专题02 直线、射线、线段（7题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

专题02 直线、射线、线段（7题型突破·举一反三） 题型01 概念辨析与几何语言转换 题型02 直线、射线、线段的计数与规律探索 题型03 “两点确定一条直线”的实际应用 题型04 “两点之间，线段最短”的实际应用 题型05 线段中点与和差倍分计算 题型06 分类讨论：点位置不确定的多解问题 题型07 数轴上的线段与动点问题 ▌题型01 概念辨析与几何语言转换 1．判断正误抓三要素：端点个数、延伸方向、能否度量； 2．看字母顺序：直线、线段的两个字母可交换；射线的端点字母必须写在前面； 3．读句画图要“字字落实”：遇到“经过”“相交”“在……上（外）”“连接”“延长”等关键词，先想清点的位置关系再下笔；同一语句有时对应不止一种图形。 【典例1-1】（25-26七年级上·湖北恩施·期末）下列几何语句描述正确的是（   ） A．直线和直线是同一条直线 B．延长线段到点C，使 C．射线和射线是同一条射线 D．画直线厘米 【典例1-2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【典例1-3】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【变式1-1】（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（   ） A．线段与线段是两条不同的线段 B．射线与射线是同一条射线 C．射线与射线是两条不同的射线 D．直线与直线是同一条直线 【变式1-2】（25-26七年级上·河南开封·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图1，延长线段到 B．如图2，射线经过点 C．如图3，直线和直线相交于点 D．如图4，射线和线段没有交点 【变式1-3】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图，点在线段上 B．如图，点在射线上 C．如图，线段和射线有一个交点 D．如图，直线的延长线与直线的延长线相交于点 ▌题型02 直线、射线、线段的计数与规律探索 1．有序计数，不重不漏：数线段时固定起点，依次与其他点相连，再固定第二个起点……得到(n－1)＋(n－2)＋…＋1条； 2．记住常用结论：一条直线上有n个点（含端点），线段共有 n(n－1)/2 条；每个点向两个方向各延伸出一条射线，射线共有 2n 条； 3．平面内过n个点（任意三点不共线）最多可以画 n(n－1)/2 条直线； 4．若点共线或点在直线上，先判断是否符合“任意三点不共线”的前提，再套用公式。 【典例2-1】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）过平面上五个点中的任意两点画一条直线，最多可以画（     ）条． A．11 B．10 C．9 D．8 【典例2-2】（26-27七年级上·河南开封·开学考试）如图，以点B为一个端点的线段共有_________条． 【典例2-3】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点…那么条直线两两相交最多能有的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-1】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（   ） A．6个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2-2】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 【变式2-3】（25-26七年级上·河南许昌·期末）观察下列直线相交的情况： (1)两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有多少个交点？ (2)四条直线相交，最多有多少个交点？ (3)请你写出n条直线相交，最多有多少个交点的规律（用含n的代数式表示）． 【变式2-4】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） ▌题型03 “两点确定一条直线”的实际应用 把生活问题抽象为“过两点确定一条直线”：先找出情境中的“已知点”，再说明“确定直线需要且只需要两个点”。 【典例3】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图是生活中打靶瞄准现象，对于这个现象的解释正确的是（     ） A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．线动成面 【变式3-1】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是_____________． 【变式3-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）暑假期间，小华参加了夏令营打靶瞄准训练，如图所示，打靶瞄准靶心的过程中用到的数学原理是______． 【变式3-3】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）某数学兴趣小组学习“两点确定一条直线”后，想继续探究平面内有3点、4点……n点时，过两点画直线的情况，并进行了以下操作探究： (1)【操作·思考】画出下面两种情况的所有直线： ①当3点在同一条直线上时，如图1 ②当3点不在同一条直线上时，如图2 (2)【思考·提升】类比以上方法，继续探究不在同一条直线上的4点、5点、6点……画直线的情况．总结规律解决问题：过在同一平面内的10个点最多可作多少条直线？过在同一平面内的n个点最多可作多少条直线？ (3)【提升·拓展】某校组织了“迎新”活动． ①七年级举行单循环篮球赛，全年级8个班共打了几场比赛？ ②有50人参加了本次“迎新”活动，活动结束后参与人员需互送贺卡，共送出了多少张贺卡？ ▌题型04 “两点之间，线段最短”的实际应用 1．把实际问题转化为“求两点之间的距离”：当路线在“两个点”之间时，连接两点的线段就是最短路线； 2．路线与直线相交类问题：先在两点之间画线段，线段与给定直线（如河岸）的交点即为所求点； 3．立体图形表面的爬行问题：先把表面展开成平面，再利用“两点之间，线段最短”确定最短路线（展开图思想）。 【典例4-1】（2026·广西南宁·三模）彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 【典例4-2】（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 【变式4-1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）“弯曲的公路改直能缩短路程”用到的数学原理是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间直线最短 【变式4-2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 【变式4-3】（24-25七年级上·湖北咸宁·期末）如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为． (1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长； (2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________； (3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线． ▌题型05 “线段中点与和差倍分计算 1．数形结合：先画线段图，把已知量和未知量标在图上； 2．中点转化：中点把线段“一分为二”，用AC＝CB＝1/2 AB（或AB＝2AC＝2CB）进行等量转化； 3．方程思想：设所求线段（或其中一段）为x，根据和差倍分关系列方程求解； 4．整体思想：当题目给的是两段的和（如“AC＋BD＝8”）时，把整体看作一个量，不必求出每一段。 【典例5-1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，线段，点把线段分成三部分，其中，是的中点． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【典例5-3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图线段，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为线段的中点，点为线段的中点，设运动时间为． (1)当点在射线上运动时， ①当时，线段的长度为________； ②线段的长度为________． (2)当点在线段上运动时，下列个结论中：①为定值；②为定值．正确的结论是________，说明理由并求其值． (3)若动点出发时，动点也同时从点出发，以个单位长度/秒沿射线运动．是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，点B是线段上一点，且，． (1)试求出线段的长； (2)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 【变式5-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，延长至D，使B为的中点，点C在上，． (1) ， ； (2)若，求的长． 【变式5-3】（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）完成下列小题 (1)如图所示，点D、E分别为线段的中点，若，求线段的长度． (2)若点C在线段的延长线上，点D、E分别为线段的中点，，画出图形并求的长度． 【变式5-4】（25-26七年级上·四川成都·期末）已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． ▌题型06 分类讨论：点位置不确定的多解问题 1．看到“直线AB上”“在同一条直线上”要立即警惕：点可能在“线段AB上”，也可能在“线段AB的延长线（或反向延长线）上”； 2．分别画出各种情形的图形，逐一计算，做到不重不漏； 3．若题目明确说“点C在线段AB上”，则无需分类。 【典例6-1】（25-26七年级下·山东淄博·期末）若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【典例6-2】（25-26七年级上·河南漯河·期末）已知点在线段上，若或，则称点是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段是线段的“五美点”，则_____； 【解决问题】 （2）如图，在射线上，． 若点均为线段的“五美点”，且，又为线段的中点，求线段的长度． 【典例6-3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． (1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空） (2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）． 【变式6-1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）同一条直线上有三点，，且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为______________厘米． 【变式6-2】（25-26七年级上·四川成都·期末）A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【变式6-3】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：若点在同一直线上，则，例如，则，如图，已知线段． (1)如图1，若点是线段的中点，则_________； (2)是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为，设运动时间为； ①当时，求的值； ②当时，试求出可能的的值． 【变式6-4】（25-26七年级上·山东济南·期末）新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； (2)若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； (3)如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． ▌题型07 数轴上的线段与动点问题 1．距离公式：数轴上两点A（a）、B（b）间的距离 AB＝|a－b|（用较大的数减去较小的数）； 2．中点公式：线段AB的中点M对应的数为 (a＋b)/2； 3．动点位置：点P从起点s出发，速度为v，运动t秒后对应的数为 s±vt（向右用“＋”，向左用“－”）； 4．相遇问题：两点距离÷速度和＝相遇时间。 【典例7-1】（24-25七年级上·山西临汾·期末）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设点P运动时间为 (1)直接写出______，______； (2)若M为的中点，N为的中点，试判断在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由； (3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A、C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动，当点P从点A开始运动后的时间t是______秒时，P、Q两点之间的距离为 【典例7-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，在数轴上点A表示数为，点B表示数为10，点C表示数为1． (1)线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ，能将线段“三等分”的两个点我们称为线段的三等分点．则线段的三等分点表示的数为 ； (2)点M为点A右侧一点，将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点重合且，求点M表示的数； (3)若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度先向左运动，与P相遇后再改变运动方向与点P同向而行．若P、Q两点同时出发，保持速度不变．当点P是线段的三等分点时，求运动时间． 【典例7-3】（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：例如，若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离记作：，线段的中点表示的数记作：．如图，数轴上点、、分别表示、1、． 【基础应用】若将数轴折叠，使得点与点重合，线段中点表示的数为 ，此时与点重合的点所表示的数为 ． 【拓展应用】若点、分别从、同时出发，相向而行，其中点的速度为每秒4个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． ①设运动时间为，请直接写出点、在数轴上表示的数(用含的代数式表示) ： ，： ． ②若中点为，则当时，运动时间的值为 ． 【变式迁移】如图，若点为线段上一点，，，当点，分别为，的中点时，则的长为 ． 【变式7-1】（25-26七年级上·天津滨海新区·期末）【新知学习】通常我们利用如下的方法来求数轴上线段的中点表示的数：如果数轴上两点A和B分别表示数x，y，点C是线段的中点，那么点C表示的数为． 【问题探究】已知一条数轴上有A、B、C、D四个点，分别表示的数为a、b、c、d，又知，且，c、d分别为6和8． (1)求a、b的值； (2)若C、D两点同时以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒，那么t为何值时，线段的中点与线段的中点距离为3个单位长度； (3)在（2）的条件下，t满足什么条件时，C、D两点都在线段上． 【变式7-2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）材料一：数轴上，点、表示的数分别为，，则，两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点、表示的数分别为，，若点是线段的中点，则此时点所对应的数为． 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，且，满足，点是线段的中点(其中是原点)． (1)填空： ， ， ； (2)点是数轴上一动点，若，求点对应的数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点是线段的中点，若点、运动过程中，点到点的距离始终是定值，求的值． 【变式7-3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知． (1)直接写出a，b，c的值： ， ， ． (2)若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M速度为4个单位长度/秒，点N速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t秒．运动过程中，是否存在线段的中点E到线段的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段，线段，（点P在M的左边，点Q在N的右边）．当点M运动到点C时，线段立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动．在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线、射线、线段（7题型突破·举一反三） 题型01 概念辨析与几何语言转换 题型02 直线、射线、线段的计数与规律探索 题型03 “两点确定一条直线”的实际应用 题型04 “两点之间，线段最短”的实际应用 题型05 线段中点与和差倍分计算 题型06 分类讨论：点位置不确定的多解问题 题型07 数轴上的线段与动点问题 ▌题型01 概念辨析与几何语言转换 1．判断正误抓三要素：端点个数、延伸方向、能否度量； 2．看字母顺序：直线、线段的两个字母可交换；射线的端点字母必须写在前面； 3．读句画图要“字字落实”：遇到“经过”“相交”“在……上（外）”“连接”“延长”等关键词，先想清点的位置关系再下笔；同一语句有时对应不止一种图形。 【典例1-1】（25-26七年级上·湖北恩施·期末）下列几何语句描述正确的是（   ） A．直线和直线是同一条直线 B．延长线段到点C，使 C．射线和射线是同一条射线 D．画直线厘米 【答案】B 【详解】解：A．点、、不一定共线，直线和直线不一定是同一条直线，A选项错误，不符合题意； B．线段有两个端点，可延长，延长线段到点使是合理的几何操作，B选项正确，符合题意； C．射线和射线的端点不同，不是同一条射线，C选项错误，不符合题意； D．直线无限长，无法度量长度，D选项错误，不符合题意． 故选：B． 【典例1-2】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 【典例1-3】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【答案】D 【详解】A、B、C选项描述均正确，故不符合题意， D选项描述不正确，应为“如图丙所示，点在直线上”，故符合题意． 【变式1-1】（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（   ） A．线段与线段是两条不同的线段 B．射线与射线是同一条射线 C．射线与射线是两条不同的射线 D．直线与直线是同一条直线 【答案】D 【详解】解：A项：线段与线段是同一条线段，选项说法错误，不符合题意； B项：射线与射线不是同一条射线，而是两条不同方向的射线，选项说法错误，不符合题意； C项：射线与射线是同一条射线，选项说法错误，不符合题意； D项：直线与直线是同一条直线，选项说法正确，符合题意， 故选：D． 【变式1-2】（25-26七年级上·河南开封·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图1，延长线段到 B．如图2，射线经过点 C．如图3，直线和直线相交于点 D．如图4，射线和线段没有交点 【答案】C 【详解】解：A、应为“点在射线上”，描述不相符，不符合题意； B、应为“射线不经过点”，描述不相符，不符合题意； C、描述相符，符合题意； D、射线和线段有交点，描述不相符，不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（    ） A．如图，点在线段上 B．如图，点在射线上 C．如图，线段和射线有一个交点 D．如图，直线的延长线与直线的延长线相交于点 【答案】C 【详解】解：A、点在线段的延长线上，不在线段上，故原说法错误，不符合题意； B、点在直线上，不在射线上，故原说法错误，不符合题意； C、线段和射线有一个交点，故原说法正确，符合题意； D、直线没有延长线，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． ▌题型02 直线、射线、线段的计数与规律探索 1．有序计数，不重不漏：数线段时固定起点，依次与其他点相连，再固定第二个起点……得到(n－1)＋(n－2)＋…＋1条； 2．记住常用结论：一条直线上有n个点（含端点），线段共有 n(n－1)/2 条；每个点向两个方向各延伸出一条射线，射线共有 2n 条； 3．平面内过n个点（任意三点不共线）最多可以画 n(n－1)/2 条直线； 4．若点共线或点在直线上，先判断是否符合“任意三点不共线”的前提，再套用公式。 【典例2-1】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）过平面上五个点中的任意两点画一条直线，最多可以画（     ）条． A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【详解】解：∵ 要使画出的直线数量最多， ∴ 五个点中任意三点不能共线 ∵ 每个点可与其余4个点各画1条直线，5个点共计算得条 又∵ 每条直线被两个点分别计算1次，存在重复 ∴ 实际最多可画条 【典例2-2】（26-27七年级上·河南开封·开学考试）如图，以点B为一个端点的线段共有_________条． 【答案】3 【详解】解：以点B为端点的线段有，共有3条． 【典例2-3】（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点…那么条直线两两相交最多能有的交点个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：由题意可得： 3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即， 5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即， … ∴条直线两两相交最多能有个交点． 故选：D． 【变式2-1】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（   ） A．6个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：∵4条直线两两相交，要得到最多交点，需任意两条直线相交于不同点，任意三条直线不共点， ∴第一条直线与另外3条直线相交，得到3个交点， 第二条直线与剩余2条直线相交，新增2个交点， 第三条直线与剩余1条直线相交，新增1个交点， ∴总交点个数为个， 【变式2-2】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 【答案】20 【详解】解：根据题意，将列车运行路线看作一条线段， 所有停靠站点看作线段上的点，运行途中停靠个站，加上起点甲和终点乙，总共有个站点， 不同站点间的路线总数为： ， 因为往返车票方向不同，属于不同车票，因此总车票数为： ． 【变式2-3】（25-26七年级上·河南许昌·期末）观察下列直线相交的情况： (1)两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有多少个交点？ (2)四条直线相交，最多有多少个交点？ (3)请你写出n条直线相交，最多有多少个交点的规律（用含n的代数式表示）． 【详解】（1）解：如题图，三条直线相交，最多有3个交点； （2）解：如题图，四条直线相交，最多有6个交点； （3）解：两条直线相交，有1个交点； 三条直线相交，最多有个交点； 四条直线相交，最多有个交点； 依次类推， 写出n条直线相交，最多有个交点． 【变式2-4】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 【详解】解：（1）分割成的区域有四边形，则至少要画4条直线， 故答案为：4； （2）①如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成9个区域； ②如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成10个区域； ③如图所示， 此时，4条直线可以把平面分割成11个区域； 故答案为：9或10或11； 解决问题：如图所示，， 这些道路会分割出14个区域，至少需要建设8个红绿灯， 故答案为：14，8． ▌题型03 “两点确定一条直线”的实际应用 把生活问题抽象为“过两点确定一条直线”：先找出情境中的“已知点”，再说明“确定直线需要且只需要两个点”。 【典例3】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图是生活中打靶瞄准现象，对于这个现象的解释正确的是（     ） A．点动成线 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．线动成面 【答案】B 【详解】解：打靶瞄准时，是通过准星和缺口两个点来确定射击方向（视线）， 这个现象解释了两点确定一条直线． 【变式3-1】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是_____________． 【答案】两点确定一条直线 【详解】解：根据直线的性质可知，经过两点有一条直线，并且只有一条直线， 因此经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线，其中蕴藏的数学原理是两点确定一条直线． 【变式3-2】（25-26七年级上·福建福州·期末）暑假期间，小华参加了夏令营打靶瞄准训练，如图所示，打靶瞄准靶心的过程中用到的数学原理是______． 【答案】两点确定一条直线 【详解】解：打靶瞄准靶心的过程中用到的数学原理是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【变式3-3】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）某数学兴趣小组学习“两点确定一条直线”后，想继续探究平面内有3点、4点……n点时，过两点画直线的情况，并进行了以下操作探究： (1)【操作·思考】画出下面两种情况的所有直线： ①当3点在同一条直线上时，如图1 ②当3点不在同一条直线上时，如图2 (2)【思考·提升】类比以上方法，继续探究不在同一条直线上的4点、5点、6点……画直线的情况．总结规律解决问题：过在同一平面内的10个点最多可作多少条直线？过在同一平面内的n个点最多可作多少条直线？ (3)【提升·拓展】某校组织了“迎新”活动． ①七年级举行单循环篮球赛，全年级8个班共打了几场比赛？ ②有50人参加了本次“迎新”活动，活动结束后参与人员需互送贺卡，共送出了多少张贺卡？ 【答案】(1)解：如图1， 如图2， （2）解：过在同一直线上的3个点，一共可以画条直线； 过在同一直线上的4个点，一共可以画条直线； 过在同一直线上的5个点，一共可以画条直线； 过在同一直线上的6个点，一共可以画条直线； ； 则过在同一直线上的n个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的3个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的4个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的5个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的6个点，一共可以画条直线； ； 则过不在同一直线上的n个点，一共可以画条直线； 综上，过在同一平面内的10个点最多可作条直线，过在同一平面内的n个点最多可作条直线； （3）解：①（场） 答：全年级8个班共打了场比赛； ②（张） 答：共送出了张贺卡． ▌题型04 “两点之间，线段最短”的实际应用 1．把实际问题转化为“求两点之间的距离”：当路线在“两个点”之间时，连接两点的线段就是最短路线； 2．路线与直线相交类问题：先在两点之间画线段，线段与给定直线（如河岸）的交点即为所求点； 3．立体图形表面的爬行问题：先把表面展开成平面，再利用“两点之间，线段最短”确定最短路线（展开图思想）。 【典例4-1】（2026·广西南宁·三模）彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 【答案】A 【详解】解：∵隧道连接出入口两个端点，修成直线形状即把两地之间的路径改为线段， ∴用学过的数学知识解释路程缩短的原因为两点之间，线段最短． 【典例4-2】（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 【答案】(1)如图，连接，则为蚂蚁爬行的最短路线；理由为：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． (2) 如图，即为所求最短路线． 或 或或 【变式4-1】（25-26七年级上·福建漳州·期末）“弯曲的公路改直能缩短路程”用到的数学原理是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间直线最短 【答案】B 【详解】解：弯曲公路的起点和终点可看作两个定点，将弯曲公路改直，是把两点间的弯曲路径替换为两点之间的线段， 根据“两点之间线段最短”的数学原理，改直后的路程会缩短， 因此对应的原理是选项B． 【变式4-2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 【答案】30 【详解】解：根据题意，得当点P与点B重合时，取得最小值，且最小值为， 则到三个加工点的距离之和最小，且最小为． 【变式4-3】（24-25七年级上·湖北咸宁·期末）如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为． (1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长； (2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________； (3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线． 【答案】(1)下图所示实线部分为此工件的侧面展开图： （2）； 故答案为：； (3)它们爬行的路线长相等，图中虚线即为最短路线长 ▌题型05 “线段中点与和差倍分计算 1．数形结合：先画线段图，把已知量和未知量标在图上； 2．中点转化：中点把线段“一分为二”，用AC＝CB＝1/2 AB（或AB＝2AC＝2CB）进行等量转化； 3．方程思想：设所求线段（或其中一段）为x，根据和差倍分关系列方程求解； 4．整体思想：当题目给的是两段的和（如“AC＋BD＝8”）时，把整体看作一个量，不必求出每一段。 【典例5-1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】利用已知条件各个线段之间的数量关系进行求解． 【详解】解：如图， ， ∵点是线段中点， ∴， ∴． 【典例5-2】（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，线段，点把线段分成三部分，其中，是的中点． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【详解】（1）解：， 设，，， ， ， ， ，，， ． （2）解：是的中点， ， ． 【典例5-3】（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图线段，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿射线运动，点为线段的中点，点为线段的中点，设运动时间为． (1)当点在射线上运动时， ①当时，线段的长度为________； ②线段的长度为________． (2)当点在线段上运动时，下列个结论中：①为定值；②为定值．正确的结论是________，说明理由并求其值． (3)若动点出发时，动点也同时从点出发，以个单位长度/秒沿射线运动．是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：①当时，， ， ； ②， ， ， ． (2)解：正确结论①，为定值，理由如下： 依题意， 点为中点， 为定值． （3）解：存在最小值．以点为原点，射线的方向为正方向，建立数轴； 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 点为中点 点表示的数为 ，， 当时，； 当时，； 当时，， 综上所述，的最小值为． 【变式5-1】（25-26七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，点B是线段上一点，且，． (1)试求出线段的长； (2)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：，， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴． 【变式5-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，延长至D，使B为的中点，点C在上，． (1) ， ； (2)若，求的长． 【详解】（1）解：点B是的中点， ． （2）解：， ， ． 【变式5-3】（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）完成下列小题 (1)如图所示，点D、E分别为线段的中点，若，求线段的长度． (2)若点C在线段的延长线上，点D、E分别为线段的中点，，画出图形并求的长度． 【答案】(1)15 (2)画出图形如图所示： ， 【详解】（1）解：∵点D、E分别为线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点D、E分别为线段的中点， ∴， ∵， ∴． 【变式5-4】（25-26七年级上·四川成都·期末）已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：当点、重合时，，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 答：线段的长为． （2）解：设， 则， ． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 故的值是定值，定值为． （3）解：当线段向左移动距离（）时，分两种情况讨论： 情况一：如图，当线段的两个端点运动到点B的两侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：． 但，故该情况不存在． 情况二：如图，当线段全部运动到点B的左侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：．符合题意． 综合以上三种情况可知，故存在，使得． ▌题型06 分类讨论：点位置不确定的多解问题 1．看到“直线AB上”“在同一条直线上”要立即警惕：点可能在“线段AB上”，也可能在“线段AB的延长线（或反向延长线）上”； 2．分别画出各种情形的图形，逐一计算，做到不重不漏； 3．若题目明确说“点C在线段AB上”，则无需分类。 【典例6-1】（25-26七年级下·山东淄博·期末）若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：点在的延长线上，即点在，之间， ∴； 情况2：点在线段上，即点在，之间， ∴． 综上，的长为或． 【典例6-2】（25-26七年级上·河南漯河·期末）已知点在线段上，若或，则称点是线段的“五美点”． 【理解定义】 （1）若线段是线段的“五美点”，则_____； 【解决问题】 （2）如图，在射线上，． 若点均为线段的“五美点”，且，又为线段的中点，求线段的长度． 【详解】（）在线段上， ， 是线段的“五美点”， 或，即或， 或， 又， 或． （）点、均为线段的“五美点”，且， ， ， 为线段的中点， ， ． 【典例6-3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． (1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空） (2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）． 【详解】（1）解：当点 C、D运动了，，， ，， ， ； （2）解：存在， 设运动时间为，则，， ，， ，， ， ， 解得：， 即点C、D运动时存在，运动时间为； （3）解：设运动时间为，则，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，即， 点在点的右侧， 分两种情况讨论： ①当点在上时，，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，， ， ， ； 综上可知，或． 【变式6-1】（24-25七年级上·山东聊城·期末）同一条直线上有三点，，且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为______________厘米． 【答案】或 【详解】解：点是的中点，厘米， 厘米， 厘米， ， 厘米， 当点位于点的左侧，三点顺序为时， 厘米； 当点位于点和点之间，三点顺序为时， 厘米； 综上所述，线段的长为或． 【变式6-2】（25-26七年级上·四川成都·期末）A、D两地相距，B地位于A、D之间． (1)如图1，若地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (2)如图2，已知两地相距地恰好位于中点处，地恰好位于中点，求两地之间的距离． (3)若AB两地相距，在（2）的条件下，甲从P地出发，以的速度步行去C地，甲中途不休息．与此同时，乙从地出发，以的速度骑车去B地，B地休息2小时后以原速返回地，到达地后停止运动．在运动过程中，甲的运动时间记为，两人相距时，求出满足条件的的值． 【详解】（1）解：∵地恰好位于A、B中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴（）， 故答案为：． （2）解：∵P地恰好位于A、C中点处， ∴， ∵地恰好位于B、D中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（）． 故答案为：． （3）解：∵甲从P地出发，以的速度步行去C地， ∴甲走的路程为， ∵乙从地出发，以的速度骑车去B地， ∴乙走的路程为， ① 若甲乙未碰面， 则有 解得 若甲乙已经碰面， ∵AB两地相距， 即， ∴， ∴， ∴， ∴甲从P地走到C地用时为（）， ∴乙从Q地走到B地用时为（）， ②   则有 解得； ③  若乙从B地再出发后未追上甲， ， 解得：； ④若乙从B地再出发后追上甲，甲乙之间相距， 即， 解得：， 综上所述，当或或或时，两人相距． 【变式6-3】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：若点在同一直线上，则，例如，则，如图，已知线段． (1)如图1，若点是线段的中点，则_________； (2)是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为，设运动时间为； ①当时，求的值； ②当时，试求出可能的的值． 【详解】（1）解：点是线段的中点， ， ， 故答案为：； （2）解：①当时，，， ∴； ②依题意，当点Q在点A右侧时，，， ， ， ， 解得； 当点Q在点A左侧时，，， ， ， ， 解得， 综上，的值为或16． 【变式6-4】（25-26七年级上·山东济南·期末）新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； (2)若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； (3)如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． 【详解】（1）解：∵ 点是线段的中点， ∴ ， 满足“二倍点”定义， 故答案为：是． （2）解：由题意得：， ① 当时：， 解得； ② 当时：， 解得； ③ 当时：， 解得； ④ 当时：， 解得； 答：当为、或时，点是线段的“二倍点”． （3）点是线段的“二倍点”，理由如下 ∵ 点是线段的“二倍点”，且， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点是线段的“二倍点”． ▌题型07 数轴上的线段与动点问题 1．距离公式：数轴上两点A（a）、B（b）间的距离 AB＝|a－b|（用较大的数减去较小的数）； 2．中点公式：线段AB的中点M对应的数为 (a＋b)/2； 3．动点位置：点P从起点s出发，速度为v，运动t秒后对应的数为 s±vt（向右用“＋”，向左用“－”）； 4．相遇问题：两点距离÷速度和＝相遇时间。 【典例7-1】（24-25七年级上·山西临汾·期末）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设点P运动时间为 (1)直接写出______，______； (2)若M为的中点，N为的中点，试判断在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由； (3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A、C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动，当点P从点A开始运动后的时间t是______秒时，P、Q两点之间的距离为 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）解：在点P运动的过程中，线段的长度不发生变化，理由如下： 根据题意，P表示的数为， 为的中点，N为的中点， 表示的数为，N表示的数为， ， 线段的长度不发生变化； （3）解：数轴上A，B，C三个点表示的数分别是，，11， ，， 当时，点P运动到点B；Q从A到或从C到所需时间为秒， 根据题意，P表示的数为， ①当时，Q表示的数为， 、Q两点之间的距离为7， ， 或， 解得：或舍去； ②当时，Q表示的数为， 、Q两点之间的距离为7， ， 或， 解得：或； ③当时，Q表示的数为， 、Q两点之间的距离为7， ， 或， 解得：舍去或舍去； 综上所述，t为秒或秒或秒时，P、Q两点之间的距离为7． 【典例7-2】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，在数轴上点A表示数为，点B表示数为10，点C表示数为1． (1)线段的长为 ，线段的中点表示的数为 ，能将线段“三等分”的两个点我们称为线段的三等分点．则线段的三等分点表示的数为 ； (2)点M为点A右侧一点，将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点重合且，求点M表示的数； (3)若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度先向左运动，与P相遇后再改变运动方向与点P同向而行．若P、Q两点同时出发，保持速度不变．当点P是线段的三等分点时，求运动时间． 【详解】（1）解： ， 线段的长为15； ， 线段的中点表示的数为； ，， 线段的三等分点表示的数为0和5； （2）解：设点表示的数为， 将数轴沿点向右对折，点恰好与点重合， 是的中点， 表示的数为， ， ， 或， 解得或， 点表示的数为4或1； （3）解：设运动时间为秒， 根据题意，表示的数为，，点Q先向左运动时表示的数为， 由，得， 即时，点Q与P相遇， 当时，表示的数为， ， 点是线段的三等分点， 或， 解得或； 当，相遇时，，相遇点表示的数为0， 当时，表示的数为， ， 点是线段的三等分点， 或， 解得（舍去）或； 综上所述，的值为3或或10； 运动时间为3秒或秒或10秒． 【典例7-3】（25-26七年级上·陕西榆林·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：例如，若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离记作：，线段的中点表示的数记作：．如图，数轴上点、、分别表示、1、． 【基础应用】若将数轴折叠，使得点与点重合，线段中点表示的数为 ，此时与点重合的点所表示的数为 ． 【拓展应用】若点、分别从、同时出发，相向而行，其中点的速度为每秒4个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． ①设运动时间为，请直接写出点、在数轴上表示的数(用含的代数式表示) ： ，： ． ②若中点为，则当时，运动时间的值为 ． 【变式迁移】如图，若点为线段上一点，，，当点，分别为，的中点时，则的长为 ． 【详解】基础应用： 解：∵点、表示的数分别为、， ∴中点表示的数为． 设与点重合的点表示的数为， ∵折叠后与重合， ∴点与关于中点对称，即， 解得． 拓展应用： ①解：点从出发，以每秒1个单位长度向右运动， ∴秒后点表示的数为； 点从出发，以每秒4个单位长度向左运动， ∴秒后点表示的数为． ②解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴的中点表示的数为， 又∵点表示的数为，且， ∴，即， 解，解得； 解，解得； 综上，运动时间的值为或． 变式迁移： 解：设原点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∵，且在的右侧， ∴， ∵点在线段上，， ∴点表示的数为， ∵点是的中点，点是的中点， ∴点表示的数为，点表示的数为， 则． 【变式7-1】（25-26七年级上·天津滨海新区·期末）【新知学习】通常我们利用如下的方法来求数轴上线段的中点表示的数：如果数轴上两点A和B分别表示数x，y，点C是线段的中点，那么点C表示的数为． 【问题探究】已知一条数轴上有A、B、C、D四个点，分别表示的数为a、b、c、d，又知，且，c、d分别为6和8． (1)求a、b的值； (2)若C、D两点同时以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒，那么t为何值时，线段的中点与线段的中点距离为3个单位长度； (3)在（2）的条件下，t满足什么条件时，C、D两点都在线段上． 【详解】（1）解：， ，， ， ，； （2）解：，；、分别为和， 线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， 当、同时向左匀速运动秒时，其中点也同时向左匀速运动秒， 其中点此时表示的数为． 两个中点距离为3个单位长度， ， ， 即， 解得或， 当为3或4秒时，两个中点的距离为3个单位长度； （3）解：当、两点同时向左运动时，表示的数分别为和， ∵、都在线段上，即、都在、两点之间， ∴当时，点正好与点重合，是点、都在线段上的开始时刻， 此时， 当时，点正好与点重合，是点、都在线段上的最后时刻， 此时， ∴当时，、两点都在线段上． 【变式7-2】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）材料一：数轴上，点、表示的数分别为，，则，两点之间的距离表示为； 材料二：数轴上，点、表示的数分别为，，若点是线段的中点，则此时点所对应的数为． 根据上面的材料解决下面问题： 如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，且，满足，点是线段的中点(其中是原点)． (1)填空： ， ， ； (2)点是数轴上一动点，若，求点对应的数； (3)点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度匀速向左运动；点是线段的中点，若点、运动过程中，点到点的距离始终是定值，求的值． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 解得，． ∵点是线段的中点， ∴点对应的数． （2）解：设点对应的数为， ∴，． ∵， ∴， ①当时，方程化为， 解得，与矛盾，舍去； ②当时，方程化为， 解得，符合条件； ③当时，方程化为， 解得，符合条件； 综上，点对应的数为或． （3）解：设运动时间为秒， ∵点从点出发，以每秒个单位长度向左运动，点从点出发，以每秒个单位长度向左运动， ∴秒后点对应的数为，点对应的数为； ∵点是线段的中点， ∴点对应的数为； 则 ∵点到点的距离始终是定值， ∴，即． 【变式7-3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，数轴上有A，B，C三个点对应的数分别为a，b，c．已知． (1)直接写出a，b，c的值： ， ， ． (2)若数轴上有两个动点M，N分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点M速度为4个单位长度/秒，点N速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t秒．运动过程中，是否存在线段的中点E到线段的中点F距离为6？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)在（2）的条件下，另外两个动点P，Q分别随着M，N一起运动，且始终保持线段，线段，（点P在M的左边，点Q在N的右边）．当点M运动到点C时，线段立即以原速度的2倍返回，当点M再次运动到点A时，线段和立即同时停止运动．在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为的一半，若存在，请直接写出t的值，若不存在；请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ，，， ，，． （2）解：存在， 由题意得，点M对应的数为，点N对应的数为． 则线段的中点E对应的数为：，线段的中点F对应的数为： 点E与点F的距离为：， ∵线段的中点E到线段的中点F距离为6， 解得：或， 故存在这样的t，值为或； （3）解：存在， 由题意得，点对应数，点对应数． 分段讨论： 当时，． 重叠部分左端点为中的最大值，右端点为中的最小值， 重叠长度为，令其为1得． 当时，． 重叠长度为，令其为1得． 综上，存在或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $