专题4.2 对数（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题4.2 对数 教学目标 1.理解对数的概念，知道自然对数和常用对数； 2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化。 3.理解对数的运算性质；会用对数的运算性质进行一些简单的化简、计算； 4.通过运用对数的运算性质进行化简求值，培养学生的数学抽象及数学运算素养 教学重难点 1.重点 对数的运算性质及换底公式； 2.难点 熟练掌握指对数形式的互化，会求与对数相关的综合问题 知识点1 对数的概念 1.对数的定义 一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作 ，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2.常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 3.指数与对数的互化 当时，. 4.对数的性质 （1） ；（2） ；（3）零和负数没有对数． 5.对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 【即学即练】 1．在中，实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．当为何值时下列各式有意义? （1），则__________； （2），则__________； （3），则__________； （4），则__________. 3.将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点2 对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 对数运算中的常见公式及推广(选讲) (1)loga＝logaM(M＞0，n∈N*，n＞1，a＞0，且a≠1)； (2)loga＝－logaM(M＞0，a＞0，且a≠1)； (3)loga＝logaM(M＞0，n，p∈N*，p，n＞1，a＞0，且a≠1)； (4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0，a＞0，且a≠1). 【即学即练】 1.（多选）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 2.计算下列各题： (1)； (2). (3). 知识点3 对数恒等式及换底公式 1.对数恒等式 已知a>0，a≠1，N＞0，b∈R.（1）logaab＝ ；(2) alogaN＝ 2.换底公式 一般地，logaN＝ ，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 这个公式称为对数的换底公式，用语言可表示为：一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示. 换底公式的推论：（1）= ；（2）= 【即学即练】 1．的值 _____. 2．若，则（    ） A． B． C． D．2 题型01 对数的概念及辨析 【典例1】有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 对数中，为底，范围为且，叫做真数，且，零和负数没有对数 【变式1】对数式中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于;④成立.其中正确的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】下列命题中：①；②一个数如果不是正数，它就没有对数；③指数式和对数式一定能互相转化；④.其中真命题的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 指数式与对数式互化及其应用 【典例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【典例2】求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 指数式与对数式互化的方法： （1）将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； （2）将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 【变式1】下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2】将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式3】．将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 题型03 利用对数恒等式化简求值 【典例1】若，则___________ 【典例2】已知，则有（    ） A． B． C． D． 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 【变式1】计算：的结果为_______. 【变式2】．________. 【变式3】计算：； 题型04 利用对数的运算性质求值与化简 【典例1】计算： (1)； (2)已知，求的值． 对数式化简与求值的基本原则和方法： (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行； (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 【变式1】计算： 【变式2】求值或化简： (1) (2) 【变式3】计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【变式4】根据已知条件，求解下列各值 (1)已知，，且，求实数的值． (2)求值． 题型05 用已知对数表示其它对数 【典例1】若，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 将所求的对数利用对数运算性质或者换底公式，转化成已知对数中的数据 【变式1】已知，，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4】已知，，则可用表示为（   ） A． B． C． D． 题型06 换底公式的应用 【典例1】已知，，则（     ） A． B． C． D． 【典例2】已知a，b，c均为正数，且，求证：； 应用换底公式应注意的2个方面： （1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式 【变式1】已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【变式2】设，则用表示= 【变式3】若实数、、满足，则下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 题型07 利用对数运算解决实际问题 【典例1】生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，若，则（    ） A． B． C． D． 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数幂型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算 【变式1】努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（    ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 【变式2】吸光度用于描述材料对光的吸收程度．记吸光度为，透射光的光强为，入射光的光强为，则．现有光强为的入射光同时照射材料甲与材料乙，已知照射材料甲得到透射光的光强是照射材料乙得到透射光的光强的，则材料甲的吸光度与材料乙的吸光度的差值为________． 【变式3】19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现在大量十进制随机数据中以开头的数出现的概率为，并可用此概率检验某些经济数据. ，则的值为__________. 1． （    ） A． B． C． D．2 2．已知，则（     ） A． B． C． D． 3.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由1.6提高到2.4，则（    ） A． B． C． D． 4．下列语句正确的是 ①对数式logaN=b与指数式ab=N是同一关系的两种不同表示方法． ②若ab=N（a>0且a≠1，N>0），则一定成立． ③对数的底数可以为任意正实数． ④logaab=b对一切a>0且a≠1恒成立． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5.（多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 6．已知实数，满足：，且，则_______． 7．将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 8．（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）． （2）已知，试用表示． （3）化简： 1．若，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 4.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过____天． 参考数据：， 5.已知x，y，z均为正实数，若，则的值为________． 6．设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 7．已知：，求证：． 8．（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 对数 教学目标 1.理解对数的概念，知道自然对数和常用对数； 2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化。 3.理解对数的运算性质；会用对数的运算性质进行一些简单的化简、计算； 4.通过运用对数的运算性质进行化简求值，培养学生的数学抽象及数学运算素养 教学重难点 1.重点 对数的运算性质及换底公式； 2.难点 熟练掌握指对数形式的互化，会求与对数相关的综合问题 知识点1 对数的概念 1.对数的定义 一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数． 2.常用对数与自然对数 通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，记为.在科学技术中常使用以无理数为底的对数，以为底的对数称为自然对数，并记为. 3.指数与对数的互化 当时，. 4.对数的性质 （1）；（2）；（3）零和负数没有对数． 5.对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 【即学即练】 1．在中，实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对数式有意义的条件是：真数为正数，底为正数且不为1，联立得到不等式组，解出即可． 【详解】由对数的定义知， 解得 或 . 故选C． 2．当为何值时下列各式有意义? （1），则__________； （2），则__________； （3），则__________； （4），则__________. 【答案】 【分析】对数式要有意义，则其底数需大于0且不等于1，真数需大于0. 【详解】（1）因为； （2）因为； （3）因为； （4）因为. 3.将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 知识点2 对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 对数运算中的常见公式及推广(选讲) (1)loga＝logaM(M＞0，n∈N*，n＞1，a＞0，且a≠1)； (2)loga＝－logaM(M＞0，a＞0，且a≠1)； (3)loga＝logaM(M＞0，n，p∈N*，p，n＞1，a＞0，且a≠1)； (4)loga(M·N)＝logaM＋logaN(a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0)可推广为loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(k∈N*，N1，N2，…，Nk均大于0，a＞0，且a≠1). 【即学即练】 1.（多选）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用对数的运算性质可判断AB选项；利用换底公式可判断C选项；利用换底公式和对数的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 2.计算下列各题： (1)； (2). (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3） 知识点3 对数恒等式及换底公式 1.对数恒等式 已知a>0，a≠1，N＞0，b∈R.（1）logaab＝b；(2) alogaN＝N 2.换底公式 一般地，logaN＝，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1. 这个公式称为对数的换底公式，用语言可表示为：一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示. 换底公式的推论：（1）=；（2）= 【即学即练】 1．的值 _____. 【答案】12 【分析】根据对数恒等式计算即可. 【详解】由对数恒等式得， 故答案为：12. 2．若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】由可得， 则. 题型01 对数的概念及辨析 【典例1】有下列说法： ①以10为底的对数叫作常用对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以e为底的对数叫作自然对数； ④零和负数没有对数. 其中正确的个数为（  　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据对数的相关概念和性质，一一判断每个选项，可得答案. 【详解】根据常用对数以及自然对数的概念可知①③正确，根据对数的性质可知④正确， 只有当且时，指数式才可以化成对数式，②错误， 故选：C 【典例2】若代数式有意义，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的真数大于0列式即可求. 【详解】由题可得，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D 对数中，为底，范围为且，叫做真数，且，零和负数没有对数 【变式1】对数式中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据对数函数的性质，得到不等式组，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数函数的性质，可得对数式， 满足，解得，即实数a的取值范围是. 故选D. 【变式2】下列说法:①只有正数有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以5为底25的对数等于;④成立.其中正确的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】根据对数的定义和性质地、指数式与对数式的关系进行判断即可. 【详解】对于①,由对数的概念知,负数和0没有对数故①正确;对于②,指数式没有相应的对数式,故②错误;对于③,以5为底25的对数等于2故③错误;对于④,显然不成立,故④错误. 故选：B. 【变式3】下列命题中：①；②一个数如果不是正数，它就没有对数；③指数式和对数式一定能互相转化；④.其中真命题的个数是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对①，利用真数为1的对数值为0；对②，利用对数式的真数大于0；对③，如果底数为0的指数式是不能化为对数式的；对④，由对数式挖掘隐含条件，从而求得对数值恒为1. 【详解】对①，，故①正确； 对②，对数式中的真数恒大于0，所以一个数如果不是正数，它就没有对数，故 ②正确； 对③，因为，但它不能化成对数式，故③错误； 对④，由对数式知，所以，故④错误. 故选B. 题型02 指数式与对数式互化及其应用 【典例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】可化为，由此化简各个小问。 【详解】（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以 【典例2】求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【详解】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 指数式与对数式互化的方法： （1）将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式； （2）将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 【变式1】下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】①②中利用底数的对数等于1，真数为1的对数为0；③中利用对数式与指数式的等价关系；④中由对数的真数大于0，得不可能为负数. 【详解】对①，因为，，所以，故①正确； 对②，因为，，所以，故②正确； 对③，因为，故③错误； 对④，因为，故④错误. 故选B. 【变式2】将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数的定义化指数式为对数式即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 【变式3】．将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5)； (6)； (7). 【分析】利用指数式和对数式的概念进行转换. 【详解】（1）由可得. （2）由，可得. （3）由，可得. （4）由，可得； （5）由，可得； （6）由，可得； （7）由，可得. 题型03 利用对数恒等式化简求值 【典例1】若，则___________ 【答案】 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以，解得. 【典例2】已知，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先化简，，为同底，然后根据对数恒等式对，，化简后即可排序. 【详解】由题知， ， ， 所以. 故选：A. 对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 【变式1】计算：的结果为_______. 【答案】 【详解】依题意，. 【变式2】．________. 【答案】9 【分析】根据对数定义以及指数幂运算求解即可. 【详解】原式. 故答案为：9. 【变式3】计算：； 【答案】； 【分析】运用指数与对数运算法则，即可得解； 【详解】 ； 题型04 利用对数的运算性质求值与化简 【典例1】计算： (1)； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据对数的运算法则进行计算. 【详解】（1） ． （2）由已知得， ，整理得． ．． ，， 从而，则． 对数式化简与求值的基本原则和方法： (1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行； (2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 【变式1】计算： 【答案】 【分析】利用对数的运算即可得到答案. 【详解】 【变式2】求值或化简： (1) (2) 【答案】(1)18 (2)12 【分析】（1）利用对数运算法则计算即可； （2）利用指数和对数运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2） . 【变式3】计算下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)17 (2)34 (3) 【分析】（1）根据根式的化简以及分数指数幂的运算，可得答案. （2）根据对数的运算性质，即可求得答案. （3）根据对数的运算性质，即可求得答案. 【详解】（1） . （2） . （3） . 【变式4】根据已知条件，求解下列各值 (1)已知，，且，求实数的值． (2)求值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由指对数关系及对数的运算性质有，结合已知求参数值； （2）由对数的运算性质化简求值. 【详解】（1）由，则，故，故； （2）. 题型05 用已知对数表示其它对数 【典例1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，，即. 则， 由得， 所以. 【典例2】已知，，则可用m，n表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数与对数互化、对数的换底公式及运算法则变形可得． 【详解】由，得， 又，所以， 所以 . 故选：B. 将所求的对数利用对数运算性质或者换底公式，转化成已知对数中的数据 【变式1】已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算性质求解即可． 【详解】因为，， 所以. 故选：D． 【变式2】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换底公式结合对数的运算即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：B. 【变式3】已知，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算法则和换底公式即可求解. 【详解】由，得，所以，又，所以. 故选：D． 【变式4】已知，，则可用表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算即可求得结果. 【详解】∵，∴，∴ . 故选：B. 题型06 换底公式的应用 【典例1】已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件利用换底公式推论和指数与对数互化关系可得，再结合指数幂运算性质求结论. 【详解】由，所以，又， 所以. 【典例2】已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【答案】证明见解析 【分析】设，则，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证. 【详解】设，则. ∴， ∴， 而， ∴，得证. 应用换底公式应注意的2个方面： （1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式 【变式1】已知，则（    ） A． B． 或 81 C． D．81 【答案】B 【详解】由得，则， 即，得或， 则或. 【变式2】设，则用表示= 【答案】 【详解】因为， 所以 . 【变式3】若实数、、满足，则下列式子正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立. 【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，， 而，则， 所以，即 . 故选A. 题型07 利用对数运算解决实际问题 【典例1】生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意，利用对数的运算性质求解即可. 【详解】由题意得，， 由，可得， 所以. 故选：. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数幂型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算 【变式1】努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（    ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 【答案】A 【解析】设天后进步的是落后的200倍，则，， 即， 所以有（天）. 故选：A. 【变式2】吸光度用于描述材料对光的吸收程度．记吸光度为，透射光的光强为，入射光的光强为，则．现有光强为的入射光同时照射材料甲与材料乙，已知照射材料甲得到透射光的光强是照射材料乙得到透射光的光强的，则材料甲的吸光度与材料乙的吸光度的差值为________． 【答案】 【详解】设材料乙的透射光的光强为I，则，， 于是. 【变式3】19世纪美国天文学家西蒙・纽康在翻阅对数表时，偶然发现在大量十进制随机数据中以开头的数出现的概率为，并可用此概率检验某些经济数据. ，则的值为__________. 【答案】507 【分析】根据对数的运算性质及裂项相消法求解即可. 【详解】， ， 所以，解得. 1． （    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】. 2．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的幂运算性质化简求解. 【详解】根据对数的幂运算性质得:, 已知，代入得：, 两边除以，可得：. 3.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由1.6提高到2.4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，则， 即， 所以． 4．下列语句正确的是 ①对数式logaN=b与指数式ab=N是同一关系的两种不同表示方法． ②若ab=N（a>0且a≠1，N>0），则一定成立． ③对数的底数可以为任意正实数． ④logaab=b对一切a>0且a≠1恒成立． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据对数函数的概念以及对数的运算公式依次对选项进行判断即可得到答案. 【详解】由对数概念及知①正确；若ab=N（a>0且a≠1，N>0），则logaN=b，，故②正确；由对数的性质知④正确．对数的底数不能为1，故③错误． 故选B． 5.（多选）下列等式成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用对数运算法则和换底公式计算，得到答案. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：CD. 6．已知实数，满足：，且，则_______． 【答案】 【分析】化成对数式后根据对数的运算法则计算即可. 【详解】由题， 所以. 7．将下列指数式化为对数式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】直接利用指数和对数的关系实现指对互化. 【详解】（1）由，得. （2）由，得. （3）由，得. 8．（1）证明对数换底公式：（其中且，且，）． （2）已知，试用表示． （3）化简： 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）将对数式转化为指数式，利用对数的运算性质即可证明. （2）根据换底公式以及对数运算法则化简即得. （3）根据对数运算性质和法则化简计算即得. 【详解】（1）证明：设，即． 两边取以为底的对数，得． 因为，，， 因此上式两边可除以，得． 所以，． （2）因为，因此． （3） ． 1．若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将指数式转化为对数式，利用换底公式的倒数关系表示和，代入已知等式结合对数运算性质求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，因为，所以. 2．（多选）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】，选项正确； ，选项正确； ，选项错误； ，选项正确. 3.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指对数转化，再借助换底公式，然后进行对数运算，即可判断各选项. 【详解】由，可得， 则，故A错误； 由分别转化为对数式，结合换底公式可得： ，故；，故； ，故， 由，， 显然，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 4.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一点点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过____天． 参考数据：， 【答案】230 【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的100倍， 则，即， ． 5.已知x，y，z均为正实数，若，则的值为________． 【答案】 【分析】令则，利用换底公式及对数的运算性质即可求解. 【详解】令则， 则， 得到. 故答案为： 6．设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 【答案】 【分析】利用对数的换底公式统一底数求解. 【详解】可化为，即，所以① 可化为，同理得②， 可化为，同理得③ 将①②③式相加得 得到，即，所以，所以. 7．已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 8．（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）；（2）或；（3） 【详解】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $