第二章 特殊三角形（复习讲义）数学新教材浙教版八年级上册

该初中数学第二章“特殊三角形”复习讲义通过思维导图系统构建知识体系，以表格对比轴对称与轴对称图形的区别联系，分模块梳理等腰三角形、直角三角形等核心知识点，明确分类讨论、辅助线添加等重难点，呈现知识内在逻辑。 讲义亮点在于12类分层题型设计，如等腰三角形腰底分类讨论题、利用轴对称解决最短路径问题，结合“手拉手模型”等难点突破，培养推理能力与模型意识，支持学生自主复习，助力教师实施精准分层教学。

第二章 特殊三角形 复习要点 1.理解图形的轴对称概念，掌握对称轴垂直平分连结两个对称点的线段这一性质，并能利用其解决最短路径问题。 2.掌握等腰三角形和等边三角形的定义、性质，包括等边对等角和三线合一，以及判定方法，包括等角对等边和有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 3.掌握直角三角形的性质，包括两个锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半以及30度角所对的直角边等于斜边的一半；同时掌握其判定方法，包括有两个角互余和三角形一边上的中线等于该边的一半。 4.掌握勾股定理及其逆定理，能灵活运用勾股定理求边长、解决实际问题，并能利用逆定理判定直角三角形，熟悉常见勾股数及其拓展规律。 5.掌握直角三角形全等的判定方法HL，并能熟练结合线段垂直平分线和角平分线的性质定理与逆定理进行综合证明。 6.理解逆命题与逆定理的概念，能分清命题的条件与结论，掌握判断真假命题的方法，包括举反例说明假命题，并规范掌握几何证明的书写格式与推理依据。 复习重难点 重点：等腰三角形“三线合一”的性质与“等角对等边”判定方法的综合运用；直角三角形的两锐角互余、30°角性质及斜边中线性质的灵活应用；勾股定理及其逆定理在几何计算和实际生活中的应用。 难点：等腰三角形与直角三角形中分类讨论思想的应用，包括腰底不明确、高在形内或形外以及顶角底角不明确时的分类讨论；利用勾股定理构造方程解决折叠和最短路径等综合问题；几何证明题中辅助线的添加方法，包括作底边上的高、作斜边上的中线、构造对称点；准确找出判断命题真假所需的反例。 知识点 轴对称图形 1.对称轴：把一个图形沿某条直线对折，如果它与另一个图形 ，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。 2.轴对称图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够 ，那么这个图形叫做轴对称图形。 3.轴对称的性质： （1）关于某条直线成轴对称的两个图形是 形。 （2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的 。 （3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么 在对称轴上。 （4）轴对称图形上对应 相等、对应 相等。 4.轴对称图形与轴对称的对比理解 轴对称图形 轴对称 图 形 定 义 如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴 性 质 对应线段相等 AB=AC AB=A′B′，BC=B′C′， AC=A′C′ 对应角相等 ∠B=∠C ∠A=∠A′，∠B=∠B′， ∠C=∠C′ 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 区 别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴 关 系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 要点归纳： （1）轴对称图形是针对“ ”而言的，轴对称是针对“两个图形的位置关系”而言的，不要混淆。 （2）成轴对称的两个图形全等，对应点的连线被对称轴 ，对应线段相等、对应角相等。 （3）判断或寻找对称轴时，关键是看图形折叠后能否完全 ；一个轴对称图形可能有一条或多条对称轴。 要点速测 1.如图，与关于直线l对称，与的交点F在直线l上．若，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 知识点 等腰三角形的性质及判定 1.等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 2.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有 对称轴； ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有 对称轴。 （2）等腰三角形的两个底角相等（简称“ ”）。 （3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“ ”。 【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是 的角平分线， 上的高和底边上的 。 3.等腰三角形的判定 （1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； （2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“ ”）。 【注意】证明两个角相等的方法： ①如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明。 ②如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决。 要点归纳： （1）等腰三角形中，“等边对等角”“等角对等边”是最基本的性质与判定（前提是在同一个三角形中），也是边角关系相互转化的重要依据。 （2）“三线合一”有严格前提：必须是等腰三角形，且针对顶角的角平分线、底边上的中线和高。 （3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要 。 （4）底角为72°、顶角为36°的特殊等腰三角形中，底角平分线可将原三角形分成两个等腰三角形，是综合题中的常见模型。 要点速测 2．等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D．或 3．如图，中，，点在上，点在上，，． (1)若，求的长． (2)的度数为______． 4．如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 知识点 逆命题与逆定理 1.逆命题与逆定理的基本概念 （1）定义：对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题 。 （2）原命题与逆命题：如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题。每个命题都有它的 。 （3）真假性：真命题的逆命题不一定是真命题（例如：“如果a=b，那么a²=b²”是真命题，但其逆命题“如果a²=b²，那么a=b”是假命题）。 （4）逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是 ，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。 2.线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）原定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 （2）逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 （3）证明思路：当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O，由PA=PB，PO⊥AB，可得OA=OB，故PC是AB的垂直平分线，所以点P在线段AB的垂直平分线上。 （4）结论：这个逆命题是真命题，叫作线段垂直平分线性质定理的逆定理。 3.角平分线性质定理的逆定理 （1）原定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 （2）逆命题：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 （3）证明思路：已知P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE。作射线OP，利用“HL”判定Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠1=∠2，即点P在∠AOB的平分线上。 （4）结论：这个逆命题是真命题，叫作角平分线性质定理的逆定理。 要点归纳： （1）任何一个命题都有逆命题，但原命题为真，其逆命题不一定为真。 （2）一个定理的逆命题只有经过证明是真命题后，才能称为原定理的逆定理。 （3）掌握并灵活运用线段垂直平分线和角平分线性质定理的逆定理，是证明点在直线上或线段相等的重要途径。 要点速测 5．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．如图，在中，于点D，平分交于点，若，，求证：点在线段的垂直平分线上． 知识点 等边三角形的性质及判定 1.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的 三角形。 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； （2）等边三角形的三条边相等； （3）三个内角都相等，并且每个内角都是 。 【注意】等边三角形具有等腰三角形的一切性质，包括“三线合一”。 3.等边三角形的判定 （1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的 三角形是等边三角形。 【补充】 ①等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合； ②在等腰三角形中，只要有一个角是 ，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形； ③边长为a的等边三角形面积的求解方法：S正三角形= 。 要点归纳： （1）等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形的相关性质在等边三角形中都成立，包括“三线合一”。 （2）判定等边三角形时，要特别掌握“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，这是最常用的判定方法之一。 （3）等边三角形三个内角均为60°，因此在角度计算、全等、等腰三角形的综合问题中，经常通过“60°”建立边角之间的联系。 要点速测 7．已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 8．如图，．求证：．需再增加什么条件，可使成为等边三角形？ 9．如图，是等边三角形，点是内的一点，连接，点是上的一点，连接，连接并延长，交于点，若．求证：是等边三角形． 知识点 直角三角形 1.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 2.直角三角形的性质 性质 直角三角形两个锐角 直角三角形斜边上的 等于斜边的一半 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于 图示 几何描述 在△ABC，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的中点，∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°， ∴AB=2AC 面积公式：S= (其中：为斜边c上的高) 3.直角三角形的判定 （1）两个内角 的三角形是直角三角形； （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； （3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 （4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。 4.直角三角形全等的判定 和一条 分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 要点归纳： （1）直角三角形中两个锐角互余；若已知一个锐角，另一个锐角可直接求出。 （2）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；反之，中线等于该边一半的三角形也是直角三角形。这个性质常用于构造等腰三角形进行线段等量代换。 （3）含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，是计算和证明中非常重要的基本模型。 （4）直角三角形全等可用“斜边、直角边（HL）”判定，但HL只能用于 三角形，不能推广到一般三角形。 要点速测 10．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 11．直角三角形斜边上的高和中线分别是3和4，则它的面积是（    ） A．24 B．20 C．15 D．12 12．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 知识点 勾股定理及其逆定理 1.勾股定理的内容 （1）文字语言：直角三角形两条直角边的 等于斜边的 。 （2）符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 。 （3）变式：， ， , , 。 注意：勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。 2.勾股定理的证明 方法一：如图，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形。即 ，所以，化简可证。 方法二：如图，四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积。 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为； 大正方形面积为，所以。 方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形。 ，，化简得证。 3.勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是 ；即三角形三边长，，满足 ，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。 【补充说明】 （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； （2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较： ①若时，以，，为三边的三角形是直角三角形； ②若时，以，，为三边的三角形是 三角形； ③若时，以，，为三边的三角形是 三角形。 4.勾股数 （1）勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. （2）勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方。 （3）勾股数常见规律 ①是组勾股数，则（k为正整数）也是一组勾股数；例如（3，4，5）是组勾股数；则（6，8，10）、（9，12，15）、（12，16，20）、（15，20，25）等。 ②，，（n为大于1的自然数）。即当勾股数中第一个数为奇数，且后两个数为连续整数时，有，例如3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等。 ③，，（，且m和n均为正整数）。 ④连续整数组成的勾股数只有一组3,4,5；连续偶数组成的勾股数除6,8,10外，再无其他连续偶数勾股数。 【注意】以上几条讨论的是整数勾股数，除此之外还有无数组非整数勾股数都满足勾股定理，常用直角三角形三边的比例关系： ①等腰直角三角形三边比为 ； ②含30°角的直角三角形三边比为 。 要点归纳： （1）勾股定理只适用于直角三角形，使用时必须先明确斜边，再写“两直角边平方和等于斜边平方”。 （2）勾股定理的逆定理用于“由数判形”：比较两条较短边的平方和与最长边的平方，三者相等时才可判定为直角三角形。 （3）判断三角形形状时，要注意最长边必须作为比较对象：a²+b²=c²为直角，a²+b²<c²为钝角，a²+b²>c²为锐角。 （4）勾股数不仅要求满足a²+b²=c²，还要求三个数都是 ；整体乘以同一个正整数后仍然是勾股数。 要点速测 13．下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 14．如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 15．如图，在与中，于点．若，求证：． 题型1 图形的轴对称及其应用 ▌例1-1 （25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． ▌例1-2 （25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在△中，，，△与△关于直线对称，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解题要点 图形的轴对称及其应用 1.明确对称轴是一条直线，灵活运用“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”这一性质。 2.折叠（翻折）问题本质上是轴对称，折叠前后的图形全等，对应角、对应线段相等。 3.解决最短路径（将军饮马）问题时，作定点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一定点，利用勾股定理求得最短路程。 ▌迁移练1-1（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在长方形中，边，，对角线，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．10 ▌迁移练1-2（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，，D是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为___________． 题型2 等腰三角形的分类讨论问题 ▌例2-1 （25-26八年级下·安徽宿州·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则它的周长为（     ） A．17 B．18 C．22 D．22或17 ▌例2-2 （25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 解题要点 等腰三角形的分类讨论问题 1.当腰与底边、顶角与底角不明确时，必须分情况讨论。 2.求边长时，分类讨论后必须用“三角形任意两边之和大于第三边”进行取舍，排除不符合条件的情况。 3.当高线位置不明确时（高在三角形内部或外部），需考虑锐角三角形和钝角三角形两种情形，避免漏解。 ▌迁移练2-1已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 ▌迁移练2-2（25-26八年级上·山西大同·期末）请认真阅读以下材料，根据材料获取的知识，认真解决后面的问题： 三角形的三线（中线、角平分线、高线）概念与性质极易混淆．中线和角平分线是连接顶点与对边上的点（中点或与角两边等距的点）．无论三角形形状如何，这两条线必定完全位于三角形内部．高线是从顶点向对边所在直线作垂线，垂足即为高的落脚点．垂足不一定落在“对边”这条线段上，它可能落在这条线段向两端无限延长的直线上． 问题：请你画一个等腰，，过点B做边上的高，，则的度数是（     ） A． B． C．或 D．或 题型3 利用等腰三角形性质求角度与线段长度 ▌例3-1 （25-26八年级下·辽宁·期末）如图，在中，．按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线分别交于，连接．若，则________°． ▌例3-2 （25-26八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 解题要点 利用等腰三角形性质求角度与线段长度 1.熟练掌握“等边对等角”及“三线合一”的性质，是解决角度转换的核心工具。 2.题目中出现比例、倍数关系时，通常设未知数，利用三角形内角和或外角性质建立方程求解。 3.注意挖掘隐含条件（如垂直平分线、角平分线、中线等），将其性质转化为线段或角度的等量关系。 ▌迁移练3-1（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． ▌迁移练3-2（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 题型4 等腰三角形的判定与综合证明 ▌例4-1 （25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，作交的延长线于点E．求证：是等腰三角形． ▌例4-2 （25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 解题要点 等腰三角形的判定与综合证明 1.判定等腰三角形的核心是“等角对等边”，因此证明线段相等常转化为证明角相等。 2.牢记“角平分线+平行线”模型：此时必出现等腰三角形，常用于线段等量代换。 3.涉及折叠（翻折）、旋转等变换题时，先找准不变量（边长、角度），再通过全等或等腰性质进行推理。 ▌迁移练4-1（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． ▌迁移练4-2（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，是的中线，，，把沿直线折叠后，点落到的位置上，那么为（     ） A．1 B． C．3 D． 题型5 线段垂直平分线与角平分线逆定理的应用 ▌例5-1 （25-26八年级下·内蒙古包头·期中）下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 ▌例5-2 （25-26八年级上·山西大同·期末）如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． (1)求证：； (2)根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 解题要点 线段垂直平分线与角平分线逆定理的应用 1.注意区分原命题与逆命题，判断逆命题真假需举反例。 2.证明点在直线上（如线段垂直平分线或角平分线），优先考虑利用其判定逆定理（如“到线段两端点距离相等”或“到角两边距离相等”）。 3.证明时常用的思想是构造全等三角形（尤其直角三角形常用HL），再利用全等的性质进行等量代换。 ▌迁移练5-1（25-26八年级下·福建漳州·期末）下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．等角对等边 B．若，则 C．对顶角相等 D．直角都相等 ▌迁移练5-2（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知：，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即）的角尺来作的角平分线． (1)如图1，她先在边和上分别取，再移动角尺使；然后她就说射线是的角平分线．试根据小惠的做法证明射线是的角平分线； (2)如图2，将角尺绕点旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时是的角平分线吗？如果是，请说明理由． 题型6 直角三角形的性质与判定 ▌例6-1 （25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． ▌例6-2 （25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，E为中点，D为延长线上一点，，，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 解题要点 直角三角形的性质与判定 1.灵活运用“两锐角互余”来推导角度关系，是求解几何角度的常用桥梁。 2.遇到斜边上的中点或中线，立即联想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，以此构造等腰三角形。 3.熟记“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，常用于求线段长度或等边三角形的转化。 ▌迁移练6-1（25-26八年级上·广东肇庆·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌迁移练6-2（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，是的中点，于点，连结．若，，则_________°． 题型7 利用勾股定理及其逆定理求解计算 ▌例7-1 （25-26八年级下·陕西商洛·期中）若直角三角形的三边长分别为6，8，，则的值为（     ） A．10或 B．10或14 C．2或14 D．2或10 ▌例7-2 （25-26八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，，，试求线段的长． 解题要点 利用勾股定理及其逆定理求解计算 1.使用勾股定理时，必须先明确斜边；若斜边不明确，需分类讨论最长边。 2.逆定理判断直角：先找最大边，再计算较小两边的平方和与最大边的平方是否相等。 3.解决折叠问题时，通常设未知数，在折叠后形成的直角三角形中利用勾股定理列方程。 4.遇到非负数和为零的式子（如绝对值、平方、算术平方根），可根据非负性求出边长，再判断形状。 ▌迁移练7-1（25-26八年级下·河北保定·期末）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练7-2（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，；为上一点，连接，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分阴影部分的面积为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 题型8 勾股定理的证明与图形面积关系拓展 ▌例8-1 （25-26八年级上·浙江湖州·期末）“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． ▌例8-2 （25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（    ） A． B． C． D． 解题要点 勾股定理的证明与图形面积关系拓展 1.面积法（割补法）是证明勾股定理的核心思想，关注几何图形面积与代数式变形之间的关系。 2.掌握“赵爽弦图”等经典模型，能够通过图形面积的等量代换建立方程。 3.涉及以直角三角形三边作相似图形（正方形、半圆、等边三角形）时，斜边上的图形面积等于两条直角边上的图形面积之和。 ▌迁移练8-1（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． ▌迁移练8-2（25-26八年级下·广东惠州·期末）小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 题型9 网格中的直角三角形判定与边长计算 ▌例9-1 （25-26八年级下·宁夏固原·期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在正方形的顶点上，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 ▌例9-2 （25-26八年级下·湖北黄石·期中）如图，在如图所示的的方格中，每个小方格的边长都为1．试在三个方格中，分别画出满足下列条件的三个直角三角形，使各顶点都在方格的格点上． (1)三边都是整数； (2)斜边为； (3)直角边为的等腰直角三角形． 解题要点 网格中的直角三角形判定与边长计算 1.充分利用格点构成直角三角形，通过勾股定理精确计算线段长度。 2.利用勾股定理的逆定理在网格中判断三角形是否为直角三角形。 3.求格点三角形的面积或点到直线的距离时，常采用“割补法”或“等面积法”灵活转化。 ▌迁移练9-1（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． ▌迁移练9-2（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图是一张正方形方格纸，点A、B、C均在格点上，方格线上有，，，四个点，其中有一点既满足到两边的距离相等，又满足到点A，B的距离相等，该点可能是（　　） A． B． C． D． 题型10 利用勾股定理解决实际生活问题 ▌例10-1 （25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 ▌例10-2 （25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 解题要点 利用勾股定理解决实际生活问题 1.将实际问题抽象为直角三角形模型，找准斜边和直角边。 2.若已知条件不足，通常设未知数，构建勾股定理方程求解。 3.涉及信号覆盖、航行距离等问题时，常利用等面积法（ab=ch）求斜边上的高，再进行后续计算。 ▌迁移练10-1（25-26八年级下·四川德阳·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． ▌迁移练10-2（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 题型11 直角三角形全等的判定（HL） ▌例11-1 （25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． ▌例11-2 （25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，是的角平分线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 解题要点 直角三角形全等的判定（HL） 1.牢记HL定理只适用于直角三角形，条件是“斜边和一条直角边分别相等”。 2.常与角平分线性质结合：利用“角平分线上的点到角两边距离相等”得到一组直角边相等，配合公共斜边证全等。 3.证出全等后，务必利用对应边、角相等进行二次转化，解决线段或角度的等量代换问题。 ▌迁移练11-1（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 ▌迁移练11-2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型12 特殊三角形综合探究与压轴题 ▌例12-1 （25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______； (2)若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． ▌例12-2 （2023·山东济南·三模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是_________ 解题要点 特殊三角形综合探究与压轴题 1.动点问题需结合分类讨论思想，分段分析不同位置下的几何图形特征，常用方程思想列式。 2.面积最值问题常转化为“垂线段最短”或等腰三角形特定位置（如底边上的高最大时）求解。 3.找规律（如勾股数、勾股树增加个数）时，观察图形序号与边长、数量之间的代数关系，总结出通项公式。 ▌迁移练12-1（25-26八年级下·安徽安庆·期末）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第6个图形里的正方形比第4个图形多_______个． ▌迁移练12-2（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，为等腰直角三角形，，动点从出发沿线段向终点运动，连接，以为直角边向右作等腰直角，斜边与交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过分别作于点于点．请探究：三条线段之间的数量关系； (3)若，D点在运动过程中，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值． 难点一 共顶点的“手拉手”旋转全等模型 在多个等腰三角形或等边三角形共顶点时，往往隐含着旋转全等关系，是解决线段相等、角度求值或证明位置关系的高级模型，综合性强，容易找不到突破口。 方法总结： ①识别模型：寻找共顶点的两个等腰三角形，顶角相等，且顶角重合； ②构造全等：利用旋转证明对应三角形全等（通常为SAS），得到对应线段相等、对应角相等； ③转化角度：利用“8字模型”或四边形的内角和，将全等后的角转化，求出两条对应线段的夹角（通常等于顶角）。 易错提醒： ①容易忽视“顶角相等”这一前提，导致无法判定全等； ②搞错对应顶点，找错需要证明的全等三角形； ③旋转后的对应边找反，直接导致结论错误。 难点精练 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． 【探究发现】 （1）如图1，在和中，，，，点在上，连接、，且、、三点共线，则图中与线段相等的线段是 ， ． 【初步运用】 （2）如图2，在和中，，，，连接、交于点．找出图中与相等的线段，并证明； 【迁移应用】 （3）如图3，在四边形中，点是四边形内一点，且，，，请计算的值． 3．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： (1)如图，已知，均为等腰直角三角形，，，，点A在边上，且不与点E、D重合，连接，则与的数量关系为　　　　，位置关系为　　　　． (2)将绕点C旋转到如图所示位置，点B在线段上，连，求证：． (3)在绕点C旋转过程中，当A、E、B三点在同一条直线上时，若，，求的长． 4．（25-26八年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，连接、． (1)问题发现 小明发现图1就是手拉手模型，易证． ①请你帮助小明证明． ②如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点D、点E在一条直线上，交于点O．小明发现与依然全等．当时，小明利用全等的性质和所学知识很快就求出了．则_____ (2)类比探究 在图2的基础上，当时，如图3．根据上述思路判断线段与的位置关系，并说明理由． 5．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． (1)【模型探究】如图1，若和均为等边三角形，，，，，点、、在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； (2)【探究证明】如图2，已知，分别以，为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，，线段和交于点．请判断线段和的关系，并说明理由； (3)【模型应用】如图3，在中，，，将线段绕着点逆时针旋转至线段，连接，则求的面积． (4)【拓展提高】如图4，和都是等腰直角三角形，，，的位置不变，将在同一平面内摆放，使得点不变，且，连接，，若，请直接写出的长． 难点二 弦图与面积法等证明勾股定理 勾股定理的证明核心是“数形结合”，利用几何图形的面积割补法证明代数恒等式，此部分学习常因图形变形复杂而难以理清面积关系。 方法总结： ①牢记两种经典拼图：外弦图（四个直角三角形围成一个大正方形）和内弦图（四个直角三角形围成一个小正方形）； ②利用大正方形面积等于小正方形面积加上四个直角三角形的面积，列出等式：； ③利用割补法或等面积法（如梯形面积等于三个三角形面积之和：进行代数式化简，最终得出。 易错提醒： ①拼图中边长a、b、c的位置容易混淆，导致代数式写错； ②在计算面积时，容易漏算或重复计算部分三角形面积； ③忽略了证明过程中最后一步代数化简的严谨性。 难点精练 6．（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 7．（25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测）动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 8．（25-26八年级下·湖南郴州·开学考试）阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）勾股定理是几何学中的明珠，它的证明方法已超过五百种．我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理，它由四个如图1的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示．用它证明勾股定理的思路是用两种求法来表示同一个图形的面积，从而得到等式． (1)在图2中，因为大正方形的面积可以看成四个直角三角形与一个小正方形的面积的和，即_____；也可直接表示为大正方形边长的平方，即_____，所以_____，勾股定理得到了验证． (2)小数同学发现，把两个图1的直角三角形（，）按图3摆放（其中点在上）构造图形，也可以验证勾股定理．请按下列小数同学的思路进行验证． ①求证：． ②用两种方法表示同一图形的面积验证勾股定理． 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元222年，中国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中介绍了勾股定理的证明方法．具体用用四个完全一样直角三角形可以拼成图1的大正方形，采用面积法证明． （1）类比证明：伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）于1876年4月1日《新英格兰教育日志》上证明勾股定理．在和中，，易证． 请你用两种不同的方法表示梯形的面积（图2），并证明：； （2）尝试画图：正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． ①画一个三角形，使它的三边长都是有理数；②画一个三边长都为无理数的直角三角形；③画一个钝角三角形，使它的面积为4． （3）拓展应用：如图3，在直线l上依次摆放五个正方形．已知斜放两个正方形的面积分别是2、3，正放三个正方形的面积依次是，，，则______（直接写出答案） 难点三 利用等面积法探究线段关系 等面积法是一种重要的数学思想，通过利用同一图形的不同面积表达形式来建立线段关系，尤其在探究等边三角形内部点到三边的距离之和时（维维尼亚模型），容易卡壳。 方法总结： ①利用直角三角形两直角边乘积的一半等于斜边乘以斜边上的高（ab=ch）来求线段长度； ②维维尼亚模型：等边三角形内任意一点向三边作垂线，将三角形分割为三个小三角形，大三角形的面积等于三个小三角形面积之和，从而得出“三垂线段之和等于等边三角形的高”； ③遇到最值问题时，利用点到直线的垂线段最短或三角形底边不变，利用面积定值来推导动点轨迹。 易错提醒： ①易忽略垂足在三角形边延长线上的情况（钝角三角形时，点的高在外部）； ②维维尼亚模型只适用于等边三角形内部点，若点在外部，距离等式需要变为“和或差”的关系，容易出错； ③找错底边和对应的高，导致列出的面积等式无意义。 难点精练 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）示意图如图①，已知在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，． 【问题解决】 （1）当点在的什么位置时，？请证明． （2）过点作边上的高，试猜想，，的长度之间存在怎样等量关系？请证明你的结论． 【延伸设问】 （3）如图②，已知等边三角形的高为，为内一点，于点，于点，于点，则_____． 【规律总结】 （4）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和_____一腰上的高． 等边三角形内一点到各边距离之和_____任意一边上的高． 12．（24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究 如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接） (3)理解与应用 如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明． 13．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段检测）学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积有两种不同的表示方式”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法． （1）【学有所用】如图1，在等腰中，，其一腰上的高为，是底边上的任意一点，到腰、的距离、分别为、，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：； （2）【尝试提升】如图2，在中，，是边上一点，使，过上一点，作，垂足为点，作，垂足为点，已知，，求的长． （3）【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是2，请直接写出符合题意的点坐标______． 14．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在锐角中，，P是射线上一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点A作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，若，，求的长． (2)猜想并证明线段，，之间的数量关系． 15．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 面积法解题 【原理】如图1，在中，是边上的一点，于点，于点，于点，若，，，连接，则，即，，，即．利用这个面积法公式可以解决有关等腰（或等边）三角形的问题． 【问题1】如图1，在中，，是底边上的一点，，，，垂足分别是，若，则______． 【问题2】如图2，在等边中，是内的一点，，，，，垂足分别为，若，求的值． 解：如图3，连接，则．是等边三角形，．，，，，…… 问题： (1)材料中的问题1中应填______． (2)补充材料中问题2的剩余解答过程． (3)如图4，是等边外的一点，，，，，若，则的值为______． 难点四 求最短路径问题（将军饮马模型） 将立体图形展开成平面图形，利用轴对称性质转化线段，结合勾股定理求最值，常因找不到正确的对称点和展开方式而致错。 方法总结： ①识别定点和动点，确定动点所在的直线作为对称轴； ②作“同侧”一点关于对称轴的对称点（对称点，再连线）； ③连接对称点与另一个定点，连线与对称轴的交点即为最短路程点（即PA+PB最小时的点P）； ④在构造出的直角三角形中，利用勾股定理求出该线段的长度即为最短路程。 易错提醒： ①分不清是要作谁的对称点，导致作错位置； ②在圆柱或长方体表面上求最短路径时，忽略展开方式不同会导致最短路程不同（需要画出几种展开图对比计算，取最小值）； ③在利用“两点之间线段最短”进行证明时，理不清为什么交叉点是交点时距离最短的逻辑。 难点精练 16．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，一个圆柱体的底面周长为，高为是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点．求这只蚂蚁爬行的最短路程．（精确到） 17．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 18．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是3米，3米，河宽2米，且A，B两点之间的直线距离为10米，则的最小值是_________米． 19．（25-26八年级上·河南南阳·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图1，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】 如图2，小明将两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线．作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决． （1）小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____； 【模型应用】 （2）如图3，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，求周长的最小值； 【模型拓展】 （3）如图4，在中，，若，将折叠，使点恰好落在边上的点处，折痕为，点为上一动点，直接写出周长的最小值为_____． 20．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边，饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线，如图②，小明作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： (1)如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． ∵点B与点关于直线l对称， ∴直线l是的垂直平分线． ∴______，______， ∴______=______． ∵在中，， ∴，即最小． (2)“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线，“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决，小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是______．请你完成上面填空． (3)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为______． (4)【模型拓展】如图⑤，在锐角中，，，，点是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为______． 难点五 勾股树模型 以直角三角形三边为边，向外作正方形、等边三角形或半圆等相似图形，利用勾股定理探究其面积关系，计算关系复杂，容易混淆图形对应关系。 方法总结： ①正确结论：斜边上的图形面积等于两条直角边上图形的面积之和，即； ②证明方法：不论是正方形、等边三角形还是半圆，只要图形相似，其面积比都等于对应边长的平方比，提取公因式结合勾股定理即可证明； ③求解月牙形等阴影面积时，需把大图形的面积减去空白区域面积，结合圆的面积公式进行整体代换。 易错提醒： ①混淆了直角边和斜边对应的图形，把斜边对应的图形面积代入计算； ②公式计算中，忘记除以2（如半圆面积公式）导致计算失误； ③构图复杂时，没有注意到拼图里的空白部分和整体图形的包含关系，导致算出的面积不正确。 难点精练 21．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 23．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有， (1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系； (3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积． 24．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图①，在中，，分别以三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则不难证明 (1)如图②，在中，，分别以三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，那么，，之间的关系是：______（不必证明） (2)如图③，中，，分别以三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用，，表示，请你确定，，之间的关系并加以证明 (3)利用图①的结论，解决下列问题：如图④，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为，，，．则______． 25．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段检测）勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾股定理进行探索．如图1，在直角三角形中， ．分别以为边长向外作正方形、正方形和正方形，其面积分别记作． (1)图1中，与之间的数量关系为______，直角三角形的三边之间的数量关系为________． (2)如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系． 基础达标 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）下面四个图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列条件中，可以判定为等腰三角形的是（    ） A．， B． C． D． 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，与相交于点．当时，（    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，且，，，，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·浙江台州·期中）我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为，则图中线段的长为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·浙江·期中）如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为________． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在中，，则的长度是_________． 9．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）新定义：在直角三角形中，过锐角顶点剪一刀，若剪痕将直角三角形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条剪痕为直角三角形的“斜腰线”． (1)如图1，在中，，请画出的“斜腰线”，并标出被斜腰线分得的两角的度数． (2)如图2，在中，，分别是 和的“斜腰线”，若，，求的长． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）小东和小毅在课后复习时，对课本P93“目标与评定”中的一道题，进行了认真地探索．如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)小东顺利完成了此题的解答，请写出他的完整解答过程； (2)看了小东解答后，小毅又有了如下思考：梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？他是这样想的，当时，……请帮助小毅把完整解题过程写下来． 能力进阶 11．下列图案属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）中，，边上的中线交于点D，中线分两部分的周长差为2，若，则的长为（    ） A．5 B．8或10 C．12 D．8或12 13．（25-26八年级上·浙江台州·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 15．下列命题中原命题和逆命题都为真命题的是（    ） ①全等三角形对应角相等；②等腰三角形的两个底角相等；③直角三角形中有两个锐角；④对顶角相等． A．① B．② C．③ D．④ 16．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于________度． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在钝角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为36，J是边上靠近点B的三等分点，，记正方形的面积为，正方形的面积为，当的度数发生变化时，的值为______ ． 18．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，是的角平分线，分别在边上．，连结． 若，则的面积是______________． 19．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在中，，，以为边在上方作等边，以为边在右侧作等边，连接． (1)当时，求的长． (2)求证： (3)如图2，点与点C关于直线对称，连结．求的长． 20．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得． (1)如图，当点恰好落在线段上时，求证：； (2)如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度； (3)如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 特殊三角形 复习要点 1.理解图形的轴对称概念，掌握对称轴垂直平分连结两个对称点的线段这一性质，并能利用其解决最短路径问题。 2.掌握等腰三角形和等边三角形的定义、性质，包括等边对等角和三线合一，以及判定方法，包括等角对等边和有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 3.掌握直角三角形的性质，包括两个锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半以及30度角所对的直角边等于斜边的一半；同时掌握其判定方法，包括有两个角互余和三角形一边上的中线等于该边的一半。 4.掌握勾股定理及其逆定理，能灵活运用勾股定理求边长、解决实际问题，并能利用逆定理判定直角三角形，熟悉常见勾股数及其拓展规律。 5.掌握直角三角形全等的判定方法HL，并能熟练结合线段垂直平分线和角平分线的性质定理与逆定理进行综合证明。 6.理解逆命题与逆定理的概念，能分清命题的条件与结论，掌握判断真假命题的方法，包括举反例说明假命题，并规范掌握几何证明的书写格式与推理依据。 复习重难点 重点：等腰三角形“三线合一”的性质与“等角对等边”判定方法的综合运用；直角三角形的两锐角互余、30°角性质及斜边中线性质的灵活应用；勾股定理及其逆定理在几何计算和实际生活中的应用。 难点：等腰三角形与直角三角形中分类讨论思想的应用，包括腰底不明确、高在形内或形外以及顶角底角不明确时的分类讨论；利用勾股定理构造方程解决折叠和最短路径等综合问题；几何证明题中辅助线的添加方法，包括作底边上的高、作斜边上的中线、构造对称点；准确找出判断命题真假所需的反例。 知识点 轴对称图形 1.对称轴：把一个图形沿某条直线对折，如果它与另一个图形重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。 2.轴对称图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。 3.轴对称的性质： （1）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等形。 （2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。 （3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。 （4）轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 4.轴对称图形与轴对称的对比理解 轴对称图形 轴对称 图 形 定 义 如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴 性 质 对应线段相等 AB=AC AB=A′B′，BC=B′C′， AC=A′C′ 对应角相等 ∠B=∠C ∠A=∠A′，∠B=∠B′， ∠C=∠C′ 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 区 别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴 关 系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 要点归纳： （1）轴对称图形是针对“一个图形”而言的，轴对称是针对“两个图形的位置关系”而言的，不要混淆。 （2）成轴对称的两个图形全等，对应点的连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等。 （3）判断或寻找对称轴时，关键是看图形折叠后能否完全重合；一个轴对称图形可能有一条或多条对称轴。 要点速测 1.如图，与关于直线l对称，与的交点F在直线l上．若，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质求出的长即可得到答案； （2）根据轴对称的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵与关于直线l对称， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵与关于直线l对称， ∴， ∵， ∴． 知识点 等腰三角形的性质及判定 1.等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。 2.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴； ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴。 （2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。 （3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称“三线合一”。 【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线。 3.等腰三角形的判定 （1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； （2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 【注意】证明两个角相等的方法： ①如果角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”来证明。 ②如果角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等来解决。 要点归纳： （1）等腰三角形中，“等边对等角”“等角对等边”是最基本的性质与判定（前提是在同一个三角形中），也是边角关系相互转化的重要依据。 （2）“三线合一”有严格前提：必须是等腰三角形，且针对顶角的角平分线、底边上的中线和高。 （3）等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论。 （4）底角为72°、顶角为36°的特殊等腰三角形中，底角平分线可将原三角形分成两个等腰三角形，是综合题中的常见模型。 要点速测 2．等腰三角形的一个内角为，则它的底角度数为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】分情况讨论内角是顶角还是底角，结合三角形内角和定理排除不符合的情况，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 若为底角，则两个底角和为，∵三角形内角和为，，不符合题意，舍去； 若为顶角，∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为，∴底角度数为； 综上，该等腰三角形的底角度数为． 3．如图，中，，点在上，点在上，，． (1)若，求的长． (2)的度数为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作交于点，通过证明得到，再利用等腰三角形三线合一得到，从而求得的长； （2）利用等腰三角形等边对等角以及第一问得到的角度关系，结合三角形内角和为计算出的度数． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交于点． ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ． ，， ． （2）解：设的度数为， ， ， 又， ． ，， 为等腰直角三角形， ． 在中，根据三角形内角和为， ， 即， 解得， ． 4．如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【答案】8 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点C的个数是8． 知识点 逆命题与逆定理 1.逆命题与逆定理的基本概念 （1）定义：对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。 （2）原命题与逆命题：如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题。每个命题都有它的逆命题。 （3）真假性：真命题的逆命题不一定是真命题（例如：“如果a=b，那么a²=b²”是真命题，但其逆命题“如果a²=b²，那么a=b”是假命题）。 （4）逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。 2.线段垂直平分线性质定理的逆定理 （1）原定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 （2）逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 （3）证明思路：当点P不在线段AB上时，作PC⊥AB于点O，由PA=PB，PO⊥AB，可得OA=OB，故PC是AB的垂直平分线，所以点P在线段AB的垂直平分线上。 （4）结论：这个逆命题是真命题，叫作线段垂直平分线性质定理的逆定理。 3.角平分线性质定理的逆定理 （1）原定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 （2）逆命题：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 （3）证明思路：已知P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE。作射线OP，利用“HL”判定Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠1=∠2，即点P在∠AOB的平分线上。 （4）结论：这个逆命题是真命题，叫作角平分线性质定理的逆定理。 要点归纳： （1）任何一个命题都有逆命题，但原命题为真，其逆命题不一定为真。 （2）一个定理的逆命题只有经过证明是真命题后，才能称为原定理的逆定理。 （3）掌握并灵活运用线段垂直平分线和角平分线性质定理的逆定理，是证明点在直线上或线段相等的重要途径。 要点速测 5．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 6．如图，在中，于点D，平分交于点，若，，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】证明：平分，， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上． 【分析】先证明，求解，，进一步证明即可得到结论． 【详解】略 知识点 等边三角形的性质及判定 1.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； （2）等边三角形的三条边相等； （3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°。 【注意】等边三角形具有等腰三角形的一切性质，包括“三线合一”。 3.等边三角形的判定 （1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【补充】 ①等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合； ②在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形； ③边长为a的等边三角形面积的求解方法：S正三角形=。 要点归纳： （1）等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形的相关性质在等边三角形中都成立，包括“三线合一”。 （2）判定等边三角形时，要特别掌握“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，这是最常用的判定方法之一。 （3）等边三角形三个内角均为60°，因此在角度计算、全等、等腰三角形的综合问题中，经常通过“60°”建立边角之间的联系。 要点速测 7．已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____． 【答案】3 【分析】由等边三角形的性质得出，，即可得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵为等边三角形，为的高， ∴，， ∴， ∴． 8．如图，．求证：．需再增加什么条件，可使成为等边三角形？ 【答案】证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴． 添加：，可使成为等边三角形（答案不唯一） 【分析】根据平行线的性质得出，结合已知得出，然后根据等角对等边即可得证；根据等边三角形的判定补充添加即可. 【详解】证明：略； 添加， ∵，， ∴， ∴是等边三角形． 9．如图，是等边三角形，点是内的一点，连接，点是上的一点，连接，连接并延长，交于点，若．求证：是等边三角形． 【分析】由等边三角形的性质得到，则由三角形外角的性质得到，同理可得，据此可证明是等边三角形． 【答案】证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴, 同理可得， ∴是等边三角形． 知识点 直角三角形 1.直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 2.直角三角形的性质 性质 直角三角形两个锐角互余 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 图示 几何描述 在△ABC，∠C=90° ∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，CD为AB边的中点，∴∠A+∠B=90° 在△ABC，∠C=90°，∠B=30°， ∴AB=2AC 面积公式：S= (其中：为斜边c上的高) 3.直角三角形的判定 （1）两个内角互余的三角形是直角三角形； （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； （3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。 （4）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形。 4.直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 要点归纳： （1）直角三角形中两个锐角互余；若已知一个锐角，另一个锐角可直接求出。 （2）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；反之，中线等于该边一半的三角形也是直角三角形。这个性质常用于构造等腰三角形进行线段等量代换。 （3）含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，是计算和证明中非常重要的基本模型。 （4）直角三角形全等可用“斜边、直角边（HL）”判定，但HL只能用于直角三角形，不能推广到一般三角形。 要点速测 10．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，以为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，，则的度数为（     ） A． B． C． D．与的大小有关 【答案】B 【分析】设，，先由直角三角形两锐角互余得到，再由题意及等腰三角形的性质得到和，最后在中，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设，，则在中，， 由题意可知， 和是等腰三角形， 则，， 在中，由可得． 11．直角三角形斜边上的高和中线分别是3和4，则它的面积是（    ） A．24 B．20 C．15 D．12 【答案】D 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线为4， ∴根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得斜边长为， ∵斜边上的高为3， ∴面积为． 12．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】 证明： ， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】略 知识点 勾股定理及其逆定理 1.勾股定理的内容 （1）文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么。 （3）变式：， ， , , 。 注意：勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。 2.勾股定理的证明 方法一：如图，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形。即 ，所以，化简可证。 方法二：如图，四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积。 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为； 大正方形面积为，所以。 方法三：如图三，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形。 ，，化简得证。 3.勾股定理的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角；即三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。 【补充说明】 （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法； （2）勾股定理的逆定理通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较： ①若时，以，，为三边的三角形是直角三角形； ②若时，以，，为三边的三角形是钝角三角形； ③若时，以，，为三边的三角形是锐角三角形。 4.勾股数 （1）勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即满足关系的3个正整数a，b，c称为勾股数. （2）勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方。 （3）勾股数常见规律 ①是组勾股数，则（k为正整数）也是一组勾股数；例如（3，4，5）是组勾股数；则（6，8，10）、（9，12，15）、（12，16，20）、（15，20，25）等。 ②，，（n为大于1的自然数）。即当勾股数中第一个数为奇数，且后两个数为连续整数时，有，例如3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等。 ③，，（，且m和n均为正整数）。 ④连续整数组成的勾股数只有一组3,4,5；连续偶数组成的勾股数除6,8,10外，再无其他连续偶数勾股数。 【注意】以上几条讨论的是整数勾股数，除此之外还有无数组非整数勾股数都满足勾股定理，常用直角三角形三边的比例关系： ①等腰直角三角形三边比为； ②含30°角的直角三角形三边比为。 要点归纳： （1）勾股定理只适用于直角三角形，使用时必须先明确斜边，再写“两直角边平方和等于斜边平方”。 （2）勾股定理的逆定理用于“由数判形”：比较两条较短边的平方和与最长边的平方，三者相等时才可判定为直角三角形。 （3）判断三角形形状时，要注意最长边必须作为比较对象：a²+b²=c²为直角，a²+b²<c²为钝角，a²+b²>c²为锐角。 （4）勾股数不仅要求满足a²+b²=c²，还要求三个数都是正整数；整体乘以同一个正整数后仍然是勾股数。 要点速测 13．下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】勾股数需满足两个条件：三个数均为正整数，两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此验证各选项即可． 【详解】解：A选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意； B选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意； C选项，∵，且三个数均为正整数， ∴是勾股数，符合题意； D选项，∵，，， ∴不是勾股数，不符合题意． 14．如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理的逆定理，即，判断出是直角三角形，设折叠后点与上的点重合．在中，根据勾股定理即可得到一个关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形． 设折叠后点与上的点重合，如图， 设，则，，，， ， 在中，， 解得， ． 15．如图，在与中，于点．若，求证：． 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 题型1 图形的轴对称及其应用 ▌例1-1 （25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴，，，故A、B、C选项正确， 不一定成立，故D选项错误， 所以，不一定正确的是D． ▌例1-2 （25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在△中，，，△与△关于直线对称，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：由题知， ，且， ， ． 又△与△关于直线对称， ，， ． 故选：C． 解题要点 图形的轴对称及其应用 1.明确对称轴是一条直线，灵活运用“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”这一性质。 2.折叠（翻折）问题本质上是轴对称，折叠前后的图形全等，对应角、对应线段相等。 3.解决最短路径（将军饮马）问题时，作定点关于动点所在直线的对称点，连接对称点与另一定点，利用勾股定理求得最短路程。 ▌迁移练1-1（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在长方形中，边，，对角线，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为（　　） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查动点最值问题，熟练掌握动点最值问题的求解步骤，根据题意按步骤逐步分析是解决问题的关键．根据动点最值问题求解步骤，①分析所求线段端点（A定，M、N动）；②动点轨迹为直线；③模型方法（类比将军饮马模型，作定点关于动点轨迹的对称点）；④确定最值对应的定线段；⑤求定线段长，按步骤进行即可求解． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线的对称点，连接，过作于点E， ，即当三点共线且时，的最小值为， 在中，， 连接， 则， ， 在长方形中，，， ， 则的最小值为， 故选：C． ▌迁移练1-2（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在中，，D是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为___________． 【答案】或 【分析】此题重点考查平行线的性质、翻折变换的性质等知识，本题分三种情况：，，，根据平行线的性质和折叠的性质求解即可． 【详解】解：如图1，当时， ， ， ， 把沿折叠，点C落在点处， ， ， ， ； 如图2，当时， ， ， 由折叠得， ， ， ； 是线段上的一个动点， 不存在的情况， 综上所述，等于或， 故答案为：或． 题型2 等腰三角形的分类讨论问题 ▌例2-1 （25-26八年级下·安徽宿州·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则它的周长为（     ） A．17 B．18 C．22 D．22或17 【答案】C 【分析】解题时需要分情况讨论边长，再根据三角形任意两边之和大于第三边，排除不能构成三角形的情况，即可得到正确结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 1. 当腰长为时，三角形三边长为 ， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，此种情况舍去. 2. 当腰长为时，三角形三边长为 ， ，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 周长为. 综上，该等腰三角形的周长为． ▌例2-2 （25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 解题要点 等腰三角形的分类讨论问题 1.当腰与底边、顶角与底角不明确时，必须分情况讨论。 2.求边长时，分类讨论后必须用“三角形任意两边之和大于第三边”进行取舍，排除不符合条件的情况。 3.当高线位置不明确时（高在三角形内部或外部），需考虑锐角三角形和钝角三角形两种情形，避免漏解。 ▌迁移练2-1已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角的度数为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中． 分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，， ∵， ∴， ∴； ∴三角形的底角为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，交的延长线于点D， ∵ ∴， ∵， ∴； ∴三角形的底角为， 综上可知，三角形的底角为或；故选：D． ▌迁移练2-2（25-26八年级上·山西大同·期末）请认真阅读以下材料，根据材料获取的知识，认真解决后面的问题： 三角形的三线（中线、角平分线、高线）概念与性质极易混淆．中线和角平分线是连接顶点与对边上的点（中点或与角两边等距的点）．无论三角形形状如何，这两条线必定完全位于三角形内部．高线是从顶点向对边所在直线作垂线，垂足即为高的落脚点．垂足不一定落在“对边”这条线段上，它可能落在这条线段向两端无限延长的直线上． 问题：请你画一个等腰，，过点B做边上的高，，则的度数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据材料可知，三角形的高的垂足可能落在对边或对边的延长线上，分两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余的性质计算角度． 【详解】解：∵ 是边上的高， ∴， 如图， 当垂足在线段上时， ∴， 当垂足在的延长线上时：如图 ∴， ∴． 综上，的度数为或． 题型3 利用等腰三角形性质求角度与线段长度 ▌例3-1 （25-26八年级下·辽宁·期末）如图，在中，．按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线分别交于，连接．若，则________°． 【答案】76 【分析】根据作图步骤，判断是线段的垂直平分线，得到进一步可得，再由是直角三角形，和的度数，即可利用直角三角形两锐角互余求出的度数，最后由三角形外角性质，计算的度数． 【详解】解：根据题目中的作图步骤可知，直线是线段的垂直平分线， 点在直线上， ∴， ∴是一个等腰三角形， 在中， ，， ， 是等腰三角形， ， ∵是的一个外角， ∴ ▌例3-2 （25-26八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角结合三角形的内角和定理可得，由三线合一可得，结合角平分线可得，最后使用三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 解题要点 利用等腰三角形性质求角度与线段长度 1.熟练掌握“等边对等角”及“三线合一”的性质，是解决角度转换的核心工具。 2.题目中出现比例、倍数关系时，通常设未知数，利用三角形内角和或外角性质建立方程求解。 3.注意挖掘隐含条件（如垂直平分线、角平分线、中线等），将其性质转化为线段或角度的等量关系。 ▌迁移练3-1（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 【答案】/40度 【分析】先利用等边三角形每个内角为，结合，在中求出，再由对顶角、翻折性质得，推出，最后在中用内角和算出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴． ▌迁移练3-2（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 题型4 等腰三角形的判定与综合证明 ▌例4-1 （25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的平分线，交于点D；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，作交的延长线于点E．求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作图-角平分线的作法作图即可； （2）先推导出，得到，证明出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】（1）解：如图①，即为所求； （2）证明：如图②， 由（1）知，平分， ， ∵， ， ， ， 是等腰三角形． ▌例4-2 （25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线结合平行可以得到等腰三角形即：，进而可求. 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴ ． 解题要点 等腰三角形的判定与综合证明 1.判定等腰三角形的核心是“等角对等边”，因此证明线段相等常转化为证明角相等。 2.牢记“角平分线+平行线”模型：此时必出现等腰三角形，常用于线段等量代换。 3.涉及折叠（翻折）、旋转等变换题时，先找准不变量（边长、角度），再通过全等或等腰性质进行推理。 ▌迁移练4-1（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，从而得到，由可得，从而得到，即可求解． 【详解】证明：，点是的中点， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． ▌迁移练4-2（25-26八年级下·山西运城·期末）如图，是的中线，，，把沿直线折叠后，点落到的位置上，那么为（     ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据中点的性质得．再根据折叠得，判定为等边三角形即可求． 【详解】解：∵，是的中线， ∴． 由折叠可得：，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 题型5 线段垂直平分线与角平分线逆定理的应用 ▌例5-1 （25-26八年级下·内蒙古包头·期中）下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的判断，解题思路是先写出各选项原命题的逆命题，再判断逆命题的真假，若逆命题为真则存在逆定理，若逆命题为假则不存在逆定理． 【详解】解：A 原命题为等边三角形的三个内角都等于，逆命题为三个内角都等于的三角形是等边三角形，逆命题为真命题，存在逆定理； B 原命题为同位角相等，两直线平行，逆命题为两直线平行，同位角相等，逆命题为真命题，存在逆定理； C 原命题为一个三角形中相等的边所对的角相等，逆命题为一个三角形中相等的角所对的边相等，逆命题为真命题，存在逆定理； D 原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，对应角相等的三角形不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，对应角相等但不全等，逆命题为假命题，不存在逆定理． ▌例5-2 （25-26八年级上·山西大同·期末）如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． (1)求证：； (2)根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 【分析】（1）由角平分线的定义得到，再运用“”证明即可． （2）根据垂直平分线的判定定理证明是的垂直平分线，即可得出结论． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)所求图形如图所示． 证明：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 解题要点 线段垂直平分线与角平分线逆定理的应用 1.注意区分原命题与逆命题，判断逆命题真假需举反例。 2.证明点在直线上（如线段垂直平分线或角平分线），优先考虑利用其判定逆定理（如“到线段两端点距离相等”或“到角两边距离相等”）。 3.证明时常用的思想是构造全等三角形（尤其直角三角形常用HL），再利用全等的性质进行等量代换。 ▌迁移练5-1（25-26八年级下·福建漳州·期末）下列各命题的逆命题成立的是（   ） A．等角对等边 B．若，则 C．对顶角相等 D．直角都相等 【答案】A 【分析】本题考查逆命题的改写与真假判断，解题思路为：先交换每个命题的题设与结论得到对应逆命题，再逐一判断逆命题的真假，选出逆命题成立的选项． 【详解】A原命题为“如果两个角相等，那么它们所对的边相等”，逆命题为“如果两条边相等，那么它们所对的角相等”，即等边对等角，该命题为真命题，逆命题成立． B原命题的逆命题为“若，则”，当时，但，逆命题不成立． C原命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，但不是对顶角，逆命题不成立． D原命题的逆命题为“相等的角都是直角”，两个的角相等，但都不是直角，逆命题不成立． ▌迁移练5-2（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知：，小惠在学习了角平分线的知识后，做了一个夹角为（即）的角尺来作的角平分线． (1)如图1，她先在边和上分别取，再移动角尺使；然后她就说射线是的角平分线．试根据小惠的做法证明射线是的角平分线； (2)如图2，将角尺绕点旋转了一定的角度后，，但仍然出现了，此时是的角平分线吗？如果是，请说明理由． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识． （1）根据证明，可得结论； （2）过点作于，于．证明，可得结论． 【答案】(1) 证明：如图1中， 在和中， ， ， ； (2) 是，理由：如图2中，过点作于，于． ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 则是的角平分线． 题型6 直角三角形的性质与判定 ▌例6-1 （25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，于点D，平分，交于点E．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，，， ∴． ▌例6-2 （25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，，E为中点，D为延长线上一点，，，则的长度为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到，等边对等角，三角形的外角的性质，推出，进而得到即可得出结果. 【详解】解：∵中，，E为中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 解题要点 直角三角形的性质与判定 1.灵活运用“两锐角互余”来推导角度关系，是求解几何角度的常用桥梁。 2.遇到斜边上的中点或中线，立即联想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，以此构造等腰三角形。 3.熟记“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，常用于求线段长度或等边三角形的转化。 ▌迁移练6-1（25-26八年级上·广东肇庆·期中）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理及直角三角形的判定．根据每个条件，利用内角和为推导角的大小，判断是否有角． 【详解】解：①，且， ， 是直角三角形． ②，且， ， 代入得 ， ，且， 是钝角三角形，不是直角三角形． ③，设，，， 则 ， ， 是直角三角形． ④ ，设， 则，， ， ， 是直角三角形． 能确定是直角三角形的条件有①、③、④，共3个． 故选：C． ▌迁移练6-2（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，是的中点，于点，连结．若，，则_________°． 【答案】 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出，利用直角三角形斜边中线定理得到，算出后推导出，再结合已知判定为等腰三角形，最后借助三角形内角和求出的度数． 【详解】解：连接， ∵，， ∴在中，， ∵是中点， ∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， 在中，根据三角形内角和：． 题型7 利用勾股定理及其逆定理求解计算 ▌例7-1 （25-26八年级下·陕西商洛·期中）若直角三角形的三边长分别为6，8，，则的值为（     ） A．10或 B．10或14 C．2或14 D．2或10 【答案】A 【分析】直角三角形斜边未明确，需分为斜边、为斜边两种情况，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：当为斜边长时：， 解得：， ， ； 当为斜边长时：， 解得：， ， ， 综上所述，的值为10或． ▌例7-2 （25-26八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，，，试求线段的长． 【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得出是以的直角三角形，再利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解： ，，， ，， ， 是以的直角三角形， ， 在中，， ． 解题要点 利用勾股定理及其逆定理求解计算 1.使用勾股定理时，必须先明确斜边；若斜边不明确，需分类讨论最长边。 2.逆定理判断直角：先找最大边，再计算较小两边的平方和与最大边的平方是否相等。 3.解决折叠问题时，通常设未知数，在折叠后形成的直角三角形中利用勾股定理列方程。 4.遇到非负数和为零的式子（如绝对值、平方、算术平方根），可根据非负性求出边长，再判断形状。 ▌迁移练7-1（25-26八年级下·河北保定·期末）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用绝对值、平方数、算术平方根的非负性求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断三角形形状，最后计算三角形面积． 【详解】解：∵，且，，， ∴ ，，， 解得，，， ∵，即， ∴该三角形是直角三角形，和为直角边， ∴三角形面积． ▌迁移练7-2（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，；为上一点，连接，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分阴影部分的面积为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，并利用勾股定理列方程求解是解题的关键． 先利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，再根据折叠性质得到对应边相等，设未知数表示线段长度，在中用勾股定理列方程求解，最后计算重叠部分（）的面积． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 由折叠性质可知：，， ∴， 设，则，． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：B． 题型8 勾股定理的证明与图形面积关系拓展 ▌例8-1 （25-26八年级上·浙江湖州·期末）“勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一．以下四幅图中，无法证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，以弦图为背景的计算题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用整个图形的面积减去各部分面积，以此证明勾股定理，以此对四个图形逐一推导，再作出判断． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 即， 故A不符合； ， 所以， 即， 故B不符合； ， 所以， 即， 故C不符合； 图D不能推导出勾股定理， 故D符合，故选：D． ▌例8-2 （25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置，四个阴影部分面积分别记为，，若已知的面积，则能求下列哪个代数式的值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．根据勾股定理得到，用各部分面积分别表示出、和，再列式求解即可． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵的面积已知， ∴能求出代数式的值，故选：A． 解题要点 勾股定理的证明与图形面积关系拓展 1.面积法（割补法）是证明勾股定理的核心思想，关注几何图形面积与代数式变形之间的关系。 2.掌握“赵爽弦图”等经典模型，能够通过图形面积的等量代换建立方程。 3.涉及以直角三角形三边作相似图形（正方形、半圆、等边三角形）时，斜边上的图形面积等于两条直角边上的图形面积之和。 ▌迁移练8-1（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，分别以的三边为边作正方形，正方形，正方形，交于点．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，记四边形的面积为，四边形的面积为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：在中，， ∴由勾股定理得：， ∵以的三边为边作正方形，正方形，正方形， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ▌迁移练8-2（25-26八年级下·广东惠州·期末）小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 【分析】作，垂足为点，设与的交点为，证明，推出，分割法求出四边形的面积，即可得证. 【答案】证明：如图，作，垂足为点， 设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为长方形， ， ， . 题型9 网格中的直角三角形判定与边长计算 ▌例9-1 （25-26八年级下·宁夏固原·期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在正方形的顶点上，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 【答案】A 【分析】先利用勾股定理计算三边长度，再通过勾股定理逆定理判断直角，接着用直角三角形面积公式求面积，最后用等面积法求点到直线的距离，逐一验证选项． 【详解】解：∵，，， ， ，故B，C选项的结论正确，不符合题意； ，故A选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． ▌例9-2 （25-26八年级下·湖北黄石·期中）如图，在如图所示的的方格中，每个小方格的边长都为1．试在三个方格中，分别画出满足下列条件的三个直角三角形，使各顶点都在方格的格点上． (1)三边都是整数； (2)斜边为； (3)直角边为的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作三边长分别为3，4，5的，即可； （2）作三边长分别为1，3，的，即可； （3）作直角边为的等腰直角三角形，即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求． 解题要点 网格中的直角三角形判定与边长计算 1.充分利用格点构成直角三角形，通过勾股定理精确计算线段长度。 2.利用勾股定理的逆定理在网格中判断三角形是否为直角三角形。 3.求格点三角形的面积或点到直线的距离时，常采用“割补法”或“等面积法”灵活转化。 ▌迁移练9-1（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 【答案】 【分析】连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ▌迁移练9-2（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图是一张正方形方格纸，点A、B、C均在格点上，方格线上有，，，四个点，其中有一点既满足到两边的距离相等，又满足到点A，B的距离相等，该点可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取格点D，E，F，连接，得，再求出，可得在的垂直平分线上，证明得，可得在的角平分线上，进而可得结论． 【详解】解：如图，取格点D，E，F，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在的垂直平分线上，即到点A，B的距离相等． ∵， ∴， ∴， ∴在的角平分线上，即到两边的距离相等． 综上可知，点既满足到两边的距离相等，又满足到点A，B的距离相等． 题型10 利用勾股定理解决实际生活问题 ▌例10-1 （25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 如图：由题意可得：米，米，米，则米，，运用勾股定理可得，进而求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：米，米，米，则米， 在中，， 在中，， 所以米，即梯子的底端向左移了米． 故选C． ▌例10-2 （25-26八年级上·山西长治·期末）春节来临，人们对海鲜的需求加大，因此各渔船主都加紧出海捕捞．如图，某日琼州湾两艘渔船A和B与某灯塔C位置如图，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是600海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是450海里． (1)求渔船A与渔船B之间的距离． (2)若C处灯塔发射的信号有效覆盖半径为390海里，此时B渔船准备沿直线向A渔船靠拢航行，航行的速度为每小时25海里．求B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有多少小时？ 【答案】(1)750海里 (2)12小时 【分析】本题考查勾股定理的应用和方向角，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据方向角，易得，再根据勾股定理，计算即可求解． （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里，根据等面积法，可得，根据勾股定理，求出，从而得出，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ， 海里，海里， （海里）， 即渔船A与渔船B之间的距离为750海里； （2）过点C作交于点H，在上取点D，E，使得海里， ， ， ， （海里）， 海里， （海里）， 则（海里）， 行驶时间为（小时）， 答：B渔船在驶向A渔船的过程中，收到信号的持续时间有12小时． 解题要点 利用勾股定理解决实际生活问题 1.将实际问题抽象为直角三角形模型，找准斜边和直角边。 2.若已知条件不足，通常设未知数，构建勾股定理方程求解。 3.涉及信号覆盖、航行距离等问题时，常利用等面积法（ab=ch）求斜边上的高，再进行后续计算。 ▌迁移练10-1（25-26八年级下·四川德阳·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送（即：）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则绳索长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则有，由题意易得，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：设，则有， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即． ▌迁移练10-2（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 【答案】 【分析】将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：棱柱展开前面与右边如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴， 棱柱展开前面与上面如图所示， ∴， 棱柱展开左面与上面如图所示， ∴， ∵， ∴需要爬行的最短路程是． 题型11 直角三角形全等的判定（HL） ▌例11-1 （25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，．根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的尺规作图、过直线外一点作垂线的尺规作图、得出平分且，再结合角平分线的性质以及三角形的全等相关性质逐一判断即可． 【详解】解：根据作图可知：平分且， ∵， ∴，故A正确； ∵， 在与中， ， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故D正确； ∵，但不一定平分， 不一定成立，故C错误，满足题意． ▌例11-2 （25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，是的角平分线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理的应用，过点作于点，证明是直角三角形，且，根据角平分线的性质可得，证明得出，设，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且 又∵是的角平分线 ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： 即的长为 故选：A． 解题要点 直角三角形全等的判定（HL） 1.牢记HL定理只适用于直角三角形，条件是“斜边和一条直角边分别相等”。 2.常与角平分线性质结合：利用“角平分线上的点到角两边距离相等”得到一组直角边相等，配合公共斜边证全等。 3.证出全等后，务必利用对应边、角相等进行二次转化，解决线段或角度的等量代换问题。 ▌迁移练11-1（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． ▌迁移练11-2（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，平分，， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，结合图形熟练掌握是解题关键． （1）根据，平分，，得出，证明； （2）根据全等三角形的性质得出，证明得，即可得，从而求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型12 特殊三角形综合探究与压轴题 ▌例12-1 （25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______； (2)若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 【答案】(1)，，， (2) 证明：， ， ， ， ， ∴不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 【分析】本题考查勾股数，完全平方公式，数字的规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据所提供的几组勾股数的规律发现，当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数；当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数，据此列方程求解即可； （2）根据勾股数的定义，证明即可． 【详解】（1）解：根据所提供的几组勾股数的规律发现， 当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数， 设两个连续整数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数， 设两个连续偶数或奇数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 故答案为：和； （2）略 ▌例12-2 （2023·山东济南·三模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是_________ 【答案】①②③ 【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可． 【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，，． ∴． ∴． 故①正确； ∵， ∴． ∴． ∴． 故②正确； ∵，， ∴． 即． ∴． ∴． 故③正确； ∵点A是线段的中点， ∴． 即． ∴． ∴． ∴． 故④不正确； 故答案是①②③． 解题要点 特殊三角形综合探究与压轴题 1.动点问题需结合分类讨论思想，分段分析不同位置下的几何图形特征，常用方程思想列式。 2.面积最值问题常转化为“垂线段最短”或等腰三角形特定位置（如底边上的高最大时）求解。 3.找规律（如勾股数、勾股树增加个数）时，观察图形序号与边长、数量之间的代数关系，总结出通项公式。 ▌迁移练12-1（25-26八年级下·安徽安庆·期末）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第6个图形里的正方形比第4个图形多_______个． 【答案】 【分析】由已知图形得到第n个图形中正方形有个，据此即可求解． 【详解】解：由题意可知：第1个图形中正方形有个， 第2个图形中正方形有个， 第3个图形中正方形有个， 第4个图形中正方形有个， ……， 由此推出第n个图形中正方形有个， ∴第6个图形中正方形有个， ∴第6个图形里的正方形比第4个图形多个． ▌迁移练12-2（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图1，为等腰直角三角形，，动点从出发沿线段向终点运动，连接，以为直角边向右作等腰直角，斜边与交于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，过分别作于点于点．请探究：三条线段之间的数量关系； (3)若，D点在运动过程中，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值． 【分析】（1）先证明，进而根据，即可证明； （2）先证明，根据，证明，得出，，即可得证； （3）根据全等三角形的性质可得，又，则要使最大，只要使最小即可，当时，最小，此时， ，，． 【答案】(1) 证明： 与均为等腰直角三角形 ，， ， 在与中， ； (2)； 理由如下： ， ， ， 又 ， 在 与 中， ， ； （3）解：∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ， ， ， 要使最大，只要使最小即可， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵， 又∵垂线段最短， ∴当时，最小，即最小， 此时，，，， 当时，最大，最大为1． 难点一 共顶点的“手拉手”旋转全等模型 在多个等腰三角形或等边三角形共顶点时，往往隐含着旋转全等关系，是解决线段相等、角度求值或证明位置关系的高级模型，综合性强，容易找不到突破口。 方法总结： ①识别模型：寻找共顶点的两个等腰三角形，顶角相等，且顶角重合； ②构造全等：利用旋转证明对应三角形全等（通常为SAS），得到对应线段相等、对应角相等； ③转化角度：利用“8字模型”或四边形的内角和，将全等后的角转化，求出两条对应线段的夹角（通常等于顶角）。 易错提醒： ①容易忽视“顶角相等”这一前提，导致无法判定全等； ②搞错对应顶点，找错需要证明的全等三角形； ③旋转后的对应边找反，直接导致结论错误。 难点精练 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，等腰三角形和等腰三角形共顶点，，，连接、．利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点在线段上时： ①如图2，若，则的度数为 ，线段与之间的数量关系是 ； ②如图3，若，为中边上的中线，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； (2)①，；② 【分析】（1）利用证明即可得证； （2）①利用证明得出，，然后证明是等边三角形即可求解； ②利用证明得出，然后利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②，理由如下： ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，为中边上的中线， ∴，即， 又，， ∴． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题． 【探究发现】 （1）如图1，在和中，，，，点在上，连接、，且、、三点共线，则图中与线段相等的线段是 ， ． 【初步运用】 （2）如图2，在和中，，，，连接、交于点．找出图中与相等的线段，并证明； 【迁移应用】 （3）如图3，在四边形中，点是四边形内一点，且，，，请计算的值． 【答案】 （1）和， （2）， 证明：在和中，，，， ， 即：， 在和中， ， ， ； （3） 【分析】(1)根据等边对等角、三角形的内角和定理及三角形外角的性质，得到，，证得，于是可得，，进而得到，推出，于是得解； (2)利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得出答案； (3)连接，交于，设、交于，由可得，进而可证得，根据全等三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理可得，然后利用勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：在和中，，，，、、三点共线， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 图中与线段相等的线段是和，， 故答案为：和，； （2） 略 （3）解：如图，连接，交于，设、交于， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： (1)如图，已知，均为等腰直角三角形，，，，点A在边上，且不与点E、D重合，连接，则与的数量关系为　　　　，位置关系为　　　　． (2)将绕点C旋转到如图所示位置，点B在线段上，连，求证：． (3)在绕点C旋转过程中，当A、E、B三点在同一条直线上时，若，，求的长． 【答案】(1)， (2) 证明：连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； (3)的长为8或2 【分析】（1）连接，利用等腰直角三角形的性质证明，推出，； （2）连接，证明，推出，，得到，根据，，推出； （3）当点E在延长线上时，过点C作于F，得到，勾股定理求出，即可得到，利用面积公式计算即可；当点E在延长线上时，过点C作，得到，勾股定理求出，求出即可． 【详解】（1）解：连接，    ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）解：如图：当点E在延长线上时，过点C作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：当点E在延长线上时，过点C作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，的长为8或2． 4．（25-26八年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，连接、． (1)问题发现 小明发现图1就是手拉手模型，易证． ①请你帮助小明证明． ②如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点D、点E在一条直线上，交于点O．小明发现与依然全等．当时，小明利用全等的性质和所学知识很快就求出了．则_____ (2)类比探究 在图2的基础上，当时，如图3．根据上述思路判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) ①证明： ． 在和中， ； ② (2) 解：． 理由：由（1）可知 ． 且 在与中 ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，掌握手拉手全等模型是解题的关键． （1）①根据等式的性质可得出，然后根据证明即可； ②证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，则，根据证明，根据全等三角形的性质得出，然后根据角的和差关系求解即可； （2）由（1）可知，得出，然后根据三角形的内角和定理可求出，即可得证． 【详解】（1）①略 ②解： ，， 是等边三角形， ， 点，D、E在一条直线上， ， ． 在和中， ， ． 故答案为：； （2）略 5．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）【问题情境】它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．这种模型称为“手拉手模型”．如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． (1)【模型探究】如图1，若和均为等边三角形，，，，，点、、在同一条直线上，连接，则__________；线段__________；则的度数为__________； (2)【探究证明】如图2，已知，分别以，为直角边向两侧作等腰直角和等腰直角，其中，，，连接，，线段和交于点．请判断线段和的关系，并说明理由； (3)【模型应用】如图3，在中，，，将线段绕着点逆时针旋转至线段，连接，则求的面积． (4)【拓展提高】如图4，和都是等腰直角三角形，，，的位置不变，将在同一平面内摆放，使得点不变，且，连接，，若，请直接写出的长． 【答案】(1)，， (2) 解：，理由如下： 和均为等腰直角三角形， ，， ，即 在和中， ， ，， 又， 综上，． (3) (4)或 【分析】（1）由可证，可得，，由邻补角的定义可求解； （2）由可证，可得，，由直角三角形的性质可求解； （3）由旋转的性质可得，由可证，可得，，由三角形的面积公式可求解； （4）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，由可证，可得． 【详解】（1）解：和均为等边三角形， ，，， ，即 在和中， ，， 又， ， 故答案为：，，； （2）略 （3）如图所示，作交于点，连接， ， 为等腰直角三角形， ，，， 由旋转的性质可知，，， ，即 ， ，， ， 的面积为， 故答案为：． （4）当点在点上方时，如图，延长交于， ，即 是等腰直角三角形，， ， ， ， 和都是等腰直角三角形，， ，， 即， ， ； 当点在点下方时，如图，延长交于， ，即 是等腰直角三角形，， ，， ， 和都是等腰直角三角形，， ，， 即， ， ， 综上所述：的长为或． 难点二 弦图与面积法等证明勾股定理 勾股定理的证明核心是“数形结合”，利用几何图形的面积割补法证明代数恒等式，此部分学习常因图形变形复杂而难以理清面积关系。 方法总结： ①牢记两种经典拼图：外弦图（四个直角三角形围成一个大正方形）和内弦图（四个直角三角形围成一个小正方形）； ②利用大正方形面积等于小正方形面积加上四个直角三角形的面积，列出等式：； ③利用割补法或等面积法（如梯形面积等于三个三角形面积之和：进行代数式化简，最终得出。 易错提醒： ①拼图中边长a、b、c的位置容易混淆，导致代数式写错； ②在计算面积时，容易漏算或重复计算部分三角形面积； ③忽略了证明过程中最后一步代数化简的严谨性。 难点精练 6．（25-26八年级下·广东东莞·期中）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 7．（25-26八年级下·宁夏固原·阶段检测）动手操作：用4张全等的直角三角形纸片如（图1，两直角边长分别是a，b，斜边长为c），拼成含有正方形的图案如（图2）．拼图时，直角三角形纸片不能互相重叠 (1)【探究】研究发现可利用面积的方法证明勾股定理，在图2中，大正方形的面积可表示为_____________，也可表示为_____________，因此化简可得_____________． (2)【实践】如图①、②、③分别是利用4个全等的直角三角形组合成的新图形，图中间的四边形为正方形，其中图_____________可以证明勾股定理． (3)【应用】将图1中的两个三角形拼成如图3所示的图形，试比较代数式与的大小． (4)【发现】聪聪认真观察图3后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)，， (2)① (3) (4) 证明：图3中梯形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得 ∴． 【分析】（1）利用三角形与正方形面积公式表示出大正方形的面积，再建立等式化简，即可解题；（2）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示大正方形的面积，建立等式化简，即可解题； （3）由得到，再因式分解所给的代数式，即可判断； （4）类比（1）中解题方法，分别用不同的方式表示梯形的面积，建立等式化简，即可解题． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此， 化简可得， 故答案为：，，； （2）图①中大正方形的面积可表示为，也可表示为， 因此可得， 整理得， 故在图①、②、③中，图①可证明勾股定理， 故答案为：①； （3） ， ， ，， ； （4）略 8．（25-26八年级下·湖南郴州·开学考试）阅读理解：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长之间的一个重要结论：． (1)如图1，已知：．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：四个直角三角形全等，且， 正方形的边长为　　　　　， ，且（等面积法）， 　　　　　+　　　　　 ． (2)如图2，四边形是直角梯形，，其中．求证：． (3)将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，求这个风车图案的面积． 【答案】(1)、、 (2) 证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴； (3)97 【分析】（1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴； （2）略 （3）解：解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：． 9．（25-26八年级上·浙江金华·期末）勾股定理是几何学中的明珠，它的证明方法已超过五百种．我国数学家赵爽通过“弦图”证明了勾股定理，它由四个如图1的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示．用它证明勾股定理的思路是用两种求法来表示同一个图形的面积，从而得到等式． (1)在图2中，因为大正方形的面积可以看成四个直角三角形与一个小正方形的面积的和，即_____；也可直接表示为大正方形边长的平方，即_____，所以_____，勾股定理得到了验证． (2)小数同学发现，把两个图1的直角三角形（，）按图3摆放（其中点在上）构造图形，也可以验证勾股定理．请按下列小数同学的思路进行验证． ①求证：． ②用两种方法表示同一图形的面积验证勾股定理． 【答案】(1)，，． (2) ①证明：如图，设交于点 依题意 ∴ ∵ ∴ ∴，即 ②解：∵ ∴， ∵， ∴ 又 ∴ ∴，即． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，完全平方公式与几何图形． （1）根据完全平方公式化简，用大正方形边长求出大正方形的面积，根据面积相等列等式即可； （2）①设交于点，根据全等三角形的性质可得，进而得出即可得证； ②根据两种方法求得四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：图2中，因为大正方形的面积可以看成四个直角三角形与一个小正方形的面积的和，即；也可直接表示为大正方形边长的平方，即，所以，勾股定理得到了验证． 故答案为：，，． （2）①略 ②略 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）勾股定理在几何问题中有着广泛地应用，大约公元222年，中国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中介绍了勾股定理的证明方法．具体用用四个完全一样直角三角形可以拼成图1的大正方形，采用面积法证明． （1）类比证明：伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）于1876年4月1日《新英格兰教育日志》上证明勾股定理．在和中，，易证． 请你用两种不同的方法表示梯形的面积（图2），并证明：； （2）尝试画图：正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． ①画一个三角形，使它的三边长都是有理数；②画一个三边长都为无理数的直角三角形；③画一个钝角三角形，使它的面积为4． （3）拓展应用：如图3，在直线l上依次摆放五个正方形．已知斜放两个正方形的面积分别是2、3，正放三个正方形的面积依次是，，，则______（直接写出答案） 【答案】（1）证明：在和中，， ， ， ， ， ， ， ， 整理，得：； （2）如图、、即为所求； （3）5 【分析】（1）先证，用两种方法表示梯形面积，得出等式整理得到结论； （2）①画三边分别为3，4，5的三角形即可；②画三边长为的三角形；③根据面积画钝角三角形即可； （3）先证，同理，整体代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）如下图：①,即为所求； ②,即为所求； ③，即为所求； （3）解：，理由如下： 如图， ∵图中的四边形均为正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，， ∴． 难点三 利用等面积法探究线段关系 等面积法是一种重要的数学思想，通过利用同一图形的不同面积表达形式来建立线段关系，尤其在探究等边三角形内部点到三边的距离之和时（维维尼亚模型），容易卡壳。 方法总结： ①利用直角三角形两直角边乘积的一半等于斜边乘以斜边上的高（ab=ch）来求线段长度； ②维维尼亚模型：等边三角形内任意一点向三边作垂线，将三角形分割为三个小三角形，大三角形的面积等于三个小三角形面积之和，从而得出“三垂线段之和等于等边三角形的高”； ③遇到最值问题时，利用点到直线的垂线段最短或三角形底边不变，利用面积定值来推导动点轨迹。 易错提醒： ①易忽略垂足在三角形边延长线上的情况（钝角三角形时，点的高在外部）； ②维维尼亚模型只适用于等边三角形内部点，若点在外部，距离等式需要变为“和或差”的关系，容易出错； ③找错底边和对应的高，导致列出的面积等式无意义。 难点精练 11．（25-26八年级下·全国·课后作业）示意图如图①，已知在中，，是边上任意一点，过点分别向，引垂线，垂足分别为，． 【问题解决】 （1）当点在的什么位置时，？请证明． （2）过点作边上的高，试猜想，，的长度之间存在怎样的等量关系？请证明你的结论． 【延伸设问】 （3）如图②，已知等边三角形的高为，为内一点，于点，于点，于点，则_____． 【规律总结】 （4）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和_____一腰上的高． 等边三角形内一点到各边距离之和_____任意一边上的高． 【答案】 （1）点为的中点时，． 证明：点为的中点， ． ， ． ，， ． 在和中， ， ． （2）．证明： 如图①连接． ， ． ， ． （3）7cm （4）等于  等于 【分析】本题考查了等腰三角形与等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，面积法的应用，掌握面积法推导线段关系是解题的关键． （1）点为中点时，，结合得，证明，得； （2）连接，将面积拆分为与的面积和，利用面积公式推导与的关系； （3）连接，将等边面积拆分为三个小三角形面积和，利用三边相等推出等于高； （4）通过前几问的结论，总结等腰和等边三角形中的距离规律． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）如图②，连接，，，过点作边上的高． ， ． 是等边三角形， ， ， ． （4）规律：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高； 等边三角形内一点到各边距离之和等于任意一边上的高． 12．（24-25八年级上·江苏南通·期中）阅读材料：如图1，中，，P为底边上任意一点，点P到两腰的距离分别为，腰上的高为h， (1)连接，则，即：，∴，即之间的数量关系是： ． (2)深入探究 如图2，将“在中，，P为底边上任意一点”改成“P为等边三角形内一点”，作，垂足分别为E、F、M、G，则和之间有怎样的关系？请写出结论并证明；（提示：可连接） (3)理解与应用 如图3，当点P在外时，和之间又有怎样的关系？请写出结论并证明． 【答案】(1) (2) 解：，证明如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3) 解：，证明如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握，是解题的关键．（1）替代，中的即可；（2）连接，利用计算即可；（2）连接，利用计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）略 （3）略 13．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段检测）学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积有两种不同的表示方式”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为等面积法． （1）【学有所用】如图1，在等腰中，，其一腰上的高为，是底边上的任意一点，到腰、的距离、分别为、，小明发现，通过连接，将的面积转化为和的面积之和，建立等量关系，便可证明，请你结合图形来证明：； （2）【尝试提升】如图2，在中，，是边上一点，使，过上一点，作，垂足为点，作，垂足为点，已知，，求的长． （3）【拓展迁移】如图3，在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是2，请直接写出符合题意的点坐标______． 【答案】 （1）证明：连接，由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）6； （3）或 【分析】（1）连接，根据，结合三角形面积公式和即可证明； （2）根据勾股定理可求出，再根据，，，结合（1）所得结论即得出； （3）根据函数解析式可求得，，，从而可得，即为等腰三角形．再根据上的一点M到的距离是，则可分类讨论：当点M在边上时，当点M在延长线上时，分别作出图形，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴在中，， 又∵，，， ∴结合（1）可知； （3）解：对于，令，得：；令，得：， ∴，． 对于，令，得：，则， ∵在中，，， ∴，即为等腰三角形． ∵上的一点M到的距离是，则点M在边上或在延长线上， 当点M在边上时，过点作于点G，作于点H，如图， 由（1）知：， 由题可知：，则， 将，代入，得：， 解得：， ∴； 当点M在延长线上时，过点作于点P，轴于点E，轴于点F，如图， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的纵坐标为， 把代入得，解得：， ∴； 综上分析可知，点M的坐标为或． 故答案为：或． 14．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在锐角中，，P是射线上一点，过点P作，，垂足分别为D，E，过点A作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，若，，求的长． (2)猜想并证明线段，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 解：或者．理由如下： 当点P在线段上时， 由（1）已证得； 当点P在线段的延长线上时， 如图， ， 即． ， ． 综上所述，或者． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据列式化简，可得，代入数据进行计算即可； （2）分类讨论，当点P在线段上时，由（1）已证得；当点P在线段的延长线上时，根据列式化简可得． 【详解】（1）解：，，， ， 即． ， ． ，， ； （2）略 15．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 面积法解题 【原理】如图1，在中，是边上的一点，于点，于点，于点，若，，，连接，则，即，，，即．利用这个面积法公式可以解决有关等腰（或等边）三角形的问题． 【问题1】如图1，在中，，是底边上的一点，，，，垂足分别是，若，则______． 【问题2】如图2，在等边中，是内的一点，，，，，垂足分别为，若，求的值． 解：如图3，连接，则．是等边三角形，．，，，，…… 问题： (1)材料中的问题1中应填______． (2)补充材料中问题2的剩余解答过程． (3)如图4，是等边外的一点，，，，，若，则的值为______． 【答案】(1) (2) 解：如图3，连接，则 ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵ ∴； (3) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积．熟练掌握，是解题的关键． （1）根据，代入数据，即可求解； （2）连接，利用计算即可； （3）连接，利用面积关系得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：依题意， ∵ ∴ 故答案为：． （2）略 （3）解：，理由如下： 连接， 则， ∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， 故答案为：． 难点四 求最短路径问题（将军饮马模型） 将立体图形展开成平面图形，利用轴对称性质转化线段，结合勾股定理求最值，常因找不到正确的对称点和展开方式而致错。 方法总结： ①识别定点和动点，确定动点所在的直线作为对称轴； ②作“同侧”一点关于对称轴的对称点（对称点，再连线）； ③连接对称点与另一个定点，连线与对称轴的交点即为最短路程点（即PA+PB最小时的点P）； ④在构造出的直角三角形中，利用勾股定理求出该线段的长度即为最短路程。 易错提醒： ①分不清是要作谁的对称点，导致作错位置； ②在圆柱或长方体表面上求最短路径时，忽略展开方式不同会导致最短路程不同（需要画出几种展开图对比计算，取最小值）； ③在利用“两点之间线段最短”进行证明时，理不清为什么交叉点是交点时距离最短的逻辑。 难点精练 16．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，一个圆柱体的底面周长为，高为是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点．求这只蚂蚁爬行的最短路程．（精确到） 【答案】这只蚂蚁爬行的最短路程约为 【分析】先将圆柱侧面展开成平面图形，然后由两点之间线段最短得到蚂蚁爬行的最短路程，再根据勾股定理求解，最后按照精确要求取近似值即可得到答案． 【详解】解：如图，将圆柱体侧面展开，是蚂蚁爬行的最短路线． 由圆柱体的底面周长为，可得侧面展开图中长方形的长为， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 答：这只蚂蚁爬行的最短路程约为． 17．（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 【答案】这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和G点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：（1）如图： 由勾股定理得； （2）如图： 由勾股定理得； （3）如图： 由勾股定理得． ∵， ∴这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 18．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，河的两岸有A，B两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥（河的两岸互相平行，垂直于河岸），现测得A，B两点到河岸的距离分别是3米，3米，河宽2米，且A，B两点之间的直线距离为10米，则的最小值是_________米． 【答案】 【分析】将沿着竖直方向平移2米至，连接，则的最小值转化为的长．需先根据两点的直线距离和垂直距离求出水平距离，再在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，将沿着竖直方向平移2米，即平移到，连接，．过点作交延长线于点，连接 ∵将沿着竖直方向平移2米，即平移到， ∴，米，， ∴，即． ∵河的两岸互相平行，垂直于河岸，， ∴与河的两岸平行，垂直于河岸， ∵，两点到河岸的距离分别是3米，3米，河宽2米， ∴，两点在竖直方向上的距离为（米），即（米）， ∴（米）， 在中，米，米，（米）， 在中，（米）， ∴， 即的最小值是米． 19．（25-26八年级上·河南南阳·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图1，将军从地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】 如图2，小明将两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线．作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决． （1）小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____； 【模型应用】 （2）如图3，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，求周长的最小值； 【模型拓展】 （3）如图4，在中，，若，将折叠，使点恰好落在边上的点处，折痕为，点为上一动点，直接写出周长的最小值为_____． 【答案】（1）两点之间，线段最短；（2）10；（3）20 【分析】（1）根据两点之间，线段最短即可求解； （2）根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点和点重合时，的值最小，周长有最小值，求出的长度即可得到结论； （3）由折叠可知，根据的周长，判断出当、、三点共线时，的值最小，最小值为，再求得，，得到，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：小明在说明这个问题的过程中，把在直线同侧的问题转化为在直线两侧，从而可利用“两点之间，线段最短”的问题加以解决， 故答案为：两点之间，线段最短； （2）解：如图所示，直线是边的垂直平分线，直线与交于点， ∴、关于直线对称， ∴当点和点重合时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴周长的最小值为； （3）解：由折叠的性质，得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为， 在中，，， ∴由勾股定理得，， 由折叠可知，， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 20．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从地出发，到一条笔直的河边，饮马，然后到地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将，两地抽象为两个点，将河抽象为一条直线，如图②，小明作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： (1)如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． ∵点B与点关于直线l对称， ∴直线l是的垂直平分线． ∴______，______， ∴______=______． ∵在中，， ∴，即最小． (2)“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线，“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决，小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是______．请你完成上面填空． (3)【模型应用】如图④，在中，直线是边的垂直平分线，点是直线上的动点．若，，，则周长的最小值为______． (4)【模型拓展】如图⑤，在锐角中，，，，点是边上的一动点，点关于直线，的对称点分别是，，连接，则的最小值为______． 【答案】(1)，， (2)两点之间，线段最短 (3) (4) 【分析】本题考查轴对称性质、线段垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，等边三角形的性质与判定，垂线段最短． （1）利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，即可求解； （2）根据两点之间，线段最短即可求解； （3）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． （4）如图，连接，根据轴对称的性质结合题意，进而得出是等边三角形，则，根据垂线段最短，可知当时，取得最小值，进而根据等面积法即可求解． 【详解】（1）解：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，， （2）解：“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把，在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”的问题加以解决． 故答案为：两点之间，线段最短； （3）解：如图，直线与交于点， 直线垂直平分， 、关于直线对称， 当和重合时，的值最小，最小值等于的长， ，， 周长的最小值是． 故答案为：； （4）解：如图，连接， ∵点关于直线，的对称点分别是，， ∴，， ∵ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴当取得最小值时，取得最小值 ∴当时，取得最小值， 又∵，， ∴的最小值为 ∴ 最小值为 故答案为：． 难点五 勾股树模型 以直角三角形三边为边，向外作正方形、等边三角形或半圆等相似图形，利用勾股定理探究其面积关系，计算关系复杂，容易混淆图形对应关系。 方法总结： ①正确结论：斜边上的图形面积等于两条直角边上图形的面积之和，即； ②证明方法：不论是正方形、等边三角形还是半圆，只要图形相似，其面积比都等于对应边长的平方比，提取公因式结合勾股定理即可证明； ③求解月牙形等阴影面积时，需把大图形的面积减去空白区域面积，结合圆的面积公式进行整体代换。 易错提醒： ①混淆了直角边和斜边对应的图形，把斜边对应的图形面积代入计算； ②公式计算中，忘记除以2（如半圆面积公式）导致计算失误； ③构图复杂时，没有注意到拼图里的空白部分和整体图形的包含关系，导致算出的面积不正确。 难点精练 21．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）“勾股树”是基于勾股定理通过无限递归画出的经典分形图形，它由正方形和直角三角形构成．如图，若正方形①、②、③、④的面积分别是2，7，1，3，连接顶点，，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股树的特征，正方形的面积等于其上方两个分支正方形面积之和，由此求出中间两个正方形的面积及边长，过点作交的延长线于点，证明，得到，，再在中，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由勾股树性质可知，正方形面积等于其上方两个小正方形面积之和， ∴为边长的正方形面积为，边长；为边长的正方形面积为，边长； ∵图形由正方形和直角三角形构成， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴中，． 22．（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境： 勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题： (1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______； (2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，． ①求证： ②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______． 【答案】(1)16，5 (2) ①证明：∵正方形和正方形， ，， ， 在和中， ， ． ② 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质及面积，熟练掌握这些知识是解这道题的关键． （1）根据勾股定理知两直角边的平方和等于斜边的平方，在勾股树中就是两较小正方形的面积和等于较大正方形的面积，知道这点关系即可解决此问题； （2）①证和全等，即可得出结论； ②根据正方形，正方形的面积分别为16，9，求出这两个正方形的边长，从而利用勾股定理求出的长度，根据，即可得出结果． 【详解】（1）解：根据勾股定理，得， 正方形E的面积是16， 同理可得， ， 正方形G的边长为5． 故答案为：16，5． （2）①略 ②解：正方形，正方形的面积分别为16，9， ，，， ． 由①可知：． 23．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有， (1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2Sa，根据（2）中的探索，直接回答与有怎样的数量关系； (3)若中，，，求出图4中阴影部分的面积． 【答案】(1)，证明： ， 根据勾股定理可知：， ； (2) (3)24 【分析】（1）由扇形的面积公式可知，，，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＋BC2＝AB2，即S1＋S2＝S3； （2）根据（1）中的求解即可得出答案； （3）利用（2）中的结论进行求解． 【详解】（1）解：略． （2）解：由（1）知，同理根据根据勾股定理：，从而可得； （3）解：由（2）知． 24．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图①，在中，，分别以三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，则不难证明 (1)如图②，在中，，分别以三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用，，表示，那么，，之间的关系是：______（不必证明） (2)如图③，中，，分别以三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用，，表示，请你确定，，之间的关系并加以证明 (3)利用图①的结论，解决下列问题：如图④，中，，，．分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为，，，．则______． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用． （1）根据圆的面积公式及勾股定理得出、、之间的关系即可； （2）利用等边三角形的面积公式及勾股定理即可得证； （3）过作的垂线交于，通过证明的面积，依此即可求解． 【详解】（1）解：如图②，分别以三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，那么， 理由为：在 中，利用勾股定理得：， ， 即， 即． （2）解：如图③，分别以三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用、、表示，、、之间的关系为， 理由为：在 中，利用勾股定理得：， ， ， 即． （3）解：过作的垂线交于， 在中，，，． ∵分别以、、为边在的同侧作正方形、、， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ， ， ， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：4． 25．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段检测）勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾股定理进行探索．如图1，在直角三角形中， ．分别以为边长向外作正方形、正方形和正方形，其面积分别记作． (1)图1中，与之间的数量关系为______，直角三角形的三边之间的数量关系为________． (2)如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键， （1）根据勾股定理与正方形的面积公式即可得到，与之间的数量关系，也从而得到之间的数量关系； （2）根据圆的面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：以为直径的半圆的面积为． 以为直径的半圆的面积为． 以为直径的半圆的面积为． 根据勾股定理得， ∴． ∴以为直径的半圆的面积与以为直径的半圆的面积之和等于以为直径的半圆的面积． 基础达标 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）下面四个图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）下列条件中，可以判定为等腰三角形的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、，，则，无两角相等，不能判定为等腰三角形； 、设，，，则，解得，即得，，，无两角相等，不能判定为等腰三角形； 、，则，两边相等，可以判定为等腰三角形； 、，仅满足勾股定理，无法确定与是否相等，不能判定为等腰三角形； 故选：． 3．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，与相交于点．当时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分情况讨论，当在的上方时，由三角形内角和定理得，由旋转的性质得，，进而根据平行线的性质可得，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，当在的下方时，同理可求得． 【详解】解：如图1，在中，，， ， ∵绕点按逆时针方向旋转后得， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2， ∵， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 4．（25-26八年级上·浙江·阶段检测）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，且，，，，连接，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，先根据全等三角形的性质得，，再根据线段和差得，则，可判定是等边三角形，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，点D，E分别为边上的中点，连结，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半， 根据等腰三角形的性质可得和直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，即可得到结论． 【详解】解：∵，点E为边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D为边上的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（25-26八年级下·浙江台州·期中）我国古代用“弦图”证明勾股定理，其核心是四个全等直角三角形拼接成正方形．如图，四边形为正方形，若直角三角形的斜边为，中间小正方形的面积为，则图中线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直角三角形的较短直角边为，根据小正方形面积得出较长直角边长为，再利用勾股定理列方程求出，进而求出较长直角边长即可求解． 【详解】解：设直角三角形的较短直角边长为， ∵中间小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， ∴直角三角形的较长直角边长为， ∵直角三角形的斜边为， ∴根据勾股定理得，， 整理得，， 解得，(不合题意，舍去)， ∴较长直角边长为， ． 7．（25-26八年级下·浙江·期中）如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为________． 【答案】 【分析】根据面积相等，得到正方形的边长为2，根据图形推出，，结合三线合一，得出，设，，利用三角形面积公式列方程，即可求解． 【详解】解：如图，标记各点， 面积为4的等腰三角形纸片剪成四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形， 正方形的面积为4， 正方形的边长为2， 由图形可知，，，， ，， 等腰三角形， ， 设，， ， ， 解得：或（舍）， ， 即该等腰三角形的底边长为． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知在中，，则的长度是_________． 【答案】或 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质和勾股定理，正确分类求解是关键． 分为两种情况讨论：当为最长边时，当为最长边时，作出辅助线构建直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：当为最长边时，如图，过点作交的延长线于点， ， 在中，，， ， ， ， 在中，， ； 当为最长边时，如图，过点作于点， ， 在中，，， ， ， ， ， ； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）新定义：在直角三角形中，过锐角顶点剪一刀，若剪痕将直角三角形分成一个直角三角形和一个等腰三角形，则称这条剪痕为直角三角形的“斜腰线”． (1)如图1，在中，，请画出的“斜腰线”，并标出被斜腰线分得的两角的度数． (2)如图2，在中，，分别是 和的“斜腰线”，若，，求的长． 【答案】(1) 如图1，线段即为所求， (2) 【分析】（1）如图1：在上取一点D，使得，连接，线段即为所求；再根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及直角三角形两锐角互余； （2）先证明，求出，再利用可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． ∴． （2）解：∵分别是 和的“斜腰线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）小东和小毅在课后复习时，对课本P93“目标与评定”中的一道题，进行了认真地探索．如图，一架2.5米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？ (1)小东顺利完成了此题的解答，请写出他的完整解答过程； (2)看了小东解答后，小毅又有了如下思考：梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？他是这样想的，当时，……请帮助小毅把完整解题过程写下来． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用． （1）根据题意利用勾股定理得出的长度，再根据已知长度得出的长度，紧接着继续利用勾股定理得出的长度，进而求得点B将向外移动的距离； （2）根据全等三角形的性质得到，，进而得出，设米，根据勾股定理列出方程求解x的值，此时当米时，梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 【答案】(1) 解：由题意知，在中，由勾股定理得，（米）， ∵在移动的过程中，为定值，米， ∴（米）， ∴在中，由勾股定理得，（米）， ∴（米）， 即点B将向外移动0.8米． (2) 解：当时，，， ∴，即， 设米，由勾股定理得， ， 解得：，（舍去）， 当米时，即梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 能力进阶 11．下列图案属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：观察四个选项可知，只有选项A中的图形沿一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，选项B，C，D都不满足， 故选项A中的图形是轴对称图形， 故选A． 12．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）中，，边上的中线交于点D，中线分两部分的周长差为2，若，则的长为（    ） A．5 B．8或10 C．12 D．8或12 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，利用三角形中线的定义，表示出两部分的周长，根据周长差为2建立方程求解． 【详解】解：∵ ，为边上的中线， ∴ ， 设， 则的周长为：， 的周长为：， 两部分的周长差为， ∴， 即或， 解得或． ∴ 的长为8或12． 故选：D． 13．（25-26八年级上·浙江台州·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，即可求出答案． 【详解】解：设， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 14．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t等于多少时，是等腰三角形？（） A．3 B．3或6 C．6 D．6或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：①点P在上，②点P在上，然后根据等腰三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：①如图，当点P在上，时，是等腰三角形， ∵，， ∴当时，，解得； ②如图，当P在上时，由，是等腰三角形，得 是等边三角形，则， ∵，， ∴当时，，解得； 综上可得：当或6秒时，是等腰三角形， 故选B． 15．下列命题中原命题和逆命题都为真命题的是（    ） ①全等三角形对应角相等；②等腰三角形的两个底角相等；③直角三角形中有两个锐角；④对顶角相等． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查命题的逆命题、命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．根据逆命题的定义、全等三角形的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的判定、对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：A． 全等三角形对应角相等为真命题；全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等是假命题，故A不符合题意； B． 等腰三角形的两个底角相等为真命题；等腰三角形的两个底角相等的逆命题为两个底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故B符合题意； C． 直角三角形中有两个锐角为真命题；直角三角形中有两个锐角的逆命题为有两个锐角的三角形是直角三角形是假命题，故C不符合题意； D． 对顶角相等为真命题；对顶角相等的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角是对顶角是假命题，故D不符合题意； 故选：B． 16．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如果一个等腰三角形其中一腰上的高与另一腰的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角等于________度． 【答案】或 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当高在三角形内部时（如图， ，则， 即顶角是； 当高在三角形外部时（如图， ，则， 即顶角是． 故答案为：或． 17．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在钝角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为36，J是边上靠近点B的三等分点，，记正方形的面积为，正方形的面积为，当的度数发生变化时，的值为______ ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意可得，，，由，得到，再代入求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为36， ∴， 由题意得，，， ∵， ∴， ∵J是边上靠近点B的三等分点 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，是的角平分线，分别在边上．，连结． 若，则的面积是______________． 【答案】/ 【分析】本题考查角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确的作出辅助线是解决本题的关键． 过作于，由角平分线的性质推出，判定，得到，判定，推出，得到，求出，得到，由勾股定理求出，即可求出的面积． 【详解】解：如图，过作于， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积． 故答案为：． 19．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图1，在中，，，以为边在上方作等边，以为边在右侧作等边，连接． (1)当时，求的长． (2)求证： (3)如图2，点与点C关于直线对称，连结．求的长． 【答案】(1) (2) 证明：，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ； (3)4 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，轴对称的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据勾股定理得出，再由等边三角形的性质即可求解； （2）利用等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质得出，，即可证明； （3）连接，得出，平分，再由等边三角形的判定得出是等边三角形，再利用全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ， 等边， ． （2）略 （3）解：连接， 点与点C关于直线对称， ，平分， 等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ∴，， ∵等边， ∴，， ， ， ． 20．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，是中点，是上一动点，连接，将沿直线折叠得． (1)如图，当点恰好落在线段上时，求证：； (2)如图，在中，，，当点恰好落在线段上时，连接，求的长度； (3)如图，若为直角三角形，，，．连接、、，当与面积相等时，求的面积． 【答案】(1) 由折叠性质可得， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)； (3)． 【分析】（）由折叠性质可得，则，，又是中点，从而可得，则，然后通过三角形外角性质得到，根据平行线的判定即可求证； （）由折叠性质可得，则，证明为等边三角形，所以，又是中点，从而可得，所以，然后求证明为直角三角形，最后通过勾股定理即可求解； （）延长交于点，过点，作于，于，则，又，所以，证明，得，则有，重合，即三点共线，由勾股定理得，设，则在中，，即，解得，再根据即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠性质可得， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 由勾股定理可得，； （3）解：延长交于点，过点，作于，于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，重合，即三点共线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， 则在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $