专题5.3 函数的单调性（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数单调性核心知识点，系统梳理从单调性定义（含符号语言及“任意性”等特征）、性质（复合函数“同增异减”等）到应用（求单调区间、最值、参数及解不等式）的完整脉络，搭建递进式学习支架。 资料以定义辨析为基础，通过“即学即练+题型分层（典例+变式）”设计，强化逻辑推理（如作差变形判断符号）与数学运算素养，课中助力教师系统授课，课后辅助学生巩固提升，有效衔接知识理解与实际应用。

专题5.3 函数的单调性 教学目标 1.理理解函数单调性、最大(小)值的概念，能够借助函数图像识别单调区间、最值。 2.熟练掌握定义法证明函数单调性的步骤，会求简单函数的单调区间与函数最值。 3.学会利用函数单调性求解闭区间上函数最值，建立单调性与最值之间的联系。 4.在概念推导与解题训练中，体会数形结合、转化思想，提升逻辑推理、数学运算素养 教学重难点 1.重点 函数单调性的判定与证明 利用单调性求闭区间上函数的最大值、最小值 2.难点 单调性定义的符号语言理解，作差变形判断符号 理解“单调性能推导出闭区间上必有最值”，灵活运用单调性求最值 知识点一、函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定； （3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． （4）注意单调区间不能用“”，只能用“和”或者“，” 3．单调性的定义的等价形式： 设，那么在是增函数； 在是减函数； 在是减函数。 在是增函数。 【即学即练】 1．．若定义在R上的函数的图象如图所示，则其单调递增区间是 ，单调递减区间是 ． 2.设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； 知识点二、函数单调性的性质 1.在公共定义域内，则 ①增函数增函数是增函数； ②减函数减函数是减函数； ③增函数减函数是增函数； ④减函数增函数是减函数 2.复合函数单调性的判断（同增异减） 讨论复合函数的单调性时要注意： ①若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数; ②若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下: 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【即学即练】 1.已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2.函数的增区间为 3.“函数在上单调递减”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 知识点三、函数的单调性与最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值 【即学即练】 1．的最大值为 ． 2．已知函数，则的最小值为（    ） A．－3 B． C．－2 D． 题型01 函数单调性的判断与证明 【典例1】已知函数，证明：函数在上单调递减； 证明或判断函数单调性的方法步骤： ①取值：且 ②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形 ③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论 ④结论：根据定义得出结论 【变式1】（多选题）若函数均是定义域为R的增函数，则下列函数在其定义域上为增函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【变式3】已知函数，图象经过点，且. (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 题型02 求函数单调区间 【典例1】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． （1）求函数单调区间的2种方法： ①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． ②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． （2）求函数单调区间的注意点：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． 【变式1】函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 【变式2】函数的递减区间是______． 【变式3】试讨论函数在区间上的单调性，在______上单调递减，在_______上单调递增. 【变式4】定义．设函数，则的单调递增区间为______． 题型03 复合函数的单调性 【典例1】函数的单调递增区间是______． 【典例2】已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为__________． 复合函数的单调性： ①先求函数的定义域；②再将复合函数分解为内、外层函数；③利用已知函数的单调性解决． 【技巧方法】 内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数 【变式1】已知函数，则的单调递减区间为______． 【变式2】已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知不等式的解集为，则函数的单调递增区间为________. 题型04 利用函数的单调性求参数 【典例1】若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题 【变式1】已知函数则“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】若函数与在区间上都单调递减，则实数的取值范围是______ 【变式3】已知函数与． (1)若，求k的值； (2)若两函数在区间上都是增函数，求实数k的取值范围． 题型05 利用函数的单调性解不等式 【典例1】已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响． 注意：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式 【变式1】已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数，若对任意，不等式，则实数的取值范围为______. 【变式3】定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，，则不等式的解集为___________． 【变式4】已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 题型06 抽象函数单调性的判定与应用 【典例1】定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 抽象函数没有给出具体解析式，判定单调性只能利用单调性定义： 任取定义域内两个自变量(x1<x2)，通过题给函数关系式，判断f(x2)-f(x1)符号：f(x2)-f(x1)>0，函数单调递增；f(x2)-f(x1)<0，函数单调递减 ①对，判定在单调性时，需设，构造，结合 ②对，判定单调性时，需构造，利用转化 ③对，判定单调性时，构造，转化为，通过判断大小 【变式1】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性． 【变式2】已知函数的定义域为. (1)对任意的，，都有，且当时，.求证：是上的增函数； (2)若函数是上的增函数，且，，解不等式. 【变式3】已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 【变式4】已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 题型07 求函数的最值 【典例1】函数的最大值是___________. 【典例2】已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 函数的最值与单调性的关系： （1）如果函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数,在区间上是增函数,则函数在处有最小值． （3）如果函数在区间上是增(减)函数,则在区间的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值． 【变式1】设函数的最大值为M，最小值为m，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式2】规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为 . 【变式3】已知函数. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有最小值3，求的值. 【变式4】函数在区间上的最小值记为． （1）当时，求函数在区间上的值域； （2）求的函数表达式； （3）求的最大值． 题型08 函数的最值与恒成立、能成立问题的融合 【典例1】已知函数. (1)是否存在实数使不等式对任意恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 恒成立、能成立问题求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 【技巧方法】 常用到以下两个结论： (1)恒成立⇔； (2)恒成立⇔ 【变式1】已知函数，．若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围___________． 【变式2】（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A．，恒成立，则实数a的取值范围是 B．，恒成立，则实数a的取值范围是 C．，，则实数a的取值范围是 D．，， 【变式3】已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是________________. 【变式4】已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3.“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数与在区间上都是减函数，那么（       ） A． B． C． D． 5.（多选）下列结论不正确的是（ ） A．若定义在上的函数，有，则函数在上为增函数 B．函数在上是增函数，则函数的单调递增区间是 C．函数的单调递减区间是 D．闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到 6．若函数在是减函数，则实数的取值范围________. 7．已知函数过点． (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数在上的最大值和最小值． 8．二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)求在上的最值； (3)求在上的最小值. 1．对于两个实数a，b，规定表示a，b中的较大值，当时，，当时，，例如：，则函数的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 2．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3.已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是 4.若任取，且成立，则称是上的凸函数，下列函数中是凸函数的为（   ） A． B． C． D． 5.若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为________ 6．定义在上的函数满足：①；②，其中，为任意正实数；③任意正实数，满足当时，.试回答下列问题： (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性； (3)如果，试求的取值范围. 7．已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 8．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.3 函数的单调性 教学目标 1.理理解函数单调性、最大(小)值的概念，能够借助函数图像识别单调区间、最值。 2.熟练掌握定义法证明函数单调性的步骤，会求简单函数的单调区间与函数最值。 3.学会利用函数单调性求解闭区间上函数最值，建立单调性与最值之间的联系。 4.在概念推导与解题训练中，体会数形结合、转化思想，提升逻辑推理、数学运算素养 教学重难点 1.重点 函数单调性的判定与证明 利用单调性求闭区间上函数的最大值、最小值 2.难点 单调性定义的符号语言理解，作差变形判断符号 理解“单调性能推导出闭区间上必有最值”，灵活运用单调性求最值 知识点一、函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定； （3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． （4）注意单调区间不能用“”，只能用“和”或者“，” 3．单调性的定义的等价形式： 设，那么在是增函数； 在是减函数； 在是减函数。 在是增函数。 【即学即练】 1．．若定义在R上的函数的图象如图所示，则其单调递增区间是 ，单调递减区间是 ． 【答案】 ， ， 【分析】根据函数图象，可直接写出函数的单调区间，即得答案. 【详解】由函数图象可得：单调递增区间为：，； 单调递减区间为：， 故答案为：，；， 2.设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论； 【答案】函数在上单调递增；证明见解析 【分析】通过定义法即可判断； 【解析】函数在上单调递增； 证明：任取，且， 则 ， 因为，且 所以， 所以，得， 所以函数在上单调递增； 知识点二、函数单调性的性质 1.在公共定义域内，则 ①增函数增函数是增函数； ②减函数减函数是减函数； ③增函数减函数是增函数； ④减函数增函数是减函数 2.复合函数单调性的判断（同增异减） 讨论复合函数的单调性时要注意： ①若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数; ②若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下: 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【即学即练】 1.已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】解：因为函数是上的增函数，函数是上的减函数， 所以函数是上的增函数， 函数是上的减函数， 函数，的单调性无法判断. 故选：B. 2.函数的增区间为 【答案】 【详解】函数的定义域为，解得 设，对称轴，所以函数的增区间为 3.“函数在上单调递减”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】先判定充分性，若在上单调递减， 由幂函数及复合函数的单调性可知，则，满足充分性； 再判定必要性，可举反例，若，则单调递减， 此时的定义域为， 此时在上单调递减，不满足必要性， 综上“函数在上单调递减”是“”的充分不必要条件. 故选：B 知识点三、函数的单调性与最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值 【即学即练】 1．的最大值为 ． 【答案】 【分析】由根式性质求定义域，应用二次函数性质求出最大值，即可得函数最大值. 【详解】由，故，而， 所以，当时，即函数的最大值为. 故答案为： 2．已知函数，则的最小值为（    ） A．－3 B． C．－2 D． 【答案】A 【分析】分别求出和时，函数的最小值，比较后可得结论． 【详解】时，，∴时，， 时，，当且仅当时等号成立， 又，所以， 故选：A． 题型01 函数单调性的判断与证明 【典例1】已知函数，证明：函数在上单调递减； 【答案】证明见解析 【分析】通过作差法即可求证. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 则 由于， 所以， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递减. 证明或判断函数单调性的方法步骤： ①取值：且 ②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形 ③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论 ④结论：根据定义得出结论 【变式1】（多选题）若函数均是定义域为R的增函数，则下列函数在其定义域上为增函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】函数均是定义域为R的增函数，所以不是常数函数，设，则，对于A，设则，所以为单调递增函数，故A正确； 对于B，函数均是定义域为R的增函数，但是不是单调增函数，故B错误； 对于C，设，则 因为，所以，，即是定义域为R的增函数，故C正确；对于D，因为函数均是定义域为R的增函数，根据复合函数的单调性可得是定义域为R的增函数，故D正确.故选：ACD. 【变式2】已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 【分析】（1）将已知两点坐标代入解析式后求解； （2）根据单调性的定义证明：任取，且，利用作差法证明. 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2）略 【变式3】已知函数，图象经过点，且. (1)求a，b的值； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 【答案】(1)； (2) 由（1）知，，函数在上单调递增. 任意，则， 由，得，即，因此， 所以函数在上单调递增. 【分析】（1）根据给定条件，建立方程组并求解即得. （2）判断单调性，再利用函数单调性定义推理论证. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）略 题型02 求函数单调区间 【典例1】函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. （1）求函数单调区间的2种方法： ①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． ②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． （2）求函数单调区间的注意点：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． 【变式1】函数的单调增区间是（    ）. A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 【变式2】函数的递减区间是______． 【答案】和 【分析】分别讨论和时转化为二次函数，利用二次函数的性质即可求单调递减区间. 【详解】当时，为开口向下的抛物线，对称轴为，此时在期间单调递减， 当时，，开口向上的抛物线，对称轴为，此时在单调递减， 综上所述：函数的递减区间是， 故答案为：和 【变式3】试讨论函数在区间上的单调性，在______上单调递减，在_______上单调递增. 【答案】 . 【分析】根据题意，由函数单调性的定义证明即可. 【详解】函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 以下根据函数单调性的定义证明： ①设， 则 ， ， ， ，即， 在内是减函数. ②设， 由①知， ， ， 即， 在内是增函数. 【变式4】定义．设函数，则的单调递增区间为______． 【答案】和 【分析】先由函数新定义和不等式解出分段函数的表达式，再求出单调递增区间即可. 【详解】当即时，解得， 所以， 因为二次函数的对称轴为，开口向下，所以递增区间为， 一次函数在定义域上为递增函数， 综上，的单调递增区间为. 故答案为：和. 题型03 复合函数的单调性 【典例1】函数的单调递增区间是______． 【答案】 【分析】由，求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由，可得， 因为在上单调递增，而在上单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性，可知的单调递增区间为. 故答案为： 【典例2】已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为__________． 【答案】 【分析】先确定函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求得答案. 【详解】设，令，则， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 函数是定义在上的单调递减函数， 故要求的单调递增区间，即求在上的单调递减区间， 而在上单调递减， 故在上的单调递减区间为， 则的单调递增区间为， 故答案为： 复合函数的单调性： ①先求函数的定义域；②再将复合函数分解为内、外层函数；③利用已知函数的单调性解决． 【技巧方法】 内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数 【变式1】已知函数，则的单调递减区间为______． 【答案】 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得或， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：. 【变式2】已知函数在上单调递增，则的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在上单调递增，则在上单调递增，根据复合函数的单调性“同增异减”求出函数在定义域内的递减区间即可． 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增， 设， 由，解得或， 所以在上单调递减， 所以的单调减区间为. 故选：B. 【变式3】已知不等式的解集为，则函数的单调递增区间为________. 【答案】 【分析】根据不等式的解集可知一元二次不等式所对应的一元二次方程的根，利用韦达定理可求出，的值，再根据复合函数求单调区间的方法，得出单调递增区间. 【详解】解：因为不等式的解集为， 所以和为方程的两根且， 所以，解得， 则， 令，解得， 所以函数的定义域为， 因为的单调递增区间为 ，在定义域上单调递增， 所以的增区间为（开闭均正确）. 故答案为：. 题型04 利用函数的单调性求参数 【典例1】若二次函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象和性质求解即可. 【解析】二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线， 若在区间上单调递增，则，解得， 故选：A. 【典例2】已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值，得到不等式组，解得即可. 【解析】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题 【变式1】已知函数则“”是“在上单调递减”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若在上单调递减，则，解得. 所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件.故选：B 【变式2】若函数与在区间上都单调递减，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】分别求出二次函数、分式函数在区间上单调递减的的取值范围，取交集即可得到结果. 【详解】由题意，函数的图象对应的抛物线开口向下，对称轴为直线， 故在上单调递减， 若在区间上单调递减，则，解得； 若函数在区间上单调递减， 则，且或，即或. 综上，实数的取值范围是. 【变式3】已知函数与． (1)若，求k的值； (2)若两函数在区间上都是增函数，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，进而可得，求解即可； （2）利用二次函数的单调性和反比例函数的单调性可求得实数k的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 又所以，所以， 解得或（舍去），所以； （2）对于函数，它是二次函数，开口向下， 对称轴为， 因为在区间上是增函数，所以且； 对于函数，它是反比例函数向左平移2个单位得到的， 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增； 由在区间上是增函数，所以； 综上所述：实数k的取值范围为. 题型05 利用函数的单调性解不等式 【典例1】已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，分析的单调性，并根据的单调性，求解不等式，得到实数的取值范围. 【详解】令函数. 因为，，，都有， 所以，所以， 即，即， 所以函数是定义在上的减函数. 若，且，则， 即，所以，即. 故选：A. 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响． 注意：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式 【变式1】已知函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数的单调性，分和解不等式即可. 【详解】由，所以在上单调递减. 又，所以当时，；当时，. 因为或或， 即或. 故选：C 【变式2】已知函数，若对任意，不等式，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，如图：由图可知函数在上单调递增， 由函数，所以，即，在上恒成立，即满足，因为，所以当时， 解得：，当时，解得：， 故实数的取值范围为：，故答案为：. 【变式3】定义在上的函数满足：对任意的，且，均有成立，，则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】构造函数，讨论单调性，利用单调性解不等式． 【详解】对任意的，且，均有成立， 即对任意的成立， 则对任意的成立， 令，则在单调递增， 又， 即，且， 即，又在单调递增， 解得：， 所以不等式的解集为． 故答案为： 【变式4】已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【详解】（1）任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. 题型06 抽象函数单调性的判定与应用 【典例1】定义在上的函数满足下面三个条件： ① 对任意正数，都有；② 当时，；③ (1)求和的值； (2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数； 【答案】(1),，(2)证明见解析 【详解】(1)得，则，而， 且，则； (2)取定义域中的任意的，，且，，当时，，，，在上为减函数． 抽象函数没有给出具体解析式，判定单调性只能利用单调性定义： 任取定义域内两个自变量(x1<x2)，通过题给函数关系式，判断f(x2)-f(x1)符号：f(x2)-f(x1)>0，函数单调递增；f(x2)-f(x1)<0，函数单调递减 ①对，判定在单调性时，需设，构造，结合 ②对，判定单调性时，需构造，利用转化 ③对，判定单调性时，构造，转化为，通过判断大小 【变式1】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性． 【答案】在上单调递增 【分析】根据题意，利用函数单调性的定义和判断方法，即可求解. 【详解】设是区间上的任意两个实数，且， 可得， 因为且，所以，所以，所以， 即，所以在上单调递增. 【变式2】已知函数的定义域为. (1)对任意的，，都有，且当时，.求证：是上的增函数； (2)若函数是上的增函数，且，，解不等式. 【答案】(1)证明：设，且， 则，即， 所以， 所以，所以是上的增函数． (2) 【分析】（1）结合函数的性质，利用单调性的定义证明函数的单调性. （2）先利用赋值法得到，再结合函数的单调性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】（1）略 （2）因为， 所以． 在上式中取，，则有，因为，所以. 于是不等式等价于（）． 由题意知是上的增函数， 所以，解得， 所以原不等式的解集为． 【变式3】已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； (3) 【分析】（1）由赋值法求解； （2）由函数单调性的定义求解； （3）由二次不等式恒成立求解． 【详解】（1）令，可得，结合知； （2）略 （3）令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 【变式4】已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. 题型07 求函数的最值 【典例1】函数的最大值是___________. 【答案】1 【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数定义域，再由函数在定义域内单调递增求解． 【详解】由，得. 函数的定义域为， 函数在上为增函数，函数在上为增函数， 函数，在上为增函数， 当时，函数有最大值为. 故答案为：1． 【典例2】已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知当时，函数取得最小值2，而，再结合二次函数图象的对称性可求出的取值范围. 【解析】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数闭区间上有最大值3，最小值2， 所以. 故选：D 函数的最值与单调性的关系： （1）如果函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数,在区间上是增函数,则函数在处有最小值． （3）如果函数在区间上是增(减)函数,则在区间的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值． 【变式1】设函数的最大值为M，最小值为m，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据基本不等式，结合分离常数法，可得答案. 【详解】由函数，显然，当，， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，则，故； 当时，，当且仅当，即时，等号成立，则故； 综上可得，，，则. 故选：C. 【变式2】规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为 . 【答案】 【分析】讨论或、，结合函数定义及一次、二次函数性质求最小值. 【详解】若，即或，则， 此时，，的最小值为； 若，即，则， 综上，最小值为. 故答案为： 【变式3】已知函数. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若函数在区间上有最小值3，求的值. 【答案】(1)；(2)或． 【分析】（1）把的值代入函数解析式，再判断函数在已知区间上的单调性，进而可以求解， （2）讨论对称轴与已知区间的三种位置关系，分别求出最小值，令其为3，解出来的值，进而可以求解． 【解析】（1）若，则，对称轴为， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，； 所以的值域为 （2），对称轴为， ①当，即时，函数在,上是增函数． ， 由，得． ，． ②当，即时，． 由，得，舍去． ③当，即时，函数在,上是减函数， ． 由，得． ，， 综上所述，或． 【变式4】函数在区间上的最小值记为． （1）当时，求函数在区间上的值域； （2）求的函数表达式； （3）求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）将代入函数的解析式，利用二次函数的性质求出函数在区间上的最大值和最小值，从而可得出此时函数在区间上的值域； （2）对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，可得出函数在区间上的最小值的表达式； （3）求出分段函数在每一段定义域上的值域，可得出该函数的最大值. 【详解】（1）当时，， 当时，函数取最小值，即； 当时，函数取最大值，即. 因此，函数在区间上的值域为； （2）①当时，函数的对称轴， 此时，函数在区间上单调递增，则； ②当时，函数的对称轴， 此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则； ③当时，函数的对称轴， 此时，函数在区间上单调递减，则． 综上所述，； （3）①当时，； ②当时，； 当时，． 由①②③可知． 题型08 函数的最值与恒成立、能成立问题的融合 【典例1】已知函数. (1)是否存在实数使不等式对任意恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)存在，理由如下： 不等式可化为，即， 要使对于任意恒成立，等价于， 而，所以， 故存在实数使不等式对于任意恒成立，此时需. (2) 【分析】（1）不等式对任意恒成立等价转化为，即可得实数的取值范围； （2）存在一个实数，使不等式成立等价转化为，即可得实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）不等式可化为． 若存在一个实数，使不等式成立，只需， 又，则，所以. 所以所求实数的取值范围是. 恒成立、能成立问题求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 【技巧方法】 常用到以下两个结论： (1)恒成立⇔； (2)恒成立⇔ 【变式1】已知函数，．若“，，使得成立”为真命题，则实数的取值范围___________． 【答案】 【分析】由题意可知，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，求出，即可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知， 因为函数在上单调递增，故当时，， 当时，，则恒成立； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，则在上单调递减， 故当时，，则，解得，此时； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线，则在上单调递增， 故当时，，则，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A．，恒成立，则实数a的取值范围是 B．，恒成立，则实数a的取值范围是 C．，，则实数a的取值范围是 D．，， 【答案】AC 【分析】对于选项A，B，C求出函数和的最值，即可判断出正误；对于选项D，根据函数和函数值域间的包含关系判断正误． 【解析】对于A选项，，恒成立，又为减函数， 所以，A选项正确； 对于B选项，，恒成立，即，又为减函数，所以，B选项不正确； 对于C选项，函数的图像为开口向上的抛物线，所以在对称轴处取最小值，在离对称轴最远处取最大值，所以，若，，则实数a的取值范围是，C选项正确； 对于D选项，，，即要求的值域是值域的子集，而的值域为，值域为，不满足要求，D选项不正确； 故选：AC. 【变式3】已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是________________. 【答案】 【分析】分析可知函数的值域为，根据题意可得有解，运算求解即可. 【详解】因为，故函数的值域为. 若存在，使得成立，即， 则，即有解，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4】已知函数． (1)若，都有，求实数的取值范围； (2)若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合函数单调性得到不等式，求出的取值范围； （2）变形，令，将其看作关于的一次函数，，使得，从而得到不等式，求出答案 【详解】（1） 当时，，符合题意； 当时，的对称轴为，故在区间上单调， 当时，开口向上，在区间上单调递减，只需， 即，解得，故； 当时，开口向下，在区间上单调递增，只需， 即，解得，故， 综上，且， 综上所述，实数的取值范围是． （2），即，， ，令， 将其看作关于的一次函数，，使得， 只需或， 由可得，解得， 由可得，解得， 因为，所以实数的取值范围是． 1．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，二次函数开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为. 2．二次函数的最大值为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的最值得出二次函数的开口得出单调性即可比较大小. 【详解】二次函数的最大值为， 则二次函数开口向下，且二次函数对称轴为，所以单调递增，单调递减， 又，所以. 3.“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 4．已知函数与在区间上都是减函数，那么（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据二次函数的表达式可知，的对称轴为，开口向下，若在区间上是减函数，则，是反比例函数，若在区间是减函数，则，所以 故选：C 5.（多选）下列结论不正确的是（　　） A．若定义在上的函数，有，则函数在上为增函数 B．函数在上是增函数，则函数的单调递增区间是 C．函数的单调递减区间是 D．闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到 【答案】ABC 【分析】根据单调性的定义、单调区间及最值的概念，对选项逐一分析，判断正误. 【详解】对于A，根据增函数的概念知，无法判断函数在上的增减性，例如，故A错误； 对于B，函数在上是增函数，则是单调递增区间的子区间，例如，故B错误； 对于C，一个函数的同一单调增区间或减区间不能用“”连接，故C错误； 对于D，根据单调函数在闭区间上的性质，函数的最值必在端点处取得，故D正确． 故选：ABC 6．若函数在是减函数，则实数的取值范围________. 【答案】 【分析】根据二次函数在上单调递减，直接可得解. 【详解】二次函数的对称轴为，在上单调递减， 所以. 故答案为：.． 7．已知函数过点． (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性； （2）根据单调性即可得出函数在上的最大值和最小值. 【详解】（1）单调递增，由题意证明如下， 由函数过点，有， 解得，所以的解析式为：． 设，且，有 ． 由，得． 则，即． ∴在区间上单调递增． （2）由在上是增函数， 所以在区间上的最小值为，最大值为． 8．二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)求在上的最值； (3)求在上的最小值. 【答案】(1)； (2)最小值为1，最大值为26； (3)当时，，当时，，当时，. 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据函数的单调性求最值即可； （3）分、和三种情况讨论最小值即可. 【详解】（1）设二次函数解析式为，因为，所以， 因为，所以， 整理得，所以，解得， 所以. （2）由（1）得的对称轴为，所以在上单调递减，上单调递增，所以 又，，所以， 所以在上的最小值为1，最大值为26. （3）当时，在上单调递增，所以； 当，即时，在上单调递减，所以； 当，即时，在上单调递减，上单调递增，所以， 综上所述，当时，， 当时，， 当时，. 1．对于两个实数a，b，规定表示a，b中的较大值，当时，，当时，，例如：，则函数的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】通过求两函数交点进行分段，确定各区间内较大的函数表达式，再分别求出各段的最小值并比较即可得出全局最小值. 【详解】令，解得或， 当或时，， 此时，当时取最小值， 当时，， 此时，因为，所以， ，则，即此时, 综上， 的最小值为1. 2．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造函数，变形给定不等式确定函数在上的单调性，进而求解不等式. 【解析】令，则，， 对，且，都有， 则，整理得， 所以函数在上单调递减， 不等式，因此， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 3.已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】D 【详解】由函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，得在上单调递增，设，则在上单调递增，且当时，，不满足题意， 当时，必有，解得 4.若任取，且成立，则称是上的凸函数，下列函数中是凸函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，令，，则，A不是； 对于B，令，， 则，B不是； 对于C，令，， 则，C不是； 对于D，令，， 则，D是. 5.若定义在上的函数满足，则的单调递增区间为________ 【答案】和 【分析】对分和得到相应的，可得出该函数的单调递减区间. 【解析】当时，，则， 在上单调递增； 当时，，， ， 在上单调递增； 综上所述：的单调递增区间为和. 故答案为：和 6．定义在上的函数满足：①；②，其中，为任意正实数；③任意正实数，满足当时，.试回答下列问题： (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性； (3)如果，试求的取值范围. 【答案】(1)0，4 (2)在上单调递增 (3) 【分析】（1）利用赋值法可求，； （2）结合单调性的定义可得结论； （3）由已知可得，结合单调性求解即可. 【详解】（1）取，由②得，， ∴. 又由①得， 由②得，. （2）设， 则根据条件③，得， ∴在上单调递增. （3）根据满足的条件②及， 由得，， ∴根据为增函数得：， 再由的定义域，便得到不等式组 解得， ∴的取值范围为. 7．已知函数 ，， (1)当时，求关于不等式的解集 (2)当时，若对任意1，不等式 恒成立，求实数k的取值范围 (3)若对任意 恒成立，则实数的取值范围 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】(1)对进行分类讨论求解不等式； (2)利用分离参数法求k的取值范围； (3)把看作自变量，构造函数，求解实数的取值范围. 【详解】（1）因为，． ①当时，不等式为，解集为； ②当时，，不等式可化为，解集为； ③当时，，不等式可化为，解集为； ④当时，，不等式可化为，解集为， 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． （2）当时，， 知不等式对任意恒成立，只需． 因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，， 故实数的取值范围为 （3）设，则若对任意，恒成立， 即，解得. 8．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间” (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)试判断函数是否存在“优美区间”并说明理由； (3)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 【答案】(1) (2) 函数不存在“优美区间”，理由如下： 的定义域为，且在上单调递减， 假设存在“优美区间”，则， 所以，因为，所以无解，故不存在“优美区间”. (3) 【分析】（1）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （2）分析的单调性，假设存在“优美区间”，根据所给定义，代入求解，分析可得答案. （3）分析的单调性，根据所给定义，代入求解，可得为二次方程的两个不相等实根，根据韦达定理，可得表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）设函数在上单调递增，假设是它的“优美区间”， 则，解得， 所以函数的一个“优美区间”为. （2）略 （3），定义域为， 且在上单调递增， 假设存在“优美区间”，则， 整理得， 所以为二次方程的两个不相等实根， 所以判别式，解得或， 由韦达定理得， 则， 令，则， 所以当时，即时，有最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $