第04讲 充分条件与必要条件（九大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高一数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦充分条件与必要条件核心内容，以命题的定义、分类及形式为基础，系统梳理充分条件、必要条件的推出关系与判定，进而延伸至充要条件的定义及综合应用，构建递进式学习支架。 资料通过各地期中期末真题构建例题与变式体系，以几何图形、方程问题等实例培养学生数学思维与推理意识，课中助力教师系统教学，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第04讲 充分条件与必要条件 【人教A版】 模块二 命题 【知识点1 命题及相关概念】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【题型1 命题及其真假判断】 【例1】（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【解题思路】对于选项A，将集合的子集一一列出，即可判断A错误；对于选项B，根据梯形的性质即可判断B错误；对于选项C，取特值，即可判断C错误；对于选项D，取特值，即可判断D正确. 【解答过程】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【答案】C 【解题思路】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可. 【解答过程】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A，命题为真命题，命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题，命题为假命题，故B错； 对C，命题为真命题，命题为假命题，故C对； 对D，命题为真命题，命题为假命题，故D错. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 【答案】(1)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等；假命题 (2)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；真命题 (3)若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数；假命题 【解题思路】（1）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据绝对值的知识判断命题的真假. （2）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据矩形的知识判断命题的真假. （3）先将命题改写为“若p，则q”的形式，然后根据无理数的知识判断命题的真假. 【解答过程】（1）命题：绝对值相等的数也相等， 改写为：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等. 命题是假命题，比如和，两个数的绝对值都是，但是这两个数不相等. （2）命题：矩形的对角线相等， 改写为：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等. 命题是真命题，因为矩形的对角线是相等的. （3）命题：两个无理数的和是无理数， 改写为：若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数. 命题是假命题，如和都是无理数，但这两个数的和为是有理数. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【答案】(1)不是命题； (2)是命题，真命题； (3)不是命题； (4)是命题；真命题； (5)是命题，假命题； (6)不是命题. 【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【解答过程】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 模块三 充分条件与必要条件 【知识点2 充分条件与必要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 【题型2 充分条件】 【例2】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据充分条件的定义，逐一判断能否推出，即可得解. 【解答过程】对于（1），对角线相等的四边形不一定是正方形，例如长方形，所以； 对于（2），由全等三角形对应边相等，可知全等的直角三角形斜边一定相等，所以； 对于（3），时，，不是只有，所以； 对于（4），时，，不是只有，所以； 对于（5），根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，所以. 因此，只有（2）和（5）满足是的充分条件，共2个. 故选：B. 【变式2-1】（26-27高一上·全国·课后作业）下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】C 【解题思路】根据菱形、矩形、平行四边形的性质特征，结合充分条件的定义及正方形的性质判断命题间的关系. 【解答过程】根据正方形的判定及菱形、矩形、平行四边形的性质，知A，B，D中描述的四边形均为正方形，是“四边形是正方形”的充分条件， 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C不是“四边形是正方形”的充分条件. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·四川凉山·阶段检测）若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先解出的取值，再根据充分条件确定m的取值. 【解答过程】，则， 因为“”是“或”的充分条件， 所以，解得， 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【答案】D 【解题思路】根据充分条件的定义，结合方程的根、不等式的性质、一元二次方程的根、三角形的边角关系逐项判断即可. 【解答过程】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是不充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 【题型3 必要条件】 【例3】（25-26高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【解题思路】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【解答过程】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）下列“若, 则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ）个 ① 若是偶数, 则是偶数 ②若，则方程有实根 ③若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形 ④若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】根据必要条件的概念找出符合要求的选项即可. 【解答过程】对于①，是偶数，不能保证，均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意； 对于②，若方程，则需满足，即，可推出，故②符合题意； 对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意； 对于④，若，则，故④符合题意. 故选：D. 【变式3-2】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等； (2)若是直角三角形，则是等腰三角形； (3)若，则； (4)若关于的方程（）有唯一解，则. 【答案】(1)是的必要条件 (2)不是的必要条件 (3)是的必要条件 (4)不是的必要条件 【解题思路】根据必要条件的定义判断即可. 【解答过程】（1）：一个四边形是等腰梯形；：这个四边形两条对角线相等. 由等腰梯形的性质可知，等腰梯形的对角线相等，所以，故是的必要条件. （2）：是直角三角形；：是等腰三角形. 如三边长为3，4，5的三角形为直角三角形，但不是等腰三角形， 所以，故不是的必要条件. （3）：；：. 由，得且，所以，即，故是的必要条件. （4）：关于的方程（）有唯一解；：. 如有唯一解，但，所以，故不是的必要条件. 【变式3-3】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线相等； (2)若，则的余角是； (3)若有三条线段长分别为3 cm、4 cm和9 cm，则这三条线段能组成三角形； (4)若a和b都是偶数，则是偶数． 【答案】(1)q是p的必要条件 (2)q是p的必要条件 (3)q不是p的必要条件 (4)q是p的必要条件 【解题思路】根据必要条件的定义，逐一判断即可. 【解答过程】（1）根据全等三角形的性质，全等三角形对应边上的中线一定相等，故该命题是真命题， 则，所以q是p的必要条件． （2）因为，所以的余角为， ，所以q是p的必要条件． （3）因为，所以长分别为3 cm、4 cm和9 cm的三条线段不能组成三角形， 所以由得不到，所以q不是p的必要条件． （4）两个偶数相乘仍是偶数， 所以，所以q是p的必要条件． 模块四 充要条件 【知识点3 充要条件】 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 【知识点4 充分条件与必要条件的判定】 1．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件. 2．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 3．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例4】（25-26高一上·河北邢台·期末）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据充分性、必要性的概念求解即可. 【解答过程】若，则由可得， 所以由“”可以推出“”， 由“”不一定有“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【解答过程】由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城， 但到过长城未必是好汉， 因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件． 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【解题思路】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. 【解答过程】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 【变式4-3】（26-27高一上·全国·单元测试）下列各组中，是的什么条件？ (1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形； (2)：与全等，：与的周长相等； (3)：x是2的倍数，：x是6的倍数； (4)：集合，，，：集合； (5)：，：． 【答案】(1)是的必要不充分条件； (2)是的充分不必要条件； (3)是的必要不充分条件； (4)是的充要条件； (5)是的必要不充分条件. 【解题思路】（1）举出菱形则正向无法推出，根据正方形性质可知反向可以推出，则得到与的关系； （2）根据全等的定义则得到正向可以推出，反向无法推出，则得到与的关系； （3）根据数的性质即可判断出与的关系； （4）根据集合之间的关系和充要条件的判断即可得到答案； （5）根据交集含义即可判断出与的关系. 【解答过程】（1）若四边形的四条边等长，四边形不一定是正方形，如菱形； 反之，若四边形是正方形，则其四条边等长，故是的必要不充分条件； （2）若与全等，则与的周长相等， 反之，若与的周长相等，两个三角形不一定全等； 故是的充分不必要条件； （3）若是2的倍数，则不一定是6的倍数，如； 反之，若是6的倍数，则一定是2的倍数，故是的必要不充分条件； （4）若，则，又由，则， 同理可得：，则有； 反之，若，一定有，，故是的充要条件； （5）当且时，有，但与不一定相等， 反之，若，一定有，故是的必要不充分条件. 【题型5 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【例5】（25-26高一上·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据充分不必要条件的定义判断即可. 【解答过程】A选项，时，一定推出， 反之若时，例如，无法推出， 故是的充分不必要条件，A选项正确； B选项，显然是的充要条件，B选项不正确； C选项，若，取，则不满足，充分性不成立，C选项错误； D选项，若，取，类似C的分析可知充分性不成立，D选项错误. 故选：A. 【变式5-1】（25-26高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，所以，即， 当时，取，则， 所以“”是“”的一个充分不必要条件，故A正确； 对于B，即，“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，由，取，则， 由，取，则， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：A． 【变式5-2】（25-26高一上·江苏南京·期中）设，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A．都为0 B．都不为0 C．中至多有一个是1 D．都不为1 【答案】C 【解题思路】根据题中的条件进行举例，再利用充分必要条件定义进行判断即可. 【解答过程】 ，，即且， 对于A选项，若都为0，则，满足； 但当时，不一定都为0，比如时，， 所以“都为0”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B选项，若都不为0，比如，则，不满足， 而时，也可能为， 所以“都不为0”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C选项，由“”即且能推出“中至多有一个是1”， 当“中至多有一个是1”时，比如，此时，不满足， 所以由“中至多有一个是1”不能推出“”， 因此“中至多有一个是1”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D选项，“都不为1”就是“”的等价条件， 所以“都不为1”是“”的充要条件，故D错误. 故选：C. 【变式5-3】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）“”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求不等式的解集，根据集合的包含关系确定“”的必要不充分条件. 【解答过程】由 . 所以不等式的解集为. 因为，所以“”是“”的充要条件； 因为与集合不存在包含关系，所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 因为⫋，所以：“”是“”的必要不充分条件； 因为⫋，所以“” 是“”的充分不必要条件. 故选：C. 【题型6 由充分条件、必要条件求参数】 【例6】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【解答过程】因为q的一个充分不必要条件是p， 则是的真子集， ∴， 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，根据题意，转化为集合是的真子集，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】由命题， 设， 因为，可得集合不是空集， 又因为是的必要不充分条件，所以集合是的真子集， 则满足且等号不能同时成立，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知命题，命题， (1)若是的充分非必要条件，求实数的取值范围; (2)若是的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设，由题设推得是的真子集，即得不等式组，解之即得； （2）由题设推得是的真子集，即得不等式组，解之即得. 【解答过程】（1）设， 由题意可知是的真子集，，即， 则或，解得，又， 故实数的取值范围是； （2）由题意可知是的真子集， 则或，解得， 故实数的取值范围是. 【变式6-3】（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）当时，得到，结合并集的概念，即可求解； （2）根据题意，转化为是的真子集，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为是的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）解：当时，或， 所以. （2）解：因为是的必要不充分条件，可得是的真子集， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. （3）解：因为是的充分不充分条件，可得是的真子集， ①当时，即时，此时，符合题意； ②当时，即时，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【题型7 根据充要条件求参数】 【例7】（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【解题思路】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【解答过程】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 【变式7-1】（25-26高一上·贵州黔西南·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【解答过程】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解； （2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解. 【解答过程】（1）因为是的充要条件， 所以， 解得. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 即，解得， 所以的取值范围. 【变式7-3】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【解题思路】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【解答过程】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 【题型8 充要条件的证明】 【例8】（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【解题思路】分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 【变式8-1】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】答案见解析 【解题思路】直接根据立方和公式因式分解即可得证. 【解答过程】 ， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． 【变式8-2】（25-26高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【答案】证明见解析 【解题思路】根据充要条件的定义分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】证明：充分性： 若，则， 即充分性成立； 必要性： 若，而， 则，又， 由，得且，即，且， 因此，则，即必要性成立， 所以成立的充要条件是. 【变式8-3】（2026高一·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【解题思路】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【解答过程】证明：必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【题型9 充分条件、必要条件与集合交汇】 【例9】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【解题思路】（1）当时，求出集合B的取值范围； （2）根据题意得到集合B是集合A的真子集，分类和两种情况讨论即可. 【解答过程】（1）当时，， 因为，所以或，. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合B是集合A的真子集，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式9-1】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由元素在集合中得不等式组，解不等式即可求参数的范围； （2）当时，先求出和两种情况下取值，再求其补集可得； （3）先由题意得到是的真子集，再分和两种情况，当时利用集合的包含关系解不等式组可得. 【解答过程】（1）因为， 所以，解得， 所以实数m的取值范围. （2）若时， 当时，即，可得； 当时，需满足或， 解得（舍）或，即， 所以时可取其补集为. （3）若是的充分不必要条件，所以到是的真子集， 当时，由（2）可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得， 又，所以. 综上，实数m的取值范围为. 【变式9-2】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，且，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数m，使“”是“”的必要不充分条件?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【解题思路】（1）由集合交集运算可得，根据集合的包含关系并讨论是否为空集，列不等式组求参数范围； （2）由题意是真子集，列不等式组求参数m范围． 【解答过程】（1）对于，等价于或，解得或， 所以或， 且，可得， 若，则有： ①当时，，即 ，满足 ②当时，，解得， 综上所述：a的范围是. （2）由（1）得， 若“”是“”的必要不充分条件，可知是真子集， 因为，即集合， 可得，且等号不同时成立，解得． 故存在实数m满足条件，且 m的范围是：. 【变式9-3】（25-26高一上·福建福州·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2)任选①②③，的取值范围为 【解题思路】（1）由集合的交并补混合运算求解即可； （2）选①，由题意得到是的真子集，再分集合是否为空集讨论即可；选②，因为，所以，再分集合是否为空集讨论即可；选③，，所以，再分集合是否为空集讨论即可； 【解答过程】（1）当时，，又， ∴， 又或 ， ∴或； （2）选①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 若，则，解得； 若，则且等号不能同时成立，解得， 综上，或，即的取值范围为 选②，因为，所以，下同选①. 选③，，所以，下同选①. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）“”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用充分条件和必要条件的概念进行求解. 【解答过程】对于A选项，若，不一定有， 而，则一定有， 所以是的必要不充分条件，A选项错误； 对于B选项，若，则一定有， 反之，若，也一定有， 所以是的充要条件，B选项错误； 对于C选项，若，则不一定有， 但时，一定有， 所以是的必要不充分条件，C选项错误； 对于D选项，若，则一定有， 但当时，不一定有， 所以是的充分不必要条件，D选项正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【解题思路】一一判断各命题的真假即可. 【解答过程】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确. 故选：D. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据充分不必要条件的定义结合选项逐项判断. 【解答过程】对于选项A，当时，满足，但命题不成立； 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，A错误； 对于选项C，D，当时，满足，，但命题不成立. 即由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 由不能推出命题：“，中至少有一个数大于”成立， 所以不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，C错误； 不是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分条件，D错误； 对于选项B，当时，若，都小于等于，则，与矛盾， 所以由可推出命题“，中至少有一个数大于”成立， 若命题“，中至少有一个数大于”成立， 例如，此时，此时不成立， 故由命题“，中至少有一个数大于”成立不能推出， 所以是命题“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件. 故选：B. 4．（25-26高一下·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用集合的包含关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【解答过程】若，可得，但集合不一定等于全集，所以充分性不成立； 例如：设全集，集合， 此时满足，但集合不是集合的子集，所以必要性不成立， 综上可得，是的既非充分也非必要条件. 故选：D. 5．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义，结合集合的包含关系列不等式求解即可. 【解答过程】依题意，，，由p是q的必要不充分条件，得是的真子集， 则，解得，所以实数a的可能取值为0. 故选：C. 6．（25-26高一上·上海·期末）已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【解题思路】结合充分条件和必要条件定义判断结论. 【解答过程】是奇数都是奇数， 所以能推出，但推不出， 所以是的充分非必要条件， 故选：A. 7．（25-26高一上·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 【答案】A 【解题思路】由必要不充分条件的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为 ，所以或， 即由不能推出，但由能推出， 所以是的必要不充分条件，故A正确； 对于B，由等式的性质可知由能推出，由能推出， 不满足是的必要不充分条件，故B不正确； 对于C，因为，所以， ，则，或， 即由能推出，但由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故C不正确； 对于D，因为长方形的对角线互相平分，但不一定垂直， 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而菱形不一定是长方形， 即由不能推出，由不能推出， 不满足是的必要不充分条件，故D不正确. 故选：A. 8．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【解答过程】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高一上·陕西汉中·期中）下面命题正确的是（    ） A．，则是的充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．设，则“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解题思路】根据条件间的推出关系逐一判断即可. 【解答过程】A：因，故A正确； B：由，得，所以成立； 由，得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确： C：由且，得，则，故成立； 但时，如，此时“且”不成立，故C错误： D：当，时，不成立；但，一定有， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 故选：ABD. 10．（25-26高一上·贵州遵义·期末）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】根据题意结合包含关系分析充分、必要，进而逐项分析判断. 【解答过程】因为集合和均是集合的真子集， 可知和均是的充分不必要条件，故BD正确； 又因为集合是集合的真子集， 可知是的必要不充分条件，故A错误； 且集合与集合之间不存在包含关系， 所以是的既不充分也不必要条件，故C错误； 故选：BD. 11．（25-26高一上·四川德阳·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．已知，，则“”是“”的必要不充分条件 B．“是方程的一个实数根”的充要条件是“” C．“”是“”的必要不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解题思路】利用充分条件与必要条件的判断方法，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，若，显然有，但得不到，即推不出， 若，则，即，所以可以推出，故A正确， 对于B，若是方程的一个实数根，则，即， 若，由，得到，即， 当时，，当时，或， 所以可以推出是方程的一个实数根， 则“是方程的一个实数根”是“”的充要条件，故B正确， 对于C，若，则，又由，得到或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C不正确， 对于D，若，时，，所以推不出，若，则必有且， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】根据必要条件的定义进行求解即可. 【解答过程】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（25-26高一上·上海·随堂练习）一个四边形是平行四边形，一个四边形是正方形，则是的________条件.（填“充分非必要”“必要非充分”或“既非充分又非必要”） 【答案】充分非必要 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】由一个四边形是平行四边形不一定是正方形，故由推不出， 即不是的必要条件； 由一个四边形是正方形一定能得到这个四边形是平行四边形，故由推得出， 故是的充分条件， 所以是充分非必要条件. 故答案为：充分非必要. 14．（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】根据方程的根可得命题：，分析可知集合是集合的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【解答过程】对于命题：“方程至少有一个解”， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得且； 综上所述：. 若的一个必要不充分条件为“”， 可知集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（26-27高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若，则； (2)若为无理数，则为无理数； (3)若，则； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (5)若，则. 【答案】(1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充分不必要条件 (4)充分不必要条件 (5)既不充分也不必要条件 【解题思路】根据充分条件、必要条件的定义，逐项判断即可. 【解答过程】（1）若，则；反之，当时，或，因此是的充分不必要条件. （2）若是无理数，则不一定是无理数，如是无理数，而是有理数； 反之，若为无理数，则为无理数，因此是的必要不充分条件. （3）若，则；反之，若，则或，因此是的充分不必要条件. （4）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；反之，两个三角形的面积相等，这两个三角形不一定全等， 因此是的充分不必要条件. （5）若，，则；若，则，因此是的既不充分也不必要条件. 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用并集和补集运算即可； （2）利用充分条件转化为子集关系，再结合分类讨论即可求解. 【解答过程】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 17．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)是的必要不充分条件 (2) 【解题思路】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即可； （2）根据题意得集合包含关系，进一步列不等式即可求解参数范围. 【解答过程】（1）若，则，而， 又因为，且不能推出， 所以是的必要不充分条件； （2）， 若是的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 所以的取值范围是. 18．（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用集合包含关系得到两个不等式：左端点满足，右端点满足，再结合集合非空条件，联立解得的范围. （2）由得两个不等式：且，结合解得，然后检查在此范围内是否成立. 【解答过程】（1）由题意，是的充分条件，所以， 即且，且， 解得且，取交集得， 故实数的取值范围为. （2）若是的必要不充分条件，则且， 由得 结合，解得， 此时的右端点，所以，即成立， 因此存在实数，其取值范围为. 19．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【解题思路】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案； （3）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）时，，故或， ， 故或 ； （2）， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； （3）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 充分条件与必要条件 【人教A版】 模块二 命题 【知识点1 命题及相关概念】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【题型1 命题及其真假判断】 【例1】（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【变式1-1】（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【变式1-2】（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 模块三 充分条件与必要条件 【知识点2 充分条件与必要条件】 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 【题型2 充分条件】 【例2】（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（    ） （1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形； （2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等； （3）：，：； （4）：，：； （5）：同位角相等，：两条直线平行； A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】（26-27高一上·全国·课后作业）下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【变式2-2】（25-26高一上·四川凉山·阶段检测）若“”是“或”的充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【题型3 必要条件】 【例3】（25-26高一上·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【变式3-1】（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）下列“若, 则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ）个 ① 若是偶数, 则是偶数 ②若，则方程有实根 ③若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形 ④若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？ (1)若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形两条对角线相等； (2)若是直角三角形，则是等腰三角形； (3)若，则； (4)若关于的方程（）有唯一解，则. 【变式3-3】（26-27高一上·全国·课堂例题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ (1)若两个三角形全等，则这两个三角形对应边上的中线相等； (2)若，则的余角是； (3)若有三条线段长分别为3 cm、4 cm和9 cm，则这三条线段能组成三角形； (4)若a和b都是偶数，则是偶数． 模块四 充要条件 【知识点3 充要条件】 1．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 【知识点4 充分条件与必要条件的判定】 1．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果且，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且，则称p是q的充分不必要条件. (4)如果且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件. 2．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 3．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例4】（25-26高一上·河北邢台·期末）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-1】（25-26高一上·河南南阳·阶段检测）毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】（25-26高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【变式4-3】（26-27高一上·全国·单元测试）下列各组中，是的什么条件？ (1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形； (2)：与全等，：与的周长相等； (3)：x是2的倍数，：x是6的倍数； (4)：集合，，，：集合； (5)：，：． 【题型5 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【例5】（25-26高一上·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一下·广东揭阳·期末）若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·江苏南京·期中）设，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A．都为0 B．都不为0 C．中至多有一个是1 D．都不为1 【变式5-3】（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）“”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【题型6 由充分条件、必要条件求参数】 【例6】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·广东深圳·阶段检测）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知命题，命题， (1)若是的充分非必要条件，求实数的取值范围; (2)若是的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【变式6-3】（25-26高一上·浙江温州·阶段检测）已知集合或，或. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； (3)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【题型7 根据充要条件求参数】 【例7】（25-26高一上·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式7-1】（25-26高一上·贵州黔西南·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【变式7-3】（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【题型8 充要条件的证明】 【例8】（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【变式8-1】（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【变式8-2】（25-26高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，求证：成立的充要条件是．提示： 【变式8-3】（2026高一·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【题型9 充分条件、必要条件与集合交汇】 【例9】（25-26高一上·广东深圳·期末）已知集合. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【变式9-1】（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【变式9-2】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，且，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数m，使“”是“”的必要不充分条件?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【变式9-3】（25-26高一上·福建福州·期中）已知集合，. (1)当时，求，； (2)从①“”是“”的充分不必要条件；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. 问题：若_______，求实数的取值范围. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）“”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 3．（26-27高一上·全国·课后作业）设，是两个实数，命题：“，中至少有一个数大于”成立的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·上海闵行·期中）设集合、是全集的两个子集，则是的（    ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 5．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）若是的必要不充分条件，则实数a的可能取值为（   ） A．2 B．3 C．0 D．4 6．（25-26高一上·上海·期末）已知是非零自然数，命题是奇数，命题与中至少有一个是奇数，则是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 7．（25-26高一上·广东汕尾·期末）下列各选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D．：四边形是长方形，：四边形的对角线互相垂直且平分 8．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·陕西汉中·期中）下面命题正确的是（    ） A．，则是的充分条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．设，则“且”是“”的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 10．（25-26高一上·贵州遵义·期末）“”的一个充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·四川德阳·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．已知，，则“”是“”的必要不充分条件 B．“是方程的一个实数根”的充要条件是“” C．“”是“”的必要不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________. 13．（25-26高一上·上海·随堂练习）一个四边形是平行四边形，一个四边形是正方形，则是的________条件.（填“充分非必要”“必要非充分”或“既非充分又非必要”） 14．（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 15．（26-27高一上·全国·课后作业）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件) (1)若，则； (2)若为无理数，则为无理数； (3)若，则； (4)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； (5)若，则. 16．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 17．（25-26高一上·云南大理·阶段检测）已知，． (1)若，那么是的什么条件； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·重庆铜梁·阶段检测）已知集合，非空集合. (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 19．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $