6.1-6.3 几何图形初步 专项训练 2025-2026学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 该专项聚焦几何图形初步，通过20+专题构建“方法提炼-典例示范-实战应用”体系，涵盖立体图形转化、线段与角的计算及动态问题，培养空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体图形展开图与三视图|1典例+2题|立体转平面|从空间到平面，发展几何直观| |图形计数问题|1典例+3题|等差数列求和|从具体到抽象，构建模型意识| |线段计算|多典例+多题|和差倍分/方程/分类讨论|从基础到复杂，提升运算能力| |角的计算|多典例+多题|角平分线/动态分类|从静态到动态，强化推理能力|

第六章 几何图形初步 专题1 立体图形展开图与三视图 方法提炼 将立体图形转化为平面图形。 典例剖析 【例1】“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度是普通砖的三倍以上，拟用于未来建造月球基地。如图是一种“月壤砖”及其主视图与俯视图，则它的左视图为（ ） 实战演练 1. 将一个正方体的表面沿某些棱剪开，能展开成的平面图形是（ ） 2. 如图是7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，应拿走（ ） A. 积木甲　　B. 积木乙　　C. 积木丙　　D. 积木丁 专题2 图形计数问题 方法提炼 等差数列前项和=。 典例剖析 【例1】如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点。 （1）填写下表： 点的个数 所得线段的条数 所得射线的条数 1 2 3 4 （2）在直线上取个点，可以得到几条线段，几条射线？ 实战演练 1. 根据题意填空： （1）m与n是同一平面内两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线e，那么这三条直线最多有3个交点； （2）如果在（1）的基础上，在这个平面内再画第四条直线l，那么这四条直线最多可有6个交点； （3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，条直线最多可有个交点（用含有的代数式表示）。 2. 1条直线把平面分成2部分，2条直线最多把平面分成4部分，那么3条直线最多把平面分成几部分？n条呢？ 解：3条直线最多把平面分成7部分，条直线最多把平面分成部分。 3. 观察图形，并回答下列问题： 【观察思考】（1）图中共有10条线段； 【模型构建】（2）若线段上标记了个点（包括端点），则该线段中共有条线段； 【拓展应用】（3）请你用上述模型构建来解决以下问题： ①某班50个同学聚会，若每个同学都与其他同学握一次手，总共握手多少次？ ②某班50个同学聚会，若每个同学都送给其他同学一张名片，总共送出名片多少张？ 专题3 按要求作图 方法提炼 区分直线、射线、线段，两点间线段最短。 典例剖析 【例1】如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图。 （1）画射线AD，BC交于点F； （2）连接AC，并将其反向延长； （3）取一点P，使点P既在直线AB上又在直线CD上； （4）取一点Q，使点Q到A，B，C，D四点的距离之和最小。 实战演练 1. 如图，已知四点A，B，C，D，请用尺规作图完成。（保留画图痕迹） （1）画直线AB； （2）画射线AC； （3）连接BC并延长BC到E，使得CE=AB+BC； （4）在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小。 2. 如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题。（保留画图痕迹） （1）作射线AC； （2）作直线BD与射线AC相交于点O； （3）分别连接AB，AD； （4）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是AB+AD＞BD，理由是两点之间，线段最短。 专题4运用和差倍分计算线段长 方法提炼 利用线段的和差倍分关系计算线段长。 典例剖析 【例1】如图，点C是AB的中点，D，E分别是线段AC，CB上的点，且AD=，DE=，若AB=24cm。 （1）求线段CD的长； （2）求线段CE的长。 实战演练 1. 如图，已知点C，D，E在线段AB上，AB=20，BC=3AC。 （1）求BC的长； （2）若CD=4BD，点E是CD的中点，求CE的长。 2. 如图，点C，D在线段AB上，AB=12，AC=2，D为线段BC的中点。 （1）求线段CD的长； （2）若E是直线AB上一点，且AE=CD，求线段EB的长。 专题5 列方程求线段长 方法提炼 以线段的和差倍分关系为等量关系，设合理的未知数列方程求线段长。 典例剖析 【例1】已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，若BD=，E为线段AB的中点，EC=12，求线段AC的长度。 实战演练 1. 如图，点B，D在线段AC上，BD=，E是AB的中点，F是CD的中点，EF=5，求AB的长。 2. 如图，点B，C在线段AD上，若AB:BD=2:7，AC:CD=5:1，且BC=11cm，求AD的长度。 专题6 分类讨论求线段长 方法提炼 根据点的不同位置，分类讨论，画出图形，计算线段长。 典例剖析 【例1】已知线段AB=4cm，BC=8cm，A，B，C三点在一条直线上，线段AC的长度是多少？ 实战演练 1. 已知线段AB=10cm，C为直线AB上的一点，且BC=2cm，M，N分别是AB，BC的中点，求MN的长度。 2. 如图，延长线段AB至点C，使BC=，反向延长AB至D，使AD=。 （1）依题意画出图形，则=（直接写出结果）； （2）若点E为BC的中点，且BD−4BE=2，求AC的长。 专题7 整体思想求线段长 方法提炼 以某一条线段或某几条线段为整体求其它线段的长。 典例剖析 【例1】如图，B，D两点均为线段AE上的动点，若AE=12，BD=5，求图中所有线段的和。 实战演练 1. 如图，点C在线段AB上，AB=16，点E，F分别是线段AB，AC的中点，且EF=5。求线段AC的长。 2. 点C在线段AB上，M是AC的中点，N是BC的中点，若AC:CB=3:2，且MC+NB=12.5cm，求MC的长。 3. 如图，点C是线段AB上的一点，点D是线段BC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC的长度与线段BC的长度都是正整数，求线段AC的长。 专题8 线段中点问题 方法提炼 线段双中点模型的概述：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求中点距离。 模型一：两线段无公共部分（作和） 已知点B是线段AC上任意一点，点M，N分别为线段AB，BC的中点，则MN=。 模型二：两线段有公共部分（作差） 已知点B在线段AC的延长线上，点M，N分别为线段AB，BC的中点，则MN=。 典例剖析 【例1】已知线段AB=60，点C为线段AB的中点，点D为射线CB上的一点，点E为线段BD的中点，且线段EB=5，则线段CD的长为（ ） A. 20　　B. 30　　C. 40　　D. 20或40 实战演练 1.（1）如图，点C在线段AB上，AC=6，BC=4，点M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=，其他条件不变，你能求出MN的长吗？请用一句话表达你的发现； （3）如果第（1）题的叙述改为：“已知点C在直线AB上，线段AC=6，BC=4，点M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长。”结论会起变化吗？如果变化，求出MN的长。 专题9 线段中的定值问题 方法提炼 巧设未知数，然后计算，求出定值。 典例剖析 【例1】如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB=4，CD=8，点M，N分别为AB，CD的中点。BC=24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位长度的速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值。求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内。 实战演练 1. 已知A，B，C三点在数轴上所表示的数分别为−4，−1，2。若动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动，动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行。记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为MP。在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使QM+mMP的值始终保持不变？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。 专题10 钟面角 方法提炼 时针每小时转30°，每分钟转0.5°，分针每小时转360°，每分钟转6°。 x时y分时针与分针的夹角公式|30°x−5.5°y|。 典例剖析 【例1】（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数。 （2）每经过1h，时针转过多少度？每经过1min，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午10:10时，时针与分针的夹角是多少度？ 实战演练 1. 同学们，日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识。 （1）如图1，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于120°； （2）请在图2中大致画出8:20这一时刻时针和分针的位置，思考并回答：从上午8:00到8:20，时钟的分针转过的度数是120°，时钟的时针转过的度数是10°； （3）“元旦”这一天，城区某中学七年级部分学生上午八点多集中在学校门口准备去步行街进行公益服务，临出发时，组长一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点多他们回到学校，进校门时，组长看见钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多少时间吗？通过计算加以说明。 专题57 度分秒的换算 方法提炼 1°=60′，1′=60″。 典例剖析 【例1】计算： （1）18°20′32″+30°15′22″； （2）90°−70°35′； （3）180°−60°30′45″； （4）12°12′×5。 实战演练 1. 填空： （1）30.54°=30°32′24″； （2）15°24′36″=15.41°。 2. 计算： （1）90°−36°12′15″； （2）32°17′53″+42°42′7″； （3）25°12′35″×5； （4）53°÷6。 3. 比较48°22′13″与48.37°的大小。 专题11 分步求角 方法提炼 运用角的和差倍分计算角的大小。 典例剖析 【例1】如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OC平分∠AOD，在∠BOD内部引射线OE，恰好使得∠BOE=3∠DOE，若∠DOE=20°，求∠AOE及∠COD的度数。 实战演练 1. 如图，已知OB是∠AOC内的一条射线，∠AOB=5∠BOC=120°，OM平分∠AOC，求∠BOM的度数。 2. 如图，直线AB，CD，EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE=70°，求∠DOG的度数。 专题12 余角和补角 方法提炼 两个角互余，和为90°；两个角互补，和为180°。 典例剖析 【例1】若∠α与∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°−∠β；②∠α−90°； ③180°−∠α；④。正确的是（ ） A. ①②　　B. ①②④　　C. ①②③　　D. ①②③④ 实战演练 1. 下列说法正确的是（ ） A. 一个角的补角一定是钝角　　B. 两个锐角一定互余 C. 互余的两个角一定都是锐角　　D. 一个锐角和一个钝角一定互补 2. 如图，C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①∠ACF与∠DCH互余；②∠HCG=60°；③∠ECF与∠BCH互补；④∠ACF−∠BCG=45°。下列结论中错误的有（ ）个。 A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 3. 一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角的度数。 4. 如图，∠AOB=124°，OF是∠AOB的平分线，∠1和∠2互余，求∠BOE的度数。 专题13 列方程求角 方法提炼 找到等量关系，列出方程。 典例剖析 【例1】如图，BD平分∠ABC，∠CBE:∠ABE=5:3，且∠DBE=17°，求∠ABC和∠ABE的度数。 实战演练 1. 如图，∠AOC=86°，∠BOC比∠AOB的3倍少10°，求∠BOC的度数。 2. 如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB，∠BOE=，∠DOE=70°，求∠EOC的度数。 专题14 角的分类讨论 方法提炼 根据射线的不同位置对角进行分类讨论。 典例剖析 【例1】在同一平面内，∠AOB=60°，射线OC与∠AOB的一边所成夹角为直角，射线OM平分∠BOC，求∠AOM的度数。 实战演练 1. 已知∠AOB=70°，∠BOC=30°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为55°或85°。 2. 射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB=60°，∠AOD=50°，∠BOC=10°，求∠COD的度数。 3. 以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使∠AOP:∠BOP=3:2。若∠AOB=45°，求∠AOP的度数。 专题15 双角平分线问题 方法提炼 一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半。 典例剖析 【例1】如图，点A，O，C在一条直线上，DO，EO分别是∠AOB和∠BOC的平分线，若∠AOD=62°，求：（1）∠DOE的度数；（2）∠BOE的度数。 实战演练 1. 如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线。 （1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数； （2）若∠AOC=α，∠BOC=β，求∠DOE的度数。 2. 如图，OB是∠AOD的角平分线，OD是∠BOE的角平分线，OC是∠BOD的角平分线，∠AOE=60°，求∠BOC的度数。 专题16 角与角的数量关系问题 方法提炼 设一个合理的角度，把所有的角都用字母表示，然后消去字母找到关系。 典例剖析 【例1】如图，点O在直线AB上，∠COD=90°，OE平分∠AOD，在∠BOD内画射线OF，使得6∠BOF−∠BOE=∠BOD。探究∠BOF与∠COE之间的数量关系并证明。 实战演练 1. 如图1，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC。 （1）当∠AOC=30°时，则∠DOE的度数为15°； （2）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其它条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变。直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系：∠AOC=2∠DOE。 专题17 角中的定值问题 方法提炼 设参求角，整体求值。 典例剖析 【例1】如图，∠AOB是直角，∠BOC是锐角，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线。当∠BOC的大小发生改变时，∠DOE的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 实战演练 1. 如图1，点O在直线MN上，射线OA，OB在直线MN上方，∠BON=30°，∠AON＞30°。若射线OC在直线MN上方，OP平分∠COM，∠AOB=3∠AOC。当∠BOC=2∠AOC时，是否存在常数k使得k∠BOP−∠CON的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由。 专题18 折叠问题 方法提炼 抓住折叠后重合的角相等进行深入分析。 典例剖析 【例1】如图，将长方形纸片ABCD沿直线EN，EM进行折叠后（点E在AB边上），B′点刚好落在A′E上，若折叠角∠AEN=32°，求另一个折叠角∠BEM的度数。 实战演练 1.（1）将一张长方形纸片按如图1所示的方式折叠，BC，BD为折痕，求∠CBD的度数； （2）将一张长方形纸片按如图2所示的方式折叠，BC，BD为折痕，若∠A′BE′=50°，求∠CBD的度数； （3）将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，BC，BD为折痕，若∠A′BE′=α，请直接写出∠CBD的度数（用含α的式子表示）。 专题19 平角突变 方法提炼 图形里一个角如果大于平角，角的方向将发生改变。 典例剖析 【例1】如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕点O逆时针方向旋转，速度为每秒15°，射线ON（与射线OD重合）绕点O顺时针方向旋转，速度为每秒10°。两射线OM，ON同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指不大于平角的角）。当0＜t＜6时，探究(8∠BON−3∠COM)/∠MON的值，在t满足怎样的条件时是定值，在t满足怎样的条件时不是定值？ 实战演练 1. 已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB=150°，∠COD=20°，∠AOC=30°，射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转，同时射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OB重合后，OC，OD停止运动。设射线OD，OC运动的时间是t秒，当∠COD=120°时，求t的值。（本题中的角均大于0°且小于180°） 专题20角的运动问题 方法提炼 根据角的不同位置进行分类讨论。 典例剖析 【例1】如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°； 射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）。 （1）当t为何值时，射线OC与OD重合； （2）当t为何值时，∠COD=90°； （3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由。 实战演练 1. 将一副三角板按图1摆放在直线MN上，AF平分∠BAD，AG平分∠BAE。 （1）如图2，若将三角板ABC绕A点以5°/秒的速度顺时针旋转t秒（t＜21），求∠FAG的度数； （2）如图3，三角板ABC绕A点以m°/秒的速度顺时针旋转，同时，三角板ADE绕A点以n°/秒的速度逆时针旋转，当AD与AB边首次重合时两三角板都停止运动，若运行t秒时，有∠MAD=成立，试求此时m与n的关系。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 几何图形初步 专题1 立体图形展开图与三视图 方法提炼 将立体图形转化为平面图形。 典例剖析 【例1】“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度是普通砖的三倍以上，拟用于未来建造月球基地。如图是一种“月壤砖”及其主视图与俯视图，则它的左视图为（ ） 答案：D 实战演练 1. 将一个正方体的表面沿某些棱剪开，能展开成的平面图形是（ ） 答案：C 2. 如图是7个完全相同的立方体积木堆叠成的立体图形，若拿走图中一块积木后图形的主视图保持不变，应拿走（ ） A. 积木甲　　B. 积木乙　　C. 积木丙　　D. 积木丁 答案：A 专题2 图形计数问题 方法提炼 等差数列前项和=。 典例剖析 【例1】如图，在直线上任取1个点，2个点，3个点，4个点。 （1）填写下表： 点的个数 所得线段的条数 所得射线的条数 1 2 3 4 （2）在直线上取个点，可以得到几条线段，几条射线？ 解：可以得到条线段，条射线。 答案： 实战演练 1. 根据题意填空： （1）m与n是同一平面内两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线e，那么这三条直线最多有3个交点； （2）如果在（1）的基础上，在这个平面内再画第四条直线l，那么这四条直线最多可有6个交点； （3）由（1）（2）我们可以猜想：在同一平面内，条直线最多可有个交点（用含有的代数式表示）。 2. 1条直线把平面分成2部分，2条直线最多把平面分成4部分，那么3条直线最多把平面分成几部分？n条呢？ 解：3条直线最多把平面分成7部分，条直线最多把平面分成部分。 3. 观察图形，并回答下列问题： 【观察思考】（1）图中共有10条线段； 【模型构建】（2）若线段上标记了个点（包括端点），则该线段中共有条线段； 【拓展应用】（3）请你用上述模型构建来解决以下问题： ①某班50个同学聚会，若每个同学都与其他同学握一次手，总共握手多少次？ ②某班50个同学聚会，若每个同学都送给其他同学一张名片，总共送出名片多少张？ 解：（3）①1+2+3+…+49=1225（次）；②(1+2+3+…+49)×2=2450（张）。 答案：①1225次　②2450张 专题3 按要求作图 方法提炼 区分直线、射线、线段，两点间线段最短。 典例剖析 【例1】如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图。 （1）画射线AD，BC交于点F； （2）连接AC，并将其反向延长； （3）取一点P，使点P既在直线AB上又在直线CD上； （4）取一点Q，使点Q到A，B，C，D四点的距离之和最小。 实战演练 1. 如图，已知四点A，B，C，D，请用尺规作图完成。（保留画图痕迹） （1）画直线AB； （2）画射线AC； （3）连接BC并延长BC到E，使得CE=AB+BC； （4）在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小。 解：如图所示。 2. 如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D，请按要求完成下列问题。（保留画图痕迹） （1）作射线AC； （2）作直线BD与射线AC相交于点O； （3）分别连接AB，AD； （4）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是AB+AD＞BD，理由是两点之间，线段最短。 解：如图所示。 专题4运用和差倍分计算线段长 方法提炼 利用线段的和差倍分关系计算线段长。 典例剖析 【例1】如图，点C是AB的中点，D，E分别是线段AC，CB上的点，且AD=，DE=，若AB=24cm。 （1）求线段CD的长； （2）求线段CE的长。 解：（1）∵AB=24cm，点C是AB的中点，∴AC=。 ∵AD=，∴AD=，∴CD=AC−AD=12−8=4（cm）。 （2）∵AB=24cm，DE=，∴CE=DE−CD=14.4−4=10.4（cm）。 答案：（1）CD=4cm（2）CE=10.4cm 实战演练 1. 如图，已知点C，D，E在线段AB上，AB=20，BC=3AC。 （1）求BC的长； （2）若CD=4BD，点E是CD的中点，求CE的长。 解：（1）∵BC=3AC，∴AB=AC+BC=AC+3AC=20， ∴AC=5，∴BC=3AC=15。 （2）由（1）知BC=15，∵CD=4BD，∴BC=CD+BD=4BD+BD=15， ∴BD=3，∴CD=4BD=12，∵点E是CD的中点，∴CE=。 答案：（1）BC=15（2）CE=6 2. 如图，点C，D在线段AB上，AB=12，AC=2，D为线段BC的中点。 （1）求线段CD的长； （2）若E是直线AB上一点，且AE=CD，求线段EB的长。 解：（1）∵AB=12，AC=2，∴BC=AB−AC=12−2=10。 ∵D为线段BC的中点，∴CD=BD=。 （2）AE=CD，CD=5，∴AE=5。 若E在A的左侧，则EB=AB+AE=12+5=17； 若E在A的右侧，则EB=AB−AE=12−5=7。 ∴线段EB的长为17或7。 答案：（1）CD=5（2）EB=17或7 专题5 列方程求线段长 方法提炼 以线段的和差倍分关系为等量关系，设合理的未知数列方程求线段长。 典例剖析 【例1】已知点B在线段AC上，点D在线段AB上，若BD=，E为线段AB的中点，EC=12，求线段AC的长度。 解：设BD=，∵BD=，∴AB=4BD=4，CD=3BD=3。 又∵DC=DB+BC，∴BC=CD−BD=3。 又∵AC=AB+BC，∴AC=4。 ∵E为线段AB的中点，∴BE=。 又∵EC=BE+BC，∴EC=2。 又∵EC=12，∴4，解得：，∴AC=6。 答案：AC=18 实战演练 1. 如图，点B，D在线段AC上，BD=，E是AB的中点，F是CD的中点，EF=5，求AB的长。 解：设BD=，则AB=3，CD=4。 ∵E是AB的中点，F是CD的中点， ∴BE=，DF=。 ∵BE+DF−BD=EF=5，∴1.5，解得：，∴AB=3×2=6。 答案：AB=6 2. 如图，点B，C在线段AD上，若AB:BD=2:7，AC:CD=5:1，且BC=11cm，求AD的长度。 解：设AD长为，∵AB:BD=2:7，∴AB=cm。 又∵AC:CD=5:1，∴AC=cm。 ∵AC−AB=BC，∴，解得：，∴AD长为18cm。 答案：AD=18cm 专题6 分类讨论求线段长 方法提炼 根据点的不同位置，分类讨论，画出图形，计算线段长。 典例剖析 【例1】已知线段AB=4cm，BC=8cm，A，B，C三点在一条直线上，线段AC的长度是多少？ 解：当点A在线段BC上时，AC=BC−AB=4（cm）； 当点A在线段BC的延长线上时，AC=BC+AB=12（cm）； 综上所述：线段AC的长度是4cm或12cm。 答案：4cm或12cm 实战演练 1. 已知线段AB=10cm，C为直线AB上的一点，且BC=2cm，M，N分别是AB，BC的中点，求MN的长度。 解：分两种情况： ①如图所示，当点C在线段AB的延长线上时， ∵AB=10cm，BC=2cm，点M，N分别是AB，BC的中点， ∴MB=，NB=，∴MN=MB+NB=5+1=6（cm）； ②如图所示，当点C在线段AB上时， ∵AB=10cm，BC=2cm，点M，N分别是AB，BC的中点， ∴MB=，NB=，∴MN=MB−NB=5−1=4（cm）。 综上所述，MN的长为6cm或4cm。 答案：6cm或4cm 2. 如图，延长线段AB至点C，使BC=，反向延长AB至D，使AD=。 （1）依题意画出图形，则=（直接写出结果）； （2）若点E为BC的中点，且BD−4BE=2，求AC的长。 解：（2）设AB=6，则BC=3，∴BD=AB+AD=8，AC=AB+BC=9。 ∵点E为BC的中点，∴BE=CE=。 ∵BD−4BE=2，∴8，∴，∴AC=9。 答案：（1）（2）AC=9 专题7 整体思想求线段长 方法提炼 以某一条线段或某几条线段为整体求其它线段的长。 典例剖析 【例1】如图，B，D两点均为线段AE上的动点，若AE=12，BD=5，求图中所有线段的和。 解：∵AE=12，BD=5， ∴以A，B，D，E这4个点为端点的所有线段的和 =AB+AD+AE+BD+BE+DE=(AB+BE)+(AD+DE)+AE+BD =AE+AE+AE+BD=12+12+12+5=41。 答案：41 实战演练 1. 如图，点C在线段AB上，AB=16，点E，F分别是线段AB，AC的中点，且EF=5。求线段AC的长。 解：∵点E是AB的中点，∴AE=。 ∵AB=16，∴AE=。 ∵AF=AE−EF，EF=5，∴AF=8−5=3。 ∵点F是AC的中点，∴AC=2AF=2×3=6，∴线段AC的长为6。 答案：AC=6 2. 点C在线段AB上，M是AC的中点，N是BC的中点，若AC:CB=3:2，且MC+NB=12.5cm，求MC的长。 解：如图，由M是AC的中点，N是BC的中点，得AM=MC=，CN=NB=。 由AC:CB=3:2，设AC=3，CB=2， 则MC=，NB=，∴，解得，∴MC=。 答案：MC=7.5cm 3. 如图，点C是线段AB上的一点，点D是线段BC的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC的长度与线段BC的长度都是正整数，求线段AC的长。 解：设AC=，则CD=BD=， ∴AC+AD+AB+CD+CB+DB=23，∴3。 又∵都是正整数，∴，即AC的长度为3。 答案：AC=3 专题8 线段中点问题 方法提炼 线段双中点模型的概述：两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求中点距离。 模型一：两线段无公共部分（作和） 已知点B是线段AC上任意一点，点M，N分别为线段AB，BC的中点，则MN=。 模型二：两线段有公共部分（作差） 已知点B在线段AC的延长线上，点M，N分别为线段AB，BC的中点，则MN=。 典例剖析 【例1】已知线段AB=60，点C为线段AB的中点，点D为射线CB上的一点，点E为线段BD的中点，且线段EB=5，则线段CD的长为（ ） A. 20　　B. 30　　C. 40　　D. 20或40 答案：D 实战演练 1.（1）如图，点C在线段AB上，AC=6，BC=4，点M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=，其他条件不变，你能求出MN的长吗？请用一句话表达你的发现； （3）如果第（1）题的叙述改为：“已知点C在直线AB上，线段AC=6，BC=4，点M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长。”结论会起变化吗？如果变化，求出MN的长。 解：（1）∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=，CN=，∴MN=CM+CN=3+2=5。 （2）猜测MN=，∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=，CN=，∴MN=CM+CN=。 发现：MN的长度是AB的一半。 （3）会起变化。如图所示，当C在AB的延长线上时， ∵AC=6，BC=4，点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=，CN=，∴MN=CM−CN=3−2=1。 答案：（1）MN=5（2）MN=，MN是AB的一半（3）会变化，MN=1 专题9 线段中的定值问题 方法提炼 巧设未知数，然后计算，求出定值。 典例剖析 【例1】如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB=4，CD=8，点M，N分别为AB，CD的中点。BC=24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位长度的速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值。求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内。 解：运动秒后MN=|30−4|，AD=|36−4|， 当0≤时，MN+AD=66−8；当7.5≤时，MN+AD=6； 当时，MN+AD=8。 ∴当7.5≤时，MN+AD为定值6。 答案：定值6，t在[7.5，9]内 实战演练 1. 已知A，B，C三点在数轴上所表示的数分别为−4，−1，2。若动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动，动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行。记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为MP。在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使QM+mMP的值始终保持不变？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。 解：存在。当时，QM+为定值，理由如下： 由题意知，运动时间为秒时，点P表示的数为2−0.2， 点Q表示的数为−4−0.6，点M表示的数为−1−0.3， 则QM=|−1−0.3|=|3+0.3|=3+0.3， MP=|2−0.2|=|3+0.1|=3+0.1， QM+=3+0.3=3， 当0.1时，解得。 QM+，始终保持不变。 答案：存在，m=−3，定值为−6 专题10 钟面角 方法提炼 时针每小时转30°，每分钟转0.5°，分针每小时转360°，每分钟转6°。 x时y分时针与分针的夹角公式|30°x−5.5°y|。 典例剖析 【例1】（1）如图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数。 （2）每经过1h，时针转过多少度？每经过1min，分针转过多少度？ （3）当时钟指向上午10:10时，时针与分针的夹角是多少度？ 解：（1）巴黎30°；伦敦0°；北京120°；东京90°。 （2）每经过1h，时针转过360°÷12=30°，每经过1min，分针转过360°÷60=6°。 （3）上午10:10时时针与分针的夹角是120°−10×°=115°。 答案：（1）巴黎30°、伦敦0°、北京120°、东京90°（2）30°、6°（3）115° 实战演练 1. 同学们，日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识。 （1）如图1，上午8:00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于120°； （2）请在图2中大致画出8:20这一时刻时针和分针的位置，思考并回答：从上午8:00到8:20，时钟的分针转过的度数是120°，时钟的时针转过的度数是10°； （3）“元旦”这一天，城区某中学七年级部分学生上午八点多集中在学校门口准备去步行街进行公益服务，临出发时，组长一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点多他们回到学校，进校门时，组长看见钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多少时间吗？通过计算加以说明。 解：（3）设上午8时分出发，下午2时分回校， 8×30°+0.5°×，解得， 6°×)=180°，解得， ∴共用6小时（上午8时分出发，下午2时分回校）。 答：他们去步行街进行公益服务共用了6小时。 答案： 专题57 度分秒的换算 方法提炼 1°=60′，1′=60″。 典例剖析 【例1】计算： （1）18°20′32″+30°15′22″； （2）90°−70°35′； （3）180°−60°30′45″； （4）12°12′×5。 解：（1）原式=48°35′54″； （2）原式=89°60′−70°35′=19°25′； （3）原式=179°59′60″−60°30′45″=119°29′15″； （4）原式=60°60′=61°。 答案：（1）48°35′54″（2）19°25′（3）119°29′15″（4）61° 实战演练 1. 填空： （1）30.54°=30°32′24″； （2）15°24′36″=15.41°。 2. 计算： （1）90°−36°12′15″； （2）32°17′53″+42°42′7″； （3）25°12′35″×5； （4）53°÷6。 解：（1）原式=89°59′60″−36°12′15″=53°47′45″； （2）原式=74°59′60″=75°； （3）原式=125°60′175″=126°2′55″； （4）原式=48°300′÷6=8°50′。 答案：（1）30°32′24″（2）15.41°（3）53°47′45″（4）75°（5）126°2′55″（6）8°50′ 3. 比较48°22′13″与48.37°的大小。 解：∵1°=60′，1′=60″， ∴48.37°=48°+0.37×60′=48°+22′+0.2×60″=48°+22′+12″=48°22′12″。 ∵48°22′13″＞48°22′12″，∴48°22′13″＞48.37°。 答案：48°22′13″＞48.37° 专题11 分步求角 方法提炼 运用角的和差倍分计算角的大小。 典例剖析 【例1】如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OC平分∠AOD，在∠BOD内部引射线OE，恰好使得∠BOE=3∠DOE，若∠DOE=20°，求∠AOE及∠COD的度数。 解：∵∠BOE=3∠DOE，∠DOE=20°，∴∠BOE=3×20°=60°， ∴∠AOE=180°−∠BOE=120°， ∠AOD=180°−∠DOE−∠BOE=180°−20°−60°=100°。 ∵射线OC平分∠AOD，∴∠COD=。 答案：∠AOE=120°，∠COD=50° 实战演练 1. 如图，已知OB是∠AOC内的一条射线，∠AOB=5∠BOC=120°，OM平分∠AOC，求∠BOM的度数。 解：∵∠AOB=5∠BOC=120°，∴∠BOC=。 ∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，∴∠AOC=120°+24°=144°。 ∵OM平分∠AOC，∴∠COM=， ∴∠BOM=∠COM−∠BOC=72°−24°=48°。 答案：∠BOM=48° 2. 如图，直线AB，CD，EF交于点O，OG平分∠BOF，且CD⊥EF，∠AOE=70°，求∠DOG的度数。 解：∵∠AOE=70°，∴∠BOF=∠AOE=70°。 又∵OG平分∠BOF，∴∠GOF=。 又∵CD⊥EF，∴∠EOD=90°， ∴∠DOG=180°−∠GOF−∠EOD=180°−35°−90°=55°。 答案：∠DOG=55° 专题12 余角和补角 方法提炼 两个角互余，和为90°；两个角互补，和为180°。 典例剖析 【例1】若∠α与∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：①90°−∠β；②∠α−90°； ③180°−∠α；④。正确的是（ ） A. ①②　　B. ①②④　　C. ①②③　　D. ①②③④ 答案：B 实战演练 1. 下列说法正确的是（ ） A. 一个角的补角一定是钝角　　B. 两个锐角一定互余 C. 互余的两个角一定都是锐角　　D. 一个锐角和一个钝角一定互补 答案：C 2. 如图，C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各学习小组经过讨论后得到以下结论：①∠ACF与∠DCH互余；②∠HCG=60°；③∠ECF与∠BCH互补；④∠ACF−∠BCG=45°。下列结论中错误的有（ ）个。 A. 1　　B. 2　　C. 3　　D. 4 答案：A 3. 一个角的余角比它的补角的还少20°，求这个角的度数。 解：设这个角为α，根据题意得90°−α=−20°，解得α=75°， 即这个角的度数为75°。 答案：75° 4. 如图，∠AOB=124°，OF是∠AOB的平分线，∠1和∠2互余，求∠BOE的度数。 解：∵∠AOB=124°，OF是∠AOB的平分线，∴∠BOF=。 ∵∠1和∠2互余，∴∠1+∠2=90°，即∠EOF=90°， ∴∠BOE=∠BOF+∠EOF=62°+90°=152°。 答案：∠BOE=152° 专题13 列方程求角 方法提炼 找到等量关系，列出方程。 典例剖析 【例1】如图，BD平分∠ABC，∠CBE:∠ABE=5:3，且∠DBE=17°，求∠ABC和∠ABE的度数。 解：∵∠CBE:∠ABE=5:3，∴设∠CBE=5， 则∠ABC=∠CBE+∠ABE=5。 ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=。 又∵∠DBE=17°，∴∠ABD−∠ABE=∠DBE=17°， 即4，解得，∴∠ABC=8，∠ABE=3。 答：∠ABC=136°，∠ABE=51°。 答案：∠ABC=136°，∠ABE=51° 实战演练 1. 如图，∠AOC=86°，∠BOC比∠AOB的3倍少10°，求∠BOC的度数。 解：设∠AOB=，则∠BOC=(3， 由题意可得，解得：， ∠BOC=(3，∴∠BOC的度数是62°。 答案：∠BOC=62° 2. 如图，点O在直线AC上，OD平分∠AOB，∠BOE=，∠DOE=70°，求∠EOC的度数。 解：设∠AOB=，则∠BOC=180°−， ∵OD平分∠AOB，∴∠BOD=。 ∵∠BOE=，∴∠BOE=， ∠EOC=。 ∵∠BOD+∠BOE=∠DOE=70°，∴，解得， ∴∠EOC=120°−。 答案：∠EOC=80° 专题14 角的分类讨论 方法提炼 根据射线的不同位置对角进行分类讨论。 典例剖析 【例1】在同一平面内，∠AOB=60°，射线OC与∠AOB的一边所成夹角为直角，射线OM平分∠BOC，求∠AOM的度数。 解：如图1，∠AOM=∠AOB−∠BOM=∠AOB−=60°−； 如图2，∠AOM=∠AOB+∠BOM=∠AOB+=60°+； 如图3，∠AOM=∠BOM−∠AOB=； 如图4，∠AOM=∠BOM+∠AOB=。 综上所述，∠AOM的度数为15°或75°或105°。 答案：15°或75°或105° 实战演练 1. 已知∠AOB=70°，∠BOC=30°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为55°或85°。 答案：55°或85° 2. 射线OA，OB，OC，OD是同一平面内互不重合的四条射线，∠AOB=60°，∠AOD=50°，∠BOC=10°，求∠COD的度数。 解：如图1，∠COD=60°+50°+10°=120°； 如图2，∠COD=60°+50°−10°=100°； 如图3，∠COD=60°−50°+10°=20°。 综上所述：∠COD的度数为20°或100°或120°。 答案：20°或100°或120° 3. 以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使∠AOP:∠BOP=3:2。若∠AOB=45°，求∠AOP的度数。 解：如图1，当OP在∠AOB内部时，∵∠AOP:∠BOP=3:2， ∠AOB=45°，∴∠AOP=； 如图2，当OP在∠AOB外部时， ∵∠AOP:∠BOP=3:2，∴∠BOP=， ∴∠AOB=∠AOP−∠BOP=∠AOP−， ∴45°=，∴∠AOP=135°，故∠AOP的度数为27°或135°。 答案：27°或135° 专题15 双角平分线问题 方法提炼 一条射线把一个角分成两个角，这两个角的平分线所形成的角等于原角的一半。 典例剖析 【例1】如图，点A，O，C在一条直线上，DO，EO分别是∠AOB和∠BOC的平分线，若∠AOD=62°，求：（1）∠DOE的度数；（2）∠BOE的度数。 解：（1）∠DOE=90°；（2）∠BOE=28°。 答案：（1）∠DOE=90°（2）∠BOE=28° 实战演练 1. 如图，已知OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线。 （1）若∠AOC=120°，∠BOC=30°，求∠DOE的度数； （2）若∠AOC=α，∠BOC=β，求∠DOE的度数。 解：（1）∵OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线， ∴∠COE=，∠COD=， ∴∠DOE=∠COE−∠COD=60°−15°=45°。 （2）∵OE是∠AOC的角平分线，OD是∠BOC的角平分线， ∴∠COE=，∠COD=， ∴∠DOE=∠COE−∠COD=。 答案：（1） 2. 如图，OB是∠AOD的角平分线，OD是∠BOE的角平分线，OC是∠BOD的角平分线，∠AOE=60°，求∠BOC的度数。 解：∵OB是∠AOD的角平分线，∴∠AOB=∠BOD。 ∵OD是∠BOE的角平分线， ∴∠BOD=∠DOE，∴∠AOB=∠BOD=∠DOE， ∴∠AOE=∠AOB+∠BOD+∠DOE=3∠BOD。 ∵∠AOE=60°，∴∠BOD=。 ∵OC是∠BOD的角平分线，∴∠BOC=。 答案：∠BOC=10° 专题16 角与角的数量关系问题 方法提炼 设一个合理的角度，把所有的角都用字母表示，然后消去字母找到关系。 典例剖析 【例1】如图，点O在直线AB上，∠COD=90°，OE平分∠AOD，在∠BOD内画射线OF，使得6∠BOF−∠BOE=∠BOD。探究∠BOF与∠COE之间的数量关系并证明。 解：∠COE=2∠BOF−30°。证明如下：设∠BOD=2α，则∠AOD=180°−2α。 ∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠DOE=。 ∵∠COD=90°，∴∠COE=∠COD−∠DOE=α，∠BOE=180°−∠AOE=90°+α。 ∵6∠BOF−∠BOE=∠BOD，∴6∠BOF−(90°+α)=2α，∴6∠BOF−3α=90°。 ∵∠COE=α，∴6∠BOF−3∠COE=90°，即∠COE=2∠BOF−30°。 答案：∠COE=2∠BOF−30° 实战演练 1. 如图1，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC。 （1）当∠AOC=30°时，则∠DOE的度数为15°； （2）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其它条件不变，探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变。直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系：∠AOC=2∠DOE。 解：（1）由已知得∠BOC=180°−∠AOC=150°， 又∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠DOE=∠COD−。 （2）∠AOC=2∠DOE。理由：设∠BOC=2。 ∵OE平分∠BOC，∴∠COE=。 又∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−，∴∠AOC=2∠DOE。 （3）∠AOC=360°−2∠DOE。提示：设∠BOC=2。 ∵OE平分∠BOC，∴∠COE=。 ∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°+， ∴∠AOC=180°−2(∠DOE−90°)，∴∠AOC=360°−2∠DOE。 答案：（1）15°（2）∠AOC=2∠DOE（3）∠AOC=360°−2∠DOE 专题17 角中的定值问题 方法提炼 设参求角，整体求值。 典例剖析 【例1】如图，∠AOB是直角，∠BOC是锐角，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线。当∠BOC的大小发生改变时，∠DOE的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 解：∠DOE的大小是定值，为45°，理由如下： 设∠BOC=， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+。 ∵OD是∠AOC的平分线，∴∠AOD=∠COD=。 ∵OE是∠BOC的平分线，∴∠COE=∠BOE=， ∴∠DOE=∠COD−∠COE=45°+，∴∠DOE的大小是定值45°。 答案：定值45° 实战演练 1. 如图1，点O在直线MN上，射线OA，OB在直线MN上方，∠BON=30°，∠AON＞30°。若射线OC在直线MN上方，OP平分∠COM，∠AOB=3∠AOC。当∠BOC=2∠AOC时，是否存在常数k使得k∠BOP−∠CON的值为定值？若存在，请求出常数k的值，若不存在，请说明理由。 解：存在，k=2，理由如下： ∵∠AOB=3∠AOC，∠BOC=2∠AOC， ∴OC一定在∠AOB内部，如图所示， 设∠AOC=， ∠COM=180°−∠CON=150°−2。 ∵OP平分∠COM，∴∠MOP=∠COP=， ∴∠BOP=∠COP+∠BOC=75°+， ∴k∠BOP−∠CON=。 ∴当，即时，为定值。 答案： 专题18 折叠问题 方法提炼 抓住折叠后重合的角相等进行深入分析。 典例剖析 【例1】如图，将长方形纸片ABCD沿直线EN，EM进行折叠后（点E在AB边上），B′点刚好落在A′E上，若折叠角∠AEN=32°，求另一个折叠角∠BEM的度数。 解：∵△ANE与△A′NE关于NE对称，△BEM与△B′EM关于EM对称， ∴∠AEN=∠A′EN=，∠BEM=∠B′EM=， ∴∠AEN+∠BEM=， ∴∠AEN+∠BEM=。∵∠AEN=32°，∴∠BEM=58°。 答案：∠BEM=58° 实战演练 1.（1）将一张长方形纸片按如图1所示的方式折叠，BC，BD为折痕，求∠CBD的度数； （2）将一张长方形纸片按如图2所示的方式折叠，BC，BD为折痕，若∠A′BE′=50°，求∠CBD的度数； （3）将一张长方形纸片按如图3所示的方式折叠，BC，BD为折痕，若∠A′BE′=α，请直接写出∠CBD的度数（用含α的式子表示）。 解：（1）由题意知∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，∴∠A′BC=，∠E′BD=， ∴∠CBD=∠A′BC+∠E′BD=。 （2）∵∠A′BE′=50°，∴∠ABA′+∠EBE′=180°−∠A′BE′=130°。 ∵∠A′BC=，∠DBE′=，∴∠A′BC+∠DBE′=， ∴∠CBD=∠A′BC+∠DBE′+∠A′BE′=65°+50°=115°。 （3）∵∠A′BC=，∠DBE′=，∴∠A′BC+∠DBE′=， ∴∠CBD=∠A′BC+∠DBE′−∠A′BE′= = 答案：（1）90°（2）115°（3）90°−α/2 专题19 平角突变 方法提炼 图形里一个角如果大于平角，角的方向将发生改变。 典例剖析 【例1】如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕点O逆时针方向旋转，速度为每秒15°，射线ON（与射线OD重合）绕点O顺时针方向旋转，速度为每秒10°。两射线OM，ON同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指不大于平角的角）。当0＜t＜6时，探究(8∠BON−3∠COM)/∠MON的值，在t满足怎样的条件时是定值，在t满足怎样的条件时不是定值？ 解：∵∠AOC=∠AOD，∠AOC+∠AOD=180°， ∴∠AOC=∠AOD=90°，∴∠BOC=∠BOD=90°。 当∠MON=180°时，15°t+90°+10°t=180°，解得t=3.6。 ①如图1，当0＜t≤3.6时，∠BON=90°+10°t，∠COM=90°−15°t， ∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15°t+90°+10°t=25°t+90°， ∴===5（定值）。 ②如图2，当3.6＜t＜6时，∠BON=90°+10°t，∠COM=90°−15°t，∠AON=90°−10°t， ∠MON=∠COM+∠AOC+∠AON=90°−15°t+90°+90°−10°t=270°−25°t， ∴===（不是定值）。 故的值在0＜t≤3.6时是定值，在3.6＜t＜6时不是定值。 答案：0＜t≤3.6时是定值5；3.6＜t＜6时不是定值 实战演练 1. 已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB=150°，∠COD=20°，∠AOC=30°，射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转，同时射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当射线OC与射线OB重合后，OC，OD停止运动。设射线OD，OC运动的时间是t秒，当∠COD=120°时，求t的值。（本题中的角均大于0°且小于180°） 解：分两种情况： ①如图1，∠COC′=10°t，∠DOD′=30°t， ∴30°t+20°−10°t=120°，解得t=5； ②如图2，∠COC′=10°t，∠DOD′=360°−30°t， ∴(360°−30°t−20°)+10°t=120°，解得t=11。 综上所述，当∠COD=120°时，t的值为5或11。 答案：t=5或11 专题20角的运动问题 方法提炼 根据角的不同位置进行分类讨论。 典例剖析 【例1】如图，∠AOB=120°，射线OC从OA开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟20°； 射线OD从OB开始，绕点O逆时针旋转，旋转的速度为每分钟5°，OC和OD同时旋转，设旋转的时间为t（0≤t≤15）。 （1）当t为何值时，射线OC与OD重合； （2）当t为何值时，∠COD=90°； （3）试探索：在射线OC与OD旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC，OB与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由。 解：（1）由题意可得，20°t=5°t+120°，解得t=8。 （2）由题意得，当OC与OD重合前，20°t+90°=120°+5°t，t=2； 当OC与OD重合后，20°t−90°=120°+5°t，t=14。 综上所述：t=2或t=14。 （3）存在，由题意得， ①当OB平分∠COD时，120°−20°t=5°t，t=4.8； ②当OC平分∠BOD时，20°t−120°=5°t+120°−20°t，t=； ③当OD平分∠BOC时，20°t−120°−5°t=5°t，t=12。 答案：（1）t=8（2）t=2或14（3）t= 实战演练 1. 将一副三角板按图1摆放在直线MN上，AF平分∠BAD，AG平分∠BAE。 （1）如图2，若将三角板ABC绕A点以5°/秒的速度顺时针旋转t秒（t＜21），求∠FAG的度数； （2）如图3，三角板ABC绕A点以m°/秒的速度顺时针旋转，同时，三角板ADE绕A点以n°/秒的速度逆时针旋转，当AD与AB边首次重合时两三角板都停止运动，若运行t秒时，有∠MAD=成立，试求此时m与n的关系。 解：（1）∠BAD=180°−∠BAC−∠DAE−∠CAM=180°−45°−30°−5°t=105°−5°t； ∠BAE=180°−∠BAC−∠CAM=180°−45°−5°t=135°−5°t。 ∵AF平分∠BAD，AG平分∠BAE， ∴∠BAF=，∠BAG=， ∴∠FAG=∠BAG−∠BAF=。 （2）∠MAD=180°−∠DAE−∠EAN=180°−30°−， ∠CAE=180°−∠MAC−∠EAN=180°−。 当∠MAD=时，有，解得。 即当n=5m时，有∠MAD=成立。 答案：（1）∠FAG= 学科网（北京）股份有限公司 $