专题11 解一元一次方程的四类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以分类讨论为通法，系统整合复杂方程、含绝对值、参数求解、新定义四类题型，通过典例-变式-压轴三级训练，构建从基础到培优的解题方法体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法指导|分类讨论原则|明确解一元一次方程的底层逻辑| |题型归纳|4题型，每题型1典例+3变式|复杂方程：步骤化求解；绝对值方程：分类讨论+根验证；参数问题：ax=b形式分类；新定义：定义转化+分类讨论|从基础求解到特殊形式、参数分析、新定义拓展，形成递进逻辑链| |压轴挑战|10道综合题|综合应用通法与题型方法|融合多知识点，提升问题解决与创新意识|

专题11 解一元一次方程的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解复杂的一元一次方程 题型二、解含绝对值的一元一次方程 题型三、根据一元一次方程的解求参数 题型四、新定义方程问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解一元一次方程是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕一元一次方程求解展开，其中压轴题还涉及到绝对值方程，解题贯穿基本底线原则：分类讨论。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解复杂的一元一次方程 典例1解下列方程： (1)． (2)． 题型模版 1.特征：解复杂的一元一次方程. 2.方法：根据去括号、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 变式1-1解方程： 变式1-2解方程： (1) (2) 变式1-3解方程： 类型二、解含绝对值的一元一次方程 典例2解方程： 题型模版 1.特征：解含绝对值的一元一次方程. 2.方法：熟练掌握分类讨论，验证根，是解题的关键． 变式2-1解方程： 变式2-2解下列方程：． 题型三、根据一元一次方程的解求参数 典例3已知是关于x的方程，当k、m为何值时，使得： (1)方程只有一个解； (2)方程无解； (3)方程有无数个解． 题型模版 1.特征：根据一元一次方程的解求参数 2.方法：解题的关键是将方程化为形如的形式，然后对系数是否为0进行分类讨论，以确定方程解的情况． 变式3-1若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则k=______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； (3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由． 变式3-2若关于x的一元一次方程的解是，其中a，m，k为常数．是否存在m的值使得关于y的方程无解？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 变式3-3已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求，的值． (2)若关于的方程无解，求的值． 题型四、新定义方程问题 典例4 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． (1)方程与方程___________“美好方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，且比大2，求和的值． 题型模版 1.特征：新定义问题. 2.方法：解题的关键是读懂题中方程的定义，通过分类讨论求解． 变式4-1定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 变式4-2如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若关于x的方程：的解是关于x的方程：的解的3倍， (1)求a的值； (2)若关于y的方程：无解，且，求的值． 2．新定义：是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，若满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“和美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，，则方程为一元一次方程的“和美方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“和美方程”？请直接写出正确的序号________． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”，请求出a的值； (3)若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”，求关于t的方程的解． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 4．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 5．解方程：． 6．【解决问题】 （1）数轴上有理数与1对应的两点之间的距离是___________； （2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离是___________（用含的式子表示）； （3）若数轴上有理数与对应的两点之间的距离是5，求的值，并写出你的计算过程． 【拓展应用】 点是数轴上的三个点，其中，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为． 若点在之间，则__________； 若，则___________． 7．解方程： (1)． (2)． 8．解方程：． 9．综合与实践： 定义：我们称关于x的方程与方程（a、b均为不等于0的整数）互为“交换方程”，如：方程与方程互为“交换方程”． (1)判断：①与；②与；③与；其中互为“交换方程”的有________；（填写序号） (2)若关于x的方程与方程互为“交换方程”，求的值； (3)若关于x的一元一次方程的解为正整数（其中p为整数），并满足无论a取多少时，多项式与的和始终等于p的整数倍，求其“交换方程”的解． 10．解方程：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 解一元一次方程的四类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解复杂的一元一次方程 题型二、解含绝对值的一元一次方程 题型三、根据一元一次方程的解求参数 题型四、新定义方程问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 解一元一次方程是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕一元一次方程求解展开，其中压轴题还涉及到绝对值方程，解题贯穿基本底线原则：分类讨论。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、解复杂的一元一次方程 典例1解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）分母先化为整数，然后根据去分母，去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可； （2）根据去括号、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解：分母化为整数，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去括号，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 题型模版 1.特征：解复杂的一元一次方程. 2.方法：根据去括号、去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 变式1-1解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将原方程变形，整理即可求解． 【详解】解： 将方程变形得： 即 ， ． 变式1-2解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，两题有一定的难度． （1）先利用分数的基本性质把分子分母的小数化为整数，再去分母化为系数为整数的方程，再去括号、移项、合并同类项即可求解； （2）利用乘法分配律可化为，再计算的值；由于每一个分数可拆成分母相邻的两个分数的差，最后即可求得的值，从而求解方程． 【详解】（1）解：原方程可化为：， 去分母得：， 整理得：， 解得：； （2）解：原式可化为： 而 ， 即， 解得：． 变式1-3解方程： 【答案】 【详解】解：原方程为 移项得 原方程整理为 ， 解得 ． 类型二、解含绝对值的一元一次方程 典例2解方程： 【答案】，． 【分析】分类讨论：，，，根据绝对值的化简解答即可． 【详解】解：当时，原方程可化为： ， 解得（符合题意）； 当时，原方程可化为： ， 解得（不合题意）； 当时，原方程可化为： ， 解得（符合题意）， ∴原方程的解为． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类讨论是解题的关键，把不符合题意的要舍去． 题型模版 1.特征：解含绝对值的一元一次方程. 2.方法：熟练掌握分类讨论，验证根，是解题的关键． 变式2-1解方程： 【答案】或 【分析】根据绝对值的意义，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别去绝对值，转化为不含绝对值的一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：当时， 得：， 整理，可得：，此等式恒成立， ∴方程的解为：， 当时， 得：， 解得：， 当时， 得：， 解得：， 当时， 得：， 整理，可得：，此等式恒成立， ∴方程的解为：， 综上所述，原方程的解为：或． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题关键在利用绝对值的意义，去绝对值解方程．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0． 变式2-2解下列方程：． 【答案】、、 【分析】根据绝对值的意义，分三种情况：当时，当时，当时，分别去绝对值，转化为不含绝对值的一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：当时， 原方程得：， 解得：，满足， ； 当时， 原方程得：， 解得：，满足， ； 当时， 原方程得：， 解得：，满足， ， 综上所述，原方程的解为：、、． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题关键在利用绝对值的意义，去绝对值解方程．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0． 题型三、根据一元一次方程的解求参数 典例3已知是关于x的方程，当k、m为何值时，使得： (1)方程只有一个解； (2)方程无解； (3)方程有无数个解． 【答案】(1)，m为任意实数 (2) (3) 【分析】本题主要考查含参数的方程解的讨论，解题的关键是将方程化为形如的形式，即，然后对系数（即）是否为0进行分类讨论，以确定方程解的情况． （1）先化简得，再根据方程只有一个解，列式求解即可； （2）根据方程无解，列式求解即可； （3）根据方程有无数个解，列式求解即可． 【详解】（1）解：由，得 ， ∵方程只有一个解， ∴， 即，此时m可取任意实数， ∴当时，m为任意实数，方程只有一个解，即． （2）解：∵方程无解， ∴且， 解得． ∴当时，方程无解． （3）解：∵方程有无数个解 ∴且， 解得， ∴当时，方程有无数个解． 题型模版 1.特征：根据一元一次方程的解求参数 2.方法：解题的关键是将方程化为形如的形式，然后对系数是否为0进行分类讨论，以确定方程解的情况． 变式3-1若关于x的一元一次方程：的解是，其中a，m，k为常数． (1)当时，则k=______； (2)当时，且m是整数，求正整数k的值； (3)是否存在m的值会使关于y的方程无解，若存在请求m的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】（1）将代入一元一次方程：得出关于k的方程，解方程即可； （2）把代入得：，把代入得，整理得出，根据m是整数，k为正整数，求出或2 即可； （3）整理方程得：，根据方程无解，得出，把代入得，整理方程得出，把整体代入得，解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元一次方程：的解是， ∴将代入一元一次方程：得： ，解得：． 故答案为：． （2）解：当时，代入方程得， 整理得：， 把代入得， ， ∵m是整数，k为正整数， ∴、3， ∴或2 ． （3）解：整理方程得：， ∵无解， ∴，即， 把代入得， 整理方程得， 把代入得，解得． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键． 变式3-2若关于x的一元一次方程的解是，其中a，m，k为常数．是否存在m的值使得关于y的方程无解？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在m的值使得关于y的方程无解，m的值为 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 整理关于y的方程，得，若无解，则；解关于x的方程，得，根据则和即可求出m的值． 【详解】解：将关于y的方程整理， 得， ∵关于y的方程无解， ∴， ∴， 解方程， 得x， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在m的值使得关于y的方程无解，m的值为． 变式3-3已知关于的方程为一元一次方程，且该方程的解与关于的方程的解相同． (1)求，的值． (2)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解以及一元一次方程的定义，注意掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据题意利用一元一次方程的定义即可求出a的值，根据两个方程同解可得b的值； （2）由题意直接把a和b的值代入方程求出方程的解，根据方程无解的条件列式可得m的值． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴ 解得， 则原一元一次方程为， 解得， ∵两个方程同解， ∴， 解得； （2）解：把，代入， 得：， 即， ∵关于的方程无解， ∴ 解得． 题型四、新定义方程问题 典例4 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． (1)方程与方程___________“美好方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，且比大2，求和的值． 【答案】(1)不是 (2) 【分析】（1）方程的解为；方程的解为 根据定义判断解答即可； （2）先求出方程的解，再根据关于的方程与方程是“美好方程”，且比大2，建立方程组解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用与解法，熟练掌握新定义，灵活解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：方程的解为；方程的解为 ， 由，不符合定义， 故方程与方程不是“美好方程”， 故答案为：不是； （2）解：， ， ， 解得； 又， ， 解得， 由关于的方程与方程是“美好方程”， 故即， 又比大2， 故，代入上式，得，整理得， 解得， 故． 题型模版 1.特征：新定义问题. 2.方法：解题的关键是读懂题中方程的定义，通过分类讨论求解． 变式4-1定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】(1)12；(2)2或；(3) 【分析】本题考查一元一次方程的解及“和谐方程”的定义，解题关键是理解解互为相反数的条件，并利用恒等性质求解参数． （1）先求出方程得解为，由“和谐方程”得定义可知方程的解为，然后代入求解即可； （2）由“和谐方程”得定义可知其中一个解为，则另一个解为，根据分两种情况根据两个解的差为4列式求解即可； （3）先求出方程得解为，由“和谐方程”得定义可知方程的解为，然后代入整理得，再根据无论取任何有理数，上式都成立求解即可． 【详解】（1）解：∵方程， ∴， ∴， ∴， ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵“和谐方程”的两个解互为相反数，且差为4，其中一个解为 ∴另一个解为 若，则， ∴ 若，则， ∴ ∴的值为或 （3）解：∵方程， ∴， ∴， ∴， ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴方程的解为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵无论取任何有理数，上式都成立， ∴， ∴， ∴． 变式4-2如果关于的一元一次方程的解是整数，则称该方程为“整”方程；如果不是整数，则称为“分”方程．例如方程是“整”方程，方程是“分”方程．按此定义解答下列问题： (1)方程是________方程； (2)已知为整数，试判断关于的方程是否可能是“整”方程，并说明理由； (3)若关于的方程是“分”方程，则关于的方程是_______方程． 【答案】(1)“分” (2)不可能， 理由如下： 当方程是“整”方程时，， 把代入方程得，， 解得， ∵为整数， ∴关于的方程不能是“整”方程； (3)“整” 【分析】（）求出方程的解，再根据定义判断即可； （）把代入方程，求出值即可判断； （）由“分”方程可得，再把所解方程转化为，代入计算即可求解； 本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“分”方程， 故答案为：“分”； （2）略 （3）解：∵关于的方程是“分”方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程是“整”方程， 故答案为：“整”． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若关于x的方程：的解是关于x的方程：的解的3倍， (1)求a的值； (2)若关于y的方程：无解，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，解一元一次方程，熟知使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解是解答此题的关键． （1）先用a分别表示出两方程的解集，再根据关于x的方程的解是关于x的方程：的解的3倍，可列出关于a的方程，即可求解． （2）根据无解，分情况讨论计算出b的值，再利用整体思想把代入中进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解： ； ； 依题意可得：是的3倍， ； （2）解：当，即时， ， 无解， 解得：， 当，即时， ； 无解， 解得：， ， 当，时， ， 当，时， ． 2．新定义：是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，若满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“和美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，，则方程为一元一次方程的“和美方程”． (1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“和美方程”？请直接写出正确的序号________． (2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”，请求出a的值； (3)若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”，求关于t的方程的解． 【答案】(1)② (2)或17 (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题目中定义的“和美方程”，通过解一元一次方程的方法求解． （1）先求出一元一次方程，得，再解方程①，②根据“和美方程”的定义去判断即可； （2）解出方程的解为，一元一次方程的解是或，得到或，求出a的值即可； （3）解一元一次方程，得，由，得到，进而推导出，得到，要使成立，则不能含有m，得到，得，再将代入，解得，即可解答． 【详解】（1）解：解，得， 解，得， ∵当，时，， ∴不是一元一次方程的“和美方程”； 解，得， 当，时，， ∴是一元一次方程的“和美方程”； 故答案为：②． （2）解：， 去分母，得， 移项及合并，得， 系数化为1，得， 由，得， 即或， 解得或， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“和美方程”， ∴， 即或， 解得或17； （3）解：， 去分母，得， 去括号，得， 解得， 由，得， 解得， ∵若对于任何数m，关于y的方程都不是关于x的一元一次方程的“和美方程”， ∴，即， 化简，得， ∵不等式对任意数都成立， ∴的系数必须为0，即， 解得， 将代入，得， 解得． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）根据“美好方程”求出的解为，再把变形为，即可得到． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． （2）解：∵“美好方程”其中一个解为n， ∴另一个解为， ∵“美好方程”的两个解的差为7， ∴或， 解得或． （3）解：解方程得：， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴的解是， ∵， ∴， ∴， 解得． 4．定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称为互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______． (2)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值． (3)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题考查一元一次方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据“反对方程”的定义求解； （2）根据“反对方程”的定义求出m和n的值，进而求积即可； （3）根据“反对方程”的定义写出方程的“反对方程”，求出两个方程的解，根据它们的解均为整数， 可得答案． 【详解】（1）解：∵方程与方程互为“反对方程”， 根据定义，的“反对方程”应为， ∴， 故答案为：6； （2）解：∵方程与方程互为“反对方程”， 即方程与方程互为“反对方程”， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：方程的“反对方程”为， 解得：， 解得：， 方程与其“反对方程”的解都是整数， ∴是5的倍数，也是5的因数， ∴． 5．解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值方程，解题的关键是熟知绝对值的意义． 根据绝对值的性质逐层去绝对值符号，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴或， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， ∴或 ∴或（不合题意，舍去）， 或． 6．【解决问题】 （1）数轴上有理数与1对应的两点之间的距离是___________； （2）数轴上有理数与对应的两点之间的距离是___________（用含的式子表示）； （3）若数轴上有理数与对应的两点之间的距离是5，求的值，并写出你的计算过程． 【拓展应用】 点是数轴上的三个点，其中，点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为． 若点在之间，则__________； 若，则___________． 【答案】解决问题：（1）7；（2）；（3）或；拓展应用：5；或 【分析】本题考查数轴上点的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键， 解决问题：（1）根据数轴上两点间的距离公式即可得到答案； （2）根据数轴上两点间的距离公式即可得到答案； （3）由两点间的距离公式得到，即可得到的值； 拓展应用：根据两点间距离公式即可得到答案；根据绝对值的定义两种情况讨论：①当在左侧；②当点在的右侧，分别列出式子，解方程即可得到答案． 【详解】解决问题：（1）由数轴上两点间的距离公式得：， 故答案为：7； （2）由数轴上两点间的距离公式得：， 故答案为：； （3）由两点间的距离公式得：， ∴， ∴， ∴或， 拓展应用： ∵点表示的数为2，点表示的数为，点表示的数为． ∴点在之间时，， ∴； 故答案为：5； 若，则点不在之间， ①当在左侧，即时， 则， 解得：， ②当点在的右侧，即时， 则， 解得：． 故答案为：或． 7．解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为）是解题关键． （1）原方程可化为，继续转化为解方程即可得； （2）原方程可化为，逆用分配律，得，最后求解即可． 【详解】（1）解：原方程可化为， 即， ∴， 即， 解得． （2）原方程可化为， 逆用分配律，得． ∵， ∴， 解得. 8．解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解本题的关键． 方程去括号，去分母，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去括号，得， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 9．综合与实践： 定义：我们称关于x的方程与方程（a、b均为不等于0的整数）互为“交换方程”，如：方程与方程互为“交换方程”． (1)判断：①与；②与；③与；其中互为“交换方程”的有________；（填写序号） (2)若关于x的方程与方程互为“交换方程”，求的值； (3)若关于x的一元一次方程的解为正整数（其中p为整数），并满足无论a取多少时，多项式与的和始终等于p的整数倍，求其“交换方程”的解． 【答案】(1)②③ (2)49 (3)或 【分析】本题主要考查了新定义下的方程，解一元一次方程，整式的化简，解题的关键是理解新定义． （1）根据 “交换方程”的定义进行验证即可； （2）根据“交换方程”的定义，求出的值，然后代入求解即可； （3）根据要求求出可取的值，化简整式，根据无关项选取的值，然后表示出一元一次方程，并求解即可． 【详解】（1）解：根据“交换方程”的定义得， ①不满足定义，不是“交换方程”， ②满足定义，是“交换方程”， ③满足定义，是“交换方程”， 故答案为：②③； （2）解：∵与方程互为“交换方程”， ∴， 解得， ∴； （3）解： 解得， ∵方程的解为正整数（其中p为整数）， ∴的值为1，2，3，6， ， 根据题意得，， 解得， ∴，且其等于p的整数倍， ∴或， 当时，的“交换方程”为， 解得； 当时，的“交换方程”为， 解得； ∴或． 10．解方程：． 【答案】无解 【分析】根据绝对值的意义，分四种情况进行讨论计算，即可得出答案． 【详解】解：当时，原方程变形为：， 整理，可得：，此等式不成立，故原方程无解； 当时，原方程变形为：， 解得：，故原方程无解； 当时，原方程变形为：， 解得：，故原方程无解； 当时，原方程变形为：， 整理，可得：，此等式不成立，故原方程无解， 综上所述，原方程无解． 【点睛】本题考查了含绝对值的一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握绝对值的意义．正数的绝对值为它本身，负数的绝对值则是它的相反数，0的绝对值还是为0． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $