1.4空间向量的应用 解答题综合训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量工具性，通过19道解答题系统整合空间角、距离、位置关系证明，强化空间观念与推理能力，体现从向量表示到综合应用的逻辑进阶。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量表示与空间角|3题（1,10(1),16(2)）|基底表示、异面直线所成角|从向量线性运算到数量积求角，构建“表示-运算-应用”链条| |位置关系证明|7题（2,3(3),4(2),8(1),11(1),13(1),17(1)）|线面平行/垂直、面面垂直|以向量共线/垂直为核心，实现几何关系代数化| |距离计算|4题（3(1),14,15(2),17(2)(ii)）|点线、点面、异面直线距离|通过法向量与投影向量转化距离问题| |存在性与翻折|5题（5,6,7,9,19）|动态探究、折叠问题|结合空间向量解决开放型问题，培养创新意识|

空间向量的应用解答题综合训练 学校 姓名： 班级： 考号： 一、解答题 OA=00B=6.0C=6,点五，P满足 OE =2EA 1.如图，已知在棱长为1的正四面体OABC中， BF=FC (1)用基 {a,b,表示向量F: (2)求异面直线EF与OC所成角的余弦值. 0 E A----- 2.如图在边长是2的正方 体 BCD-A8CD中，B,F分别为B,4C 的中点.证明： F上平 面 D C ACD A B 、F D C B 试卷第1页，共3页 3.如图，直三棱柱 BC-4BG中，C1=CB=l,∠BCA=90,楼M=2,MN分别是48、44的 中点 )求N的长 B M ②求os(A,C)的值： AB⊥CM (3)求证： C.. 4.直三棱柱 BC-ABG中CM=CB=l,∠BCA=90,AM=2,M,N 分别是4B,4A 的中点. (I)求cos B,CB 的值： MN (2)求证： BNL平面 A N C B 试卷第2页，共3页 BCD-ABGD中，E为楼BC的中点.F为棱CD上一点。请用向蓝方法 .BC 5.如图，在棱长为2的正方体 解决以下问题： A D B AB⊥ AED (1)证明：直线 平面 2)是否存在点F,使直线 P∥平面45C?若存在，求出DF的长度，若不存在，请说明理由。 FI/」 6.如图，在四楼锥P-BCD中，PA上平面4BCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=2,5 BE:EP=1:2.CF=2.CD L BC. D (I)证明：平面AEF/平面PCD: PG (②)在棱PC上是否存在一点G,使得DG1/平面PAB?若存在，求GC的值；若不存在，请说明理由. 试卷第3页，共3页 7.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点，平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2, BC=4,E,F分别是PC,PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线I. (1)证明：1⊥平面PAC: 5 (2)直线I上是否存在点，使得直线P与平面AEF所成的角的正弦值为5？若存在，求出40的值： 若不存在，请说明理由 8.如图，在平面四边形ABCD中，△ABC为等腰直角三角形，△ACD为正三角形，∠ABC=90°，AB=2, 现将△DAC沿AC翻折至△SAC,形成三棱锥S-ABC,其中S为动点， D A B (1)证明：AC⊥SB: (2)若SC⊥BC, 试卷第4页，共3页 ①三棱锥S-ABC的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面SAC的距离： ②求平面SAC与平面SBC的夹角的余弦值， 9.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC,P、分别为线段AB、CD的中点，EPI平面ABCD. (I)求证：AQ∥平面CEP: (2)求证：平面AEQ⊥平面DEP: (3)若EP=AP=a,求平面QAE与平面PAE的夹角的余弦值 D 10.在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形且AB=2BC=2,侧面△ADE是正三角形且垂直于底面 ABCD,F是AB的中点，O为AD的中点，求： E D 0 B (I)异面直线AE与CF所成角的余弦值： 试卷第5页，共3页 (2)点O到平面EFC的距离： (3)二面角E-FC-D的余弦值. 11.四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,ABIIDC,AB⊥AD,且PA=AD=DC=1,AB=2,M 是PB的中点 Ai: B (1)证明：BC⊥平面PAC: (2)求直线PB与平面AMC所成角的正弦值. 12.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，AB=2AD=2,PD⊥AB,平面PAB⊥平面 ABCD B (I)证明：PA⊥平面ABCD: 试卷第6页，共3页 √6 (2)若直线PC与平面PBD所成角的正弦值为9，求PA. 13.如图，正三棱柱ABC-4B,G的所有棱长都为2，且CD)CC C AB,⊥ (1)求证： 平面AD ABD (2)求平面ABD与平面ABD 的夹角的余弦值. 14.如图，在长方体 MBCD-4BCD中，D=M=,B=2,求： D C B D C B 试卷第7页，共3页 A (I)点到直线BD的距离： BDC ②点A到平面 的距离： BD,CD (3)异面直线 之间的距离 15.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，且二 面角PBE-C 5 正切值为.求： D E (I)线段PB的长： (2)点D到平面PEB的距离. 16.如图，在棱长为2的正方体 MBCD-ABCD中，E,F分别为线段4B,BG 的中点 试卷第8页，共3页 B D D,F⊥CE (1)求证： AC (2)求F点到直线心的距离： (3)若平面 BC与平BCCB交于直线，求二面角 与平面 -1-F 的余弦值 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD∥BC,PA=2,AB=BC=l,AD=2,M是PD 的中点。 (I)求证：CM/I平面PAB: (2)若AB⊥AD, (i)求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值： (ii)在线段BD上是否存在点O,使得点D到平面PAQ的距离为l？若存 D B BO 在，求出BD的值；若不存在，请说明理由 试卷第9页，共3页 18.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB=BC,平面APC⊥平面ABC. 6 (I)若PB⊥BC,证明：PA⊥平面ABC: PC (②)若∠APC=90,且直线AB与平面PBC所成角为45，求BC· 19.如图1，等腰直角△ABC的斜边BC=4,D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角 为，如图2，M为CD B-AD-C,60° “为的中点 A D B 图1 图2 (I)证明：BM⊥AC. (2)求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值， √2 (3)试问在线段AC上是否存在点Q,使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为10？若存在，求出线段 试卷第10页，共3页 AQ 的长度；若不存在，请说明理由. 试卷第11页，共3页 空间向量的应用 解答题综合训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，已知在棱长为1的正四面体OABC中，，，，点E，F满足，． (1)用基底表示向量； (2)求异面直线EF与OC所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算法则，整理计算，即可得答案. （2）根据向量求夹角公式，结合求模公式，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意 . （2）正四面体中，任意两条棱的夹角均为，且棱长为1， 则，同理， 由（1）得， 所以 ， 又 ， 所以，， 因为异面直线EF与OC所成角， 所以， 所以异面直线EF与OC所成角的余弦值为. 2．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】 如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明． 【详解】略 3．如图，直三棱柱中，，，棱，M，N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1)(2) (3)由（1）知， 所以， 则，所以． 【分析】（1）以点C作为坐标原点O，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量的模长公式计算即可； （2）利用坐标运算计算的值； （3）通过计算·可得答案. 【详解】（1）如图，以点C作为坐标原点O，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由题意得， ∴. （2）由题意得， ∴ ∴ （3）略 4．直三棱柱中，，，，分别是的中点． (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 【答案】(1) (2)证明：求得，． ∴，，， ∴，， ∴，，即， 又平面，平面，， ∴⊥平面． 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算求的值； （2）利用向量法证明线线垂直，可证线面垂直. 【详解】（1）直三棱柱中，平面，又， 以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    依题意得，， ∴，，，，， 所以； （2）略 5．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．请用向量方法解决以下问题： (1)证明：直线平面； (2)是否存在点，使直线平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在棱长为2的正方体中，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则， ， 于是， 即，而平面， 所以直线平面. (2)存在，1. 【分析】（1）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）设点的坐标为，求出平面的法向量，若假设存在，由，即可求解. 【详解】（1）略； （2）由（1）知，设平面的法向量为， 则，取，得， 假定存在点，使直线平面，设点的坐标为， 则，由，得，解得， 而平面，则平面， 所以存在点，使直线平面，此时. 6．如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)如图，连接,由于平面，平面,则. 且，，则. 又，则，故. 又,则,又,则四边形为平行四边形.则. 平面,平面,则平面(∗). 由于，，则.又，则, 则,则，则. 平面,平面,则平面(∗∗). 平面,结合 (∗)，(∗∗)，得到平面平面. (2)存在，，证明如下： 由前面证明知道，四边形为矩形，平面， 则两两垂直，可建立空间直角坐标系.则 , 设,则. 设平面法向量为，且. 则,则，则解得. 又,若平面，则. 则， 则，解得.此时. 故棱上存在一点，使得平面，. 【分析】（1）运用两次证明线线平行，得到线面平行，再用面面平行判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，求出方向向量和平面法向量计算证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 7．如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. (1)证明：平面； (2)直线l上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)连接并延长，交圆于点，连接， 则，， 所以四边形为矩形，所以， 因为，所以， 故平面与平面的交线为所在直线，即所在直线为直线， 因为为直径，所以， 因为平面平面，交线为，平面， 所以平面，即平面. (2)存在，1 【分析】（1）由三角形中位线性质得，结合圆的直径特征构造矩形，以此确定两平面的交线；利用直径所对圆周角为直角得到线线垂直，再结合面面垂直的性质定理，证明平面. （2）建立空间直角坐标系，设出直线上点的坐标，求出平面的法向量；根据线面角的向量计算公式列方程，解出参数后得到的长度，验证点是否存在. 【详解】（1）略 （2）在上取点，连接，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直，的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，，，， ，， 则， 设平面的法向量为， 则 解得，令，则， 故，又， 故， 解得，故，即直线上存在点， 使得直线与平面所成的角的正弦值为，且. 8．如图，在平面四边形中，为等腰直角三角形，为正三角形，，，现将沿翻折至，形成三棱锥，其中S为动点.    (1)证明：； (2)若， ①三棱锥的各个顶点都在球O的球面上，求球心O到平面的距离； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)如图，取的中点，连接、. 因为是正三角形，为中点，所以； 因为是等腰直角三角形，，为中点，所以. 又，平面，故平面. 因为平面，所以.    (2)①；② 【分析】（1）取 中点 ，由正三角形和等腰直角三角形的性质得 、，从而 平面 ，故 ； （2）① 由垂直关系得外接球球心为中点，用等体积法分别求到平面 的距离和到平面的距离，球心到平面的距离为后者的一半； ② 建立空间直角坐标系，由垂直关系确定坐标，分别求两平面法向量，用夹角公式得二面角余弦值. 【详解】（1）略. （2）①当 时，由 ，则 ， 取的中点 ，连接 . 故到四点的距离相等，故为三棱锥 外接球的球心， 因为，故 ， 设到平面 的距离为，到平面 的距离为， 由等体积法可得 而，由于 ，故. 所以， 从而，故到平面 的距离为.   ②由①知 ，且 . 以为原点，、所在直线分别为轴、轴，过垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，设. 由，即，得；由，即，得 ； 又 ，故，所以. 平面中，， 其法向量满足，可取； 平面 中，， 其法向量满足，可取. 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 9．如图，在矩形中，，、分别为线段、的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)在矩形中，且， 因为、分别为线段、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，从而， 又因为平面，平面，所以平面. (2)因为平面，平面，所以， 连接，因为四边形为矩形，所以，，且， 因为、分别为、的中点，所以，， 又因为，所以，且， 故四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. (3) 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）连接，证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （3）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取得， 易知平面的一个法向量为，， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 10．在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点，为的中点，求： (1)异面直线与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离； (3)二面角的余弦值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据向量夹角的余弦公式计算即可. （2）先根据坐标求出平面的法向量坐标，然后根据向量的数量积求出点到平面的距离. （3）求出平面的法向量坐标，然后根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】（1）以为原点，如图建立空间直角坐标系，因为， 则. 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为，设平面的法向量为. 则，两式相减得. 令，则，所以. 因为，所以点到平面的距离为 . （3）因为平面，所以是平面的一个法向量， 由于平面的法向量为. 所以二面角的余弦值为. 11．四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质及勾股定理逆定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 12．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明：由，，，、平面 可得平面，又平面，故， 由平面平面ABCD，平面平面，且平面， 故平面； (2)或 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，则可得，再由面面垂直性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，， 则，，，， ，，， 记平面的法向量为，，即， 令，则，，即可取， 设直线与平面所成角为， 则， 即，， 解得或（负值舍去），故或． 13．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：法一：取中点，连结， 因为为正三角形，所以， 又因为正三棱柱中，平面平面，交线为， 所以平面，因为面，所以， 可得，所以． 又因为，所以，所以， 因为，且面，可得面． 又因为面，所以， 因为四边形是正方形，可得， 又因为，且面，所以面． 法二：取中点，以为原点，的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，所以，即 又因为，所以，即， 因为平面，且，所以平面． (2)． 【分析】（1）法一：取中点，连结，证得，再由四边形是正方形，得到，利用线面垂直的判定定理，即可证得面． 法二：以为原点，建立空间直角坐标系，求得和，得到和，利用线面垂直的判定定理，即可证得面． （2）由（1）中的空间直角坐标系，求得平面和的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，． 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 由（1）知平面．所以为平面的法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 14．如图，在长方体中，，，求： (1)点到直线BD的距离； (2)点到平面的距离； (3)异面直线之间的距离. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】(1)建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和向量的坐标，再求在上的投影向量的大小，结合勾股定理求点到直线BD的距离；(2)求平面的法向量，再求向量在向量上的投影的大小即可；(3)证明平面，利用向量方法求点到平面的距离即可. 【详解】（1）以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，，则，，，，， 所以，，所以在上的投影向量的大小为，又，所以点到直线BD的距离； （2）由(1) ，，， 设平面的法向量，则，所以， 取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为； （3）由(1) ，，所以，所以，又平面，平面，所以平面，所以异面直线之间的距离与点到平面的距离相等，设平面的法向量，因为，则，所以， 取，可得，，所以是平面的一个法向量，向量在法向量上的投影为，所以点到平面的距离为；故异面直线之间的距离为. 15．在四棱锥中，平面，为的中点，底面是边长为2的正方形，且二面角的正切值为．求： (1)线段的长； (2)点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出平面和平面的法向量，结合二面角的向量求法求解即可. （2）根据点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）因为平面，，平面，所以，. 又底面是边长为2的正方形，所以. 所以，，两两垂直． 如图所示，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 又为的中点，所以， 设，则，所以，． 因为平面，则即为平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，取，得，. 即为平面的一个法向量． 设二面角的平面角为，则，所以. 又，所以或（舍去）. 则，整理得， 解得或（负值舍去）， 故，则，所以. （2）由（1）得，，， 设点到平面的距离为，则. 即点到平面的距离为. 16．如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点. (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)若平面与平面交于直线，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明： 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 已知正方体棱长为，则，，，， 所以，， 因， 所以 (2) (3) 【分析】（1）依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可； （2）利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）略； （2）由题可得，，，. ，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点到直线的距离为. （3）根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设二面角的平面角为，由图知这是锐二面角， 故， 即二面角的余弦值为. 17．如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； (2)（i）（ii）存在， 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值； （ii）设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】（1）略 （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 18．如图，在三棱锥中，，平面平面． (1)若，证明：平面； (2)若，且直线与平面所成角为，求． 【答案】(1) 由，平面， 则平面，平面，则， 取中点，连接，，则， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，故， 由，平面，则平面； (2). 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理得，取中点，连接，结合面面、线面垂直的性质定理得，最后应用线面垂直的判定证结论； （2）法一：构建合适的空间直角坐标系，设，并标注相关点坐标，应用向量法求线面角，结合已知列方程求参数，即可得；法二：应用几何法，过作于，过作于，连接，证得，记，利用等体积法求得，记，结合射影定理求参数，即可得. 【详解】（1）略 （2）法一：以中点为原点，方向为轴和轴，建立如图所示坐标系． 设，则，其中， 故， 记平面的法向量为，则，即， 令，所以， 因为直线与平面所成角为，则， 化简得，又，解得， 此时，又，故； 法二：过作于，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则， 而，平面，则平面， 由平面，所以， 记，利用等体积法， 则，则， 记，则，又， 利用直角三角形射影定理，则，解得， 则，故. 19．如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求平面和平面所成角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，再由平面，得到，得出为等边三角形，证得，证得平面，即可证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）证明：在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，. （2）解：以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. （3）解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（2）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $