第2章 特殊三角形（举一反三讲义）数学新教材浙教版八年级上册

该初中数学单元复习讲义通过分层题型系统构建了特殊三角形的知识体系，涵盖轴对称图形、等腰三角形、直角三角形及勾股定理等核心内容，按“夯实基础-进阶拔高-创新思辨”递进呈现，清晰梳理知识点内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“基础巩固-综合应用-创新探究”的阶梯式练习设计，如“利用轴对称求最短路径（将军饮马）”“动点与轴对称综合求最值”等题型，培养几何直观与推理能力，基础题助学生掌握方法，拔高题提升综合应用意识，为教师实施分层教学和学生自主复习提供精准支持。

第2章 特殊三角形（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材浙教版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 判断轴对称图形】 2 【题型2 找轴对称图形的对称轴】 3 【题型3 利用轴对称性质求解】 4 【题型4 线段垂直平分线的判定】 5 【题型5 成轴对称的两个图形的识别】 6 【题型6 画轴对称图形】 7 【题型7 等腰三角形已知两边求周长】 8 【题型8 等腰三角形已知一角求其他角】 9 【题型9 等边三角形求边长或周长】 9 【题型10 含30°直角三角形求边长】 10 【题型11 角平分线判定】 11 【题型12 直角三角形中已知一锐角求另一锐角】 12 【题型13 HL判定直角三角形全等】 13 【题型14 直角三角形斜边上的中线】 14 【题型15 已知直角三角形两直角边求斜边】 15 【题型16 已知斜边和一条直角边求另一条边】 16 【题型17 判断三边能否构成直角三角形】 17 【题型18 勾股树问题】 17 【题型19 勾股定理的证明方法】 19 【题型20 勾股数】 20 【进阶拔高】 20 【题型21 利用垂直平分线证明】 20 【题型22 利用轴对称性质证明】 22 【题型23 等腰三角形与垂直平分线综合】 23 【题型24 等腰三角形中的分类讨论】 23 【题型25 等边三角形中的证明】 24 【题型26 与含30°直角三角形有关的证明】 25 【题型27 利用轴对称求最短路径（将军饮马）】 27 【题型28 镜面对称】 28 【题型29 等腰三角形与角平分线综合】 28 【题型30 等边三角形与全等三角形综合】 29 【题型31 勾股定理与折叠问题综合求线段长】 31 【题型32 以弦图为背景的计算】 32 【题型33 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 33 【题型34 勾股定理与实际问题（梯子、航行等）综合】 34 【题型35 勾股定理与网格问题】 35 【题型36 利用勾股定理证明线段之间的数量关系】 36 【创新思辨】 38 【题型37 动点与轴对称综合求最值】 38 【题型38 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 39 【题型39 求与图形中任意两点组成等腰三角形的点】 40 【题型40 等边三角形与旋转综合探究】 41 【题型41 轴对称与全等三角形综合证明】 43 【题型42 含30°直角三角形与动点综合】 44 【题型43 等腰三角形存在性问题】 46 【题型44 角平分线与垂直平分线综合】 47 【题型45 直角三角形与动点综合】 48 【题型46 多个直角三角形嵌套角度探究】 50 【题型47 动点问题中勾股定理与最值综合】 51 【题型48 求最短路径】 52 【题型49 求构成直角三角形的点】 53 【题型50 勾股定理及其逆定理的综合】 54 【夯实基础】 【题型1 判断轴对称图形】 【例1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）陕西省第十八届运动会将在陕西省渭南市举办．下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·甘肃陇南·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【题型2 找轴对称图形的对称轴】 【例2】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）画出下列等边三角形和正方形的所有对称轴． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【题型3 利用轴对称性质求解】 【例3】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【变式3-1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 【变式3-2】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 【变式3-3】（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 【题型4 线段垂直平分线的判定】 【例4】（25-26七年级下·上海·期末）已知：如图，在中，的平分线交边于点，，垂足为，与相交于点．，． (1)求证：； (2)求证：点在边的垂直平分线上． 【变式4-1】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【变式4-2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【变式4-3】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，已知：是的平分线上一点，，，、是垂足，连接，且交于点． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若，请你探究线段与线段之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【题型5 成轴对称的两个图形的识别】 【例5】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【变式5-2】（25-26八年级上·山东青岛·单元测试）国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【变式5-3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出__________个． 【题型6 画轴对称图形】 【例6】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上． (1)作关于直线l对称的图形； (2)求的面积． 【变式6-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【变式6-2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出，使与关于直线对称； (2)在直线上确定一点，使到、的距离之和最小，最小值为______，并在图中标出点（保留作图痕迹）； 【变式6-3】（25-26七年级下·北京·期中）如图，方格纸中每个小方格都是正方形．的三个顶点都在格点上，完成下列作图：（友情提示：作图时，请用铅笔作图，请保留作图痕迹，不写作法） (1)在图中作出关于直线成轴对称的图形； (2)在直线上标出点，使最短； (3)在方格纸中找一格点，连接交边于点，且线段是的中线． 【题型7 等腰三角形已知两边求周长】 【例7】（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知是等腰三角形． （1）如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是_________； （2）如果它的周长为，一条边的长为，那么它的腰长是_______． 【变式7-1】（25-26八年级下·北京海淀·期中）等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（    ） A．8 B．9 C．9或12 D．12 【变式7-2】（25-26八年级上·云南昭通·期末）等腰三角形一边为8，另一边是方程的根，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．不能确定 【变式7-3】（专题04生活的轴对称（考题猜想，易错必刷43题11种题型专项训练）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版））已知一个等腰三角形的周长为． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为两部分，那么各边的长为多少？ 【题型8 等腰三角形已知一角求其他角】 【例8】（24-25八年级上·重庆秀山·期末）等腰三角形一个内角的度数是，则它的一个底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【变式8-1】（25-26八年级上·河南许昌·期中）一个等腰三角形的两个内角的度数之比为2：5，则这个等䐵三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【变式8-2】（25-26八年级上·广西崇左·期末）等腰三角形的一个外角是，则它底角的度数是（　　）度． A． B．或 C．或 D．无法确定 【变式8-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【题型9 等边三角形求边长或周长】 【例9】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）若等边三角形的边长为4，则连接各边中点所成的三角形的周长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．1 【变式9-1】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知等边三角形的边长如图所示，那么______． 【变式9-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，等边的边长为，点、分别在边、上，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 _________． 【变式9-3】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【题型10 含30°直角三角形求边长】 【例10】（25-26八年级下·河北张家口·期中）某景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若于点，，则的长为_____． 【变式10-1】如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面1.8m处折断，且断枝与地面夹角为，则树折断之前高为________m． 【变式10-2】（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【变式10-3】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在等边中，于D，P、Q分别是、上的点，且，，，求的长． 【题型11 角平分线判定】 【例11】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【变式11-1】（2026八年级·全国·专题练习）在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在中，将尺边与边叠合，沿尺边画直线（如图1）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点落在直线上，且尺边经过点，尺边交边于点（如图2），读取点E，F对应的刻度分别为，已知，则_____________°． 【变式11-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【题型12 直角三角形中已知一锐角求另一锐角】 【例12】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，工地地面的钢架直线与轨道直线形成的夹角．为了加固钢架，施工队需要在支点处焊接一根支撑柱连接轨道，为节省钢材，要让支撑柱用料最短，则支撑柱与钢架形成的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26八年级上·广东广州·期末）中，，，则______． 【变式12-2】（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式12-3】如图，平分，，，，则是____三角形． 【题型13 HL判定直角三角形全等】 【例13】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 【变式13-1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，等边的顶点,分别在正方形的边，上，则_____． 【变式13-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【题型14 直角三角形斜边上的中线】 【例14】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿水平面向左移动时，点和点的距离（     ） A．先变小后变大 B．不断变小 C．不断变大 D．始终不变 【变式14-2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 【变式14-3】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知的两条高分别为，，点为的中点，求证：． 【题型15 已知直角三角形两直角边求斜边】 【例15】（25-26八年级上·广东茂名·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 【变式15-1】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 【变式15-2】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【变式15-3】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，M是正方形的边上的一点，，且的面积等于8，则线段的长是________． 【题型16 已知斜边和一条直角边求另一条边】 【例16】（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【变式16-1】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）如图，中，，，，则____________． 【变式16-2】（25-26八年级下·辽宁辽阳·阶段检测）如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是____________． 【变式16-3】（25-26八年级上·全国·期末）已知一个三角形中，有两边长为7和24，要使三角形为直角三角形，则第三边为___________． 【题型17 判断三边能否构成直角三角形】 【例17】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段中，能组成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式17-1】如果线段能组成一个直角三角形，那么________组成直角三角形．(填“能”或“不能”)． 【变式17-2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知两条线段的长分别为和，则当第三条线段的长取整数__________时，这三条线段能组成一个直角三角形． 【变式17-3】（25-26八年级下·湖北十堰·阶段检测）a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高．有下列说法： ①能组成三角形；②能组成三角形； ③能组成直角三角形；④能组成直角三角形 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型18 勾股树问题】 【例18】（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 【变式18-1】（24-25八年级下·云南红河·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式18-2】（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 【变式18-3】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第6个图形里的正方形比第4个图形多_______个． 【题型19 勾股定理的证明方法】 【例19】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 【变式19-1】（24-25七年级下·福建泉州·阶段检测）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 _____________ ． 【变式19-2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式19-3】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【题型20 勾股数】 【例20】（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列各组数据是勾股数的是（     ） A．0.3  0.4  0.5 B．     C．9  16  25 D．12  16  20 【变式20-1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________． 【变式20-2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【变式20-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）观察以下的等式，等式左边为直角三角形两直角边长的平方和，等式右边为直角三角形斜边长的平方，现有一个一条直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数（满足图中等式关系），则这个直角三角形的周长为（    ） A．56 B．82 C．112 D．144 【进阶拔高】 【题型21 利用垂直平分线证明】 【例21】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，是的垂直平分线，是的垂直平分线． (1)求证：； (2)若，，求证：． 【变式21-1】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于点，交于点． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：平分． 【变式21-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，点在线段上，垂直平分垂直平分，已知． (1)求证：； (2)分别连接，，求证：． 【变式21-3】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点于点，且，连接． (1)求证：． (2)求证：． 【题型22 利用轴对称性质证明】 【例22】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，已知是边上的动点，连接，点B关于直线的对称点为E，射线与射线交于点F． (1)连接，求证：． (2)当时，求的度数． (3)若，求证：． 【变式22-1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点在正方形的边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，与相交于点，连接并延长，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)求证：． 【变式22-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知：四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD． (1)如图1，过点A作AECD交BD于点E，求证：AE＝BE； (2)如图2，将△ABD沿AB折叠，点D的对应点为，求证：． 【变式22-3】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，长方形沿对角线折叠，顶点落在点处，与交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求线段的长． 【题型23 等腰三角形与垂直平分线综合】 【例23】（24-25八年级上·广东广州·期中）已知等腰中．，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为______． 【变式23-1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，若，则的度数是__________．    【变式23-2】（2025八年级上·全国·专题练习）在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰上高所在直线的夹角为40°，则该等腰三角形顶角的度数为___________． 【变式23-3】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）等腰中，，垂直平分，交所在的直线于点E，若与直线所夹的锐角是，则等腰三角形的顶角度数是________． 【题型24 等腰三角形中的分类讨论】 【例24】（25-26八年级上·北京·期中）定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 【变式24-1】（25-26七年级下·河南郑州·期末）定义：我们把等腰三角形的角平分线与一腰的夹角称为“二分角”，若等腰是锐角三角形，且其中一个“二分角”的度数为，则等腰顶角的度数为________． 【变式24-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的倍少度，则这个等腰三角形的顶角是________． 【变式24-3】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为________． 【题型25 等边三角形中的证明】 【例25】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，和都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 【变式25-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，与都为等边三角形，连接与，延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求证：平分． 【变式25-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点D是的中点，的外角平分线，点E是上一点，连接，过点D作交于点F，连接，交于点P． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：平分； (3)若，求证：． 【变式25-3】（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图1，在等边中，点、分别是、上的点，且，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，以为边作等边，点在的延长线上．求证：； (3)如图3，若点是的中点，连接、．求证：． 【题型26 与含30°直角三角形有关的证明】 【例26】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点在上，于点，且． (1)求证：平分； (2)求证：点在的垂直平分线上． 【变式26-1】（25-26八年级上·云南昭通·期中）在等腰中，，，，分别为的中线． (1)如图1，求证：； (2)求证：与的面积相等； (3)如图2，点在的延长线上，连接，，若，求证：． 【变式26-2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，平分，，，垂足分别为点，，． (1)求证：； (2)如果，，求证：； (3)若，，求四边形的面积． 【变式26-3】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若是等边三角形，求证：． 【题型27 利用轴对称求最短路径（将军饮马）】 【例27】（25-26八年级上·广西百色·期末）如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是______． 【变式27-1】（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，，M是边上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称，则点、之间的距离的最小值是________，取得最小值时的度数是________． 【变式27-2】（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，． （1）则周长是否存在最小值？______（用“存在”或“不存在”填空） （2）如果存在，请直接写出周长的最小值．如果不存在，请说明理由．______ 【变式27-3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【题型28 镜面对称】 【例28】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【变式28-1】（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【变式28-2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，由水中倒影看到的车牌号的实际号码是_____． 【变式28-3】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）小新是一位不错的足球运动员，他衣服上的号码在镜子里如图，他是______号运动员． 【题型29 等腰三角形与角平分线综合】 【例29】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是______． 【变式29-1】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，已知的面积为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式29-2】（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【变式29-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等腰中，为的中点，平分交于点，交于点，过点作于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【题型30 等边三角形与全等三角形综合】 【例30】（25-26七年级下·上海·期末）如图，分别以的边为边向外作等边，分别为的中点，求证： (1)； (2)． 【变式30-1】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 【变式30-2】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【变式30-3】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【题型31 勾股定理与折叠问题综合求线段长】 【例31】（25-26八年级下·云南昭通·期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式31-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在三角形纸片中，，，，折叠三角形纸片，使点在边上的点处，则的长是______． 【变式31-2】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，把矩形纸片折叠，使点B恰好落在边上，折痕为，且，． (1)求的长； (2)求折痕的长． 【变式31-3】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，点是边上一点． (1)在边上作出点，在边上作出点，使得沿折叠时，点的对称点恰好落在点处．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，过点作交于点，求线段的长． 【题型32 以弦图为背景的计算】 【例32】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【变式32-1】（25-26八年级下·贵州黔东南·期末）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【变式32-2】（25-26八年级下·北京·期中）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为________． 【变式32-3】（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 【题型33 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例33】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【变式33-1】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____． 【变式33-2】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【变式33-3】（24-25八年级下·四川·期中）在中，点D是斜边的中点，点P为线段的中点，则__________． 【题型34 勾股定理与实际问题（梯子、航行等）综合】 【例34】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为______米．    【变式34-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程_______海里． 【变式34-2】（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【变式34-3】（25-26八年级下·四川广安·期末）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由向移动，已知点为一城镇，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请通过计算说明城镇是否会受到沙尘暴影响的原因？ (2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 【题型35 勾股定理与网格问题】 【例35】（25-26七年级下·安徽宣城·期末）如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形． (1)请在图中画出一个面积为5的格点正方形． (2)在图中一共可以画出几个面积为5的格点正方形（只要回答几个，不需要画图）． 【变式35-1】（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 【变式35-2】（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 【变式35-3】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图1中画一个，使其三边长分别为、、5，并写出的面积； (2)在图2中画一个，使其三边长分别为3、、，并写出的面积． 【题型36 利用勾股定理证明线段之间的数量关系】 【例36】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【变式36-1】（2025九年级·甘肃·专题练习）如图，在中，请你根据以下步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成作图过程． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的中线； ②过点作边上的垂线交于点； (2)上述作法可用于验证阿波罗尼奥斯定理：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边一半的平方和的两倍．即，关于此定理的部分证明过程如下： 证明：设，． ，， … 请按照上面的证明思路，补全余下的证明过程． 【变式36-2】（25-26八年级下·全国·周测）已知如图所示． (1)若，，边上的高，求边的长． (2)若，为上的任意一点，求证：． 【变式36-3】（25-26九年级上·内蒙古包头·开学考试）已知在中，． (1)如图1，当点M、N在上时，求证：； (2)如图2，当绕点C旋转，点M、N在延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【创新思辨】 【题型37 动点与轴对称综合求最值】 【例37】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在等边三角形中，是角平分线，动点P从点B出发，沿向终点C运动，连接，将沿进行折叠，点B落在点处，．在点P运动过程中，点C与点之间的最小距离为____________（用含a的代数式表示）．    【变式37-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在边长为8cm的等边中，点D从A出发沿方向以1cm/s的速度运动，点E从B出发沿方向以2cm/s的速度运动，D、E两点同时出发，当点E到达C时，D、E两点停止运动，以为边作等边，点N为线段上一动点，点M为的中点，连、，当最小时，线段的长度为 _____cm． 【变式37-2】（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）如图，在长方形中，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为，，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是______．      【变式37-3】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是_________． 【题型38 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【例38】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是_______．    【变式38-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，线段的一个端点O在直线a上，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？ 【变式38-2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知中，，．试用直尺和圆规在延长线上找一点，使得是等腰三角形．请找出所有的点，并且分别标出顶角和底角的度数．（如有需要可以自己画备用图） 【变式38-3】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，中，直线是边的垂直平分线，若直线上存在点，使得均为等腰三角形，则满足条件的点的个数共有____________． 【题型39 求与图形中任意两点组成等腰三角形的点】 【例39】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有_______个． 【变式39-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式39-2】（25-26九年级上·天津和平·期末）如图，在正方形所在的平面内求一点，使，，，都是等腰三角形，具有这性质的点有______个． 【变式39-3】（25-26七年级下·上海静安·期末）作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P． 【题型40 等边三角形与旋转综合探究】 【例40】（25-26九年级上·重庆渝中·期末）如图，正方形的对角线、相交于点O，等边绕点O旋转，在旋转过程中，当时，的度数为____________． 【变式40-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕顶点旋转一周，在旋转过程中，当时，的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式40-2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，等边三角形的边长为2，O是的平分线与边上的高的交点，，将绕点O旋转，分别交线段于D，E两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【变式40-3】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在一次数学探究课上，老师给同学们提供了图1的数学模型： “在等腰中，，，等于腰长的一条线段绕点旋转，……” 同学们通过探究后，交流各自的体会： 小晴同学：若，则在内旋转任意位置，的大小不变（如图2）； 小颖同学：若，则在外旋转任意位置，的大小也不变（如图3）： 小宁同学：综合前面的结论，发现在图1条件中，旋转到任意位置上，与都存在一定的数量关系； …… 老师：在图4中，若时，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系； (1)若时， ①如图2，当在内旋转任意位置，______°； ②如图3，当在外旋转任意位置，______°； (2)若取任意数值，旋转任意位置，______（用含的式子表示）； (3)在图4中，，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系，请说出你们的猜想并说明理由． 【题型41 轴对称与全等三角形综合证明】 【例41】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知，，．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接，，是直线上的动点，当的值最小时，求证：点与点重合． 【变式41-1】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D在边AB上，点B关于CD的对称点为E，BE交CD于点G．AE与CD的延长线交于点F，连接CE，BF． (1)求证：∠CAE=∠CEA； (2)若BD<AD，求∠AFC的度数； (3)若AD=BC，求证：EF=DF． 【变式41-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 【变式41-3】（24-25八年级上·北京·期中）定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【题型42 含30°直角三角形与动点综合】 【例42】（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时，_______． 【变式42-1】（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，，，为的中点．若动点以的速度从点出发，沿→→运动，设点的运动时间为，连接，当为直角三角形时，的值为（  ） A． B．或 C．或 D．，或 【变式42-2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在边长为的等边三角形中，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒． （1）若，则___________； （2）若为等边三角形，则___________． 【变式42-3】（25-26七年级下·北京·期中）如图，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动．设点的运动时间为秒，当是锐角三角形时，满足的条件是___________． 【题型43 等腰三角形存在性问题】 【例43】（24-25八年级下·福建漳州·期中）点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ________． 【变式43-1】（25-26八年级上·北京·期中）在等边中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边，下面四个结论中： ①存在无数个是等腰三角形； ②存在无数个是等边三角形； ③存在无数个是等腰直角三角形； ④存在一个在所有中面积最小． 所有正确结论的序号是_____________． 【变式43-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若存在某一时刻是以为其中一个底角的等腰三角形，则此时与的数量关系为______． 【变式43-3】（25-26九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为________． 【题型44 角平分线与垂直平分线综合】 【例44】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，．①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；作直线交于点．则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式44-1】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，小明同学在画线段的垂直平分线时，先以点为圆心画弧，当以点为圆心画弧时，不小心使圆规的张口变小了，两弧相交于，两点，连接交于点．①；②；③；④点到，的距离相等；以上结论正确的是（     ） A．③④ B．①③ C．①② D．①③④ 【变式44-2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，的外角的角平分线与边的中垂线交于点，过作于点，则、、三条线段之间的数量关系为______． 【变式44-3】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）【探究型问题】 (1)小欣遇到这样一个问题： 如图①，在等边三角形中，于点，为上一点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．求的度数． 小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题： 方法一：通过运用线段垂直平分线的性质定理和三角形外角的性质定理直接计算可解决问题； 方法二：过点作于点，构造全等三角形可以解决问题． 请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题． (2)参考小欣思考问题的方法，解决下列问题： 如图②，在等腰三角形中，，于点，为延长线上一点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，．猜想与的数量关系，补全图形并加以证明． 【题型45 直角三角形与动点综合】 【例45】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）如图，已知在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连结，在整个运动中，当垂直三角形中的一边时，的度数为______． 【变式45-1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）高桩舞狮是岭南地区的传统文化之一，以其在梅花桩上的闪转腾挪最为精彩绝伦．如图，在地面垂直放置了三支高桩、、，运动员从点的方向运动，已知，，则的度数为________． 【变式45-2】（24-25七年级下·山东济南·期末）数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在（包括点，不包括点）上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． (1)一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况（如图），尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： /度 /度 /度 由表中数据可得， ______， ______； (2)二组同学受到启发，开始研究点在线段上（不包括端点、）运动时的情况（如图），很快发现了，，之间的数量关系：______； (3)三组同学提出：如果点在直线上（不包括点、）运动（如图），，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明． 【变式45-3】（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图1，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都是． (1)连接交于点M，则在P、Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)何时是直角三角形？ (3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线、的交点为M，则的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【题型46 多个直角三角形嵌套角度探究】 【例46】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，点在线段延长线上，为线段上一点，的平分线于点，和的平分线相交于点，设，则的度数为_________．（用含的代数式表示） 【变式46-1】（25-26七年级下·上海·阶段检测）中，与这两条边上的高所在直线的夹角为50度，那么___________度． 【变式46-2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【变式46-3】（2026·江西上饶·一模）将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______． 【题型47 动点问题中勾股定理与最值综合】 【例47】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则的最小值是__________． 【变式47-1】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，点M、N分别是边上的点，且满足．连接，小鸣探究发现存在最小值，则的最小值为______． 【变式47-2】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角的底边的中点为，点在直线上运动，以为直角顶点、为直角边构造等腰直角，连接．若长度为，下列说法正确的是（     ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【变式47-3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）问题发现： (1)如图①，线段，点P为平面内任意一点，连接，则的最大值为______． (2)问题探究：如图②，和均为直角三角形，，，，点E在上，连接，点M、N分别为的中点，求的长度． (3)问题解决： 在（2）的条件下，兴趣小组为研究需要，将绕点B顺时针旋转一周，在这个过程中，连接，取的中点M，连接．请问是否能取得最大值？如果能，请求出最大值，并求出此时的面积．若不能，请说明理由 【题型48 求最短路径】 【例48】（24-25八年级下·重庆·阶段检测）如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【变式48-1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为，底面边长为，则灯带的长度最短为（     ） A． B． C． D． 【变式48-2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 【变式48-3】（25-26七年级上·江苏淮安·开学考试）勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，用数学语言表达：．如图，一只蚂蚁从长是40厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到，那么它所行的最短路线的长是( )厘米． 【题型49 求构成直角三角形的点】 【例49】（25-26八年级上·四川·阶段检测）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直． 【变式49-1】（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式49-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），点E是AC上一个动点，始终保持．则当为直角三角形时，BD的长为________．    【变式49-3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【题型50 勾股定理及其逆定理的综合】 【例50】（25-26八年级上·上海·期末）如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为__________． 【变式50-1】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为______． 【变式50-2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【变式50-3】（25-26八年级下·四川巴中·期中）解决下列问题 (1)【阅读材料】在等边的内部有一点，若点到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 如图1，为了解决本题，我们可以将绕顶点按逆时针方向旋转得到，连接，此时，易证为等边三角形，再利用旋转的性质及等边三角形的性质，将线段转化到中，利用勾股定理的逆定理求出的度数，从而求出______． (2)【类比探究】如图2，在中，为边上的点，且．求证：． (3)【迁移应用】如图3，在中，，点在的内部，连接．若，则的值为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材浙教版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 判断轴对称图形】 2 【题型2 找轴对称图形的对称轴】 4 【题型3 利用轴对称性质求解】 6 【题型4 线段垂直平分线的判定】 8 【题型5 成轴对称的两个图形的识别】 12 【题型6 画轴对称图形】 14 【题型7 等腰三角形已知两边求周长】 18 【题型8 等腰三角形已知一角求其他角】 21 【题型9 等边三角形求边长或周长】 24 【题型10 含30°直角三角形求边长】 26 【题型11 角平分线判定】 29 【题型12 直角三角形中已知一锐角求另一锐角】 34 【题型13 HL判定直角三角形全等】 36 【题型14 直角三角形斜边上的中线】 38 【题型15 已知直角三角形两直角边求斜边】 40 【题型16 已知斜边和一条直角边求另一条边】 42 【题型17 判断三边能否构成直角三角形】 44 【题型18 勾股树问题】 46 【题型19 勾股定理的证明方法】 49 【题型20 勾股数】 53 【进阶拔高】 55 【题型21 利用垂直平分线证明】 55 【题型22 利用轴对称性质证明】 60 【题型23 等腰三角形与垂直平分线综合】 66 【题型24 等腰三角形中的分类讨论】 71 【题型25 等边三角形中的证明】 75 【题型26 与含30°直角三角形有关的证明】 83 【题型27 利用轴对称求最短路径（将军饮马）】 89 【题型28 镜面对称】 94 【题型29 等腰三角形与角平分线综合】 96 【题型30 等边三角形与全等三角形综合】 100 【题型31 勾股定理与折叠问题综合求线段长】 105 【题型32 以弦图为背景的计算】 109 【题型33 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 112 【题型34 勾股定理与实际问题（梯子、航行等）综合】 116 【题型35 勾股定理与网格问题】 121 【题型36 利用勾股定理证明线段之间的数量关系】 125 【创新思辨】 131 【题型37 动点与轴对称综合求最值】 131 【题型38 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 136 【题型39 求与图形中任意两点组成等腰三角形的点】 139 【题型40 等边三角形与旋转综合探究】 143 【题型41 轴对称与全等三角形综合证明】 151 【题型42 含30°直角三角形与动点综合】 158 【题型43 等腰三角形存在性问题】 164 【题型44 角平分线与垂直平分线综合】 174 【题型45 直角三角形与动点综合】 181 【题型46 多个直角三角形嵌套角度探究】 187 【题型47 动点问题中勾股定理与最值综合】 192 【题型48 求最短路径】 200 【题型49 求构成直角三角形的点】 204 【题型50 勾股定理及其逆定理的综合】 209 【夯实基础】 【题型1 判断轴对称图形】 【例1】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，判断每个图形是否为轴对称图形即可，轴对称图形的关键是确定对称轴． 【详解】解：线段是轴对称图形，有两条对称轴；角是轴对称图形，有一条对称轴；正方形是轴对称图形，有四条对称轴；圆是轴对称图形，有无数条对称轴．因此，所有四个图形都是轴对称图形，故个数为4． 故答案为：4 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）陕西省第十八届运动会将在陕西省渭南市举办．下列体育运动图标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 【变式1-3】（2024·甘肃陇南·中考真题）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点________的位置，则所得的对弈图是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） 【答案】A或C 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以， 故答案为：A或C． 【题型2 找轴对称图形的对称轴】 【例2】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）下列图形都是轴对称图形，其对称轴条数最多的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照对称轴的定义，针对每个选项的图形确定其对称轴的条数，最后选出对称轴条数最多的图形所对应的选项． 【详解】解：对于A选项：该图形有1条对称轴； 对于B选项：该图形有1条对称轴； 对于C选项：该图形有5条对称轴； 对于D选项：该图形有3条对称轴； 故图形对称轴条数最多的是5条，即C选项． 【变式2-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）画出下列等边三角形和正方形的所有对称轴． 【答案】解：如图所示即为所作． 【详解】略 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，把一张长方形纸片先对折，再沿折痕和对角线剪开，得到4个可以完全重合的三角形并按图示放置． (1)与三角形①成轴对称的是哪些三角形？ (2)整个图形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ 【答案】(1)三角形①分别与三角形②④成轴对称 (2)整个图形是轴对称图形，有两条对称轴 【分析】本题考查了轴对称和轴对称图形，解决本题的关键是能根据定义识别轴对称和轴对称图形； （1）根据轴对称图形的定义即可解答； （2）根据轴对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：根据图形可得：三角形①分别与三角形②④成轴对称． （2）解：根据图形可得：整个图形是轴对称图形，有横竖两条对称轴． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①②③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的． (1)如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？ (2)如图②，③所示图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ (3)请你推断，按此规律下去，第n个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？ 【答案】(1)图案是轴对称图形，有4条对称轴 (2)图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴 (3)第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴 【分析】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】（1）图案是轴对称图形，有4条对称轴； （2）图②是轴对称图形，都有2条对称轴；图③是轴对称图形，有2条对称轴． （3）第n个图案是轴对称图形，有2条对称轴． 【题型3 利用轴对称性质求解】 【例3】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质得出五边形每条边的长度，再用周长公式计算即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，，， ∵，，， ∴，，， ∴五边形的周长为：． 【变式3-1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先得出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，且， ∴， ∵， ∴． 【变式3-2】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得出和关于直线对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：和关于所在的直线成轴对称， 是的对称轴， ， 点，是边上的两点， 和关于直线对称， ， 由图可知，阴影部分的面积． 【变式3-3】（25-26八年级上·江西上饶·期中）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)求的度数． (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据成轴对称的两个图形对应角相等即可得答案； （2）根据成轴对称的两个图形对应边相等得出，进而求出的周长即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵，， ∴的周长． 【题型4 线段垂直平分线的判定】 【例4】（25-26七年级下·上海·期末）已知：如图，在中，的平分线交边于点，，垂足为，与相交于点．，． (1)求证：； (2)求证：点在边的垂直平分线上． 【答案】(1)证明：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：由（1）可知，， ，， ， ∴， ， ，即， ， 点在边的垂直平分线上． 【分析】（1）利用角平分线和三角形内角和得出，再用等腰三角形的判定证明即可； （2）根据等腰三角形的判定证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-1】（25-26八年级下·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【答案】5 【分析】设交点为，根据，易证垂直平分，得到，再根据即可求解． 【详解】解：设交点为， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在四边形中，，，，点在上，连接，相交于点， ．若，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接交于点O，由题意可证垂直平分，是等边三角形，是等腰三角形可得，易得，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：如图：连接交于点O， ∵，，， ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴, ∵， ∴，, ∴是等边三角形，是等腰三角形, ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，已知：是的平分线上一点，，，、是垂足，连接，且交于点． (1)求证：是的垂直平分线． (2)若，请你探究线段与线段之间有什么数量关系？并证明你的结论． 【答案】(1)是的平分线上一点，，， ， ∵， ， ， 是等腰三角形， 是的平分线， 是的垂直平分线； (2)是的平分线，， ， ，， ，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出，，确定是等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可证明； （2）根据题意得出，确定，，确定，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【题型5 成轴对称的两个图形的识别】 【例5】（25-26八年级上·山东德州·期末）下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 【变式5-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）窗格经历了千年的传承与发展，是中国建筑装饰文化的重要标志之一．在如图所示的窗格中，与①成轴对称的是_____________． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称． 故答案为：②③④． 【变式5-2】（25-26八年级上·山东青岛·单元测试）国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【答案】1，3，7 【分析】此题考查了成轴对称图形的识别，沿着一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，据此进行解答即可． 【详解】解：观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与1，3，7成轴对称． 故答案为：1，3，7 【变式5-3】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在正方形网格中，与成轴对称的三角形可以画出__________个． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】根据题意，画图如下： 有，，，共3个三角形， 故答案为：3． 【题型6 画轴对称图形】 【例6】（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上． (1)作关于直线l对称的图形； (2)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求： (2) 【分析】（1）根据轴对称性质得到对应点，然后顺次连接可得图形； （2）根据网格特点，利用割补法求解的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：的面积为． 【变式6-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，以直线为对称轴画出图形的另一半． 【答案】 解：如下图即为所求， 【分析】分别作出特殊点关于直线的对称点，顺次连接对应点得到的图形即为所求． 【详解】略 【变式6-2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出，使与关于直线对称； (2)在直线上确定一点，使到、的距离之和最小，最小值为______，并在图中标出点（保留作图痕迹）； 【答案】(1)解：如图所示即为所求， (2)；如图，点P即为所求作的点 【分析】（1）利用轴对称的性质画出的对应点，再顺次连接即可； （2）连接，交直线于点，则点即为所求作的点，用勾股定理求出的长度即可； 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， 由对称知， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小，且最小值为． 【变式6-3】（25-26七年级下·北京·期中）如图，方格纸中每个小方格都是正方形．的三个顶点都在格点上，完成下列作图：（友情提示：作图时，请用铅笔作图，请保留作图痕迹，不写作法） (1)在图中作出关于直线成轴对称的图形； (2)在直线上标出点，使最短； (3)在方格纸中找一格点，连接交边于点，且线段是的中线． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）考查轴对称点的性质； （2）考查轴对称的性质和两点之间线段最短； （3）考查三角形中线的定义． 【详解】（1）解：分别过点作直线的垂线，测量每个点到直线的水平格子数，在直线的另一侧，按相同格子数确定的对称点，依次连接得到的即为所求轴对称图形； （2）解：由（1）可知，点关于直线的对称点为点，根据轴对称的性质，直线上任意点都满足，连接（或），这条线段与直线的交点即为所求点，此时为最短路径； （3）解：取格点，位置如图所示，连接交于点,则线段是的中线，可通过证明得到． 【题型7 等腰三角形已知两边求周长】 【例7】（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知是等腰三角形． （1）如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是_________； （2）如果它的周长为，一条边的长为，那么它的腰长是_______． 【答案】 19 7 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）分当腰长为，底边长为和当腰长为，底边长为时两种情况； （2）因为已知给出的边为，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的两条边长分别为，， 当腰长为，底边长为时，等腰三角形的周长； 当腰长为，底边长为时，，不能构成三角形， ∴等腰三角形的周长； 故答案为：19； （2）解：当长为的边为底时，其它两边都为， 三边长是：，，，腰长是； 当长为的边为腰时，其它两边为和， ∵ ，所以不能构成三角形． ∴腰长是． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级下·北京海淀·期中）等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（    ） A．8 B．9 C．9或12 D．12 【答案】D 【分析】需分情况讨论，①当为腰长，为底边长时，②当为腰长，为底边长时，验证能否构成三角形后计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长，为底边长时， ∵， ∴2，2，5无法构成三角形，此情况舍去． ②当为腰长，为底边长时， ∵， ∴2，5，5可以构成三角形， 则它的周长为． 综上所述，这个等腰三角形的周长为12． 【变式7-2】（25-26八年级上·云南昭通·期末）等腰三角形一边为8，另一边是方程的根，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次方程、等腰三角形的性质及三角形的三边关系，关键是通过三边关系排除不成立的情况．先解方程得另一边边长，根据等腰三角形的定义与三角形的三边关系，判断第三边的长度，进而求等腰三角形的周长． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即另一边长为4， 若第三边为8，则三边长分别为8，8，4， ∵ ，，满足三边关系， 等腰三角形的周长为； 若第三边为4，则三边为4，4，8， ∵ ，不满足两边之和大于第三边， 故舍去； 综上，这个等腰三角形的周长为． 故选：B． 【变式7-3】（专题04生活的轴对称（考题猜想，易错必刷43题11种题型专项训练）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版））已知一个等腰三角形的周长为． (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为两部分，那么各边的长为多少？ 【答案】(1)，， (2)，． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用. （1）设底边，则，根据三角形的周长是，列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出答案． （2）设，，根据中线将的周长分为两部分，得出两部分的长度，然后列出关于a，b的二元一次方程并求解，然后分2种情况讨论，并根据三角形的三边关系得出正确的答案． 【详解】（1）解：如下图： 设底边，则， ∵三角形的周长是， ∴， ∴，， 答：等腰三角形的三边长是，，． （2）如下图： 设，， ∵中线将的周长分为两部分，，， ∴，或，， 解得：，或，， 当，时， ∴三角形三边长是，，， 因为，不符合三角形三边关系定理， ∴此种情况舍去， 当，，时， 三角形的三边长是，，， 符合三角形的三边关系定理， 综合上述：符合条件的三角形三边长是，，， 答：等腰三角形的边长是，．． 【题型8 等腰三角形已知一角求其他角】 【例8】（24-25八年级上·重庆秀山·期末）等腰三角形一个内角的度数是，则它的一个底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，分已知角为顶角或底角两种情况讨论，结合三角形内角和定理求解，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：当为顶角时：底角度数为 ； 当为底角时：另一底角也为，顶角为 ， 综上，底角可能为或， 故选：C． 【变式8-1】（25-26八年级上·河南许昌·期中）一个等腰三角形的两个内角的度数之比为2：5，则这个等䐵三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．设顶角的度数是，和设顶角的度数是，然后根据三角形内角和定理，列式计算即可作答．注意：在没有说明谁大谁小的情况下应分为两种情况． 【详解】解：依题意， 设顶角的度数是，则有：， 解得：， 所以顶角度数是：； 设顶角的度数是， 则有：， 解得：， 则有顶角度数是：， 综上所述，故顶角的度数是或者． 故选：C． 【变式8-2】（25-26八年级上·广西崇左·期末）等腰三角形的一个外角是，则它底角的度数是（　　）度． A． B．或 C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论． 如果等腰三角形底角的一个外角是，由邻补角的性质求出它底角的度数是；如果等腰三角形顶角的外角是，由三角形外角的性质求出它底角的度数是，于是得到它底角的度数是或． 【详解】解：如果等腰三角形底角的一个外角是， ∴它底角的度数是； 如果等腰三角形顶角的外角是， ∴它底角的度数是， ∴等腰三角形底角的度数是或． 故选：C． 【变式8-3】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，正确的画出图形，结合图形利用数形结合的思想求解是解题的关键． 首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为； 【详解】解：如图1，当该等腰三角形为锐角三角形时，      ∵，， ∴； 如图2，当该等腰三角形为钝角三角形时，      ∵，， ∴； 综上所述，该等腰三角形顶角的度数是或． 故选C． 【题型9 等边三角形求边长或周长】 【例9】（25-26八年级下·江苏无锡·期末）若等边三角形的边长为4，则连接各边中点所成的三角形的周长是（　　） A．4 B．6 C．8 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等边三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．根据题意画出图形（见解析），先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得的长，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：如图，是边长为4的等边三角形，点分别是边的中点， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴，，， ∴的周长为， 即连接各边中点所成的三角形的周长是6， 故选：B． 【变式9-1】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知等边三角形的边长如图所示，那么______． 【答案】1 【分析】本题考查了等边三角形的性质，二元一次方程组的应用，由题意可得，解方程组得，再代入求值即可，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：1． 【变式9-2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，等边的边长为，点、分别在边、上，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 _________． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系． 根据折叠可得，，故阴影部分的周长可以转化为三角形的周长． 【详解】解：将沿直线折叠，点落在点处， 所以，， 则阴影部分图形的周长为： ． 故答案为：． 【变式9-3】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图所示，是等边三角形，D为AB的中点，，垂足为E．若，则的边长为（   ） A．40 B．30 C．20 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决本题的核心是直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半． 根据为等边三角形和，可得，利用直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，即可求解． 【详解】解： 为等边三角形， ， ， ， ， ， D为AB的中点， ， 等边三角形的边长为． 故选：． 【题型10 含30°直角三角形求边长】 【例10】（25-26八年级下·河北张家口·期中）某景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若于点，，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：，， ． 【变式10-1】如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面1.8m处折断，且断枝与地面夹角为，则树折断之前高为________m． 【答案】5.4 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，根据在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半列出，并求的值即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∴树折断之前高为， 故答案为：． 【变式10-2】（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）如图，等边，，与交于点D，于点E，若，则的长为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，结合，可以证出，从而得到．利用等量代换和外角的性质，求得．根据直角三角形的性质，得到，代入的值，求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，． 【变式10-3】（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在等边中，于D，P、Q分别是、上的点，且，，，求的长． 【答案】 【分析】求出，，，然后利用含30度直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在等边中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型11 角平分线判定】 【例11】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． 【变式11-1】（2026八年级·全国·专题练习）在内部，两个完全一样的三角板如图所示放置，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定定理，掌握在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 由题意可知，是的角平分线，结合，角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】解：如图，∵两个完全一样的三角板， ，， 平分（在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）， ， ， ， 故选：D． 【变式11-2】（25-26八年级上·浙江温州·期中）小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在中，将尺边与边叠合，沿尺边画直线（如图1）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点落在直线上，且尺边经过点，尺边交边于点（如图2），读取点E，F对应的刻度分别为，已知，则_____________°． 【答案】/度 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理及三线合一等知识， 连接，过点M作于点H，先根据角平分线的判定定理得出，再根据垂直平分线的性质定理及三线合一得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，过点M作于点H， 由题意可得：，， ， 点E，F对应的刻度分别为， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式11-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 【题型12 直角三角形中已知一锐角求另一锐角】 【例12】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图所示，工地地面的钢架直线与轨道直线形成的夹角．为了加固钢架，施工队需要在支点处焊接一根支撑柱连接轨道，为节省钢材，要让支撑柱用料最短，则支撑柱与钢架形成的夹角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短和直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：要让支撑柱用料最短，那么支撑柱应垂直于轨道直线， ∴， ∵， ∴． 【变式12-1】（25-26八年级上·广东广州·期末）中，，，则______． 【答案】60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 【变式12-2】（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得旋转角，再根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转，得到， ∴， 又∵， ∴． 【变式12-3】如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【题型13 HL判定直角三角形全等】 【例13】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 【答案】3或6 【分析】先得出是直角三角形，再根据定理分两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴①当时，则，符合题意； ②当时，则，符合题意； 综上，当或时，才能使和全等． 【变式13-1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， 故选项C符合题意. 【变式13-2】（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，等边的顶点,分别在正方形的边，上，则_____． 【答案】/75度 【分析】本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据正方形的性质和等边三角形的性质，易证得，进而得到，利用求解即可 【详解】解：四边形是正方形， 、， 是等边三角形， 、， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式13-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ； (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）运用证明可得； （2）根据可得，进而即可求证． 【题型14 直角三角形斜边上的中线】 【例14】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图、两段公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得， 是的中点，， ，两点间的距离为， 故选：C． 【变式14-1】（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿水平面向左移动时，点和点的距离（     ） A．先变小后变大 B．不断变小 C．不断变大 D．始终不变 【答案】D 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，即，且点是梯子的中点， ∴， ∵梯子的长度为定值， ∴的长度为定值，即点和点的距离始终不变． 【变式14-2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，在中，点在边上，，点，点分别是，的中点，，连接，则的长为_____． 【答案】 【分析】首先利用三线合一性质得到，然后根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴． 【变式14-3】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）已知的两条高分别为，，点为的中点，求证：． 【答案】 解：如图， ∵，分别是的两条高， ∴和是直角三角形， 又点为的中点， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【题型15 已知直角三角形两直角边求斜边】 【例15】（25-26八年级上·广东茂名·期中）已知一直角三角形的两直角边的长分别是和，则这个三角形的周长为_______． 【答案】 【分析】已知直角三角形两条直角边的长，先利用勾股定理求出斜边长，再将三边长相加得到周长． 【详解】解：设这个直角三角形的斜边长为， ∵三角形是直角三角形，两直角边长分别为和， ∴由勾股定理得 ，解得：， ∵边长为正数， ∴， ∴三角形的周长为 ． 【变式15-1】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长为（     ） A．13 B．15 C．17 D．20 【答案】A 【分析】因为直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方，所以代入两条直角边的数值，计算平方和后开平方即可得到斜边长． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为. 【变式15-2】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【答案】7 【分析】由正方形的面积公式得到，据此由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 【变式15-3】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，M是正方形的边上的一点，，且的面积等于8，则线段的长是________． 【答案】5 【分析】由的面积求出正方形的边长，在中，应用勾股定理即可． 【详解】解：过点M作交于点E， 则四边形是矩形， ． 正方形中，， ， 的面积等于8， ． ， 在正方形中，， ，根据勾股定理可得 ． 【题型16 已知斜边和一条直角边求另一条边】 【例16】（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 【变式16-1】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）如图，中，，，，则____________． 【答案】 【分析】在 中，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边． 【详解】 解：∵在 中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ． 【变式16-2】（25-26八年级下·辽宁辽阳·阶段检测）如图，和关于点C成中心对称，若，则的长是____________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得，进而得到，，，求出的长，在中利用勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ， ，，， ， 在中，由勾股定理得：． 【变式16-3】（25-26八年级上·全国·期末）已知一个三角形中，有两边长为7和24，要使三角形为直角三角形，则第三边为___________． 【答案】或 【分析】根据题意，分第三边为斜边和边长为的边是斜边，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：若第三边为斜边，则第三边为； 若边长为的边是斜边，则第三边为； 综上，第三边为或． 【题型17 判断三边能否构成直角三角形】 【例17】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）下列长度的三条线段中，能组成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系及勾股定理的逆定理，验证各选项中两较短线段的平方和是否等于最长线段的平方． 【详解】解：A选项，最长边为，，，，不符合； B选项，最长边为，，，，不符合； C选项，，不能构成三角形，不符合； D选项，最长边为，，，，符合． 【变式17-1】如果线段能组成一个直角三角形，那么________组成直角三角形．(填“能”或“不能”)． 【答案】能 【分析】若设c为斜边，由勾股定理得，根据等式的性质可得：，则由勾股定理的逆定理可作出判断． 【详解】设c为斜边，则由勾股定理得：，两边同乘以，得， 即 ，根据勾股定理的逆定理可得能组成直角三角形． 故答案为：能 【点睛】本题考查勾股定理及逆定理，一般地，若线段能组成一个直角三角形，则线段 也能组成一个直角三角形． 【变式17-2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知两条线段的长分别为和，则当第三条线段的长取整数__________时，这三条线段能组成一个直角三角形． 【答案】17 【分析】本题考查勾股定理的应用，由于第三条边为整数，需分情况讨论哪条边为斜边． 【详解】解：设第三条线段长为，且为整数， 当为斜边时，由勾股定理得，即 ， 所以，（取正值）； 当为斜边时，由勾股定理得，即 ，，，不是整数，不符合条件； 当为斜边时，由于，不能为斜边，故不存在． 因此，第三条线段的长为． 故答案为：17． 【变式17-3】（25-26八年级下·湖北十堰·阶段检测）a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高．有下列说法： ①能组成三角形；②能组成三角形； ③能组成直角三角形；④能组成直角三角形 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可． 【详解】解：，，是的三边，且，是斜边上的高， ①，不符合三角形的两边之和大于第三边； ∴不能组成三角形，故①错误； ②∵，， 又、、能组成三角形， ， ∴， ， ，，组成三角形（这里明显是最长边）； ，，能组成三角形，故②正确； ③，（直角三角形面积两直角边乘积的一半斜边和斜边上的高乘积的一半）， ， ， ， ， ， ， 、、能组成直角三角形，故③正确； ④ ， 能组成直角三角形，故④正确， 综上分析可知，正确的结论有3个． 故选：C． 【题型18 勾股树问题】 【例18】（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数． 【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有（个）， 第二代勾股树中正方形有（个）， 第三代勾股树中正方形有（个）， 由此推出第五代勾股树中正方形有（个） 故选：B． 【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规律是解题的关键． 【变式18-1】（24-25八年级下·云南红河·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“勾股树”中的面积关系是解题的关键． 根据勾股定理的性质，可得直角三角形边长之间的关系，转换为面积之间的关系，即可求出正方形的面积． 【详解】解：假设正方形、、的边长分别为、、， 由勾股定理可得， 由于正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 故正方形C的面积为正方形A，B的面积之和， 即为， 故选A 【变式18-2】（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 【答案】55 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可． 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 【变式18-3】（25-26八年级下·安徽安庆·期末）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第6个图形里的正方形比第4个图形多_______个． 【答案】 【分析】由已知图形得到第n个图形中正方形有个，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知：第1个图形中正方形有个， 第2个图形中正方形有个， 第3个图形中正方形有个， 第4个图形中正方形有个， ……， 由此推出第n个图形中正方形有个， ∴第6个图形中正方形有个， ∴第6个图形里的正方形比第4个图形多个． 【题型19 勾股定理的证明方法】 【例19】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的验证，核心思路是通过计算图形的总面积，两种不同的计算方法建立等式从而推导出勾股定理． 【详解】解：拼接后的图形是一个直角梯形，上底为，下底为，高为， 根据梯形面积公式：， 拼接后的图形由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成： 则两个直角三角形的面积为， 等腰直角三角形(斜边为)的面积为， ∴， 即， 验证的定理是勾股定理． 故答案为：． 【变式19-1】（24-25七年级下·福建泉州·阶段检测）将某个图形的面积用不同方法来表示，我们可以写出某些等式，如图，你能写出的等式是 _____________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，解题的关键是用两种方法表示大正方形的面积．用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案． 【详解】解：大正方形的边长为c，因此面积可以表示为， 中间小正方形的边长，因此面积可以表示为， 大正方形的面积可以用小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，因此大正方形面积可以表示为： ， ∴． 故答案为：． 【变式19-2】（24-25八年级上·福建泉州·期末）我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积解答即可． 【详解】解：A、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部两个正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， 无法证明，此选项符合题意； B、∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴，此选项正确，不符合题意； D、∵内部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵外部正方形的边长为， ∴其面积为 ∵四个全等直角三角形的直角边分别为a，b， ∴面积分别为， ∴， ∴， 此选项正确，不符合题意； C、构造如下图形，于是就转化成了D选项， 此选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了长方形，正方形的特征，完全平方公式，图形的面积，熟练掌握性质和面积表示是解题的关键． 【变式19-3】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．拼接成以c为边长的正方形，试利用这个图形验证勾股定理． 【答案】 解：图形的总面积可以表示为， 如图， 也可以表示为， ∴， ∴． 【分析】本题考查勾股定理的证明，通过不同的方法求图形的面积列等式是解题的关键． 根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； 【详解】略 【题型20 勾股数】 【例20】（25-26八年级上·河南南阳·期末）下列各组数据是勾股数的是（     ） A．0.3  0.4  0.5 B．     C．9  16  25 D．12  16  20 【答案】D 【分析】先利用勾股数为正整数的要求排除非整数选项，再验证剩余选项的平方和关系． 【详解】解：A．各数为小数，均不是正整数，故不是勾股数； B．各数为分数，均不是正整数，故不是勾股数； C．，，，故不是勾股数； D．，，且12，16，20均为正整数，故是勾股数． 【变式20-1】（24-25八年级下·陕西商洛·期末）若5、m、13是一组勾股数，则m的值为________． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股数．勾股数是正整数且满足较大的数的平方等于较小的两个数的平方和，理解题意，先分情况讨论m是斜边或13是斜边，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当m为斜边时，由勾股定理得， 即， 解得，不是正整数，舍去； 当13为斜边时，由勾股定理得， 即， ∴， 解得（负值已舍去）， 故答案为：12． 【变式20-2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）仔细观察下列一类勾股数：；；；；这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．还有一类勾股数：；；；；根据此类勾股数的特点，若勾为12，则弦为______． 【答案】37 【分析】本题考查了勾股数．观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2，设勾为a，股为b，弦为c，则，根据勾股定理，，代入得，化简得，将代入计算，求出b，再求c，即可作答． 【详解】解：观察第二类勾股数，勾为偶数，弦与股相差2， 设勾为a，股为b，弦为c， 则， 根据勾股定理，， ∴， 化简得， 依题意，当时，则， ∴， 故答案为：． 【变式20-3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）观察以下的等式，等式左边为直角三角形两直角边长的平方和，等式右边为直角三角形斜边长的平方，现有一个一条直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数（满足图中等式关系），则这个直角三角形的周长为（    ） A．56 B．82 C．112 D．144 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，勾股数，根据题干等式得到其规律是解题的关键． 根据给定的等式模式，直角三角形三边可表示为 、 和 ，其中 为整数．已知一条直角边为 14，分别令 和 求解 ，从而得到直角三角形三边长度，进而计算周长，即可解题． 【详解】解：∵ 等式模式为 （的整数）， 且一条直角边为 14， 情况一：令 ， 解得 ， 则另一条直角边为 ，斜边为 ， 三边为 14， 48， 50，满足勾股定理， 周长为 ． 情况二：令 ， 解得 ， 非整数，不符合勾股数为整数的要求． 综上所述，这个直角三角形的周长为 112， 故选：C． 【进阶拔高】 【题型21 利用垂直平分线证明】 【例21】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，是的垂直平分线，是的垂直平分线． (1)求证：； (2)若，，求证：． 【答案】(1) 证明：∵是的垂直平分线， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， ∴； (2) 证明：∵，， ∴， ∵． ∴是等边三角形， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴ ∵， ∴． 【分析】本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据中垂线的性质，得到，，等量代换，即可得出结果； （2）含30度角的直角三角形的性质，得到，证明是等边三角形，得到，中垂线的性质，得到，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式21-1】（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于点，交于点． (1)求证：是等边三角形． (2)求证：平分． 【答案】(1) 证明：的垂直平分线交于点，交于点， ， ， ， 在中，，是边上的中线， ， ， 是等边三角形； (2) 证明：在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 平分． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，再根据三角形外角性质求出的度数，利用三角形内角和，等边对等角求出，，从而得出结论； （2）根据用三角形内角和，等边对等角求出，在中求出，再根据三角形外角性质求出的度数，从而得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外角性质，等边对等角，三角形内角和，等边三角形的判定，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 【变式21-2】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，点在线段上，垂直平分垂直平分，已知． (1)求证：； (2)分别连接，，求证：． 【答案】(1) 证明：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 解：连接，， ∵垂直平分垂直平分， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质． （1）利用等角的余角相等即可证明； （2）连接，，利用三角形内角和定理求得，利用推出，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 【变式21-3】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点于点，且，连接． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ， ； (2) 证明：是的垂直平分线，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）根据垂直关系可证得，又根据平行关系可得，即可求解； （2）由已知条件证明，即可证得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，体现了“边、角关系的推导与转化”能力． 【题型22 利用轴对称性质证明】 【例22】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，已知是边上的动点，连接，点B关于直线的对称点为E，射线与射线交于点F． (1)连接，求证：． (2)当时，求的度数． (3)若，求证：． 【答案】(1) 证明：连接交于点， ∵点B关于直线的对称点为E， ∴垂直平分， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴； (2) (3) 连接， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据轴对称的性质，得，，通过证明，推导得，再根据等腰三角形的性质分析，即可得到答案； （2）设，结合题意，得；根据三角形内角和，推导得，结合三角形外角的性质分析，即可得到答案； （3）连接，根据题意，得，根据垂直平分线和全等三角形性质，通过证明，得，，通过计算即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）设，由（1）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键. 【变式22-1】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，点在正方形的边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，与相交于点，连接并延长，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用正方形的性质和轴对称的性质找到条件，利用证明，即可得到结论； （2）连接，设，则，由轴对称得到，，则，由等边对等角得，由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：在正方形中， ， ， 关于直线对称， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接，    设，则， 关于直线对称， ，， 由，得： ， 又是的外角， ， ． 【点睛】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质等知识，证明是解题的关键． 【变式22-2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）已知：四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD+CD． (1)如图1，过点A作AECD交BD于点E，求证：AE＝BE； (2)如图2，将△ABD沿AB折叠，点D的对应点为，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠CDO＝∠AEO，∠DCO＝∠EAO，结合已知OA＝OC，根据AAS，证明△AOE≌△COD，得出CD＝AE，OD＝OE，由OB＝OD+CD，可得BE＝CD，等量代换即可得证； （2）由AE＝BE，根据等边对等角得出∠ABE＝∠BAE，根据全等三角形的性质以及三角形外角的性质得出∠CDO＝∠AEO＝∠ABE+∠BAE，根据轴对称的性质得出，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：∵AEDC， ∴∠CDO＝∠AEO，∠DCO＝∠EAO， 在△AOE和△COD中， ， ∴△AOE≌△COD（AAS）； ∴CD＝AE，OD＝OE， ∵OB＝OE+BE，OB＝OD+CD， ∴BE＝CD， ∴AE＝BE； （2）证明：由（1）知，AE＝BE， ∴∠ABE＝∠BAE， ∵∠CDO＝∠AEO＝∠ABE+∠BAE， ∴∠CDO＝2∠ABE， 即∠BDC＝2∠ABD， ∵， ∴． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，折叠的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式22-3】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，长方形沿对角线折叠，顶点落在点处，与交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：四边形是长方形， ， ， 由折叠得，， ， ， 是等腰三角形； (2)3 【分析】（1）由折叠和平行线的性质得到，进而证明即可； （2）由折叠得，，，设，则，然后根据勾股定理求解． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠得，，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得， ． 【题型23 等腰三角形与垂直平分线综合】 【例23】（24-25八年级上·广东广州·期中）已知等腰中．，两腰的垂直平分线交于点，已知，则等腰三角形的顶角为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，四边形内角和，分两种情况求解是解题的关键．分两种情况：（1）当在的内部时，连接，根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当在的外部，连接，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，结合四边形内角和即可求出结果． 【详解】解：分两种情况： 当在的内部，如图1，连接 两腰的垂直平分线交于点P， ， ，， ，， ， ， ， ， ； 当在的外部，如图2，连接， 由题意得：， ，， ， ， ， ， ， 则等腰三角形的顶角为或， 故答案为：或． 【变式23-1】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在等腰中，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，若，则的度数是__________．    【答案】50 【分析】由等腰三角形的性质可得，垂直平分,由角平分线的定义和垂直平分线的性质可得，由翻折可得垂直平分线段，然后求出即可． 【详解】解：如图，连接，    设， 等腰中，， ， 是的平分线， ，的延长线垂直平分, 又是的中垂线， ， ， 由折叠可知：垂直平分线段， ， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一、中垂线的性质、折叠的性质、三角形内角和，角平分线等知识点；解题的关键是能正确作出辅助线，利用性质正确计算． 【变式23-2】（2025八年级上·全国·专题练习）在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰上高所在直线的夹角为40°，则该等腰三角形顶角的度数为___________． 【答案】或 【分析】作出图形，分等腰三角形是锐角三角形、钝角三角形、直角三角形三种情况进行讨论即可． 计算即可得解． 【详解】解：①如图，是锐角三角形时，是的中垂线，是边上的高，， ∴， 在中， ， 在中， ； ②如图，是钝角三角形时，是的中垂线，是边上的高，， ∴， 在中， ， 在中， ， ∴； ③如图，是直角三角形时，是的中垂线，则是边上的高，这时， 与题意不符，此种情况不存在． 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平角的定义，高的定义，中垂线的定义，等腰三角形的定义等知识．难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 【变式23-3】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）等腰中，，垂直平分，交所在的直线于点E，若与直线所夹的锐角是，则等腰三角形的顶角度数是________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．分情况求解是解题的关键． 由题意知，分是锐角三角形，是钝角三角形，两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分是锐角三角形，是钝角三角形，两种情况求解； 当是锐角三角形，如图1， ∵垂直平分，与直线所夹的锐角是， ∴， ∴； 当是钝角三角形，如图2， 同理，∴， ∴； 综上所述，等腰三角形的顶角度数是或， 故答案为：或． 【题型24 等腰三角形中的分类讨论】 【例24】（25-26八年级上·北京·期中）定义：等腰三角形的腰长与其底边长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．例如一个等腰三角形的腰长为，底边长为，则这个等腰三角形的“优美比”k为．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解决本题的关键． 根据等腰三角形的性质和“优美比”的定义，分为腰和为底边两种情况讨论，分别计算腰长与底边长的比值即可． 【详解】解：根据题意得，等腰三角形的周长为，． 当为腰时，另一腰也为，底边长为， ∴优美比腰长/底边长． 当为底边时，腰长为， ∴优美比腰长/底边长． 故答案为：或． 【变式24-1】（25-26七年级下·河南郑州·期末）定义：我们把等腰三角形的角平分线与一腰的夹角称为“二分角”，若等腰是锐角三角形，且其中一个“二分角”的度数为，则等腰顶角的度数为________． 【答案】或 【分析】本题根据新定义，结合等腰三角形性质分类讨论，再利用三角形内角和定理计算，结合锐角三角形的条件舍去不符合的解，即可得到结果． 【详解】解：设等腰中，，顶角为，底角．根据新定义，分情况讨论如下： 情况1：二分角是顶角的角平分线与一腰的夹角，由定义得， 解得， 此时，三个内角均为锐角，符合题意． 情况2：二分角是底角的角平分线与一腰的夹角． 子情况2.1：二分角是底角的角平分线与该底角所在腰的夹角，可得， 解得， 顶角， 此时，三个内角均为锐角，符合题意． 子情况2.2：二分角是底角的角平分线与另一腰的夹角，即夹角为 设，则，底角平分线分得的角为， 由三角形内角和定理，得， 代入整理得，无符合题意的正解； 若该夹角的邻补角为， 解得，为钝角三角形，不符合题意，舍去． 综上，等腰顶角的度数为或． 【变式24-2】（25-26七年级下·四川达州·期末）已知，一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的倍少度，则这个等腰三角形的顶角是________． 【答案】或或 【分析】设其中一个内角为，表示出另一个内角为，分三种情况讨论：为顶角，为底角；为底角，为顶角；与均为底角，结合三角形内角和定理与等腰三角形两底角相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的一个内角为，则另一个内角为，分三种情况讨论： ① 当为顶角，为底角时，根据三角形内角和定理得：，解得，即顶角度数为； ② 当为底角，为顶角时，根据三角形内角和定理得：，解得，因此顶角度数为； ③ 当与均为底角时，根据等腰三角形两底角相等得：，解得，因此顶角度数为； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为或或． 【变式24-3】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，中，，，射线从射线开始绕点逆时针旋转角，与射线相交于点，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】或或 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换（折叠问题），分三种情况讨论是解题的关键． 根据折叠的性质可得：，，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【详解】解：由折叠得：，， 分三种情况： 当时，如图： ， 是的一个外角， ， ； 当，和位于射线的同侧时，如图： ， ， ； 当时， ， 是的一个外角， ， 此种情况不成立； 当时，如图： ， ， 是的一个外角， ， ； 综上所述：若是等腰三角形，则的度数为或或， 故答案为：或或． 【题型25 等边三角形中的证明】 【例25】（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）如图，和都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) 证明：和都是等边三角形， ， ， ， ， ． (2) 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴. (3) 证明：∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴. 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型是解本题的关键． （1）由和都是等边三角形，得到，再证明，得到，利用全等三角形的性质可得答案． （2）证明，进一步证明，可得结论. （3）证明为等边三角形，进一步解答即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式25-1】（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，与都为等边三角形，连接与，延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求证：平分． 【答案】(1) 证明： 与都为等边三角形， ， ， ， ， ； (2) 证明：设交于点，如图所示： 由（1）可知，， ， ， ， ， 即； (3) 证明：过点作的延长线于点，如图所示： 由（1）可知，， ，， ， ， ， 平分． 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）设交于点，由（1）可知，，得到，结合对顶角相等，那么，从而推出结论； （3）过点作的延长线于点，证明，得到，从而得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式25-2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点D是的中点，的外角平分线，点E是上一点，连接，过点D作交于点F，连接，交于点P． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：平分； (3)若，求证：． 【答案】(1) ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． (2) 延长、，相交于点，如下图所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， 故直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴为等腰三角形， ∴平分． (3) 在上截取，连接，如下图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ， 由（2）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故． 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点和准确添加辅助线是解题的关键． （1）通过角平分线，得出，结合，得，即得出三个内角均为，故可证明是等边三角形； （2）延长、，相交于点，证明，得，易证直线为线段的垂直平分线，可以得出为等腰三角形，最后可证明平分； （3）在上截取，连接，先证明为等边三角形，再证出，得到与、、有关的相等线段后，根据等量代换证出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式25-3】（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图1，在等边中，点、分别是、上的点，且，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，以为边作等边，点在的延长线上．求证：； (3)如图3，若点是的中点，连接、．求证：． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴． (2) 证明：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (3) 证明：如图，延长至点H，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质． （1）由等边三角形的性质，可得，，结合已知，利用“边角边”，即可证得结论； （2）由等边三角形的性质，可得，，，可得，利用“边角边”，证明，即可证得结论； （3）延长至点H，使，连接，证明，可得，，，可得，由为等边三角形，可得，由可得，，从而得到，证明，可得，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型26 与含30°直角三角形有关的证明】 【例26】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，，点在上，于点，且． (1)求证：平分； (2)求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的判定定理，到角两边距离相等的点在角的平分线上，由、 且可证； （2）根据直角三角形两锐角互余求出，结合角平分线得，再利用直角三角形性质证，由垂直平分线判定定理可证． 【详解】（1）解：， ， ，且， 根据到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上， 点在的平分线上， 平分． （2）解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， 根据等腰三角形性质，有垂直平分， ， 连接，在中，， （直角三角形斜边中线等于斜边的一 半）， ， 根据垂直平分线性质，点在的垂直平分线上． 【变式26-1】（25-26八年级上·云南昭通·期中）在等腰中，，，，分别为的中线． (1)如图1，求证：； (2)求证：与的面积相等； (3)如图2，点在的延长线上，连接，，若，求证：． 【答案】(1) 证明：如图， ，， ， 是边上的中线 是的高， ， ， 是边上的中线， ， ． (2) 证明：如图，过点作交的延长线于点． 则为边上的高线． ， 为中点 与的面积相等． (3) 证明：由（2）知． ，， 垂直平分 ， 又 ， 在和中， ， ∴ ∴，而 ∴ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据三线合一可得是的高，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据三角形中线的性质得出，进而即可求解； （2）过点作交的延长线于点．则为边上的高线．得出，进而即可得出结论； （3）根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据三线合一可得，，进而证明得出，等量代换即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式26-2】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，平分，，，垂足分别为点，，． (1)求证：； (2)如果，，求证：； (3)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵平分，，， ∴，； 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：∵平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴． (3)四边形的面积是40 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定及性质，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质；掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质定理得，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由等腰三角形的判定及性质得，由直角三角形的特征得，由角平分线的性质定理得，即可得证； （3）结合全等三角形的性质得 ，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）知 ∴， ∴ ． 答：四边形的面积是40． 【变式26-3】（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接交于点O． (1)求证：垂直平分； (2)若是等边三角形，求证：． 【答案】(1) 证明：是的角平分线，，， ，，， ， ． ∵， ∴ ∴，， 垂直平分； (2) 证明：是等边三角形， ． 平分，， ，， 又， ． ，， ， ， ． 【分析】本题考查角平分线的定义和性质定理，线段垂直平分线的判定，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质．解题的关键是能够综合运用上述知识． （1）由角平分线的性质定理可证，即得出，从而可证，即得出，，即可得出结论； （2）由题意可求出，再根据角平分线的定义得出，，最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 【题型27 利用轴对称求最短路径（将军饮马）】 【例27】（25-26八年级上·广西百色·期末）如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质及最短路径问题．关键是利用垂直平分线的对称性将转化为，再根据“两点之间线段最短”确定的最小值为的长度，最后结合等边三角形高的性质求出的长度． 【详解】解：如图，连接． ∵是等边三角形，是边上的高， ∴垂直平分， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴． 根据两点之间线段最短，当为与的交点时，取得最小值，最小值为的长度． 又∵是的中点，是等边三角形， ∴是边上的高， ∴， 故的最小值为． 故答案为：． 【变式27-1】（25-26八年级上·河南南阳·期中）如图，在中，，M是边上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称，则点、之间的距离的最小值是________，取得最小值时的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，掌握垂线段最短是解题的关键． 根据轴对称的性质，得到，，推出，，三点共线，得到，进而得到当最小时，最小，根据垂线段最短可得时，最小，根据的面积即可求出的最小值．根据“等边对等角”得到，，再根据三角形的内角和定理即可求出． 【详解】解：连接，，， 点和点关于对称， ，， 点和点关于对称， ，， ， ， ， ，，三点共线， ， 当最小时，最小． 是上一点， 时，最小，如图， 此时， ， ， 的最小值为． ∵，， ∴，， ∵， ∴， 即． 故答案为：，． 【变式27-2】（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，． （1）则周长是否存在最小值？______（用“存在”或“不存在”填空） （2）如果存在，请直接写出周长的最小值．如果不存在，请说明理由．______ 【答案】 存在 【分析】此题主要考查轴对称最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． （1）周长是存在最小值； （2）分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，由对称的性质证出是等边三角形，求得的长，即可求得的周长的最小值． 【详解】解：（1）周长是存在最小值； 故答案为：存在； （2）分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、． 点关于的对称点为，关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， 是等边三角形， ． 的周长的最小值， 故答案为：． 【变式27-3】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，，，D为上一点，，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．2.4 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】作点D关于的对称点G，则，当三点共线，且时，取得最小值，推出，根据等面积法计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 作点D关于的对称点G，连接， 则，， ∴， 当三点共线，且时，取得最小值， 此时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即的最小值为3． 【题型28 镜面对称】 【例28】（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）虎虎在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题关键是结合轴对称的性质确定墙上时钟时间．根据轴对称的性质分别确定墙上时钟时间，比较即可获得答案． 【详解】解：A.墙上的时钟时间约为，最接近，符合题意； B. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； C. 墙上的时钟时间约为，不符合题意； D. 墙上的时钟时间约为，不符合题意． 故选：A． 【变式28-1】（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）小明发现站在平面镜前，从镜中看到镜子里对面墙上挂着的电子钟显示时间与电子钟的实际时间成对称，如图1，则电子钟的实际时间应该是__________ ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，据此解答即可． 【详解】解：根据实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称可知： 时间应该是． 【变式28-2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，由水中倒影看到的车牌号的实际号码是_____． 【答案】MLI7639 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】由图分析可得题中所给的号码与“M17639”成轴对称，则实际号码是：M17639． 故答案为M17639 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 【变式28-3】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）小新是一位不错的足球运动员，他衣服上的号码在镜子里如图，他是______号运动员． 【答案】16 【分析】根据轴对称的性质解答即可 【详解】解：∵他在照镜子时，图中的数字与实际数字成轴对称， ∴他是16号球员. 故答案为16. 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质——镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒且关于镜面对称. 【题型29 等腰三角形与角平分线综合】 【例29】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，连接，过作于，于，由，，则，，根据角平分线的性质得，然后证明，则，再根据四边形内角和求出，同理，掌握知识点的应用及正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，过作于，于， ∵，， ∴， ∴， 当是以为腰的等腰三角形， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理证得， ∴， ∴， 得， 故答案为：或 【变式29-1】（25-26八年级上·福建南平·期中）如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，已知的面积为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，过点作于，由等腰三角形的性质得，进而由角平分线的性质得到，再根据三角形的面积求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是等腰底边上的中线， ∴， 又∵平分， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵是等腰三角形，是底边， ∴， 故选：． 【变式29-2】（24-25八年级下·江西九江·期中）在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：平分． 【答案】(1) 证明：， ， 又，， ． (2) 证明：过点作，，如图， 由（1）可知， ，， ， ， 又，， 平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角的和差可得，结合，，即可由证得； （2）过点作，，由（1）可知，推出，，然后利用面积公式进而得到，根据角平线的判定定理即可判定． 【详解】（1）略 （2）略 【变式29-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等腰中，为的中点，平分交于点，交于点，过点作于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1) 证明：，F为的中点， ． 平分，， ． (2)的周长是20． 【分析】本题考查了角平分线性质和全等三角形的判定和性质． （1）由等腰三角形三线合一的性质可得，再由角平分线上的点到角两边的距离相等即可证明结论； （2）由角平分线的性质可知，进而证明，由此可得，进而证明． 【详解】（1）略 （2）解：，，平分， ， ， ， ， ． 【题型30 等边三角形与全等三角形综合】 【例30】（25-26七年级下·上海·期末）如图，分别以的边为边向外作等边，分别为的中点，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵分别为的中点， ∴， ∵均是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：如图，设交于点P，交于点K， 由（1）得：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理可得，再证明，可得，即可求证； （2）设交于点P，交于点K，根据，可得，再由是等边三角形以及三角形外角的性质可得，然后根据三角形中位线定理可得，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式30-1】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵是中线， ∴，即， ∵， ∴， 如图，在的延长线上截取，连接， ∴，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】根据已知条件得到，在的延长线上截取，连接，得到，得到，由等腰三角形的判定得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】略 【变式30-2】（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形． 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ； （2）略 【变式30-3】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】(1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得 【题型31 勾股定理与折叠问题综合求线段长】 【例31】（25-26八年级下·云南昭通·期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，，则的长度是（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】由折叠可知，，，设，则，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：四边形为长方形，，， ，， 根据折叠的性质可得，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【变式31-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在三角形纸片中，，，，折叠三角形纸片，使点在边上的点处，则的长是______． 【答案】3 【分析】先求出的长，再得出，，，则可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长是3． 【变式31-2】（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，把矩形纸片折叠，使点B恰好落在边上，折痕为，且，． (1)求的长； (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据翻折变换的对称性可知，然后根据矩形的性质和中的勾股定理求出，即可解答； （2）设，分别表示出、，然后在中利用勾股定理求出即可；在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵把纸片折叠，使点B恰好落在边上， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ． ， ∴， ∴. （2）解：设，则，， 在中， ， 即． 解得．故． 在中，由勾股定理得， ∴ 【变式31-3】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，点是边上一点． (1)在边上作出点，在边上作出点，使得沿折叠时，点的对称点恰好落在点处．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，过点作交于点，求线段的长． 【答案】(1) 如图所示，点、即为所求； (2)的长为 【分析】（1）以点为圆心，为半径画弧交于点，作平分交于点；证明出，即可证明上述作法； （2）由勾股定理求出的长度，得的长度，根据翻折的性质和平行线的性质，证出，令，则，由，得，解得的值，即可得出，线段的长． 【详解】（1）略 （2）解：作图如下： 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 令，则， 由，得， 解得， ∴． 【题型32 以弦图为背景的计算】 【例32】（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 【变式32-1】（25-26八年级下·贵州黔东南·期末）赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公元年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”，可类似地构造如下图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，交延长线于，根据全等三角形的性质及等边三角形的性质得出，，，进而得出，根据含角的直角三角形的性质求出，，进而求出，利用勾股定理求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于， ∵个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【变式32-2】（25-26八年级下·北京·期中）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】/ 【分析】根据正方形和全等三角形的性质可证，设，根据勾股定理求出x，再根据面积求解即可． 【详解】解：大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成， ，，， ， ， ， ∴， 设， ， ， ， 解得， ， ∴阴影部分的面积． 【变式32-3】（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图①，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形围成的大正方形．如图②是“赵爽弦图”经修饰后的图形，若H是的中点，，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【分析】由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知分别为的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，结合勾股定理算出，所以得出正方形面积为5，即可作答． 【详解】解：∵四边形与四边形均为正方形，点H是的中点， ∴分别为的中点，， ，， ， 依题意，， ， ∵的长为5， ∴， ∴（负值已舍去）， 即， ∴， ． 【题型33 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例33】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 【变式33-1】（25-26八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于_____． 【答案】69 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2， CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2， MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2）， ＝132−102， ＝69． 故答案为：69． 【点睛】此题考查了勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2． 【变式33-2】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 【变式33-3】（24-25八年级下·四川·期中）在中，点D是斜边的中点，点P为线段的中点，则__________． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线，矩形的判定和性质，正确添加辅助线是解答本题的关键． 延长至点E使得，连接，过P作的垂线交，于N，M，过P作，垂足为Q，根据勾股定理得，，，由，，即可得结论． 【详解】解：延长至点E使得，连接，过P作的垂线交，于N，M，过P作，垂足为Q， ． ，， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ，，， ． ． 故答案为：10． 【题型34 勾股定理与实际问题（梯子、航行等）综合】 【例34】（25-26八年级下·江苏镇江·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为______米．    【答案】2.7 【分析】在中，根据勾股定理求出的长，再在中，求出的长，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，   ， 根据题意得：， 在中，米，米， 米， 在中，米，米， 米， 米， 小巷的宽度为2.7米， 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 【变式34-1】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东 60°方向距离12海里的B处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，我军巡逻艇的航行路程_______海里． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在中利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据题意结合方位角的描述求出以及的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船， ∴海里， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：我军巡逻艇的航行路程为海里． 故答案为15． 【变式34-2】（25-26八年级下·四川凉山·期末）如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据等面积法，即可求解； （2），过点作于点，勾股定理求得，则，进而根据路程除以时间计算速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ （2）略 【变式34-3】（25-26八年级下·四川广安·期末）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气很混浊，水平能见度很低的一种天气现象．人类在发展经济过程中大肆破坏植被，导致沙尘暴爆发频数增加．如图，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由向移动，已知点为一城镇，且点与直线上的两点，的距离分别为：，，，以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)请通过计算说明城镇是否会受到沙尘暴影响的原因？ (2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？ 【答案】(1)解：如图所示：过点作， ，，， ， 为直角三角形，， ， 即， ， 以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域，， 城镇会受到沙尘暴影响； (2) 【分析】（1）过点作，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，利用等面积法得出，根据题意以沙尘暴中心为圆心周围以内为受影响区域，即可得到城镇会受到沙尘暴的影响； （2）在边上找、两点，连接、，使，根据勾股定理可得，根据等腰三角形的性质求出，再由速度与时间、路程的关系即可得出影响的时间． 【详解】（1）略 （2）解：在边上找、两点，连接、，使， ， ，， ， ， 沙尘暴中心的移动速度为， ， 答：城镇会受到沙尘暴的影响，持续的时间为． 【题型35 勾股定理与网格问题】 【例35】（25-26七年级下·安徽宣城·期末）如图是由4条横线，5条竖线构成的方格网，它们相邻的行距、列距都是1．从这些纵横线相交得出的20个点（称为格点）中，我们可以选择其中4个格点作为顶点连接成一个正方形，叫做格点正方形． (1)请在图中画出一个面积为5的格点正方形． (2)在图中一共可以画出几个面积为5的格点正方形（只要回答几个，不需要画图）． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）画出边长为的正方形即可； （2）画出所有面积为5的正方形即可． 【详解】（1）略 （2）解：画出所有面积为5的正方形，如图， 共有4个面积为5的格点正方形． 【变式35-1】（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）结合网格与勾股定理的性质列式计算，作图即可； （2）运用勾股定理与勾股逆定理得又因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∴． （2）证明：连接， 由画法知， 由勾股定理得， 是直角三角形，且 ∵， ． 【变式35-2】（25-26八年级下·山东日照·期末）如图，在的正方形网格中标记了和，则与的度数之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以设正方形边长为1，标出对应格点，通过勾股定理逆定理判定出为等腰直角三角形，再由平行性质知，即可求出． 【详解】解：如图，标出和，设正方形边长为1， 由点都在格点上和勾股定理可求得， ，且 是等腰直角三角形，， 由平行线性质知， ． 【变式35-3】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图1中画一个，使其三边长分别为、、5，并写出的面积； (2)在图2中画一个，使其三边长分别为3、、，并写出的面积． 【答案】(1)如图1，面积为5 (2)如图2，面积为 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，用线段表示无理数，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 【详解】（1）解：图略， ，，， ， 为直角三角形，且， ； （2）解：图略， ，，， ． 【题型36 利用勾股定理证明线段之间的数量关系】 【例36】（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究： (1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”） （ii）若，则___________；（填“”“”或“”） (2)任选上述中的一个猜想证明其正确性． 【答案】(1)（i）>；（ii）< (2) 若，则>；证明如下： 如图，过点A作于点D，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵ ∴ 若，则．证明如下： 如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ∴，即． ∵， ∴． 【分析】（1）根据题意写出猜想； （2）利用勾股定理分别证明猜想即可． 【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>， （ii）若，则． （2）略． 【变式36-1】（2025九年级·甘肃·专题练习）如图，在中，请你根据以下步骤，用不带刻度的直尺和圆规完成作图过程． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的中线； ②过点作边上的垂线交于点； (2)上述作法可用于验证阿波罗尼奥斯定理：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边一半的平方和的两倍．即，关于此定理的部分证明过程如下： 证明：设，． ，， … 请按照上面的证明思路，补全余下的证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）①根据题意作出的中点，连接，即可求解； ②根据题意过点作边上的垂线交于点； （2）用线段的和差关系变形，结合勾股定理以及等量代换即可证明． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：设，． ，， ∵点D为的中点， ∴ ∴ ． 即 【变式36-2】（25-26八年级下·全国·周测）已知如图所示． (1)若，，边上的高，求边的长． (2)若，为上的任意一点，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：如图②，连接，过点作，交于点． ，， ， 在中，． 同理，， ． 又，， ， ． 【分析】本题主要运用勾股定理求解三角形的边长以及通过勾股定理和线段关系证明等式，掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，过点作，交于点，在直角三角形中利用勾股定理求出两条直角边，进而得到的长； （2）连接，过点作，交于点．根据等腰三角形三线合一可证明，根据勾股定理可证、，两式相减可得到，根据线段的和差关系结合平方差公式即可证明． 【详解】（1）解：如图①，在中，过点作，交于点． 在中，． 在中，， ． （2）略 【变式36-3】（25-26九年级上·内蒙古包头·开学考试）已知在中，． (1)如图1，当点M、N在上时，求证：； (2)如图2，当绕点C旋转，点M、N在延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， 将绕点旋转，得到，连接，则：，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 结论成立，理由如下： 将绕点旋转至的位置，连接，则：， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，通过旋转构造全等三角形是解题的关键： （1）将绕点旋转，得到，连接，易证为直角三角形，勾股定理得到，证明，得到，等量代换即可得出结论； （2）将绕点旋转至的位置，连接，同法（1）即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【创新思辨】 【题型37 动点与轴对称综合求最值】 【例37】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在等边三角形中，是角平分线，动点P从点B出发，沿向终点C运动，连接，将沿进行折叠，点B落在点处，．在点P运动过程中，点C与点之间的最小距离为____________（用含a的代数式表示）．    【答案】a 【分析】本题考查了关于动点的最小距离问题，三角形三边关系，折叠的性质，等边三角形的性质，先由三角形三边关系得出当点在上时，点C与点之间的距离最小，再根据折叠的性质和等边三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接，    ∴在中，， ∴当点在上时，点C与点之间的距离最小为， 如图，当点在上时，    由折叠的性质得：，，，， ∵在等边三角形中，是角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：a． 【变式37-1】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在边长为8cm的等边中，点D从A出发沿方向以1cm/s的速度运动，点E从B出发沿方向以2cm/s的速度运动，D、E两点同时出发，当点E到达C时，D、E两点停止运动，以为边作等边，点N为线段上一动点，点M为的中点，连、，当最小时，线段的长度为 _____cm． 【答案】2 【分析】如图，过点E作于H，连接．证明，推出，推出F点运动的路径为过点C垂直于的一条线段，作点M关于的对称点K，连接，过点K作于J， ，解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】解：如图，点E作于H，连接．设运动时间为t， ∵是等边三角形， ∴， ∴，cm，cm， ∴（cm），（cm）， ∴（cm）， ∴（cm）， ∴． ∵是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴（SAS）， ∴， ∴F点运动的路径为过点C垂直于的一条线段， 作点M关于的对称点K，连接，过点K作于J， ∵， ∴当点N与J重合，点F在KJ上时，的值最小，此时（cm）， ∵，， ∴（cm）， ∴（cm）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式37-2】（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）如图，在长方形中，，，，动点M在线段上运动（不与端点重合），点M关于边，的对称点分别为，，连接，点D在上，则在点M的运动过程中，线段长度的最小值是______．      【答案】 【分析】过D作于，连接，根据题意可得，从而可以判定最小值为，即可求解． 【详解】解：过D作于，连接，如图：    长方形中，，，， ∴ ∴， ∵M关于边，的对称点分别为M1，M2， ∴， ∴， 线段长度最小即是长度最小，此时，即M与重合，最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的有关性质将的最小值转化为的最小值是解题的关键． 【变式37-3】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是_________． 【答案】5 【分析】作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小，分别作、，由对称及等边易知和均为等边三角形，由此可求解出的长度，进而求解四边形的周长． 【详解】解：作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小， ∵三角形是等边三角形， ∴由对称性得：，， ∵D、E是边上的三等分点， ∴ ∴， ∴和时等边三角形， 分别作、， ∵、， ∴， ∴四边形时矩形 ∴ ∴， 故答案为：5. 【点睛】本题考查轴对称最小距离问题，解题的关键是作出最短距离点． 【题型38 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【例38】（25-26八年级下·安徽亳州·期末）如图，的点在直线上，，若点P在直线上运动，当成为等腰三角形时，则度数是_______．    【答案】10°或80°或20°或140° 【分析】分三种情形：，，分别求解即可解决问题． 【详解】解：如图，    在中，， ①当时，，， ②当时，， ③当时，， 综上所述，满足条件的的值为或或或． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型． 【变式38-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，线段的一个端点O在直线a上，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？ 【答案】这样的等腰三角形能画4个，如下： 【分析】当时，以点O为圆心，以为半径作弧交直线a于；当时，以点A为圆心，以为半径作弧交直线a于；当时，作出的垂直平分线交直线a于． 【详解】略 【变式38-2】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）已知中，，．试用直尺和圆规在延长线上找一点，使得是等腰三角形．请找出所有的点，并且分别标出顶角和底角的度数．（如有需要可以自己画备用图） 【答案】 解：第1个点：以B为圆心，以长为半径画弧，交延长线于，如图， 则，此时是等腰三角形， 顶角，底角； 第2个点：以A为圆心，以长为半径画弧，交延长线于，如图， 则，此时是等腰三角形， 底角；顶角； 第3个点：作线段的垂直平分线，交延长线于点，如图， 则，此时是等腰三角形， 底角，顶角； 故符合条件的点P有3个． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键． 根据题意，画出图形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】略 【变式38-3】（25-26八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，中，直线是边的垂直平分线，若直线上存在点，使得均为等腰三角形，则满足条件的点的个数共有____________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的定义等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 先说直线上的所有点都能使一定是等腰三角形；再分、、三种情况确定点P即可解答． 【详解】解：∵直线是边的垂直平分线， ∴直线上存在点到点A、B的距离相等，即直线上的所有点都能使一定是等腰三角形； ∵是等腰三角形， ∴如图：当时，点P为线段的垂直平分线与直线l的交点； 如图：当时，以A为圆心，以为半径画弧，与直线l的交点有两个． 如图：当时，以C为圆心，以为半径画弧，与直线l的交点有两个． 综上，满足条件的点的个数共有5个， 故答案为：5． 【题型39 求与图形中任意两点组成等腰三角形的点】 【例39】（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有_______个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解题关键． 分类讨论为腰和为底的情况，结合网格特征逐一寻找符合条件的格点． 【详解】解： 等腰三角形的情况，可分类讨论： 当为腰时：如图，分别以、为圆心，长为半径画弧，可与个格点相交，则图中点可作为点； 当为底边时：如图，作的垂直平分线，可与个格点相交，则图中点可作为点． 综上，满足条件的点有个． 故答案为：． 【变式39-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 【变式39-2】（25-26九年级上·天津和平·期末）如图，在正方形所在的平面内求一点，使，，，都是等腰三角形，具有这性质的点有______个． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的判定和正方形的性质，分别以、、、为边作等边三角形，即可得到点的位置，另外，正方形的中心也是符合条件的点． 【详解】解：如图所示，符合性质的点共有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，正方形的性质，考虑利用等边三角形的性质求解是解题的关键，要注意正方形的中心也是符合条件的点． 【变式39-3】（25-26七年级下·上海静安·期末）作图题：在等边ABC所在平面上找这样一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P． 【答案】作图见解析 【分析】分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线；以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点；还有一点是三边的垂直平分线的交点，即可求解. 【详解】解：分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M、N，连接MN并延长，同理作出AC，BC的垂直平分线； 以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直 平分线于点P1，P9两点，；以B为圆心，以AB的长为半径画弧，交BC的垂直平分线于P4，这样在BC的垂直平分线上就有3个点满足题意，同理在AC，AB的垂直平分线上均有3个点满足题意，一共有9个点； 还有一点是三边的垂直平分线的交点， ∴一共有10个点； 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【题型40 等边三角形与旋转综合探究】 【例40】（25-26九年级上·重庆渝中·期末）如图，正方形的对角线、相交于点O，等边绕点O旋转，在旋转过程中，当时，的度数为____________． 【答案】或 【分析】分两种情况：①根据正方形与等边三角形的性质得OC=OD，∠COD=90°，OE=OF，∠EOF=60°，可判断△ODE≌△OCF，则∠DOE=∠COF，于是可求∠DOF，即可得出答案；②同理可证得△ODE≌△OCF，所以∠DOE=∠COF，于是可求∠BOF，即可得答案． 【详解】解：情况1，如下图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴OD=OC，∠AOD=∠COD=90°， ∵△OEF是等边三角形， ∴OE=OF，∠EOF=60°， 在△ODE和△OCF中， ∴△ODE≌△OCF（SSS）， ∴∠DOE＝∠COF， ∴∠DOF＝∠COE， ∴∠DOF＝（∠COD-∠EOF）=×（90°﹣60°）＝15°， ∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°+15°=105°； 情况2，如下图：连接DE、CF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OC＝OD，∠AOD=∠COB＝90°， ∵△OEF为等边三角形， ∴OE＝OF，∠EOF＝60°， 在△ODE和△OCF中， ∴△ODE≌△OCF（SSS）， ∴∠DOE＝∠COF， ∴∠DOE＝∠COF＝（360°-∠COD-∠EOF）=×（360°﹣90°﹣60°）＝105°， ∴∠BOF＝∠COF-∠COB=105°-90°=15°， ∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=90°-15°=75°， 故答案为：105°或75°． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形与等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，做题的关键是注意两种情况和证三角形全等． 【变式40-1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕顶点旋转一周，在旋转过程中，当时，的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，正方形和等边三角形的性质，根据所给条件，可得出，再对的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】当在正方形内部时，如图所示， 四边形是正方形， ，． ∵是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． 当在正方形外部时， 同理可得，， ． ， ． 综上所述，的度数为或． 故选：． 【变式40-2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期末）如图，等边三角形的边长为2，O是的平分线与边上的高的交点，，将绕点O旋转，分别交线段于D，E两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（    ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．连接、，利用等边三角形的性质得，，、分别平分和，再证明，于是可证明，所以，，，则可对①④进行判断；利用得到四边形的面积，则可对②进行判断；根据现有条件无法证明③的结论． 【详解】解：连接、，如图，    为等边三角形， ，， ∵O是的平分线与边上的高的交点， ∴O是的平分线与的平分线的交点， ∴、分别平分和， ∴， ， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ，，故①正确； ，故④正确； ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 根据现有条件无法证明，故③错误； 故选：C． 【变式40-3】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）在一次数学探究课上，老师给同学们提供了图1的数学模型： “在等腰中，，，等于腰长的一条线段绕点旋转，……” 同学们通过探究后，交流各自的体会： 小晴同学：若，则在内旋转任意位置，的大小不变（如图2）； 小颖同学：若，则在外旋转任意位置，的大小也不变（如图3）： 小宁同学：综合前面的结论，发现在图1条件中，旋转到任意位置上，与都存在一定的数量关系； …… 老师：在图4中，若时，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系； (1)若时， ①如图2，当在内旋转任意位置，______°； ②如图3，当在外旋转任意位置，______°； (2)若取任意数值，旋转任意位置，______（用含的式子表示）； (3)在图4中，，过点作直线与交于点，若，在直线上取一动点，当的值最大时，该最大值与图中的某条线段存在数量关系，请说出你们的猜想并说明理由． 【答案】(1)150；30 (2)或 (3)的最大值 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）①由，推出，，可得，求出即可； ②由，推出，，可得，求出即可； （2）利用（1）中方法可得结论； （3）结论：的最大值．如图4中，作点C关于直线的对称点，连接．利用全等三角形的性质证明可得结论． 【详解】（1）解：①如图2中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：150； ②如图3中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：30； （2）解：当在内旋转时，． 当在外旋转时，． 故答案为：或． （3）解：结论：的最大值． 理由：如图4中，作点C关于直线的对称点，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【题型41 轴对称与全等三角形综合证明】 【例41】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）如图，已知，，．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接，，是直线上的动点，当的值最小时，求证：点与点重合． 【答案】(1) 证明: ∵，，， ∴， ∴； (2)； (3) 证明： 延长交于点，    由（）知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，此时的值最小， ∵点是直线上的动点， ∴当的值最小时，点与点重合． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称﹣最短路径问题，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明即可； （）由，则，又，然后根据等腰三角形的性质即可求解； （） 延长交于点，由（）知，，，则，则，此时的值最小，再由点是直线上的动点，可得当的值最小时，点与点重合． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）略 【变式41-1】（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D在边AB上，点B关于CD的对称点为E，BE交CD于点G．AE与CD的延长线交于点F，连接CE，BF． (1)求证：∠CAE=∠CEA； (2)若BD<AD，求∠AFC的度数； (3)若AD=BC，求证：EF=DF． 【答案】(1)见解析 (2)45° (3)见解析 【分析】（1）由点B关于直线CD的对称点为E，得BC=CE，再根据AC=BC，可知CA=CE，从而证明结论； （2）由AC=BC得BC=CE=AC，根据等腰直角三角形以及三角形外角的性质即可求解； （3）当AD=BC，则∠ACD=67.5°，可得AF=CF，∠BCD=22.5°，由轴对称的性质得∠ECD=∠DCB=22.5°，从而∠ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB=45°，再利用ASA证明△AEC≌△ADC，可得AE=CD，即可证出． 【详解】（1）∵点B，E关于CD对称， ∴CE=CB． ∵AC=BC， ∴AC=CE． ∴∠CAE=∠CEA． （2）设∠BCD=α， ∵点B关于直线CD的对称点为E， ∴BC=CE，CD⊥BE， ∴∠BCD=∠ECD=α， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴BC=CE=AC，∠ACE=90°-2α， ∴∠AEC=[180°-（90°-2α）]=45°+α， ∵∠AEC=∠ECF+∠AFC=α+∠AFC， ∴∠AFC=∠AEC-∠ECF=45°+α-α=45°； （3）∵AD=BC ∴AD=AC， ∴∠ACD=67.5°， ∴∠DCB=22.5°， 又∵点B关于直线CD的对称点为E， ∴∠ECD=∠DCB=22.5°， ∴∠ACE=∠ACB-∠ECD-∠DCB=45°， ∵∠AFC=45°，∠ACD=67.5°， ∴∠CAF=67.5°， ∴△AEC≌△ADC（ASA）， ∴AE=CD， ∴∠CAF=∠ACD=67.5°， ∴AF=CF． ∴AF-AE=CF-CD， ∴EF=DF． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明△AEC≌△ADC是解题的关键． 【变式41-2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一得， 垂直平分线段， ∴； (2)①② 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）①根据（1）中结论得出，继而得出，最后利用直角三角形的性质进行求解即可； ②利用轴对称的性质得出，列出方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ， 由（1）得， ， ∴， 即， 由（1）得为等腰直角三角形， ， ， ∵， ∴为直角三角形， ∴； ②∵点与点关于直线对称， ， 又, ∴， ∴， ∴， 解得． 【变式41-3】（24-25八年级上·北京·期中）定义：如图1，，为直线同侧的两点，过点作直线的对称点，连接交直线于点，连接，则称点为点，关于直线的“等角点”． 如图2，在、中，，，，连接、． (1)猜想与的数量关系是______；并证明你的结论． (2)延长交的延长线于点，延长至点，使，连接． ①先补全图形． ②求证：点为点，关于直线的“等角点”． 【答案】(1) ， 证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， (2) ①如图： ②证明：由（1）得：， ∴， ∵，， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作关于的对称点，连接，如图： 则， ∵， ∴， ∴、、三点共线， 即交直线于点， ∴点为点，关于直线的“等角点”． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等角的补角相等，正确理解“等角点”的概念是解题的关键． （1）根据题意，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的对应边相等即可证明； （2）①根据题意，作图即可求解； ②根据全等三角形的对应角相等得出，根据等角的补角相等得出，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等得出，全等三角形的对应角相等得出，推得，即，过点作关于的对称点，连接，根据对称的性质可得出，推得、、三点共线，在结合“等角点”的定义即可证明． 【详解】（1）略 （2）①略 ②略 【题型42 含30°直角三角形与动点综合】 【例42】（24-25八年级下·江西九江·期中）如图，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，点沿射线运动，点沿折线运动，且它们的速度都为．当点到达点时，点随之停止运动．连接，设点的运动时间为．当与的一条边垂直时，_______． 【答案】2或4或8 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形30度角的性质等知识，分三种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，同法可得，如图3中，当时，同法可得，分别求解即可； 【详解】解：由题意，， ①如图1中，当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图2中，当时，同法可得， ∴， ∴． ③如图3中，当时，同法可得， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为2或4或8． 故答案为：2或4或8． 【变式42-1】（24-25九年级下·全国·期末）如图，在中，，，，为的中点．若动点以的速度从点出发，沿→→运动，设点的运动时间为，连接，当为直角三角形时，的值为（  ） A． B．或 C．或 D．，或 【答案】D 【分析】本题考查含30度角的三角形性质，分点从移动和点从移动，再分和，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴； 当为直角三角形时，分两种情况，和； 当点从移动时，由题意，得：，则 ①当，则， ∴， ∴； ②当，则， ∴，即：， ∴； 当点从时，则， ①时，则， ∴， ∴； ②当，则， ∴，即：， ∴（舍去）； 综上：或或； 故选：D． 【变式42-2】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在边长为的等边三角形中，点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒个单位长度的速度向点运动，设运动时间为秒． （1）若，则___________； （2）若为等边三角形，则___________． 【答案】 【分析】（1）根据题意，分两种情况：当点在边上时或当点在边上时，作出图形，数形结合求解即可得到答案； （2）根据题意，分两种情况：当点在边上时或当点在边上时，作出图形，数形结合求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当点在边上时，如图所示： 在等边中，，则由题意可得， ， 在中，， ， 则，解得； 当点在边上时，如图所示： 在等边中，， ，且是的一个外角， ， 即，此情况不存在； 综上所述，若，则， 故答案为：； （2）解：当点在边上时，连接，如图所示： 在等边中，，则， 不可能为等边三角形，此情况不存在； 当点在边上时，如图所示： 在等边中，，，则由题意可得， ， 若为等边三角形，则， ，解得； 综上所述，若为等边三角形，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点问题，涉及等边三角形的性质、含直角三角形性质、三角形外角性质、一元一次方程的应用等知识，分类讨论，数形结合是解决问题的关键． 【变式42-3】（25-26七年级下·北京·期中）如图，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动．设点的运动时间为秒，当是锐角三角形时，满足的条件是___________． 【答案】 【分析】分两种临界情况讨论：①当时，②当时. 利用含角的直角三角形的性质求出的长，结合图形确定的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 要使是锐角三角形，则与均为锐角， ①当时，， 在中，， ∴， ∴， ∴当时，； ②当时，， 在中，， ∴， ∴， ∴当时，； 综上，当时，是锐角三角形， 故答案为． 【题型43 等腰三角形存在性问题】 【例43】（24-25八年级下·福建漳州·期中）点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ________． 【答案】或或或或 【分析】分为顶角或底角进行分类讨论，结合等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①对于，当为顶角时，则， ∴， ∵点D在的边上， ∴， ∵， ∴，故， （Ⅰ）在中，若，则， 设，则， ∴， ∴，， 当时，则，解得， ∴，不符合题意； 当时，则， 解得， ∴，不符合题意； （Ⅱ）在中，若， 在中，当时， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； 在中，当时， 设，此时， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ②对于，当为底角，时， （Ⅰ）在中，当时， 若在中，当时， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 若在中，时， ∴， 设，则， ， ∵， ∴， ∴，不符合题意； （Ⅱ）在中，当时， 若在中，当时， ∴， ∵ ∴； 若在中，时， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴解得， ∴； ③对于，当为底角，时, （Ⅰ）在中，当时， 若在中，当时， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； 若在中，时， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，不符合题意； 若在中，时， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得，不符合题意； （Ⅱ）在中，当时， 若在中，当时， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 若在中，当时， ∴， 设，则， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得，不符合题意； 若在中，时， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上：的度数为或或或或． 【变式43-1】（25-26八年级上·北京·期中）在等边中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边，下面四个结论中： ①存在无数个是等腰三角形； ②存在无数个是等边三角形； ③存在无数个是等腰直角三角形； ④存在一个在所有中面积最小． 所有正确结论的序号是_____________． 【答案】①②③ 【分析】根据题意作图，根据所画图形判定即可解决问题． 【详解】解：如图1中，满足AM＝BN＝PC， ∵是等边三角形 ∴AB=BC=CA，∠A=∠C=∠B=60° ∴AB-AM=BC-BN=CA-CP ∴AP=CN=BM 又∠A=∠C=∠B=60° ∴△AMP≌△CNP≌△BMN ∴MP=PN=MN ∴△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个． 如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3）． 故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值． 故答案为①②③． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式43-2】（24-25八年级上·福建厦门·期末）在中，，将一块足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点P在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点C，斜边交于点D．在点P的滑动过程中，若存在某一时刻是以为其中一个底角的等腰三角形，则此时与的数量关系为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识点，灵活运用相关知识并正确分类是解题的关键． 依题意有以下两种情况：①当时，则，由三角形内角定理得，再根据即可得出与的数量关系；②当时，则、，由三角形内角和定理得，再根据即可得出与的数量关系即可解答． 【详解】解：当是以为其中一个底角的等腰三角形，有以下两种情况： ①如图1所示：当时， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； ②如图2所示：当时， ∴， 在中，， 在中，， ∵在中，， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴． 综上所述：与的数量关系为或． 故答案为：或． 【变式43-3】（25-26九年级下·辽宁沈阳·期中）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”，在中，，若存在过点C的“钻石分割线”，使是“钻石三角形”，则满足条件的的度数为________． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意进行分类讨论．分五种情况进行讨论，当，时，当，时，当，时，当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当，时，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 当，时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时． 综上分析可知：的度数为：或或或． 故答案为：或或或． 【题型44 角平分线与垂直平分线综合】 【例44】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，．①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线交边于点；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点，；作直线交于点．则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点作于点，于点．首先证明，求出的面积，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，设边上的高为h． 由作图可知平分， ， ， ， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ． 【变式44-1】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）如图，小明同学在画线段的垂直平分线时，先以点为圆心画弧，当以点为圆心画弧时，不小心使圆规的张口变小了，两弧相交于，两点，连接交于点．①；②；③；④点到，的距离相等；以上结论正确的是（     ） A．③④ B．①③ C．①② D．①③④ 【答案】D 【分析】由作图可得，，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可得垂直平分，则，；根据等腰三角形三线合一可得平分，则点到，的距离相等；由已知条件可得，则，若，则，与已知条件矛盾，由此可得结论． 【详解】解：由作图可得：，， ∴垂直平分， ∴，， 故①③正确； ∵，， ∴平分， ∴点到，的距离相等， 故④正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 若， 则，矛盾， 故②不正确； ∴正确的结论是①③④． 【变式44-2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，的外角的角平分线与边的中垂线交于点，过作于点，则、、三条线段之间的数量关系为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，垂直平分线的性质，理解题意和准确构造辅助线是解题的关键； 连接，，过点作，交于点，证明，得到，再证明，从而得到，，即可推出． 【详解】解：如图所示，连接，，过点作，交于点， ∵是的角平分线，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴、、三条线段之间的数量关系为， 故答案为：． 【变式44-3】（25-26八年级下·河南郑州·阶段检测）【探究型问题】 (1)小欣遇到这样一个问题： 如图①，在等边三角形中，于点，为上一点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．求的度数． 小欣思考后发现，可以用两种方法解决问题： 方法一：通过运用线段垂直平分线的性质定理和三角形外角的性质定理直接计算可解决问题； 方法二：过点作于点，构造全等三角形可以解决问题． 请你选择以上两种方法中的一种方法完成上述问题． (2)参考小欣思考问题的方法，解决下列问题： 如图②，在等腰三角形中，，于点，为延长线上一点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，．猜想与的数量关系，补全图形并加以证明． 【答案】(1)，解法见解析 (2)图见解析，猜想，证明见解析 【分析】（1）方法一：连接并延长交于，由是的垂直平分线，得，根据三角形外角的性质，得，同理：，进而即可求解；方法二：连接，由垂直平分线和等边三角形性质得，作辅助线、，利用角平分线性质得，证明，通过角度代换求出答案 ． （2）补全图形如图，连接，，易证，得，同理：，从而得，根据三角形内角和定理与平角的定义，以及等腰三角形的性质，即可得到结论． 【详解】（1）解：方法一：连接并延长交于， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在等边中，于点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：过F作于点M，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵在等边中，于点D， ∴是的垂直平分线，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， （2）解：补全图形如图，猜想，证明如下： 连接，设交于点M， ∵，， ∴是的垂直平分线，， ∴， 又∵， ∴， ∴; ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【题型45 直角三角形与动点综合】 【例45】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）如图，已知在三角形中，，将线段沿直线平移得到线段，连结，在整个运动中，当垂直三角形中的一边时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了图形的平移，三角形内角和，直角三角形中两锐角互余，掌握平移的性质，平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 根据题意，分类讨论：①当；②当时；③当时；图形结合，根据三角形内角和，直角三角形两锐角互余，平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵线段沿直线平移得到线段， ∴， ∴， ①当时，即时，如图所示， ； ②当时，如图所示， ∴， ∴； ③当时，如图所示， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为：或或， 故答案为：或或 ． 【变式45-1】（25-26七年级下·广东佛山·期中）高桩舞狮是岭南地区的传统文化之一，以其在梅花桩上的闪转腾挪最为精彩绝伦．如图，在地面垂直放置了三支高桩、、，运动员从点的方向运动，已知，，则的度数为________． 【答案】120 【分析】过点C作，交于点M，交于点N，易证，，即可求出，，即可求解． 【详解】解：过点C作，交于点M，交于点N， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，直角三角形两个锐角互余，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 【变式45-2】（24-25七年级下·山东济南·期末）数学课上，在复习“三角形”这一章时，老师提出如下问题：如图，在中，，为的角平分线，点为角平分线上的一点并在（包括点，不包括点）上运动，过点向边作垂线，垂足为，请你猜想在点运动过程中，，，的数量关系，并说明理由． (1)一组同学通过画图的方式探究点运动到点时的情况（如图），尝试改变，，具体的数值求的值，对应值如下： /度 /度 /度 由表中数据可得， ______， ______； (2)二组同学受到启发，开始研究点在线段上（不包括端点、）运动时的情况（如图），很快发现了，，之间的数量关系：______； (3)三组同学提出：如果点在直线上（不包括点、）运动（如图），，，之间有什么样的数量关系呢？请你帮助他们解答并证明． 【答案】(1)，； (2) (3) 结论：． 理由：如图中，过点作于点． 与（2）证法过程完全相同可得结论：． 【分析】本题考查了三角形的角平分线性质、直角三角形的性质以及角度之间的等量代换，解题的关键是通过作辅助线（如过点A作的垂线），将所求角度与已知角（）建立联系，利用角的和差关系进行推导． （1）观察表格数据，发现与的差值存在倍数关系，通过前两组数据推测出规律，代入数值计算得出 和的值．； （2）过点 A 作 的垂线，利用角平分线性质表示出，结合直角三角形中与的关系，通过进行等量代换，推导出； （3）同样过点A作BC的垂线，借鉴小问2的推导思路，通过角度之间的和差关系，证明即使点F在直线上（不包括），仍有． 【详解】（1）由表中数据推测： ，． 故答案为：，； （2）结论：． 理由：如图，过点作于点． 则，① 平分， ，② ， ，③ 由①②③得， 故答案为：； （3）略 【变式45-3】（25-26八年级上·广东阳江·期中）如图1，点、分别是边长为的等边的边、上的动点，点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的速度都是． (1)连接交于点M，则在P、Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)何时是直角三角形？ (3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线、的交点为M，则的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】(1)不变， (2)当第2秒或第4秒时，为直角三角形 (3) 【分析】（1）因为点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，所以．，，因而运用边角边定理可知．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数． （2）设时间为，则，．分别就①当时；②当时利用直角三角形的性质定理求得的值． （3）首先利用边角边定理证得△，再利用全等三角形的性质定理得到．再运用三角形角间的关系求得的度数． 【详解】（1）解： 不变． 等边三角形中，，， 又由条件得， 在与中， ， ， ． （2）解：设时间为，则，， ①当时， ， ，得，； ②当时， ， ，得，； 当第2秒或第4秒时，为直角三角形． （3）解：不变． 在等边三角形中，，， ， 又由条件得， 在与中， ， ， 又， ． 【点睛】此题是一个综合性很强的题目．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．一元一次方程的应用，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神． 【题型46 多个直角三角形嵌套角度探究】 【例46】（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，，点在线段延长线上，为线段上一点，的平分线于点，和的平分线相交于点，设，则的度数为_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】利用三角形内角和定理可得，根据等腰三角形的三线合一定理可以求出，根据直角三角形两锐角互余可得：，根据角平分线的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ∵， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ． 【变式46-1】（25-26七年级下·上海·阶段检测）中，与这两条边上的高所在直线的夹角为50度，那么___________度． 【答案】 或 【分析】本题需要分为锐角和钝角两种情况讨论，结合直角三角形两锐角互余的性质，四边形的内角和，求解角度． 【详解】解：①当为锐角时，设边上的高为，边上的高为，与交于点， 由题意得，两条高所在直线的夹角， ，， ， ． ②当为钝角时，设边上的高与边上的高交于点， 由题意得， ，， ， ， ． 综上，的度数为或． 【变式46-2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【变式46-3】（2026·江西上饶·一模）将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】根据直角三角形的性质求出，，分三种情况分析：当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据平行线的判定和性质得出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：根据题意可得，，， 当直线与直线垂直时， 与的交点为点，如图所示， 则， ∴， ∴； 当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示， 则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 【题型47 动点问题中勾股定理与最值综合】 【例47】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则的最小值是__________． 【答案】2 【分析】将绕点顺时针旋转，得到，连接，，可得当共线时，的值最小，即等于的长，则，过点作交的延长线于点，设，可得，在中，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，， 由旋转得，，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 当共线时，的值最小，即等于的长， ∴， 过点作交的延长线于点， 设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的最小值是2． 【变式47-1】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，点M、N分别是边上的点，且满足．连接，小鸣探究发现存在最小值，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点B作，且，，构造矩形，证明，推出，则，当A，N，E三点共线时等号成立，由此可解． 【详解】解：如图，过点B作，且，，连接， ，， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是矩形， ，． 在和中， ， ， ， ，当A，N，E三点共线时等号成立，连接 ，，， ， 的最小值为． 【变式47-2】（2025·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角的底边的中点为，点在直线上运动，以为直角顶点、为直角边构造等腰直角，连接．若长度为，下列说法正确的是（     ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】B 【分析】通过构造全等三角形，将的长度转化为关于线段长度的函数，利用二次函数的性质求最值． 【详解】解： 是等腰直角三角形，为中点， ， ， ， ， 过点作交直线于点， ， ， 又在 中，， ， 在 和 中 ， ， ， ， 设，则， 点在直线上，点在直线上，， ， 在 中，， ， 当时，取得最小值 4， 的最小值为2． 【变式47-3】（25-26七年级下·陕西西安·期末）问题发现： (1)如图①，线段，点P为平面内任意一点，连接，则的最大值为______． (2)问题探究：如图②，和均为直角三角形，，，，点E在上，连接，点M、N分别为的中点，求的长度． (3)问题解决： 在（2）的条件下，兴趣小组为研究需要，将绕点B顺时针旋转一周，在这个过程中，连接，取的中点M，连接．请问是否能取得最大值？如果能，请求出最大值，并求出此时的面积．若不能，请说明理由 【答案】(1)5 (2) (3)能，最大值为，此时的面积为 【分析】（1）根据三角形的三边关系，即可得出结果； （2）连接并延长使，连接，证明，，推出为等腰直角三角形，得到，勾股定理求出的长即可； （3）如图所示，连接并延长使，连接，证明为等腰直角三角形，得到，得到，进而得到当M在延长线上时，最大，最大值为，再利用勾股定理求得，即可求得面积． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴的最大值为5； （2）解：如图所示，连接并延长使，连接，， M是中点， ， 在和中， ， ，， 和为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ， 即； 为等腰直角三角形， M为中点， ，， 为等腰直角三角形， 同理为等腰直角三角形， N为中点， ， 在中 ， ， ； （3）解：如图所示，连接并延长使，连接，， M是中点， ， 在和中， ， ，， ， 在五边形中，， ∴， ∴， ， ， ， 在和中， ∴ ，， ， ， ， 即， 为等腰直角三角形， M为中点， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ∴当M在延长线上时，最大，此时，即最大值为，如图， 在中，， 在中，， ， ， ∴. 【题型48 求最短路径】 【例48】（24-25八年级下·重庆·阶段检测）如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【答案】 20 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，作点关于杯口上沿的对称点，连接即为最短路径，确定直角三角形的两条直角边长，利用勾股定理求解； 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接， 由对称性可得， ， 线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离， 由题意得，，，， ， 在中，由勾股定理得． 【变式48-1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）某校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图），学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点绕三棱柱侧面一周到顶点安装灯带，已知此三棱柱的高为，底面边长为，则灯带的长度最短为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三棱柱展开，连接，则的长度就是灯带的最短长度，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：将三棱柱展开如图，连接，则的长度就是灯带的最短长度， 三棱柱的高为，底面边长为， ∴灯带的长度至少为：． 【变式48-2】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是，和，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程长为________． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为，长为， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得，， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点B的最短路程是； 故答案为：13 【变式48-3】（25-26七年级上·江苏淮安·开学考试）勾股定理早在我国《九章算术》中出现，如设直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，用数学语言表达：．如图，一只蚂蚁从长是40厘米，宽是20厘米，高是80厘米的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到，那么它所行的最短路线的长是( )厘米． 【答案】100 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算A、B两点间的距离，注意分类讨论不同展开方式下的直角边长度． 【详解】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，线段即为最短路线． 分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为40+20=60厘米，80厘米， 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况二：将长方体的前面和上面展开在同一平面内，此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 情况三：将长方体的左面和上面展开在同一平面内. 此时直角三角形的两条直角边长分别为厘米，厘米． 由勾股定理得：， 所以厘米； 综上所述，最短路线的长是100厘米． 【题型49 求构成直角三角形的点】 【例49】（25-26八年级上·四川·阶段检测）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动_____秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【变式49-1】（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：如图所示，符合要求的点C的位置如图所示． 则符合要求的点C共有6个 【变式49-2】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），点E是AC上一个动点，始终保持．则当为直角三角形时，BD的长为________．    【答案】4或 【详解】①当时，如解图①，可得，，，，，，，，，；②当时，如解图②，过点作于点，则，，，，，，，∴，，∴，∴；不可能为直角．综上所述，的长为4或．      【变式49-3】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，长方形中，，，现有一动点从出发以/秒的速度，沿矩形的边运动，设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，点与点的距离为？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)当为何值时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形，且是斜边？ 【答案】(1) (2)或3.5或 (3) 【分析】本题考查特殊三角形的存在性问题，利用特殊三角形的判定方法，找到线段关系，列算式或方程求解即可． （1）根据的长，确定点P的位置，再利用勾股定理求出，得到点P的运动总长度，求解即可； （2）根据等腰三角形的腰的不同情况，分情况讨论点P的位置，利用腰相等列式求解即可； （3）根据t的取值范围，确定点P的位置，用含t的代数式表示各线段长，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴此时点P在上， 如图，连接， 由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， （秒）， ∴当时，点P与点A的距离为； （2）解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵，， ∴当点P在上时，不可能为等腰三角形， ∴点P在上， 分下列三种情况， 第一种：如图，连接，，， ∴， ∴， ， ∴此时； 第二种：如图，连接，，， 又，， ∴， ∴， ∴， ， ∴此时； 第三种：如图，连接，，， 同第一种情况，可得， ∴， ∴， ， ∴此时， 综上，当或或时，是等腰三角形； （3）解：由题意，，∴， ∴点P在上， 如图，连接，则，， ∴，，， 由题意，可得，即， 解得， ∴当时，以线段、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边． 【题型50 勾股定理及其逆定理的综合】 【例50】（25-26八年级上·上海·期末）如图，中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当周长最小时，的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，线段和最值问题，勾股定理及逆定理，熟练运用轴对称解决线段和最值问题是解题关键． 连接，设与交于点，设，由折叠的性质可得，，，，．由线段公理可得，当、、三点共线时， 周长最小，此时点与点重合．使用勾股定理的逆定理可判断出，则．使用勾股定理构造方程并求解出的值，进而求出的长． 【详解】解：如图，连接，设与交于点，设， 由折叠的性质可知，，，，， ∴，， ∴周长为， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即周长最小，此时点与点重合， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， 解得，， ∴． 故答案为：． 【变式50-1】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理等知识，综合性强．延长到E，使得，连接，作于点F，先证明，得到，根据勾股定理逆定理得到，进而得到，，即可得到，，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长到E，使得，连接，作于点F， 则． ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为： 【变式50-2】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，，，．则_____°． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理、全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造直角三角形，结合全等三角形转化角的关系是解题的关键． 过点作，垂足为，，在和中，以为桥利用勾股定理列方程得，即可得，由得，由，可证，可得，由即可得． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 【变式50-3】（25-26八年级下·四川巴中·期中）解决下列问题 (1)【阅读材料】在等边的内部有一点，若点到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数． 如图1，为了解决本题，我们可以将绕顶点按逆时针方向旋转得到，连接，此时，易证为等边三角形，再利用旋转的性质及等边三角形的性质，将线段转化到中，利用勾股定理的逆定理求出的度数，从而求出______． (2)【类比探究】如图2，在中，为边上的点，且．求证：． (3)【迁移应用】如图3，在中，，点在的内部，连接．若，则的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由全等三角形的性质得，，，，再由等边三角形的性质与判定得，根据勾股定理逆定理得，，进而求解即可； （2）将绕点A逆时针旋转得到，连接，证明，得到；再证明，由勾股定理得到，则； （3）将绕点B顺时针旋转得到，连接，证明是等边三角形，推出，证明，再由直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ，，，， ∵是等边三角形， ， ，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴点C、O、、在一条直线上， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $