1.3 矩形的判定与性质 讲义 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦矩形核心知识点，系统梳理矩形的定义、性质（角、边、对角线、对称性）和判定方法（定义、三个直角、对角线相等），延伸至直角三角形斜边上的中线性质、中点四边形及矩形作图，形成从概念到应用的完整学习支架。 资料通过分层例题（如折叠问题用方程思想、最值问题结合几何直观）培养学生推理能力与运算能力，融入作图实践提升数学表达，课中助力教师分层教学，课后通过实战演练帮助学生查漏补缺，强化知识应用与创新意识。

2026秋季初三数学同步讲义02-矩形 【基础巩固】 1.矩形的性质 (1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. (2)矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连 线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点. (3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 2.矩形的判定 (1)矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） (2)①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边 形的对角线相等. ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形. 3。矩形的判定与性质 (1)关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四 边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同时平行 四边形的性质矩形也都具有. 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等 有关的问题. (2)下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角 形；②∠OAB=∠OBA,∠OCB=∠OBC;③点O到三个顶点的距离都相等. 【精准突破】 一。矩形的性质 例1.（角度求解)如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,O为对角线AC 和BD的交点，且∠CAE=15°，则∠OEA=度. D E 例2.（长度求解）(1)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,AB=4,AD=5,点E 为BC上一点，连接DE,F为DE的中点，若OF=1,则CF的长为 A D B E (2)(勾股定理方程)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD,DC上，且 BE⊥EF,AB=6,AE=9,DE=2,则EF的长是() E D A.4 B.5 c.13 D.V15 (3)(等面积法)如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,P是AB上的动点， PM⊥AC于点M,PN⊥BD于点N,则PM+PN的值为() D B A.3 B.5 C. D. 6 3 例3.（最值问题）如图，在△ABC中，AB=1,AC=2,BC=V5,P为边BC上一动 点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点，则AM的最小值为() B A.5 5 c.25 5 B. 2 5 D. 5 例4.（矩形中折叠问题）(1)性质：如图，矩形ABCD中，AB=5cm,BC=10cm.F 是AB上一点，将△AFD沿DF所在的直线折叠，点A恰好落在BC边上的点E处，连接 AE交DF于点G,取EC的中点H,连接GH,则GH=cm. A D B (2)勾股定理方程思想：如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10,BC=8,点P在BC边 上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处.PE、DE分别交AB于点O、F,且 OP=OF,则AF的长为 D C E (3)如图，已知长方形ABCD中，AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将 △ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,则CE的长为 D E 例5.（二倍角的应用）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点， AE=CF,连接EF、BF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC, FC=V3,则AB的长为() A.23 B.33 c.4V3 D.6 【实战演练】 1.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,∠BAD的角平分线交BC于点E,若 ∠AOB=50°，则∠OAE的度数是() A.15° B.20° C.25° D.30° 2.如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O,∠AOD=45°，AC=10,E是BD延 长线上一点，且AE=号BD,则DE的长为() 5 A.2 B.5V2-5c.10-52 D.10只2-10 3.如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，AB=6,BD=I0,E为边BC上 一点，且BE=2,连接AE,取AE的中点F,连接OF,则OF的长度为() A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 4.如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB=3,BC=5,PE⊥BC于点E, PF⊥CD于点F,连接AP,EF,则AP+EF的最小值为 D F B 5.如图，点E为矩形ABCD边CD的中点，点F为边上一点，且∠FAE=∠EAD, 若BF=8,FC=2,则AF的长为 B C F 6.如图，在矩形ABCD中，BC=6,M为AB的中点，连接MD,E为MD的中点，连接 BE,CE,若∠BEC为直角，则AB的长为 D E M B 6 7.在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落 在矩形ABCD内的点F处，连接CF,则CF的长为 A H 8.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G 在矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点R,若DC=5DF,则BC E G 9.如图，将矩形纸片ABCD沿边GH折叠，使点A落在边BC的中点M处.若AD=3, AB=2,则GM的长为() D 25 25 5 A. 32 B. 12 c. D.6 10.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为8,0,8,6,0,6，点D为 线段BC上一点，将△OCD沿OD翻折，点C刚好落在OB上E点处，则点D的坐标为 11.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E是BC边上一点，连接DE,把∠C沿 DE折叠，使点C落在点C处，当△BEC为直角三角形时，CE的长为 D B C 12.如图所示，把一个长为10，宽为6的矩形纸片OACB放置在平面直角坐标系中，矩形 的边OB在y轴上，边OA在X轴上，若点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到 △OPD,连接CD、AD.当P在运动过程中，CD的最小值为 B 二.直角三角形斜边上的中线 例1.（角度一半关系）如图，在四边形ABCD中∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线 AC的中点，连接BE、ED、BD,若∠BAD=56°，则∠BED的度数为 D E B 8 例2.（长度一半关系）(1)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠ABC=30°， AB=I2,D为AB的中点，过点D作AC的平行线，过点A作CD的平行线，两线相交于点 E,则CE长为() B D E A.6 B.63 C.12 D.6V5 (2)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到 △ABC,点M是BC的中点，点P是AB的中点，连接PM.若BC=2PV2,AC=2V6, 则线段PM长度的最大值是() B A.4V2 B.3V2 c.2V2 0.23 【实战演练】 1.已知在△ABC中，AC=6Cm,点D,E分别是AC,BC的中点，连接DE,在DE上 有一点F,EF=1cm,连接AF,CF,若AF⊥CF,则AB的长为() A.6cm B.7cm C.8cm D.10cm 2.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,AE平分∠BAD交BC于点E,点F为BE 的中点，则线段CF的长为() A.3 B. 3 c.5 D. 5 2 2 3.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,连接OE.若 BC=10,OE=6,则AE= 4.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点C作CE⊥AB,交AB于点 E,连接OE,若OE=3,OB=4,则CE的长为一· A D E 三。矩形的判定 例1.（中点四边形）(1)依次连接矩形中点得到的四边形一定是一· (2)如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线，点E,F分别是AD,BC的中点，点 M,N分别是AC,BD的中点.若四边形EMFN是矩形，则原四边形ABCD应满足的条件 10 是() E D M A.AC⊥BD B.∠ABC+∠DCB=90° C.AC=BD D.AB=CD 例2.如图，在△ABC中，点D为AC的中点，AE‖BD,BE‖AC,则下列说法错误的 是() D E B C A.当AB=CB时，四边形AEBD是矩形 B.当AC=2BC时，四边形AEBD是矩形 C.当∠ABC=90时，四边形AEBD是菱形 D.当∠E=2∠C时，四边形AEBD是菱形 例3.（不加条件证明）己知：如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,A, C,F在同一直线上，DE‖BF,连接BE、DF E A O (1)求证：△ADE≌△CBF: (2)若∠AOD=2∠BEF,判断四边形EBFD的形状，并证明你的结论 11 例4.（加条件证明题）如图，在△ABC中，BD为△ABC的中线，E为BD的中点，过 点B作BF‖AC,交CE延长线于点F,连接DF. B (1)求证：四边形BCDF是平行四边形： (2)连接AF,当△ABC满足不同条件时，四边形AFBD可能是矩形或菱形.请从以下两个 结论中选择一个，先填写△ABC应满足的条件，再进行证明， 结论①：当△ABC满足 时，四边形AFBD是矩形： 结论②：当△ABC满足 时，四边形AFBD是菱形. 例5.（选条件证明题）如图，在口ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，DM‖AE, 交EF的延长线于点M. B (1)求证：△AEF≌△DMF: (2)已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AEDM的形 状，并证明你的结论.（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 条件①：AE平分∠BAD: 12 条件②：AD=2AB 【实战演练】 1.如图，E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则 四边形ABCD应具备的条件是(） D H A G A.一组对边平行而另一组对边不平行 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分 2.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为边AB,CD的中点，BD是对角线，下列 说法错误的是() 13 B A.当AB=2AD时，四边形DEBF是菱形 B.当∠ADB=90时，四边形DEBF是菱形 C.当AD=BD时，四边形DEBF是矩形 D.当DE平分∠ADB时，四边形DEBF是矩形 3.已知：如图，在口ABCD中，AC与BD交于点O,AGDB交CB的延长线于G,E为 AG中点，连接BE G B (1)求证：△ADO≌△BGE: (2)若∠DAG=2∠ADB,BC=BD,请判断四边形AOBE的形状，并证明你的结论. 4.如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是对角线，点B、E、C、G在同一条直线上， 且BE=EC=CG,AE延长线交DC延长线于F. 14 (1)求证：△ABE≌△FCE: (2)若BC=2CD,请判断并证明四边形DEFG的形状. 5.在平行四边形ABCD中，连接AC、BD交于点O,点E为AD的中点，连接CE并延长 交BA的延长线于点F. F (1)求证：A为BF的中点： (2)若△ABD添加一个条件 ∠ABC=60°，连接DF,试判断四边形ACDF是 矩形，请填空，并说明理由 6.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，延长CE至F点，使得 CE=FE,连接AF,BF」 15 D (1)求证：AF=BD: (2)△ABC满足怎样的条件时，使得四边形AFBD是矩形？并请说明理由. 7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,直线GH经过点O,分别 与BA、DC的延长线交于点G、H,与AD、CB交于点E、F. A E D B (1)求证：△AOG≌△COH: (2)连接AH、CG,若GH=GD,当点C位于DH的什么位置时，四边形AHCG是矩形？ 请说明理由. 8.如图，在口ABCD中，E,F分别是边BC和AD的中点，G,H在对角线AC上，且 16 AG=CH=号AC,还按GR,E1. (1)求证：△AFG≌△CEH: (2)连接GE,FH,当AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形EHFG是矩形？请证明你 的结论。 9.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,延长BC到点E,使得 CE=BC,连接DE,点F是DE的中点，连接CF. D (1)求证：四边形ADEC是平行四边形： (2)条件：①四边形ABCD是矩形； ②四边形ABCD是菱形. 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形ODFC的形状（两个都写以第一个为 准). 10.如图，在口ABCD中，AD=2AB,∠BAD的平分线交BC于点O,交DC的延长线 于点E. 17 (1)求证：CE=CD: (2)已知 (从以下两个条件中选择一个作为己知，填写序号)，请判断四边形ABEC 的形状，并证明你的结论。 条件①：∠AOC=2∠D: 条件②：∠EAB=2∠CAD」 (注：如果选择条件①和条件②分别进行解答，按第一个解答计分) 四.矩形作图 例1.（给对角线）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 己知：线段a. 求作：矩形ABCD,使它的对角线AC,BD交于点O,且BD=a,∠AOD=120°. a 例2.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 己知：如图，点O是∠ABC内部一点. B C 求作：矩形ODEF,使得点D在边BA上，点E,F在边BC上. 18 【实战演练】 1.己知：线段m. 求作：矩形ABCD,使对角线为m,一边为对角线m的一半. m 2.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 已知：线段a. 求作：矩形ABCD,对角线的长度为a,并且对角线的夹角为45° a 3.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 已知：直线l,直线l外一点A,∠. 求作：矩形ABCD,使边BC在直线l上，且∠BAC=∠c. 县 a 4.已知：线段a（如图). 求作：矩形ABCD,使它的对角线AC,BD相交于点O,其中AC=a,∠AOB=60°. 19 5.用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹， 已知：如图，线段a和∠a,求作：矩形ABCD,使对角线AC=a,两条对角线AC、BD 的夹角为Q.(请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹). 2026秋季初三数学同步讲义02-矩形 【基础巩固】 1.矩形的性质 (1)矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. (2)矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等， ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连 20 线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点. (3)由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半. 2.矩形的判定 (1)矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”) (2)①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边 形的对角线相等. ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形. 3.矩形的判定与性质 (1)关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四 边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同时平行 四边形的性质矩形也都具有. 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等 21 有关的问题. (2)下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB= ∠OBA,∠OCB=∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等. 【精准突破】 一。矩形的性质 例1.（角度求解）如图，矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,O为对角线AC 和BD的交点，且∠CAE=15°，则∠OEA=度. 【答案】30 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=∠ABC=90°，OA=OB, ,AE平分∠BAD ∠BAE=RAD=45, .∠BEA=90°-∠BAE=45°，∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°， .∠BAE=∠BEA,△AOB是等边三角形， .AB=BE,AB=BO,∠ABO=60°， :.BE=BO,∠EBO=90°-∠ABO=30°， .∠BEO=∠BOE=180°-∠EBO =75 2 .∠OEA=∠BE0-∠BEA=75°-45°=30° 例2.（长度求解）(1)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,AB=4,AD=5,点E 22 为BC上一点，连接DE,F为DE的中点，若OF=1,则CF的长为 D B E 【g关1月 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠BCD=90°，OD=OB,AD=BC=5,DC=AB=4, ,F为DE的中点， .OF是△DBE的中位线， ∴.BE=2OF=2, ,CD=4,BC=5, ∴.CE=BC-BE=5-2=3, ..DE=VCD2+CE2=42+32=5' ,F为DE的中点， cF-DE-号 故行案为：身 (2)(勾股定理方程)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD,DC上，且 BE⊥EF,AB=6,AE=9,DE=2,则EF的长是() E A.4 B.5 c.13 D./15 【答案】c 【详解】解：连接BF,如图， 23 设DF=x,则有FC=6-X, 在Rt△ABE中，BE2=AB2+AE2=62+92=117, 在Rt△中，EF2=DE2+DF2=22+x2=4+x2, 在Rt△BCF中，BFP2=BC2+CF2=112+6-xP=121+6-x ,BE⊥EF,即∠BEF=90°， 在Rt△BEF中，BF2=BE+EF2, 即121+6-x=117+4+X:解得x=3 六EF=4+x=4+3=/131 故选：C (3)(等面积法)如图，在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,P是AB上的动点， PM⊥AC于点M,PN⊥BD于点N,则PM+PN的值为() A D M A.3 B.5 c跨 5 D. 【答案】c 【详解】解：如图，设AC、BD相交于点O,连接OP, D 入V 24 ,四边形ABCD是矩形， ∠BAD=90,AC=-D,0A=号AC,OB号BD. AB=1,AD=2, AC=BD-AB+AD-1+2-85 OA=0B=9, ,PM⊥AC于点M,PN⊥BD于点N, 50APM+OnP5PM PN)-PM+PNI 22 1 1 又S△A0B= S矩形ABCD-4 ×2×1= 4 35IPM+PNI- PW+PW号5 例3.（最值问题）如图，在△ABC中，AB=1,AC=2,BC=V5,P为边BC上一动 点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点，则AM的最小值为() M A.5 5 2 D. 5 【答案】D 【详解】解：在△ABC中，AB=1,AC=2,BC=5, :AB2+AC2=12+22=5,BC2=(V52=5' ..A B2+AC2=BC2, ∴.△ABC是直角三角形，且∠BAC=90口°， 25 PE⊥AB,PF⊥AC, .∠AEP=∠AFP=90▣°， ∴.四边形AEPF是矩形， ∴.EF=AP .‘M为EF中点， ∴AM-En-号AD 根据垂线段最短可知，当AP⊥BC时，AP最短，此时AM也最小， 此时S6号ABAC=号BC~AP, 1 AP=AB·AC=1×2_25 BC 55, AM的最小值为 1x25_5 5 5 例4.（矩形中折叠问题）(1)性质：如图，矩形ABCD中，AB=5cm,BC=10cm.F 是AB上一点，将△AFD沿DF所在的直线折叠，点A恰好落在BC边上的点E处，连接 AE交DF于点G,取EC的中点H,连接GH,则GH=_cm. A D G H 【答案】 5/5 2 【详解】解：由折叠可知，DF垂直平分AE,连接AC, D B E H .G是AE的中点， ,H是BC的中点， 26 :GH吃Ac '.AB=5cm,BC=10cm, .'AC=VA B2+BC2=5V5cm' GH=5 -cm, 2 5V5 故答案为： 2 (2)勾股定理方程思想：如图，在矩形纸片ABCD中，AB=10,BC=8,点P在BC边 上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处.PE、DE分别交AB于点O、F,且 OP=OF,则AF的长为 C D 【1号时 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， AB=CD=10,∠C=∠B=∠A=90°，AD=BC=8, 根据折叠可知，DC=DE=10,CP=EP,∠C=∠E=90°， 在△OEF和△OBP中 ∠EOF=∠BOP ∠B=∠E=90° OP=OF .△OEF≌△OBPAAS, ∴OE=OB,EF=BP, ∴.OF+OB=OE+OP, ∴.BF=EP=CP, 27 设BF=EP=CP=X,则 AF=10-x,BP=8-x=EF,DF=DE-EF=10-8-x=x+2, 在Rt△ADF中，由勾股定理得AF2+AD=DF2, 10-x+82=2+x 解得x=20 AF=10-x=10-20-10 331 10 故答案为： 3 (3)如图，已知长方形ABCD中，AB=8Cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将 △ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,则CE的长为 E B 【答案】3cm 【详解】解：，长方形ABCD中，AB=8cm,BC=10cm, .'AD=BC=10 cm,CD=AB=8cm, 设CE=xcm,则DE=CD-CE=8-xcm, 由折叠得AF=AD=10cm,EF=DE=8-xcm, 在Rt△ABF中，BF=VAF2-AB=V102-8=6cm .'CF=BC-BF=10-6=4cm, 在Rt△CEF中，CF+CE2=EF2, .42+x2=8-x2 解得X=3, 即CE的长为3cm, 故答案为：3cm, 28 例5.（二倍角的应用）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点， AE=CF,连接EF、BF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC, FC=V3,则AB的长为() B A.23 B.33 c.43 D.6 【答案】B 【详解】连接OB E B ,四边形ABCD是矩形，AE=CF,BE=BF, .AE‖CF,∠ABC=∠BCF=90, ,∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO, ∴.△AOE≌△C0F, ∴.OE=OF,OA=OC .OA=OB=OC,BO⊥EF, ,∠ABO=∠BAC=∠FBO, 设∠ABO=x, ,∠BEF=2∠BAC, .∠BEF=2x, .2x°+X°=90°， 解得X=30, .∠ABF=60°， .∠FBC=30°， :CF=3, 29 :.BF=BE=2CF=23, ∴AB=BE+AE=23+93=33, 故选B. 【实战演练】 1.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,∠BAD的角平分线交BC于点E,若 ∠AOB=50°，则∠OAE的度数是() A.15° B.20° C.25 D.30 【答案】B 【详解】解：矩形ABCD中，∠BMD=90°，AC=BD,A0=AC,B0-号BD ∴.AO=BO,∠AOB=50°， ∠0AB=∠0BM=号180-∠A0B=65, ,AE平分∠BAD, .BAE-BAD-45, ∴.∠OAE=∠OAB-∠EAB=65°-45°=20°， 故选：B· 2.如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O,∠AOD=45°，AC=10,E是BD延 长线上一点且AE=号BD,则DE的长为() 30 D A.2 B.5V2-5 c.10-52 D. 10只/2-10 【答案】B 【详解】解：，四边形ABCD为矩形， :,AC、BD相等且互相平分， :AC=BD=10,A0=号AC=号BD=0D=5, :AE=1BD. 2 .AE=5, ..AE=AO. ∴.∠AOE=∠E=45°， .∠EAO=90°， EO-AE+AO-52 ..DE=OE-OD=52-5. 故选：B 3.如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，AB=6,BD=10,E为边BC上 一点，且BE=2,连接AE,取AE的中点F,连接OF,则OF的长度为() D B E A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 【答案】c 31 【详解】解：取AB中点M,连接OM和FM, 4 M ○ ,在矩形ABCD中， ,∠BAD=90°，AD‖BC, ∴.AD=BD2-AB2=102-62=8' O为对角线BD的中点，F为AE的中点，M为AB中点， .OM,FM分别为△ABD和△ABE中位线， .OM-AD-4.FM-BE=1 ROM AD I BC.FMIBE. ∴.O,F,M三点共线， ∴.OF=OM-FM=4-1=3. 故选：C 4.如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB=3,BC=5,PE⊥BC于点E, PF⊥CD于点F,连接AP,EF,则AP+EF的最小值为 D 【答案】34 【详解】解：连接CP, D ABCD B E 四边形 是矩形， ∴.∠BCD=90°， 32 .PE⊥BC,PF⊥CD, ∴四边形PECF是矩形， ∴.EF=CP, .AP+EF的最小值即为AP+CP的最小值， 当A,P,C三点共线时，AP+CP的值最小，且为AC的长度， .四边形ABCD是矩形， ∴.AC=VAB2+BC2=V32+52=/34' .AP+EF的最小值为V34 故答案为：V34」 5.如图，点E为矩形ABCD边CD的中点，点F为边上一点，且∠FAE=∠EAD, 若BF=8,FC=2,则AF的长为 D F 【答案】12 【详解】解：延长AE、BC交于G, D B F G ,四边形ABCD是矩形， AD‖BC,BC=AD, ,∠DAE=∠G, E是CD的中点， .DE=CE, ,∠AED=∠CEG, 在△ADE和△GCE中， 33 ∠DAE=∠G ∠AED=∠CEG DE=CE ∴.△ADE≌△GCE AAS, ∴.CG=AD, :BF=8,FC=2, .BC=8+2=10, ∴.CG=AD=10. .FG=CG+FC=10+2=12, ,∠FAE=∠EAD, .∠fAE=∠G, .AF=FG=12. 故答案为：12. 6.如图，在矩形ABCD中，BC=6,M为AB的中点，连接MD,E为MD的中点，连接 BE,CE,若∠BEC为直角，则AB的长为一 E B 【答案】4 【详解】解：如图，连接AE,过点E作EF⊥AD于F,并延长FE,交BC于点H, ,四边形ABCD是矩形，BC=6, ∴.∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°，AD=BC=6,AB=DC,AD‖BC, F ∠AFH=∠BHF=90° .∴.四边形ABHF是矩形， ,E为MD的中点， ∴.AE=DE, 34 ∴.AF=DF, ∴. EF=号AM,BH=CH, .∠BEC=90°， .EH=2Bc=3, M为AB的中点， AM-. .EF=1AB=1FH, 4 4 .EH=3AB=3, 4 .AB=4. 故答案为：4. 7.在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落 在矩形ABCD内的点F处，连接CF,则CF的长为 【答案】 18 【详解】解：取CF的中点M,连接EM, H ,矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E为BC中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩 形ABCD内的点F处， 35 ABE=90.BE-EC-EF-BC-3,BH-HF-BF,BHE-90, AE-YAB+BE-5,FM-MC=TCF.EMF-90 BH=-号W=B, EM=12 ∴.FM=VEF2-EM=9 ·CF=2FM= 5 8 故答案为：5 8.如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G 矩形ABCD的内部，延长BG交DC于点R,若DC=5DP,则6。☐ E 【1阳 【详解】解：连接EF,则∠EGF=∠D=90°， E A G 点E是AD的中点， ∴，由折叠的性质知，EG=ED, 36 在Rt△EGF和Rt△EDF中， EG=ED EF=EF .Rt△EGF≌Rt△EDF HL, .GF=DF 设DF=X,BC=y,则有GF=X,AD=y, .DC=5DF, .DC=AB=BG=5x,CF=4x. .BF=BG+GF=6x, 在Rt△BCF中，由勾股定理得： BC2+CF2=BF2, 即y+4xP=6x, 化简得：y=2V5x, BC_y_25x_25 AB 5x 5x 2V5 故答案为： 5 9.如图，将矩形纸片ABCD沿边GH折叠，使点A落在边BC的中点M处.若AD=3, AB=2,则GM的长为() G D 3 A. 8. 25 D. 35 2 16 【答案】B 【详解】解：如图，过点G作GN⊥BC于点N,则∠GNM=∠GNC=90, 37 G D B M ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠D=∠C=∠A=90°，AD=BC=3,AB=CD=2, “四边形GNCD是矩形， ∴.GD=CN,CD=GN=2, ,将矩形纸片ABCD沿边GH折叠，使点A落在边BC的中点M处. .BM-CM-C 设GM=AG=x,则GD=NC=3-X, N=CM-Nc-=号-3-X=x多 在Rt△MNG中，GM2=MN2+GN2,即X-X 312 22 解得x= 25 12 即GM的长 12 10.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为8,0,8,6，(0,6，点D为 线段BC上一点，将△OCD沿OD翻折，点C刚好落在OB上E点处，则点D的坐标为 B O 【答案】3,6 38 【详解】解：点A,B,C的坐标分别为8,0,8,6,0,6， ∴.OA=8,AB=OC=6,OA⊥AB,OC⊥OA, OC AB'OB=ROA+AB=10' .四边形OABC是平行四边形， 又.OC⊥OA, ∴.平行四边形OABC是矩形， ∴.BC=OA=8,∠OCB=90°，BC‖OA, ∴.设点D的坐标为a,6,则CD=a, .BD=BC-CD=8-a, 由折叠的性质得：∠OED=∠OCB=90°，DE=CD=a,OE=OC=6, ∴.∠BED=90°，BE=OB-OE=4, 在Rt△BDE中，BE2+DE=BD,即42+a=8-a2, 解得a=3, .点D的坐标为3,6， 故答案为：3,6. 11.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E是BC边上一点，连接DE,把∠C沿 DE折叠，使点C落在点C处，当△BEC为直角三角形时，CE的长为 D E 【省类18号 【分析】分情况讨论：当∠BCE=90时，当∠BEC=90时，分别利用矩形的性质和 勾股定理进行计算即可. 【详解】解：如图1，当∠BCE=90时， 39 D ABCD AB=3 AD=BC=4 E 图1 矩形 中， .BD=VAB+AD2=V32+42=5' ,把∠C沿DE折叠，使点C落在点C处 ∴.∠DCE=∠C=90°，CE=CE,DC=DC=3, ,∠BCE=90°， B,C,D三点共线， .BC=BD-CD=5-3=2,BE=4-C E, BC2+EC2=BE2, .2+CE2=(4-CE)2, 解得CE=号 .CE=CE=3 如图2，当∠BEC=90时， D ABCD AB=3 AD=BC=4 图2 矩形 中， ∴.BD=VAB+AD=32+4=5 ,把∠C沿DE折叠，使点C落在点C处， .∠DCE=∠C=90°，CE=CE,DC=DC=3, :∠CDC=90°， ∴.四边形ECDC是正方形， .∴.C'E=CE=CD=3; 40 家上所。，当ABEC为直角三角形时，CE的长为3或号 12.如图所示，把一个长为10，宽为6的矩形纸片OACB放置在平面直角坐标系中，矩形 的边OB在y轴上，边OA在X轴上，若点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到 △OPD,连接CD、AD.当P在运动过程中，CD的最小值为 B 【答案】2V34-6/-6+2/34 【详解】解：如图，连接OC, B 由题意可知，在矩形OACB中，OB=6,BC=10,∠OBC=90°， 在Rt△0BC中，OC=OB+BC=6+10=234' ,△OPD由△OBP沿OP折叠得到， ∴.OD=OB=6, .OD+CD≥OC, ∴.CD≥OC-OD, ∴.当O、D、C三点共线时，CD取得最小值OC-OD=2V34-6! 二.直角三角形斜边上的中线 例1.（角度一半关系）如图，在四边形ABCD中∠ABC=∠ADC=90°，E为对角线 41 AC的中点，连接BE、ED、BD,若∠BAD=56°，则∠BED的度数为 B 【答案】112/112度 【详解】解：：'∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点， :DE=号AC,BE=号AC, 2 ∴.DE=BE=AE, .∠DAE=∠ADE,∠BAE=∠ABE, ∴.∠ADE+∠ABE=∠DAE+∠BAE=∠BAD=56°， .'∠DEC=∠DAE+∠ADE,∠BEC=∠BAE+∠ABE, ∴.∠DEC+∠BEC=∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABE, ∴.∠BED=∠BAD+∠ADE+∠ABE=56°+56°=112°」 故答案为：112， 例2.（长度一半关系）(1)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠ABC=30°， AB=12,D为AB的中点，过点D作AC的平行线，过点A作CD的平行线，两线相交于点 E,则CE长为() B A.6 B.63 C.12 D.65 【答案】B 42 【详解】解：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠ABC=30°，AB=12, :AC-号AB=6(30°对的直角边是斜边的-半)： .D是AB中点， “CD=AD=号AB=6(直角三角形斜边中线等于斜边的一半). 由DE‖AC,AE CD, 四边形ACDE是平行四边形 .∴.DE=AC=6,AE=CD=6: 过点D作DF⊥AC,过E作EG⊥AC E .·AD=AC .∴.△ACD为等腰三角形 .DF⊥AC AF=AC=3(三线合-) ∴.DF=AD2-AF2=3V3 ∴.EG=DF=3/3 在Rt△AEG中，EG=3V3AE=6 由勾股定理得AG=AE-EG=3 在△CEG中，CG=AG+AC=9,EG=33 由勾股定理得cE=/EG2+CG=108=63 故选B (2)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到 43 △ABC,点M是BC的中点，点P是AB的中点，连接PM.若BC=2V2,AC=2V6, 则线段PM长度的最大值是() M A.4V2 B.3V2 c.2V2 D.23 【答案】B 【详解】解：如图， P M B 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2V2,AC=2只6， 由勾股定理得：AB=VBC2+AC=22+26=4V2 ,△ABC旋转得到△ABC,M是BC的中点，P是AB的中点， PC-JA8-jAB-2V2.CM-CB-V2, ∴.PM≤CP+CM=2V2+V2=3V2, .PM的最大值为32（此时P、C、M共线）· 故选：B 【实战演练】 1.已知在△ABC中，AC=6Cm,点D,E分别是AC,BC的中点，连接DE,在DE上 有一点F,EF=1cm,连接AF,CF,若AF⊥CF,则AB的长为() 44 A.6cm B.7cm C.8cm D.10cm 【答案】C 【详解】解：，AF⊥CF, .∠AFC=90°， :D是AC的中点， DF-ZAC-2*6-3 cm. .EF=1 cm, ∴.DE=EF+DF=4Cm, :点D,E分别是AC,BC的中点， .AB=2DE=8cm. 2.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=2,AE平分∠BAD交BC于点E,点F为BE 的中点，则线段CF的长为() A.3 8.3 c.5 5 2 D.2 【答案】D 【详解】解：，四边形ABCD是矩形 ∴.AB=CD=3,AD=BC=2,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°， AB‖CD .AE平分∠BAD ∴.∠BAE=∠DAE=45°， ∴.∠DAE=∠DEA=45, 45 .DA=DE=2, ∴.CE=CD-DE=3-2=1, 在Rt△BCE中，BE=VBC'+CE-V2+T=5 点F为BE的中点 CF=号E= 2 2 故选：D 3.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,连接OE.若 BC=10,OE=6,则AE= 【答案】9.6 【详解】解：四边形ABCD是菱形， 其对角线互相垂直且平分， .0是AC的中点. 又AE⊥BC, ∴，△AEC是直角三角形，OE是斜边AC的中线 .AC=2×OE=2×6=12, 在菱形ABCD中，AB=BC=10,且A0=AC=6. ,对角线互相垂直(AC⊥BD), “△AOB是直角三角形. 由勾股定理得： B0=VAB2-A02=V102-62=8' .BD=2×B0=16. :菱形的面积公式分为两种：①对角线乘积的一半，即S=号×AC×BD, 46 ②底乘高，即S=BC×AE. ÷×12×16=10×A证 96=10×AE 加-8 AE=9.6, 故答案为：9.6」 4.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点C作CE⊥AB,交AB于点 B,连接OE,若OE=3,OB=4,则CE的长为· A D 【塔深1号 【详解】解：，四边形ABCD是菱形，OB=4, ..OA=OC,BD=20B=8,AC L BD, :CE⊥AB, .∠CEA=90°， .AC=2OE=2×3=6, .OA=3, 在Rt△A0B中，由勾股定理得：AB=OA'+0B=-3+4=5 S#版n=AB-CE=AC~BD=×6×8=24, .5CE=24, CE=24 故答案为： 24 47 三.矩形的判定 例1.（中点四边形)(1)依次连接矩形中点得到的四边形一定是 【答案】菱形 【详解】解：如图，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点，AC,BD为矩形ABCD 的对角线， B .AG=BD,HG I AC,EF I AC,HG-AC,EF-AC,HE-BD-TAC. .HG‖EF,HG=EF,HE=HG, ∴.四边形EHGF为菱形 (2)如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线，点E,F分别是AD,BC的中点，点 M,N分别是AC,BD的中点.若四边形EMFN是矩形，则原四边形ABCD应满足的条件 是() E D A.AC⊥BD B.∠ABC+∠DCB=90° C.AC=BD D.AB=CD 【答案】B 【详解】解：：E,F,N,M分别是AD,BC,BD,AC的中点， ∴.EN、NF、FM、EM分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线， .EN-AB.FM-ZAB,FN-CD.EM-CD,EN AB,EN CD, ∴.EN=FM,FN=EM、 48 .∴.四边形EMFN为平行四边形， 当AB⊥CD时，EN⊥FN,则此时平行四边形EGFH为矩形， 而当∠ABC+∠DCB=90°可证明AB⊥CD, 故选：B. 例2.如图，在△ABC中，点D为AC的中点，AE‖BD,BE‖AC,则下列说法错误的 是() D E A.当AB=CB时，四边形AEBD是矩形 B.当AC=2BC时，四边形AEBD是矩形 C.当∠ABC=90时，四边形AEBD是菱形 D.当∠E=2∠C时，四边形AEBD是菱形 【答案】B 【详解】解：，AE‖BD,BE‖AC, ,四边形AEBD是平行四边形， .AB=BC, ∴，△ABC是等腰三角形， ,点D为AC的中点， .BD⊥AC,即∠BDA=90°， ∴四边形AEBD是矩形，故选项A正确； 当AC=2BC时，则AD=CD=BC, .∠CDB=∠CBD 若四边形AEBD是矩形，则∠ADB=90°， .∠CDB=∠CBD=90°（不满足三角形内角和定理），故选项B错误； 当∠ABC=90°时， 0 :点D为AC的中点， -B0号4C=AD ,四边形AEBD是平行四边形， ∴，四边形AEBD是菱形，故选项C正确； :AE‖BD,BE‖AC, .∠E+∠DBE=180°，∠DBE+∠ADB=180°， .∠E=∠ADB 当∠E=2∠C时，则2∠C=∠ADB .∠ADB=∠C+∠CBD, .∠C+∠CBD=2∠C, ∴.∠CBD=∠C, .BD=CD ,点D为AC的中点， ∴.AD=CD, .AD=BD. .四边形AEBD是菱形，故选项D正确. 故选：B. 例3，（不加条件证明）2.己知：如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E, A,C,F在同一直线上，DE‖BF,连接BE、DF. A (1)求证：△ADE≌△CBF: (2)若∠AOD=2∠BEF,判断四边形EBFD的形状，并证明你的结论. 【答案】(1)证明：·四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,OD=OB,OA=OC, 50 .DE BF, .∠g=∠BFE, 在△ODE和△OBF中， OD=OB ∠DOE=∠BOF ∠DEO=∠BFO .∴.△DOE≌△BOF AAS, ∴.OE=OF,DE=BF, .OE=OF,OA=OC, .∴.OE-OA=OF-OC, 即AE=CF, 在△ADE和△CBF中， DE=BF AE=CF AD=CB ∴.△ADE≌△CBF|SSS: (2)解：四边形EBFD是矩形，理由如下： 由(1)知：DE=BF, 又DE‖BF, 四边形EBFD是平行四边形， .'OE=OF=I EF,OB=OD=BD, .·∠AOD是△EOB的一个外角， ∴.∠AOD=∠BEF+∠EBO, 又.'∠AOD=2∠BEF, ∴.∠BEF=∠EBO ∴.OE=OB ∴EF=BD ∴.口EBDF是矩形. 例4.（加条件证明题）如图，在△ABC中，BD为△ABC的中线，E为BD的中点，过 57 点B作BF‖AC,交CE延长线于点F,连接DF (1)求证：四边形BCDF是平行四边形： (2)连接AF,当△ABC满足不同条件时，四边形AFBD可能是矩形或菱形.请从以下两个 结论中选择一个，先填写△ABC应满足的条件，再进行证明. 结论①：当△ABC满足 时，四边形AFBD是矩形： 结论②：当△ABC满足 时，四边形AFBD是菱形 【答案】(1) 证明：：BF‖AC, ∴.∠FBE=∠CDE, E是BD的中点， ∴BE=DE, 在△BFE和△DCE中， ∠FBE=∠CDE BE=DE ∠BEF=∠DEC .△BFE≌△DCEASA .BF=DC. ,BD为△ABC的中线， ∴.D是AC的中点， .AD=DC, ..BF=DC, BF‖DC, ,四边形BCDF是平行四边形： (2) 解：连接AF,如图， 52 ①当△ABC满足AB=BC时，四边形AFBD是矩形，理由如下， B ,BD是中线，且AB=BC, .BD⊥AC,即∠ADB=90°， 由(1)知，BF‖AC且BF=DC, :D是AC中点， .DC=AD. .BF=AD, ∴.四边形AFBD是平行四边形， .∠ADB=90°， ∴.平行四边形AFBD是矩形； ②当△ABC满足∠ABC=90时，四边形AFBD是菱形，理由如下， :∠ABC=90°，BD是中线， ..BD=AD=DC, 由(1)知，BF‖AC且BF=DC, ∴BF=AD, .四边形AFBD是平行四边形， .BD=AD. ∴.平行四边形AFBD是菱形. 例5.（选条件证明题）如图，在口ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，DM‖AE, 交EF的延长线于点M. 53 (1)求证：△AEF≌△DMF: (2)已知（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AEDM的形 状，并证明你的结论.（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 条件①：AE平分∠BAD: 条件②：AD=2AB 【答案】(1)证明： AE‖DM.∠AEF=∠DMF,∠EAF=∠MDF ,F是AD的中点 ∴AF=DF ∴·△AEF≌△DMF (2)若选择条件①，四边形AEDM是矩形 由(1)可知，△AEF≌△DMF ..AE=DM,EF=FM 又，AE‖DM ,四边形AEDM是平行四边形 ,四边形ABCD是平行四边形 .AD‖BC,AD=BC E,F分别是BC,AD的中点 .AF=BE “,四边形ABEF是平行四边形 ∴.AB=EF ,AE平分∠BAD .∠BAE=∠FAE .AD‖BC ∴.∠AEB=∠FAE ∴.∠AEB=∠BAE 54 ..AB=BE ∴.四边形ABEF是菱形 ∴.AF=EF .AD=AF+FD=2AF=2EF=EF+FM=EM .平行四边形AEDM是矩形 若选择条件②，四边形AEDM是矩形 由(1)可知，△AEF≌△DMF .AE=DM,EF=FM 又，AE‖DM ∴.四边形AEDM是平行四边形 ,四边形ABCD是平行四边形 .AD‖BC,AD=BC :E,F分别是BC,AD的中点 ∴.AF=BE ∴四边形ABEF是平行四边形 ∴.AB=EF .AD=2AB=2AF .∴.AB=AF=EF .AD=AF+FD=2AF=2EF=EF+FM=EM .平行四边形AEDM是矩形 【实战演练】 1.如图，E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则 四边形ABCD应具备的条件是(） 55 D H A A.一组对边平行而另一组对边不平行 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分 【答案】C 【解答】解：要是四边形EHGF是矩形，应添加条件是对角线互相垂直， D H A E 理由是：连接AC、BD,两线交于O, B 1 根据三角形的中位线定理得：EFAC,EF=2AC,GH4C,GH=2AC, ∴.EFGH,EF=GH, ∴.四边形EFGH一定是平行四边形， ∴EF‖AC,EHBD, BD⊥AC, 56 ∴.EH⊥EF, ∴.∠HEF=90°， 故选：C 2.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别为边AB,CD的中点，BD是对角线，下列 说法错误的是() A.当AB=2AD时，四边形DEBF是菱形 B.当∠ADB=90°时，四边形DEBF是菱形 C.当AD=BD时，四边形DEBF是矩形 D.当DE平分∠ADB时，四边形DEBF是矩形 【答案】A 【详解】解：，平行四边形ABCD, .AB=CD,AB‖CD, E,F分别为边AB,CD的中点， DF-CD,BE-AB. .DF=BE, ∴四边形DEBF是平行四边形， 当AB=2AD时，不能得到DE=BE,故不能判定四边形DEBF是菱形，即A选项符合题 意， 当∠ADB=90°时， DE=BE=AB. ∴.四边形DEBF是菱形，即B选项不符合题意， 57 当AD=BD时，DE⊥AB, ∠DEB=90, ∴.四边形DEBF是矩形，即C选项不符合题意， 当DE平分∠ADB时，如图，延长DE,CB交于点H, B ,DE平分∠ADB, ∴∠ADE=∠BDE, AD BH, .∠H=∠ADE=∠BDE, .DB=BH, ,AE=BE,∠AED=∠BEH,∠ADE=∠H. ∴.△ADE≌△BHE(AAS), .DE=EH, DE⊥EH, ∴四边形DEBF是矩形，即D选项不符合题意， 故选：A 3.已知：如图，在口ABCD中，AC与BD交于点O,AG‖DB交CB的延长线于G,E为 AG中点，连接BE G B (1)求证：△ADO≌△BGE, 58 (2)若∠DAG=2∠ADB,BC=BD,请判断四边形AOBE的形状，并证明你的结论. 【答案】(1) 证明：由题意四边形ABCD是平行四边形， 则AD‖GB .AGDB ∴.四边形AGBD为平行四边形， .∠ADO=∠BGE,AD=BG AG DB, ∴.∠EGB=∠DBC, 又'ADBC ∴.∠ADO=∠DBC, ∴.∠ADO=∠EGB, 在△ADO和△BGE中， ∠DAO=∠GBE AD=BG ∠ADO=∠BGE .∴.△ADO≈△BGE(ASA). (2) 解：四边形AOBE是矩形 证明如下： AG‖DB, ∴.∠DAG+∠ADB=180°，∠ADB=X,则∠DAG=2X, .∴.2x+x=180°，解得x=60°， ∴.∠ADB=60°，∠DAG=120°， .'AD=BD,∠ADB=60°， ∴.△ABD是等边三角形， .AB=AD=BD,∠DAB=60°， ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AG=BD=AB, ,E为AG中点， 59 ∴AE-号AG-号AB, .OA=OC -AC. 在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°， ∴.∠ABC=120, BC=BD=AB, .△ABC中，AB=BC,∠ABC=120°， .∴.∠BAC=∠BCA=30, ∴∠OAB=30°， .'∠DAB=60°， .∠OAD=30°， ∴.∠OAB=∠OAD, .AO平分∠DAB, .△ABD是等边三角形， ∴.AO⊥BD, .∠AOB=90°， :AG DB.AE=IAG,OB-IBD. .AEOB且AE=OB, ∴.四边形AOBE是平行四边形， 又.'∠AOB=90°， ∴.四边形AOBE是矩形. 4.如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是对角线，点B、E、C、G在同一条直线上， 且BE=EC=CG,AE延长线交DC延长线于F. (1)求证：△ABE≌△FCE: 60 (2)若BC=2CD,请判断并证明四边形DEFG的形状. 【答案】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ..AB CD, ∴.∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠ECF, 在△ABE和△FCE中， ∠BAE=∠CFE ∠ABE=∠ECF BE=CE ∴.△ABE≌△FCEAAS. (2)解：四边形DEFG是矩形，证明如下： ,四边形ABCD是平行四边形， ..AB=CD 由(1)可知△ABE≌△FCE, ∴.AB=FC, ∴.CD=FC, .EC=CG. ∴.四边形DEFG是平行四边形， ,BC=2CD,且BE=EC=CG, ∴.CD=CE=CG=CF,即EG=DF, 四边形DEFG是矩形. 5.在平行四边形ABCD中，连接AC、BD交于点O,点E为AD的中点，连接CE并延长 交BA的延长线于点F. (1)求证：A为BF的中点： (2)若△ABD添加一个条件」 ∠ABC=60°，连接DF,试判断四边形ACDF是 矩形，请填空，并说明理由， 61 【答案】(1) 证明：点E为AD的中点， .AE=DE, ,四边形ABCD是平行四边形， .AB=DC,AB‖DC, ,∠AFE=∠DCE, 又，∠AEF=∠DEC, ∴.△AEF≌△DEC, ..AF=DC, ..AB=AF, 即A为BF的中点： (2) 解：AD=2AB: 理由如下：由(1)得AFDC,且AF=DC, .四边形ACDF是平行四边形， ,四边形ABCD是平行四边形， A .AD=BC, .AD=2AB ..BC=2AB, .BF=2AB. .BC=BF, 又.∠ABC=60°， ∴△BCF是等边三角形， .AB=AF, .AC⊥AF, ∴∠CAF=90 62 ∴，平行四边形ACDF是矩形. 6.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，延长CE至F点，使得 CE=FE,连接AF,BF」 (1)求证：AF=BD: ②)△ABC满足怎样的条件时，使得四边形AFBD是矩形？并请说明理由. 【答案】(1)证明：.点E是AD的中点， .AE=DE, AE=DE 在△AFE和△DCE中， ∠AEF=∠DEC EF=EC ∴.△AFE≌△DCE, ∴.AF=DC, :点D是BC边的中点， ∴.BD=DC, .'AF=BD; (2)添加AB=AC,可得平行四边形AFBD是矩形，理由如下： :'△AFE≌△DCE, ∴.∠AFE=∠DCE, ∴.AF‖DC, 又.'AF=BD .四边形AFBD是平行四边形， 当AB=AC时，.'点D是BC的中点， .AD⊥BC,即∠ADB=90°， ∴.平行四边形AFBD是矩形 63 7.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,直线GH经过点O,分别 与BA、DC的延长线交于点G、H,与AD、CB交于点E、F. G (1)求证：△AOG≌△COH: (2)连接AH、CG,若GH=GD,当点C位于DH的什么位置时，四边形AHCG是矩形？ 请说明理由， 【答案】(1)见解析 (2)当C为DH的中点时，四边形AHCG是矩形，理由见解析 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AO=OC,AB‖CD ∴.∠G=∠H 在△AOG与△COH中， ∠AOG=∠COH ∠G=∠H AO=CO ∴.△AOG≌△COH(AAS): (2)解：当C为DH的中点时，四边形AHCG是矩形. 理由：.：△AOG≌△COH, ..OG=OH,OA=OC, ∴.四边形AHCG是平行四边形， .GH=GD,C为DH的中点， ∴GC⊥CD, .∴.∠GCH=90°， 64 .∴.四边形AHCG是矩形. 8.如图，在口ABCD中，E,F分别是边BC和AD的中点，G,H在对角线AC上，且 AG=CH=AC,连接GF,EH. 4 E (1)求证：△AFG≌△CEH: (2)连接GE,FH,当AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形EHFG是矩形？请证明你 的结论。 【答案】(1) 证明：，口ABCD .AD‖BC,AD=BC, ∴.∠FAG=∠ECH, E,F分别是边BC和AD的中点， .GE-BC.AF-AD, ∴.AF=CE, 在△AFG和△CEH中， AF=CE ∠FAG=∠ECH AG=CH .△AFG≌△CEH SAS. (2) 当AC=2AB时，四边形EHFG是矩形. 证明：连接EF交AC于O,如图， 65 由(1)知，△AFG≌△CEH, .FG=EH,∠AGF=∠CHE, ∴.∠FGH=∠EHG, FG‖HE, ∴，四边形EHFG是平行四边形， ..OG=OH AG-CH-AG :.GH=AC-AG-CH=1AC :OG=OH=AG=CH=1AC, :0A=0C-AC. .CE=BE, 0E号8， 当AC=2AB时，即AB= AC, 0-号4c ∴.OE=OG=OF=OH, ∴EF=GH, “.四边形EHFG是矩形. 9.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,延长BC到点E,使得 CE=BC,连接DE,点F是DE的中点，连接CF 66 (1)求证：四边形ADEC是平行四边形： (2)条件：①四边形ABCD是矩形： ②四边形ABCD是菱形. 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形ODFC的形状（两个都写以第一个为 准) 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD‖BC,即CE‖AD, .CE=BC, ∴.CE=AD, “四边形ADEC是平行四边形： (2) 选择①：四边形ODFC为菱形，证明如下： :四边形ABCD是矩形， 0D-OG--BD. ,CE=BC,点F是DE的中点， .CF为△BDE的中位线， ∴CF=2BD,CF|BD, ∴CF=OD “.四边形ODFC为平行四边形， .OC=OD .四边形ODFC为菱形： 选择②：四边形ODFC为矩形，证明如下： 四边形ABCD是菱形， 67 AC LBD.OD-BD. CE=BC,点F是DE的中点， .CF为△BDE的中位线， ∴CF=BD,CF|BD, ∴.CF=OD, ∴.四边形ODFC为平行四边形， AC⊥BD .四边形ODFC为矩形. 10.如图，在口ABCD中，AD=2AB,∠BAD的平分线交BC于点O,交DC的延长线 于点E (1)求证：CE=CD: (2)己知 (从以下两个条件中选择一个作为己知，填写序号)，请判断四边形ABEC 的形状，并证明你的结论 条件①：∠AOC=2∠D: 条件②：∠EAB=2∠CAD」 (注：如果选择条件①和条件②分别进行解答，按第一个解答计分) 【答案】(1) 证明：，四边形ABCD为平行四边形， .AB=CD,AB‖CD, .∠BAE=∠AED, ,'AE是∠BAD的平分线， .∠BAE=∠EAD .∴.∠EAD=∠AED 68 .'AD=DE, AD=2AB,DE=DC+CE,AB=CD, ∴.CE=CD: (2) 若选择条件①，四边形ABEC是矩形. 由(1)可知，CE=CD,CD=AB, ∴.CE=AB, 又'ABCD ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴.OA=OE,OB=OC, .四边形ABCD为平行四边形， .∠ABC=∠D, .'∠AOC=∠ABC+∠BAE,∠AOC=2∠D=2∠ABC, .∴∠ABC=∠BAE, ∴.OA=OB, ∴.OA=OE=OB=OC, .'AE=BC, ∴.平行四边形ABEC是矩形. 若选择条件②，四边形ABEC是矩形. 由(1)可知，CE=CD,CD=AB, ∴.CE=AB, 又.AB‖CD ∴.四边形ABEC是平行四边形 ∴.OA=OE,OB=OC, :∠BAE=∠EAD,∠BAE=2∠CAD, ∴.∠EAC=∠CAD ,四边形ABCD为平行四边形， .AD‖BC, .∴.∠ACB=∠CAD, .∠ACB=∠EAC, 69 ..OA=OC, ∴.OA=OE=OB=OC, ∴.AE=BC, ∴.平行四边形ABEC是矩形. 四.矩形作国 例1.（给对角线）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：线段a. 求作：矩形ABCD,使它的对角线AC,BD交于点O,且BD=a,∠AOD=120°， a 【答案】 解：如图，矩形ABCD即为所求： 【详解】略 义 ja 个 【分析】根据矩形的性质，结合∠AOD=120°，得到△AOB为等边三角形，作线段a的 中点，作线段BD=a,以B,D为圆心，之a为半径画圆，确定点0，再以0为圆心，专a为 半径画圆，与⊙B,⊙D的交点，确定点A,点C,连接AB,BC,CD,AD,AC,根据对 角线互相平分且相等的四边形为矩形，即可得到矩形ABCD. 例2.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹： 已知：如图，点O是∠ABC内部一点. 70 0 B 求作：矩形ODEF,使得点D在边BA上，点E,F在边BC上. 【答案】 矩形ODEF如图所示： 【分析】过点O作OF⊥BC于点F,过点O作OD⊥OF交AB于点D,以F为圆心，OD 为半径作弧交FB于点E,连接DE即可.则OD‖BC,EF=OD,得四边形ODEF为平行 四边形，因为OF⊥BC,得∠OFE=90°，证明四边形ODEF是矩形，且点D在边BA上， 点E,F在边BC上，则矩形ODEF即为所作. 【实战演练】 1.已知：线段m. 求作：矩形ABCD,使对角线为m,一边为对角线m的一半。 m 【答案】 四边形ABCD即为所求： 71 【分析】本题考查了作图-复杂作图，矩形的判定，等边三角形的性质与判定，线段垂直 平分线，熟知相关知识以及相关基本尺规作图方法是解题的关键.如图所示，设的两个 端点为B、D,作线段BD的垂直平分线交BD于O,以O为圆心，OB的长为半径画圆，再 分别以B、D为圆心，OB的长为半径画弧，分别交⊙O于A、C,连接AB,BC,CD, AD,则四边形ABCD即为所求. 2.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 己知：线段a. 求作：矩形ABCD,对角线的长度为a,并且对角线的夹角为45°， 0 【答案】 解：作图如下： kM G 米N 即矩形ABCD即为所求。 【分析】本题考查了矩形的性质，尺规作图，先作射线AG,在AG上截取AC=a,然后作 线段AC的垂直平分线MN交AC于O,作∠MOC的平分线OP,在射线OP上截取点D, 使OD=OC,在射线OP的反向延长线上截取点B,使OB=OC,连接AB、BC、CD、 DA即可. 3.请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 已知：直线l,直线l外一点A,∠C. 求作：矩形ABCD,使边BC在直线l上，且∠BAC=∠a. 72 人 【答案】如图所示，矩形ABCD和矩形ABCD即为所求： D 【分析】本题考查了尺规作图、矩形的判定，理解题意，掌握基本的作图方法是解题关键. 利用尺规过点A作直线的垂线，交直线l于点B,再作∠BAC=∠Q交直线！于点C和C, 再以点C和C为圆心，AB长为半径向上画弧，以A为圆心，BC长为半径画弧，分别交于 点D和D,再根据矩形的判定可知四边形ABCD和ABCD为矩形，则图形即为所求. 4.已知：线段a(如图). 求作：矩形ABCD,使它的对角线AC,BD相交于点O,其中AC=a,∠AOB=60. a 【答案】 如图，平行四边形ABCD是矩形，即为所求. a D C 【详解】任意作射线AM,以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AM于点C, 则AC=a, 以点A,C为圆心，以大于 AC为半径画弧，即作线段AC的垂直平分线，交AC于点O, 分别以点A,O为圆心，OA的长为半径画弧，两弧相交于点B,则AO=AB,OA=OB, 73 即OA=OB=AB, 延长BO至点D,以点O为圆心，以OB为半径画弧，交于点D,则OD=DB,连接 AD,CD,BC,AB. 根据作图得到，△AOB是等边三角形，OA=OB=OC=OD,∠AOB=∠COD, ∴.△AOB≌△COD SAS, .∠OAB=∠OCD=60°，AB‖CD, .四边形ABCD是平行四边形， 又OA+OC=OB+OD,即AC=BD, ∴.平行四边形ABCD是矩形，即为所求 5.用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：如图，线段a和∠(，求作：矩形ABCD,使对角线AC=a,两条对角线AC、BD 的夹角为.（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）. 【答案】 四边形ABCD即为所求. 【详解】解：如图，四边形ABCD即为所求. ①任意作射线OM,再作∠MON=∠a: ②作线段a的垂直平分线，以点O为圆心，线段α的一半的长为半径画弧，交射线ON于点 B,交射线OM于点C,交OB的反向延长线于点D,交OC的反向延长线于点A: 74 ③连接AB,BC,CD,AD,则四边形ABCD即为所求. OA=OC=OB=OD,AC=BD=a, ∴.四边形ABCD是矩形，且两对角线的夹角为Q,满足所求作的. 75