专项01 一元一次方程的解法专项（题型专练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以“题型突破·举一反三”为框架，系统构建一元一次方程解法的方法体系，从基础步骤到综合应用，逻辑递进，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |合并同类项与移项|典例1+4变式|移项变号+合并化简，依据等式性质1|方程解法基础，后续步骤的核心环节| |去括号|典例1+5变式|分配律+符号法则，多层括号逐层处理|整式加减与方程解法的衔接，前置步骤| |去分母|典例1+7变式|最小公倍数去分母，分子多项式加括号|等式性质2的应用，复杂方程化简关键| |已知解求参数|典例1+8变式|解代入原方程，构建参数方程|方程思想逆向应用，参数问题基础| |解的关系|典例1+5变式|分别求解+建立解的关系等式|多方程综合，推理意识培养| |绝对值方程|典例1+5变式|分类讨论去绝对值，几何意义辅助|绝对值概念与方程的综合，模型意识应用|

专题01 一元一次方程的解法专项 （题型突破·举一反三） ▌题型01 解一元一次方程——合并同类项与移项 【典例1】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1-1】 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式1-2】 【答案】(1)． (2)． (3)． (4)． 【分析】（1）直接移项计算即可得结果； （2） 先去分母，再移项合并同类项，系数化为1求解； （3）移项合并同类项，系数化为1求解； （4）先去分母，再移项合并同类项，系数化为1求解． 【详解】（1）解：                  ． （2）解： 两边同乘18去分母得： 移项及合并得： 系数化为1得： ． （3）解： 移项及合并得： 系数化为1得：． （4）解： 两边同乘3去分母得： 移项及合并得： 系数化为1得：． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据“挽手数对”的定义分别求解即可； （2）根据“挽手数对”的定义列出方程，解方程求出的值即可； （3）设这个“挽手数对”为或，根据“挽手数对”的定义列出方程，解方程分别求出、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴不是“挽手数对”； ∵，，， ∴是“挽手数对”． （2）解：∵是“挽手数对”， ∴， 解得：． （3）解：∵是“挽手数对”中的一个数， ∴设这个“挽手数对”为或， 当这个“挽手数对”为时，， 解得：， ∴这个“挽手数对”为； 当这个“挽手数对”为时，， 解得：， ∴这个“挽手数对”为； 综上所述：这个“挽手数对”为或． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用已知新定义变形，得出关于的方程求解即可； （3）已知等式利用新定义表示出，，然后用作差法比较即可． 【详解】（1）解：☆． （2）解：☆ ☆ 解得． （3）解：由题意， ， ， ． ▌题型02 解一元一次方程——去括号 【典例1】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1-1】 【答案】B 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解方程，即可得出答案． 【详解】解： 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得． 【变式1-2】 【答案】(1) “3，2.5”不是“等效数对” (2) (3) 【分析】（1）计算3与2.5的和与积，对比是否相等，结合“等效数对”定义判断； （2）根据“等效数对”定义列一元一次方程，求解得x的值； （3）将代数式变形为含与的结构，代入整体计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴ “3，2.5”不是“等效数对”； （2）解：∵ “”是“等效数对”， ∴， ， ， 解得； （3）解：∵“”为“等效数对”， ∴， ∴ ． 【变式1-3】 【答案】(1)；18 (2)2 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用新定义得出一元一次方程，解方程求出，解第二个方程得出，根据两方程的解相同得出，得出，然后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： 解得 解方程得 ∵两方程的解相同， ∴ ∴ ∴． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得， 即当时，； （2）解：∵，且比大， ∴， 解得， 即当时，比大． 【变式1-5】 【答案】(1) 方程是方程的“后移方程”，理由如下： 解方程得，解方程得， ∵， ∴方程是方程的“后移方程”； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义： （1）分别解两个方程求出对应方程的解，再根据“后移方程”的定义判断即可； （2）先解方程得到，则根据“后移方程”的定义得到方程的解为，把代入方程中求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得， ∵关于x的方程是方程的“后移方程”， ∴关于x的方程的解为， ∴， 解得． ▌题型03 解一元一次方程——去分母 【典例1】 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：移项得：， 整理得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：． 【变式1-1】 【答案】D 【分析】分母2和3的最小公倍数为6，去分母时需方程两边每一项同乘6，不可漏乘常数项． 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：； （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：． 【变式1-4】 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】（1）计算两式的差，根据n阶关系式的定义直接得到阶数； （2）根据3阶关系式的定义列方程，求解x的值； （3）根据k阶关系式的定义列等式，令含a，b的项系数为0，求m，n后计算k的值． 【详解】（1）解：∵， ∴是的7阶关系式； （2）解：根据题意，得 ， 去分母，得， 整理，得， 解得 ； （3）解： 由题意得：， 整理得：， ∵k为固定正整数，与a，b的取值无关，且， ∴含a，b的项的系数均为0，即且， 解得， 将，代入，得， 综上所述，． 【变式1-5】 【答案】(1)二 (2)解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【分析】（1）由去括号法则验证即可得到第二步开始出现错误； （2）由一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：第二步中去括号符号错误， 故题目第二步开始出现错误； （2）略 【变式1-6】 【答案】(1)①是；②6 (2)34或18 【分析】（1）①先求出各个方程的解，再根据“值1方程”的定义进行判断即可； ②先求出各个方程的解，再根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）根据“值2方程”的定义得出，去掉绝对值符号求出a的值即可． 【详解】（1）①解：方程的解为，方程的解为， ， ∴方程和方程是 “值1方程”． ②解：方程的解为，的解为， ， ∴方程和方程是 “值6方程”． （2）解：∵， ∴． 解得． ∵，解得． ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴． ∴． 当时，． 当时，． ∴a的值为34或18． 【变式1-7】【答案】(1)方程与方程是互为“毓德方程” (2) (3) 【分析】（1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“毓德方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得， 解方程得， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， 解得：． ▌题型04 已知一元一次方程的解，求参数 【典例1】 【答案】1 【详解】解：， 去分母得，， ∴， ∵解为， ∴， ∴． 【变式1-1】 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 【变式1-2】 【答案】D 【分析】利用两个方程结构的一致性，将第二个方程中的整体看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解即可求解． 【详解】解：观察关于的方程，其结构与已知关于的方程完全一致， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得． 【变式1-3】 【答案】D 【分析】先根据多项式加减法则化简和，再逐个验证三个说法的正确性，即可求解． 【详解】解：∵，， 故， ， ， ； ， ， ， ； ①若，即， 解得；故①说法正确． ②， ， ； 若的值与的值无关，则含项的系数为， 即，， 解得，， ∴，故②说法正确． ③， ， ， 整理得， 故， ∴； ∵是正整数，是整数， 故的值可以是、、， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 符合条件的整数的值有个，故③说法正确． 综上，个说法都正确． 【变式1-4】 【答案】B 【分析】先整理原方程，结合一元一次方程有唯一解的条件，代入已知解得到m与n的关系，再逐一验证三个结论即可． 【详解】解：整理原方程，移项得：， ∵ 方程有唯一解， ∴ ，即 ， 将代入化简后的方程，得 ，整理得 ， 验证结论①：若 ，代入得 ，解得，与矛盾， ∴ ，①正确； 验证结论②：根据乙的描述，正整数取最小值时，将 代入 ，得 ，解得 ，即的最小值为，不是 ， ∴ ②错误； 验证结论③：根据乙的描述，正整数取最大值时 ，将 代入 ，得 ，解得 ，即的最大值为 ， ∵ 是正整数，且 ， ∴ 满足条件的为 ，共个，③正确； 综上，正确结论为①③． 【变式1-5】 【答案】(1)方程是“元宵方程”， 解：解方程，得， 又∵， ∴方程是“元宵方程”． (2)有，该方程的解为 (3) 【分析】本题根据“元宵方程”的定义解题，核心思路为：对于，若方程的解满足，则为元宵方程． （1）先求解给定方程，再计算，对比验证即可； （2）根据元宵方程的定义建立关于的等式，代入求出，再得到方程的解； （3）先根据元宵方程的定义推导出，代入关于的方程化简求解． 【详解】（1）略 （2）解：若是“元宵方程”，则满足方程的解， 又∵的解为， ∴代入得：， 解得，因此存在符合要求的“元宵方程”， ∴方程的解为． （3）解：∵是“元宵方程”， ∴，整理得， 将代入关于的方程得：， 解得． 【变式1-6】 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】求已知方程的解，再根据“成双方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2， ∴另一个方程的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解方程得， ∵两个方程互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程得， 解得． 【变式1-7】 【答案】(1)方程与方程互为“毓德方程” (2) 【分析】（1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得 ； 解方程，得 ， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得 ， 解方程，得 ， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴． 【变式1-8】 【答案】(1)② (2)或17 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“和美方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出一元一次方程，得，再解方程①，②根据“和美方程”的定义去判断即可； （2）解出方程的解为，一元一次方程的解是或，得到或，求出a的值即可； （3）解一元一次方程，得，由，得到，进而推导出，得到，要使成立，则不能含有m，得到，得，再将代入，解得，即可解答． 【详解】（1）解：解，得， 解，得， ∵当，时，， ∴不是一元一次方程的“和美方程”； 解，得， 当，时，， ∴是一元一次方程的“和美方程”； 故答案为：②． （2）解：， 去分母，得， 移项及合并，得， 系数化为1，得， 由，得， 即或， 解得或， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”， ∴， 即或， 解得或17； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 由，得， 解得， ∵若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”， ∴，即， 化简，得， ∵不等式对任意数都成立， ∴的系数必须为0，即， 解得， 将代入，得， 解得． ▌题型05 一元一次方程解的关系 【典例1】 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“相反方程”的定义得到方程的解，代入即可求出的值； （2）将、看作常数，分别求出方程与的解，再根据“相反方程”的定义得到关于、的方程，即可求解． 【详解】（1）解：方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴方程的解为：， ∴，解得． （2）解：方程的解为：， 方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴， 化简得：， ∴． 【变式1-1】 【答案】22 【详解】解：解方程，得， 又方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， 把代入，得， 解得． 【变式1-2】 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出第一个方程的解，再根据“友好方程”的定义进而即可求出m的值； （2）将两个方程的解表示出来，再根据“友好方程”的定义求解即可； （3）根据“友好方程”的定义分情况讨论两个解差的两种不同情况即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， 方程的解为， 把代入，得， 解得； （2）解：， ， 解得， ， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， ， ， ； （3）解：两个方程是“友好方程”，其中一个解为， 另一个解为， 由题意得，两个解的差为， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴的值为或． 【变式1-4】 【答案】(1)12，或3 (2) (3) 【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论； （2）利用“友好方程”的定义求解的值即可； （3）根据方程可以改写成，利用“友好方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，方程， 解得， 方程的解为， 由于方程与方程是“友好方程”， 则， 解得； 若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为， ①， 解得， ②， 解得， 则或， 故答案为：12；或3； （2）解：方程，解得， 方程解得， 由题意，得， 解得； （3）解：方程解得， 由于方程和方程是“友好方程”， 则方程的解为， 将方程改写为， 则，即， 因此方程的解为． 【变式1-5】 【答案】(1)① (2) (3)的值是定值，定值为 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“2阶伴生方程”的定义求出对应方程的解，逐一验证； （2）分别求出两个方程的解，再根据“4阶伴生方程”的定义列方程求的值； （3）分别求出两个方程的解，根据“n阶伴生方程”的定义得到关于、的等式，进而判断是否为定值． 【详解】（1）解：∵， ∴． 由“2阶伴生方程”定义，得，则． ①解 ， ，符合； ② ， ，不符合； ③ ， ，不符合． 故答案为：①； （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． 由“4阶伴生方程”定义，得， 解得； （3）解：， 去分母：， ∴． ， ， ， ， ∵， ∴． 由题意，（为定值） ， ， ， 则． 由，得，代入， ， ， ， 故当任意满足的值，的值是定值，定值为． ▌题型06 绝对值方程 【典例1】 【答案】或 【分析】找出每个绝对值部分取到0时x的值，进行分类讨论即可． 【详解】解：k为常数，， 当时，， 当时，， 当时，方程化为， 解得，满足， 当时，方程化为， 解得，满足， 当时，方程化为， 解得，若，则分母为0，无解，不满足恒成立，舍去． 【变式1-1】 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义判断的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，不满足；当时，，满足条件；当时，，满足条件； ∴满足的的取值范围是． 【变式1-2】 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，列出条件求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， ∴的值为4． 【变式1-3】 【答案】(1)或 (2)或 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 【变式1-4】 【答案】(1) 或 (2) 整数的值为或 【分析】（1）根据题意可得或，解方程即可得到答案； （2）仿照题意解方程得或，再根据方程的解为正整数得到，，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， ∵原方程的解为正整数，a是整数， ∴，， ∴或． 【变式1-5】 【答案】(1)或 (2)①；②． 【分析】（1）首先认真审题，根据绝对值的意义去绝对值，化为一元一次方程即可求解； （2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为为，解得； 当时，原方程可化为为，解得； ∴原方程的解是或； （2）解：∵， ∴当，即时，方程无解； 当，即时，方程有解； 故答案为：①；②． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次方程的解法专项 （题型突破·举一反三） 题型01 解一元一次方程——合并同类项与移项 题型02 解一元一次方程——去括号 题型03 解一元一次方程——去分母 题型04 已知一元一次方程的解，求参数 题型05 一元一次方程解的关系 题型06 绝对值方程 ▌题型01 解一元一次方程——合并同类项与移项 1.本质与原理 合并同类项与移项是解一元一次方程最基础的两个步骤。合并同类项的依据是乘法分配律的逆运算，将方程中含未知数的项和常数项分别合并，使方程简化为 的形式。移项的依据是等式的基本性质1——等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，等式仍然成立。移项的本质是：将方程中的某一项从等号一边移到另一边，同时改变该项的符号。移项的目的是将含未知数的项集中在等号一边，常数项集中在另一边。 2.深度识别特征 方程形式较简单，含未知数的项和常数项分布在等号两边。 方程中不含括号或分母，或括号、分母已在前一步处理完毕。 方程中同一未知数的项可以合并，常数项也可以合并。 常见形式如 或 。 3.操作细化步骤 观察方程结构：确定含未知数的项和常数项分别位于等号哪一边。 移项：将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边。移项时必须改变符号——原来在左边的项移到右边要变号，原来在右边的项移到左边也要变号。 合并同类项：将等号左边的含未知数项合并为一项，等号右边的常数项合并为一项，得到 的形式。 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数 ，得到 。 检验：将求得的解代入原方程，验证左右两边是否相等。 4.易错点与注意事项 移项不变号：这是最常见的错误。移项必须变号，不变号就变成了“搬家”而非“移项”。 移项与加法交换律混淆：在同一侧交换项的位置不需要变号（那是加法交换律），只有跨过等号移动才需要变号。 合并同类项时符号处理：合并时系数连同符号一起相加，不要遗漏负号。 系数化为1时的除法：方程两边同时除以系数，注意除数不能为0。 未知数在等号右边：习惯上将未知数移到左边，但若右边系数更简单，也可将未知数集中在右边，最后再交换等号两边。 5.与其他方法的联系 是后续“去括号” “去分母”解方程的最后两个步骤——无论方程多复杂，最终都要通过移项和合并同类项化为 。 与“整式加减”中的合并同类项直接相关，但注意：解方程中的合并是在等式两边分别进行的，而不是整式的加减运算。 与“等式的基本性质”紧密相连——移项的依据就是等式性质1。 6.变化形式 未知数系数为分数：如 ，移项后合并同类项需通分。 未知数系数为小数：如 ，移项合并后系数化为1时需做小数除法。 未知数出现在等号两边且系数相同：如 ，移项合并后得 ，方程无解。 恒等式：如 ，移项合并后得 ，方程有无数解。 【典例1】解方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式1-1】解方程． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式1-2】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)． (2)． (3)． (4)． 【分析】（1）直接移项计算即可得结果； （2） 先去分母，再移项合并同类项，系数化为1求解； （3）移项合并同类项，系数化为1求解； （4）先去分母，再移项合并同类项，系数化为1求解． 【详解】（1）解：                  ． （2）解： 两边同乘18去分母得： 移项及合并得： 系数化为1得： ． （3）解： 移项及合并得： 系数化为1得：． （4）解： 两边同乘3去分母得： 移项及合并得： 系数化为1得：． 【变式1-3】观察下列两个等式：，，给出定义如下： 我们称使等式成立的两个数，为“挽手数对”，记为． 如：数对，都是“挽手数对”． (1)数对，中是“挽手数对”的是_____． (2)若是“挽手数对”，则的值为______． (3)若是“挽手数对”中的一个数，求这个“挽手数对”． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据“挽手数对”的定义分别求解即可； （2）根据“挽手数对”的定义列出方程，解方程求出的值即可； （3）设这个“挽手数对”为或，根据“挽手数对”的定义列出方程，解方程分别求出、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴不是“挽手数对”； ∵，，， ∴是“挽手数对”． （2）解：∵是“挽手数对”， ∴， 解得：． （3）解：∵是“挽手数对”中的一个数， ∴设这个“挽手数对”为或， 当这个“挽手数对”为时，， 解得：， ∴这个“挽手数对”为； 当这个“挽手数对”为时，， 解得：， ∴这个“挽手数对”为； 综上所述：这个“挽手数对”为或． 【变式1-4】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆． 如：☆． (1)求☆的值； (2)若☆☆，求的值； (3)若☆，☆（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用已知新定义变形，得出关于的方程求解即可； （3）已知等式利用新定义表示出，，然后用作差法比较即可． 【详解】（1）解：☆． （2）解：☆ ☆ 解得． （3）解：由题意， ， ， ． ▌题型02 解一元一次方程——去括号 1.本质与原理 去括号是解一元一次方程的重要步骤，其依据是乘法分配律和去括号法则。当方程中含有括号时，需要先去括号才能进行移项和合并同类项。去括号法则与整式加减中的去括号完全相同： 括号前是“+”号：去掉括号，括号内各项符号不变。 括号前是“-”号：去掉括号，括号内各项符号都改变。 括号前有数字因数：先用分配律将因数乘入括号内每一项，再去括号。 2.深度识别特征 方程中含有括号，如 或 。 括号前可能有“+” “-”号或数字因数。 可能有多层括号嵌套，如 。 括号内含有未知数和常数项。 3.操作细化步骤 确定去括号的顺序：一般从内层括号开始，逐层向外去括号；也可从外层开始，但需注意符号传递。 处理括号前的系数：若括号前有数字因数，先用分配律将因数乘入括号内每一项，注意符号。 按法则去括号： 括号前是“+”：直接去掉括号和“+”，括号内各项符号不变。 括号前是“-”：去掉括号和“-”，括号内每一项都变号。 移项：将含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边（注意变号）。 合并同类项：分别合并含未知数的项和常数项。 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数。 检验：将解代入原方程验证。 4.易错点与注意事项 括号前是“-”时只变第一项符号：必须每一项都变号，不能只变第一项。 括号前有系数时漏乘：如 应得 ，而不是 。 系数为负数时的符号处理：如 ，既要乘系数又要变号。 多层括号的符号传递：从内向外逐层处理，每层都要按法则操作，不能跳层。 去括号后忘记移项变号：去括号只是解方程的一步，后续移项仍需变号。 5.与其他方法的联系 与“整式加减——去括号”完全一致，但注意：解方程中去括号后还需要继续解方程，而整式加减中去括号后只需合并同类项。 与“去分母”常常配合使用——若方程既有分母又有括号，通常先去分母再去括号。 是“合并同类项与移项”的前置步骤——去括号后才能进行移项和合并。 6.变化形式 多层括号：如 ，需从内向外逐层去括号。 括号前有分数系数：如 ，先去括号（或先去分母）。 括号内含有多个未知数项：如 ，去括号后需仔细合并。 去括号与去分母的顺序选择：有时先去括号更简单，有时先去分母更简单，需根据方程特点灵活选择。 【典例1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1-1】方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤解方程，即可得出答案． 【详解】解： 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得． 【变式1-2】若数满足，则称“”为“等效数对”，如“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效数对”． (1)通过计算判断“3，2.5”是不是“等效数对”． (2)若“”是“等效数对”，求的值． (3)已知“”为“等效数对”，求的值． 【答案】(1) “3，2.5”不是“等效数对” (2) (3) 【分析】（1）计算3与2.5的和与积，对比是否相等，结合“等效数对”定义判断； （2）根据“等效数对”定义列一元一次方程，求解得x的值； （3）将代数式变形为含与的结构，代入整体计算． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴ “3，2.5”不是“等效数对”； （2）解：∵ “”是“等效数对”， ∴， ， ， 解得； （3）解：∵“”为“等效数对”， ∴， ∴ ． 【变式1-3】定义一种新运算：，如．请解决下列问题： (1)直接写出结果：_____________；_____________． (2)若关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【答案】(1)；18 (2)2 【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）利用新定义得出一元一次方程，解方程求出，解第二个方程得出，根据两方程的解相同得出，得出，然后整体代入即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： 解得 解方程得 ∵两方程的解相同， ∴ ∴ ∴． 【变式1-4】已知，解答下列问题： (1)当取何值时，？ (2)当取何值时，比大4？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 解得， 即当时，； （2）解：∵，且比大， ∴， 解得， 即当时，比大． 【变式1-5】若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的“后移方程”． (1)方程________（填“是”或“不是”）方程的“后移方程”，并说明理由？ (2)若关于x的方程是方程的“后移方程”，试求m的值． 【答案】(1) 方程是方程的“后移方程”，理由如下： 解方程得，解方程得， ∵， ∴方程是方程的“后移方程”； (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义： （1）分别解两个方程求出对应方程的解，再根据“后移方程”的定义判断即可； （2）先解方程得到，则根据“后移方程”的定义得到方程的解为，把代入方程中求出m的值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 解得， ∵关于x的方程是方程的“后移方程”， ∴关于x的方程的解为， ∴， 解得． ▌题型03 解一元一次方程——去分母 1.本质与原理 去分母是解含有分数系数的一元一次方程的关键步骤。其依据是等式的基本性质2——等式两边同时乘以同一个不为0的数，等式仍然成立。去分母的目的是将方程中的分数系数化为整数系数，从而简化计算。具体做法是：方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数，使每一项都化为整数。 2.深度识别特征 方程中含有分数系数，如 或 。 分母可能为整数，也可能为小数（需先化为分数）。 方程中可能同时含有分母和括号。 分子可能是一个多项式（如 ），去分母时需加括号。 3.操作细化步骤 确定所有分母：找出方程中所有分母，包括整数分母和隐含分母。 求最小公倍数：求出所有分母的最小公倍数。 方程两边同乘最小公倍数：将方程两边每一项都乘以最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项。 约分：每一项乘以最小公倍数后，与分母约分，化为整数系数。 分子加括号：若分子是多项式，去分母后要加上括号，再去括号。 去括号：按去括号法则展开括号。 移项：将含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边。 合并同类项：分别合并含未知数的项和常数项。 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数。 检验：将解代入原方程验证。 4.易错点与注意事项 漏乘不含分母的项：这是最常见的错误。方程两边的每一项都要乘以最小公倍数，不含分母的常数项也不例外。 分子是多项式时忘记加括号：如 ，必须加括号，否则会漏乘。 去分母与去括号的顺序混淆：去分母后，分子是多项式的要加括号，再去括号。 最小公倍数求错：要准确求出所有分母的最小公倍数，不能遗漏任何一个分母。 分母含小数时未先化整：如分母为0.2，应先化为分数或整数，再求最小公倍数。 去分母后符号错误：去分母时每一项都乘以正数（最小公倍数），不改变符号；但若乘以负数，则所有项都要变号。 5.与其他方法的联系 是“去括号”的前置步骤——通常先去分母再去括号，但有时先去括号更简单。 与“等式的基本性质2”直接相关——去分母的依据就是等式性质2。 与“整式加减”中的通分不同——去分母是等式两边同乘，通分是分数加减运算。 是解方程一般步骤中最容易出错的一步，需要特别细心。 6.变化形式 分母为小数：如 ，需先利用分数基本性质将分母化为整数。 分母中含未知数：若分母含未知数，则不是一元一次方程（可能是分式方程），不在本章讨论范围。 分子分母含分数：如 ，需先化简再解。 去分母与去括号的顺序选择：若方程中既有分母又有括号，可先去分母再去括号，也可先去括号再去分母，需比较哪种更简便。 【典例1】解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为1得：； （2）解：移项得：， 整理得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：． 【变式1-1】解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分母2和3的最小公倍数为6，去分母时需方程两边每一项同乘6，不可漏乘常数项． 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 【变式1-2】解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1-3】解方程： (1)； (2)=+． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：； （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为得：． 【变式1-4】定义：若代数式A和代数式B满足（n为正整数），则称A是B的n阶关系式．例如：，我们就称是的1阶关系式． 根据上述知识，解答以下问题： (1)是的 阶关系式； (2)若是的3阶关系式，求x 的值； (3)若关于a，b（，m，n为整数）的代数式是的k 阶关系式，求k 的值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】（1）计算两式的差，根据n阶关系式的定义直接得到阶数； （2）根据3阶关系式的定义列方程，求解x的值； （3）根据k阶关系式的定义列等式，令含a，b的项系数为0，求m，n后计算k的值． 【详解】（1）解：∵， ∴是的7阶关系式； （2）解：根据题意，得 ， 去分母，得， 整理，得， 解得 ； （3）解： 由题意得：， 整理得：， ∵k为固定正整数，与a，b的取值无关，且， ∴含a，b的项的系数均为0，即且， 解得， 将，代入，得， 综上所述，． 【变式1-5】在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)第________步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确求解过程． 【答案】(1)二 (2)解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【分析】（1）由去括号法则验证即可得到第二步开始出现错误； （2）由一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：第二步中去括号符号错误， 故题目第二步开始出现错误； （2）略 【变式1-6】阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例题分析：例如：方程的解是， 方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)①方程和方程是不是“值1方程”？________________（选填“是”或“不是”）； ②方程和方程是“值________________方程”． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 【答案】(1)①是；②6 (2)34或18 【分析】（1）①先求出各个方程的解，再根据“值1方程”的定义进行判断即可； ②先求出各个方程的解，再根据“值Q方程”的定义进行判断即可； （2）根据“值2方程”的定义得出，去掉绝对值符号求出a的值即可． 【详解】（1）①解：方程的解为，方程的解为， ， ∴方程和方程是 “值1方程”． ②解：方程的解为，的解为， ， ∴方程和方程是 “值6方程”． （2）解：∵， ∴． 解得． ∵，解得． ∵关于x的一元一次方程和是“值2方程”， ∴． ∴． 当时，． 当时，． ∴a的值为34或18． 【变式1-7】定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________． 【答案】(1)方程与方程是互为“毓德方程” (2) (3) 【分析】（1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可； （3）先求出的解，根据“毓德方程”的定义，得到的解，进而得到中的值，进一步求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得：； 解方程，得：， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得， 解方程得， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴； （3）解：解方程得， ∵关于的方程与互为“毓德方程”， ∴的解为， ∵， ∴ ∴， 解得：． ▌题型04 已知一元一次方程的解，求参数 1.本质与原理 这类题型给出一个含参数的一元一次方程，并已知它的解（如 ），要求确定参数的值。其本质是：方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值。因此，将已知解代入原方程，即可得到一个关于参数的新方程，解这个新方程即可求出参数的值。这是方程思想的逆向应用——从“解方程”到“方程的解已知，反求参数”。 2.深度识别特征 题目中明确给出“方程的解是 ”或“关于 的方程……的解为 ”。 方程中含有参数（如 、、 等），要求确定参数的值。 有时题目不直接给出解，而是给出“解满足某种条件”（如解为正数、解为整数等）。 常见表述：“若 是方程 的解，求 的值。” 3.操作细化步骤 确认方程和解：明确哪个是方程，哪个是已知的解。 代入：将已知的解 代入原方程，替换所有 。 得到关于参数的新方程：代入后，原方程变为一个含参数的等式。 解新方程：将新方程化简，求出参数的值。 检验：将求得的参数代回原方程，验证 是否确实是方程的解。 4.易错点与注意事项 混淆参数与未知数：在代入时， 是已知的解（具体数值），参数（如 ）才是要求的未知数。 代入时符号错误：将 代入时，注意 的系数和符号，如 代入 得 。 方程中参数出现在分母：若参数在分母中，需注意参数不能为0（否则方程无意义）。 解的条件：若题目要求“解为正数”或“解为整数”，需在求出参数后，进一步利用条件筛选。 多参数问题：若方程中含有两个参数，通常需要两个条件（如两个不同的解）才能确定两个参数。 5.与其他方法的联系 是“一元一次方程解的关系”的基础——已知一个方程的解求参数，已知两个方程解的关系求参数。 与“整式加减中不含某一项”的逆向思维类似——都是将已知条件转化为方程求解。 与“绝对值方程”可结合——若方程中含绝对值，已知解求参数时需注意绝对值的非负性。 6.变化形式 已知解求参数的值：最基本的形式。 已知解求参数的取值范围：如“解为正数”，先求参数，再列不等式。 已知解求代数式的值：先求参数，再将参数代入目标代数式求值。 两个方程同解：两个方程的解相同，先解其中一个不含参数的方程，再将解代入另一个方程求参数。 解为整数：先求参数，再根据解为整数筛选参数的整数值。 【典例1】若方程的解为，则_____ 【答案】1 【详解】解：， 去分母得，， ∴， ∵解为， ∴， ∴． 【变式1-1】若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 【变式1-2】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个方程结构的一致性，将第二个方程中的整体看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解即可求解． 【详解】解：观察关于的方程，其结构与已知关于的方程完全一致， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得． 【变式1-3】已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先根据多项式加减法则化简和，再逐个验证三个说法的正确性，即可求解． 【详解】解：∵，， 故， ， ， ； ， ， ， ； ①若，即， 解得；故①说法正确． ②， ， ； 若的值与的值无关，则含项的系数为， 即，， 解得，， ∴，故②说法正确． ③， ， ， 整理得， 故， ∴； ∵是正整数，是整数， 故的值可以是、、， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 符合条件的整数的值有个，故③说法正确． 综上，个说法都正确． 【变式1-4】数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学：“我发现，当正整数m取最大值时， ；当正整数m取最小值时，” 给出下列三个结论：① ；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．根据甲、乙两人的对话，上述结论中，正确的是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】先整理原方程，结合一元一次方程有唯一解的条件，代入已知解得到m与n的关系，再逐一验证三个结论即可． 【详解】解：整理原方程，移项得：， ∵ 方程有唯一解， ∴ ，即 ， 将代入化简后的方程，得 ，整理得 ， 验证结论①：若 ，代入得 ，解得，与矛盾， ∴ ，①正确； 验证结论②：根据乙的描述，正整数取最小值时，将 代入 ，得 ，解得 ，即的最小值为，不是 ， ∴ ②错误； 验证结论③：根据乙的描述，正整数取最大值时 ，将 代入 ，得 ，解得 ，即的最大值为 ， ∵ 是正整数，且 ， ∴ 满足条件的为 ，共个，③正确； 综上，正确结论为①③． 【变式1-5】定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 【答案】(1)方程是“元宵方程”， 解：解方程，得， 又∵， ∴方程是“元宵方程”． (2)有，该方程的解为 (3) 【分析】本题根据“元宵方程”的定义解题，核心思路为：对于，若方程的解满足，则为元宵方程． （1）先求解给定方程，再计算，对比验证即可； （2）根据元宵方程的定义建立关于的等式，代入求出，再得到方程的解； （3）先根据元宵方程的定义推导出，代入关于的方程化简求解． 【详解】（1）略 （2）解：若是“元宵方程”，则满足方程的解， 又∵的解为， ∴代入得：， 解得，因此存在符合要求的“元宵方程”， ∴方程的解为． （3）解：∵是“元宵方程”， ∴，整理得， 将代入关于的方程得：， 解得． 【变式1-6】阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】求已知方程的解，再根据“成双方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得， 根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2， ∴另一个方程的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解方程得， ∵两个方程互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程得， 解得． 【变式1-7】定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“毓德方程”，求m的值． 【答案】(1)方程与方程互为“毓德方程” (2) 【分析】（1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可； （2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程，得 ； 解方程，得 ， ∵， ∴方程与方程是互为“毓德方程”； （2）解：解方程得 ， 解方程，得 ， ∵关于的方程与方程互为“毓德方程”， ∴， ∴． 【变式1-8】新定义：是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，若满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“和美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，，则方程为一元一次方程的“和美方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“和美方程”？请直接写出正确的序号________． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”，请求出a的值； (3)若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”，求关于t的方程的解． 【答案】(1)② (2)或17 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“和美方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出一元一次方程，得，再解方程①，②根据“和美方程”的定义去判断即可； （2）解出方程的解为，一元一次方程的解是或，得到或，求出a的值即可； （3）解一元一次方程，得，由，得到，进而推导出，得到，要使成立，则不能含有m，得到，得，再将代入，解得，即可解答． 【详解】（1）解：解，得， 解，得， ∵当，时，， ∴不是一元一次方程的“和美方程”； 解，得， 当，时，， ∴是一元一次方程的“和美方程”； 故答案为：②． （2）解：， 去分母，得， 移项及合并，得， 系数化为1，得， 由，得， 即或， 解得或， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”， ∴， 即或， 解得或17； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 由，得， 解得， ∵若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”， ∴，即， 化简，得， ∵不等式对任意数都成立， ∴的系数必须为0，即， 解得， 将代入，得， 解得． ▌题型05 一元一次方程解的关系 1.本质与原理 这类题型涉及两个（或多个）一元一次方程，要求根据它们的解之间的关系（如“解相同” “解互为相反数” “解之和为某值”等）来确定参数的值。其本质是：先分别求出各方程的解（用参数表示），再根据解的关系建立关于参数的方程，解出参数。这是方程思想的综合应用，需要同时处理多个方程和多个参数。 2.深度识别特征 题目中给出两个方程，含有参数（如 ），并说明它们的解满足某种关系。 常见表述：“两个方程的解相同” “方程①的解是方程②的解的2倍” “两个方程的解互为相反数”等。 有时给出一个含参数的方程和一个不含参数的方程，要求根据解的关系求参数。 也可能涉及两个以上方程。 3.操作细化步骤 分别解两个方程：若方程中含参数，解出的解中含有参数（如 ）；若方程中不含参数，解出一个具体数值。 根据解的关系列方程： 解相同：令两个解相等，得到关于参数的方程。 解互为相反数：令两个解之和为0。 解之和为某值：令两个解之和等于该值。 解之差为某值：令两个解之差等于该值。 一个解是另一个解的k倍：令一个解等于另一个解的k倍。 解关于参数的新方程：求出参数的值。 检验：将参数代回原方程，验证解的关系是否成立。 4.易错点与注意事项 解方程时参数处理不当：解含参数方程时，参数视为常数，按正常步骤解出 （用参数表示）。 解的关系表述理解错误：如“解互为相反数”是两解之和为0，“解互为倒数”是两解之积为1，“解相同”是两解相等。 多个参数时条件不足：若有两个参数，通常需要两个独立条件才能确定。 解的范围限制：若解有正负要求，需在最后检验时注意。 方程无解或有无数解的情况：若解方程时出现 或 ，需单独讨论。 5.与其他方法的联系 是“已知一元一次方程的解，求参数”的推广——从一个方程的解到一个方程的解，从一个参数到多个参数。 与“二元一次方程组”的解法有相似之处——都是通过建立方程（组）求解。 与“分类讨论思想”可结合——当解的关系有多种可能时，需分类讨论。 6.变化形式 同解方程：两个方程的解相同，先解不含参数的方程，再代入求参数。 解互为相反数：令两个解之和为0，建立方程求参数。 解互为倒数：令两个解之积为1，建立方程求参数。 一个解比另一个解大（小）某值：令两个解之差等于该值。 两个方程的解满足某种运算关系：如“解之和为5” “解之差为3”等。 【典例1】【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 (1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； (2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“相反方程”的定义得到方程的解，代入即可求出的值； （2）将、看作常数，分别求出方程与的解，再根据“相反方程”的定义得到关于、的方程，即可求解． 【详解】（1）解：方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴方程的解为：， ∴，解得． （2）解：方程的解为：， 方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴， 化简得：， ∴． 【变式1-1】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 【答案】22 【详解】解：解方程，得， 又方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， 把代入，得， 解得． 【变式1-2】若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 【变式1-3】新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出第一个方程的解，再根据“友好方程”的定义进而即可求出m的值； （2）将两个方程的解表示出来，再根据“友好方程”的定义求解即可； （3）根据“友好方程”的定义分情况讨论两个解差的两种不同情况即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， 方程的解为， 把代入，得， 解得； （2）解：， ， 解得， ， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， ， ， ； （3）解：两个方程是“友好方程”，其中一个解为， 另一个解为， 由题意得，两个解的差为， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴的值为或． 【变式1-4】定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)12，或3 (2) (3) 【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论； （2）利用“友好方程”的定义求解的值即可； （3）根据方程可以改写成，利用“友好方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，方程， 解得， 方程的解为， 由于方程与方程是“友好方程”， 则， 解得； 若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为， ①， 解得， ②， 解得， 则或， 故答案为：12；或3； （2）解：方程，解得， 方程解得， 由题意，得， 解得； （3）解：方程解得， 由于方程和方程是“友好方程”， 则方程的解为， 将方程改写为， 则，即， 因此方程的解为． 【变式1-5】定义：若，分别是关于x的方程P、方程Q的解，且（n为非零常数），则称方程P是方程Q的“n阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”． (1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是________（填写序号即可）； ①；②；③； (2)若方程是关于x的方程的“4阶伴生方程”，求k的值； (3)对任意满足的值，关于x的方程都是方程的“n阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)① (2) (3)的值是定值，定值为 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“2阶伴生方程”的定义求出对应方程的解，逐一验证； （2）分别求出两个方程的解，再根据“4阶伴生方程”的定义列方程求的值； （3）分别求出两个方程的解，根据“n阶伴生方程”的定义得到关于、的等式，进而判断是否为定值． 【详解】（1）解：∵， ∴． 由“2阶伴生方程”定义，得，则． ①解 ， ，符合； ② ， ，不符合； ③ ， ，不符合． 故答案为：①； （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． 由“4阶伴生方程”定义，得， 解得； （3）解：， 去分母：， ∴． ， ， ， ， ∵， ∴． 由题意，（为定值） ， ， ， 则． 由，得，代入， ， ， ， 故当任意满足的值，的值是定值，定值为． ▌题型06 绝对值方程 1.本质与原理 绝对值方程是指含有绝对值符号的方程，如 、、 等。解绝对值方程的核心依据是绝对值的定义和几何意义： 代数意义：（当 ），（当 ）。 几何意义： 表示数轴上点 到原点的距离； 表示数轴上 、 两点间的距离。 解绝对值方程的基本思路是：去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为普通的一元一次方程（或方程组）。去掉绝对值的关键是判断绝对值内部代数式的符号，或利用绝对值的几何意义直接求解。 2.深度识别特征 方程中含有绝对值符号，如 、。 绝对值可能出现在方程的一边，也可能两边都有。 方程可能含有多个绝对值，如 。 常见形式：、、。 3.操作细化步骤 类型一：（c为常数） 判断 的符号：若 ，方程无解（绝对值不可能为负）。 若 ，则 ，解出 。 若 ，则 或 ，分别解出两个方程。 综合两个解，得出原方程的解。 类型二： 根据绝对值的性质，若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数。 因此有 或 。 分别解这两个方程，得到原方程的解。 类型三：（多个绝对值） 利用绝对值的几何意义： 表示 到 的距离， 表示 到 的距离。 根据 、 的大小关系和 的值，判断解的存在性： 若 ，方程无解（两点间距离之和不可能小于两点间距离）。 若 ，则 在 和 之间（包括端点），有无数解。 若 ，则 在 和 的两侧各有一个解，可分类讨论去掉绝对值求解。 分类讨论：令每个绝对值内部为0，求出零点，将数轴分段，在各段内去掉绝对值，解方程，并检验解是否在该段内。 4.易错点与注意事项 忽略绝对值非负性：若 中 ，方程无解，不能继续解。 漏解：（c>0）有两个解，不能只解一个。 分类讨论不完整：多个绝对值时，需按零点分段讨论，不重不漏。 检验解是否在讨论的区间内：分类讨论解出的解必须在该类讨论的区间内才有效。 几何意义与代数解法混淆：几何意义适合快速判断解的个数和大致位置，代数解法适合精确求解，两者可结合使用。 5.与其他方法的联系 是“绝对值”知识与“一元一次方程”的综合运用，与第二章的绝对值化简密切相关。 与“分类讨论思想”直接相关——多个绝对值时需要零点分段分类讨论。 与“数轴”结合——几何意义就是利用数轴上的距离。 是后续学习“绝对值不等式”的基础。 6.变化形式 含参数的绝对值方程：如 ，需讨论 的符号。 绝对值与分数结合：如 ，先去绝对值再解。 三个或更多绝对值：如 ，需更复杂的分段讨论。 绝对值方程的应用：如“数轴上到两点距离之和为定值的点”，可用绝对值方程求解。 与方程解的关系结合：如“绝对值方程的解满足某种条件，求参数”。 【典例1】关于x的方程（k为常数，）的解为___________（用含k的代数式表示）． 【答案】或 【分析】找出每个绝对值部分取到0时x的值，进行分类讨论即可． 【详解】解：k为常数，， 当时，， 当时，， 当时，方程化为， 解得，满足， 当时，方程化为， 解得，满足， 当时，方程化为， 解得，若，则分母为0，无解，不满足恒成立，舍去． 【变式1-1】如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义判断的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，不满足；当时，，满足条件；当时，，满足条件； ∴满足的的取值范围是． 【变式1-2】已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，列出条件求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， ∴的值为4． 【变式1-3】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：对于方程， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． （2）解：对于方程， 两边同乘，得， 由绝对值的性质可得， 当时，解得， 当时，解得， 即原方程的解为或． 【变式1-4】阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 【答案】(1) 或 (2) 整数的值为或 【分析】（1）根据题意可得或，解方程即可得到答案； （2）仿照题意解方程得或，再根据方程的解为正整数得到，，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或； （2）解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， ∵原方程的解为正整数，a是整数， ∴，， ∴或． 【变式1-5】先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)已知关于的方程． ①若方程无解，则的取值范围是________； ②若方程有解，则的取值范围是________． 【答案】(1)或 (2)①；②． 【分析】（1）首先认真审题，根据绝对值的意义去绝对值，化为一元一次方程即可求解； （2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为为，解得； 当时，原方程可化为为，解得； ∴原方程的解是或； （2）解：∵， ∴当，即时，方程无解； 当，即时，方程有解； 故答案为：①；②． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次方程的解法专项 （题型突破·举一反三） 题型01 解一元一次方程——合并同类项与移项 题型02 解一元一次方程——去括号 题型03 解一元一次方程——去分母 题型04 已知一元一次方程的解，求参数 题型05 一元一次方程解的关系 题型06 绝对值方程 ▌题型01 解一元一次方程——合并同类项与移项 1.本质与原理 合并同类项与移项是解一元一次方程最基础的两个步骤。合并同类项的依据是乘法分配律的逆运算，将方程中含未知数的项和常数项分别合并，使方程简化为 的形式。移项的依据是等式的基本性质1——等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，等式仍然成立。移项的本质是：将方程中的某一项从等号一边移到另一边，同时改变该项的符号。移项的目的是将含未知数的项集中在等号一边，常数项集中在另一边。 2.深度识别特征 方程形式较简单，含未知数的项和常数项分布在等号两边。 方程中不含括号或分母，或括号、分母已在前一步处理完毕。 方程中同一未知数的项可以合并，常数项也可以合并。 常见形式如 或 。 3.操作细化步骤 观察方程结构：确定含未知数的项和常数项分别位于等号哪一边。 移项：将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边。移项时必须改变符号——原来在左边的项移到右边要变号，原来在右边的项移到左边也要变号。 合并同类项：将等号左边的含未知数项合并为一项，等号右边的常数项合并为一项，得到 的形式。 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数 ，得到 。 检验：将求得的解代入原方程，验证左右两边是否相等。 4.易错点与注意事项 移项不变号：这是最常见的错误。移项必须变号，不变号就变成了“搬家”而非“移项”。 移项与加法交换律混淆：在同一侧交换项的位置不需要变号（那是加法交换律），只有跨过等号移动才需要变号。 合并同类项时符号处理：合并时系数连同符号一起相加，不要遗漏负号。 系数化为1时的除法：方程两边同时除以系数，注意除数不能为0。 未知数在等号右边：习惯上将未知数移到左边，但若右边系数更简单，也可将未知数集中在右边，最后再交换等号两边。 5.与其他方法的联系 是后续“去括号” “去分母”解方程的最后两个步骤——无论方程多复杂，最终都要通过移项和合并同类项化为 。 与“整式加减”中的合并同类项直接相关，但注意：解方程中的合并是在等式两边分别进行的，而不是整式的加减运算。 与“等式的基本性质”紧密相连——移项的依据就是等式性质1。 6.变化形式 未知数系数为分数：如 ，移项后合并同类项需通分。 未知数系数为小数：如 ，移项合并后系数化为1时需做小数除法。 未知数出现在等号两边且系数相同：如 ，移项合并后得 ，方程无解。 恒等式：如 ，移项合并后得 ，方程有无数解。 【典例1】解方程． (1) (2) (3) (4) 【变式1-1】解方程． (1) (2) (3) 【变式1-2】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-3】观察下列两个等式：，，给出定义如下： 我们称使等式成立的两个数，为“挽手数对”，记为． 如：数对，都是“挽手数对”． (1)数对，中是“挽手数对”的是_____． (2)若是“挽手数对”，则的值为______． (3)若是“挽手数对”中的一个数，求这个“挽手数对”． 【变式1-4】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆． 如：☆． (1)求☆的值； (2)若☆☆，求的值； (3)若☆，☆（其中为有理数），试比较，的大小． ▌题型02 解一元一次方程——去括号 1.本质与原理 去括号是解一元一次方程的重要步骤，其依据是乘法分配律和去括号法则。当方程中含有括号时，需要先去括号才能进行移项和合并同类项。去括号法则与整式加减中的去括号完全相同： 括号前是“+”号：去掉括号，括号内各项符号不变。 括号前是“-”号：去掉括号，括号内各项符号都改变。 括号前有数字因数：先用分配律将因数乘入括号内每一项，再去括号。 2.深度识别特征 方程中含有括号，如 或 。 括号前可能有“+” “-”号或数字因数。 可能有多层括号嵌套，如 。 括号内含有未知数和常数项。 3.操作细化步骤 确定去括号的顺序：一般从内层括号开始，逐层向外去括号；也可从外层开始，但需注意符号传递。 处理括号前的系数：若括号前有数字因数，先用分配律将因数乘入括号内每一项，注意符号。 按法则去括号： 括号前是“+”：直接去掉括号和“+”，括号内各项符号不变。 括号前是“-”：去掉括号和“-”，括号内每一项都变号。 移项：将含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边（注意变号）。 合并同类项：分别合并含未知数的项和常数项。 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数。 检验：将解代入原方程验证。 4.易错点与注意事项 括号前是“-”时只变第一项符号：必须每一项都变号，不能只变第一项。 括号前有系数时漏乘：如 应得 ，而不是 。 系数为负数时的符号处理：如 ，既要乘系数又要变号。 多层括号的符号传递：从内向外逐层处理，每层都要按法则操作，不能跳层。 去括号后忘记移项变号：去括号只是解方程的一步，后续移项仍需变号。 5.与其他方法的联系 与“整式加减——去括号”完全一致，但注意：解方程中去括号后还需要继续解方程，而整式加减中去括号后只需合并同类项。 与“去分母”常常配合使用——若方程既有分母又有括号，通常先去分母再去括号。 是“合并同类项与移项”的前置步骤——去括号后才能进行移项和合并。 6.变化形式 多层括号：如 ，需从内向外逐层去括号。 括号前有分数系数：如 ，先去括号（或先去分母）。 括号内含有多个未知数项：如 ，去括号后需仔细合并。 去括号与去分母的顺序选择：有时先去括号更简单，有时先去分母更简单，需根据方程特点灵活选择。 【典例1】解方程： (1)； (2)． 【变式1-1】方程的解是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】若数满足，则称“”为“等效数对”，如“2，2”，因为，所以“2，2”是“等效数对”． (1)通过计算判断“3，2.5”是不是“等效数对”． (2)若“”是“等效数对”，求的值． (3)已知“”为“等效数对”，求的值． 【变式1-3】定义一种新运算：，如．请解决下列问题： (1)直接写出结果：_____________；_____________． (2)若关于的方程的解与方程的解相同，求的值． 【变式1-4】已知，解答下列问题： (1)当取何值时，？ (2)当取何值时，比大4？ 【变式1-5】若两个一元一次方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程是方程的“后移方程”． (1)方程________（填“是”或“不是”）方程的“后移方程”，并说明理由？ (2)若关于x的方程是方程的“后移方程”，试求m的值． ▌题型03 解一元一次方程——去分母 1.本质与原理 去分母是解含有分数系数的一元一次方程的关键步骤。其依据是等式的基本性质2——等式两边同时乘以同一个不为0的数，等式仍然成立。去分母的目的是将方程中的分数系数化为整数系数，从而简化计算。具体做法是：方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数，使每一项都化为整数。 2.深度识别特征 方程中含有分数系数，如 或 。 分母可能为整数，也可能为小数（需先化为分数）。 方程中可能同时含有分母和括号。 分子可能是一个多项式（如 ），去分母时需加括号。 3.操作细化步骤 确定所有分母：找出方程中所有分母，包括整数分母和隐含分母。 求最小公倍数：求出所有分母的最小公倍数。 方程两边同乘最小公倍数：将方程两边每一项都乘以最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项。 约分：每一项乘以最小公倍数后，与分母约分，化为整数系数。 分子加括号：若分子是多项式，去分母后要加上括号，再去括号。 去括号：按去括号法则展开括号。 移项：将含未知数的项移到等号一边，常数项移到另一边。 合并同类项：分别合并含未知数的项和常数项。 系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数。 检验：将解代入原方程验证。 4.易错点与注意事项 漏乘不含分母的项：这是最常见的错误。方程两边的每一项都要乘以最小公倍数，不含分母的常数项也不例外。 分子是多项式时忘记加括号：如 ，必须加括号，否则会漏乘。 去分母与去括号的顺序混淆：去分母后，分子是多项式的要加括号，再去括号。 最小公倍数求错：要准确求出所有分母的最小公倍数，不能遗漏任何一个分母。 分母含小数时未先化整：如分母为0.2，应先化为分数或整数，再求最小公倍数。 去分母后符号错误：去分母时每一项都乘以正数（最小公倍数），不改变符号；但若乘以负数，则所有项都要变号。 5.与其他方法的联系 是“去括号”的前置步骤——通常先去分母再去括号，但有时先去括号更简单。 与“等式的基本性质2”直接相关——去分母的依据就是等式性质2。 与“整式加减”中的通分不同——去分母是等式两边同乘，通分是分数加减运算。 是解方程一般步骤中最容易出错的一步，需要特别细心。 6.变化形式 分母为小数：如 ，需先利用分数基本性质将分母化为整数。 分母中含未知数：若分母含未知数，则不是一元一次方程（可能是分式方程），不在本章讨论范围。 分子分母含分数：如 ，需先化简再解。 去分母与去括号的顺序选择：若方程中既有分母又有括号，可先去分母再去括号，也可先去括号再去分母，需比较哪种更简便。 【典例1】解下列方程： (1) (2) 【变式1-1】解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【变式1-2】解方程： (1) (2)． 【变式1-3】解方程： (1)； (2)=+． 【变式1-4】定义：若代数式A和代数式B满足（n为正整数），则称A是B的n阶关系式．例如：，我们就称是的1阶关系式． 根据上述知识，解答以下问题： (1)是的 阶关系式； (2)若是的3阶关系式，求x 的值； (3)若关于a，b（，m，n为整数）的代数式是的k 阶关系式，求k 的值． 【变式1-5】在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)第________步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确求解过程． 【变式1-6】阅读与思考 请认真阅读并完成相应的任务． 规定：如果将两个一元一次方程的解相减，差的绝对值为Q，我们称这两个方程为“值Q方程”． 例题分析：例如：方程的解是， 方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“值3方程”． 任务： (1)①方程和方程是不是“值1方程”？________________（选填“是”或“不是”）； ②方程和方程是“值________________方程”． (2)若关于x的一元一次方程和是“值2方程”，求a的值． 【变式1-7】定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于的方程与方程互为“毓德方程”，求的值； (3)若关于的方程与互为“毓德方程”，则关于的方程的解为________． ▌题型04 已知一元一次方程的解，求参数 1.本质与原理 这类题型给出一个含参数的一元一次方程，并已知它的解（如 ），要求确定参数的值。其本质是：方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值。因此，将已知解代入原方程，即可得到一个关于参数的新方程，解这个新方程即可求出参数的值。这是方程思想的逆向应用——从“解方程”到“方程的解已知，反求参数”。 2.深度识别特征 题目中明确给出“方程的解是 ”或“关于 的方程……的解为 ”。 方程中含有参数（如 、、 等），要求确定参数的值。 有时题目不直接给出解，而是给出“解满足某种条件”（如解为正数、解为整数等）。 常见表述：“若 是方程 的解，求 的值。” 3.操作细化步骤 确认方程和解：明确哪个是方程，哪个是已知的解。 代入：将已知的解 代入原方程，替换所有 。 得到关于参数的新方程：代入后，原方程变为一个含参数的等式。 解新方程：将新方程化简，求出参数的值。 检验：将求得的参数代回原方程，验证 是否确实是方程的解。 4.易错点与注意事项 混淆参数与未知数：在代入时， 是已知的解（具体数值），参数（如 ）才是要求的未知数。 代入时符号错误：将 代入时，注意 的系数和符号，如 代入 得 。 方程中参数出现在分母：若参数在分母中，需注意参数不能为0（否则方程无意义）。 解的条件：若题目要求“解为正数”或“解为整数”，需在求出参数后，进一步利用条件筛选。 多参数问题：若方程中含有两个参数，通常需要两个条件（如两个不同的解）才能确定两个参数。 5.与其他方法的联系 是“一元一次方程解的关系”的基础——已知一个方程的解求参数，已知两个方程解的关系求参数。 与“整式加减中不含某一项”的逆向思维类似——都是将已知条件转化为方程求解。 与“绝对值方程”可结合——若方程中含绝对值，已知解求参数时需注意绝对值的非负性。 6.变化形式 已知解求参数的值：最基本的形式。 已知解求参数的取值范围：如“解为正数”，先求参数，再列不等式。 已知解求代数式的值：先求参数，再将参数代入目标代数式求值。 两个方程同解：两个方程的解相同，先解其中一个不含参数的方程，再将解代入另一个方程求参数。 解为整数：先求参数，再根据解为整数筛选参数的整数值。 【典例1】若方程的解为，则_____ 【变式1-1】若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-4】数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学：“我发现，当正整数m取最大值时， ；当正整数m取最小值时，” 给出下列三个结论：① ；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．根据甲、乙两人的对话，上述结论中，正确的是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1-5】定义：若关于的方程的解为，则称这样的方程为“元宵方程”．例如：的解为，而．则方程为“元宵方程”． (1)方程是“元宵方程”吗？请说明理由． (2)若，有符合要求的“元宵方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由． (3)若关于的方程为“元宵方程”，请解关于的方程：． 【变式1-6】阅读下面的内容，并完成相应任务． 成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”． 任务： (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”． (2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值． 【变式1-7】定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“毓德方程”，求m的值． 【变式1-8】新定义：是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，若满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“和美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，，则方程为一元一次方程的“和美方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“和美方程”？请直接写出正确的序号________． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”，请求出a的值； (3)若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”，求关于t的方程的解． ▌题型05 一元一次方程解的关系 1.本质与原理 这类题型涉及两个（或多个）一元一次方程，要求根据它们的解之间的关系（如“解相同” “解互为相反数” “解之和为某值”等）来确定参数的值。其本质是：先分别求出各方程的解（用参数表示），再根据解的关系建立关于参数的方程，解出参数。这是方程思想的综合应用，需要同时处理多个方程和多个参数。 2.深度识别特征 题目中给出两个方程，含有参数（如 ），并说明它们的解满足某种关系。 常见表述：“两个方程的解相同” “方程①的解是方程②的解的2倍” “两个方程的解互为相反数”等。 有时给出一个含参数的方程和一个不含参数的方程，要求根据解的关系求参数。 也可能涉及两个以上方程。 3.操作细化步骤 分别解两个方程：若方程中含参数，解出的解中含有参数（如 ）；若方程中不含参数，解出一个具体数值。 根据解的关系列方程： 解相同：令两个解相等，得到关于参数的方程。 解互为相反数：令两个解之和为0。 解之和为某值：令两个解之和等于该值。 解之差为某值：令两个解之差等于该值。 一个解是另一个解的k倍：令一个解等于另一个解的k倍。 解关于参数的新方程：求出参数的值。 检验：将参数代回原方程，验证解的关系是否成立。 4.易错点与注意事项 解方程时参数处理不当：解含参数方程时，参数视为常数，按正常步骤解出 （用参数表示）。 解的关系表述理解错误：如“解互为相反数”是两解之和为0，“解互为倒数”是两解之积为1，“解相同”是两解相等。 多个参数时条件不足：若有两个参数，通常需要两个独立条件才能确定。 解的范围限制：若解有正负要求，需在最后检验时注意。 方程无解或有无数解的情况：若解方程时出现 或 ，需单独讨论。 5.与其他方法的联系 是“已知一元一次方程的解，求参数”的推广——从一个方程的解到一个方程的解，从一个参数到多个参数。 与“二元一次方程组”的解法有相似之处——都是通过建立方程（组）求解。 与“分类讨论思想”可结合——当解的关系有多种可能时，需分类讨论。 6.变化形式 同解方程：两个方程的解相同，先解不含参数的方程，再代入求参数。 解互为相反数：令两个解之和为0，建立方程求参数。 解互为倒数：令两个解之积为1，建立方程求参数。 一个解比另一个解大（小）某值：令两个解之差等于该值。 两个方程的解满足某种运算关系：如“解之和为5” “解之差为3”等。 【典例1】【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 (1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； (2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 【变式1-1】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”．若关于的方程与方程是“和谐方程”，则______． 【变式1-2】若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【变式1-3】新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值． 【变式1-4】定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 【变式1-5】定义：若，分别是关于x的方程P、方程Q的解，且（n为非零常数），则称方程P是方程Q的“n阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”． (1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是________（填写序号即可）； ①；②；③； (2)若方程是关于x的方程的“4阶伴生方程”，求k的值； (3)对任意满足的值，关于x的方程都是方程的“n阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． ▌题型06 绝对值方程 1.本质与原理 绝对值方程是指含有绝对值符号的方程，如 、、 等。解绝对值方程的核心依据是绝对值的定义和几何意义： 代数意义：（当 ），（当 ）。 几何意义： 表示数轴上点 到原点的距离； 表示数轴上 、 两点间的距离。 解绝对值方程的基本思路是：去掉绝对值符号，将绝对值方程转化为普通的一元一次方程（或方程组）。去掉绝对值的关键是判断绝对值内部代数式的符号，或利用绝对值的几何意义直接求解。 2.深度识别特征 方程中含有绝对值符号，如 、。 绝对值可能出现在方程的一边，也可能两边都有。 方程可能含有多个绝对值，如 。 常见形式：、、。 3.操作细化步骤 类型一：（c为常数） 判断 的符号：若 ，方程无解（绝对值不可能为负）。 若 ，则 ，解出 。 若 ，则 或 ，分别解出两个方程。 综合两个解，得出原方程的解。 类型二： 根据绝对值的性质，若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数。 因此有 或 。 分别解这两个方程，得到原方程的解。 类型三：（多个绝对值） 利用绝对值的几何意义： 表示 到 的距离， 表示 到 的距离。 根据 、 的大小关系和 的值，判断解的存在性： 若 ，方程无解（两点间距离之和不可能小于两点间距离）。 若 ，则 在 和 之间（包括端点），有无数解。 若 ，则 在 和 的两侧各有一个解，可分类讨论去掉绝对值求解。 分类讨论：令每个绝对值内部为0，求出零点，将数轴分段，在各段内去掉绝对值，解方程，并检验解是否在该段内。 4.易错点与注意事项 忽略绝对值非负性：若 中 ，方程无解，不能继续解。 漏解：（c>0）有两个解，不能只解一个。 分类讨论不完整：多个绝对值时，需按零点分段讨论，不重不漏。 检验解是否在讨论的区间内：分类讨论解出的解必须在该类讨论的区间内才有效。 几何意义与代数解法混淆：几何意义适合快速判断解的个数和大致位置，代数解法适合精确求解，两者可结合使用。 5.与其他方法的联系 是“绝对值”知识与“一元一次方程”的综合运用，与第二章的绝对值化简密切相关。 与“分类讨论思想”直接相关——多个绝对值时需要零点分段分类讨论。 与“数轴”结合——几何意义就是利用数轴上的距离。 是后续学习“绝对值不等式”的基础。 6.变化形式 含参数的绝对值方程：如 ，需讨论 的符号。 绝对值与分数结合：如 ，先去绝对值再解。 三个或更多绝对值：如 ，需更复杂的分段讨论。 绝对值方程的应用：如“数轴上到两点距离之和为定值的点”，可用绝对值方程求解。 与方程解的关系结合：如“绝对值方程的解满足某种条件，求参数”。 【典例1】关于x的方程（k为常数，）的解为___________（用含k的代数式表示）． 【变式1-1】如果，那么（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【变式1-3】解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-4】阅读与探究： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，……都是含有绝对值的方程． 怎样求含有绝对值的方程的解呢？ 例：解方程． 思路一：把看作一个整体，根据绝对值的意义，去掉绝对值． 解：依题意得：或 解得：或． 思路二：分和两种情况进行分类讨论，去掉绝对值． 解：当即时，原方程可化为，解得； 当即时，原方程可化为，解得， 原方程的解为或． 应用材料中的方法解决下面的问题： (1)解方程； (2)已知关于x的方程的解为正整数，求整数a的值． 【变式1-5】先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为，解得； 当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：． (2)已知关于的方程． ①若方程无解，则的取值范围是________； ②若方程有解，则的取值范围是________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $