第06讲 等式性质与不等式性质（八大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高一数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦等式性质与不等式性质核心知识点，系统梳理不等关系的概念及符号表示，比较大小的作差与作商法，等式与不等式的基本性质及应用，构建从实际问题抽象到逻辑推理的学习支架。 资料以现实情境例题（如动车行程、购物预算）引导学生用数学眼光观察生活，通过作差作商推理培养数学思维，用不等式表达不等关系强化数学语言。课中助力教师教学，课后提升练帮助学生查漏补缺。

第06讲 等式性质与不等式性质 【人教A版】 模块二 不等关系 【知识点1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 用不等式表示不等关系】 【例1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【解答过程】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 【变式1-1】（26-27高一上·全国·课堂例题）完成一项装修工程，请木工共需付工资每人元，请瓦工共需付工资每人元，现有工人工资预算元，设木工人，瓦工人，则工人满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，由不等式的描述写出不等关系即可. 【解答过程】由题意可得：请木工需付工资每人元，请瓦工需付工资每人元， 设木工人，瓦工人，可得总的工资为， 又因为现有工人工资预算元，故，化简可得. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【解答过程】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B. 【变式1-3】（2026高一上·广东东莞·专题练习）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解题思路】根据已知写出不等式即可. 【解答过程】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C. 模块三 比较大小 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型2 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例2】（25-26高一上·湖南张家界·期中）已知实数a，b，且，下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用不等式的性质易得A正确；通过举反例可逐一排除B，C，D项. 【解答过程】对于A，由和不等式的性质，可得，，故A符合题意； 对于B，由不能判断的大小，故无法推得成立，例如，满足，但，故B不合题意； 对于C，由也无法推得成立，例如满足，但，故C不合题意； 对于D，由也无法推得成立，例如满足，但，即此时.故D不合题意. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·重庆·期末）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用不等式的性质推理判断即可. 【解答过程】对于A，由，，得，A错误； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，得，而，则，C正确； 对于D，由，得，而，则，D错误. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·广东湛江·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质判断A；作差法判断BCD. 【解答过程】因为，则，所以，A错误； ，所以，B错误； ，所以错误； ，所以，D正确． 故选：D． 【变式2-3】（25-26高一上·陕西安康·期末）若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用不等式的性质计算判断ABC；利用赋值法判断D. 【解答过程】因为，所以，所以，即，故A错误； 因为，由A知，所以，故B正确； 因为，所以，所以，故C错误； 当，可得， ，此时，故D错误. 故选：B. 【题型3 利用作差法比较大小】 【例3】（25-26高一上·江苏徐州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．x，y的大小关系无法确定 【答案】A 【解题思路】利用作差法判断即可. 【解答过程】因为，， 所以， 所以. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·全国·课后作业）若，，其中，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解题思路】利用作差比较大小可得答案. 【解答过程】由题意知， ， 因为，， 所以， 即， 所以， 故. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高一上·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【解题思路】利用作差法求解即可. 【解答过程】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 【变式3-3】（25-26高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）作差法得出差值为负； （2）作差并因式分解得出即可判断正负. 【解答过程】（1）因为 ， 所以； （2）， 因为，， 所以，， 所以， 所以． 【题型4 利用作商法比较大小】 【例4】（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【解答过程】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D. 【变式4-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则___________（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【解题思路】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【解答过程】∵，即. 又， . 故答案为：>. 【变式4-2】（25-26高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 【答案】 【解题思路】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【解答过程】因为，所以，，， 因为，，所以，， 即， 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）； （2）. 【解题思路】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【解答过程】（1）， 所以. （2）由，得，，， 因此， 所以. 【题型5 利用作差法比较代数式大小的应用】 【例5】（25-26高一上·广东梅州·期末）每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（    ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【答案】A 【解题思路】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得. 【解答过程】设两次加油的油价分别为，（，且），乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为：，甲方案的平均油价为：， 因为， 所以，即甲方案更经济． 故选：A. 【变式5-1】（25-26高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【答案】C 【解题思路】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【解答过程】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 【变式5-2】（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 【答案】(1) (2)变好了，理由见解析 【解题思路】（1）根据题意列不等式即可求解， （2）利用作差法即可求解. 【解答过程】（1）设窗户面积为，则地板面积为. 由题意知且，解得. 所以窗户面积至少为. （2）设窗户面积为，地板面积为，增加面积为， ∵，且，∴， 即，所以公寓采光效果变好了. 【变式5-3】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由， ，,由即可得证. 【解答过程】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 根据（1）中的结论，可得， 同向不等式相加可得，①， 又由，同理可得， 则，② 综合①②，得. 模块四 等式性质与不等式性质 【知识点3 等式的基本性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 【知识点4 不等式的性质】 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【题型6 利用不等式的性质判断正误】 【例6】（25-26高一上·内蒙古包头·期末）下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】对A和C，根据条件，通过取特殊值检验，即可判断出正误；对B和D，根据条件，通过作差法，即可判断正误. 【解答过程】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，因为，又，则，所以， 得到，所以B错误， 对于C，取，显然满足，此时， 不满足，所以C错误， 对于D，因为，又，则， 所以，得到，所以D正确， 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质判断即可. 【解答过程】选项A：令，，，，则，，不满足，A错误. 选项B：因为，所以，所以，即，B错误. 选项C：因为，所以，又，所以，即，所以，C正确. 选项D：因为，所以，又，所以，D错误. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高一上·上海·期末）下列命题中的假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】D 【解题思路】利用不等式的性质逐项判断即可. 【解答过程】若，，所以，A为真命题； 若，则，所以，B为真命题； 若，因为，不等式两边同乘得，C为真命题； 若且，当均为负数时，例如，满足， 当时，D为假命题； 故选：D. 【变式6-3】（25-26高一上·上海闵行·期末）已知、、满足，且，那么下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，且得出，根据不等式性质得出. 【解答过程】由题可知， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，可化为， 因为，所以， 又因为，所以 所以C正确； 对于D，设，则，故D错误. 故选：C. 【题型7 利用不等式的性质证明不等式】 【例7】（25-26高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析 【解题思路】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【解答过程】（1）证明：因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）证明：因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 【变式7-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【解答过程】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 【变式7-2】（25-26高一上·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 【答案】(1)不等式为或；证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意写出不等式，作差可证明； （2）由（1）可得不等式，由不等式性质即可证明. 【解答过程】（1）不等式为或； 证明如下： ， 因为， 故，故. （2）证明：由（1）中不等式可知， ， 故， 两边开方得：. 【变式7-3】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论； （2）利用作差比较法得，进而可证结论. 【解答过程】（1）证明：∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）证明：. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 【题型8 利用不等式求值或取值范围】 【例8】（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知实数a，b满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意设，从而求出，从而可得，即可得解. 【解答过程】由题意设， 则，解得，所以， 因为，， 所以，即， 即的取值范围是． 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得出判断. 【解答过程】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C. 【变式8-2】（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）（1）已知实数，满足，求和的取值范围； （2）已知满足，求的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解题思路】（1）先由题得到，再由不等式性质即可得解； （2）由结合不等式性质即可求解. 【解答过程】（1）因为实数，满足， 所以， 所以，； （2）因为， ， 所以. 【变式8-3】（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 【答案】（1），，； （2） 【解题思路】（1）根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可； （2）利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【解答过程】（1）因为，， 所以，，，， 所以，， 所以. 故，，． （2）设， 则，解得， 故， 由得， 由得， 所以. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏无锡·期末）如果，那么下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对AD，当时即可反驳；对B，举反例即可，对C，根据不等式性质即可判断. 【解答过程】对A，当，则，故A错误； 对B，举例，满足，但，故B错误； 对C，因为，则，则，则两边同除以得，故C正确； 对D，当，则，则，故D错误. 故选：C. 2．（25-26高一上·安徽·期末）已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由不等式性质根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】若，则，即充分性成立； 若，则，即，即 ， 所以，即必要性成立. 故选：C. 3．（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质求解计算即可. 【解答过程】，， ，， . 故选：C. 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【解题思路】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【解答过程】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，，， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 故选：C. 5．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是非零实数，且是任意实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】ACD选项举反例说明，B选项根据作差法说明. 【解答过程】对于A，不妨取，此时，即A错误； 对于B，由题意可知，所以，因此，即B正确； 对于C，当时，，可得C错误； 对于D，当时，可得，即D错误． 故选：B. 6．（25-26高一上·湖北·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】举反例即可验证A、B、D错误，利用不等式的性质即可证明选项C，即可求解. 【解答过程】举反例，则，故选项A错误； 举反例，则，故选项B错误； 因为，所以，因为，所以，故选项C正确； 当，则，故选项D错误. 故选：C. 7．（25-26高一上·重庆璧山·期中）在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（    ）更合算. A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【解题思路】由题意，先计算爸爸和妈妈两次买米的平均单价，再用作差法比较大小，即得解. 【解答过程】设第一次买的大米是元/斤，第二次买的大米是元/斤，依题意，， 则爸爸两次买的大米共斤，妈妈两次买的大米共用了元， 设爸爸两次买米的平均单价为元/斤，妈妈两次买米的平均单价为元/斤. 则，， 由，即， 所以爸爸买米的方式更合算. 故选：A. 8．（25-26高一上·广东肇庆·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质，运用特殊值法计算判断选项A，D，运用作差法计算判断选项B，C. 【解答过程】对于A，若，，则，故A错误； 对于B，因为， 若，则，， 所以，即，故B错误； 对于C，因为， 若，则，，， 所以，即，故C正确； 对于D，令，，则，，故D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）下列选项正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【解题思路】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断B选项，利用作差法可判断C选项. 【解答过程】对于A选项，若，则，由不等式的基本性质得，A对； 对于B选项，若，不妨取，，则，B错； 对于C选项，若，，则， 故，C对； 对于D选项，若，，由不等式的基本性质得，D对. 故选：ACD. 10．（25-26高一上·四川成都·期中）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】利用不等式的性质即可判断. 【解答过程】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·湖南常德·期末）如果，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BD 【解题思路】利用举反例来判断AC，利用不等式性质来判断BD. 【解答过程】当时，，此时，故A错误； 当时，，所以，故B正确； 当时，，此时，故C错误； 因为，所以，则由两边同时除以，即可得，故D正确； 故选：BD. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期中）设，，则与的大小关系是__________. 【答案】 【解题思路】利用作差法比较大小即可. 【解答过程】，， 则， 则. 故答案为：. 13．（25-26高一上·湖北·期中）已知实数，满足，，则的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】利用待定系数法进行运算，利用同向不等式可加性求解即可. 【解答过程】令， 则， 因为，， 所以，， 则上两式相加得：， 故答案为：. 14．（25-26高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为___________平方米. 【答案】 【解题思路】根据已知条件列不等式，从而求得正确答案. 【解答过程】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·新疆·期中）比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 【解题思路】（1）采用作差法可直接得到结果； （2）采用作差法，讨论大小关系即可得到结果. 【解答过程】（1）， . （2）， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 16．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解答过程】（1）证明：由，则， 故， 由，则，故， 所以，得证. （2）证明：由， 而， 所以，即，得证. 17．（25-26高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 【答案】(1) (2)变好了，理由见解析 【解题思路】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果； （2）利用作差法计算比较出大小，可得结论. 【解答过程】（1）因为，所以， 解得， 所以这所住宅的窗洞口面积的范围为， （2）由题意得，， 原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为， 则 ， 因为，，所以.，， 所以，即， 所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了. 18．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【解答过程】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 19．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【答案】(1)；证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意分析可得，其中，，并利用作差法分析证明. （2）利用糖水不等式，结合不等式的性质推理可得. 【解答过程】（1）)；证明： 利用作差法证明 ， ，， ， 所以，不等式成立. （2）证明：因为为三角形的三边长，所以 由（1）知， ， ， 将上述三个不等式相加可得： ， 所以. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 等式性质与不等式性质 【人教A版】 模块二 不等关系 【知识点1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【题型1 用不等式表示不等关系】 【例1】（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27高一上·全国·课堂例题）完成一项装修工程，请木工共需付工资每人元，请瓦工共需付工资每人元，现有工人工资预算元，设木工人，瓦工人，则工人满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026高一上·广东东莞·专题练习）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 模块三 比较大小 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【题型2 由不等式的性质比较数（式）大小】 【例2】（25-26高一上·湖南张家界·期中）已知实数a，b，且，下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·重庆·期末）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·广东湛江·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·陕西安康·期末）若，，，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用作差法比较大小】 【例3】（25-26高一上·江苏徐州·期中）若，，则（   ） A． B． C． D．x，y的大小关系无法确定 【变式3-1】（25-26高一上·全国·课后作业）若，，其中，则的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【变式3-2】（25-26高一上·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【变式3-3】（25-26高一上·云南玉溪·期中）（1）比较与的大小． （2）已知，，比较与的大小． 【题型4 利用作商法比较大小】 【例4】（2026高三·上海·专题练习）设，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则___________（填入“＞”或“＜”）． 【变式4-2】（25-26高二上·江西九江·阶段检测）若，则、、、中最小的是__________. 【变式4-3】（25-26高一上·重庆·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）设，比较与的大小. 【题型5 利用作差法比较代数式大小的应用】 【例5】（25-26高一上·广东梅州·期末）每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（    ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【变式5-1】（25-26高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（    ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【变式5-2】（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米? (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了?并说明理由. 【变式5-3】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 模块四 等式性质与不等式性质 【知识点3 等式的基本性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 【知识点4 不等式的性质】 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【题型6 利用不等式的性质判断正误】 【例6】（25-26高一上·内蒙古包头·期末）下列不等式中成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6-1】（25-26高一上·四川攀枝花·期末）已知，，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·上海·期末）下列命题中的假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【变式6-3】（25-26高一上·上海闵行·期末）已知、、满足，且，那么下列各式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型7 利用不等式的性质证明不等式】 【例7】（25-26高一上·上海·课堂例题）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【变式7-1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【变式7-2】（25-26高一上·山东·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． (1)请将这一事实表示为一个不等式（用，，表示）并证明； (2)求证：． 【变式7-3】（25-26高一上·河北保定·阶段检测）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【题型8 利用不等式求值或取值范围】 【例8】（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知实数a，b满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）（1）已知实数，满足，求和的取值范围； （2）已知满足，求的取值范围. 【变式8-3】（25-26高一上·湖北随州·阶段检测）（1）设，，求，，的范围. （2）已知，求的取值范围. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏无锡·期末）如果，那么下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽·期末）已知为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·陕西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 5．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知是非零实数，且是任意实数，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·湖北·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 7．（25-26高一上·重庆璧山·期中）在生活中大家都有到超市购物的情况，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈每次买大米的习惯有所不同.爸爸每次都买50块钱的，而妈妈则每次都买10斤.这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈各买了两次大米，两次大米的价格是不一样的，我们规定谁的平均单价低谁就合算，则（    ）更合算. A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 8．（25-26高一上·广东肇庆·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 9．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）下列选项正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．（25-26高一上·四川成都·期中）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·湖南常德·期末）如果，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期中）设，，则与的大小关系是__________. 13．（25-26高一上·湖北·期中）已知实数，满足，，则的取值范围为__________. 14．（25-26高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为___________平方米. 四、解答题 15．（25-26高一上·新疆·期中）比较下列各组中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 16．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 17．（25-26高一上·山西晋中·期末）为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b. (1)若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围； (2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由. 18．（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 19．（25-26高一上·上海·期中）假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． (1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； (2)利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $