专题10 动角问题的五类培优综合题型（四川成都专用，压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以“解题通法—题型归纳—压轴挑战”为框架，系统提炼动角问题核心解法，通过五类题型构建从基础到综合的知识逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心解法|代数式表示线段长|动角问题底层逻辑构建| |题型归纳|5类（1典例+3变式/类）|角平分线定义/分类讨论/和差关系/定值分析/新定义理解|从静态角度计算到动态旋转、数量关系探究的递进| |压轴挑战|7综合题|综合运用多法解决复杂动态问题|融合旋转、角平分线、新定义的高阶应用拓展|

专题10 动角问题的五类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求角度问题 题型二、求动角运动时间问题 题型三、动角之间数量关系的问题 题型四、动角中的定值问题 题型五、新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 动角问题是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕动角运动时间、数量关系与定值问题展开，其中压轴题还涉及到新定义问题，解题贯穿基本底线原则：将线段长用代数式表示以便于运算求解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求角度问题 典例1综合与实践 【特例感知】 （1）如图1，线段，，，分别是，的中点，则． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图，在的内部转动，射线 和射线 分别平分 和． ①若，，求的度数． ②请你猜想 和之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 （）如图，在 的内部转动．若，，，，求的度数（用含有，的式子来表示）． 【答案】（1）；（2）①； ②． 理由：由条件可知， 所以， 所以 ． （3） 【分析】本题考查了线段中点和角平分线的定义，熟练掌握线段和角的计算是解题的关键，注意角转动后角的位置变化； （1）根据线段中点，得出，，再根据的关系得出，最后求得的长度； （2）①由和已知条件，需要求出，由和分别平分和，得出，进而求出此题； ②与①同理可得结论； （3）由条件可知，根据已知可，进而根据即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，分别是的中点， ∴，， ∴， ∴ （2）①由条件可知， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． ②略 （3）由条件可知． 因为， 所以， 所以， 所以． 题型模版 1.特征：求角度问题. 2.方法：熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． 变式1-1已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，． (1)如图2，若与重合，其中，，则____； (2)如图3，，为直线同侧的点，，是钝角， ①依题意，在图3中画出射线及的平分线； ②求的度数（用含的式子表示）； (3)当，都是锐角时，直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)(2)由题意，画图如下， (3)或 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． （1）根据图根据题意得到，则问题可解； （2）①根据题意画图即可；②由题意得到，进而得到，再由角平分线得到，根据图形表示即可； （3）分当，在直线同侧时和，在直线异侧，分别计算即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为： （2）①略 ②∵，平分， ∴， ∴, ∵,平分， ∴， ∴ ； （3）如图，当，在直线同侧时， 由题意，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； 当，在直线异侧，且时，如图， 同理可求，∴， ∴ ； 综上，的角度为或． 变式1-2如图，已知在同一平面内的一块三角板和一条直线，其中．现把该三角板的顶点放在直线上． (1)如图1，若该三角板位于直线的上方，且，求的度数； (2)已知平分，平分， ①如图2，若三角板位于直线的上方，求的度数； ②如图3，若将三角板绕着点顺时针旋转一周的过程中，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据平角的定义求解即可； （2）①根据平角的定义求出，再由角平分线的定义推出，据此可得答案；②分两种情况：都在直线上方和都在直线下方，分别画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； ② 如图3-1所示，当都在直线上方时， 同理可得 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当都在直线下方时， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 变式1-3某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 如图1，边，与直线重合，，，图2在图1的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度． (1)如图2，当为直角时，求的度数； (2)如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，请直接写出旋转角（即）的度数． 【答案】(1)； (2)、或 【分析】本题主要考查了角的和差计算、角平分线的定义及旋转的性质，熟练掌握分类讨论思想和角的运算规则是解题的关键． （1）先根据和求出，再用减去得到． （2）分三种情况讨论平分的角，当平分时；当平分时；当平分时；分别利用角平分线的定义求出，再计算旋转角． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：情况1：平分： ，， ， ∴， ， ∴， ， ； 情况2：平分： 平分，， ∴， ； 情况3：平分： ，， ∴， ∴, ； 综上，旋转角的度数为、或． 类型二、求动角运动时间问题 典例2综合与探究 问题情境：探究三角尺中的学问．一把含角的直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使得，直角三角板的直角边从射线开始，绕点以/秒的速度顺时针旋转一圈，设旋转的时间为秒． 问题解决： (1)如图，当直角边在射线上，另一边在直线的上方，则的度数为 ，的度数为 ； 初步感知： (2)当直角三角板旋转到如图所示的位置时，射线恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； 操作探究： (3)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， 理由如下： ， ，， 恰好平分， ， ， ． (3)存在，t的值为2或8或20 【分析】（1）由角的和差得，，即可求解； （2）由角的和差及角平分线的定义得，，由余角的性质，即可求解； （3）分类讨论：①当是、构成夹角的平分线，②当是、构成夹角的平分线，③当是、构成夹角的平分线，结合角平分线的定义求出旋转的度数，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）略 （3）解：存在； ①如图，当是、构成夹角的平分线， ， ； ②如图，当是、构成夹角的平分线， ， ； ③如图，当是、构成夹角的平分线， ， 绕旋转了， ． 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线，角的和差，余角的性质，旋转的性质，掌握余角的性质，熟练利用角平分线的定义并结合角的和差进行求解，能根据旋转的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 题型模版 1.特征：求动角运动时间问题. 2.方法：根据旋转位置分类讨论是解决问题的关键． 变式2-1如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图，将图中的三角板绕点逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分，此时______度； (2)如图，继续将图中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第秒时，，，三条射线恰好构成相等的角，则的值为______（直接写出结果）． 【答案】(1) (2) 与之间满足等量关系为：， 理由如下： ，， ， (3)或或或 【分析】本题考查角的和差关系，角平分线的定义，用方程解几何问题是常用的方法； （1）由恰好平分得，，再根据互余求出即可； （2）由，可得结论； （3）根据逆时针旋转，得出不同情况下三条射线组成等角，画出相应的图形，利用方程求出答案． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵恰好平分， ∴， ∵ ． 故答案为：． （2）略 （3）解：如图4，设旋转的时间为秒， ①当时， ，解得，； ②当时， ，解得，； ③当时， ，解得，； ④当时， ，解得，；  综上：的值为秒，秒，秒或秒， 故答案为：或或或． 变式2-2如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分，此时___度；____度． (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点旋转的时间是____秒． 【答案】(1)120；30 (2)， 理由：如图3， ∵， ∴， ∵， ∴； (3)或30 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，以及旋转的性质，解题的关键是认真观察图形，并动中找静，分析出角之间的关系． （1）根据恰好平分，求出、的度数，即可求出、的度数； （2）首先根据求出，然后根据，即可得出结论； （3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分的反向延长线平分和平分两种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵恰好平分，， ∴， ∴．． 故答案为：120；30； （2）略 （3）解：设三角板绕点O旋转的时间是x秒， 如图a，当的反向延长线平分时， 则 ∴， ∴， ∴， ∴； 如图b，当平分时，， ∴旋转的角度是， ∴， ∴， 综上，或， 即此时三角板绕点O旋转的时间是或30秒． 故答案为：或30． 题型三、动角之间数量关系的问题 典例3是内部的一条射线，且． (1)如图1，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2，是锐角，在内引射线，满足．若平分，判断是不是的平分线，并说明理由； (3)如图3，，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度同时绕着点逆时针旋转，当第一次回到上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为秒．和分别在和内部时，探究和的数量关系；并说明理由． 【答案】(1)； (2)是的平分线，理由如下： 设，则， ， ， ， 平分， ， ， ，即平分； (3) ，理由如下： ，， ，， 由题意得：，， ， 在内部， ， ． 【分析】本题考查角平分线的定义、角的和差运算及旋转运动中的角的数量关系，关键是利用角的和差及平分线性质表示相关角． （1）先根据求出，再利用角平分线的定义求出和，最后通过角的差求出； （2）设，用表示出、，再根据已知条件求出，结合角平分线定义得到，进而计算，判断是否为的一半； （3）先表示出和，再根据旋转速度和时间表示出和，通过变形得到两者的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 平分， ， ； （2）略 （3）略 题型模版 1.特征：动角之间数量关系问题 2.方法：利用角的和差及平分线性质表示相关角，是解题的关键． 变式3-1如图，点O为直线上一点． (1)如图1，若 ； (2)如图2，若，平分，平分．则 ； (3)如图3，若平分，平分，判断的大小？并写出求的过程？ (4)若把顶点与图1中的点O重合并在直线上方旋转（），在旋转的过程中，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)， 过程如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； (4)或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据平角的定义可得答案； （2）根据平角的定义可得的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此可得答案； （3）根据角平分线的定义可得，再由平角的定义和角的和差关系可得答案； （4）分解析中的四种情况，根据角的和差关系讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴； （3）略 （4）解：当在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当不在内部，且在内部时， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，当在内部，且不在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当不在内部，在内部时， ∵， ∴， ∴； 综上所述，或或． 变式3-2如图1，点O为直线上一点，过点O在直线的下方作射线，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，一边和射线重合，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2情形，此时，恰好平分，求的度数； (2)若． ①将图1中的三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，第t秒时，直线恰好平分，求t的值； ②将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图3情形，使在的内部，，，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①6或24秒；② 【分析】本题主要考查了三角板旋转过程中角度的计算，角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角度的计算是解题的关键． （1）由角平分线的定义和角的计算即可求解； （2）分当线段的延长线平分时，当线段旋转至内部平分时，根据旋转的度数除以旋转速度，即可求解； ②根据、，然后作差，即可求解． 【详解】（1）解：由条件可知， 恰好平分， ∴． （2）解：∵， ∴， ①当线段的延长线平分时，如图2， 则此时，三角板绕点O逆时针旋转了， ∴（秒）； 当线段旋转至内部平分时，如图3， 三角板绕点O逆时针旋转了， ∴（秒）， 综上所述，t的值为6或24秒． ②∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 变式3-3【探索新知】 （1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与的数量关系________． 【深入探究】 （2）如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，作，（，都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）①；；②；（2）；（3）或或 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）①当时，根据互余关系得出，根据得出，当时，得出，根据互余关系得出即可求解；②根据，即可得出； （2）根据（1）的方法得出，即可求解； （3）分4种情况讨论，即①在上方时，②在内部，③在内部，④在下方，分别画出图形，结合图形即可求解． 【详解】解：（1）①当时， ∵， ∴ ∵， ∴； 当时， ∵， ∴ ∵， ∴． 故答案为：；； ②∵ ∴； 即 （2）．理由如下： ∵； ∴； （3）①在上方时，如图： ∴ ②在内部，如图： 同理可得：； ③在内部，如图：； ④在下方，如图： ． 综上所述，或或． 题型四、动角中的定值 典例4 已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)30 (2) (3) 当时（如图3），为定值． 理由如下： ∵是平角，，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为． 【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案； （2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案； （3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定． 【详解】（1）解：当时，由题意可知，是平角， ∴， 又∵平分， ∴． 故答案为：30； （2）当时，如图2， ∵是平角，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 题型模版 1.特征：动角中的定值问题. 2.方法：解题的关键是读懂题中动角旋转问题，通过分类讨论求解． 变式4-1如图，两个形状，大小完全相同的含有，的三角板如图①放置，，与直线重合，且三角板与三角板均可绕点P逆时针旋转． (1)图①中， (2)如图②，三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为每秒，同时三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为每秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，设，，以下两个结论： ①为定值；②为定值，请选择你认为对的结论加以说明． 【答案】(1) (2) (3) ①正确，定值为，说明如下： 设运动时间为秒，则， ，． ， ①，为定值， ②，不为定值， 即①正确． 【分析】本题考查了角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，还要理清角之间的关系． （1）利用含有、的三角板得出，进而求出即可； （2）设，，则，进而利用求出即可； （3）设运动时间为秒，则，表示出和的度数即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ； 故答案为：； （2）解：平分 设，， 则， 平分， ， ， ， ； （3）略 变式4-2已知直角三角板ABC中，，，将三角板ABC绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的； (3)当时． ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 【答案】(1)，； (2) 如图，把绕点A逆时针旋转，得到和， 连接，得到，即为所求作； (3)①或；②． 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形即可； （3）①分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形解答即可求解；②由旋转的性质得，即得，进而可得，，即得到，即可得，求出m的值即可求解． 【详解】（1）解：∵将三角板绕着点A旋转得到， ，， ， ； （2）略 （3）解：①如图，当旋转方向为逆时针方向时，，， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时，，， ， ， 解得； 综上，的度数为或； ②由旋转性质可得，， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ， 解得， 常数m的值为 题型五、新定义问题 典例5 定义：若，且，则称是的差余角．例如：，，则是的差余角．请解决下列问题． 点O在直线上，点C是直线上方的一个定点，过点O作射线． (1)如图1，若是的差余角，则的度数为______； (2)如图2，将直角三角尺按图2方式放置，使得直角顶点与点O重合，且平分， ①求证：； ②图中的差余角有：____________； (3)如图3，将直角三角尺自图3位置（三角尺的一边在上）开始绕直角顶点O顺时针转动，当是的差余角时，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】(1) (2)①证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即 ∵， ∴； ② (3)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算. （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，据此建立方程求解即可； （2）①根据平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，进一步由平角的定义得到，据此可得结论；②由（2）①的结论得到，根据，得到，据此可得结论； （3）分在左侧，在右侧，在下方三种情况，根据差余角的定义得到，再根据角之间的关系导角求解即可． 【详解】（1）解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：①略 ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴的差余角有； 故答案为：； （3）解：如图3-1所示，当在左侧时， ∵是的差余角， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图3-2所示，当在右侧时， ∵是的差余角， ∴， ∵， ∴， ∴此种情况不存在； 如图3-3所示，当在下方时， ∵是的差余角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 题型模版 1.特征：新定义问题. 2.方法：解题的关键是读懂题中角度的新定义，通过分类讨论求解． 变式5-1定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 【答案】(1)（或或或） (2)①或或   ②3或4或8 【分析】本题考查了角度的计算，新定义，一元一次方程的应用； （1）根据新定义可得当在的外部时，，当在的内部时，为的三等分线，进而分类讨论，即可求解； （2）根据新定义按照（1）的方法，分类讨论，即可求解． ②同（1）的方法，得出当在的内部时，当在的外部时，分别列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的一条“倍距线”， ∴或， 如图所示，当在的外部时，， 当在的内部时，为的三等分线， ∵， 当在的外部时，，则 当在的内部时，为的三等分线，则或 综上，的度数为或或或； 故答案为：（或或或）． （2）解：①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒 ∴ ∵，． ∴ ∵是的“倍距线” 由（1）可得当在的内部时，或 即或 解得：或 当在的外部时， 即 解得： 综上， 或或． ②∵是的“倍距线”， ∴或， 当在的内部时， 或 即或 解得：或 当在的外部时， ，则 ∴ 解得： 综上：或4或8 故答案为：3或4或8． 变式5-2定义：从的顶点P引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的补线．    (1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号） (2)如图，O是直线上一点，射线，在同侧，是的平分线，则是关于边的补线吗？为什么？ (3)已知射线为关于边的补线，是的平分线．若，试用含α的式子表示（直接写出结果）． 【答案】(1)③ (2)是关于边的补线，理由见解答 (3)可以表示为或或或 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行判断即可； （2）根据是的平分线，得出，求出，根据不与重合，结合补线定义进行判断即可； （3）分情况讨论：当为钝角，且在内部时，当为钝角，且在外部时，当为锐角，且在内部，且时，当为锐角，且在内部，且时，当为锐角，且在外部，当为直角时，只能在的外部，分别画出图形求出结果即可． 【详解】（1）解：①当这个角是钝角时，它的补线一条在内部，邻补的在外部； ②当这个角是直角时，它的补线只有1条； ③当这个角是直角时，它的补线只有1条，当这个角不是直角时，有两条； 故答案为：③； （2）解：是关于边的补线，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵不与重合， ∴是关于边的补线． （3）解：当为钝角，且在内部时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线． ∴， ∴． 当为钝角，且在外部时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线． ∴， ∴． 当为锐角，且在内部，且时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线． ∴， ∴； 当为锐角，且在内部，且时，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 当为锐角，且在外部，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 当为直角时，只能在的外部，如图所示：    ∵射线为关于边的补线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 综上分析可知：可以表示为或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是熟练掌握新定义，数形结合，注意进行分类讨论． 变式5-3新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，直接写出此时三角尺绕点旋转的时间． 【答案】(1)120 (2)解：， 理由：如图3， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒． 【分析】（1）根据恰好平分，求出、的度数，即可求出的度数； （2）根据，判断出与之间满足什么等量关系即可； （3）设三角板绕点O旋转的时间是x秒，分的反向延长线平分和平分两种情况分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：∵恰好平分，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：设三角板绕点O旋转的时间是x秒， 当的反向延长线平分时， 则 ∴， ∴， ∴， ∴； 如图b，当平分时，， ∴旋转的角度是， ∴， ∴， 综上，或， 即此时三角板绕点O旋转的时间是6或24秒． 2．如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使，试探究与的数量关系． 【答案】(1) 解：，理由如下： ，， ， ，， ； (2)； (3) 解：如图，当在的右侧时， 设则， 即， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，当在的左侧时， 设则， 即， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上，或 【分析】本题主要考查了角的和差运算、角平分线的定义、角度的设元与代数推导，熟练掌握角的和差关系、角平分线的性质，以及通过设未知数建立角度间的代数关系是解题的关键． （1）已知且，先求出两角的度数，再通过角的和差关系推导与的大小关系． （2）由（1）的结论得，计算出的度数；再利用角平分线的定义求出和，最后通过计算结果． （3）设，由得，结合求出，得到与的度数；再根据得到与的关系；结合，分在右侧、在左侧两种情况，通过角的和差推导出与的数量关系． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ，， ， ， ， ，， ， ； （3）略 3．图1，点A，O，B在水平直线上依次排列．从一副三角尺中任取一个，将其某一个锐角的顶点放置在直线上与点O重合，该锐角的两边分别为，且点O，C，D按顺时针方向排列（边不与直线重合）．射线平分，射线平分． (1)若，，求的度数； (2)如图2，若，且与互余，求的度数； (3)将三角尺绕点O旋转，使得角平分线都在直线的下方，求的度数的所有可能值． 【答案】(1)； (2)； (3)的可能值为或或． 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，整式加减的应用，互余的含义． （1）先求得，，再求得的度数，再进一步求解即可； （2）先求得，，，再进一步求解即可； （3）分，和三种情况讨论，根据题意列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵射线平分，射线平分，． ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵与互余，，射线平分， ∴，， ∵射线平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，设，则，， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴ ； 当时，设，则，， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴ ； 当时，设，则，， ∵射线平分，射线平分， ∴，， ∴ ； 综上：的可能值为或或． 4．在一次数学实践探究活动中，同学们将三角尺的直角顶点O放置在直线上，边与重合，如图1，将三角尺绕点O顺时针旋转（不超过），如图2，旋转过程中不与重合，作射线平分． (1)当时，_____（直接写出结果）； (2)若三角尺旋转到如图2所示的位置时，判断与之间的数量关系并说明理由； (3)作射线平分． ①当三角尺旋转到如图2所示的位置时，请补齐图形并求的度数； ②继续将三角尺绕着点O旋转，请直接写出的度数为_____． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (3)①补全图形如下所示： ； ②当旋转角度小于90度时，；当旋转角度大于90度，且小于180度时，；当旋转角度大于180度，且小于270度时，；当旋转角度大于270度，且小于360度时， 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，三角板中角度的特点，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，再由平角的定义可得答案； （2）同（1）求解即可； （3）①先根据题意补全图形，设，则，，，由角平分线的定义可得，，求出的度数，再根据可得答案；②设旋转角度为，可分四种情况：；； ；；分别画出对应的示意图讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①设， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； ②设旋转角度为， 如图2-1所示，当时，同理可得； 如图2-2所示，当时，则， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 如图2-3所示，当时，则， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 如图2-4所示，当时，则， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，当旋转角度小于90度时，；当旋转角度大于90度，且小于180度时，；当旋转角度大于180度，且小于270度时，；当旋转角度大于270度，且小于360度时，． 5．已知：O是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)如图3，当时，三角板的两直角边分别与重合，现将三角板绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，列代数式，整式的加减运算，与角平分线有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再根据角平分线的定义进行列式计算，得，根据是直角，得出，即可作答． （2）由角平分线的性质得，，则，又因为是直角，故，整理得，故，即可作答． （3）理解题意，结合三角板的两直角边分别与重合，现将三角板绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，进行分类讨论，且逐个情况作图，列式化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分钝角． ∴， ∵是直角， ∴， （2）解：∵平分钝角． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是直角， ∴， 即， ∴， ∴， （3）解：∵， ∴与（1）同理得， ∵三角板的两直角边分别与重合，现将三角板绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒 ∴（秒），（秒）， 当时，如图所示： ∴，， 则， 当时，如图所示： ∴，， 则， 当时，如图所示： ∴，， 则， 综上：当时，；当时，；当时， 6．如图1，一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，，分别是，的平分线，现将三角板绕点按逆时针方向旋转（如图2），且． (1)当时， ①若，求的度数． ②在运动过程中，试猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图3，平分，若，求的度数． 【答案】(1)①； ②；理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； (2)或 【分析】本题考查与三角板有关的计算，与角平分线有关的计算： （1）①根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可；②根据角平分线的定义结合角的和差关系进行求解即可； （2）分在的内部和在的外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，可知：， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②略 （2）解：①当在的内部时， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴，则， ∴此时重合， ∵是的平分线， ∴； 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ； ②当在的外部时， 则：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 综上：或． 7．已知如图，． (1)若，则______； (2)如图，，为内部的一条直线，是四等分线，且，求的值； (3)如图，，射线绕着点从开始以度秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为，是四等分线，且，当在某个范围内会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均为大于且小于的角）． 【答案】(1)或 (2) (3)时，或时，，是定值． 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，正确分类并画出图形是关键． （1）分两种情况：射线在内部；射线在外部，且在射线上方；即可计算； （2）设，易得，，进而可表示出及，即可求得的度数；　 （3）记转过的角度为，分四种情况：①当时，此时，；②当时，此时；③当时，且在外时，此时；④当时，且在内部或与重合时，此时；利用角的和差倍关系，用表示出有关角的度数，再求的结果即可． 【详解】（1）解：射线在内部时，如图； 因为， 所以， l； 当射线在外部，且在射线上方时，如图； 因为， 所以， 所以； 综上，为或； （2）解： 设， ∵是的四等分线，且， 所以，， 又， 所以， 所以， 所以， 即． （3）解：记转过的角度为，分四种情况讨论： ①当时，此时，，如图， 由题意， 所以， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以． 所以当时，，是定值． ②当时，此时，如图， 由题意， 则 ， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以． 所以当时，不是定值． ③当时，且在外时，此时，如图， 由题意， 所以 ， 因为是四等分线，且， 所以 ， 所以， 所以当时，不是定值． ④当时，且在内部或与重合时，此时，如图， 由题意， 所以， 所以 ， 所以， 所以时，为定值． 综上所述：时，或时，，是定值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 动角问题的五类培优综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求角度问题 题型二、求动角运动时间问题 题型三、动角之间数量关系的问题 题型四、动角中的定值问题 题型五、新定义问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 动角问题是七年级上学期数学重难点，所有题型均围绕动角运动时间、数量关系与定值问题展开，其中压轴题还涉及到新定义问题，解题贯穿基本底线原则：将线段长用代数式表示以便于运算求解。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、求角度问题 典例1综合与实践 【特例感知】 （1）如图1，线段，，，分别是，的中点，则． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图，在的内部转动，射线 和射线 分别平分 和． ①若，，求的度数． ②请你猜想 和之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【类比探究】 （）如图，在 的内部转动．若，，，，求的度数（用含有，的式子来表示）． 题型模版 1.特征：求角度问题. 2.方法：熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键． 变式1-1已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，． (1)如图2，若与重合，其中，，则____； (2)如图3，，为直线同侧的点，，是钝角， ①依题意，在图3中画出射线及的平分线； ②求的度数（用含的式子表示）； (3)当，都是锐角时，直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 变式1-2如图，已知在同一平面内的一块三角板和一条直线，其中．现把该三角板的顶点放在直线上． (1)如图1，若该三角板位于直线的上方，且，求的度数； (2)已知平分，平分， ①如图2，若三角板位于直线的上方，求的度数； ②如图3，若将三角板绕着点顺时针旋转一周的过程中，当时，求的度数． 变式1-3某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 如图1，边，与直线重合，，，图2在图1的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度． (1)如图2，当为直角时，求的度数； (2)如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，请直接写出旋转角（即）的度数． 类型二、求动角运动时间问题 典例2综合与探究 问题情境：探究三角尺中的学问．一把含角的直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使得，直角三角板的直角边从射线开始，绕点以/秒的速度顺时针旋转一圈，设旋转的时间为秒． 问题解决： (1)如图，当直角边在射线上，另一边在直线的上方，则的度数为 ，的度数为 ； 初步感知： (2)当直角三角板旋转到如图所示的位置时，射线恰好平分，试猜想此时与之间的数量关系，并说明理由； 操作探究： (3) 在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线所夹角的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：求动角运动时间问题. 2.方法：根据旋转位置分类讨论是解决问题的关键． 变式2-1如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图，将图中的三角板绕点逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分，此时______度； (2)如图，继续将图中的三角板绕点按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第秒时，，，三条射线恰好构成相等的角，则的值为______（直接写出结果）． 变式2-2如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分，此时___度；____度． (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由． (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，则此时三角板绕点旋转的时间是____秒． 题型三、动角之间数量关系的问题 典例3是内部的一条射线，且． (1)如图1，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2，是锐角，在内引射线，满足．若平分，判断是不是的平分线，并说明理由； (3)如图3，，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度同时绕着点逆时针旋转，当第一次回到上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为秒．和分别在和内部时，探究和的数量关系；并说明理由． 题型模版 1.特征：动角之间数量关系问题 2.方法：利用角的和差及平分线性质表示相关角，是解题的关键． 变式3-1如图，点O为直线上一点． (1)如图1，若 ； (2)如图2，若，平分，平分．则 ； (3)如图3，若平分，平分，判断的大小？并写出求的过程？ (4)若把顶点与图1中的点O重合并在直线上方旋转（），在旋转的过程中，请直接写出与的数量关系． 变式3-2如图1，点O为直线上一点，过点O在直线的下方作射线，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，一边和射线重合，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2情形，此时，恰好平分，求的度数； (2)若． ①将图1中的三角板绕点O按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，第t秒时，直线恰好平分，求t的值； ②将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图3情形，使在的内部，，，求与之间的数量关系． 变式3-3【探索新知】 （1）如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与的数量关系________． 【深入探究】 （2）如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，作，（，都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 题型四、动角中的定值 典例4 已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 题型模版 1.特征：动角中的定值问题. 2.方法：解题的关键是读懂题中动角旋转问题，通过分类讨论求解． 变式4-1如图，两个形状，大小完全相同的含有，的三角板如图①放置，，与直线重合，且三角板与三角板均可绕点P逆时针旋转． (1)图①中， (2)如图②，三角板的边从处开始绕点逆时针旋转一定度数，平分，平分，求． (3)如图③，若三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为每秒，同时三角板的边从处开始绕点P逆时针旋转，转速为每秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，设，，以下两个结论： ①为定值；②为定值，请选择你认为对的结论加以说明． 变式4-2已知直角三角板ABC中，，，将三角板ABC绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图），求和的大小； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的； (3)当时． ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 题型五、新定义问题 典例5 定义：若，且，则称是的差余角．例如：，，则是的差余角．请解决下列问题． 点O在直线上，点C是直线上方的一个定点，过点O作射线． (1)如图1，若是的差余角，则的度数为______； (2)如图2，将直角三角尺按图2方式放置，使得直角顶点与点O重合，且平分， ①求证：； ②图中的差余角有：____________； (3)如图3，将直角三角尺自图3位置（三角尺的一边在上）开始绕直角顶点O顺时针转动，当是的差余角时，请直接写出此时与的数量关系． 题型模版 1.特征：新定义问题. 2.方法：解题的关键是读懂题中角度的新定义，通过分类讨论求解． 变式5-1定义：在同一平面内有，，三条射线．若分别与，形成的角的度数成2倍关系，即或，则称射线是的“倍距线”．如图①，若，，满足，则是的一条“倍距线”． (1)若，是的一条“倍距线”，则的度数为______°．（写出一个答案即可） (2)如图②，点O在直线上，，． ①射线从开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒（，当t为何值时，是的“倍距线”？ ②如图③，将一直角三角板一个顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转．设运动时间为秒，若是的“倍距线”，则______． 变式5-2定义：从的顶点P引一条射线（不与重合），若，则称射线为关于边的补线．    (1)下列说法：①一个角关于某边的补线一定在这个角的外部；②一个角关于某边的补线一定有2条；③一个角关于某边的补线有1条或2条，其中正确的是 ；（填序号） (2)如图，O是直线上一点，射线，在同侧，是的平分线，则是关于边的补线吗？为什么？ (3)已知射线为关于边的补线，是的平分线．若，试用含α的式子表示（直接写出结果）． 变式5-3新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度； (2)如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由； (3)将图1中的三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线恰好平分，直接写出此时三角尺绕点旋转的时间． 2．如图，射线在内部，射线在射线左侧，． (1)当时，试比较与的大小，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，射线，分别平分与，求的度数； (3)若，，都在内部，过点作射线，使，试探究与的数量关系． 3．图1，点A，O，B在水平直线上依次排列．从一副三角尺中任取一个，将其某一个锐角的顶点放置在直线上与点O重合，该锐角的两边分别为，且点O，C，D按顺时针方向排列（边不与直线重合）．射线平分，射线平分． (1)若，，求的度数； (2)如图2，若，且与互余，求的度数； (3)将三角尺绕点O旋转，使得角平分线都在直线的下方，求的度数的所有可能值． 4．在一次数学实践探究活动中，同学们将三角尺的直角顶点O放置在直线上，边与重合，如图1，将三角尺绕点O顺时针旋转（不超过），如图2，旋转过程中不与重合，作射线平分． (1)当时，_____（直接写出结果）； (2)若三角尺旋转到如图2所示的位置时，判断与之间的数量关系并说明理由； (3)作射线平分． ①当三角尺旋转到如图2所示的位置时，请补齐图形并求的度数； ②继续将三角尺绕着点O旋转，请直接写出的度数为_____． 5．已知：O是直线上的一点，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分，求的度数； (3)如图3，当时，三角板的两直角边分别与重合，现将三角板绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒，请探究和之间的数量关系．（直接写出结果） 6．如图1，一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，，分别是，的平分线，现将三角板绕点按逆时针方向旋转（如图2），且． (1)当时， ①若，求的度数． ②在运动过程中，试猜想与的数量关系，并说明理由． (2)如图3，平分，若，求的度数． 7．已知如图，． (1)若，则______； (2)如图，，为内部的一条直线，是四等分线，且，求的值； (3)如图，，射线绕着点从开始以度秒的速度逆时针旋转一周至结束，在旋转过程中，设运动的时间为，是四等分线，且，当在某个范围内会为定值，请直接写出定值，并指出对应的范围（本题中的角均为大于且小于的角）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $