专题02 线段和角中的分类讨论（题型专练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦线段和角的分类讨论与归纳推理，构建“原理-步骤-变式”三级方法体系，培养几何直观与推理意识，实现从静态计算到动态旋转的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型01|1典例+4变式|点位置分类（线段上/延长线/反向延长线）|线段计算多解基础，与角分类平行| |题型02|1典例+4变式|射线位置分类（角内/外两侧）|类比线段分类，结合角平分线应用| |题型03|1典例+4变式|旋转方向（顺/逆时针）与位置跨越分类|动态几何进阶，分类讨论思想升级| |题型04|1典例+4变式|特殊→一般归纳（n点线段和差规律）|从具体到抽象，培养模型意识| |题型05|1典例+4变式|特殊→一般归纳（n射线角度和差规律）|类比线段规律，强化推理迁移能力|

专题02 线段和角中的分类讨论 （题型突破·举一反三） ▌题型01 分类讨论思想在线段的计算中的应用 【典例1】 【答案】D 【分析】根据点在线段上以及点在点的左侧分类讨论，根据线段的和差关系与线段的中点分别计算即可； 【详解】解：由题意可知，点在线段上，或在点的左侧， 如图，当点在线段上时，则， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 此时，； 如图，当点在点的左侧时，则， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 此时； 综上，的长为：或． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段的和差关系、线段中点的定义等知识点；掌握分类讨论的思想是解题的关键． 【变式1-1】 （1）如图：A、B、C、D四点在同一直线上，若． ①图中共有_____条线段； ②比较线段的大小： _____（填“＞”、“＝”或“＜”）； ③若，且，则的长为_____cm； （2）已知线段，在直线上有一点C，且，点M是线段的中点，求线段的长． 【答案】（1）①6；②＝；③12；（2）或． 【分析】（1）①每两个点作为线段的端点，即任取其中的两点即可得到一条线段，可以得出共有6条；②由线段得出，即可得出结论；③由已知求出的长，得出的长，即可得出的长； （2）根据线段的和差，可得线段AC的长，再根据线段中点的性质，可得答案． 【详解】解：（1）①图中有线段：，一共有6条线段； 故答案为：6； ②∵， ∴， 即， 故答案为：＝； ③∵，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12； （2）分两种情况： ①如图1，点C在点B的右侧， ∵ ∴ ∵M是的中点， ∴； ②如图2，点C在点B的左侧， ∵ ∴ ∵M是的中点， ∴ 综上，的长是或． 【点睛】本题考查了两点间的距离、线段的中点的定义以及线段的和差；注意（2）分类讨论． 【变式1-2】 【答案】(1)20，10 (2)或160 【分析】本题考查的是线段的和差问题、数轴上线段的中点对应的数、两点之间的距离、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）先画出图形，再由可得，再结合求解即可； （2）以A为原点画数轴，分三种情况讨论，当M在A的左侧，当M在线段上，当M在B的右侧，利用数轴与数轴上线段的中点知识，结合数轴上两点之间的距离分别表示，再利用建立方程求解即可解答． 【详解】（1）解：如图：∵， ①， 又∵， ∴得：，解得：， ∴． （2）解：如图，以A为原点画数轴，设M对应的数为m， 当M在A的左侧时，，则，不符题意舍去； ， 当M在上时， ∵线段的中点为N， ∴N对应的数为：， ∴此时N在上， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴； 当M在B的右侧时，如图: 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， 或， 解得：（舍去）或， ∴． 综上：的长为或． 【变式1-3】 【答案】（1）10；（2）或 【分析】本题主要考查线段中点的定义、两点间的距离，学会利用数形结合和分类讨论思想是解题关键． （1）由线段中点的定义可得，再由求得，于是； （2）分三种情况讨论：点在线段上，分别求得，，则；点在点的右侧，分别求得，，则；点在点的左侧，此种情况不满足题意． 【详解】解：（1）因为，点是线段的中点， 所以． 又因为，， 所以，，所以． （2）①如图，当点在线段上时， 因为，，所以， 所以； ②如图，当点在点的右侧时， 因为，， 所以，所以， 所以； ③当点在点的左侧时，此时不存在符合题意的点，舍去． 综上所述，线段的长度为或． 【变式1-4】 【答案】(1)3 (2)或 【分析】本题考查线段和差倍分的计算，掌握线段中点，熟练掌握线段中点的定义，是解题的关键． （1）根据线段中点的定义得到，于是得到； （2）分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解： 线段，点是线段的中点， ， ， ； （2）解：当点C在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∴； 当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∴； 综上，或． ▌题型02 分类讨论思想在角的计算中的应用 【典例1】 【答案】（1）①30°；②60°；（2）∠COM=3∠BON，理由见解析；（3）5或9或27或31秒． 【分析】（1）①由题意可以得到∠AOM'和∠CON'的度数，然后根据角度的加减计算可以得到解答； ②根据角平分线的定义可以得解； （2）设∠BOC=x，且旋转时间为ts，由题意可以把∠COM与∠BON用x和t表示出来，然后通过比较可以得到∠COM与∠BON的关系； （3）针对OM与ON的位置关系及旋转的具体情形分4种情况讨论． 【详解】解：（1）①∵线段OM、ON分别以20°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转3s， ∴∠AOM'=3×20°=60°，∠CON'=3×10°=30°， ∴∠BON'=∠BOC-30°，∠COM'=∠AOC-60°， ∴∠BON'+∠COM'=∠BOC-30°+∠AOC-60°=∠AOB-90°． ∵∠AOB=120°， ∴∠BON'+∠COM'=120°-90°=30°． 故答案为：30°； ②∵OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC， ∴∠AOM'=∠COM'=0.5∠AOC，∠BON'=∠CON'=0.5∠BOC，∴∠COM'+∠CON'=0.5∠AOC+0.5∠BOC=0.5∠AOB=0.5×120°=60°， 即∠M'ON'=60°； （2）∠COM=2∠BON， 理由如下： 设∠BOC=x，则∠AOB=3x，∠AOC=2x． ∵旋转t秒后，∠AOM=20t，∠CON=10t， ∴∠COM=2x-20t=2（x-10t），∠NOB=x-10t，∴∠COM=2∠BON； （3）设旋转t秒后， 当OM与ON重合之前时， 可得：70°-20t+10t=20°， 解得：t=5秒， 当OM与ON重合之后，且OM没有到达OA时， 可得：20t-10t-70°=20°， 解得：t=9秒， 当OM旋转一周后，ON没有经过OA时， 10t+70°+20°=360°， 解得：t=27秒， 当OM旋转一周后，ON经过OA后时， 10t+70°-20°=360° 解得：t=31秒． 故答案为：5或9或27或31秒． 【点睛】本题考查旋转的综合应用，熟练掌握旋转的定义和性质、角度的加减计算及分类讨论思想的运用是解题关键． 【变式1-1】 【答案】或 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，正确利用分类讨论得出是解题关键． 根据题意画出图形，利用分类讨论求出即可． 【详解】 解：如图1所示： ∵平分平分， ∴ ， 如图2所示：∵平分平分， ∴ ． 故答案为：或． 【变式1-2】 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当射线在的内部时，当射线在的外部时，根据角平分线的定义得出，结合图形即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论，当射线在的内部时，如图所示， ∵，，、分别是和的平分线， ∴ ∴； 当射线在的外部时，如图所示， ∵，，、分别是和的平分线， ∴ ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】(1)∠AOC=40°，∠BOC=80° (2)∠MON=30° (3)56°或120°或128° 【分析】（1）根据角的倍分关系求解即可； （2）根据题意画出图形，求出∠CON和∠COM即可求解； （3）分射线OD在∠AOB的内部和射线OD在∠AOB的外部分别求解即可． 【详解】（1）解：∵∠AOB=120°，∠∠AOC：∠BOC=1：2． ∴∠AOC=∠AOB=40°，∠BOC=∠AOB=80°； （2）解：如图， ∵∠BOC=80°，∠BON=70°， ∴∠CON=∠BOC-∠BON=10°， ∵OM平分∠AOC， ∴∠COM=∠AOC=20°， ∴∠MON=∠CON+∠COM=30°； （3）解：当射线OD在∠AOB的内部时，如图， ∵∠AOD=4∠BOD， ∴∠BOD=∠AOB=24°， ∴∠COD=∠BOC-∠BOD=80°-24°=56°； 当射线OD在∠AOB的外部时，如图， ∵∠AOD=4∠BOD， ∴∠BOD=∠AOB=40°，或∠BOD=(360°-∠AOB)=48° ∴∠COD=∠BOC+∠BOD=80°+40°=120°，或∠COD=80°+48°=128°， 综上，∠COD的度数为56°或120°或128°． 【点睛】本题考查简单作图、角平分线的定义、角的运算，属于基础题型，解答关键是理解题意，利用数形结合和分类讨论思想进行角度的运算． 【变式1-4】 【答案】(1)50° (2) (3)或 【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，再根据，即可计算； （2）根据（1）中的结论直接得到答案； （3）根据角平分线的性质可得∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，再根据角的和差计算． 【详解】（1）解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， ∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC， 所以∠MON=∠COM+∠CON =∠BOC+∠AOC =（∠BOC+∠AOC） = =50°； （2）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， ∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC， 所以∠MON=∠COM+∠CON =∠BOC+∠AOC =（∠BOC+∠AOC） = =； 故答案为：； （3）如图2所示： ∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， ∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC， 所以∠MON=∠COM﹣∠CON =∠BOC﹣∠AOC =（∠BOC﹣∠AOC） = =． 如图3所示， ∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， ∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC， 所以∠MON=∠COM+∠CON =∠BOC+∠AOC =（∠BOC+∠AOC） = =， 综上所述，∠MON的度数或． 【点睛】本题考查角的和差计算，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和理解角的和差运算是解题的关键． ▌题型03 分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 【典例1】 【答案】(1)； (2)9或27，12或30； (3) 解：，理由如下： ∵在的内部， ∴，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质， （1）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据解答即可； （2）分别分情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解； （3）用和表示出，然后列出方程整理即可得解； 读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ； （2）解：， ，， 当在直线上时，，此时旋转角为或， 每秒顺时针旋转， 时间为或， 当直线恰好平分锐角时，旋转角为或， ∵每秒顺时针旋转， ∴时间为或， 故答案为：9或27；或； （3）略 【变式1-1】 【答案】3或12 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：设第时，直线恰好平分锐角， ， ， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ； 的值为：3或12． 故答案为：3或12． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)秒或秒 (4)秒或秒 【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，再根据平角的定义即可得到； （2）先根据平角的定义求出，再由即可得到结论； （3）设三角板绕点O旋转的时间是t秒，先求出，然后分当在外部时，当在内部时，两种情况求出对应的旋转角度，然后建立方程求解即可； （4）设三角板绕点O旋转的时间是m秒，先求出，然后分当在外部时，当在内部时，两种情况求出对应的旋转角度，然后建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵恰好平分， ∴， ∴． 故答案为：； （2）略 （3）解：设三角板绕点O旋转的时间是t秒， ∵， ∴， 当在外部时，如图1所示， ∵直线平分， ∴， ∴， ∴此时的旋转角度为， ∴， 解得； 当在内部时，如图2所示， ∵恰好平分， ∴， ∴此时旋转的角度为， ∴， 解得； 综上所述，当直线恰好平分，此时三角板绕点O旋转的时间是秒或秒； （4）解：运动时间为m秒时，直线恰好平分， ∴， 当在外部时，如图3所示， ∵直线平分， ∴， ∴， ∴此时的旋转角度为， ∴， 解得； 当在内部时，如图4所示， ∵恰好平分， ∴， ∴此时旋转的角度为， ∴， 解得； 综上所述，当直线恰好平分，此时三角板绕点O旋转的时间是秒或秒． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式1-3】 【答案】（1）；（2）或时，；（3）的度数为或 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）利用分类思想解答即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：； （2）或． 理由：如答图① ， ∵， ∴； 如答图②，∵， ∴； （3）当边在边右侧时， 如图，设， 则， 由题意得， 解得（舍去）； 当边和都在边左侧时，如图， 设，则， 由题意得， 解得； 当边在边左侧、在边右侧时，如图， 设，则， 由题意得， 解得； 综上所述，的度数为或． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) (3)，，或 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据解答即可； （2）根据图形利用角度的和差即可解答． （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：∵， ∴； （3）解：当边在边右侧时，如图，设， 则有， 解得； 或， 解得； 当边在边左侧时，如图， 设， 则有， 解得； 或， 解得； 综上所述，的度数为或． ▌题型04 从特殊到一般的思想解决线段和差问题 【典例1】 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4) 点在运动过程中，线段的长度保持不变，为，理由： ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， 当点在点的左侧时， ， 当点在点的右侧时，， 综上，点在运动过程中，线段的长度保持不变，为． 【分析】（）由题意得，再根据两点间的距离可得点表示的有理数为，得到答案； （）根据题意列出代数式即可； （）由（）得，则，然后利用线段中点和线段和差即可求解； （）分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵点表示的有理数为，从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴时，，点表示的有理数为， 故答案为：，； （2）解：线段的长为，此时点在数轴上对应的有理数是， 故答案为：，； （3）解：由（）得， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴； （4）略 【点睛】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，列代数式，线段中点和线段和差，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】(1)45 (2)14.5或20.5 (3)是定值；17.5 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离及中点的计算，一元一次方程的应用，理解题意，熟练运用数轴上两点之间的距离是解题关键． （1）根据线段的和差求解； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）设运动时间为t，再用t表示M，N表示的数，再利用中点公式求解． 【详解】（1）解：∵B为线段的中点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：B点表示的数为：，D点表示的数为：， 则：， 解得：或； （3）解：设运动时间为t， 由题意得：A点表示的数为：，B点表示对数为：，C点表示的数为：，D点表示的数为：， 则：M点表示的数为：，N点表示的数为：， ∴， ∴线段的长为定值，定值为17.5． 【变式1-2】 【答案】(1)，，4 (2)的长为 (3)或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式，非负数的性质，一元一次方程等知识，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据非负数的性质和线段中点的定义，即可求解； （2）由题意得，，点P表示的数为，点Q表示的数为，进而得，，再根据，列出方程，求解即可； （3）由（2）知，点P表示的数为，点Q表示的数为，进而得，，再根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： ， ，， ，， C为线段的中点， ， 故答案为：，，4； （2）由题意得，，， 点P表示的数为，点Q表示的数为， ，， ， ，解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，， 的长为； （3）或， 由（2）知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ， 解得或． 【变式1-3】 【答案】(1)；； (2) (3)存在；秒或10.8秒 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）根据题意直接可得线段的长度，秒后，再求出当时，点表示的数及点表示的数为； （2）秒后点表示的数为，点表示的数为，再列出方程求解即可； （3）分别求出M点表示的数：，N点表示的数：，再求出，再求解即可． 【详解】（1）解：线段的长度为：； 时，点表示的数为：，点表示的数为：． 故答案为：，，； （2）解：秒后点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 解得：， 相遇点表示的数：； （3）解：M点表示的数：， N点表示的数：， ， 即或， 解得：或， 故存在，秒或10.8秒． 【变式1-4】 【答案】(1)不是 (2)点表示的数是0或 (3)当秒或秒时，点是的“倍点” 【分析】（1）根据“倍点”的定义判断即可； （2）根据“倍点”的定义得出，然后分点在线段上或在点左侧两种情况讨论即可； （3）分三种情况讨论：①在的右侧；②点位于，之间；③在点左侧，根据“倍点”的定义构建关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是6，原点表示的数是0， ∴，， ∴， ∴原点不是的“倍点”； （2）解：若点是的“倍点”，则，所以点在线段上或在点左侧． ①当在线段上时，，则点与原点重合，故点表示的数是0； ②当在点左侧时，，则，故点表示的数是； 综上，点表示的数是0或． （3）解：依题意，得点表示的数是，点表示的数是 分三种情况讨论如下： ①当时，在的右侧，此时，则不成立，舍去； ②当时，点位于，之间，此时，则，即，求得 ③当时，在点左侧，此时，则 即，求得 综上，当秒或秒时，点是的“倍点”． ▌题型05 从特殊到一般的思想解决角和差问题 【典例1】 【答案】（1）； （2）； （3）解：理由如下， 设， ∵平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴； （4） 【分析】本题考查角平分线的相关计算，互补互余的相关计算； （1）由得其补角，由角平分线得，再根据互余即可解答； （2）由得其补角，由角平分线得，再根据互余即可解答； （3）设，由角平分线得，，再根据即可解答； （4）由得其补角，由角平分线得，再根据即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）略 （4）∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) ，理由： 是直线上一点， , 平分, , 是直角, ； (3) 【分析】（1）根据邻补角定义，由得到，再由平分得到，由是直角得到； （2）根据邻补角定义得到，再由平分得到，由是直角得到； （3）根据邻补角定义得到，即，再由平分得到，由是直角得到． 【详解】（1）解： 是直线上一点，， , 平分, , 是直角, ， 故答案为：； （2）略 （3）解： 是直线上一点， , , , 平分, , 是直角, ， 故答案为：． 【点睛】本题考查角的和差倍分关系关系，涉及邻补角定义、角平分线定义、互余定义等知识，数形结合，找准各个角的和差倍分关系是解决问题的关键． 【变式1-2】 【答案】(1)24° (2) (3) ∠DOE=∠AOC．理由如下:   ∵∠AOC +∠BOC=∠AOB=180° ∴∠BOC =180°-∠AOC       ∵OE平分∠BOC ∴∠COE =∠BOC= (180°-∠AOC)= 90°-∠AOC   又∵∠COD是直角 ∴∠COD = 90° ∴∠DOE =∠COD-∠COE= 90°-(90°-∠AOC)= ∠AOC ∴∠DOE=∠AOC (4)180 °- 【分析】（1）由已知可求出∠BOC =180°-∠AOC =180°-48° = 132°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出∠DOE的度数； （2）由（1）得，，从而用含a的代数式表示出∠DOE的度数； （3）由∠AOC +∠BOC=∠AOB=180°可得∠BOC =180°-∠AOC，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系，角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）(1)∵∠AOC +∠BOC=∠AOB=180° ∴∠BOC =180°-∠AOC =180°-48° = 132° ∵OE平分∠BOC ∴∠COE =∠BOC= 66°   又∵∠COD是直角 ∴∠COD = 90° ∴∠DOE =∠COD-∠COE= 90°- 66°= 24° （2）由（1）得， 故答案为： （3）略 （4）OE平分 是直角 故答案为：； 【点睛】此题考查的是角平分线的性质、旋转性质以及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差关系． 【变式1-3】 【答案】A题，A（1）①5； ②是，理由如下： 由①可知，经过5秒时，， ∴， ∴平分； （2）经过5秒时，平分，理由如下： ∵，， ∴， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线也绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴设为，则为， ∵， ∴， 解得：秒，故经过5秒时，平分； （3）秒或秒， 根据题意，有两种情况，当射线在直线上方时，如图4①，当射线在直线下方时，如图4②， 则有，或， 解得秒或秒， ∴经过秒或秒时，； B（1）； （2）； （3）①， 理由：∵是直角，平分， ∴， 则得， ∴得：； ② 理由：设，， 由（2）得， ∴， 由（3）得， 左边， 右边， ∴即， ∴． 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线的定义，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用． A（1）①根据邻补角求得，根据角平分线的定义可得，则三角板绕点旋转了，根据路程除以速度，即可求解； ②根据①得出，即可得出结论； （2）根据三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线也绕点以每秒的速度顺时针旋转，设为，则为，进而根据，列出方程，解方程，即可求解； （3）有两种情况，当射线在直线上方时，当射线在直线下方时，在（2）的基础上，根据题意列出方程，解方程即可求解； B题 （1）根据邻补角可得，根据角平分线的定义以及图形可得，即可求解； （2）同（1）的方法求解即可； （3）①分别用含的式子，表示出，即可求解； ②设，，根据（2）得出，由（3）得，代入，即可求解． 【详解】A题. 解：（1）①如图2，∵， ∴ ∵恰好平分 ∴ ∴ 故答案为：． ②略 （2）略 （3）略 B题 解：（1）由已知得， 又是直角，平分， ∴； （2）∵ 又是直角，平分， ∴； 即； （3）①略 ②略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 线段和角中的分类讨论 （题型突破·举一反三） 题型01 分类讨论思想在线段的计算中的应用 题型02 分类讨论思想在角的计算中的应用 题型03 分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 题型04 从特殊到一般的思想解决线段和差问题 题型05 从特殊到一般的思想解决角和差问题 ▌题型01 分类讨论思想在线段的计算中的应用 1.本质与原理 分类讨论思想在线段计算中的应用，源于点的位置不确定性。当题目未明确说明点在线段上的具体位置时，该点可能在线段上、在线段的延长线上、或在反向延长线上，不同位置会导致线段之间的和差关系不同，因此需要分情况讨论。其本质是：几何图形的位置关系不唯一时，必须按所有可能的位置分别求解。这是线段计算中最常见的多解来源。 2.深度识别特征 题目中出现“点 在直线 上”而非“点 在线段 上”——前者位置不确定，后者确定在线段内部。 题目给出“，”，求 ——点 可能在 、 之间，也可能在 的左侧或 的右侧。 题目中出现“点 是线段 外一点”或“点 在射线 上”等模糊表述。 图形未给出或图形不完整，无法直接判断点的位置。 3.操作细化步骤 画出所有可能的位置：根据题意，在草稿纸上画出点在线段上、在延长线上、在反向延长线上的各种情形。 逐一分析每种情形：对每一种位置关系，分别写出线段之间的和差关系。 情形一：点 在线段 上 → 。 情形二：点 在 的左侧（反向延长线上）→ 。 情形三：点 在 的右侧（延长线上）→ （需保证 ）。 分别列式计算：在每种情形下，利用已知条件求出未知线段。 检验合理性：检查每种情形下的结果是否满足线段长度的非负性（线段长度必须为正），舍去不合理的解。 综合结论：将所有合理的结果汇总，得出最终答案（可能有多解）。 4.易错点与注意事项 遗漏情形：最常见的是只考虑点在线段上的情形，忽略点在延长线上的可能。 混淆“直线” “线段” “射线” ： “点 在线段 上”→位置唯一，不需分类。 “点 在直线 上”→位置有三种可能，需要分类。 “点 在射线 上”→点 在 的右侧（包括线段 和 右侧延长线），有两种可能。 舍解不当：有些情形虽然图形上看似“不合理”，但数学上可能成立，不能凭直觉随意舍去；有些情形虽然数学上成立，但若线段长度为负则必须舍去。 多个点同时不确定：若有两个点位置都不确定，分类会更多，需系统列举，不重不漏。 5.与其他方法的联系 与“分类讨论思想在角的计算中的应用”形成完全平行的类比——点在线段上的位置不确定对应射线在角内部的位置不确定。 与“分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题”同属分类讨论思想，但后者涉及动态旋转，更复杂。 是“从特殊到一般的思想解决线段和差问题”的基础——从特殊情形出发归纳一般规律时，也需要考虑各种位置关系。 6.变化形式 两点同时不确定：如“点 、 都在直线 上”，组合情形更多。 与中点结合：如“点 在直线 上， 是 的中点， 是 的中点”，需分类讨论后求 的长度。 与比例结合：如“点 在直线 上，且 ”，需分类讨论点 的位置后分别计算。 动点问题：点 以一定速度运动，在不同时间段位置不同，需分段讨论。 【典例1】已知线段，直线上有一点，且，D为的中点，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据点在线段上以及点在点的左侧分类讨论，根据线段的和差关系与线段的中点分别计算即可； 【详解】解：由题意可知，点在线段上，或在点的左侧， 如图，当点在线段上时，则， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， 此时，； 如图，当点在点的左侧时，则， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 此时； 综上，的长为：或． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段的和差关系、线段中点的定义等知识点；掌握分类讨论的思想是解题的关键． 【变式1-1】（1）如图：A、B、C、D四点在同一直线上，若． ①图中共有_____条线段； ②比较线段的大小： _____（填“＞”、“＝”或“＜”）； ③若，且，则的长为_____cm； （2）已知线段，在直线上有一点C，且，点M是线段的中点，求线段的长． 【答案】（1）①6；②＝；③12；（2）或． 【分析】（1）①每两个点作为线段的端点，即任取其中的两点即可得到一条线段，可以得出共有6条；②由线段得出，即可得出结论；③由已知求出的长，得出的长，即可得出的长； （2）根据线段的和差，可得线段AC的长，再根据线段中点的性质，可得答案． 【详解】解：（1）①图中有线段：，一共有6条线段； 故答案为：6； ②∵， ∴， 即， 故答案为：＝； ③∵，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12； （2）分两种情况： ①如图1，点C在点B的右侧， ∵ ∴ ∵M是的中点， ∴； ②如图2，点C在点B的左侧， ∵ ∴ ∵M是的中点， ∴ 综上，的长是或． 【点睛】本题考查了两点间的距离、线段的中点的定义以及线段的和差；注意（2）分类讨论． 【变式1-2】数轴上有线段（点A在点B的左侧），C为线段上一点，且． (1)求线段的长； (2)若点M为直线上的一点，线段的中点为N，且，求线段AM的长． 【答案】(1)20，10 (2)或160 【分析】本题考查的是线段的和差问题、数轴上线段的中点对应的数、两点之间的距离、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）先画出图形，再由可得，再结合求解即可； （2）以A为原点画数轴，分三种情况讨论，当M在A的左侧，当M在线段上，当M在B的右侧，利用数轴与数轴上线段的中点知识，结合数轴上两点之间的距离分别表示，再利用建立方程求解即可解答． 【详解】（1）解：如图：∵， ①， 又∵， ∴得：，解得：， ∴． （2）解：如图，以A为原点画数轴，设M对应的数为m， 当M在A的左侧时，，则，不符题意舍去； ， 当M在上时， ∵线段的中点为N， ∴N对应的数为：， ∴此时N在上， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：， ∴； 当M在B的右侧时，如图: 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， 或， 解得：（舍去）或， ∴． 综上：的长为或． 【变式1-3】【问题情境】已知A，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． 【初步应用】（1）如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； 【迁移应用】（2）若点是直线上的一点，且满足，，求线段的长度． 【答案】（1）10；（2）或 【分析】本题主要考查线段中点的定义、两点间的距离，学会利用数形结合和分类讨论思想是解题关键． （1）由线段中点的定义可得，再由求得，于是； （2）分三种情况讨论：点在线段上，分别求得，，则；点在点的右侧，分别求得，，则；点在点的左侧，此种情况不满足题意． 【详解】解：（1）因为，点是线段的中点， 所以． 又因为，， 所以，，所以． （2）①如图，当点在线段上时， 因为，，所以， 所以； ②如图，当点在点的右侧时， 因为，， 所以，所以， 所以； ③当点在点的左侧时，此时不存在符合题意的点，舍去． 综上所述，线段的长度为或． 【变式1-4】已知，，，四点在同一直线上，点在线段上． (1)如图，若线段，点是线段的中点，；求线段的长度； (2)已知线段，点在直线上，若，、分别为线段、的中点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】本题考查线段和差倍分的计算，掌握线段中点，熟练掌握线段中点的定义，是解题的关键． （1）根据线段中点的定义得到，于是得到； （2）分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解： 线段，点是线段的中点， ， ， ； （2）解：当点C在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∴； 当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵、分别为线段、的中点， ∴，， ∴； 综上，或． ▌题型02 分类讨论思想在角的计算中的应用 1.本质与原理 分类讨论思想在角的计算中的应用，源于射线位置的不确定性。当题目未明确说明一条射线在角的内部还是外部时，该射线可能在角的内部（将角分成两个小角），也可能在角的外部（与角的一边形成新的角），不同位置导致角的和差关系不同。其本质与线段中的分类讨论完全相同：射线相对于已知角的位置关系不唯一时，必须按所有可能的位置分别求解。 2.深度识别特征 题目中出现“射线 在 的内部”时位置确定；若只说“射线 ”或“过点 作射线 ”，则位置不确定。 题目给出“，”，求 ——射线 可能在 内部，也可能在 外部。 题目中出现“射线 与 的一边成 角”等模糊表述。 图形未给出或图形不完整。 3.操作细化步骤 画出所有可能的位置：根据题意，在草稿纸上画出射线在角内部、在角外部（靠近 一侧）、在角外部（靠近 一侧）等各种情形。 逐一分析每种情形：对每一种位置关系，分别写出角之间的和差关系。 情形一：射线 在 内部 → 。 情形二：射线 在 外部，且在 的另一侧 → 。 情形三：射线 在 外部，且在 的另一侧 → （需保证 ）。 分别列式计算：在每种情形下，利用已知条件求出未知角。 检验合理性：检查每种情形下的结果是否满足角的非负性（角度必须为正），舍去不合理的解。 综合结论：将所有合理的结果汇总，得出最终答案（可能有多解）。 4.易错点与注意事项 遗漏情形：最常见的是只考虑射线在角内部的情形，忽略射线在角外部的可能。 混淆“射线” “直线” “线段” ： 射线 从 出发，方向确定，只有两种位置（在角内部或外部）。 直线 过 点，有两个方向，可能形成对顶角，情形更多。 角度的非负性：计算出的角度必须为正，若为负则舍去。 大于平角的情形：有时计算出的角度可能大于 ，但在初中阶段通常只讨论 的角，需注意题目是否限定。 多个射线同时不确定：若有多条射线位置不确定，分类会更多，需系统列举。 5.与其他方法的联系 与“分类讨论思想在线段的计算中的应用”完全平行——点的位置不确定对应射线的位置不确定。 与“角平分线的有关计算”可结合——若射线 是角平分线，则位置确定，不需分类；但若射线 位置不确定，仍需分类。 与“分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题”相关——旋转后的射线位置可能有多解。 6.变化形式 射线与角的一边成定角：如“射线 与 成 ”，需分类讨论 在 的上方还是下方。 与角平分线结合：如“射线 在 外部， 平分 ”，需分类讨论后求角。 与方向角结合：如“从点 出发的三条射线”，方向角不同，位置关系需分类。 折叠问题：折叠后角的边可能落在不同位置，产生多解。 【典例1】已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以20°/s，10°/s的速度绕点O逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． （1）如图①，若∠AOB=120°，当OM、ON逆时针旋转到OM'、ON'处． ①若OM，ON旋转时间t=3时，则∠BON'+∠COM'=______； ②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，求∠M'ON'的值； （2）如图②，若∠AOB=3∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由． （3）若∠AOC=70°，OM，ON在旋转的过程中，当∠MON=20°，求t的值． 【答案】（1）①30°；②60°；（2）∠COM=3∠BON，理由见解析；（3）5或9或27或31秒． 【分析】（1）①由题意可以得到∠AOM'和∠CON'的度数，然后根据角度的加减计算可以得到解答； ②根据角平分线的定义可以得解； （2）设∠BOC=x，且旋转时间为ts，由题意可以把∠COM与∠BON用x和t表示出来，然后通过比较可以得到∠COM与∠BON的关系； （3）针对OM与ON的位置关系及旋转的具体情形分4种情况讨论． 【详解】解：（1）①∵线段OM、ON分别以20°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转3s， ∴∠AOM'=3×20°=60°，∠CON'=3×10°=30°， ∴∠BON'=∠BOC-30°，∠COM'=∠AOC-60°， ∴∠BON'+∠COM'=∠BOC-30°+∠AOC-60°=∠AOB-90°． ∵∠AOB=120°， ∴∠BON'+∠COM'=120°-90°=30°． 故答案为：30°； ②∵OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC， ∴∠AOM'=∠COM'=0.5∠AOC，∠BON'=∠CON'=0.5∠BOC，∴∠COM'+∠CON'=0.5∠AOC+0.5∠BOC=0.5∠AOB=0.5×120°=60°， 即∠M'ON'=60°； （2）∠COM=2∠BON， 理由如下： 设∠BOC=x，则∠AOB=3x，∠AOC=2x． ∵旋转t秒后，∠AOM=20t，∠CON=10t， ∴∠COM=2x-20t=2（x-10t），∠NOB=x-10t，∴∠COM=2∠BON； （3）设旋转t秒后， 当OM与ON重合之前时， 可得：70°-20t+10t=20°， 解得：t=5秒， 当OM与ON重合之后，且OM没有到达OA时， 可得：20t-10t-70°=20°， 解得：t=9秒， 当OM旋转一周后，ON没有经过OA时， 10t+70°+20°=360°， 解得：t=27秒， 当OM旋转一周后，ON经过OA后时， 10t+70°-20°=360° 解得：t=31秒． 故答案为：5或9或27或31秒． 【点睛】本题考查旋转的综合应用，熟练掌握旋转的定义和性质、角度的加减计算及分类讨论思想的运用是解题关键． 【变式1-1】已知平分平分，则_______． 【答案】或 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，正确利用分类讨论得出是解题关键． 根据题意画出图形，利用分类讨论求出即可． 【详解】 解：如图1所示： ∵平分平分， ∴ ， 如图2所示：∵平分平分， ∴ ． 故答案为：或． 【变式1-2】已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则___________度． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，当射线在的内部时，当射线在的外部时，根据角平分线的定义得出，结合图形即可求解． 【详解】解：分两种情况讨论，当射线在的内部时，如图所示， ∵，，、分别是和的平分线， ∴ ∴； 当射线在的外部时，如图所示， ∵，，、分别是和的平分线， ∴ ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． 【变式1-3】如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC=1：2． (1)求∠AOC，∠BOC的度数； (2)作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使∠BON=70°，补全图形， 并求出∠MON的度数； (3)若存在射线OD，使∠AOD=4∠BOD，请直接写出所有可能的∠COD的度数． 【答案】(1)∠AOC=40°，∠BOC=80° (2)∠MON=30° (3)56°或120°或128° 【分析】（1）根据角的倍分关系求解即可； （2）根据题意画出图形，求出∠CON和∠COM即可求解； （3）分射线OD在∠AOB的内部和射线OD在∠AOB的外部分别求解即可． 【详解】（1）解：∵∠AOB=120°，∠∠AOC：∠BOC=1：2． ∴∠AOC=∠AOB=40°，∠BOC=∠AOB=80°； （2）解：如图， ∵∠BOC=80°，∠BON=70°， ∴∠CON=∠BOC-∠BON=10°， ∵OM平分∠AOC， ∴∠COM=∠AOC=20°， ∴∠MON=∠CON+∠COM=30°； （3）解：当射线OD在∠AOB的内部时，如图， ∵∠AOD=4∠BOD， ∴∠BOD=∠AOB=24°， ∴∠COD=∠BOC-∠BOD=80°-24°=56°； 当射线OD在∠AOB的外部时，如图， ∵∠AOD=4∠BOD， ∴∠BOD=∠AOB=40°，或∠BOD=(360°-∠AOB)=48° ∴∠COD=∠BOC+∠BOD=80°+40°=120°，或∠COD=80°+48°=128°， 综上，∠COD的度数为56°或120°或128°． 【点睛】本题考查简单作图、角平分线的定义、角的运算，属于基础题型，解答关键是理解题意，利用数形结合和分类讨论思想进行角度的运算． 【变式1-4】如图1，在∠AOB中，OC是∠AOB内部任意一条射线，ON、OM分别平分∠AOC和∠BOC． (1)若∠AOB=100°，求∠MON的度数． (2)若∠AOB=ɑ，直接写出∠MON的度数=　 　（结果用含α的代数式表示）． (3)若射线OC在∠AOB外部（∠BOC＜180°），其它条件不变，如图2所示，∠AOB=，求∠MON的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)50° (2) (3)或 【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，再根据，即可计算； （2）根据（1）中的结论直接得到答案； （3）根据角平分线的性质可得∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，再根据角的和差计算． 【详解】（1）解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， ∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC， 所以∠MON=∠COM+∠CON =∠BOC+∠AOC =（∠BOC+∠AOC） = =50°； （2）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， ∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC， 所以∠MON=∠COM+∠CON =∠BOC+∠AOC =（∠BOC+∠AOC） = =； 故答案为：； （3）如图2所示： ∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， ∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC， 所以∠MON=∠COM﹣∠CON =∠BOC﹣∠AOC =（∠BOC﹣∠AOC） = =． 如图3所示， ∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， ∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC， 所以∠MON=∠COM+∠CON =∠BOC+∠AOC =（∠BOC+∠AOC） = =， 综上所述，∠MON的度数或． 【点睛】本题考查角的和差计算，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和理解角的和差运算是解题的关键． ▌题型03 分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 1.本质与原理 旋转多解问题是指：一个图形（或图形的一部分）绕某点旋转一定角度后，旋转方向可能为顺时针或逆时针，或者旋转后的位置可能落在不同区域，导致结果不唯一。其本质是：旋转具有方向性（顺时针/逆时针）和角度范围（可能跨过某些特殊位置），不同的旋转方式导致不同的几何配置，因此需要分类讨论。这类问题是分类讨论思想在动态几何中的典型应用，也是本章难度最高的题型之一。 2.深度识别特征 题目中出现“将三角板绕点 旋转 度” “将射线 绕点 旋转”等表述。 旋转方向未明确说明（顺时针或逆时针）。 旋转角度较大，可能使图形跨越某些特殊位置（如 、、 等）。 旋转后要求计算某个角度或判断某种位置关系，结果可能不唯一。 常见于三角板旋转、钟表指针旋转、线段旋转等情境。 3.操作细化步骤 明确旋转要素：确定旋转中心、旋转对象（哪条边或哪个角）、旋转角度。 确定旋转方向的所有可能：若题目未明确说明方向，则默认顺时针和逆时针两种可能都需要考虑。 画出每种旋转后的图形：分别在草稿纸上画出顺时针旋转和逆时针旋转后的图形。 分析每种图形中的几何关系： 旋转后，原图形中的角度不变（旋转不改变角度大小）。 旋转后，对应边与原边的夹角等于旋转角。 利用角的和差关系计算目标角。 分别列式计算：在每种情形下，利用已知条件求出目标角或目标线段。 检验合理性：检查每种情形下的结果是否满足几何条件（如角度非负、不超过 等）。 综合结论：将所有合理的结果汇总。 4.易错点与注意事项 忽略旋转方向：这是最常见的错误——只考虑一个方向，遗漏另一个方向。 旋转角度的叠加：旋转后，目标角可能等于原角 + 旋转角，也可能等于 原角 - 旋转角，具体取决于旋转方向。 跨过特殊位置：若旋转后图形跨过 或 ，角的计算方式会发生变化，需特别注意。 旋转中心不在顶点：若旋转中心不在角的顶点，旋转后角的边可能不再共顶点，情形更复杂。 多次旋转：若题目涉及连续多次旋转，需逐次分析，每次旋转后重新确定位置。 5.与其他方法的联系 是“分类讨论思想在角的计算中的应用”的升级版——不仅位置不确定，而且位置随时间（旋转）变化。 与“三角板中角度计算问题”紧密相关——三角板旋转是本章最常见的旋转问题。 与“从特殊到一般的思想”可结合——先分析特殊角度（如旋转 、、）的情形，再推广到一般角度。 6.变化形式 三角板旋转：将一个三角板绕顶点旋转，求旋转后两个三角板某边之间的夹角。 钟表指针旋转：分针、时针旋转，求夹角（但钟表问题通常有固定公式）。 线段旋转：将一条线段绕端点旋转，求旋转后线段与某条射线的夹角。 图形折叠：折叠本质上也是一种旋转（绕折痕旋转），折叠后图形位置可能有多解。 连续旋转：旋转一次后再旋转一次，需逐次分类。 【典例1】如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，． (1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角； (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)9或27，12或30； (3) 解：，理由如下： ∵在的内部， ∴，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质， （1）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据解答即可； （2）分别分情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解； （3）用和表示出，然后列出方程整理即可得解； 读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ； （2）解：， ，， 当在直线上时，，此时旋转角为或， 每秒顺时针旋转， 时间为或， 当直线恰好平分锐角时，旋转角为或， ∵每秒顺时针旋转， ∴时间为或， 故答案为：9或27；或； （3）略 【变式1-1】如图（1），点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第_________ 时，直线恰好平分锐角（图（2））． 【答案】3或12 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：设第时，直线恰好平分锐角， ， ， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ； 的值为：3或12． 故答案为：3或12． 【变式1-2】如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时　 　度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明你的理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？ (4)将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转，同时射线绕点O以每秒2°的速度沿逆时针方向旋转，旋转30秒后都停止．在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点O旋转的时间是 　 　秒．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)秒或秒 (4)秒或秒 【分析】（1）先根据角平分线的定义得到，再根据平角的定义即可得到； （2）先根据平角的定义求出，再由即可得到结论； （3）设三角板绕点O旋转的时间是t秒，先求出，然后分当在外部时，当在内部时，两种情况求出对应的旋转角度，然后建立方程求解即可； （4）设三角板绕点O旋转的时间是m秒，先求出，然后分当在外部时，当在内部时，两种情况求出对应的旋转角度，然后建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵恰好平分， ∴， ∴． 故答案为：； （2）略 （3）解：设三角板绕点O旋转的时间是t秒， ∵， ∴， 当在外部时，如图1所示， ∵直线平分， ∴， ∴， ∴此时的旋转角度为， ∴， 解得； 当在内部时，如图2所示， ∵恰好平分， ∴， ∴此时旋转的角度为， ∴， 解得； 综上所述，当直线恰好平分，此时三角板绕点O旋转的时间是秒或秒； （4）解：运动时间为m秒时，直线恰好平分， ∴， 当在外部时，如图3所示， ∵直线平分， ∴， ∴， ∴此时的旋转角度为， ∴， 解得； 当在内部时，如图4所示， ∵恰好平分， ∴， ∴此时旋转的角度为， ∴， 解得； 综上所述，当直线恰好平分，此时三角板绕点O旋转的时间是秒或秒． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式1-3】在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则________________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数．（） 【答案】（1）；（2）或时，；（3）的度数为或 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）利用分类思想解答即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：； （2）或． 理由：如答图① ， ∵， ∴； 如答图②，∵， ∴； （3）当边在边右侧时， 如图，设， 则， 由题意得， 解得（舍去）； 当边和都在边左侧时，如图， 设，则， 由题意得， 解得； 当边在边左侧、在边右侧时，如图， 设，则， 由题意得， 解得； 综上所述，的度数为或． 【变式1-4】在数学研究中，一般经历观察、猜想、验证、结论四个过程，也是我们常用的几何探究方式．在同一平面内，请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)若边和边所在直线重合，如图1所示，求的度数； (2)保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使，求如图2所示的的度数； (3)试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后将三角板绕着点 B旋转，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3)，，或 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据解答即可； （2）根据图形利用角度的和差即可解答． （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：∵， ∴； （3）解：当边在边右侧时，如图，设， 则有， 解得； 或， 解得； 当边在边左侧时，如图， 设， 则有， 解得； 或， 解得； 综上所述，的度数为或． ▌题型04 从特殊到一般的思想解决线段和差问题 1.本质与原理 从特殊到一般的思想是指：先研究简单、具体、特殊的情形（如线段上只有一个点、两个点），观察并总结出规律，再将规律推广到一般情形（线段上有 个点）。在线段和差问题中，这类题型通常给出线段上依次排列的多个点，要求计算所有线段长度之和，或求某条线段与其它线段的和差关系。其本质是：通过特殊情形的计算发现规律，再用含 的整式表达一般规律。这是“探索与表达规律”在几何中的体现。 2.深度识别特征 题目中出现“线段 上有 个点” “线段 被分成 段”等表述。 要求计算“所有线段长度之和”或“图中所有线段条数”。 要求用含 的式子表示某个和或差。 题目可能先给出 的具体情形，再要求推广到一般。 常见于“数线段条数” “求线段长度和”等问题。 3.操作细化步骤 从特殊情形入手：先计算 （线段上1个点）、（2个点）、（3个点）时的结果。 列出数据并观察规律：将特殊情形下的结果列成表格，观察数值的变化规律。 例如：线段上1个点时有3条线段；2个点时有6条线段；3个点时有10条线段。规律为 。 归纳一般规律：根据特殊情形的数据，猜想一般情形下的表达式。 验证猜想：将 代入猜想表达式，与实际计算结果比较，验证是否正确。 用整式表达规律：将规律用含 的整式表示出来（通常需要化简）。 应用规律：利用得到的表达式解决题目中的具体问题。 4.易错点与注意事项 特殊情形的选取：要选取足够多的特殊情形（通常至少3个）才能发现规律。 规律的验证：归纳出的规律必须经过验证，不能仅凭一两个数据就下结论。 线段条数的计数：数线段时容易重复或遗漏，建议按“固定左端点，数右端点”的方法有序计数。 长度和的规律：若线段长度不相等，规律会更复杂，需先分析各段长度之间的关系。 整式的化简：归纳出的表达式通常需要化简为最简形式（去括号、合并同类项）。 5.与其他方法的联系 与“整式及其加减”中的“规律探究”直接相关——都是用含 的整式表达规律。 与“从特殊到一般的思想解决角和差问题”完全平行——线段的和差对应角的和差。 与“分类讨论思想”可结合——在某些特殊情形下，点的位置可能不确定，需先分类再归纳。 6.变化形式 数线段条数：线段上有 个点，共有多少条线段？ 求线段长度之和：线段上有 个点，所有线段长度之和为多少？ 求线段的中点个数：线段上有 个点，两两组合的中点有多少个？ 与比例结合：线段上各段长度成比例，求所有线段长度之和。 与动点结合：点在运动过程中，线段的和差关系如何变化。 【典例1】，两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，且．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)直接写出当时，的长是______，此时点在数轴上对应的有理数是______； (2)请用含的代数式表示线段的长为______，此时数轴上点所对应的数表示为______； (3)在（）的条件下，点是线段的中点，点是线段的中点，求此时线段的长度． (4)为线段的中点，为线段的中点．在点从点出发沿数轴正方向运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变求出线段的长度． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4) 点在运动过程中，线段的长度保持不变，为，理由： ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， 当点在点的左侧时， ， 当点在点的右侧时，， 综上，点在运动过程中，线段的长度保持不变，为． 【分析】（）由题意得，再根据两点间的距离可得点表示的有理数为，得到答案； （）根据题意列出代数式即可； （）由（）得，则，然后利用线段中点和线段和差即可求解； （）分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别求出即可． 【详解】（1）解：∵点表示的有理数为，从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动， ∴时，，点表示的有理数为， 故答案为：，； （2）解：线段的长为，此时点在数轴上对应的有理数是， 故答案为：，； （3）解：由（）得， ∴， ∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴，， ∴； （4）略 【点睛】本题考查了利用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，列代数式，线段中点和线段和差，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解题的关键． 【变式1-1】线段和在数轴上运动，点A开始时与原点重合，且． (1)若，且点B为线段的中点，求线段的长． (2)在（1）的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为4个单位/秒，线段的速度为2个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值． (3)在（1）的条件下，线段和同时开始向左运动，线段的速度为m个单位/秒，线段的速度为n个单位/秒，设M为线段中点，N为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是，请直接写出线段的长；若不是，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)14.5或20.5 (3)是定值；17.5 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离及中点的计算，一元一次方程的应用，理解题意，熟练运用数轴上两点之间的距离是解题关键． （1）根据线段的和差求解； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）设运动时间为t，再用t表示M，N表示的数，再利用中点公式求解． 【详解】（1）解：∵B为线段的中点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：B点表示的数为：，D点表示的数为：， 则：， 解得：或； （3）解：设运动时间为t， 由题意得：A点表示的数为：，B点表示对数为：，C点表示的数为：，D点表示的数为：， 则：M点表示的数为：，N点表示的数为：， ∴， ∴线段的长为定值，定值为17.5． 【变式1-2】如图，数轴上A，B，C三点对应的数分别为a，b，c，且a，b满足，C为线段AB的中点．动点P，Q分别从点A，B同时出发匀速相向运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点P运动至点B后，两点同时停止运动，设运动时间为t（）秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)，，4 (2)的长为 (3)或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式，非负数的性质，一元一次方程等知识，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据非负数的性质和线段中点的定义，即可求解； （2）由题意得，，点P表示的数为，点Q表示的数为，进而得，，再根据，列出方程，求解即可； （3）由（2）知，点P表示的数为，点Q表示的数为，进而得，，再根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： ， ，， ，， C为线段的中点， ， 故答案为：，，4； （2）由题意得，，， 点P表示的数为，点Q表示的数为， ，， ， ，解得或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，， 的长为； （3）或， 由（2）知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ， 解得或． 【变式1-3】动点探究题： 如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为10，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)运动开始前，线段的长度为________；当时，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)当，两点相遇时，求相遇点所表示的数． (3)若点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，是否存在使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2) (3)存在；秒或10.8秒 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）根据题意直接可得线段的长度，秒后，再求出当时，点表示的数及点表示的数为； （2）秒后点表示的数为，点表示的数为，再列出方程求解即可； （3）分别求出M点表示的数：，N点表示的数：，再求出，再求解即可． 【详解】（1）解：线段的长度为：； 时，点表示的数为：，点表示的数为：． 故答案为：，，； （2）解：秒后点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：， 解得：， 相遇点表示的数：； （3）解：M点表示的数：， N点表示的数：， ， 即或， 解得：或， 故存在，秒或10.8秒． 【变式1-4】定义：若数轴上三个点，，，满足，则称点是的“倍点”．例如：数轴上点表示的数是，点表示的数是2，点表示的数是1，此时，，则，则称点是的“倍点”．如图，已知数轴上的点表示的数是，点表示的数是6． (1)则原点____________的“倍点”；（填“是”或“不是”） (2)若点是的“倍点”，求点表示的数； (3)已知动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向左匀速运动；动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，若点，点同时出发，设点的运动时间为（秒）．当点是的“倍点”时，求时间的值． 【答案】(1)不是 (2)点表示的数是0或 (3)当秒或秒时，点是的“倍点” 【分析】（1）根据“倍点”的定义判断即可； （2）根据“倍点”的定义得出，然后分点在线段上或在点左侧两种情况讨论即可； （3）分三种情况讨论：①在的右侧；②点位于，之间；③在点左侧，根据“倍点”的定义构建关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数是，点表示的数是6，原点表示的数是0， ∴，， ∴， ∴原点不是的“倍点”； （2）解：若点是的“倍点”，则，所以点在线段上或在点左侧． ①当在线段上时，，则点与原点重合，故点表示的数是0； ②当在点左侧时，，则，故点表示的数是； 综上，点表示的数是0或． （3）解：依题意，得点表示的数是，点表示的数是 分三种情况讨论如下： ①当时，在的右侧，此时，则不成立，舍去； ②当时，点位于，之间，此时，则，即，求得 ③当时，在点左侧，此时，则 即，求得 综上，当秒或秒时，点是的“倍点”． ▌题型05 从特殊到一般的思想解决角和差问题 1.本质与原理 从特殊到一般的思想在角和差问题中的应用，与线段和差问题完全平行。当角被多条射线分成多个小角时，要求计算所有角的度数之和，或求某个角与其它角的和差关系，通常需要先研究特殊情形（如角内有1条射线、2条射线、3条射线），发现规律后再推广到一般情形（角内有 条射线）。其本质是：通过特殊情形的计算发现角度关系的规律，再用含 的整式表达一般规律。 2.深度识别特征 题目中出现“从角的顶点出发有 条射线” “角被分成 个小角”等表述。 要求计算“所有角的度数之和”或“图中所有角的个数”。 要求用含 的式子表示某个和或差。 题目可能先给出 的具体情形，再要求推广。 常见于“数角个数” “求角度和”等问题。 3.操作细化步骤 从特殊情形入手：先计算 （角内1条射线）、（2条射线）、（3条射线）时的结果。 列出数据并观察规律：将特殊情形下的结果列成表格，观察数值的变化规律。 例如：角内1条射线时有3个角；2条射线时有6个角；3条射线时有10个角。规律与线段条数相同，为 。 归纳一般规律：根据特殊情形的数据，猜想一般情形下的表达式。 验证猜想：将 代入猜想表达式，与实际计算结果比较，验证是否正确。 用整式表达规律：将规律用含 的整式表示出来（通常需要化简）。 应用规律：利用得到的表达式解决题目中的具体问题。 4.易错点与注意事项 角的计数与线段计数的区别：角的个数与线段条数的规律虽然相似，但具体情境不同，不能生搬硬套。 角度和的计算：若各小角不相等，角度和的规律会更复杂，需先分析各角之间的关系。 特殊情形的选取：要选取足够多的特殊情形才能发现规律。 角的度数范围：注意角度是否超过 ，若超过则需考虑优角与劣角的区别。 整式的化简：归纳出的表达式通常需要化简为最简形式。 5.与其他方法的联系 与“从特殊到一般的思想解决线段和差问题”完全平行——线段条数对应角的个数。 与“角n等分线的有关计算”相关——n等分线将角分成n个相等的小角，是特殊情况。 与“整式及其加减”中的“规律探究”直接相关——都是用含 的整式表达规律。 与“分类讨论思想”可结合——在某些特殊情形下，射线的位置可能不确定，需先分类再归纳。 6.变化形式 数角个数：角内有 条射线，共有多少个角？ 求角度之和：角内有 条射线，所有角的度数之和为多少？ 求角平分线个数：角内有 条射线，能形成多少个角平分线？ 与比例结合：角内各小角成比例，求所有角度之和。 与旋转结合：射线旋转过程中，角的和差关系如何变化。 【典例1】【问题驱动】已知是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为_____（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的绕顶点逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为_____（用含有的式子表示），不必说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）解：理由如下， 设， ∵平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴； （4） 【分析】本题考查角平分线的相关计算，互补互余的相关计算； （1）由得其补角，由角平分线得，再根据互余即可解答； （2）由得其补角，由角平分线得，再根据互余即可解答； （3）设，由角平分线得，，再根据即可解答； （4）由得其补角，由角平分线得，再根据即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）略 （4）∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． 【变式1-1】已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则 ． (2)如图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (3)将图1中的绕顶点逆时针旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数是 （用含有式子表示），不必说理由． 【答案】(1) (2) ，理由： 是直线上一点， , 平分, , 是直角, ； (3) 【分析】（1）根据邻补角定义，由得到，再由平分得到，由是直角得到； （2）根据邻补角定义得到，再由平分得到，由是直角得到； （3）根据邻补角定义得到，即，再由平分得到，由是直角得到． 【详解】（1）解： 是直线上一点，， , 平分, , 是直角, ， 故答案为：； （2）略 （3）解： 是直线上一点， , , , 平分, , 是直角, ， 故答案为：． 【点睛】本题考查角的和差倍分关系关系，涉及邻补角定义、角平分线定义、互余定义等知识，数形结合，找准各个角的和差倍分关系是解决问题的关键． 【变式1-2】已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． (1)如图1，若∠AOC=48°，求∠DOE的度数； (2)如图1，若∠AOC=α，则∠DOE的度数为 (用含有α的式子表示)； (3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (4)将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC=α，则∠DOE的度数为 (用含有α的式子表示)，不必说明理由． 【答案】(1)24° (2) (3) ∠DOE=∠AOC．理由如下:   ∵∠AOC +∠BOC=∠AOB=180° ∴∠BOC =180°-∠AOC       ∵OE平分∠BOC ∴∠COE =∠BOC= (180°-∠AOC)= 90°-∠AOC   又∵∠COD是直角 ∴∠COD = 90° ∴∠DOE =∠COD-∠COE= 90°-(90°-∠AOC)= ∠AOC ∴∠DOE=∠AOC (4)180 °- 【分析】（1）由已知可求出∠BOC =180°-∠AOC =180°-48° = 132°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出∠DOE的度数； （2）由（1）得，，从而用含a的代数式表示出∠DOE的度数； （3）由∠AOC +∠BOC=∠AOB=180°可得∠BOC =180°-∠AOC，再根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可； （4）根据角的和差关系，角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）(1)∵∠AOC +∠BOC=∠AOB=180° ∴∠BOC =180°-∠AOC =180°-48° = 132° ∵OE平分∠BOC ∴∠COE =∠BOC= 66°   又∵∠COD是直角 ∴∠COD = 90° ∴∠DOE =∠COD-∠COE= 90°- 66°= 24° （2）由（1）得， 故答案为： （3）略 （4）OE平分 是直角 故答案为：； 【点睛】此题考查的是角平分线的性质、旋转性质以及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差关系． 【变式1-3】综合与实践 从A、B两题中任选一题作答，我选择______题． A．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． （1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过秒后，恰好平分． ①的值是______； ②此时是否平分？说明理由； （2）在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间平分？请说明理由； （3）在（2）的基础上，经过多长时间，？请画图并说明理由． B．已知，是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； （3）将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，说明理由． 【答案】A题，A（1）①5； ②是，理由如下： 由①可知，经过5秒时，， ∴， ∴平分； （2）经过5秒时，平分，理由如下： ∵，， ∴， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线也绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴设为，则为， ∵， ∴， 解得：秒，故经过5秒时，平分； （3）秒或秒， 根据题意，有两种情况，当射线在直线上方时，如图4①，当射线在直线下方时，如图4②， 则有，或， 解得秒或秒， ∴经过秒或秒时，； B（1）； （2）； （3）①， 理由：∵是直角，平分， ∴， 则得， ∴得：； ② 理由：设，， 由（2）得， ∴， 由（3）得， 左边， 右边， ∴即， ∴． 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线的定义，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用． A（1）①根据邻补角求得，根据角平分线的定义可得，则三角板绕点旋转了，根据路程除以速度，即可求解； ②根据①得出，即可得出结论； （2）根据三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，射线也绕点以每秒的速度顺时针旋转，设为，则为，进而根据，列出方程，解方程，即可求解； （3）有两种情况，当射线在直线上方时，当射线在直线下方时，在（2）的基础上，根据题意列出方程，解方程即可求解； B题 （1）根据邻补角可得，根据角平分线的定义以及图形可得，即可求解； （2）同（1）的方法求解即可； （3）①分别用含的式子，表示出，即可求解； ②设，，根据（2）得出，由（3）得，代入，即可求解． 【详解】A题. 解：（1）①如图2，∵， ∴ ∵恰好平分 ∴ ∴ 故答案为：． ②略 （2）略 （3）略 B题 解：（1）由已知得， 又是直角，平分， ∴； （2）∵ 又是直角，平分， ∴； 即； （3）①略 ②略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 线段和角中的分类讨论 （题型突破·举一反三） 题型01 分类讨论思想在线段的计算中的应用 题型02 分类讨论思想在角的计算中的应用 题型03 分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 题型04 从特殊到一般的思想解决线段和差问题 题型05 从特殊到一般的思想解决角和差问题 ▌题型01 分类讨论思想在线段的计算中的应用 1.本质与原理 分类讨论思想在线段计算中的应用，源于点的位置不确定性。当题目未明确说明点在线段上的具体位置时，该点可能在线段上、在线段的延长线上、或在反向延长线上，不同位置会导致线段之间的和差关系不同，因此需要分情况讨论。其本质是：几何图形的位置关系不唯一时，必须按所有可能的位置分别求解。这是线段计算中最常见的多解来源。 2.深度识别特征 题目中出现“点 在直线 上”而非“点 在线段 上”——前者位置不确定，后者确定在线段内部。 题目给出“，”，求 ——点 可能在 、 之间，也可能在 的左侧或 的右侧。 题目中出现“点 是线段 外一点”或“点 在射线 上”等模糊表述。 图形未给出或图形不完整，无法直接判断点的位置。 3.操作细化步骤 画出所有可能的位置：根据题意，在草稿纸上画出点在线段上、在延长线上、在反向延长线上的各种情形。 逐一分析每种情形：对每一种位置关系，分别写出线段之间的和差关系。 情形一：点 在线段 上 → 。 情形二：点 在 的左侧（反向延长线上）→ 。 情形三：点 在 的右侧（延长线上）→ （需保证 ）。 分别列式计算：在每种情形下，利用已知条件求出未知线段。 检验合理性：检查每种情形下的结果是否满足线段长度的非负性（线段长度必须为正），舍去不合理的解。 综合结论：将所有合理的结果汇总，得出最终答案（可能有多解）。 4.易错点与注意事项 遗漏情形：最常见的是只考虑点在线段上的情形，忽略点在延长线上的可能。 混淆“直线” “线段” “射线” ： “点 在线段 上”→位置唯一，不需分类。 “点 在直线 上”→位置有三种可能，需要分类。 “点 在射线 上”→点 在 的右侧（包括线段 和 右侧延长线），有两种可能。 舍解不当：有些情形虽然图形上看似“不合理”，但数学上可能成立，不能凭直觉随意舍去；有些情形虽然数学上成立，但若线段长度为负则必须舍去。 多个点同时不确定：若有两个点位置都不确定，分类会更多，需系统列举，不重不漏。 5.与其他方法的联系 与“分类讨论思想在角的计算中的应用”形成完全平行的类比——点在线段上的位置不确定对应射线在角内部的位置不确定。 与“分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题”同属分类讨论思想，但后者涉及动态旋转，更复杂。 是“从特殊到一般的思想解决线段和差问题”的基础——从特殊情形出发归纳一般规律时，也需要考虑各种位置关系。 6.变化形式 两点同时不确定：如“点 、 都在直线 上”，组合情形更多。 与中点结合：如“点 在直线 上， 是 的中点， 是 的中点”，需分类讨论后求 的长度。 与比例结合：如“点 在直线 上，且 ”，需分类讨论点 的位置后分别计算。 动点问题：点 以一定速度运动，在不同时间段位置不同，需分段讨论。 【典例1】已知线段，直线上有一点，且，D为的中点，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-1】（1）如图：A、B、C、D四点在同一直线上，若． ①图中共有_____条线段； ②比较线段的大小： _____（填“＞”、“＝”或“＜”）； ③若，且，则的长为_____cm； （2）已知线段，在直线上有一点C，且，点M是线段的中点，求线段的长． 【变式1-2】数轴上有线段（点A在点B的左侧），C为线段上一点，且． (1)求线段的长； (2)若点M为直线上的一点，线段的中点为N，且，求线段AM的长． 【变式1-3】【问题情境】已知A，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． 【初步应用】（1）如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； 【迁移应用】（2）若点是直线上的一点，且满足，，求线段的长度． 【变式1-4】已知，，，四点在同一直线上，点在线段上． (1)如图，若线段，点是线段的中点，；求线段的长度； (2)已知线段，点在直线上，若，、分别为线段、的中点，直接写出线段的长度． ▌题型02 分类讨论思想在角的计算中的应用 1.本质与原理 分类讨论思想在角的计算中的应用，源于射线位置的不确定性。当题目未明确说明一条射线在角的内部还是外部时，该射线可能在角的内部（将角分成两个小角），也可能在角的外部（与角的一边形成新的角），不同位置导致角的和差关系不同。其本质与线段中的分类讨论完全相同：射线相对于已知角的位置关系不唯一时，必须按所有可能的位置分别求解。 2.深度识别特征 题目中出现“射线 在 的内部”时位置确定；若只说“射线 ”或“过点 作射线 ”，则位置不确定。 题目给出“，”，求 ——射线 可能在 内部，也可能在 外部。 题目中出现“射线 与 的一边成 角”等模糊表述。 图形未给出或图形不完整。 3.操作细化步骤 画出所有可能的位置：根据题意，在草稿纸上画出射线在角内部、在角外部（靠近 一侧）、在角外部（靠近 一侧）等各种情形。 逐一分析每种情形：对每一种位置关系，分别写出角之间的和差关系。 情形一：射线 在 内部 → 。 情形二：射线 在 外部，且在 的另一侧 → 。 情形三：射线 在 外部，且在 的另一侧 → （需保证 ）。 分别列式计算：在每种情形下，利用已知条件求出未知角。 检验合理性：检查每种情形下的结果是否满足角的非负性（角度必须为正），舍去不合理的解。 综合结论：将所有合理的结果汇总，得出最终答案（可能有多解）。 4.易错点与注意事项 遗漏情形：最常见的是只考虑射线在角内部的情形，忽略射线在角外部的可能。 混淆“射线” “直线” “线段” ： 射线 从 出发，方向确定，只有两种位置（在角内部或外部）。 直线 过 点，有两个方向，可能形成对顶角，情形更多。 角度的非负性：计算出的角度必须为正，若为负则舍去。 大于平角的情形：有时计算出的角度可能大于 ，但在初中阶段通常只讨论 的角，需注意题目是否限定。 多个射线同时不确定：若有多条射线位置不确定，分类会更多，需系统列举。 5.与其他方法的联系 与“分类讨论思想在线段的计算中的应用”完全平行——点的位置不确定对应射线的位置不确定。 与“角平分线的有关计算”可结合——若射线 是角平分线，则位置确定，不需分类；但若射线 位置不确定，仍需分类。 与“分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题”相关——旋转后的射线位置可能有多解。 6.变化形式 射线与角的一边成定角：如“射线 与 成 ”，需分类讨论 在 的上方还是下方。 与角平分线结合：如“射线 在 外部， 平分 ”，需分类讨论后求角。 与方向角结合：如“从点 出发的三条射线”，方向角不同，位置关系需分类。 折叠问题：折叠后角的边可能落在不同位置，产生多解。 【典例1】已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以20°/s，10°/s的速度绕点O逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． （1）如图①，若∠AOB=120°，当OM、ON逆时针旋转到OM'、ON'处． ①若OM，ON旋转时间t=3时，则∠BON'+∠COM'=______； ②若OM'平分∠AOC，ON'平分∠BOC，求∠M'ON'的值； （2）如图②，若∠AOB=3∠BOC，OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部旋转时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由． （3）若∠AOC=70°，OM，ON在旋转的过程中，当∠MON=20°，求t的值． 【变式1-1】已知平分平分，则_______． 【变式1-2】已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则___________度． 【变式1-3】如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC=1：2． (1)求∠AOC，∠BOC的度数； (2)作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使∠BON=70°，补全图形， 并求出∠MON的度数； (3)若存在射线OD，使∠AOD=4∠BOD，请直接写出所有可能的∠COD的度数． 【变式1-4】如图1，在∠AOB中，OC是∠AOB内部任意一条射线，ON、OM分别平分∠AOC和∠BOC． (1)若∠AOB=100°，求∠MON的度数． (2)若∠AOB=ɑ，直接写出∠MON的度数=　 　（结果用含α的代数式表示）． (3)若射线OC在∠AOB外部（∠BOC＜180°），其它条件不变，如图2所示，∠AOB=，求∠MON的度数（结果用含的代数式表示）． ▌题型03 分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 1.本质与原理 旋转多解问题是指：一个图形（或图形的一部分）绕某点旋转一定角度后，旋转方向可能为顺时针或逆时针，或者旋转后的位置可能落在不同区域，导致结果不唯一。其本质是：旋转具有方向性（顺时针/逆时针）和角度范围（可能跨过某些特殊位置），不同的旋转方式导致不同的几何配置，因此需要分类讨论。这类问题是分类讨论思想在动态几何中的典型应用，也是本章难度最高的题型之一。 2.深度识别特征 题目中出现“将三角板绕点 旋转 度” “将射线 绕点 旋转”等表述。 旋转方向未明确说明（顺时针或逆时针）。 旋转角度较大，可能使图形跨越某些特殊位置（如 、、 等）。 旋转后要求计算某个角度或判断某种位置关系，结果可能不唯一。 常见于三角板旋转、钟表指针旋转、线段旋转等情境。 3.操作细化步骤 明确旋转要素：确定旋转中心、旋转对象（哪条边或哪个角）、旋转角度。 确定旋转方向的所有可能：若题目未明确说明方向，则默认顺时针和逆时针两种可能都需要考虑。 画出每种旋转后的图形：分别在草稿纸上画出顺时针旋转和逆时针旋转后的图形。 分析每种图形中的几何关系： 旋转后，原图形中的角度不变（旋转不改变角度大小）。 旋转后，对应边与原边的夹角等于旋转角。 利用角的和差关系计算目标角。 分别列式计算：在每种情形下，利用已知条件求出目标角或目标线段。 检验合理性：检查每种情形下的结果是否满足几何条件（如角度非负、不超过 等）。 综合结论：将所有合理的结果汇总。 4.易错点与注意事项 忽略旋转方向：这是最常见的错误——只考虑一个方向，遗漏另一个方向。 旋转角度的叠加：旋转后，目标角可能等于原角 + 旋转角，也可能等于 原角 - 旋转角，具体取决于旋转方向。 跨过特殊位置：若旋转后图形跨过 或 ，角的计算方式会发生变化，需特别注意。 旋转中心不在顶点：若旋转中心不在角的顶点，旋转后角的边可能不再共顶点，情形更复杂。 多次旋转：若题目涉及连续多次旋转，需逐次分析，每次旋转后重新确定位置。 5.与其他方法的联系 是“分类讨论思想在角的计算中的应用”的升级版——不仅位置不确定，而且位置随时间（旋转）变化。 与“三角板中角度计算问题”紧密相关——三角板旋转是本章最常见的旋转问题。 与“从特殊到一般的思想”可结合——先分析特殊角度（如旋转 、、）的情形，再推广到一般角度。 6.变化形式 三角板旋转：将一个三角板绕顶点旋转，求旋转后两个三角板某边之间的夹角。 钟表指针旋转：分针、时针旋转，求夹角（但钟表问题通常有固定公式）。 线段旋转：将一条线段绕端点旋转，求旋转后线段与某条射线的夹角。 图形折叠：折叠本质上也是一种旋转（绕折痕旋转），折叠后图形位置可能有多解。 连续旋转：旋转一次后再旋转一次，需逐次分类。 【典例1】如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，． (1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角； (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式1-1】如图（1），点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第_________ 时，直线恰好平分锐角（图（2））． 【变式1-2】如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时　 　度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明你的理由； (3)将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点O旋转的时间是多少秒？ (4)将图1中的三角板绕点O按每秒12°的速度沿逆时针方向旋转，同时射线绕点O以每秒2°的速度沿逆时针方向旋转，旋转30秒后都停止．在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点O旋转的时间是 　 　秒．（直接写出答案） 【变式1-3】在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则________________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数．（） 【变式1-4】在数学研究中，一般经历观察、猜想、验证、结论四个过程，也是我们常用的几何探究方式．在同一平面内，请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)若边和边所在直线重合，如图1所示，求的度数； (2)保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使，求如图2所示的的度数； (3)试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后将三角板绕着点 B旋转，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请求出的度数． ▌题型04 从特殊到一般的思想解决线段和差问题 1.本质与原理 从特殊到一般的思想是指：先研究简单、具体、特殊的情形（如线段上只有一个点、两个点），观察并总结出规律，再将规律推广到一般情形（线段上有 个点）。在线段和差问题中，这类题型通常给出线段上依次排列的多个点，要求计算所有线段长度之和，或求某条线段与其它线段的和差关系。其本质是：通过特殊情形的计算发现规律，再用含 的整式表达一般规律。这是“探索与表达规律”在几何中的体现。 2.深度识别特征 题目中出现“线段 上有 个点” “线段 被分成 段”等表述。 要求计算“所有线段长度之和”或“图中所有线段条数”。 要求用含 的式子表示某个和或差。 题目可能先给出 的具体情形，再要求推广到一般。 常见于“数线段条数” “求线段长度和”等问题。 3.操作细化步骤 从特殊情形入手：先计算 （线段上1个点）、（2个点）、（3个点）时的结果。 列出数据并观察规律：将特殊情形下的结果列成表格，观察数值的变化规律。 例如：线段上1个点时有3条线段；2个点时有6条线段；3个点时有10条线段。规律为 。 归纳一般规律：根据特殊情形的数据，猜想一般情形下的表达式。 验证猜想：将 代入猜想表达式，与实际计算结果比较，验证是否正确。 用整式表达规律：将规律用含 的整式表示出来（通常需要化简）。 应用规律：利用得到的表达式解决题目中的具体问题。 4.易错点与注意事项 特殊情形的选取：要选取足够多的特殊情形（通常至少3个）才能发现规律。 规律的验证：归纳出的规律必须经过验证，不能仅凭一两个数据就下结论。 线段条数的计数：数线段时容易重复或遗漏，建议按“固定左端点，数右端点”的方法有序计数。 长度和的规律：若线段长度不相等，规律会更复杂，需先分析各段长度之间的关系。 整式的化简：归纳出的表达式通常需要化简为最简形式（去括号、合并同类项）。 5.与其他方法的联系 与“整式及其加减”中的“规律探究”直接相关——都是用含 的整式表达规律。 与“从特殊到一般的思想解决角和差问题”完全平行——线段的和差对应角的和差。 与“分类讨论思想”可结合——在某些特殊情形下，点的位置可能不确定，需先分类再归纳。 6.变化形式 数线段条数：线段上有 个点，共有多少条线段？ 求线段长度之和：线段上有 个点，所有线段长度之和为多少？ 求线段的中点个数：线段上有 个点，两两组合的中点有多少个？ 与比例结合：线段上各段长度成比例，求所有线段长度之和。 与动点结合：点在运动过程中，线段的和差关系如何变化。 【典例1】，两点在数轴上的位置如图所示，其中点对应的有理数为，且．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为秒（）． (1)直接写出当时，的长是______，此时点在数轴上对应的有理数是______； (2)请用含的代数式表示线段的长为______，此时数轴上点所对应的数表示为______； (3)在（）的条件下，点是线段的中点，点是线段的中点，求此时线段的长度． (4)为线段的中点，为线段的中点．在点从点出发沿数轴正方向运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变求出线段的长度． 【变式1-1】线段和在数轴上运动，点A开始时与原点重合，且． (1)若，且点B为线段的中点，求线段的长． (2)在（1）的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为4个单位/秒，线段的速度为2个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值． (3)在（1）的条件下，线段和同时开始向左运动，线段的速度为m个单位/秒，线段的速度为n个单位/秒，设M为线段中点，N为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是，请直接写出线段的长；若不是，请说明理由． 【变式1-2】如图，数轴上A，B，C三点对应的数分别为a，b，c，且a，b满足，C为线段AB的中点．动点P，Q分别从点A，B同时出发匀速相向运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点P运动至点B后，两点同时停止运动，设运动时间为t（）秒． (1)填空： ， ， ． (2)当时，求的长． (3)当时，直接写出t的值． 【变式1-3】动点探究题： 如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为10，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)运动开始前，线段的长度为________；当时，点表示的数为________，点表示的数为________． (2)当，两点相遇时，求相遇点所表示的数． (3)若点为线段的中点，点为线段的中点，在运动过程中，是否存在使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1-4】定义：若数轴上三个点，，，满足，则称点是的“倍点”．例如：数轴上点表示的数是，点表示的数是2，点表示的数是1，此时，，则，则称点是的“倍点”．如图，已知数轴上的点表示的数是，点表示的数是6． (1)则原点____________的“倍点”；（填“是”或“不是”） (2)若点是的“倍点”，求点表示的数； (3)已知动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向左匀速运动；动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，若点，点同时出发，设点的运动时间为（秒）．当点是的“倍点”时，求时间的值． ▌题型05 从特殊到一般的思想解决角和差问题 1.本质与原理 从特殊到一般的思想在角和差问题中的应用，与线段和差问题完全平行。当角被多条射线分成多个小角时，要求计算所有角的度数之和，或求某个角与其它角的和差关系，通常需要先研究特殊情形（如角内有1条射线、2条射线、3条射线），发现规律后再推广到一般情形（角内有 条射线）。其本质是：通过特殊情形的计算发现角度关系的规律，再用含 的整式表达一般规律。 2.深度识别特征 题目中出现“从角的顶点出发有 条射线” “角被分成 个小角”等表述。 要求计算“所有角的度数之和”或“图中所有角的个数”。 要求用含 的式子表示某个和或差。 题目可能先给出 的具体情形，再要求推广。 常见于“数角个数” “求角度和”等问题。 3.操作细化步骤 从特殊情形入手：先计算 （角内1条射线）、（2条射线）、（3条射线）时的结果。 列出数据并观察规律：将特殊情形下的结果列成表格，观察数值的变化规律。 例如：角内1条射线时有3个角；2条射线时有6个角；3条射线时有10个角。规律与线段条数相同，为 。 归纳一般规律：根据特殊情形的数据，猜想一般情形下的表达式。 验证猜想：将 代入猜想表达式，与实际计算结果比较，验证是否正确。 用整式表达规律：将规律用含 的整式表示出来（通常需要化简）。 应用规律：利用得到的表达式解决题目中的具体问题。 4.易错点与注意事项 角的计数与线段计数的区别：角的个数与线段条数的规律虽然相似，但具体情境不同，不能生搬硬套。 角度和的计算：若各小角不相等，角度和的规律会更复杂，需先分析各角之间的关系。 特殊情形的选取：要选取足够多的特殊情形才能发现规律。 角的度数范围：注意角度是否超过 ，若超过则需考虑优角与劣角的区别。 整式的化简：归纳出的表达式通常需要化简为最简形式。 5.与其他方法的联系 与“从特殊到一般的思想解决线段和差问题”完全平行——线段条数对应角的个数。 与“角n等分线的有关计算”相关——n等分线将角分成n个相等的小角，是特殊情况。 与“整式及其加减”中的“规律探究”直接相关——都是用含 的整式表达规律。 与“分类讨论思想”可结合——在某些特殊情形下，射线的位置可能不确定，需先分类再归纳。 6.变化形式 数角个数：角内有 条射线，共有多少个角？ 求角度之和：角内有 条射线，所有角的度数之和为多少？ 求角平分线个数：角内有 条射线，能形成多少个角平分线？ 与比例结合：角内各小角成比例，求所有角度之和。 与旋转结合：射线旋转过程中，角的和差关系如何变化。 【典例1】【问题驱动】已知是直线上的一点，，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图1，若，则的度数为_____（用含有的式子表示）不必说明理由； 【拓广探索】 （3）将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； （4）将图1中的绕顶点逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若，则的度数为_____（用含有的式子表示），不必说明理由． 【变式1-1】已知是直线上一点，是直角，平分． (1)如图1，若，则 ． (2)如图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置，试探究和度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (3)将图1中的绕顶点逆时针旋转至图3的位置，其他条件不变，若，则的度数是 （用含有式子表示），不必说理由． 【变式1-2】已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． (1)如图1，若∠AOC=48°，求∠DOE的度数； (2)如图1，若∠AOC=α，则∠DOE的度数为 (用含有α的式子表示)； (3)将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． (4)将图1中的∠DOC绕顶点O逆时针旋转至图3的位置，其它条件不变，若∠AOC=α，则∠DOE的度数为 (用含有α的式子表示)，不必说明理由． 【变式1-3】综合与实践 从A、B两题中任选一题作答，我选择______题． A．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． （1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过秒后，恰好平分． ①的值是______； ②此时是否平分？说明理由； （2）在（1）的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间平分？请说明理由； （3）在（2）的基础上，经过多长时间，？请画图并说明理由． B．已知，是直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； （3）将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $