广东普宁市第二中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026一2027学年度第一学期高二第一次月考参考答案 1.【答案】B【解析】因为10×50%=5，所以中位数是第5个数和第6个数的平均数，即6 2.【答案】D【解析】由x+1>0得集合M={xlx>-1},则M∩N={0,1,2}. -x+1,x≤0 3.【答案】B【解析】A:由y=x+1= 知，y=c+1在(0，十∞)上递增，不符合： c+1,c>01 B:由二次函数性质知，y=一x2+1是偶函数，又在(0，+∞)上单调递减，符合： C:由t=x'在(0，+o∞)上递增，y=lnt在定义域上递增，故y=lnx2在(0，+oo)上递增，不符合： D:y=o的定义域为{r≠0，且f-=cos(一d=-cos2=-f),得函数y=c0s2是 奇函数，不符合 4.【答案】C【解析】对于A,若m∥a,n∥&，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，A错误； 对于B,若m∥a,m⊥n,则直线n与平面a可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，B错误； 对于C,若a∥B,m⊥a,n∥B,则m⊥n,C正确； 对于D,若m∥n,nca,则m与a可能平行，也有可能直线m在平面a内，D错误 5.【答案】A【解折】因为0<a<元，cosu=一号，所以sing=1-osa-青 5 sme+)=inco子+co子=x号+{-是×9=治 6.【答案】A【解析】如图，取AD中点G,连接EG、FG,因为E,F分别是AC,BD的中点， 所以EG∥CD,FG∥AB,又CD=4,AB=2,所以EG=2,FG=1, 因为EF⊥AB,所以EF⊥FG, 在RIAEFG中，sin∠FEG=号，∠PEG=石， 因为EG∥CD,根据等角定理可知，EF与CD所成的角的大小是石，故B,C,D错误 B G B M 7.【答案】C【解析】M为BC的中点，A=(A店+AC,而4C=2C,故4AG=号4成=号 3 (AB+AC), 又店=A(>0,AC=yAQ(y>0,所以AG=号A币+号A0, 又P,G,Q三点共线，所以号+号=1，即e+y=3, 所以台+-号台+号水+0-5+号+)≥（5+2V号甚)=3， 当且仅当号=号，即2=2y=1时取等号故选：C 8.【答案】B【解析】由题意，若f(x)的对称中心为(m,n),则g(x)=f(x+m)-n为奇函数，对定义 答案·1· 域内任意x均有g(x)+g(-x)=0, 即：f+刚侧+f-+m)=加代入f=s2得： 1 1 g+2十gtm+2 2n, 8mg9+2十g十2g=2m,要使等式对任意x恒成立，令8=2，解得m= 即1 31 代入左边得：2+2'2g专因比合mm吾 1 9.【答案】ABC【解析】对于A,根据互斥事件的概率加法公式即可判断A正确： 对于B,若事件A,B相互独立，则A,也相互独立，所以P(AB=P(AP(),故B正确： 对于C,根据互斥事件的概率加法公式即可判断C正确； 对于D,例如，从1,2,3,4中随机选出一个数字，记事件A=“取出的数字为1或2”，B=“取出的 数字为1或3”，C=“取出的数字为1或4”，则AB=AC=BC=ABC=“取出的数字为1”， 显然P(A=PB)=PC)=圣=号=P(ABC)=士， P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C), 所以事件A,B,C两两独立，但是P(ABC)≠P(A)·P(B)P(C),故D错误 10.【答案】CD【解析】：f平+如)+f(于-x)=0∴f()的图象关于点(，0)对称， 又：f(m)≤f(:.当x=时，f()取得最值，即f()的图象关于直线x=乏对称， 又~f)在[0]上单调递减，至∈[0,5]，号∈[0,5] “.点（工，0）和直线0=号是f()的图象相邻的对称中心和对称轴， 1设f(倒的最小正周期为工，则子=号-晋=晋T=x=会@=2 ∴f(m)=sin(2m+p),又：f(o)的图象关于点（王，0对称，且在[0，]上单调递减， 由正弦函数的性质，2×至+9=元+2，k∈Z∴p=受+2，k∈2， 0<9<元k=0时，9=号 11.【答案】ABD【解析】取圆台的轴截面ABCD,设AD、BC的中点分别为O1、O2,连接O1O2, 分别过点A、D在平面ABCD内作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点E、F, 由题意可知，O1O与圆台的底面垂直，易知四边形ABCD为等腰梯形， 且AB=CD=3,AD=2,BC=4, 在△ABE和△DCF中，AB=DC,∠ABE=∠DCF,∠AEB=∠DFC=90°， 所以，△ABE≌△DCF,所以BE=CF, 因为AD∥BC,AE⊥BC,DF⊥BC,则四边形ADFE为矩形，且EF=CD=2, 同理可证四边形AEOO1为矩形，则O1O2=AE,且AE∥OO2, 所以，AE与圆台的底面垂直，则圆台的母线与底面所成的角为∠ABE, 所以，BE=CF=AB,EP=42=1,则AE=√AB-BE=√3-1=2√2， 2 2 所以，an∠ABB=品=22，A对： 对于B选项，圆台的全面积为元×12+元×22+元×(1十2)×3=14r,B对； 对于C选项，易知圆台的外接球球心在梯形ABCD内，且CE=BC-BE=4-1=3, 答案·2· D B M B A 由勾股定理可得AC=√AE2+CE=√7，且sin∠ABE=Ag=22 AB 3 所以，圆台的外接球直径为2R= AC √17 =3W例，则R=3,B错： sin∠ABE 2W2 4 8 3 对于C选项，将圆台沿着轴截面ABCD切开，将圆台的侧面的一半展开如下图所示： 延长BA、DC交于点M,在圆台的轴裁面等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=号CD, 易知A、D分别为BM、CM的中点，所以，AM=DM=AB=3, 设∠AMD=0,则AD=30=x,则6=子， 在△ACM中，AM=3,CM=6,∠AMD=号， 由余弦定理可得AC=√AM+CM-2AMC10s弩=V32+62-2×3×6×号 =3√5， 因此，从点A经过圆台的表面到点C的最短距离为3√，D对： 12.【答案】V10【解析1因为iz=3+i,2=3+i-3+i-=1-3i,z=√P+-3=√0 i i(-i) 13.【答案】20W3【解析】设AB=x,在Rt△ABC中，∠ACB=45°，BC=x: 在RAABD中，∠ADB=60°，所以BD=5z 32 在△BCD中，由余弦定理得，BD=BC+CD2-2BC.CD·cos/BCD, 即（号-+20-2z×20×9,解得=203或e=10w5 当AB=20V3时，BD=5×20NW3=20,符合题意： 3 当AB=10W5时，BD=×10W3=10<12,不符合题意 3 14【答案】器【解析】由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为子， 由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为： 只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球， 则概率为子×1×程+星×士×1+号×星×士-器 15.【解】(1)连结B1C交BC1于E,连结DE, 在△AB1C中，：D,E分别为AC和B1C的中点，则AB1∥DE, AB1寸平面BCD,DEC平面BC1D, .AB1∥平面BCD;…6分 答案·3 B B 8 (2)取BC中点为F,连结AF,BF, :AB=AC,则AF⊥BC, :平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,且AFC平面ABC, ∴.AF⊥平面BCC1B1,BC1C平面BCCB1,则AF⊥BC1, 又：AB1⊥BC1,AF∩AB1=A,AF,AB1C面AFB1,.BC1⊥面AFB1 B1FC面AFB1,∴.BC1⊥B1F,.△BBF~△C1BB 则器-器可得8B=1 :B1B∥CC1,BB1C面BB1D,CC1寸面BB1D,∴.CC1∥面BB1D, ge=6-6=gc-号·Sm58- .…13分 16.【解】(1)摸球结果(a,b)全部可能的结果是(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)， (2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),（4,3),(4,4),(4,5), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25种， 其中a+b=5的结果为(1,4)，(2,3)，(3,2)，（4,1)，共4种，故由古典概型的概率计算公式可得 P(a十b=5)=5; …7分 (2)这种游戏规则不公平，理由如下： 设甲赢为事件A,乙赢为事件B,则A,B为对立事件， 由题意事件A包含的基本事件(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,2)，(4,3)，(4,4)， (4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4,(5,5),共15个， 由古典概型的概率计算公式可得P(A=芳=号P8)-1-P(A=号， :P(A)>P(B),故这种游戏规则不公平. … …15分 17.【解】(1)因为sin2A=sinB+sinC-sinBsinC,所以a2=b2+c2-bc, 由余我定理可得c0sA=+-器= 2bc 因为A∈(0，元)，所以A=正： 3衫………4分 (2)因为a=2W7,b=4且a2=b2+c2-bc, 所以28=16+c2-4c,解得c=6或c=-2(舍去)， 所以Sac-bcsinA-号x4x6×号-6N5: …9分 (3)因为a=2 bcosB,由正弦定理可得sinA=2 sinBcosB, 即sn2B-号，因为A-背所以Be(0,答)则2Be(0,专 2 答案·4· 所以2B=号或2B=号，即B=号或B=若， 当B=登时△A5C为等边三角形，所以BC边上中线长为3c09号- 2 当B=若时，则C=元-A-B=受，所以△ABC为直角三角形，又a=3, 由正弦定理-品5=C,即3 b sin =C,所以b=V3,c=23, sin 6 sin 所以BC边上中线长为VW3+(多= 2 综上所述，BC边上中线长为3y或 2 …15分 2 18.【解】(1)证明：如图，连接BP,在矩形ABCD中，AB=2AD=4,P为线段DC的中点， ∴.AP=BP=2W2,AB=4, ∴.AP2+BP=AB2,.AP⊥BP 又平面ADP⊥平面ABCP,BPC平面ABCP,平面ADP∩平面ABCP=AP, .BP⊥平面ADP.… …5分 (2)DPC平面ADP,.BP⊥DP, ∴.BD2=DP2+BP2=4+8=12. ∴.在△ADB中，AB2=AD+BD,.AD⊥DB, 又PD⊥AD,PDC平面ADP,BDC平面ADB,平面ADP∩平面ADB=AD, ∴.∠PDB为二面角P-AD-B的平面角， 在RtAPDB中，cos/PDB=D三23=3， 31 ·.二面角P-AD-B的余弦值为3， 3 …11分 (3)存在，E是线段CD上靠近点C的三等分点 如图所示，连接AC、BP,设AC交BP于点F, :CP∥AB,且CP=3AB, 取DC的三等分点E,使8票-号，连接BN、PB,BB,则BP∥AD, 又EFC平面PBE,ADC平面PBE, .AD∥平面PBE. 故存在满足条件的点E,且E是线段CD上靠近点C的三等分点.…17分 1o【解11f回-ga=2cosx+子)）-号sinc-sn2x0, 故f(-四)-g-国)=vcos(-z+)-号sin(-e-置)n(-2a) 答案·5 =v2cosg-)-号me+)m2r, 因为f(x),g(x)分别为定义在R上的偶函数与奇函数，所以f(-x)=f(x),g(-x)=一g(x), 放f(e+ga)=v厄cos。）-是sine+量sin2x②， 式子①+②得2f3(x)=2cosc-singsin2r, 2f3 (x)=2cosx-sinxsin2x=2cosx-2sin'xcosx=2cosa(1-sin')=2cos', 所以f(x)=cosx, 式子②-①得2g(x)=2sinx-2 sinac0s2c=2sin3x,所以g(x)=sinD:…4分 (2)hn(x)=[f(x)+g(x)]”+[f(x)-g(x)]”=(sinx+cosx)”+(cosc-sinx)”, (i)当n=2时，hm(x)=(sinx+cosx)2+(cosx-sinc)P=2, 不等式化为2+3 acosx-2a≥0， 令t=cosx∈[-1,1]，则需2+3at-2a≥0对任意t∈[-1,1]恒成立， 设p(t)=2+3at-2a, 要想2+3at-2n≥0对任意te[-1,1恒成立.只P2180220,得-2≤a≤号： p(1)=2+3a-2a≥0 下证：若aE[-2,号]，则对任意正整数n,不等式k,)+3ac0s2-2a≥0不恒成立， hn(c)=(sina+cosx)"+(cosa-sinc)", 若a>号取8=x,此时in0=0,os8=-1,h=(一1r+(一1r=2或-2 当n为奇数时，k(@=2,代入不等式得2-3a-2a≥0，解得a<号，与a>号矛眉， 5 当n为偶数时，k(回)-2.代入不等式得2-3a-2a≥0：解得a≤号，与a>号矛盾： 5 若a<-2,取x=0,此时sinx=0,cosx=1,hn（x)=2, 代入不等式可得2+3a-2a≥0，解得a≥-2，与a<-2矛盾， 因此，当-2≤a≤号时，存在n=2,使得h()+3ac0sm-2a≥0对任意的∈R恒成立：…10分 (ii)对任意的x∈R恒有hn(x)≤2026，只需hn(x)max≤2026， 令u=cosm+sinx=√2sin(如+平)，u=cosx-sinx=W2cos(x+平)， 则u2+v2=2,设hn（c)的最大值为Mn, 当n=1时，h1(x)=2cosc≤2，此时对任意的xc∈R恒有h1(c)≤2026， 当n≥2时，um+u”≤u”+om,且在约束条件u2+w2=2下， 1ar+r=[V2sim(x+)+[Vcs(c+至)订≤(w2yr[sin(e+)+cosx+】=(2r, 最大值为ur+wm=(2)”,故Mn=(W2)m, 例如，当=平时，h(子)=(2r 故只需(W2)°≤2026，即22≤2026,7≤10g2026,m≤210g2026, 其中1og2026∈(1og1024W2,10g2018)=(2分，1， 故2log22026∈(21,22)， 若对任意的x∈R恒有hm(x)≤2026，则n的最大值为21 … ·17分 答案·6·2026一2027学年度第一学期高二第一次月考 数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.10个数据1,3,4,5,5,7,9,11,13,16的中位数是（) A.5 B.6 C.7 D.8 2.设集合M={xy=lg(x+1)},N={-2,-1,0,1,2},则M∩N=（) A.{-2,-1} B.{-1,0,1,2} C.{1,2} D.{0,1,2} 3.下列函数中，既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递减的函数是() A.y=x+1 B.y=-x2+1 C.y=Ina2 D.y=cosz 4.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则() A.若m∥a,n∥a,则m∥n B.若m∥a,m⊥n,则n⊥& C.若a∥B,m⊥&，n∥B,则m⊥n D.若m∥n,nca,则m∥a 5.已知0<&<元，cosa= 号则ma+肾)=() A将 B号 0.3vg 10 D. 6.如图，四面体ABCD中，CD=4,AB=2,E,F分别是AC,BD的中点，若EF⊥AB,则EF与 CD所成的角的大小是() A B. C. D. A M 7.在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，AG=2G7,过点G的直线分别交直 线AB,AC于P,Q两点，AB=A正(>0)，AC=4(g>0),则生+1的最小值为() 试卷·1· A.1 B.2 C.3 D.4 8.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函 数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件 是函数y=f(x+a)一b为奇函数.依据推广结论，给定函数f(x)= 8+2,设其对称中心为 1 (m,n),则m+n=（） A.10 7 B.12 c.号 D吉 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中，正确的是（) A.若事件A,B互斥，则P(A十B)=P(A)+P(B) B.若事件A,B相互独立，则P(AB)=P(A)·P(B C.若事件A,B,C两两互斥，则P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) D.若事件A,B,C两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C) l0.已知函数f(m)=sin(ox+p)(u>0,0<9<,对任意x∈R均有f(于+)+f(平-x)=0,且 f()≤ff)在[0，]上单调递减，则() Af(知)的图象关于直线红=于对称 B.f()的最小正周期T=受 C.w=2 D.9=受 11.如图，AD与BC分别为圆台上下底面直径，AD∥BC,若AB=3,AD=2,BC=4,则（) A.圆台的母线与底面所成的角的正切值为2② B.圆台的全面积为14π C.圆台的外接球（上下底面圆周都在球面上）的半径为√2 D.从点A经过圆台的表面到点C的最短距离为3√ D B 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数z满足iz=3+i1为虚数单位)，则z= 13.如图，为了测量河对岸的塔高AB,某测量队选取与塔底B在同一水平面内且相距20米的两个测 量基点C与D.现测量得∠BCD=30°，在点C,D处测得塔顶A的仰角分别为45°，60°，若河宽 至少12米，则塔高AB=米 试卷·2· 14.篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3 次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，正三棱柱ABC-A1BC1中（底面是正三角形且侧棱与底面垂直的棱柱是正三棱柱）， 底面边长为√2，若D为AC的中点. (1)求证：直线AB1∥平面BC1D:(6分) (2)若AB1⊥BC1,求三棱锥B1-BDC1的体积.(7分) B B 16.(15分)甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且 编号分别为1,2,3,4,5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a,放回后乙再随机 摸出一个球，也记下编号，设编号为b,记录摸球结果(a,b),如果a+b>5,算甲赢，否则算乙赢. (1)求a+b=5的概率：(7分) (2)这种游戏规则公平吗？请说明理由.(8分) 试卷·3· 17.(15分)在△ABC中，以a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且sin2A=sinB+sinC-sin BsinO. (1)求A:(4分) (2)若a=2W7,b=4,求△ABC的面积；(5分) (3)若a=2 bcosB,a=3,求BC边上中线长.(6分) 18.(17分)矩形ABCD中，AB=2AD=4,P为线段DC的中点，将△ADP沿AP折起，使得平面 ADP⊥平面ABCP.在新构造的四棱锥D-PABC中，解以下问题： (1)证明：BP⊥面ADP:(5分) (2)求二面角P-AD-B的余弦值：(6分) (3)在DC上是否存在点E使得AD∥BC平面PBE？若存在，求出点E的位置；若不存在，请说 明理由.(6分) D 19.(17分)已知定义在R上的偶函数f()和奇函数g(),满足f(x)-g(m)=W2cos(如+王) 9sm(。-子sn2a (1)求f(x)和g(x):(4分) (2)定义hn(c)=[f(c)+g(x)]"+[f(x)-g(x)]",n∈N*, (i)若存在正整数n,使得hm(x)+3 acosx-2a≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围； (6分) (i)若对任意的c∈R,恒有hm(x)≤2026，求n的最大值.(7分) 试卷·4·