1.4空间向量的应用第11题及其变式训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以长方体为载体，通过1道母题8道变式构建立体几何从基础证明到动态轨迹的递进训练，突出空间观念与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础证明|2（原题、变式2）|线面平行、平行四边形证明|线面平行判定→平面几何性质| |距离计算|2（变式1、3）|点面距离、点线距离|空间距离转化为解三角形| |位置关系|2（变式4、7(1)）|面面垂直证明|线面垂直→面面垂直判定| |动态问题|2（变式5、6）|线面角最值、轨迹判断|几何动态与函数/方程结合| |综合应用|2（变式7(2)、8）|线面角、线线角计算|空间角与三角函数综合|

人教A版选择性必修一习题1.4第11题及其变式 【人教A版选择性必修一习题1.4第11题】 如图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=2,BC=CC=1,E是CD的中点. 求证：B,E⊥平面AED. 【变式1】求点B到平面AED的距离.（考查点面距离） 【变式2】若F分别是AB的中点，求证：四边形BFDE为平行四边形： 【变式3】求点B到直线AD距离：（考查点线距离） 【变式4】连接BE,求证：平面ADE1平面BBE.(考查面面垂直) 【变式5】若F是线段BC上的动点（包括端点B和C)，求EF与平面ADE的夹角正弦值的最大值： 【变式6】若F是侧面BB,CC内的动点（包括侧面BB,CC的边界），且平面AD,E与平面FDE垂直，判 断F点的轨迹，并求出轨迹长度. 【变式7】在长方体ABCD-ABCD中，AB=2AD=2,E是棱CD的中点. (I)求证：平面AED⊥平面BEB； (②)若异面直线EB与DC所成角为30°，求EB与平面AED所成角的正弦值. 【变式8】若F分别是BC的中点. )求证：ERC平面n,EF:②)点P在平面Am上，若P-号，求DP与AE所成角的余弦值 人教A版选择性必修一习题1.4第11题及其变式 【人教A版选择性必修一习题1.4第11题】如图，在长方体中，，，E是CD的中点．求证：平面． 【变式1】求点到平面的距离.（考查点面距离） 【变式2】若分别是的中点，求证：四边形为平行四边形； 【变式3】求点到直线距离：（考查点线距离） 【变式4】连接，求证：平面平面．（考查面面垂直） 【变式5】若是线段上的动点（包括端点和），求与平面的夹角正弦值的最大值； 【变式6】若是侧面内的动点（包括侧面的边界），且平面与平面垂直，判断点的轨迹，并求出轨迹长度． 【变式7】在长方体中，是棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)若异面直线与所成角为，求与平面所成角的正弦值． 【变式8】若F分别是BC的中点． (1)求证：平面； (2)点P在平面上，若，求DP与所成角的余弦值． 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，，即可得证； 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，， 所以，，， 所以，， 所以，，因为，平面． 所以平面． 【变式1】求点到平面的距离. 【分析】建立空间直角坐标系，可知，平面的一个法向量为，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】解法一：如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，可知，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为. 解法二：因为为长方体，在中，，， ，同理可得，，所以为等边三角形， 所以.又，所以. 设点到平面的距离为，则，即， 所以.故点到平面的距离为. 【变式2】若分别是的中点，求证：四边形为平行四边形； 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明即可； 【解析】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，所以，， 所以，又四点不共线，所以四边形为平行四边形． 【变式3】求点到直线距离： 【分析】如图建系，求出相关点和向量的坐标，利用点到直线距离的向量公式计算即得； 【详解】 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则,于是，,,则与同方向的单位向量为，于是点到直线距离为； 【变式4】连接，求证：平面平面． 【分析】通过证明和，推出平面，利用面面垂直的判定方法即可证得. 证明：在矩形中，因是的中点，， , 则由可得，因平面，平面,故， 因,故得平面,又平面,故平面平面. 【变式5】若是线段上的动点（包括端点和），求与平面的夹角正弦值的最大值； 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面法向量，得到线面角正弦值的表达式，构造函数利用单调性求出最大值即可. 以为原点，、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，. 设平面的法向量，则，即，令，得，故 设（因为是线段上的动点，所以），则. 设直线与平面的夹角为，则， 因为，所以，所以. 当时， 当时，令，. 因为在上单调递减， 所以在上单调递增，所以当时，，此时. 综上，，故与平面的夹角正弦值的最大值为. 【变式6】若是侧面内的动点（包括侧面的边界），且平面与平面垂直，判断点的轨迹，并求出轨迹长度． 【分析】求出平面与平面的法向量，利用面面垂直得到关系式，结合点的坐标范围即可得到轨迹，最后利用两点间距离公式求出轨迹长度. 【解析】设（因为是侧面内的动点，所以，），则，，，设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以，因为平面与平面垂直，所以， 所以.又，，所以，解得，即， 因此点的轨迹为上点和之间的线段，长度为. 故点的轨迹为上点和的线段，轨迹长度为. 【变式7】在长方体中，是棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)若异面直线与所成角为，求与平面所成角的正弦值． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证得，从而利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）中条件，利用异面直线所成角求得，从而求得与平面的法向量，由此利用空间向量法即可得解. 【详解】（1）证明:依题意，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，不妨设．依题意得，则， 所以，则，又，在平面内，所以平面，又平面，则平面平面． （2）依题意得．则，解得（负值舍去），故，则，，设平面的法向量为， 则，取，则，故；则， 所以与平面所成角的正弦值为． 【变式8】若F分别是BC的中点． (1) 求证：平面； (2)点P在平面上，若，求DP与所成角的余弦值． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先求得平面的法向量，利用向量垂直的坐标表示证得平面，进而证得平面； （2）在（1）的基础上，先证得是平面的法向量，再求得到平面的距离，又通过作图得到DP与所成角为，从而利用所得长度求得，即为所求. 【详解】（1）证明：根据题意，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，则， 设平面的一个法向量为，则，令，则，故， 所以，即，所以平面，又平面，所以平面. . （2）由（1）得，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，故，又， 所以是平面的一个法向量，即平面，又因为， 所以到平面的距离为，过作平面且交平面于，则，，如图，易得是直角三角形，DP与所成角为与所成角，即， 所以，即DP与所成角的余弦值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $