14.3 角的平分线 第1课时 同步练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质 班级：__________ 姓名：____________ 第1页 学科网（北京）股份有限公司 一．选择题（共6小题） 1．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 第1题图 第2题图 2．如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在内，按下列步骤进行尺规作图的操作： ①以为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点； ③作射线． 已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第3题图 第4题图 4．如图，三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可以供选择的地址有（     ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 5．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 第5题图 第6题图 6．如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 二．填空题（共4小题） 7．如图，在中，，平分，，，则的长为______． 第7题图 第8题图 8．如图，中，，平分交于点D，，，则的面积是___________． 9．如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧交、于点、，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线．为上一点，交于点，若，则的度数为________． 第9题图 第10题图 10．如图，在中，平分于点的面积为，则的长是___________ 三．解答题（共7小题） 11．校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． 12．如图，已知，请你按下列步骤画图：（用尺规作图，不写画法，只保留画图痕迹） (1)画的平分线交线段于点； (2)过点画的平行线交射线于点． 13．如图，是的平分线，点在上，，，垂足分别为，．点，分别在上，，连接．求证：． 14．已知，如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M、N．求证：． 15．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． (1)求证：． (2)试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与解析 第1页 学科网（北京）股份有限公司 1．B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 2．C 【分析】如图，连接，，由作图得，，，然后利用证明即可． 【详解】解：如图，连接，， 由作图得，，，， ∴， ∴，即平分． ∴用到的三角形全等的判定方法是． 3．A 【分析】根据尺规作图的步骤可知是的角平分线，根据角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】解：由作图步骤可知，射线是的角平分线， ， ． 4．D 【分析】到三条直线距离相等的点，即为这三条直线所围成三角形的内角平分线或外角平分线的交点． 【详解】解：三条直线两两相交围成一个三角形； ∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三条直线距离相等的点必在角的平分线上，三角形内部有一个点，即三条内角平分线的交点；三角形外部有三个点，即两条外角平分线与一条内角平分线的交点； ∴共有处可供选择的地址． 5．C 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得出，，从而得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：过点作于，如图所示： ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 6．D 【分析】根据尺规作图痕迹判断为的平分线，利用角平分线的性质及三角形面积公式逐项判断． 【详解】解：由作图痕迹可知为的平分线， 故A选项说法一定正确，不合题意； 为的平分线， 点P到，的距离相等， 故C选项说法一定正确，不合题意； 设点P到，的距离为h， 则， 故B选项说法一定正确，不合题意； 根据现有条件不能得出， 故D选项说法不一定正确，符合题意． 7． 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得出．结合三角形的面积求出的值，即可求解． 【详解】解：作于点，如图： ∵， ∴， ∵平分，，， ∴． ∵，， 故， 即． 故答案为：． 8．18 【分析】作于点，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再结合三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分，， ∴， ∴． 9．/31度 【分析】根据尺规作图痕迹可得是的角平分线，根据平行线的性质可得，，结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 由作图可得是的角平分线， ∴， ∴． 10．5 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 11． 点如图所示． 【分析】明确到角两边距离相等的点在角的平分线上，因为点P需要同时到的距离相等，所以点P在的角平分线上．因为点P还需要到的距离相等，所以点P也在的角平分线上．两个角平分线的交点即为满足条件的点P，通过尺规作图作出两个角的平分线，取交点即可． 【详解】解：作的角平分线，再作的角平分线， 两条角平分线在图中围成区域内的交点就是满足条件的点． 理由：∵点在的平分线上， ∴到、距离相等； 又∵点同时在的平分线上， ∴到、距离相等； ∴到、、距离相等； 最终就是点到三面墙的距离都相等，符合要求． 12．(1) 射线即为所求； (2) 直线即为所求； 【分析】（1）以点为圆心，任意长度为半径画弧交、于点、，分别以点、为圆心大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，射线即为所求； （2）以为边作，根据内错角相等，两直线平行可知，直线交射线于点，直线即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 13． 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线，点在上，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的定理． 由角平分线的性质，可得，可证得，根据三角形全等的性质，即可证得结论． 【详解】略 14．证明：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分， ∵，， ∴． 【分析】先证明，得出，说明平分，根据角平分线性质得出即可． 【详解】略 15．(1)证明：∵是的平分线，，， ， 在和中， ， ∴， ； (2)解：，理由如下： 在和中， ， ∴， ， ． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）略 （2）略 $