3.2.3因式分解法第1课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的因式分解法，通过复习“两数积为0”结论及提公因式法，结合情景问题“x²-5x=0”引出新知，搭建从旧知到新知的学习支架，衔接自然。 其亮点在于对比公式法与因式分解法，深化降次转化思想，培养运算能力和推理意识。课堂练习设置易错案例强调规范步骤，提升模型意识，学生能掌握简洁解法，教师可高效落实教学目标。

3.2.3因式分解法第1课时 第三章 一元二次方程 初中数学 1 学习目标 经历“因式分解一降次转化一求解”的过程,深化转化与降次思想,提高观察、变形与运算能力。 02 理解因式分解法的依据,掌握提公因式法、平方差公式法解一元二次方程,能规范写出解题步骤。 01 能根据方程特征快速判断是否适用因式分解法,提升解题灵活性与优化意识。 03 感受因式分解法的简洁高效,培养规范书写、不丢根、不误用条件的良好解题习惯。 04 2 复习回顾 1.若两个数的积为 0,这两个数满足什么结论？ 2.对进行因式分解。 1.至少有一个数为 0,即若,则或。 2.。 3 情景问题 解:可以, 先分解为, 得或, 解得. 方程不用配方、不用公式,能不能更快解出来？ 4 探究新知 探究一：因式分解法 做一做:解方程:. 对于方程,用已学过的配方法,公式法都能求出它的解.由于该方程右边为0,左边的多项式可以进行因式分解,于是还可以采用下述方法求解: 原方程可写在. 由此得或, 即 5 探究新知 探究一：因式分解法 像上面这样,利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 议一议:试用公式法解方程,并与因式分解法进行比较,你觉得用哪种方法更简单? 公式法:解:, 则, 代入求根公式. 解得 因式分解法:原方程可写成. 由此得或, 即 6 探究新知 探究一：因式分解法 议一议:试用公式法解方程,并与因式分解法进行比较,你觉得用哪种方法更简单? 对比两种解法,因式分解法步骤更少、计算量更小,解题更加简便。 公式法需要确定系数、计算判别式、代入公式,流程相对繁琐; 该方程结构适合因式分解,优先选择因式分解法。 7 探究新知 方法总结： 1.理论依据：两个因式的积为,则至少其中一个因式为0,即或。 2.因式分解法定义：将一元二次方程左边因式分解、右边化为 0,进而转化为一元一次方程求解的方法。 3.核心思想：降次转化,把二次方程转化为两个一元一次方程,简化运算。 4.适用场景：方程左边易因式分解、结构简洁的一元二次方程。 8 探究新知 探究二：用因式分解法解方程 例7:用因式分解法解下列方程： (1);(2); (3). 解:(1)移项可得, 把方程左边因式分解可得, 即, 由此得或。 因此,原方程的根 . 9 探究新知 探究二：用因式分解法解方程 例7:用因式分解法解下列方程： (1);(2); (3). 解:(2)移项可得, 把方程左边因式分解可得, 由此得或。 因此,原方程的根. 10 探究新知 探究二：用因式分解法解方程 例7:用因式分解法解下列方程： (1);(2); (3). 解:(3)原方程可化为. 把方程左边因式分解可得, 由此得或. 因此,原方程的根 . 11 探究新知 探究二：用因式分解法解方程 例8:用因式分解法解方程：. 解：配方,得, 因而 把方程左边因式分解可得, 即, 由此得或。 因此,原方程的根. 12 探究新知 探究二：用因式分解法解方程 由例8可以看出, 若我们能把方程的左边进行因式分解后,写成,则 和 就是方程的根. 反过来, 如果 和是方程的根, 则方程的左边就可以分解成. 13 探究新知 方法总结： 1.标准解题步骤：移项（右边化为 0）→因式分解→分别令因式为 0→解一元一次方程。 2.常用分解技巧：优先使用提公因式法、平方差公式,简单二次三项式可尝试十字相乘法。 3.易错警示：解方程时严禁两边直接除以含未知数的因式,避免丢失根;注意符号书写规范。 4.解法选择：方程易分解时,因式分解法相比配方法、公式法更简便快捷。 14 课堂练习 1.方程的解是( ) A. B. C. D. 2.方程的解是( ) A. B. C. D. 3.方程的解是( ) A. B. C.或 D.或 4.一元二次方程的两根分别为 . B A D 15 课堂练习 5.若一元二次方程的两个根为和,则因式分解的结果为______________. 6.阅读下题的解题过程,请判断其是否正确,若有错误,请写出正确的答案. 解方程. 解：, 两边同时除以,得：. 解:因为不能判断是否为,所以方程两边不能同时除以. 正确得解题过程为, ,, 解得. 16 课堂练习 7.关于x的方程的一个解是,则值为( ) A.或 B.或 C.或 D.或 8.如果,那么的值为( ) A.或 B.或 C. D. B C 17 课堂练习 9.阅读下面的材料,回答问题： 解方程,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是： 设,那么,于是原方程可变为,解得. 当时,,; 当时,,; ∴原方程有四个根：. 请你按照上述解题思想解方程. 18 课堂练习 解:设, 则由原方程,得, 整理,得, 解得,或, 当时,,即, 解得,. 当时,,即,该方程无实数解. 综上所述,该方程的解为. 19 课堂小结 知识点： 1.因式分解法的理论依据：积为 0 则至少一个因式为 0。 2.因式分解法的完整解题流程,明确 “右边必须化为 0” 的前提要求。 3.两类核心分解方法：提公因式法、平方差公式在解方程中的应用。 4.数学思想：降次思想、转化思想,是本章核心解题思想。 5.解法对比：因式分解法运算简便,优先用于可因式分解的一元二次方程。 6.常见易错点：方程两边同除含未知数因式导致丢根、因式分解符号出错。 7.拓展：方程的根与对应二次三项式因式分解存在互推关系。 知识梳理 20 课后提升 基础作业： 1.解方程的最佳方法应选择(　　) A.因式分解法 B.直接开平方法 C.配方法 D.公式法 2.将方程的左边化为两个一次因式的乘积的形式为(　　) A.(x-2)(x-3)＝0 B.(x-2)(x＋3)＝0 C.(x-1)(x＋6)＝0 D.(x＋1)(x-6)＝0 3.方程x2＝2x的解为(　　) A.x1＝x2＝2 B.x1＝x2＝-2 C.x1＝0,x2＝2 D.x1＝0,x2＝-2 4.方程x(x-2)＋x-2＝0的两个根为(　　) A.x1＝x2＝-1 B.x1＝x2＝-2 C.x1＝1,x2＝-2 D.x1＝-1,x2＝2 A D C D 21 课后提升 基础作业： 5.若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为10,-6,则二次三项式x2+mx+n可分解为(　　) A.(x+10)(x-6) B.(x-10)(x+6) C.(x+10)(x+6) D.(x-10)(x-6) 6.若将二次三项式2x2+px+q因式分解的结果是2(x+3)(x-4),则一元二次方程2x2+px+q＝0的两个根为(　　) A.x1＝-3,x2＝-4 B.x1＝3,x2＝4 C.x1＝-3,x2＝4 D.x1＝3,x2＝-4 7.对于实数a,b,定义运算“◎”如下：a◎b＝(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)◎(m-3)＝24,则m＝____________. B C 或 22 课后提升 能力提升： 8.已知一组数据a,4,2,5,3的中位数为b,且a是方程x2-7x+10=0的根,则b的值是　 　.  9.若关于x的方程x2+2x-3＝0与有一个解相同,则a的值为　 　 .  10.已知关于x的方程ax2+bx-c-8＝0的解与(x-1)(x-3)＝0的解相同,则a+b-c的值为　 　.  -1 3或4 8 23 课后提升 能力提升： 11.用因式分解法解下列方程. (1)x2+6x＝0;(2) x2-2x-3＝0;(3)5x2-10x＝-5;(4) x(x+4)＝-3(x+4). (1)解：原方程可变形为x(x+6)＝0, ∴x＝0或x+6＝0. ∴x1＝0,x2＝-6. (2)解：因式分解,得(x-3)(x+1)＝0. ∴x-3＝0或x+1＝0, ∴x1＝3,x2＝-1. 24 课后提升 能力提升： (3)解:原方程可变形为x2-2x+1＝0, ∴(x-1)2＝0. ∴x1＝x2＝1. (4)解：原方程可变形为(x+4)(x+3)＝0, ∴x+4＝0或x+3＝0, ∴x1＝-4,x2＝-3. 11.用因式分解法解下列方程. (1)x2+6x＝0;(2) x2-2x-3＝0;(3)5x2-10x＝-5;(4) x(x+4)＝-3(x+4). 25 课后提升 能力提升： 12.阅读下面的例题: 解方程:x2-|x|-2＝0. 解:①当x≥0时,原方程化为x2-x-2＝0,解得x1＝2,x2＝-1(不合题意,舍去); ②当x<0时,原方程化为x2+x-2＝0,解得x1＝1(不合题意,舍去),x2＝-2, ∴原方程的根是x1＝2,x2＝-2. 请参照例题解方程:x2-|x-3|-3＝0. 解:①当x≥3时,原方程化为x2-(x-3)-3＝0,即x2-x＝0, 解得x1＝0(不合题意,舍去),x2＝1(不合题意,舍去); ②当x<3时,原方程化为x2+x-3-3＝0,即x2+x-6＝0,解得x1＝-3,x2＝2, ∴原方程的根是x1＝-3,x2＝2. 26 课后提升 拓展作业： 13.已知关于x的一元二次方程x2-2x-k-2＝0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)给k取一个负整数值,解这个方程. (1)解：根据题意,得,解得. (2)(答案不唯一)取,则方程为. 因式分解,得,解得. 27 课后提升 拓展作业： 14.阅读下列材料,然后找规律答题： ①方程x2-3x+2＝0的解为x1＝1,x2＝2; ②方程x2-4x+3＝0的解为x1＝1,x2＝3; ③方程x2-5x+4＝0的解为x1＝1,x2＝4; … (1)根据以上方程和解的特征,请猜想： ①方程x2-10x+9＝0的解为________________; ②关于x的方程x2-(n+1)x+n＝0的解为____________________.并说明理由; (2)请写出一个关于x的一元二次方程,且方程中二次项系数为1,使得它的解为x1＝1,x2＝12. x1＝1,x2＝9 x1＝1,x2＝n 28 课后提升 拓展作业： ②理由:将方程左边因式分解得:. 或. . (2)解:以为解的方程为. 29 二一教育 $