3.2.3因式分解法（第2课时选择合适的方法解一元二次方程）（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解法选择，通过导入回顾直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，搭建旧知支架，引导学生思考不同方法的适用条件，衔接新知学习。 其亮点在于采用小组合作探究（如5分钟讨论三个方程解法）、解法对比表格（总结优势局限）和“一看二选三解”原则，培养数学思维（推理意识、运算能力）与模型意识。例如对比表格助学生理性分析适用条件，典例分析规范步骤提升运算能力，框架助力建立解题模型。学生能提升解题效率与严谨性，教师可利用结构化资源实施分层教学。

第3章 一元二次方程 第2课时 选择合适的方法 解一元二次方程 3.2.3 因式分解法 导入新课 一元二次方程 定 义 解法 应用 直接 开平方法 配方法 公式法 因式分解法 降次 ax2+bx +c = 0 ( a≠0). 学 习 目 标 1 2 3 能根据方程的结构特征，灵活选择合适的方法解一元二次方程。（重点） 体会不同解法的适用条件，形成“因式分解法优先”的优化意识（难点） 体会一元二次方程解法中的转化与降次思想.（难点） 新知探究 下列方程用哪种方法求解较简便？说说你的理由. (1) x2 - 4x = 0； (2) 2x2 + 4x – 3 = 0； (3) x2 + 6x + 9 = 16. 小组合作学习 时间：5分钟 解 因式分解法 x1= 0，x2 = 4 ，b = 4，c = -3 b2 – 4ac = 42 - 4×2×(-3) = 40 x1= -1+ ，x2 = -1- 右边为0，左边易分解 配方法、因式分解法和直接开方法都比较困难 新知探究 下列方程用哪种方法求解较简便？说说你的理由. (3) x2 + 6x + 9 = 16. 配方法 解 = 16 4 x1=1，x2 = -7 左边是完全平方式，可以换成（x+3）²，右边是非负数。 我们刚才解了这三个方程，说一说解一元二次方程的四种方法各有什么优势和局限？ 新知探究 总结归纳 一元二次方程的解法 核心优势 适用局限 直接开平方法 因式分解 公式法 配方法 计算极简，步骤少，速度最快 仅适用于形如 (x+m)²=n (n≥0) 的特殊方程，适用范围非常窄。 运算简便，无需复杂计算，效率高。 依赖因式分解技巧，仅适用于能轻松分解的方程，不具普适性。 通用万能，适用于所有一元二次方程 计算步骤较多，涉及根式运算，容易出现计算错误，效率较低。 公式法的推导基础，常用于求代数式最值 配方过程繁琐，计算量较大，实际解题中较少直接使用。 解一元二次方程四种方法的优势和局限 例9 选择合适的方法解下列方程: (1)x2+3x =0; (2)5x2-4x -1=0; (3) x2+4x =3. 典例分析 右边为0，左边易分解 配方法、因式分解法和直接开方法都比较困难 二次项系数为1，一次项系数是偶数，易配方法 解：(1)把方程左边因式分解可得𝑥(𝑥+3)=0, 由此得x=0或𝑥+3=0。 因此,原方程的根 x1=0, x2=-3. 解：(2)这里a=5,b=-4,c=-1. 因而=(-4)2-4×5×(-1)=36,所以x==. 因此,原方程的根 x1=1,x2=-. 例9 选择合适的方法解下列方程: (1)x2+3x =0; (2)5x2-4x -1=0; (3) x2+4x =3. 典例分析 解：(3)原方程可化为 x2+4x+4=3+4, 即 由此得x+2=或x+2=. 解得 x1=-2,x2=. 怎样选择适当的方法解一元二次方程呢？ 解法选择的一般原则：“一看、二选、三解” 01 一看 · 观察特征 • 看形式：若为 （x+m）2＝n（n ≥ 0）型，首选直接开平方法。 • 看常数项：常数项为0，首选因式分解法。 • 看结构：右边为0且易分解，用因式分解法。 02 二选 · 择优方法 • 优先：因式分解法、直接开平方法（计算最快）。 • 次选：公式法（通用，适合所有方程）。 • 最后：配方法（常用于二次函数变形）。 03 三解 · 规范步骤 • 步骤规范：按标准流程书写，避免逻辑跳步。 • 结果检验：将解代入原方程验证正确性。 • 格式工整：保持卷面整洁，养成良好习惯。 💡 技巧提示： 解题时优先尝试“直接开平方法”和“因式分解法”，能大幅减少计算量，提高解题速度和准确率。 新知探究 1.7.2013 这里为大家总结了一个“一看、二选、三解”的选择原则。首先，观察方程的形式和结构，判断是否适合用直接开平方法或因式分解法。如果这两种方法都不适用，再考虑公式法。最后，按照选定方法的规范步骤进行求解。这个流程图可以帮助大家更直观地做出判断。 ‹#› 新知探究 议一议 用自己的语言总结解一元二次方程的基本思路，并与同学交流。 解一元二次方程的基本思路：将一元二次方程转化为两个一元一次方程，即“降次”。 ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)=0(a≠0) 因式分解 x₁，x₂ 就是方程 ax²+bx+c=0(a≠0)的根 因式分解 反过来 ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂) 基础巩固题 新知应用 1. 解方程4x²+12x+9=25，最适合的方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 A 解析 原方程左边是一个完全平方式，最适合用直接开平方法求解. 故选A. 2.解方程 时，较合适的方法是( ) C A.直接开平方法 B.配方法 C.因式分解法 D.公式法 方程左右两边有公因式 基础巩固题 新知应用 3. 解方程4x²+7x=2，最适合的方法是（ ） A. 直接开平方法 B. 配方法 C. 公式法 D. 因式分解法 解析 把原方程化成一般形式，从各项的系数看，配方比较复杂，因此最适合用公式法求解. 故选C. C 4.下列不适合用因式分解法求解的一元二次方程是( ) C A. B. C. D. 基础巩固题 新知应用 5.解下列方程：（1）；（2） ；（3） .较适当的方法为( ) D A.（1）因式分解法， （2）配方法， （3）因式分解法 B.（1）因式分解法， （2）公式法， （3）公式法 C.（1）直接开平方法，（2）因式分解法，（3）配方法 D.（1）直接开平方法，（2）公式法， （3）配方法 基础巩固题 新知应用 6.选择合适的方法解下列方程： (1) 3x²-4x=2x； (2) =1； (3) x²+x=0； (4) x(x-6)=2(x-8)； (5) (x+1) (x-1)=； (6) x(x+8)=25； (7) (x+2) (x-5)=1； (8) (2x+1)²=2(2x+1). 基础巩固题 新知应用 解：(1) 移项，系数化为1，得 把方程左边因式分解，得 由此得 x²-2x=0. x=0或x-2=0. x(x-2)=0. 解得 x₁=0，x₂=2. 6.选择合适的方法解下列方程： (1) 3x²-4x=2x； (2) =1； (2)方程两边同乘3，得 根据平方根的意义，得 (x+3)²=3. x+3=或x+3=. 解得 x₁=3+，x₂=3. 基础巩固题 新知应用 6.选择合适的方法解下列方程： (3) x²+x=0； (4) x(x-6)=2(x-8)； (3) 把方程左边因式分解，得 由此得 x(x+)=0. x=0或x+=0. 解得 x₁=0，x₂=. (4) 移项，合并同类项，得 配方，得 根据平方根的意义，得 x²-8x+16=0. x-4=0. (x-4)²=0. 所以 x₁=x₂=4. 基础巩固题 新知应用 6.选择合适的方法解下列方程： (5) (x+1) (x-1)=； (6) x(x+8)=25； (5) 原方程可化为 x²-x-1=0. 这里a=1，b=-，c=-1. 因此 b²-4ac=(-)²-4×1×(-1) =8+4=12＞0. 所以 因此，原方程的根为 (6) 移项，合并同类项，得 x²+8x-25=0. 这里a=1，b=8，c=-25. 因此 b²-4ac=8²-4×1×(-25)=164＞0. 所以 因此，原方程的根为 基础巩固题 新知应用 6.选择合适的方法解下列方程： (7) (x+2) (x-5)=1； (8) (2x+1)²=2(2x+1). (7)移项，合并同类项，得 x²-3x-11=0. 这里a=1，b=-3，c=-11. 因此 b²-4ac=(-3)²-4×1×(-11)=53＞0. 所以 因此，原方程的根为 (8) 移项，得 把方程左边因式分解，得 由此得 (2x+1)²-2(2x+1)=0. 2x+1=0或2x-1=0. (2x+1)(2x+1-2)=0. 解得 x₁=，x₂=. 方法 理论依据 适用方法 关键步骤 直接开平方法 平方根的意义 （x-m）2=n（n≥0）的形式 开平方 配方法 完全平方公式 二次项系数为1，一次项系数为偶数的方程 配方 公式法 配方法 所有一元二次方程 带入求根公式 因式分解法 如果ab=0，那么a=0或b=0 一边是0，另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式 分解因式 总结归纳 新知探究 能力提升题 新知应用 7.已知方程x2+mx+n=0的两根为3和-4，则代数式x2-mx+n可分解为( ) A．(x－3)(x＋4) B．(x＋3)(x＋4) C．(x＋3)(x－4) D．(x－3)(x－4) C 8.若直角三角形的两边长分别是方程 的两根， 则该直角三角形的面积是_______. 6或 是直角边还是斜边，要分类讨论 能力提升题 新知应用 9.已知y=2x2+7x-1. (1)当x为何值时，y的值与4x+1的值相等？ (2)当x为何值时，y的值与x2-19的值互为相反数？ 解：(1)使得2x2+7x-1=4x+1, 方程可化为2x2+3x-2=0. 把方程左边因式分解可得(2x-1)(x+2)=0, 由此得2x-1=0或x+2 =0。 因此,原方程的根 x1=, x2=-2. 所以当x为或-2时，y的值与4x+1的值相等. 能力提升题 新知应用 解：(2)使得2x2+7x-1=-(x2-19), 方程可化为3x2+7x-20=0. 把方程左边因式分解可得(3x-5)(x+4)=0, 由此得3x-5=0或x+4=0。 因此,原方程的根 x1=, x2=-4. 所以当x为或-4时， y的值与x2-19的值互为相反数. 课堂小结 一元二次方程的解法 方法 配方法 因式分解法 基本思路：降次 直接开平方法 公式法 感谢聆听! $