2.2 基本不等式 讲义 --2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“基本不等式”核心知识点，系统归纳重要不等式（a²+b²≥2ab）与基本不等式（√(ab)≤(a+b)/2）的内容、等号条件及算术几何平均数概念，梳理最值条件“一正二定三相等”及直接法、配凑法等求最值方法，通过12个考向覆盖比较大小、证明、实际应用等题型，构建从基础到应用的学习支架。 该资料亮点在于考向分类细致，包含对勾函数、“1”的妙用等特色题型，结合水产养殖造价等实际问题培养数学眼光，通过规范解题步骤提升数学思维（推理与运算能力）。课中辅助教师系统授课，课后例题与练习助力学生查漏补缺，强化知识应用。

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 2.2基本不等式 知识归纳与题型总结 考点01 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 考点02 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 注：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 考向01 由基本不等式比较大小 【例1】若，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，当时，不成立，故A错误， 对于B，，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，当时，不成立，故C错误， 对于D，当时，不成立，故D错误. 考向02 由基本不等式证明不等关系 【例2】已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法判断即可. 【详解】对于A，因为，，所以，当且仅当时等号成立. 所以，当时，，A错误. 对于B，如，，，此时不成立，B错误. 对于C，因为，，所以，当且仅当时等号成立. 又，所以，C正确. 对于D，如，，，此时不成立，D错误. 考向03 基本不等式求积的最大值 【例3】（多选）已知正数，满足，则下列选项正确的是（     ） A．的最小值是4 B．的最小值是1 C．的最小值是1 D．的最大值是 【答案】AD 【分析】利用基本不等式和二次函数的图象与性质，逐一分析选项，即可得出答案． 【详解】由题知，，. 对于选项A，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是，故A正确； 对于B，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值是，故B错误； 对于C，由，得，即， 所以， 所以当时，取得最小值是，故C错误； 对于D，由C知，，， 所以， 所以当时，取得最大值是，故D正确. 考向04 基本不等式求和的最小值 【例4】已知正数，满足，则的最小值是______. 【答案】 【详解】由题意知，， 所以，当且仅当时，等号成立. 故的最小值是. 考向05 二次与二次（或一次）的商式的最值 【例5】若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 考向06 条件等式求最值 【例6】已知，且，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为. 考向07 基本不等式的恒成立问题 【例7】回答下列问题 (1)若，求的最小值 (2)已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形代数式，应用基本不等式求最值，验证等号成立的条件； （2）首先换元，利用的代换结合基本不等式求最值，然后求解恒成立问题. 【详解】（1）因为，， ， 当且仅当，得时等号成立， 故最小值为. （2）令，， ，所以， ，， 即，可得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，的最小值为， 若恒成立，则， 即的取值范围为. 考向08 对勾函数求最值 【例8】（多选）下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及对勾函数的单调性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由，且，可得， 则，即， 解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由，令， 因为在上单调递增，所以最小值为，所以C错误； 对于D，由，令，则， 因为在单调递增，所以最小值为，所以D正确． 考向09 基本不等式的实际应用 【例9】某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示．如果网箱四周网衣(图中实线部分)建造单价为每米112元，筛网(图中虚线部分)的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计．把建造网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价． 【答案】y＝320×＋16 000，最小值为26 240元 【分析】设网箱长为米，则宽为米，分别表示网衣、筛网、底面的造价，得到总造价关于的函数，再利用基本不等式求最小值. 【详解】设网箱长为米，则宽为米. 网衣（实线）造价：；筛网（虚线，3条平行于宽、1条平行于长）造价：；底面造价：. 所以. 由基本不等式，，当且仅当，即时取等号. 所以，即当时，最低造价为元. 考向10 基本（均值）不等式的应用 【例10】（多选）若正实数，满足，则（   ） A． B．有序数对有4个 C．的最大值为 D．的最小值为24 【答案】ABD 【分析】A选项，利用，即可；B选项，利用及即可写出全部有序数对；C选项，利用即可计算的最小值；D选项利用即可计算的最小值. 【详解】由正实数，满足，得. 对于选项A，由，得，则，所以，所以，故A正确； 对于选项B，由得，因为，所以是的正约数.因为的正约数为，所以的值对应为.所以有序数对为共4个，故B正确； 对于选项C，，当且仅当即时等号成立，故C错误； 对于选项D，因为，当且仅当即时等号成立，所以，得，故D正确. 考向11 基本不等式“1”的妙用求最值 【例11】（多选）设正实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由题设且， 对于A，，当且仅当时取等号，A对； 对于B，，则，故，当且仅当时取等号，B对； 对于C，，由于， 所以，当且仅当时取等号，C不正确； 对于D，因为， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故D正确 考向12 基本不等式的内容及辨析 【例12】(多选)下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，且，同号，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对A，若异号，，，，故A错误； 对B，若同号，，，， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C，因为，则，故C正确， 对D，若，，则，故D错误. 【对点1】（多选）下列结论正确的是（    ） A．对于任意，，均成立 B．若，同号，则 C．若，，则恒成立 D．若，，且，则 【答案】BD 【分析】根据基本不等式，结合特殊值法判断即可. 【详解】对于A，因为，即，所以. 如，，，，此时不成立. 综上，A错误. 对于B，若，同号，则，，所以， 当且仅当即时等号成立，B正确. 对于C，如，，，，此时不成立，C错误. 对于D，若，，则，当且仅当时等号成立. 而，所以等号取不到，所以若，，且，则，D正确. 【对点2】下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有， 展开整理得，移项后可得， 由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数， 若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误； 若都为正数，则可得，故D错误. 【对点3】（1）若，求函数的最小值，并求此时的值； （2）设，求函数的最大值； （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）最小值4，此时；（2）；（3） 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可． （2）通过变形构造和定的情形，结合基本不等式求解即可． （3）通过变形构造积定的情形，结合基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数在时取得最小值4. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 因为，所以函数的最大值为. （3）因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 【对点4】已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合已知的条件，利用基本不等式的等号成立条件，分别验证充分性和必要性即可判断. 【详解】 由可得，，满足基本不等式的使用前提： 充分性验证： 若，根据基本不等式，对任意正数有，当且仅当时等号成立. 令，则，等号成立当且仅当，整理得，结合得. 因，故等号取不到，因此，充分性成立. 必要性验证： 若，说明上述基本不等式的等号不成立，因此等号成立的条件不满足，即，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 【对点5】函数(）的最大值为______． 【答案】/ 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 【对点6】已知函数，若正数，满足，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】利用条件得到，结合条件求的范围，设，则，结合对勾函数性质求的范围可得结论. 【详解】， ， 即，得，，因为，所以， 所以，设，则， 故， 由对钩函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 【对点7】已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 【对点8】当时，则的最小值是______. 【答案】 【分析】将函数变形成，再利用重要不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. 【对点9】某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 【对点10】设实数，，满足，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先把条件转化为关于的方程，再用柯西不等式把与联系起来，消去变量，得到只含的不等式，最后解二次不等式确定范围. 【详解】设，原条件可化为. 由基本不等式，对任意实数均有. 将代入得. 若，则，满足； 若，将代入上述不等式. 令，上式可整理为关于的一元二次不等式. 存在实数使此不等式成立，当且仅当该二次函数的判别式且对称轴，. 即，解得. 此时对称轴恒成立. 故取值范围是. 【对点11】已知，都是正实数，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）将化为，利用基本不等式即可求得答案； （2）利用，将化为，展开后利用基本不等式即可求得答案． 【详解】（1）由题意，知， 所以， （当且仅当 ，即取等号）， 故的最小值为5. （2）因为都是正实数，， 所以 ， 当且仅当 ，即时取等号， 故的最小值为18； 【对点12】基本不等式 如果，，有，当且仅当______时，等号成立.其中，叫做正数，的______，叫做正数，的______. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数______它们的几何平均数. 【答案】 算术平均数 几何平均数 不小于 【详解】略 一、选择题 1．已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】已知，，整理，得， 则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 2．已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 3．已知，设：不等式对任意恒成立；：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】根据题意先求解的范围，再根据充分条件和必要条件的概念即可求解. 【详解】由题意得不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，即，又在单调递减， 所以，所以，所以，故是的充要条件. 4．，，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得到，又，，则， 所以， 当且仅当，即时取等号. 5．对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干所给的定义利用基本不等式探究两个式子的大小关系，根据基本不等式等号成立的条件判断最大值即可． 【详解】因为x、y为正实数，则，当且仅当时，等号成立； 则； 由可知，，且， 则，可解得； 当且仅当且；得到，解得，； 故当，时，取最大值． 6．已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 7．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 8．已知，，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用基本不等式计算判断A；举反例判断B，结合常值代换结合基本不等式计算判断C，D. 【详解】对于A，因为，， 当且仅当取等号，故A错误； 对于B，当时，满足，但是，B选项错误； 对于CD，利用乘“1”法，，当且仅当取等号，故C错误，D正确. 9．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 10．“，”是假命题，则实数的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用命题的否定将命题变为真命题，再分离参数后结合均值不等式求的最大值． 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题， 由，得， 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取最小值为， 所以的最大值为． 二、填空题 11．若x，y是正实数，，则的最小值为________. 【答案】 【详解】因为且是正实数，所以两边同时除以得， 又因为， 当且仅当，即、或、时等号成立，所以≥， 故的最小值为. 12．已知，且，则的最大值为________． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且，可得，且， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 13．已知正实数，满足，则的最小值为________． 【答案】6 【详解】正实数，满足，有， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 14．已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以，所以. 又， 当且仅当即，时取“”. 所以，即的最小值为11. 15．已知实数、满足且，则的最小值为______． 【答案】90 【分析】由换元法，令，，再根据基本不等式求解即可． 【详解】令，，则， 原式， 当且仅当，即， 时取等号， 此时，故最小值为90． 三、解答题 16．已知：，且，求使恒成立的参数的范围． 【答案】 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，且时成立，即，时，等号成立． 则的最小值为，故要使恒成立，只需即可． 即a的取值范围为． 17．已知，证明：. 【答案】， ， 当且仅当，即，时，等号成立， . 【分析】结合“”的妙用，利用基本不等式直接证明. 【详解】略 18．已知.求证：. 【答案】因为,所以,当且仅当时取等号,解得； 于是得, 所以成立. 【详解】略 19．已知正数，满足，求的最大值． 【答案】 【分析】利用条件恒等变形换元，结合基本不等式锁定换元变量范围，再借助二次函数单调性求最值，注意定义域优先. 【详解】，且， ，即． 代入所求代数式： 令，原式． 由基本不等式：， ，当且仅当时取等． 二次函数，开口向下，对称轴 ，在上单调递增， 故当时取得最大值． 此时，解得：，． 代入： 的最大值为． 20．，其中，，，探求的最值． 【答案】，无最大值 【分析】由题意，不妨令时，，当时，，即得的最小值，当时，，即可判断的最大值. 【详解】由题设可得中至多一个为零， 由对称性，不妨令， 若时，则，故，当且仅当时等号成立 故此时有最小值，无最大值； 若，则， 故，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 但、、不可能同时成立， 所以， 综上，所以有最小值. 当，时，，故无最大值. 综上，有最小值，无最大值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 2.2基本不等式知识归纳与题型总结 思 重要不等式 两个不等式 基本不等式 两个不等式 基本不等式的常见变形 基本不等式 基本不等式与最值一一正、二定、三相等 直接法 基本不等式与最值 配凑法 利用基本不等式求最值的几种常见方法 常数代换法 消元法 培 练 考点01两个不等式 考点梳理 1.两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 当且仅当“b时取 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) “=” 基本不等式 Vab<a+b 当且仅当“b时取 2 (a心0，b>0) “=) a+b 2 叫做正数a,b的算述平均数，V√ab叫做正数a,b的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 Vab≠a+b 注：“当且仅当a=b时，等号成立”是指若a时b,则a㎡+b≠2ab, ,即只能 1/10 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 Vab<a+b 有d2+b>2ab, 2 2.基本不等式的常见变形 's2+6 (1) 2 I+I&Vab≤a十b 2≤74.0(a>0,b>0】 考点02基本不等式与最值 考点梳理 1.基本不等式与最值 己知x,y都是正数， (1)迦果积w等于定值卫，那么当x=y时，和x+y有最小值2WP 2)如果和x十v等于定值S,那么当x=v时，积w有最大信4 注：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相 等” 2.利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值」 (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式 ab (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+yt为常数)，求xy的最值”的问题，先将 日+ a+b.x+y 转化为x)1，再用基本不等式求最值 (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用己知条件消去部分变量 后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值。 典例引领 考向01由基本不等式比较大小 【例1】若a,b∈R,且b>0,则下列不等式中，恒成立的是() 2/10 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 A.a+b≥2Nab ba≥2 B.ab C.ah( 11.2 D.a b Jab 考向2由基本不等式证明不等关系 【例2】已知a>0,b>0,则() A. 1+1≥1 a2+b2>2ab B.ab ab C.a+b>√ab 11sab D.a b 考向03基本不等式求积的最大值 【例3】（多选）己知正数x,y满足+y=1,则下列选项正确的是() 1+1 A.xy的最小值是4 B.y的最小值是1 xy+ 9 C.x2+y的最小值是1 0 2)的最大值是16 考向04基本不等式求和的最小值 【例4)已知正数a,b满足ab=10,则a+b的最小值是 考向05二次与二次（或一次）的商式的最值 x2-2x+6 【例5】若x<1,则x-1的最大值是一 考向06条件等式求最值 【例6】已知“，b>0且b=8,则a+16+2) 的最小值() 3/10 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 A.6 B.12 c.10+22 D.18 考向07基本不等式的恒成立问题 【例7】回答下列问题 1)若x>2,求3x+3 -2的最小值 16 >m (2)已知x>1,y>1,且3x+2y=8,若x-1y-1”恒成立，求m的取值范围 考向08对勾函数求最值 【例8】（多选）下列结论正确的有() A.若a2+b2-ab=6,则ab的最大值为6 B.若a>0,b>0,a+b-ab=l2,则a+ 的最大值为45 Ca2+9 a2+4的最小值为2 a2+6 D.√a2+4的最小值为3 考向9基本不等式的实际应用 【例9】某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160平方米的水产养殖网箱，为了 避免混养，箱中要安装一些筛网，如平面图所示.如果网箱四周网衣（图中实线部分）建造 单价为每米112元，筛网（图中虚线部分）的建造单价为每米96元，网箱底面建造单价为每 平方米100元，网衣及筛网的厚度忽略不计.把建造网箱的总造价元)表示为网箱的长 x(如图所示，单位为米)的函数，并求出最低造价 4/10 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 考向10基本（均值）不等式的应用 【例10】（多选）若正实数x,y满足6r+y=y,则() A.y>6 B.有序数对 区，xyeN)有4个 x+y 7+2V6 D. xy 的最大值为 的最小值为24 考向11基本不等式“1”的妙用求最值 【例11】（多选）设正实数x,y,满足x+2y=少，则下列结论正确的是() A x+y 3+2√2 B.的最小值为8 的最小值为 11、3 41、1 C.x-2y-122 .+2 考向12基本不等式的内容及辨析 【例12】（多选）下列结论中正确的有() A.若a,b≠0，则。+6之2 b+8≥2 B.若a,b≠0，且a'b同号，则a+b C.若a>b>0,则a2>b2 D.若a>b,则a2>b 对点提升 【对点1】（多选)下列结论正确的是() 5/10 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 A.对于任意a,beR.。2+B≥2aba+b≥2b 均成立 baz2 B.若a’b同号，则a+6 C.若a>0,b>0,则b≤ 2恒成立 D.若0>0，>0，且a≠b,则a+b>2品 【对点2】下列不等式成立的是() absatb 2 ab≥Q2+62 A. B. 2 c.a+b≥2Vab D.a+b≤2ab 4 【对点3】(1)若x>0,求函数少=x+的最小值，并求此时x的值： 2)设0<x号.求酒数)=40-2)的0大值 4 (3)已知x>2,求x+x-2的最小值. y+4x>4 【对点)己知炒>0，则“y≠2x”是“xy”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 y= 【对点5】函数x+1(x>0)的最大值为 ab 【对点6】己知函 f()2x-2,若正数a,b,满足f@+f(2)-l,则a+2b的最 大值为 1+9>5m 【对点7刀己知a>0,b>0,若不等式ab4a+b恒成立，则m的最大值为() 6/10 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 A.5 B.6 C.10 D.25 x2+2x+3 【对点8】当x>-1时，则x+1 的最小值是 【对点9】某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租”（单位：万元）》与仓库 24 到超市的距离x(x≥0，单位：千米)的函数关系式为4x十3，每月货物运输费，（单 位：万元)与x的函数关系式为为=3，则该超市应该把仓库建在距离超市 千米处， 才能使这两项费用之和最少，最少费用为 一万元. 【对点10】设实数a,b,c满足a2+b2+c2+ab+ac=1,则a2+b2+c2的取值范围是 【对点11】已知x,y都是正实数，解决下列问题： 4 (1)若x>1,求x+x-的最小值： 4,2 (2)若2x+y=1,求xy的最小值. 【对点12】基本不等式 如果a>0:b>0,有b≤ a+b 2,当且仅当时，等号成立其中，2叫做正数a: 6 的， 叫做正数“，b √ab 的 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数： 能力提升 一、选择题 7/10 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 1.己知正实数a,b满足ab-a-2b=0,则a+b的最小值为() A.5 B.6 c.2+3 D.2V2+3 4 2.已知a,b>0,且a+62,则b+后的最小值为() 9 1 A.4 B.2 C.5 D.2 3.已知a>0,设p:不等式+是≥3对任意xB,+)恒成立：g:a≥2，则p是g的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 4.a>0,b>0,b+3a-ab=0,则a+3b的最小值是() A.12 B.13 C.16 D.18 1 5.对任意正实数x、y,记 m=mim,+4yj(比如min红2=l),则m的最大值为 () 5 1 3 ② A.5 B.2 C.3 D.2 6.已知x>0,y>0,且3y+x+3y=3,则x+3y的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 7.己知x,y为正实数，则2x+yx+3y的最大值为() 2 7 A.3 B.12 c.5 . 8.已知a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式中正确的是() A.a+b2≥3 B.a+bs2v 8/10 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 1+2≥3 12、3 C.a 3ab2+a,54 9.若a>0,b>0,c>0且b+c=1,则bca+2的最小值为() A.182 824 25 D.48V2 10.“3a>b>0. a+h24+3b a-b”是假命题，则实数九的最大值为() A.2 B.4 C.6 D.8 二、填空题 1+ 11.若x,y是正实数，(x-=(八，则x少的最小值为 12.己知x>0,y>0,且x+4y=12,则y的最大值为 m30+2 13.已知正实数a,b满足3a+2b=3,则b+a的最小值为 14.己知a>0,b>0,且a+2b+ab=30,则2a+b的最小值为 m2+n2） 40+5 15.已知实数m、n满足mn>0且m≠n,则 (m-n)2mn的最小值为 三、解答题 11 >a 16.已知：x>0,y>0,且x+2y=1,求使xy“恒成立的参数a的范围. 17.已知x>0,y>0,x+2y=1,证明： 0 18.已知a>0,b>0,a+bab.求证： + 19.已知正数0，b满足2a+b=1,求4a++4ab 的最大值 9/10 高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 f(a,b,c)= a+b+ c 20. b+cVa+cVa+b,其中a,b,c≥0，探求f(a,b,c)的最值. 10/10