，SAS证相似；拉手看比值，八字证夹角。 1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期末）如图，正方形和正方形有公共顶点A，连接． (1)如图1，当点G在上，点F在上时，求的值； (2)如图2，将图1中的正方形绕点A按逆时针方向旋转，连接、、，求的值； (3)如图3，将图1中的正方形绕点A按逆时针方向旋转，连接、、，若，，当C，G，E三点共线时，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得，根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）的结论，可得，根据旋转的性质可知，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）由（2）可知，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵正方形与正方形有公共点A，点在上，点在上， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； （2）解：∵正方形绕点逆时针方向旋转， ∴， ∵， ∴ ∴； （3）解：由（2）可知， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵C，G，E三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 2．（25-26九年级上·广东茂名·期中）如图，在中，，将绕点C旋转，使得点A的对应点D落在边上，得到，边交于点O，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵旋转， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵旋转， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据旋转，得到，进而得到，即可得证； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点的对应点分别为点、，连接，若，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造相似三角形，灵活运用旋转的性质． 利用勾股定理计算出的长，再根据旋转的性质得到，，， 从而根据两条边对应成比例，且这两条边的夹角对应相等，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可得解． 【详解】解：四边形为矩形， ， ∵在中，，， ， 将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，点，的对应点分别为点、， ，，， ， ， ． 故选：C． 4．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，在和中，，，，，．将绕点旋转，当、、点在同一直线上时，的长是______ 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．先根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，，分为两种情况，结合直角三角形的两个锐角互余和锐角互余的三角形是直角三角形得出，分别结合勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图： ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 如图： ∵、、点在同一直线上， ∴； 在中，， ∵， ∴， 故． 设， ∵， 故， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）． 故． 如图： ∵、、点在同一直线上， ∴； 在中，， ∵， ∴， 故． 设， ∵， 故， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）． 故． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 5．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图1，在中，，点分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现 ①当时，________；②当时，________． (2)拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决 当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】(1)①2；②2 (2) 不变，证明如下： 如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变， 即， ∵， ∴， ， ， ∴当时，的大小不变； (3)1或3 【分析】本题考查旋转的性质，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）①当时，由三角形的中位线定理得到，从而有； ②当时，同理①可得； （2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故，，的大小无变化； （3）点A，C，E三点共线时，或，根据线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：①当时， 点分别是的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2； ②当时，如图所示： 则三点共线，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：2． （2）略 （3）解：①当在如图位置时，点A，C，E三点共线，此时， ∵，点D是的中点， ∴． ②当旋转到如图位置时，，，E三点共线，此时， ∴点B，C，D三点也共线， ∵，， ∴． 综上所述，的长为1或3． 6．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】 如图，在中，，，．将绕顶点C顺时针旋转一个角度，点A落在点，点B落在点，边与边相交于点D，与边相交于点E． (1)如图①，当时，画出图形后可得，此时，则______． (2)当时，利用尺规在图②中作出旋转后的（不写做法，保留作图痕迹），并直接写出的值______． 【特殊位置】 (3)如图③，当点恰好落在边上时，求的值． 【答案】(1) (2)（2）如图，即为所求； 1； (3)（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理： （1）结合旋转的性质可得，可证明，即可求解； （2）根据题意画出图形，设交于点F，则，可得到，，再由旋转的性质得：，可得，从而得到， （3）过点A作于点G，根据，，，由旋转的性质得：，，，可得到，，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质得： ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴； （2）解：作图略， 由作法得：， 设交于点F，则， ∵， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点A作于点G， 在中，∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7．（24-25九年级下·贵州六盘水·阶段检测）综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致． 理由：如图， ∵将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，继而得到，，，，可得出与的夹角； （2）证明得，，即可得证； （3）利用勾股定理求出的长，证明，求出，由等腰三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到，，，， ∴，，， ∴，， ，， ∴，， ∴，， ∴线段与的位置关系是，与的数量关系是， 故答案为：；； （2）略 （3）如图，过点作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵将绕点旋转一定角度得到，点 落到边上，， ∴， ∴， 由（2）可知：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 8．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段检测）如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1） ，   （2）结论仍然成立，理由如下：如图②，连接，连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ； （3）或 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． （1）通过证明可得 ，即可求解； （2）通过证明可得 ，即可求解； （3）分点在直线的左侧和点在直线的右侧两种情况，过点作于，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）如图①， 连接， 连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， 故答案为： ，； （2）略 （3）如图③，当点在直线的左侧时，过点作交的延长线于，则， ， ， ， ， ， ； 如图④，当点在直线的右侧时，过点作于， 则， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 【答案】（1），； （2）、的数量关系不成立，位置关系仍成立，、的数量关系为： （3）或 【分析】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）证明得到与的数量关系，通过角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明，求得和的数量关系；然后利用角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （3）分情况讨论，①当点和点在边上方重合时，②当点和点在边下方重合时，分别求解． 【详解】解：（1），； ∵四边形，都是正方形， ∴，，． ∴， ∴． ∴． ∴，， ∵， ∴． ∴； （2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立． ，． 理由如下：由题意知在矩形、中， ， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 综上所述：，； （3）∵ ∴ 如解图①， ； 如解图2，连接，设，则，     ，， 在中，， ， ∴（舍去）． 综上所述，当点与点重合时，线段的长为或． 故答案为：或． 10．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中， ，，． 【问题探究】 （1）如图①，连接，在纸片绕点旋转过程中，求证：∽； 【问题解决】 （2）如图②，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的高线的延长线上，连接，求的长； 【问题拓展】 （3）如图③，在纸片绕点旋转过程中，点恰好落在的中线的延长线上，连接，求的周长． 【答案】 （1）证明：在中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴． （2） （3）的周长为 【分析】（1）根据题意，运用两边对应成比例，两边夹角相等，两三角形相似的判定方法即可求证； （2）根据题意可证，得，再证，得，由此即可求解； （3）如图所示，设交于点，连接，可得，，可证，得，点为的中点，再证明四边形是矩形，得到，则，由此即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）∵是边上的高，即，点恰好落在高线的延长线上， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 又， ∴； （3）如图所示，设交于点，连接， ∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴点为的中点， 又， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴的周长为． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是关键． 11．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）【课前引入】 【问题背景】如图1 ，在和中，，且，连接，易证明；小刚同学尝试改变条件，继续探究．如图2，在中，，将旋转一定的角度，如图3 ，连接和，求证： ； 【尝试运用】 如图4，，且，点D在上， ① 的值为 ； ②若 ，求的值； ③若在②的基础上，与的交点为M，直接写出的值 【答案】 问题背景：证明：如图2，在中，， ， ， ， 将旋转一定的角度，如图3 ， ， ； 尝试运用：①1；②；③ 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用， 问题背景：先证明，得出，再根据得出结论； 尝试运用：①证明即可证明结论； ②先证明，设，则，根据勾股定理求出，进而求出结论； ③证明，根据相似三角形性质求出结论． 【详解】解：问题背景：略 尝试运用：①， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1； ②，且， ， ， ， ， 设， ， ， 在中，， 在中，， 则， ， ； ③如下图： ， ， ， 由②知：，， ， 故答案为：． 12．（2025·安徽合肥·三模）如图，在和中，，连接．    (1)如图1，求证：； (2)当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； (3)将绕点B旋转，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形；若能，请直接写出线段的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) 证明： ， ， (2) (3)能，或 【分析】（1）根据题意可证明，再通过两条边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似证明即可. （2）由是中线，可证，则四边形是平行四边形，是矩形，再通过两组对角相等可证，然后可得，再根据勾股定理得，最后算出的值. （3）分两种情况：如图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】（1）略 （2）延长交于H，连接交于M，    由（1）知， 是中线，， ， 四边形是平行四边形， ， 是矩形， ， ， 设， ， ， 由勾股定理得：，即，解得， ； （3）能，或． 分两种情况：①如图， ，过点B作于点Q，过点D作 于P，    ∴ ∴四边形是矩形 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∵ ∴，即 ∴ ①如图， ，过点B作于点Q，    ∴ ∴四边形 是矩形 ∴ ∵ ∴ 由勾股定理得： 综上，的长是或 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数、中位线定理、直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键 13．（2025·吉林白城·模拟预测）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： (1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图①），还能得到吗？若能，请给出证明，若不能，请说明理由； (2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图②），试问当与的大小满足怎样的关系时，，请说明理由； (3)把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，如图③，且，请直接写出与满足的数量关系． 【答案】(1)能得到， 证明如下： 四边形，为正方形， ， ， ， ； (2)， 理由如下： 四边形，为菱形， ， ， ，即 ， ； (3) 【分析】（1）结合正方形性质证明，进而即可证明； （2）结合菱形性质证明即可； （3）结合矩形性质证明，进而即可推出与满足的数量关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：四边形，为矩形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形性质、菱形性质、矩形性质、全等三角形性质和判定，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 14．（2025·广东东莞·模拟预测）【问题情境】已知正方形和正方形，其中，． 【初步探究】（1）如图1，正方形的边，分别与正方形的边，重合． ①填空：与的数量关系是________； ②求证：； 【拓展探索】（2）将图1中的正方形绕点按逆时针方向旋转． ①如图2，当点落在边上时，连接，，延长与交于点，求的长； ②如图3，连接，，线段与交于点，当点在直线左侧时，连接，若存在实数满足等式，求出的值． 【答案】[初步探究]（1）①； ②， ∵正方形和正方形，正方形的边，分别与正方形的边，重合， ∴， ∴， ∴， ∴； [拓展探索]（2）①；② 【分析】[初步探究]（1）①先利用正方形的性质得出，，再结合，求得； ②先利用正方形的性质得出，列出比例式，证得，从而有结论成立； [拓展探索]（2）①先证明，通过相似得出比例式，，求得，再得出，然后利用勾股定理求得，再求出； ②先证得，得出，再证明，得出，，再利用等腰直角三角形的性质得了，从而可得出结果． 【详解】解：[初步探究]（1）①∵正方形和正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②略 [拓展探索]（2）①延长，，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ②如图，在上取点，使得，连接． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∴，即， ∴（）， ∴， ∵， ∴（）， ∴，． ∵， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是找准相似三角形，列出比例式求出相关线段． 15．（2025·山东东营·三模）【问题呈现】 和都是直角三角形，，，，连接，，探究和的数量关系和位置关系． 【问题探究】 （1）如图1，当时，直接写出和的数量关系是___________，位置关系是___________； （2）如图2，当时，（1）中位置关系的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （3）当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，请直接写出的长． 【答案】（1），； （2）成立，理由如下： 如图延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）或 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点在线段上时，当点在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）延长交于点，如图， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）当点在线段上时，连接，如图所示； 设，则， 根据（2）可知， ， ， 根据（2）可知，， ， 根据勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 此时； 当点在线段上时，连接，如图所示， 设，则， 根据（2）可知， ， ， 根据（2）可知， ， 根据勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 此时； 综上，或． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、解一元二次方程和勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法和分类讨论． 16．（2025·辽宁铁岭·二模）【问题背景】数学课上，王老师让大家将两个大小不同的等腰直角三角板的一个顶点重合，然后将较小的三角板绕重合的顶点进行旋转，画出旋转后的图形，找出其中的相似三角形． 【初步感受】 （1）①展示1：如图1，和都是等腰直角三角形，，的理论依据是 ； ②展示2：如图2，和都是等腰直角三角形，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图3，在等腰直角三角形中，，点D为边上一点，以为一边作正方形，连接，求证：； 【迁移拓展】 （3）如图4，在四边形中，点E为对角线上一点，且，其中，求的长． 【答案】（1）①；②； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）①证明，即可解答；②根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （2）连接，结合正方形的性质以及等腰直角三角形的性质可得，，可证明，即可解答； （3）延长交于点M，根据，可得 ，可证明，从而得到，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： ②∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）如图，延长交于点M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，利用类比思想解答是解题的关键． 17．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： ①“智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； ②“勤奋小组”发现在（2）的条件下，若是的中点，使图3中固定不动，将绕顶点旋转，在旋转过程中，则的最小值为_______． 【答案】(1) (2)解：，理由： ∵， ∴，即， ∵和都是直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 综上所述，； (3)①或；② 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得， 则有，证明，得到，由三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据题意可得，由勾股定理可得，则有，可证，由相似三角形的性质可得，，在中，由三角形内角和定理可得，即，由此即可求解； （3）①根据含角的直角三角形的性质可得，，，设，则，，由，运用勾股定理即可求解； ②根据题意可得点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接，在中，，当点三点共线时，，此时线段的值最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：由（2）可得，， ①如图所示，点在同一条直线上， ∵，，，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得，，， 当时，； 当时，； 故答案为：或； ②如图所示， ∵绕顶点旋转， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接， 在中，， 当点三点共线时，，此时线段的值最小， ∵和都是直角三角形，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直线三角形斜边中线等于斜边的一半等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 18．（24-25九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 【答案】(1)① 1；② 40° (2)解：，，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，， ∵， ∴， ∴； (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①利用证明，得出，即可得出答案； ②根据，得出，根据三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据两边的比相等且夹角相等，得出，根据相似三角形的性质及三角形内角和即可得出答案； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：图3和图4，同理可证，则有，，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）① ， 故答案为：1； ② 在中，故答案为：； （2）略 （3）①点C与点M重合时，如图3，同理得：， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴， 同理可得； 在中，由勾股定理得：， ，（舍去）， ∴； ②点C与点M重合时，如图4，同理得：， 设，则 在中，由勾股定理得：， （舍去）， ∴ 综上所述，的长为或． 19．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 【答案】（1），理由如下： ∵和都是等边三角形，点，重合 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ （2）成立，作交线段于点M    ∵和都是等边三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ （3），理由如下： 作交线段于点N，    ∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （4） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质； （1）证即可求解； （2）作交线段于点M，证得，再证得，，即可求解； （3）作交线段于点N，证得，再证得，，进一步可证，即可求解； （4）作交线段于点，证得，再证得，，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4），理由如下： 作交线段于点，    ∵中，． ∴， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 20．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）在北京欢乐谷玩“水晶神翼”过山车时，马超同学发现：过山车启动前，两侧的翼形座舱会沿中心轴同步展开，整个过程与曾经感到困惑的几何模型“手拉手”高度契合，带着这个问题，他展开了如下探究： (1)等腰直角三角形的斜边长与腰长的比值是__________； 顶角为的等腰三角形的底边与腰长的比值是__________； (2)如图1，点为等腰底边上一点，以为腰在其右侧作等腰，连接，，若，则___________； (3)如图2，在（2）的条件下，分别取边，的中点，，连接，求的度数； (4)如图3，顶角为的等腰的腰上有一动点，连接，并以为底边在其上方作等腰，且，若，当点从点运动到点的过程中，请直接写出点的运动路径长．（用含的代数式表示） 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理，进行求解即可； （2）证明，得出即可； （3）连接，，证明，得出，根据，得出即可． （4）连接并延长，证明，得出，证明，得出，说明点E总是在射线上，根据当点D与点B重合时，点E与点A重合，当点D与点A重合时，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，为等腰直角三角形，则设， 根据勾股定理得：， ∴， ∴等腰直角三角形的斜边长与腰长的比值是：； 如图，为等腰三角形，，，过点D作于点G， 则，，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， 即顶角为的等腰三角形的底边与腰长的比值是； （2）解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，，如图所示： ∵为等腰直角三角形，F为的中点， ∴，，， 根据解析（1）， ∴， 同理可得：，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：连接并延长，如图所示： ∵，， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴点E总是在射线上， 当点D与点B重合时，点E与点A重合，当点D与点A重合时，如图所示： 根据解析（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动路径长为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 21．（25-26九年级上·广东佛山·期中）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题．正方形和正方形如图1放置，连接和，． (1)请探究与之间的数量关系并证明； (2)如图2，连接． ①请探究与之间的数量关系并证明； ②若，，求的长； (3)如图3，当四边形和均为矩形，且时，若，，，直接写出k的值． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵四边形，为正方形 ，， ， 在与中 ， ； (2) ①解：，理由如下： 连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中， 同理，在中， 四边形为正方形， ， ， ，即； ② (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）①连接，在中，由勾股定理得到，同理，，然后证明，即可求解； ②先求出，然后在中，运用勾股定理求解； （3）连接，先证明，再证明，然后由勾股定理求解得到，同理，则，那么，，，最后在中，由勾股定理建立方程 ，再解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②， 在中，； （3）解：如图，连接， ∵四边形和均为矩形， ∴，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ， ， ∵， ∴， ， 在中，， 解得或（舍） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点． 22．（25-26九年级上·河北·单元复习）综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是___________，___________； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： “智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则___________； 【答案】(1)， (2) 解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵和都是直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 综上所述，； (3)或； 【分析】（1 ）根据等边三角形的性质可得，则有，证明，得到，由三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2 ）根据题意可得，由勾股定理可得，则有，可证，由相似三角形的性质可得，，在中，由三角形内角和定理可得，即，由此即可求解； （3 ）①根据含角的直角三角形的性质可得，，，设，则，，由，运用勾股定理即可求解； ②根据题意可得点B在以点A为圆心，以为半径的圆上运动，连接，在中，，当点三点共线时，，此时线段的值最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：由（2 ）可得，， ①如图所示，点在同一条直线上， ∵，，，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得，，， 当时，； 当时，； 故答案为：或； 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23．（2025·河南洛阳·模拟预测）综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．    (1)操作判断  已知点为和的公共顶点，将绕点顺时针旋转，连接，，如图1，若和均为等边三角形，请完成如下判断： ①线段与线段的数量关系是________； ②直线与直线相交所夹锐角的度数是________； (2)迁移探究  如图2，若，，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由； (3)拓展应用：如图3，若，，，，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)①不成立，理由如下：如图2，    延长交的延长线于点． ，， ，． ， ， ； ②成立，理由如下： ， ， ． ； (3)或 【分析】（1）设直线交直线于点．由等边三角形的性质可得出，，． 进而可求出，即可证，从而得出结论．再根据，即得出答案； （2）由题意得出，，进而可证，得出．由（1）同理可证； （3）分类讨论：当点D落在线段上时和当点E落在线段上时，分别画出图形，根据等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：①如图1，设直线交直线于点．     和都是等边三角形， ，，． ． 在△BCD 和△ACE 中， , ． ； ②， ， ， ； 故答案为：；； （2）略 （3）①如图3，当点落在线段上时．   ，，， ∴，． ∴，． ∴．， ∴； ②如图4，当点落在线段上时，    同理可得，． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线构造全等或相似三角形是解题关键． 24．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 “手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用． 某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究： 如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，． 深入探究： （1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，． 解决问题： （2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______． 拓展应用： （3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点） 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，． （2），； （3）， 【分析】（1）只需要利用SAS证明即可得到，，再证，即可推出即可证明，． （2）同理可证△ABD≌△ACE，则CE=BD，∠ACE=∠ABD，AE=AD=3，可以推出BE=6利用勾股定理求出，证明△AEC∽△FEB，求出，则； （3）如图所示，过点E作EH⊥AB于H，求出，则，利用勾股定理即可求出；求出，证明∠CBE=90°，则，同理可证△ACE≌△ABD，则． 【详解】（1）略 （2）同理可证△ABD≌△ACE， ∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，AE=AD=3， ∴BE=6 ∵∠BAD=90°，AD=3，AB=6， ∴， 又∵∠AEC=∠BEF， ∴△AEC∽△FEB， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，过点E作EH⊥AB于H， ∵∠ABE=45°， ∴∠HEB=45°=∠HBE， ∴BH=EH， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°，， ∴∠CBE=90°， ∴， 同理可证△ACE≌△ABD， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 25．（25-26八年级下·吉林·期末）综合与探究 【问题背景】我们学习了三角形的中位线定理，借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，如图1，探索小组利用这个基本图形进行了探究活动，探究发现：若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，请你和探索小组一起对此进行研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作． (1)初步发现：如图1，由三角形中位线构造，可知：______． (2)猜想探究：如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (3)结论应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，则_______． (4)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．分别取，的中点M，N．当绕点B旋转过程中，直接写出当面积最大时，的面积是_______． 【答案】(1) (2)解：，证明如下， 由题可得，和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) (4) 【分析】（1）先根据中位线性质得到对应边比例、与的相似比，再结合是中点得到长度，用平行线等分线段定理计算比值； （2）旋转后，先求出与的比值，证明和相似，即可得到与的数量关系； （3）先根据过点得到，用勾股定理求出的长度，再利用（2）得到的与的数量关系计算； （4）根据勾股定理求出，结合三角形中位线定理得到，，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，，根据N到的距离，可知当时，面积最大，此时，分两种情况根据旋转的性质作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的中点为，，， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由图1可得，，的中点为，， ∴，， ∴， ∴， ∴如图3，当所在直线过点时，， ∴在中，， 由（2）可得，， ∴， 解得； （4）解：如图， ∵在中，，，， ∴， ∵分别取，的中点D，E， ∴，，，， ∵分别取，的中点M，N， ∴，， ∵N到的距离， ∴当时，面积最大， 此时． 如图，当N在上方时， 由旋转的性质可知， ∴即点E在线段上， 此时； 如图，当N在下方时， 同理可知即点D在线段上， 此时； 综上所述，当面积最大时，的面积是4． 26．（25-26八年级下·山东烟台·期末）【原题呈现】 (1)如图，，．当点在内部时，直线与交于点，与交于点，此时的值是________； 【变式探究】 (2)如图，将（1）中的绕点旋转一定的角度，使点在外部，且（1）中的其它条件不变． ①求的值； ②写出和的数量关系并证明； 【应用拓广】 (3)如图，矩形中，，，点在边上且，连接．点在线段的延长线上，作，连接，．若，求的长． 【答案】(1) (2)①；②． 证明：， ． ， ． (3) 【分析】（1）由相似三角形的性质可得，从而得出，再证明，即可得出结果； （2）①由相似三角形的性质可得，从而得出，再证明，即可得出结果； ②连接，由①得，利用角度转换即可解答； （3）证明，可得，再求得，即可解答． 【详解】（1）解：， ，， ，即， ， ． ． （2）解：①， ，． ，即， ， ， ； ②略 （3）解：， ，， ， ，， ， ． ， ， ． 27．（2026·河南周口·二模）综合与探究 【问题情境】：数学课上，同学们以直角三角形为基本图形探究图形旋转变化问题．已知直角三角形纸片，，，，将绕点旋转得到． (1)【操作判断】：如图1，当点恰好落在的延长线上时，____； (2)【深入探究】：旋转到图2位置，连接、，与交于点，猜想线段与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】：若旋转后，直线与直线交于点，射线交直线于点，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，理由如下： 如图，过点作交于点， 由旋转可知，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， ； (3)或 【分析】（1）由旋转的性质可证明，，得到，推出，由勾股定理可得的长，再由等腰三角形三线合一可得，即可得解； （2）过点作交于点，由旋转的性质结合等边对等角可得，由平行线的性质结合角的等量证明，推出，得到，从而证得，即可得证； （3）由旋转可知，由（2）可知，，由勾股定理可得的长，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一可得，，分两种情况讨论：将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，分别根据等面积法可表示出与之间的数量关系，再在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：将绕点旋转得到， ，，， ，，即， ， ， 在中，，， ， ，，即， ， ，解得； （2）略 （3）解：由旋转可知， 由（2）可知，， ， ，，， 将绕点逆时针旋转得到，如图所示， ，即， ， 在中，， 即，解得或（不合题意，舍去）， ； 将绕点顺时针旋转得到，如图所示， ，即， ， 在中，， 即，解得或（不合题意，舍去）， ． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $