第02讲 矩形的性质和判定（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦矩形的性质和判定核心知识点，以平行四边形为基础，通过定义（含直角的平行四边形）构建起点，延伸出性质（对角线相等、四角直角等）、判定（定义法、对角线相等的平行四边形等）及直角三角形斜边中线性质，形成递进式知识支架。 资料以14类题型（如折叠问题、坐标系坐标）为载体，结合探究式学习与课后检测，通过变式训练培养几何直观与推理意识，助力课堂教学效率提升，同时方便学生课后查漏补缺，强化知识应用能力。

简一数理 初中专题讲义 第02讲 矩形的性质和判定 （新教材北师大版） 知识点一、矩形的定义 2 知识点二、矩形的性质 2 知识点三、矩形的判定 2 知识点四、直角三角形斜边上的中线的性质 3 【题型1 矩形性质理解】 3 【题型2 利用矩形的性质求角度】 4 【题型3 利用矩形的性质求线段长】 5 【题型4 利用矩形的性质求面积】 6 【题型5 利用矩形的性质证明】 7 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 8 【题型7 矩形与折叠问题】 9 【题型8 斜边的中线等于斜边的一半】 10 【题型9 矩形的判定定理理解】 11 【题型10 添加一个条件使四边形是矩形】 12 【题型11 证明四边形是矩形】 12 【题型12 根据矩形的性质和判定求角度】 14 【题型13 根据矩形的性质和判定求线段长】 15 【题型14 根据矩形的性质和判定求面积】 16 【探究式学习】 17 【课后检测】 20 【复盘笔记】 27 知识点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三 角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【题型1 矩形性质理解】 【例1】如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．外角和为 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【变式1-2】如图，这是一块长为，宽为的矩形空地，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是菱形； ③； ④． 其中正确的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【题型2 利用矩形的性质求角度】 【例2】如图，，矩形的顶点B在直线m上，则等于（     ） A． B． C． D．无法计算 【变式2-1】如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，点在矩形的边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在矩形中，连接、，，延长至点，使得，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【题型3 利用矩形的性质求线段长】 【例3】如图，在矩形中，对角线、交于点，若，，则的长为（     ） A．4 B． C．3 D．5 【变式3-1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】将个相同的矩形按如图所示摆放在菱形中，根据拼图可得以下三个结论：①；②矩形长是宽的倍；③当菱形面积为时，则每个矩形的周长为．上述结论中正确的有（     ）． A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【变式3-3】如图①，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，．将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．已知直线在起始位置的解析式为．设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图②所示，则矩形的面积为（     ） A． B．6 C． D．8 【题型4 利用矩形的性质求面积】 【例4】如图，矩形的长和宽分别为、，其周长为，面积为，则的值为（     ） A．80 B．96 C．144 D．192 【变式4-1】如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，矩形的对角线，交于点，若，，则矩形的面积是（    ） A．12 B．18 C． D． 【题型5 利用矩形的性质证明】 【例5】如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【变式5-1】如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】小明同学按如下步骤作图：①在矩形中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点；②画直线，分别与，交于点，，连接，．则四边形一定是（     ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法判断 【变式5-3】把一个含有角的直角三角板（）与矩形按如图方式放置，点在边上，点在边上，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（   ）． A．3 B．4 C． D．5 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【题型7 矩形与折叠问题】 【例7】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C，A分别在轴，轴上，，．折叠矩形，使与重合，是折痕；展开后，在上取一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在折痕上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，是将矩形纸片沿折叠得到的，与交于点，则图中共有全等三角形（     ） A．对 B．对 C．对 D．对 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，点，将沿着折叠，点B恰好落在边的点F处，则点E的坐标为（     ） A． B． C． D． 【题型8 斜边的中线等于斜边的一半】 【例8】如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【题型9 矩形的判定定理理解】 【例9】下列命题中，真命题是（     ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 D．顺次连接菱形各边中点得到的四边形是菱形 【变式9-1】下列四个命题是假命题的是（     ） A．如果一个多边形的每个外角都是，那么其内角和为 B．菱形的对角线互相垂直 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．对角线相等的四边形是矩形 【变式9-2】为检测如图所示的平行四边形门框是否为矩形，下列测量方法可行的是（     ） A．测量与的长度是否相等 B．测量与的长度是否相等 C．测量与的长度是否相等 D．测量与的长度是否相等 【变式9-3】下列命题中，是真命题的有（     ） ①的平方根是2； ②对角线相等的四边形是矩形； ③顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形； ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型10 添加一个条件使四边形是矩形】 【例10】如图，在中，再添加一个条件，不能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】如图，在中，对角线，相交于点．若要使成为矩形，需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】下列选项中不能判定为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【变式10-3】已知，给增加一个条件，下列说法正确的是（     ） A．添加条件，则是菱形 B．添加条件，则是矩形 C．添加条件，则是矩形 D．添加条件，则是菱形 【题型11 证明四边形是矩形】 【例11】如图，下列关于的叙述，正确的是（     ） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是矩形 D．若，则是菱形 【变式11-1】已知在平行四边形中，两条对角线，相交于点，下列结论错误的是（） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若平分，则四边形为矩形 D．若平分，则四边形为菱形 【变式11-2】已知：线段，，．求作：矩形． 以下是甲、乙两同学的作业： 甲：1．以点为圆心，长为半径画弧； 2．以点为圆心，长为半径画弧； 3．两弧在上方交于点，连接，，四边形即为所求． 乙：1．连接，作线段的垂直平分线，交于点； 2．连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，，四边形即为所求． 对于两人的作业，下列说法正确的是（     ） A．甲、乙都对 B．甲、乙都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【变式11-3】如图，中，，，动点E以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点F以相同速度由点D向点B运动，设两点运动时间为t秒，当四边形为矩形时，t的值为（    ） A．2秒 B．2秒或1秒 C．4秒 D．2秒或4秒 【题型12 根据矩形的性质和判定求角度】 【例12】如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式12-1】如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 【变式12-3】如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【题型13 根据矩形的性质和判定求线段长】 【例13】如图，将两块相同的含有角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 【变式13-1】如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点分别作于点，于点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，在梯形中，，，，，，则的长度为（     ） A．4 B．6 C． D． 【变式13-3】如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为（     ） A．4.8 B．2.4 C．6 D．5 【题型14 根据矩形的性质和判定求面积】 【例14】如图，在矩形中，，，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】如图，在菱形中，E，F，G，H分别是各边的中点，顺次连接各中点得到四边形．若菱形的面积为，则四边形的面积是（     ） A． B． C． D．24 【变式14-2】如图，在等腰中，，以为圆心，任意长为半径画弧交于，交于，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于，以、为邻边作，连接，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式14-3】如图，已知在菱形中，，则四边形的面积与菱形的面积的比值为（   ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接． (1)如图1，连接．若，，，求的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 2．按要求解答下列问题： (1)【问题探究】 如图，在四边形中，，，，连接、，是的中线． ①求的长； ②若与始终互余，求的最大值． (2)【问题解决】 如图，矩形是某植物园试验田的示意图，是一条小路，现要在小路上修建一口水井，沿铺设地下水管，再从点向铺设地下水管（点在上），要求，然后从点向点铺设一条运输通道．已知，，铺设运输通道的费用为元，求铺设运输通道所需的最少费用．（小路、地下水管、运输通道的宽度和水井的大小均忽略不计） 3．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师和同学们以矩形纸片的折叠为背景开展几何探究，在矩形纸片中，，点是射线边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平如图1． 【操作探究】 (1)如图2，若点落在矩形内部，过点作交于，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图3，若点为的三等分点，点落在矩形内部，再取的中点，连接并延长交边于点，判断与的数量关系，并说明理由． (3)若，，在翻折过程中，当点落在直线上时，请直接写出的长． 4．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现：将平行四边形纸片按图1所示折叠成完美矩形（折痕分别为，），若平行四边形的面积为30，，则________，________； (2)类比探究：将三角形纸片按图2所示折叠成完美矩形（折痕分别为，，），若，，，求的面积； (3)拓展延伸：将平行四边形纸片按图3所示折叠成完美矩形（折痕分别为，，，）．若，，求完美矩形的面积． 【课后检测】 1．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，若，，则该矩形的周长（     ） A．32 B．24 C．48 D．50 3．如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（     ） A．2 B．3 C． D．4 4．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，则的面积是（     ） A． B． C． D． 5．如图，菱形的对角线交于点，，，于点，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 6．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，若，，则的长为（     ） A． B． C．8 D．10 7．如图，在矩形中，的平分线和的平分线恰好交于边上的点E，若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则四边形的周长为（     ） A．20 B．34 C．17 D．22 9．如图，在矩形中，，．点从点出发，以的速度在矩形的边上沿运动，点与点重合时停止运动．设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），则随变化的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（     ） A． B． C． D． 11．如图，将一张矩形纸条折叠，若，则______． 12．如图，在等边中，，过点作，过点作，、相交于点，则的长度为______． 13．如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则四边形的周长为_____． 14．如图，在平行四边形中，延长到点，使，连接，请你添加一个条件_____，使四边形是矩形． 15．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使得点落在线段的点处，则线段的长为_________． 16．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 17．如图，在中，于，于，为的中点． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 18．如图，的对角线相交于点． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 19．如图，在矩形中，，，动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向运动，连接，将沿翻折，使点C落在点E处． (1)若，求的度数； (2)连接， ①若，求此时点P的运动时间t； ②当是直角三角形时，请直接写出点P的运动时间t． 20．在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图1），其中，，，并进行如下研究活动． 活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连接，（如图2），当点与点重合时停止平移． (1)【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由． (2)【发现】当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形（如图3），求的长． 活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度（），连接，（如图4）． (3)【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 77 页 第 1 页 共 77 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第02讲 矩形的性质和判定 （新教材北师大版） 知识点一、矩形的定义 2 知识点二、矩形的性质 2 知识点三、矩形的判定 2 知识点四、直角三角形斜边上的中线的性质 2 【题型1 矩形性质理解】 3 【题型2 利用矩形的性质求角度】 5 【题型3 利用矩形的性质求线段长】 9 【题型4 利用矩形的性质求面积】 12 【题型5 利用矩形的性质证明】 15 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 18 【题型7 矩形与折叠问题】 22 【题型8 斜边的中线等于斜边的一半】 25 【题型9 矩形的判定定理理解】 28 【题型10 添加一个条件使四边形是矩形】 30 【题型11 证明四边形是矩形】 32 【题型12 根据矩形的性质和判定求角度】 35 【题型13 根据矩形的性质和判定求线段长】 39 【题型14 根据矩形的性质和判定求面积】 43 【探究式学习】 47 【课后检测】 58 【复盘笔记】 77 知识点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 知识点四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三 角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【题型1 矩形性质理解】 【例1】如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 【变式1-1】矩形具有而菱形不一定具有的性质是（     ） A．对角线互相垂直 B．外角和为 C．对角线相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【详解】解：A、对角线互相垂直是菱形具有、矩形不一定具有的性质，不符合题意； B、矩形和菱形均为四边形，外角和都为，不符合题意； C、 矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意； D、矩形和菱形对角线都互相平分，不符合题意． 【变式1-2】如图，这是一块长为，宽为的矩形空地，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简矩形的长，再根据正方形面积求出其边长，结合图形得出阴影部分的长和宽，最后利用矩形面积公式计算即可． 【详解】解：，即矩形空地的长为， ∵四个角的面积均为的正方形， ∴四个角的正方形边长都为， ∴蹦床乐园的长为：，蹦床乐园的宽为， ∴蹦床乐园的面积为：． 【变式1-3】如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论： ①； ②四边形是菱形； ③； ④． 其中正确的是（     ）    A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，垂直平分线的性质，两直线平行内错角相等，全等三角形的判定及性质，菱形的面积公式以及三角形外角的性质判断即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，故①正确， 如图，设与交于点，   ， 由题意得垂直平分， ，，，， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故②正确， ，， ，故③错误， ， ， ，故④正确， 综上所述，①②④正确． 【题型2 利用矩形的性质求角度】 【例2】如图，，矩形的顶点B在直线m上，则等于（     ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】过点C作，设与l交于点F，根据平行线的性质求出，然后由矩形得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，设与l交于点F， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，由作法得：垂直平分，平分，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由作法得：垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【变式2-2】如图，点在矩形的边的延长线上，连接，，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，由矩形性质得，，结合已知可得，利用等腰三角形性质求出，进而求得． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2-3】如图，在矩形中，连接、，，延长至点，使得，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形两对角线交于点O，由矩形的性质得，再利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：设矩形两对角线交于点O， 在矩形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型3 利用矩形的性质求线段长】 【例3】如图，在矩形中，对角线、交于点，若，，则的长为（     ） A．4 B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用矩形的性质易证是等边三角形，即可得解． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， 是等边三角形， ． 【变式3-1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直平分线段，垂足为点，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形对角线互相平分且相等求出，的长，利用线段垂直平分线的性质得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴, ∵垂直平分线段， ∴． 【变式3-2】将个相同的矩形按如图所示摆放在菱形中，根据拼图可得以下三个结论：①；②矩形长是宽的倍；③当菱形面积为时，则每个矩形的周长为．上述结论中正确的有（     ）． A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据个矩形相同和矩形的性质，得到，继而通过证明是等腰直角三角形得到；设，，根据菱形的性质和①中结论，利用勾股定理得到，继而得到；设，根据菱形面积的计算公式列出关于的方程，解方程得到，继而得到长方形的周长为. 【详解】解：如图，左侧的矩形为，则、、三点共线，， ， ， 个矩形相同， ， ， ， ，故①正确； ，， 四边形是菱形， ， 设，，，， 在等腰中，， ， ，故②正确； 设，则， ，， 菱形面积为， ， ，解得：，（不合题意，舍去）， ， 每个矩形的周长为，故③错误． 故选：． 【变式3-3】如图①，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，．将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．已知直线在起始位置的解析式为．设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图②所示，则矩形的面积为（     ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】由图象可知，当时，，此时直线平移后过点，图②中点位置表示直线平移后过点，点位置表示直线平移后过点，当时，，此时直线平移后过点．如图①，当时，直线平移后解析式为，可得，，从而可以求得当直线过点时与轴的交点为，直线过点时．由直线从点平移到过点，对应从变化到，历经的时间为秒，求得点坐标为，进而求得的长，最后根据计算求解即可． 【详解】当时，，此时直线平移后过点，图②中点位置表示直线平移后过点，点位置表示直线平移后过点，当时，，此时直线平移后过点，直线移动过程如图所示． 当时，直线平移后的解析式为， 令，则，即点坐标为， ， 点坐标为． 当直线经过点时，设直线解析式为， 代入点坐标得， 此时，直线与轴交点为． 点坐标与之间的距离为， 对应从变化到， 当直线经过点时，． 当从变化到时，该直线被矩形的边截得的线段长度为没有变化， 对应坐标向左平移个单位， 点坐标为． 又四边形为矩形， ， 点坐标为， ， ． 【题型4 利用矩形的性质求面积】 【例4】如图，矩形的长和宽分别为、，其周长为，面积为，则的值为（     ） A．80 B．96 C．144 D．192 【答案】D 【分析】根据矩形周长与面积公式求出 及 的值，对待求式提取公因式变形后代入计算． 【详解】解：∵矩形的周长为 ，面积为 ， ∴，， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的性质得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 【变式4-2】如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于，交于，根据矩形的性质可得即可求解. 【详解】解：作于，交于， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， ， 故选：C． 【变式4-3】如图，矩形的对角线，交于点，若，，则矩形的面积是（    ） A．12 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得出，结合求出，判定为等边三角形，从而求出对角线长度，再利用勾股定理求出长，最后计算面积即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴矩形的面积． 【题型5 利用矩形的性质证明】 【例5】如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，根据矩形的性质和已知条件，得到是等边三角形，据此可知，从而求得，然后根据等边对等角和三角形内角和定理得到，继而求得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 四边形是矩形， ，， 点是直角斜边的中点， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 【变式5-1】如图，矩形中，对角线、相交于点，已知，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得到，因此是的垂直平分线，得到，设，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】如图，连接， ∵四边形是矩形，对角线、相交于点， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 【变式5-2】小明同学按如下步骤作图：①在矩形中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点；②画直线，分别与，交于点，，连接，．则四边形一定是（     ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．无法判断 【答案】A 【分析】由作法得垂直平分，设垂足为，则，，证明，则，得到四边形是平行四边形，又由即可证明四边形是菱形． 【详解】解：由作法得垂直平分，设垂足为，如图， ，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【变式5-3】把一个含有角的直角三角板（）与矩形按如图方式放置，点在边上，点在边上，若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形对边平行得，先由邻补角求出，再结合三角形外角性质、等腰直角三角形内角，通过角度转化求． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， 是含的直角三角形，， ， 由,得， ， ． 【题型6 求矩形在坐标系中的坐标】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标． 【详解】解：过点作于点， ∵矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点， ∴点，点的纵坐标为， ∵，， ∴， 即点， ∴点． 【变式6-1】如图，将面积为的矩形放在平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作轴，利用、坐标算出长，结合矩形面积与三角形面积公式求出，得到点横坐标；再根据矩形性质得、，结合直角证明，推出，最后结合点纵坐标减去，求出点纵坐标． 【详解】解：过点作轴，垂足为． 点，点，两点均在轴上， ． 四边形是矩形，，矩形对角线将矩形分成面积相等的两部分， ． 轴，以为底，为底边对应的高， ． 将，代入得： ， 解得． 为点到轴的水平距离，由图可知点在轴右侧，横坐标为正数， 点的横坐标为． 四边形是矩形， ，，． ． 轴，轴轴， ． 在与中： ． ． ，原点， ， ． 轴，是垂足， 点与点纵坐标相等． ，线段，结合图形可知垂足在点的正下方， 点的纵坐标， 点的纵坐标为． 综上，点的坐标为． 【变式6-2】如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的纵坐标是（   ）． A．3 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】矩形对角线相等且互相平分，因此对角线与中点相同，且，设中点为，先求出点坐标对应的中点纵坐标，再利用中点坐标公式求出点纵坐标． 【详解】解：设对角线、交于点， 四边形是矩形， 矩形对角线相等且互相平分，，是、共同中点． 在轴正半轴，，设，， 长度为，得， ． 设，已知， 由中点坐标公式：中点横坐标，纵坐标， 中点坐标， 两点中点相同，纵坐标相等： ， 两边同乘2：， 解得：． 点的纵坐标是． 【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，得出矩形向左平移2个单位，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，， ， ，即， ∵将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时， ∴点的对应点坐标，即矩形向左平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为． 【题型7 矩形与折叠问题】 【例7】如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点C，A分别在轴，轴上，，．折叠矩形，使与重合，是折痕；展开后，在上取一点，将沿折叠，使点的对应点恰好落在折痕上，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据第一次折叠确定的位置及点纵坐标，根据第二次折叠性质得出，在中利用勾股定理求出长，进而确定 点横坐标． 【详解】解：∵ 折叠矩形使与重合，是折痕， ∴ 垂直平分，，为 中点， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ， ∴，， 点纵坐标为 ； ∵ 将沿折叠，点的对应点落在折痕上， ∴， 在 中， ， ∵ 点 在点左侧 ， ∴ 点横坐标为 ， ∴ 点的坐标为 ． 【变式7-1】如图，将矩形纸片沿折叠，使点B落在E处，，相交于点F，，，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，可得，设，则，在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】解：∵在矩形中， ， ∵由折叠的性质可知：， ， 在和中 ， ， ， 设：，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 【变式7-2】如图，是将矩形纸片沿折叠得到的，与交于点，则图中共有全等三角形（     ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】根据矩形的性质可得，再结合由折叠的性质得：，，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴一共有4对全等三角形． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，点，将沿着折叠，点B恰好落在边的点F处，则点E的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据题意求得，，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，四边形是矩形 ∴，， 设，则， 由折叠可得，，， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，， ∴点E的坐标为． 【题型8 斜边的中线等于斜边的一半】 【例8】如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于，两点；与交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图方法可得垂直平分，则O点是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，由等边对等角得出，最后由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， ∴， ∴为中线， 又中，， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】直角三角形两条直角边长分别为和，则斜边上的中线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由两条直角边，根据勾股定理算出斜边长度；再根据直角三角形斜边中线性质，得到中线长等于斜边的一半． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为和． 由勾股定理得斜边：， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边上中线长． 【变式8-2】如图，在矩形中，，，平分交于点，连接，取的中点，连接，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形性质和角平分线定义推出，结合等角对等边求得，进而求得，然后根据勾股定理求得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， 平分， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 为的中点，， 是斜边上的中线， ． 【变式8-3】如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】证明，得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，结合的周长为12，得出， 在中，勾股定理求出，即可解答； 【详解】解：是的角平分线，， ∴， 又， ∴， ， ， ， 点是的中点， ， 的周长为， ， ， ， ∵在中，， ． 【题型9 矩形的判定定理理解】 【例9】下列命题中，真命题是（     ） A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点 D．顺次连接菱形各边中点得到的四边形是菱形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、矩形的判定定理，线段垂直平分线的性质及三角形中位线与菱形的性质可进行排除选项． 【详解】解：A、根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可知该选项不是真命题，故不符合题意； B、根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可知该命题为假命题，故不符合题意； C、∵到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，∴到三角形三个顶点距离相等的点在三角形三边的垂直平分线上，即三边垂直平分线的交点，故该命题为真命题，符合题意； D、如图， ∵四边形是菱形，边的中点分别为， ∴，，，，， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 同理得， ∵，，， ∴， ∴平行四边形是矩形，不是菱形，故该命题为假命题，不符合题意． 【变式9-1】下列四个命题是假命题的是（     ） A．如果一个多边形的每个外角都是，那么其内角和为 B．菱形的对角线互相垂直 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【详解】对选项A，∵任意多边形外角和为，该多边形每个外角为，∴边数，∴内角和为，A是真命题； 对选项B，根据菱形的性质，可得菱形的对角线互相垂直，B是真命题； 对选项C，根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角两边的距离相等，C是真命题； 对选项D，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，因此D是假命题． 【变式9-2】为检测如图所示的平行四边形门框是否为矩形，下列测量方法可行的是（     ） A．测量与的长度是否相等 B．测量与的长度是否相等 C．测量与的长度是否相等 D．测量与的长度是否相等 【答案】B 【详解】解：A、测量与的长度是否相等，无法确定是矩形，故本选项的测量方法不可行； B、测量与的长度是否相等，对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项的测量方法可行； C、测量与的长度是否相等，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行； D、测量与的长度是否相等，不能判定是矩形，故本选项的测量方法不可行． 【变式9-3】下列命题中，是真命题的有（     ） ①的平方根是2； ②对角线相等的四边形是矩形； ③顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形； ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】逐个判断每个命题的真假，统计真命题的个数即可得到答案． 【详解】解：①，的平方根是，不是，因此①是假命题； ②对角线相等的平行四边形才是矩形，等腰梯形的对角线也相等，但不是矩形，因此②是假命题； ③根据三角形中位线定理，顺次连接任意四边形各边中点所得四边形的两组对边，分别平行于原四边形的两条对角线，因此所得四边形的两组对边分别平行，是平行四边形，因此③是真命题； ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形，这是菱形的判定定理，因此④是真命题； 综上，真命题一共有个． 【题型10 添加一个条件使四边形是矩形】 【例10】如图，在中，再添加一个条件，不能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐一分析各个选项，证明的对角线相等或有一个角为即可判断是矩形． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴得到的一组邻边相等，无法判定是矩形．故本选项符合题意． B、∵四边形是平行四边形， ∵，， ∵， ∴， ∴是矩形．故本选项不合题意． C、∵， ∴， ∴是矩形．故本选项不合题意． D、∵， ∴是矩形．故本选项不合题意． 【变式10-1】如图，在中，对角线，相交于点．若要使成为矩形，需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴平行四边形是矩形，符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意． 【变式10-2】下列选项中不能判定为矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， 不能判定是矩形． 【变式10-3】已知，给增加一个条件，下列说法正确的是（     ） A．添加条件，则是菱形 B．添加条件，则是矩形 C．添加条件，则是矩形 D．添加条件，则是菱形 【答案】C 【分析】结合矩形、菱形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：A、若，仅能说明边等于对角线，无法推出邻边相等，不能判定是菱形，选项说法错误； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则添加，是菱形，不是矩形，选项说法错误； C、对角线相等的平行四边形是矩形，则添加，是矩形，选项说法正确； D、由知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，则添加，是矩形，不是菱形，选项说法错误． 【题型11 证明四边形是矩形】 【例11】如图，下列关于的叙述，正确的是（     ） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是矩形 D．若，则是菱形 【答案】C 【分析】根据菱形的判定和性质一一判断即可得出答案． 【详解】解：．若，则是矩形，则原说法错误，故该选项不符合题意； ．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是菱形，故该选项不符合题意； ．若，则是矩形，说法正确，故该选项符合题意； ．∵， ∴，， ∵， ∴， 则是矩形，则原说法错误，故该选项不符合题意； 【变式11-1】已知在平行四边形中，两条对角线，相交于点，下列结论错误的是（） A．若，则四边形为矩形 B．若，则四边形为菱形 C．若平分，则四边形为矩形 D．若平分，则四边形为菱形 【答案】C 【分析】结合平行四边形对边平行的性质，由角平分线可推出邻边相等，再结合矩形、菱形的判定判断各选项． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， A.若，则平行四边形为矩形，故A正确，不符合题意； B.若，则平行四边形为菱形，故B正确，不符合题意； C.若平分，则. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形，无法推出是矩形，故C错误，符合题意； D.由C的推导可知，若平分，则平行四边形为菱形，故D正确，不符合题意． 【变式11-2】已知：线段，，．求作：矩形． 以下是甲、乙两同学的作业： 甲：1．以点为圆心，长为半径画弧； 2．以点为圆心，长为半径画弧； 3．两弧在上方交于点，连接，，四边形即为所求． 乙：1．连接，作线段的垂直平分线，交于点； 2．连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，，四边形即为所求． 对于两人的作业，下列说法正确的是（     ） A．甲、乙都对 B．甲、乙都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】A 【分析】根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，分析即可得出结果． 【详解】解：由甲的作图步骤可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形，故甲说法正确； 由乙的作图步骤可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形，故乙说法正确； 综上所述，甲、乙两人的说法都正确． 【变式11-3】如图，中，，，动点E以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点F以相同速度由点D向点B运动，设两点运动时间为t秒，当四边形为矩形时，t的值为（    ） A．2秒 B．2秒或1秒 C．4秒 D．2秒或4秒 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知对角线互相平分，结合动点运动速度相同可得，从而判定四边形始终为平行四边形．若四边形为矩形，则需对角线相等，即．根据在上的位置关系（相遇前或相遇后），分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ，． 点、的速度相同， ， ， 即． ，， 四边形是平行四边形． 若四边形为矩形，则需． 分两种情况讨论： 情况一：当点、在相遇前时，， 令， 解得； 情况二：当点、在相遇后时，， 令， 解得； 综上所述，当或时，四边形为矩形． 【题型12 根据矩形的性质和判定求角度】 【例12】如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 【变式12-1】如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 【变式12-2】如图，将线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段，A，B的对应点分别是点C，D，依次连接，，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B．对于任意，四边形都是矩形 C． D．当时，四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，再结合矩形的判定和性质，正方形的判定进行分析判断，即可解题． 【详解】解：线段绕它的中点O逆时针旋转得到线段， ， 四边形是矩形，且当时，四边形是正方形， ， 当旋转角度不确定时，不能推出， 故A、B、D结论正确，不符合题意，C结论不一定正确，符合题意； 故选：C． 【变式12-3】如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 【题型13 根据矩形的性质和判定求线段长】 【例13】如图，将两块相同的含有角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起，，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】过C作，交的延长线于E，可得四边形是矩形，则，，设，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，在中，由勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：过C作，交的延长线于E， 则 ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∵在中， ， ∴， 则， ∴， 在中，由勾股定理得：， 则， 解得（负值舍去）， ∴． 【变式13-1】如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点分别作于点，于点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作于点H，根据勾股定理求出，再由的面积求出．连接，证明四边形是矩形，得到，因此当取得最小值时，取得最小值，根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：过点C作于点H， ∵在中，，，， ∴， ∵，或， ∴，即， ∴． 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵根据垂线段最短可得，当时，取得最小值，此时点D与点H重合，， ∴的最小值为． 【变式13-2】如图，在梯形中，，，，，，则的长度为（     ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，可得四边形为矩形，求出的长，再根据含角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：过点作于点，则， ，， ∴， 四边形为矩形， ， ， 在中，， ， ． 【变式13-3】如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为（     ） A．4.8 B．2.4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为. 【题型14 根据矩形的性质和判定求面积】 【例14】如图，在矩形中，，，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作于点，延长交于点，得出四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质进而得出，则，即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， 即， ，， ， ． 【变式14-1】如图，在菱形中，E，F，G，H分别是各边的中点，顺次连接各中点得到四边形．若菱形的面积为，则四边形的面积是（     ） A． B． C． D．24 【答案】B 【分析】连接交于，与相交于点K，根据菱形的性质得到，，根据三角形中位线的性质证明四边形是矩形，根据矩形的面积计算方法求解即可． 【详解】解：连接交于，与相交于点K， ∵四边形是菱形，且面积为， ∴，， ∴，． ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴是矩形． ∴． 【变式14-2】如图，在等腰中，，以为圆心，任意长为半径画弧交于，交于，分别以、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于，以、为邻边作，连接，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图痕迹可知平分，利用等腰三角形“三线合一”可得且为中点；由平行四边形的性质得，利用勾股定理求出的长；证明四边形是矩形，利用矩形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图可知，平分， ， ， 四边形是平行四边形， ， 在中，， 即，且， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形是矩形， ． 【变式14-3】如图，已知在菱形中，，则四边形的面积与菱形的面积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，先证明，，然后证明四边形为平行四边形；同理可证明：，再证明四边形为矩形，然后根据矩形和菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴ 同理可证明： ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形为矩形， ∴． 【探究式学习】 1．如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接． (1)如图1，连接．若，，，求的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)解：； 证明：如图2，过点作的延长线于点，作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； (3)解：存在最小值；最小值为；理由如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点轨迹在如图4与夹角为的直线上，作点关于直线的对称点，延长交直线于点，连接，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当取最小值时，，，三点共线，最小值为， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴在中，． 【分析】（1）利用含角直角三角形的性质设，则，即可利用勾股定理解出各边的长，过点作于点，证明，得到，即可求出的长，再由三角形面积公式运算即可； （2）过点作的延长线于点，作于点，证明， 得到，，证明四边形是矩形，得到，，即可证出为等腰直角三角形，再利用勾股定理建立关系即可； （3） 在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，证明可得到，即可推出点轨迹在如图4与夹角为的直线上，作点关于直线的对称点，延长交直线于点，连接，由，可得到当取最小值时，，，三点共线，最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴在中，设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）略 2．按要求解答下列问题： (1)【问题探究】 如图，在四边形中，，，，连接、，是的中线． ①求的长； ②若与始终互余，求的最大值． (2)【问题解决】 如图，矩形是某植物园试验田的示意图，是一条小路，现要在小路上修建一口水井，沿铺设地下水管，再从点向铺设地下水管（点在上），要求，然后从点向点铺设一条运输通道．已知，，铺设运输通道的费用为元，求铺设运输通道所需的最少费用．（小路、地下水管、运输通道的宽度和水井的大小均忽略不计） 【答案】(1)①2；②4 (2)最少费用为元 【分析】（1）①根据勾股定理和直角三角形的性质进行解答即可；②连接，求出．根据得到当、、三点共线时，取得最大值，即可求出； （2）证明是直角三角形．取的中点，连接，，根据得到当、、三点共线时，取得最小值，进一步求出答案即可． 【详解】（1）解：①，，， ． 是的中线， ． ②连接，如图． 与始终互余， ，则， 是直角三角形． 是的中线，即点是的中点， 是的中线， ． ， ∴当、、三点共线时，取得最大值， ． （2）∵四边形是矩形，， ，，即． ， ， ，即是直角三角形． 取的中点，连接，，如图， 是的中线， ． 在中， ， ， ∴当、、三点共线时，取得最小值， （元）， ∴铺设运输通道所需的最少费用为元． 3．综合与实践 【问题情境】在数学活动课上，老师和同学们以矩形纸片的折叠为背景开展几何探究，在矩形纸片中，，点是射线边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平如图1． 【操作探究】 (1)如图2，若点落在矩形内部，过点作交于，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图3，若点为的三等分点，点落在矩形内部，再取的中点，连接并延长交边于点，判断与的数量关系，并说明理由． (3)若，，在翻折过程中，当点落在直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2)，理由如下： ∵点为的三等分点， ∴， ∵取的中点， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）由折叠的性质可知，由题意易得，则有，然后根据菱形的判定定理进行求解即可； （2）由题意易得，由折叠的性质可知：，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求解； （3）由题意可分：当点落在矩形内部，当点落在矩形外部，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由题意可分：当点落在矩形内部，如图所示： ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴， ∴， ∴； 当点落在矩形外部，如图所示： ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴，， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现：将平行四边形纸片按图1所示折叠成完美矩形（折痕分别为，），若平行四边形的面积为30，，则________，________； (2)类比探究：将三角形纸片按图2所示折叠成完美矩形（折痕分别为，，），若，，，求的面积； (3)拓展延伸：将平行四边形纸片按图3所示折叠成完美矩形（折痕分别为，，，）．若，，求完美矩形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，，根据平行四边形的性质，求出的长即可； （2）根据折叠的性质得出，设，则，利用勾股定理求出，然后利用三角形的中线平分面积进行求解即可； （3）连接，易得四边形是平行四边形，得到，设，，勾股定理求出，再根据矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵矩形， ∴， ∵平行四边形的面积为30，， ∴， ∴； （2）解：∵折叠， ∴， 设，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴； （3）解：连接， 由折叠可知：为的中点，为的中点， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴ ∴解得 ∴四边形的面积为． 【课后检测】 1．如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】先由矩形的性质证明，结合三角形中位线定理得到，，再利用勾股定理，得，求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， 是矩形的对角线的中点，， 是边的中点，是矩形的对角线的中点， ，， ， ， ， ． 2．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，若，，则该矩形的周长（     ） A．32 B．24 C．48 D．50 【答案】C 【分析】连接，求出，根据勾股定理求出，即可求出结论． 【详解】解：连接， 由作图知，垂直平分， ， 在矩形中，， ， ， ， 则该矩形的周长． 3．如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，，则长是（     ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】先证明是等边三角形，得出，，再根据勾股定理求出结论即可． 【详解】解：在矩形中，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，． 4．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，再分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质求得的高是解题的关键．过作垂直于，记与得交点为，先由勾股定理求得，再由垂直平分线的性质求得，最后再由矩形的性质得到的高． 【详解】解：如图所示，过作垂直于，记与的交点为， 在矩形中，， 由题意得，， 在中，， 由题意得，垂直平分， ，． ， 四边形为矩形， ， ． 5．如图，菱形的对角线交于点，，，于点，则的长为（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出和，以及，利用勾股定理求出长度，最后再利用直角三角形斜边上中线是斜边一半求出长度． 【详解】解：为菱形， ，，， ， ， 在中，． ，， 是的中线， ． 6．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，若，，则的长为（     ） A． B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】连接、，令交于点，由矩形的性质可得，，，证明，得出，结合线段垂直平分线的性质可得，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、，令交于点， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵对角线的垂直平分线分别交，于点E，F， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 7．如图，在矩形中，的平分线和的平分线恰好交于边上的点E，若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先证明和是等腰直角三角形，据此计算即可求解． 【详解】解：∵矩形，， ∴，，， ∵的平分线和的平分线恰好交于边上的点E， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴． 8．如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则四边形的周长为（     ） A．20 B．34 C．17 D．22 【答案】A 【分析】由矩形可求得，，然后由勾股定理求得，再由三角形中位线的性质求得的长，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得的长，继而求得四边形的周长． 【详解】解：∵O是矩形的对角线的中点，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵M是边的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴四边形的周长为：． 9．如图，在矩形中，，．点从点出发，以的速度在矩形的边上沿运动，点与点重合时停止运动．设运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），则随变化的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分点在、、上运动三种情况，分别求出与的函数关系式，根据函数类型判断图像形状 【详解】解：∵，，速度为， ∴点在上运动的时间为． 此时，，， ∴该段图像为过原点的线段； ∵在矩形中，， ∴点在上运动的时间为， 此时，的高为，， ∴该段图像为平行于轴的水平线段； ∵在矩形中，， ∴点在上运动的时间为， 此时，，， ∴该段图像为下降的线段． 综上所述，函数图像由三条线段组成．选项B符合题意． 10．如图，在矩形中，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点到的距离为2，则可得动点在平行于且与之间的距离为2的直线上，再设直线与交于点，延长至点，使得，连接，，则线段的长即为所求，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设点到的距离为， ∵，， ∴， 解得， ∴如图，动点在平行于且与之间的距离为2的直线上， 设直线与交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 延长至点，使得，连接，， ∴垂直平分，且， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为． 【点睛】本题的难点在于正确找出动点的运动轨迹． 11．如图，将一张矩形纸条折叠，若，则______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，利用平角的定义求出，再根据矩形对边平行，利用平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：由折叠的性质可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 12．如图，在等边中，，过点作，过点作，、相交于点，则的长度为______． 【答案】2 【分析】由等边三角形三线合一的性质，判断、与的关系后即可求解． 【详解】解：如图，作交于点, 为等边三角形，， 垂直平分, , 又四边形中，，，， ，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 平行且等于，平行且等于， 故的长度为． 13．如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则四边形的周长为_____． 【答案】20 【分析】先由矩形的性质和勾股定理求得，，再根据直角三角形斜边上的中线性质和三角形的中位线性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴， ∵O为的中点，是的中点， ∴，，， ∴四边形的周长． 14．如图，在平行四边形中，延长到点，使，连接，请你添加一个条件_____，使四边形是矩形． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】要使四边形是矩形，由已知条件，易证得平行且等于，得出四边形是平行四边形，根据矩形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件． 根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，可以添加等． 15．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使得点落在线段的点处，则线段的长为_________． 【答案】3 【分析】由矩形与折叠可得，，再利用勾股定理求解． 【详解】解：矩形，，， ，， 折叠， ， 在中，． 16．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，结合，推出四边形是平行四边形，根据，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，，，根据直角三角形的斜边中线定理可得，，再由勾股定理求出，进而得到，根据可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，，，即为的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 17．如图，在中，于，于，为的中点． (1)若，，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)21 (2) 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，于是得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，，根据平角的定义和三角形的内角和得到结论． 【详解】（1）解：∵于，于， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴的周长； （2）解：∵，M为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 18．如图，的对角线相交于点． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵, ∴，即． 在和中， ， ∴． (2)解：四边形是矩形．理由： 由（1）知． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是矩形． 【分析】（1）利用平行四边形的对角线互相平分，证明，再借助证明即可； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形判定即可． 【详解】（1）略； （2）略． 19．如图，在矩形中，，，动点P从点C出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向运动，连接，将沿翻折，使点C落在点E处． (1)若，求的度数； (2)连接， ①若，求此时点P的运动时间t； ②当是直角三角形时，请直接写出点P的运动时间t． 【答案】(1) (2)①此时点的运动时间为3秒；②点的运动时间为秒或秒或秒或8秒 【分析】（1）根据折叠的性质，结合三角形的内角和定理以及平角的定义，进行求解即可； （2）①根据平行线的性质，结合折叠的性质，推出为等腰三角形，得到，即可得出结果；②分4种情况，根据折叠的性质结合勾股定理进行求解即可. 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ； （2）解：由题意，， ①如图， 将沿翻折，使点落在点处， ，， ， ，， ， ， ， ； 答：此时点的运动时间为3秒； ②当是直角三角形时，分四种情况: 当时，如图， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ； 当时，点在线段上时，如图， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ， ， ， ； 当时，点在线段的延长线上时，如图， 将沿翻折，使点落在点处， ，，， ， ， ， ， ； 当，如图， 则， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述，点的运动时间为秒或秒或秒或8秒. 20．在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图1），其中，，，并进行如下研究活动． 活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连接，（如图2），当点与点重合时停止平移． (1)【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由． (2)【发现】当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形（如图3），求的长． 活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度（），连接，（如图4）． (3)【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)结论：四边形是平行四边形． 理由：， ，， ， 四边形是平行四边形． (2) (3)结论：， 理由：如图2，延长交于点， 由矩形的性质及旋转的性质知：，又， ，，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ． 【分析】思考：由全等三角形的性质得出，，则，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论； 发现：连接交于点，设，则，得出，由勾股定理构建方程，求出即可； 探究：如图2，延长交于点，证明，得出，，则，可证得，得出，则结论得证． 【详解】（1）略 （2）解：如图1，连接交于点， 四边形为矩形， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ． （3）略 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 77 页 第 1 页 共 77 页 学科网（北京）股份有限公司 $