专题01 菱形的性质与判定重难点八大题型突破 讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学菱形的性质与判定核心知识点，系统梳理从利用性质求角度、线段长度及面积，到添加条件判定菱形、证明菱形，再到性质与判定综合应用、最小值问题及动点分类讨论的完整脉络，搭建由基础到综合的学习支架。 该资料以八大题型为框架，通过具体例题如菱形中角度计算、对角线与边长关系应用等，培养学生几何直观与推理能力。课中助力教师分层教学，课后学生可通过针对性练习查漏补缺，提升用数学思维解决复杂问题的能力。

专题01 菱形的性质与判定重难点八大题型突破 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【题型2 利用菱形的性质求线段长度/周长】 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【题型4 添加条件对菱形的判定】 【题型5 菱形的判定-证明题】 【题型6 菱形的性质与判定综合】 【题型7 求菱形中最小值问题】 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．如图，在菱形中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数是（     ） A．55° B．75° C．60° D．65° 4．如图，在菱形中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E．若，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点E，交于点D，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【题型2 利用菱形的性质求线段长度/面积/周长】 6．在菱形中，对角线，，则菱形的边长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 8．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 9．如图，菱形中，，对角线、交于点O，平分交于点E，且，菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点是边的中点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 11．道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线，边长，则该标志的占地面积为（     ） A． B． C． D． 12．如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 13．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作交于点H，若，，则菱形的面积为（     ） A．12 B．20 C．24 D．48 14．如图，菱形的对角线，的长分别是，，于点，则（     ） A． B． C． D． 15．如图，菱形，、分别为、上一点，且，连接、．若菱形的面积为10，则的值为（     ） A． B． C．5 D．7 【题型4 添加条件对菱形的判定】 16．如图，下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（　    ） A． B． C． D． 17．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 18．如图，中，点，，分别为边，，的中点，连接，，，下列条件中，能判断四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 19．如图，在四边形中，、是对角线，点、、、分别是、、、边的中点，连接、、、，要使四边形为菱形，则应添加一个条件是（   ） A． B． C．与互相平分 D． 【题型5 菱形的判定-证明题】 20．如图，在中，平分交于点E，平分交于点F． (1)求证：； (2)若，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论． 21．如图，四边形是平行四边形，过A点作，，垂足分别为E，F，且，证明四边形是菱形． 22．如图，在菱形中，点，在对角线上，且，分别连接，，，，判定四边形的形状，并说明理由． 23．如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的周长． 24．如图，在中，的平分线交边于点E，F是边AD上的一点，且，连接．判断四边形的形状，并证明你的结论． 【题型6 菱形的性质与判定综合】 25．如图，中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 26．如图，平行四边形的面积为24，点E、F、G分别是边的中点，连接，，垂足为E，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的长． 27．如图，在四边形中，为上一点且，连接交于点O，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求四边形的面积． 28．如图，在中，对角线与相交于点O，平分． (1)求证：； (2)过点D作，交的延长线于点E，若，，求的长． 29．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 30．如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求四边形的周长． 31．如图，在中，连接，过点作，交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 32．如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，且，，求四边形的面积． 【题型7 求菱形中最小值问题】 33．如图，在菱形中，，，动点，分别在线段，上，且．则长度的最小值为（     ） A． B． C． D． 34．如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，点是对角线上的动点，的最小值是（     ） A． B． C． D． 35．如图，在边长为10的菱形中，点，分别为边，上的动点，且，连接，．若菱形的面积为75，则的最小值为（     ） A． B．17 C． D．19 36．如图，在菱形中，，点、分别是、上一点，且，若菱形的边长为8，是的中点，则的最小值是________． 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 37．如图1，四边形中， ，，，，，动点在线段边上以每秒1个单位的速度由点向点运动，动点从点同时出发，以每秒3个单位的速度向点运动，设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，满足和？请说明理由． (2)如图2，若是上一点，，那么在线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 38．如图，在菱形中，为坐标原点，点的坐标为，．动点从点出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点，同时出发，设运动时间为秒． (1)求点的坐标． (2)试探究在点，运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时的值与点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，．动点M在线段上以每秒3个单位长度的速度由点A向点B运动，同时动点N在线段上以每秒1个单位长度的速度由点O向点C运动（当点M到达点B时，点N停止运动）．设运动时间为t秒． (1)当，__________； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若改变点N的运动速度，其他条件不变，直接写出当N的速度为多少时，能够使四边形成为菱形． 40．已知菱形的边长为10，，动点E从以每秒1个单位的速度匀速运动，到达终点B时停止运动，动点F从以每秒a个单位长度的速度匀速运动，到达终点B时停止运动，连接，运动时间为， 　　　 （1）当且时，_________； （2）如图1，若，求时t的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 菱形的性质与判定重难点八大题型突破 【题型1 利用菱形的性质求角度】 【题型2 利用菱形的性质求线段长度/周长】 【题型3 利用菱形的性质求面积】 【题型4 添加条件对菱形的判定】 【题型5 菱形的判定-证明题】 【题型6 菱形的性质与判定综合】 【题型7 求菱形中最小值问题】 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 【题型1 利用菱形的性质求角度】 1．如图，在菱形中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形的性质得出的度数及平分，结合和，利用同角的余角相等即可求解． 【详解】解： 四边形是菱形，， ，平分，， ，， ， ， ， ， ． 3．如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数是（     ） A．55° B．75° C．60° D．65° 【答案】D 【详解】由题意得， ， ， ， ， ． 4．如图，在菱形中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在菱形中，， ∴， 根据作图可得， ， ． 5．如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点E，交于点D，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质，可得，由等边对等角，结合三角形的内角和定理，可得，由线段的垂直平分线的性质，结合等边对等角，可得，即可得的度数． 【详解】解：四边形为菱形， ， ． ， ． 为的垂直平分线， ， ， ． 【题型2 利用菱形的性质求线段长度/面积/周长】 6．在菱形中，对角线，，则菱形的边长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合图形，求出，，再根据勾股定理计算出即可得菱形的边长. 【详解】解：如图， 设菱形的对角线与交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴. ∴菱形的边长为5. 7．如图，在菱形中，，，过点作于点，连接，则的长为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】作交的延长线于点，利用平行四边形的性质求得，，再利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∵菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 8．如图，两张宽度均为的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重合部分构成的四边形的周长为（     ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】先证明四边形是菱形，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理求出长，最后得到四边形的周长． 【详解】解：过点A分别作、， 由题意知，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 在中，， ∴， ∴， 即， 根据勾股定理得，， 即， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴四边形的周长为． 9．如图，菱形中，，对角线、交于点O，平分交于点E，且，菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作于点F，首先利用角平分线的性质定理得到，求出，得到，利用勾股定理求出，得到，然后利用含角直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ∵四边形是菱形 ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 10．如图，菱形的对角线，相交于点，点是边的中点，点是边的中点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中位线定理，得，根据菱形的性质得到，，，在中，利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：∵E、F分别是的中点，， ∴， ∴菱形的对角线相交于点O， ∴，，， 在中，，， ∴， ∴． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 11．道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶人前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志的对角线，边长，则该标志的占地面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用菱形的性质，结合勾股定理与完全平方公式，求出，进而算出菱形面积． 【详解】解：四边形为菱形，， ，，， ， ，即， ， ，即， ， ∴， 故该标志的占地面积为． 12．如图，菱形的周长为，，则该菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点，先根据菱形的性质可得，，，，，再根据勾股定理和含度角的直角三角形的性质求出和的长，然后利用菱形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵菱形的周长为， ∴，，，， ， ∴是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 13．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作交于点H，若，，则菱形的面积为（     ） A．12 B．20 C．24 D．48 【答案】C 【分析】利用菱形的性质得到，根据平行线的性质推出，由此证得，根据余角的性质推出，得到，勾股定理求出，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 14．如图，菱形的对角线，的长分别是，，于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分求出，则，由此可解． 【详解】解：如图，设交于点， 菱形的对角线、的长分别是6，8， ，，， ， ， ． 15．如图，菱形，、分别为、上一点，且，连接、．若菱形的面积为10，则的值为（     ） A． B． C．5 D．7 【答案】C 【分析】因为菱形四边相等，所以，结合可推出．可设菱形高，利用三角形面积与菱形面积的关系，分别将和的面积用菱形的底、高表示．因为两个三角形面积的和可通过转化，与菱形面积建立比例关系，所以代入菱形面积数值即可求解． 【详解】解：菱形中，， 设菱形以为底的高为， 则菱形面积， ∵， ∴． ∵以为底，高等于菱形边上的高，； 以为底，高等于菱形边上的高，； ∴两面积相加： ． 【题型4 添加条件对菱形的判定】 16．如图，下列条件中，能使平行四边形成为菱形的是（　    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵是平行四边形具有的性质， ∴不能使平行四边形成为菱形，不符合题意； B、∵是平行四边形具有的性质， ∴不能使平行四边形成为菱形，不符合题意； C、由可以使平行四边形是菱形，符合题意； D、由可以使平行四边形是矩形，不能使平行四边形成为菱形，不符合题意． 17．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故B、D不符合题意； 当时，不能判定四边形是菱形，故A不符合题意； 当时，可以根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明四边形是菱形，故C符合题意． 18．如图，中，点，，分别为边，，的中点，连接，，，下列条件中，能判断四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形中位线定理得到，则可证明四边形是平行四边形；再根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵点，，分别为边，，的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形； 当时，则垂直平分， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故C符合题意； A、B、D三个选项中的条件，结合现有条件无法证明四边形是菱形，故A、B、D不符合题意． 19．如图，在四边形中，、是对角线，点、、、分别是、、、边的中点，连接、、、，要使四边形为菱形，则应添加一个条件是（   ） A． B． C．与互相平分 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中点四边形的性质以及三角形中位线定理和菱形的判定，利用三角形中位线定理以及菱形的判定得出即可． 【详解】解：∵E、F分别是的中点， ∴，， 同理， ∴四边形是平行四边形． A、添加，则， ∴出四边形是矩形，无法得出四边形是菱形，故A不符合题意； B、添加，则， ∴四边形是菱形．故选项B符合题意； C、添加与互相平分，无法得出四边形是菱形，故C不符合题意； D、添加，无法得出四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：B． 【题型5 菱形的判定-证明题】 20．如图，在中，平分交于点E，平分交于点F． (1)求证：； (2)若，则判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； (2)解：四边形是菱形；理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）利用平行四边形的性质证明，，，，进一步证明即可得到结论； （2）证明四边形是平行四边形，结合，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，四边形是平行四边形，过A点作，，垂足分别为E，F，且，证明四边形是菱形． 【答案】∵四边形是平行四边形． ， ，， ， 在和中： ， ， ∴平行四边形为菱形． 【分析】先证明得出，再结合菱形的判定定理即可得证． 【详解】略． 22．如图，在菱形中，点，在对角线上，且，分别连接，，，，判定四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形． 理由： 如图，连接交于点． 四边形是菱形， ，，． ，． 又 ， ． ，， ． ． 四边形是平行四边形 又 ， 四边形是菱形． 【分析】连结，根据菱形的性质得到，，即，，继而证明，得到，，所以，即，证明出四边形是平行四边形，又，即证四边形是菱形． 【详解】略． 23．如图，四边形是平行四边形，点是延长线上一点，，连接，，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． (2)． 【分析】（1）利用“平行四边形的对边平行且相等”证明,再利用“等量代换”得到,同时由“两直线平行，同位角相等”证明,再由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”和“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明结论． （2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得,再由勾股定理计算的长，进而求出结论． 【详解】（1）略． （2）∵，， ∴, 在中，, ∴由勾股定理得 ∴的周长为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握这些性质是解决问题的关键． 24．如图，在中，的平分线交边于点E，F是边AD上的一点，且，连接．判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】解：四边形是菱形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形． 【分析】由得到，结合角平分线的定义得到，因此，再由，得到四边形是平行四边形，又即可得到是菱形． 【详解】略 【题型6 菱形的性质与判定综合】 25．如图，中，平分交于点，过点作交于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：平行四边形， ． 又， 四边形是平行四边形． 是的平分线， ． ， ， ， ， 四边形是菱形． (2) 【分析】（1）先利用平行四边形的性质证明四边形是平行四边形，利用平行线的性质和角平分线的定义进一步证明，根据等角对等边得出，即可证明四边形是菱形． （2）作于点，由菱形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理得出， 由含30度直角三角形的性质得出， 由勾股定理得出，由线段的和差关系得出，最后由勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点． 四边形是菱形， ． ， ． 在中，，， ， ∴， 在中，， ∴， ∵平行四边形， ∴， ， ． 26．如图，平行四边形的面积为24，点E、F、G分别是边的中点，连接，，垂足为E，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的长． 【答案】(1)证明：连接交于点O，如图 ∵点E、F、G分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． (2)5 【分析】（1）连接交于点O，推导出是的中位线，是的中位线，得到，，继而推导出，则平行四边形是菱形，即可解答； （2）设，，得到，推导出，根据菱形的面积公式，得到，求出，继而根据菱形的性质，得到，，再根据勾股定理得到，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，， ∴， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴． 27．如图，在四边形中，为上一点且，连接交于点O，平分． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由平行加平分角可得，可得四边形是平行四边形，由已知条件即可证明； （2）设菱形的边长为，在中，利用勾股定理建立方程求出菱形的边长即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由于四边形为菱形，故设菱形的边长为， 则，， ∵，， ∴由勾股定理得，， 即， 解得， 即， ∴四边形的面积为． 28．如图，在中，对角线与相交于点O，平分． (1)求证：； (2)过点D作，交的延长线于点E，若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ， ∴． 平分， ， ， ∴， 四边形是菱形， ∴． (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，结合等边对等角可得，由此即可求解； （2）根据菱形的性质可得，继而得到，再利用勾股定理求边长即可． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形，， ． ， ， ， ． 29．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)过点D作的垂线交延长线于点E．若，，求线段长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形，理由如下： ∵点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据对称可得，，然后证明，则可先证明四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直即可证明其为菱形； （2）先对运用勾股定理求解，再对运用勾股定理求解，最后由面积法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．如图，在中，，点为中点，连接，过点作，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求四边形的周长． 【答案】(1) 证明：在中，，点为中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线定理得出，根据条件证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出，，推出，结合角平分线的性质和等角对等边推出，根据等腰三角形的三线合一推出，进而得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）四边形是菱形， ，， ， 平分， ， ， ， 在中，，点为中点， ， 平分，， ， ， ，即， ， ， ， ，， 四边形的周长． 31．如图，在中，连接，过点作，交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据四边形是平行四边形，得，结合，得四边形是平行四边形，结合，则，故四边形是菱形，即可作答． （2）根据菱形的性质，得，因为四边形是平行四边形，则，，运用勾股定理得，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 32．如图，在平行四边形中，点、分别在对角线上，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，且，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴，即， ∴四边形是平行四边形． (2) 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得其对角线互相平分（，）；又因为，所以；由对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求证． （2）由（1）中四边形是平行四边形可得，四边形的对角线互相平分，再由，可得四边形为菱形，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】（1）略． （2）解： 由（1）可得：四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是菱形． ∵，， ∴四边形的面积为：． 【题型7 求菱形中最小值问题】 33．如图，在菱形中，，，动点，分别在线段，上，且．则长度的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合三线合一和勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，如图所示： ∵在菱形中，， ∴，， ∴和都为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小． 由垂线段最短可知当时，最小， ∵为等边三角形， ∴当时，， ∴此时， ∴的最小值为． 34．如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，点是对角线上的动点，的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的对称性，作点关于的对称点，将转化为，当三点共线且垂直于时，取得最小值，即为菱形边与之间的距离（菱形的高）． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 如图， 四边形是菱形， 关于对称，， 点在上， 点在上，且， ， 当三点共线，且时，最小，最小值为平行线与之间的距离， 过点作于， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ， 的最小值为． 35．如图，在边长为10的菱形中，点，分别为边，上的动点，且，连接，．若菱形的面积为75，则的最小值为（     ） A． B．17 C． D．19 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，，结合菱形的性质证明，利用全等三角形性质推出的最小值为，再利用勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，， 则，，． 四边形是菱形， ， ． ，， ， ． 在和中， ， ， ， ， 的最小值为． ， 的最小值是． 36．如图，在菱形中，，点、分别是、上一点，且，若菱形的边长为8，是的中点，则的最小值是________． 【答案】4 【分析】如图，连接，取的中点，作关于的对称点，连接，证明，可得，，当三点共线时，取得最小值，设直线与交于点，与交于点，结合对称可得，，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接，取的中点，作关于的对称点，连接， ∵在菱形中，， ∴，，， ∴，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴， 当三点共线时，取得最小值， 设直线与交于点，与交于点，结合对称可得， ∴， ∵为等边三角形，为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴. 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 37．如图1，四边形中， ，，，，，动点在线段边上以每秒1个单位的速度由点向点运动，动点从点同时出发，以每秒3个单位的速度向点运动，设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，满足和？请说明理由． (2)如图2，若是上一点，，那么在线段上是否存在一点，使得四边形是菱形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 解： 连接，如图所示， 若满足和，则四边形为平行四边形， ， 设动点的运动时间为秒， 则，， ， ， 解得：，符合题意， 当，满足和； (2) 解：假设在线段上存在一点，使得四边形是菱形，连接，， 设动点的运动时间为秒，则， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， 此时，， 当时，在线段上存在一点，使得四边形是菱形． 【分析】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，勾股定理，解题关键是能正确建立方程． （1）要满足和，即四边形为平行四边形，已有，故需要，由此可以得到关于的方程，解方程即可求解； （2）利用菱形的判定，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到，再利用勾股定理建立方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）略 38．如图，在菱形中，为坐标原点，点的坐标为，．动点从点出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点从点出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点，同时出发，设运动时间为秒． (1)求点的坐标． (2)试探究在点，运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时的值与点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，；当时， 【分析】（1）由题意知，，，，延长交轴于，则轴，利用30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，即可求解； （2）根据平行四边形的性质得到，再分和两种情况，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∵菱形， ，， 如图，延长交轴于，则轴，即， ， ， 由勾股定理得，， ； （2）解：， ∴当以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形时，， 由题意知，，， 当时，；此时， 解得，， 则， ； 当时，；此时， 解得，， 则， ； 综上所述，存在，当时，，当时，． 39．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，．动点M在线段上以每秒3个单位长度的速度由点A向点B运动，同时动点N在线段上以每秒1个单位长度的速度由点O向点C运动（当点M到达点B时，点N停止运动）．设运动时间为t秒． (1)当，__________； (2)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (3)若改变点N的运动速度，其他条件不变，直接写出当N的速度为多少时，能够使四边形成为菱形． 【答案】(1)15 (2) (3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查勾股定理、菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的性质以及平面直角坐标系知识，深入理解题意是解决问题的关键． （1）根据点M的运动速度和t值即可求出结果； （2）根据题意用含t的代数式分别表示出，根据当四边形是平行四边形时列出关于t的方程解方程即可求出当t为何值时，四边形是平行四边形； （3）当四边形为菱形时，，根据勾股定理表示出，根据得到关于t的方程，解方程求出t值后表示出的长，用的长除以t值即可求出点N的速度为何值时，能够使四边形成为菱形． 【详解】（1）解：∵点M的运动速度为每秒3个单位长度，， ． 故答案为：15； （2）解：如图1， 由题意可得： ， 当四边形是平行四边形时，， 即， 解得：， 当时，四边形是平行四边形； （3）解：如图2， 当四边形为菱形时，， ，即， ， ， 解得：， ， ， 又， ∴点N的速度为每秒个单位长度时，能够使四边形成为菱形． 40．已知菱形的边长为10，，动点E从以每秒1个单位的速度匀速运动，到达终点B时停止运动，动点F从以每秒a个单位长度的速度匀速运动，到达终点B时停止运动，连接，运动时间为， 　　　 （1）当且时，_________； （2）如图1，若，求时t的值． 【答案】（1）45；（2） 【分析】（1）根据题意可求出E点刚好运动至B点处，DF=10，然后结合菱形的性质，求出∠ABD=∠ADB=30°，从而根据△ADF为等腰三角形，求出∠AFD=75°，即可根据三角形的外角性质求出∠EAF； （2）连接AC，延长AF交CD于G点，综合菱形的性质以及已知条件推出△EAC≌△GAD，得到EC=DG，仿照（1）的过程可推出EC=DF，从而得到△DFG为等腰三角形，∠FAD =45°，此时作FM⊥AD于M点，设AM=FM=x，DM=x，并解出x，即可得到DF的长度，从而求出时间t即可． 【详解】解：（1）当时，动点E走过的路程为1×10=10， ∴此时动点E到达B点处， ∵菱形的边长为10，， ∴根据菱形的性质得∠ABD=∠ADB=30°， 当且时，动点F走过的路程为1×10=10， 即：DF=10， ∵AD=10， ∴△ADF为等腰三角形， ∴∠AFD=∠FAD=（180°-30°）÷2=75°， ∴此时∠EAF=∠AFD-∠ABC=75°-30°=45°， 故答案为：45； （2）如图所示，连接AC，延长AF交CD于G点， ∵菱形的边长为10，， ∴∠ACE=∠ADG=∠CAD=60°，AC=AD=10， ∵∠EAF=60°， ∴∠EAF-∠CAG=∠CAD-∠CAG， 即：∠EAC=∠GAD， ∴△EAC≌△GAD（ASA）， ∴EC=DG， ∵ ∴EC=t，DF=t， ∴EC=DF， ∴DG=DF，△DFG为等腰三角形， ∵∠FDG=30°， ∴∠DFG=∠DGF=75°， ∴∠FAD=∠DFG-∠ADF=45°， 此时，作FM⊥AD于M点， 则△AMF为等腰直角三角形，AM=FM， 设AM=FM=x， 在Rt△DFM中，DF=2x，DM=x， ∵AD=AM+MD=10， ∴x+x=10， 解得：， ∴DF=2x=， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质以及动点问题等，熟练掌握图形的基本性质以及判定方法是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $