3.2.3因式分解法第2课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解法选择与应用，通过复习因式分解法依据及已学解法，结合情景问题引导学生判断方程最优解法，搭建旧知到新知的学习支架，梳理四种解法的脉络。 其亮点是以“由简到繁”原则引导解法选择，对比不同方程的多种解法培养运算能力和推理意识，如探究中分析方程结构选择因式分解或公式法。课堂练习设置错题辨析和实际问题，深化转化思想和应用意识，学生能提升解题效率和思维品质，教师可依托系统流程和分层练习优化教学。

3.2.3因式分解法第2课时 第三章 一元二次方程 初中数学 1 学习目标 能根据方程项数、系数、结构特点,快速选择最优解法,提升解题速度与准确性。 02 熟练运用配方法、公式法等多种方法解一元二次方程,规范完成复杂变形与求解。 01 系统梳理一元二次方程四种解法,归纳适用条件与解题步骤,形成完整解法体系。 03 培养观察、判断、优化、验算的良好习惯,发展代数运算与逻辑推理素养。 04 2 复习回顾 1.因式分解法解方程的核心依据是什么？ 2.我们已经学过哪几种解一元二次方程的方法？ 1.若,则或。 2.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 3 情景问题 ①直接开平方②因式分解③公式法。 观察方程:①; ②; ③, 不计算直接判断各用哪种方法最简单。 4 探究新知 探究一：解一元二次方程的方法 前面已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程,但在具体问题中,要根据方程的特点,选择合适的方法来求解. 做一做:下列方程用哪种方法求解较简便?说说你的理由. (1); (2); (3). 5 探究新知 探究一：解一元二次方程的方法 解:(1):因式分解法:把方程左边因式分解可得, 由此得或。 因此,原方程的根. 公式法:这里. 因而, 所以. 因此,原方程的根. 配方法:配方,得, 因此. 由此得 或. 解得. (1)采用因式分解法更简便,因为计算更简便. 6 探究新知 探究一：解一元二次方程的方法 解:(2):公式法:这里. 因而, 所以. 因此,原方程的根. 配方法:将二次项系数化为1,得:, 移项得. 配方,得, 因此. 由此得或. 解得,. (2)采用公式法更简便,只需要将对应的系数代入求解即可。 7 探究新知 探究一：解一元二次方程的方法 解:(3):因式分解法: 解:移项可得, 把方程左边因式分解可得 , 由此得或。 因此,原方程的根为 . 公式法: 解:移项可得, 这里. 因而 , 所以. 因此,原方程的根. (3)采用因式分解法更简便,因为计算更简便. 8 探究新知 方法总结： 1.解题总原则:先观察方程结构特征,优先选择简便解法,遵循“由简到繁”的选用顺序。 2.解法选用顺序:直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法。 3.结构判断技巧:方程形如,首选直接开平方法；左边易因式分解、右边为0,首选因式分解法；无明显分解特征,选用公式法；特定系数结构可选用配方法。 4.核心思想:所有解法本质均为降次,将二次方程转化为一元一次方程求解。 9 探究新知 探究二：用合适的方法解一元二次方程 例9:选择合适的方法解下列方程: (1); (2); (3). 解:(1)将方程左边因式分解可得, 由此得或 解得. 10 探究新知 探究二：用合适的方法解一元二次方程 例9:选择合适的方法解下列方程: (1); (2); (3). 解:(2)这里. 因而, 所以. 因此,原方程的根为. 11 探究新知 探究二：用合适的方法解一元二次方程 例9:选择合适的方法解下列方程: (1); (2); (3). 解:(3)原方程可化为, 即, 由此得或. 解得,. 12 探究新知 探究二：用合适的方法解一元二次方程 议一议:用自已的语言总结解一元二次方程的基本思路,并与同学交流. 解一元二次方程的基本思路都是:将一元二次方程转化为一元一次方程,即降次,其本质是把方程的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积,即,于是原方程可以写成.由此得出,或.于是和是方程的两个根. 13 探究新知 方法总结： 1.通用解题流程:先整理方程,将右边化为0；再观察结构选择解法,最后规范求解并检验。 2.高频易错点:严禁方程两边直接除以含未知数的因式,避免丢失根；移项、因式分解时注意符号变化。 3.拓展技巧:遇到整体重复的代数式,可采用整体思想简化因式分解与计算。 4.补充说明:配方法一般用于配方求值、推导公式,日常解方程较少作为首选。 14 课堂练习 1.下列方程中适宜用配方法解的是(　　) A. B. C. D. 2.解方程,选择最恰当的方法是(　　) A.开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 3.解方程较为简捷的方法是(　　) A.开平方法或因式分解法 B.开平方法或配方法 C.公式法或因式分解法 D.公式法 A D A 15 课堂练习 4.小明同学解一元二次方程的过程如下: 解:移项,得,…① 配方,得,…② 即,…③ 开平方,得,…④ 所以.…⑤ (1)小明解方程的方法是　　　　,他的求解过程从第　　　　步开始出现错误; (2)写出这个方程的正确解答过程. 配方法 ② 16 课堂练习 解:(2)因为, 所以, 即, 所以 所以, 即. 17 课堂练习 5.用适当的方法解下列方程. (1); (2); (3); (4); 解:(1)移项可得, 系数化为1得:, 由此得, 因此,原方程的根为 . 解:(2) , 两边同时开方得:, 因此,原方程的根为 . 18 课堂练习 5.用适当的方法解下列方程. (1); (2); (3); (4); 解:(3)移项可得, 配方,得, 即, 所以, 所以. 解:(4)化简,得, 移项,得, 所以. 19 课堂练习 6.当为何值时,的值和的值相等? 解:由题意可列:, 整理,得, 配方,得, 所以, 所以. 20 课堂练习 7.已知代数式与的值互为相反数,则x的值是 (　　) A.-1或3 B.1或-3 C.1或3 D.-1或-3 8.已知:关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. (1)求的取值范围; (2)写出一个满足条件的的值,并求出此时方程的两个根. A 21 课堂练习 解:(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根, 所以, 所以, 所以. (2)答案不唯一,如:当时,此时方程为, 所以, 所以. 22 课堂练习 9.关于的一元二次方程. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程的两个实数根都是正整数,求的最小值. 解:(1)证明:因为, 所以方程总有两个实数根. (2)解方程,得. 因为方程的两个实数根都是正整数, 所以的最小值为, 所以的最小值为. 23 课堂小结 知识点： 1.梳理一元二次方程四种解法:直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。 2.掌握不同解法的适用方程结构,能根据题型灵活择优。 3.明确解法选用优先级,理解各类解法的优缺点。 4.牢记解题通用步骤:整理方程→观察结构→选定方法→求解作答。 5.规避常见错误:不直接约去含未知数因式、规范移项与符号书写。 6.学会运用整体思想处理复合型一元二次方程。 7.深化核心数学思想:降次思想、转化思想、优化思想。 8.区分解法用途:配方法多用于变形求值,其余三种为常规解方程首选方法。 知识梳理 24 课后提升 基础作业： 1.一个三角形的三边长都是方程的根,则这个三角形的周长不可能是( ). A. B. C. D. 2.已知,则的值是( ). A. B. C.或 D.或 3.若一元二次方程有一个根是,则的值及方程的另一个根是( ). A. B. C. D. B C B 25 课后提升 基础作业： 4.已知是一元二次方程的两个实数根,则的值为( ). A.3 B.-3 C. D. 5.二次三项式配方的结果是( ). A. B. C. D. 6.关于的方程是一元二次方程的条件是( ). A.且 B. C.且 D. B B C 26 课后提升 基础作业： 3.有一个两位数,它的个位数字比十位数字大3,个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大18,求这个两位数. 解:设个位上的数字为,则十位上的数字为. 可列方程为, 解得(舍去), , . 答:这个两位数为. 27 课后提升 能力提升： 7.已知关于的方程(均为常数,且)的两个解分别是和,则方程的解是 . 8.若直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的倍,斜边长是则较短的直角边的长为_________. 9.在中,,第三边的长为一元二次方程的一个根,则该三角形为 三角形. 直角或等腰 28 课后提升 能力提升： 10.等腰三角形三边的长分别为,且是关于的一元二次方程的两根,则的值为_________. 11.解方程:(直接开平方法)；(2)((配方法);(3)(公式法);(4)(因式分解法). ;(2) ;(4). 29 课后提升 能力提升： 解:(1)移项,得:, 由此得, 因此,原方程的根为. (2)移项,得:,系数化为1,得, 配方,得,所以 因此,原方程的根为. 30 课后提升 能力提升： 解:(3)由题知, 由此得, 因此,原方程的根为:,故. (4) 移项得: 因式分解得,得, 所以或, 因此,原方程的根为. 31 课后提升 拓展作业： 12.已知关于的一元二次方程,. (1)求证:无论为何实数,该方程总有两个不相等的实数根； (2)当的斜边且两条直角边的长和恰好是这个方程的两个根时,求的值. 解: (1) , 无论为何实数,总有, 无论为何实数,该方程总有两个不相等的实数根. 32 课后提升 拓展作业： (2)由一元二次方程根与系数的关系,得,在中,根据勾股定理,得, 即, 整理后,得,解得或. 当时,,不符合题意,舍去; 当时,,符合题意,故. 33 $