4.1《整式》整理与练习（核心知识点+易错点汇总+基本概念定义+数学思想+真题练习）2026-2027学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦人教版七年级上册“整式的加减”中“整式”核心知识点，以单项式（定义、系数、次数）为起点，递进至多项式（定义、项、次数），最终整合为整式概念，构建连贯的知识支架，涵盖概念辨析与易错点提醒。 资料采用两日分段预习设计，结合生活实例抽象概念培养数学眼光，通过分类思想梳理知识培养数学思维，真题训练强化应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生自查自纠，弥补薄弱环节。

人教版七年级上册预习 第四章 整式的加减 4.1 整式 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・单项式模块）】 ✅ 达成目标：理解单项式的概念，掌握单项式的系数和次数的确定方法 通读课本 P89-P90 单项式的概念和例1内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 熟记单项式的定义（数或字母的积），掌握单项式系数（数字因数）和次数（所有字母指数的和）的确定方法，注意单独的一个数或一个字母也是单项式。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能判断一个代数式是否是单项式，能正确指出单项式的系数和次数。 【Day2 预习任务（建议 30min・多项式与整式模块）】 ✅ 达成目标：理解多项式的概念，掌握多项式的项和次数的确定方法，理解整式的概念 通读课本 P91-P93 多项式的概念、例2和练习内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写。 掌握多项式的定义（几个单项式的和）、项（每个单项式）、常数项（不含字母的项）和次数（次数最高的项的次数）的确定方法，理解单项式与多项式统称整式。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能判断一个代数式是单项式还是多项式，能正确指出多项式的项和次数，能区分整式与非整式。 一、核心知识点梳理 知识点 1：单项式的概念 代数式的类型多种多样，下面我们学习一类基本的代数式——整式。 汽车在主桥上行驶的平均速度为92 km/h，根据路程、速度、时间之间的关系：路程=速度×时间，汽车在主桥上行驶t h的路程（单位：km）是92×t=92t。 我们来看92t和上一章中遇到过的一些代数式：，这些代数式有什么共同特点？ 这些代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫作单项式（monomial）。 单独的一个数或一个字母也是单项式，例如，-6，x都是单项式。 判断单项式的方法： （1）单项式中只含有乘法运算（包括乘方），不含有加法、减法运算； （2）单项式中可以含有除法运算，但除数必须是数字（即分母中不含字母）； （3）单独的一个数或一个字母也是单项式。 ⚠️易错提醒：含有加法或减法运算的代数式不是单项式，如2n-10、x²+2x+8都不是单项式；分母中含有字母的代数式也不是单项式，如、都不是单项式。 知识点 2：单项式的系数 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 例如，单项式h的系数分别是92，1，0.9，。 单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面，如92t。 单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写，如a³，-x。 确定单项式系数的注意事项： （1）系数包括它前面的符号，如-3x的系数是-3，不是3； （2）系数是分数时，要完整写出，如 a²h的系数是，不是1； （3）单独的一个字母的系数是1，如a的系数是1，-x的系数是-1； （4）单独的一个数的系数就是它本身，如5的系数是5。 💡重要结论：单项式的系数是单项式中的数字因数，包括符号。当系数为1或-1时，1省略不写，但系数仍然是1或-1。 知识点 3：单项式的次数 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。 如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式。 例如，在单项式92t中，字母t的指数是1，92t的次数就是1，它是一次单项式。 在单项式 a²h中，字母a与h的指数的和是的次数就是3，它是三次单项式。 对于一个非零的数，规定它的次数为0。 确定单项式次数的注意事项： （1）次数只与字母的指数有关，与系数无关，如-3x²y的次数是2+1=3，与系数-3无关； （2）字母的指数是1时，通常省略不写，但计算次数时要算1，如abc的次数是1+1+1=3； （3）单独的一个非零数的次数是0，如5的次数是0； （4）π是常数，不是字母，如πr²的次数是2，不是3。 ⚠️易错提醒：计算单项式的次数时，不要把系数的指数也算进去，如2³x²y的次数是2+1=3，不是3+2+1=6；也不要漏掉指数为1的字母。 知识点 4：多项式的概念 在上一章中，我们还遇到一些代数式：2n-10，x²+2x+8，2a+3b， ab-πr²，这些式子与单项式有什么区别和联系？它们有什么共同的特点？ 这些式子都可以看作几个单项式的和。例如，2n-10可以看作单项式2n与-10的和，x²+2x+8可以看作单项式x²，2x与8的和。 像这样，几个单项式的和叫作多项式（polynomial）。 其中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项。 例如，多项式2n-10的项是2n与-10，其中-10是常数项。 判断多项式的方法： （1）多项式是几个单项式的和，因此多项式中一定含有加法或减法运算； （2）多项式的每一项都必须是单项式； （3）多项式的项包括它前面的符号。 ⚠️易错提醒：多项式的每一项都包含它前面的正负号。例如，多项式2a-12b的项是2a和-12b，不是2a和12b；常数项也包括它前面的符号，如m³-2的常数项是-2，不是2。 知识点 5：多项式的次数 多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 例如，多项式2n-10有2项，次数最高的项是一次项2n，这个多项式的次数是1。 多项式x²+2x+8有3项，次数最高的项是二次项x²，这个多项式的次数是2。 确定多项式次数的步骤： （1）找出多项式中的每一项； （2）分别计算每一项的次数； （3）取次数最高的项的次数作为多项式的次数。 多项式的命名： （1）按次数命名：一次多项式、二次多项式、三次多项式等； （2）按项数命名：二项式、三项式等； （3）综合命名：如是二次三项式，2n-10是一次二项式。 ⚠️易错提醒：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是次数最高的项的次数。例如，多项式x³+2x²+3x+1的次数是3，不是3+2+1+0=6。 知识点 6：整式的概念 单项式与多项式统称整式（integral expression）。 例如，前面学习的单项式，以及多项式2n-10，x²+2x+8，2a+3b， ab-πr²等都是整式。 整式、单项式、多项式的关系： （1）单项式一定是整式，多项式也一定是整式； （2）整式包括单项式和多项式； （3）一个代数式如果不是单项式，也不是多项式，那它一定不是整式。 判断整式的方法： （1）先判断是否是单项式或多项式； （2）如果是单项式或多项式，则是整式； （3）分母中含有字母的代数式一定不是整式，如、都不是整式。 💡重要结论：整式是单项式和多项式的统称。判断一个代数式是否是整式，关键看分母中是否含有字母：分母中不含字母的代数式是整式，分母中含有字母的代数式不是整式。 ⚠️ ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：误认为含加减运算的代数式是单项式。单项式中只含有乘法运算（包括乘方），不含有加法、减法运算。例如，2n-10、x²+2x+8都含有减法或加法运算，它们是多项式，不是单项式。 易错点2：单项式的系数遗漏符号或遗漏分数系数。系数包括它前面的符号，如-3x的系数是-3，不是3；系数是分数时要完整写出，如 a²h的系数是，不是1。当系数为1或-1时，1省略不写，但系数仍然是1或-1。 易错点3：单项式的次数计算错误。计算单项式的次数时，不要把系数的指数也算进去，如的次数是2+1=3，不是3+2+1=6；也不要漏掉指数为1的字母，如abc的次数是1+1+1=3；π是常数，不是字母，如πr²的次数是2。 易错点4：多项式的项遗漏前面的符号。多项式的每一项都包含它前面的正负号。例如，多项式2a-12b的项是2a和-12b，不是2a和12b；常数项也包括它前面的符号，如m³-2的常数项是-2，不是2。 易错点5：多项式的次数计算错误。多项式的次数不是所有项的次数之和，而是次数最高的项的次数。例如，多项式的次数是3，不是3+2+1+0=6。确定多项式的次数时，要先找出每一项的次数，再取最大值。 易错点6：混淆单项式、多项式、整式的概念。单项式是数或字母的积，多项式是几个单项式的和，整式是单项式和多项式的统称。单项式一定是整式，多项式也一定是整式，但整式不一定是单项式（也可能是多项式）。分母中含有字母的代数式不是整式。 二、基本概念定义 单项式：数或字母的__积__，像这样的代数式叫作单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式的系数：单项式中的__数字因数__叫作这个单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的__指数的和__叫作这个单项式的次数。对于一个非零的数，规定它的次数为0。 多项式：几个单项式的__和__叫作多项式。其中，每个单项式叫作多项式的__项__，不含字母的项叫作__常数项__。 整式：单项式与多项式统称__整式__。 三、数学思想方法 1. 分类思想 分类思想是指根据事物的不同特征进行分类，分别研究各类事物的思想方法。在本节中，代数式可以分为整式和非整式，整式又可以分为单项式和多项式，单项式按次数可以分为一次单项式、二次单项式等，多项式按次数和项数可以命名为二次三项式、一次二项式等，体现了分类思想。分类思想使代数式的研究更加有条理，便于我们理解和掌握不同类型代数式的特征。 2. 抽象思想 抽象思想是指从具体事物中抽象出一般概念和规律的思想方法。在本节中，从汽车行驶路程92t、三角形面积 ah、长方体体积xyz等具体问题中，抽象出单项式的概念；从长方形周长2a+2b、m的立方与2的差m³-2等具体问题中，抽象出多项式的概念，体现了抽象思想。抽象思想使数学从具体走向一般，是代数的核心思想。 3. 整体思想 整体思想是指将问题中的某些部分看作一个整体，从整体的角度来分析和解决问题的思想方法。在本节中，多项式的每一项都包含它前面的正负号，在确定多项式的项时，要将符号和后面的部分看作一个整体；在确定多项式的次数时，要将每一项看作一个整体来计算次数，体现了整体思想。整体思想使我们能够准确把握多项式的结构，避免遗漏符号。 4. 转化思想 转化思想是指将未知的、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题来解决的思想方法。在本节中，确定多项式的次数可以转化为确定每一项（单项式）的次数，再取最大值；判断一个代数式是否是整式，可以转化为判断它是否是单项式或多项式，体现了转化思想。转化思想使复杂的问题变得简单，是解决数学问题的重要思想方法。 5. 应用意识 应用意识是指运用数学知识解决实际问题的意识和能力。在本节中，单项式和多项式广泛应用于实际生活中，如汽车行驶路程、三角形面积、长方体体积、邮票花费、国旗面积、长方形周长、共享单车数量、印章表面积等，体现了应用意识。应用意识使数学学习与实际生活紧密结合，体现了数学的实用价值，培养用数学眼光观察世界、用数学思维分析问题、用数学方法解决问题的能力。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）下列代数式中，是单项式的是（　　　） 【答案】B 【解析】本题考查单项式的概念。单项式是数或字母的积，单独的一个数或一个字母也是单项式。A和C含有加法或减法运算，是多项式；D分母中含有字母，不是整式；B是数与字母的积，是单项式。 【解答】解：A. 2x+1含有加法运算，是多项式，不是单项式； B. 3x²是数3与字母x²的积，是单项式； C. x-y含有减法运算，是多项式，不是单项式； D. 分母中含有字母，不是整式，更不是单项式。 故选：B。 2.（2025-2026学年·北京期中）单项式-4a²b³c的系数和次数分别是（　　　） A. 4，6 B. -4，6 C. 4，5 D. -4，5 【答案】B 【解析】本题考查单项式的系数和次数。系数是数字因数，包括符号，所以系数是-4；次数是所有字母指数的和，a的指数是2，b的指数是3，c的指数是1，所以次数是2+3+1=6。 【解答】解：单项式-4a²b³c的系数是-4， 次数是2+3+1=6。 故选：B。 3.（2024-2025学年·山东济南期末）单项式 a²h的系数和次数分别是（　　　） A. ，2 B. 1，3 C. ，3 D. 1，2 【答案】C 【解析】本题考查单项式的系数和次数。系数是数字因数， a²h的系数是；次数是所有字母指数的和，a的指数是2，h的指数是1，所以次数是2+1=3。 【解答】解：单项式 a²h的系数是， 次数是2+1=3。 故选：C。 4.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）下列代数式中，次数为3的单项式是（　　　） 【答案】B 【解析】本题考查单项式的次数。A和C含有加法运算，是多项式，不是单项式；B是单项式，次数是2+1=3；D是单项式，次数是1+1=2。 【解答】解：A. x²+y²含有加法运算，是多项式，不是单项式； B. x²y是单项式，次数是2+1=3； C. x³+y³含有加法运算，是多项式，不是单项式； D. 3xy是单项式，次数是1+1=2。 故选：B。 5.（2024-2025学年·江苏南京期中）下列说法正确的是（　　　） A. 单项式x的系数是0 B. 单项式的次数是2 C. 单独的一个数不是单项式 D. 单项式-2πr的系数是-2π 【答案】D 【解析】本题考查单项式的相关概念。A. 单项式x的系数是1，不是0；B. 单项式-5xy²的次数是1+2=3，不是2；C. 单独的一个数也是单项式；D. 单项式-2πr的系数是-2π，π是常数，正确。 【解答】解：A. 单项式x的系数是1，不是0，故A错误； B. 单项式-5xy²的次数是1+2=3，不是2，故B错误； C. 单独的一个数也是单项式，故C错误； D. 单项式-2πr的系数是-2π，π是常数，故D正确。 故选：D。 6.（2025-2026学年·福建福州期末）多项式的项和次数分别是（　　　） 【答案】A 【解析】本题考查多项式的项和次数。多项式x²+2x+8的项是x²，2x，8；次数最高的项是x²，次数是2，所以多项式的次数是2。 【解答】解：多项式x²+2x+8的项是x²，2x，8； 次数最高的项是x²，次数是2， 所以这个多项式的次数是2。 故选：A。 7.（2024-2025学年·河南周口期末）下列代数式中，是整式的是（　　　） A. B. C. x²+2x+1 D. 2x- 【答案】C 【解析】本题考查整式的概念。单项式与多项式统称整式，分母中不含字母。A和B分母中含有字母，不是整式；C是多项式，是整式；D含有根号，不是整式。 【解答】解：A. 分母中含有字母，不是整式； B. 分母中含有字母，不是整式； C. x²+2x+1是多项式，是整式； D. 2x-分母中含有字母，不是整式。 故选：C。 8.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）多项式的常数项是（　　　） 9.（2024-2025学年·四川成都期中）如果一个多项式是二次三项式，那么它的（　　　） A. 最高次项的次数是2，有3项 B. 最高次项的次数是3，有2项 C. 最高次项的次数是2，有2项 D. 最高次项的次数是3，有3项 【答案】A 【解析】本题考查多项式的命名。二次三项式表示这个多项式的次数是2（最高次项的次数是2），有3项。 【解答】解：二次三项式表示： 二次——最高次项的次数是2； 三项式——有3项。 故选：A。 10.（2025-2026学年·广东信宜期末）下列说法正确的是（　　　） A. 单项式的系数是-2，次数是2 B. 单项式a的系数是0，次数是0 C. 多项式2a-12b的项是2a和12b D. 单项式πr²的次数是2 【答案】D 【解析】本题考查单项式和多项式的相关概念。A. 单项式的系数是，不是-2；B. 单项式a的系数是1，次数是1，不是0；C. 多项式2a-12b的项是2a和-12b，不是12b；D. 单项式πr²的次数是2，π是常数，正确。 【解答】解：A. 单项式的系数是，不是-2，故A错误； B. 单项式a的系数是1，次数是1，不是0，故B错误； C. 多项式2a-12b的项是2a和-12b，不是12b，故C错误； D. 单项式πr²的次数是2，π是常数，故D正确。 故选：D。 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）单项式-3x²y的系数是__-3______，次数是_____3___。 【答案】-3；3 【解析】本题考查单项式的系数和次数。系数是数字因数，包括符号，所以系数是-3；次数是所有字母指数的和，x的指数是2，y的指数是1，所以次数是2+1=3。 【解答】解：单项式-3x²y的系数是-3， 次数是2+1=3。 故答案为：-3；3。 12.（2025-2026学年·北京期中）多项式2n-10的项是___2n_____和____-10____，其中常数项是____-10____，次数是____1____。 【答案】2n；-10；-10；1 【解析】本题考查多项式的项、常数项和次数。多项式2n-10的项是2n和-10，其中-10是常数项；次数最高的项是2n，次数是1，所以多项式的次数是1。注意每一项都包括它前面的符号。 【解答】解：多项式2n-10的项是2n和-10， 其中-10是常数项； 次数最高的项是2n，次数是1， 所以这个多项式的次数是1。 故答案为：2n；-10；-10；1。 13.（2024-2025学年·广东海伦期末）单项式a²的系数是________，次数是____2____。 【答案】；2 【解析】本题考查单项式的系数和次数。系数是数字因数，a²的系数是；次数是所有字母指数的和，a的指数是2，所以次数是2。 【解答】解：单项式a²的系数是， 次数是2。 故答案为：；2。 14.（2025-2026学年·北师大版同步）在代数式：①-5，②x，③2x+1，④x²y，⑤中，是单项式的有___①②④④_____（填序号），是多项式的有___③_____（填序号），是整式的有_____①②③___（填序号）。 【答案】①②④；③；①②③④ 【解析】本题考查单项式、多项式、整式的概念。①-5是单独的一个数，是单项式，也是整式；②x是单独的一个字母，是单项式，也是整式；③2x+1含有加法运算，是多项式，也是整式；④x²y是数与字母的积，是单项式，也是整式；⑤分母中含有字母，不是整式，既不是单项式也不是多项式。 【解答】解：①-5是单独的一个数，是单项式，也是整式； ②x是单独的一个字母，是单项式，也是整式； ③2x+1含有加法运算，是多项式，也是整式； ④x²y是数与字母的积，是单项式，也是整式； ⑤分母中含有字母，不是整式，既不是单项式也不是多项式。 故答案为：①②④；③；①②③④。 15.（2024-2025学年·江苏泰州期末）若单项式-2x^m y³的次数是5，则m=____2____。 【答案】2 【解析】本题考查单项式的次数。单项式-2x^m y³的次数是m+3，由题意得m+3=5，解得m=2。 【解答】解：单项式-2x^m y³的次数是m+3， 由题意得m+3=5， 解得m=2。 故答案为：2。 16.（2025-2026学年·山东济南期末）一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为____2a+2b____（用多项式表示），它的项分别是____2a，2b____，次数是____1____。 【答案】2a+2b；2a，2b；1 【解析】本题考查列多项式及多项式的项和次数。长方形的周长=2×(长+宽)=2(a+b)=2a+2b；它的项分别是2a和2b；次数最高的项是2a（或2b），次数是1，所以多项式的次数是1。 【解答】解：长方形的周长=2(a+b)=2a+2b； 它的项分别是2a和2b； 次数最高的项是2a（或2b），次数是1， 所以这个多项式的次数是1。 故答案为：2a+2b；2a，2b；1。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）指出下列单项式的系数和次数： （1）92t；　　（2）a²；　　（3）0.9p；　　（4） a²h。 【答案】（1）系数92，次数1；（2）系数1，次数2；（3）系数0.9，次数1；（4）系数，次数3。 【解析】本题考查单项式的系数和次数。系数是数字因数，次数是所有字母指数的和。注意单独的一个字母的系数是1，系数是分数时要完整写出。 【解答】解：（1）92t的系数是92，次数是1； （2）a²的系数是1，次数是2； （3）0.9p的系数是0.9，次数是1； （4） a²h的系数是，次数是2+1=3。 18.（2024-2025学年·人教版同步）用单项式填空，并指出它们的系数和次数： （1）若三角形的一条边长为a，这条边上的高为h，则这个三角形的面积为___ah，系数，次数_____； （2）一个长方体包装盒的长、宽、高分别为x cm，y cm，z cm，则这个长方体包装盒的体积为____xyz，系数1，次数3____cm³； （3）有理数n的相反数是____-n，系数-1，次数1____。 【答案】（1）ah，系数，次数2；（2）xyz，系数1，次数3；（3）-n，系数-1，次数1。 【解析】本题考查列单项式及单项式的系数和次数。（1）三角形面积=×底×高= ah；（2）长方体体积=长×宽×高=xyz；（3）n的相反数是-n。 【解答】解：（1）三角形的面积为 ah，它的系数是，次数是2； （2）长方体包装盒的体积为xyz cm³，它的系数是1，次数是3； （3）有理数n的相反数是-n，它的系数是-1，次数是1。 19.（2025-2026学年·北京期中）指出下列多项式的项和次数： （1）2n-10；　　（2）x²+2x+8；　　（3）m³-2。 【答案】（1）项：2n，-10；次数：1。（2）项：x²，2x，8；次数：2。（3）项：m³，-2；次数：3。 【解析】本题考查多项式的项和次数。多项式的每一项都包含它前面的符号，次数是次数最高的项的次数。 【解答】解：（1）多项式2n-10的项是2n，-10；次数最高的项是2n，次数是1，所以这个多项式的次数是1。 （2）多项式x²+2x+8的项是x²，2x，8；次数最高的项是x²，次数是2，所以这个多项式的次数是2。 （3）多项式m³-2的项是m³，-2；次数最高的项是m³，次数是3，所以这个多项式的次数是3。 20.（2024-2025学年·广东广州期末）用多项式填空，并指出它们的项和次数： （1）一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为___2a+2b，项：2a，2b，次数：1_____； （2）m为一个有理数，m的立方与2的差为_____m³-2，项：m³，-2，次数：3___。 【答案】（1）2a+2b，项：2a，2b，次数：1；（2）m³-2，项：m³，-2，次数：3。 【解析】本题考查列多项式及多项式的项和次数。（1）长方形周长=2(a+b)=2a+2b；（2）m的立方与2的差=m³-2。注意每一项都包含它前面的符号。 【解答】解：（1）长方形的周长为2a+2b，它的项分别为2a，2b，次数是1； （2）m的立方与2的差为m³-2，它的项分别为m³，-2，次数是3。 21.（2025-2026学年·山东济南期末）已知多项式-5a²b+2ab-b⁴。 （1）指出这个多项式的项； （2）指出这个多项式的次数； （3）这个多项式是几次几项式？ 【答案】（1）项：-5a²b，2ab，-b⁴；（2）次数：4；（3）四次三项式。 【解析】本题考查多项式的项、次数和命名。（1）多项式的每一项都包含它前面的符号；（2）分别计算每一项的次数：-5a²b的次数是3，2ab的次数是2，-b⁴的次数是4，所以次数最高的项是-b⁴，次数是4；（3）次数是4，有3项，所以是四次三项式。 【解答】解：（1）多项式-5a²b+2ab-b⁴的项是-5a²b，2ab，-b⁴； （2）-5a²b的次数是2+1=3，2ab的次数是1+1=2，-b⁴的次数是4， 所以次数最高的项是-b⁴，次数是4， 这个多项式的次数是4； （3）这个多项式有3项，次数是4，所以是四次三项式。 22.（2024-2025学年·江苏南京期末）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收b辆。第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为多少？（用多项式表示）并指出这个多项式的项和次数。 【答案】2a-12b；项：2a，-12b；次数：1。 【解析】本题考查列多项式及多项式的项和次数。前两年每年投放a辆，共投放2a辆；第三年每个月回收b辆，一年回收12b辆；所以第三年年底共有2a-12b辆。注意每一项都包含它前面的符号。 【解答】解：前两年共投放2a辆， 第三年回收12b辆， 所以第三年年底共有(2a-12b)辆。 这个多项式的项分别为2a，-12b， 次数最高的项是2a（或-12b），次数是1， 所以这个多项式的次数是1。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版七年级上册预习 第四章 整式的加减 4.1 整式 📅 两日分段预习打卡安排 【Day1 预习任务（建议 25min・单项式模块）】 ✅ 达成目标：理解单项式的概念，掌握单项式的系数和次数的确定方法 通读课本 P89-P90 单项式的概念和例1内容，自主完成下文「核心知识点 1-3」「基本概念 1-3」的挖空填写。 熟记单项式的定义（数或字母的积），掌握单项式系数（数字因数）和次数（所有字母指数的和）的确定方法，注意单独的一个数或一个字母也是单项式。 完成基础训练选择题第1-5题，对照答案订正错题。 打卡自检：能判断一个代数式是否是单项式，能正确指出单项式的系数和次数。 【Day2 预习任务（建议 30min・多项式与整式模块）】 ✅ 达成目标：理解多项式的概念，掌握多项式的项和次数的确定方法，理解整式的概念 通读课本 P91-P93 多项式的概念、例2和练习内容，完成「核心知识点 4-6」「基本概念 4-5」剩余挖空填写。 掌握多项式的定义（几个单项式的和）、项（每个单项式）、常数项（不含字母的项）和次数（次数最高的项的次数）的确定方法，理解单项式与多项式统称整式。 完成基础训练选择题第6-10题、填空题和解答题，整理个人易错点。 打卡自检：能判断一个代数式是单项式还是多项式，能正确指出多项式的项和次数，能区分整式与非整式。 一、核心知识点梳理 知识点 1：单项式的概念 代数式的类型多种多样，下面我们学习一类基本的代数式——整式。 汽车在主桥上行驶的平均速度为92 km/h，根据路程、速度、时间之间的关系：路程=速度×时间，汽车在主桥上行驶t h的路程（单位：km）是92×t=92t。 我们来看92t和上一章中遇到过的一些代数式：，这些代数式有什么共同特点？ 这些代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫作单项式（monomial）。 单独的一个数或一个字母也是单项式，例如，-6，x都是单项式。 判断单项式的方法： （1）单项式中只含有乘法运算（包括乘方），不含有加法、减法运算； （2）单项式中可以含有除法运算，但除数必须是数字（即分母中不含字母）； （3）单独的一个数或一个字母也是单项式。 ⚠️易错提醒：含有加法或减法运算的代数式不是单项式，如2n-10、x²+2x+8都不是单项式；分母中含有字母的代数式也不是单项式，如、都不是单项式。 知识点 2：单项式的系数 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。 例如，单项式h的系数分别是92，1，0.9，。 单项式表示数与字母相乘时，通常把数写在前面，如92t。 单项式的系数是1或-1时，1通常省略不写，如a³，-x。 确定单项式系数的注意事项： （1）系数包括它前面的符号，如-3x的系数是-3，不是3； （2）系数是分数时，要完整写出，如 a²h的系数是，不是1； （3）单独的一个字母的系数是1，如a的系数是1，-x的系数是-1； （4）单独的一个数的系数就是它本身，如5的系数是5。 💡重要结论：单项式的系数是单项式中的数字因数，包括符号。当系数为1或-1时，1省略不写，但系数仍然是1或-1。 知识点 3：单项式的次数 一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。 如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式。 例如，在单项式92t中，字母t的指数是1，92t的次数就是1，它是一次单项式。 在单项式 a²h中，字母a与h的指数的和是的次数就是3，它是三次单项式。 对于一个非零的数，规定它的次数为0。 确定单项式次数的注意事项： （1）次数只与字母的指数有关，与系数无关，如-3x²y的次数是2+1=3，与系数-3无关； （2）字母的指数是1时，通常省略不写，但计算次数时要算1，如abc的次数是1+1+1=3； （3）单独的一个非零数的次数是0，如5的次数是0； （4）π是常数，不是字母，如πr²的次数是2，不是3。 ⚠️易错提醒：计算单项式的次数时，不要把系数的指数也算进去，如2³x²y的次数是2+1=3，不是3+2+1=6；也不要漏掉指数为1的字母。 知识点 4：多项式的概念 在上一章中，我们还遇到一些代数式：2n-10，x²+2x+8，2a+3b， ab-πr²，这些式子与单项式有什么区别和联系？它们有什么共同的特点？ 这些式子都可以看作几个单项式的和。例如，2n-10可以看作单项式2n与-10的和，x²+2x+8可以看作单项式x²，2x与8的和。 像这样，几个单项式的和叫作多项式（polynomial）。 其中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项。 例如，多项式2n-10的项是2n与-10，其中-10是常数项。 判断多项式的方法： （1）多项式是几个单项式的和，因此多项式中一定含有加法或减法运算； （2）多项式的每一项都必须是单项式； （3）多项式的项包括它前面的符号。 ⚠️易错提醒：多项式的每一项都包含它前面的正负号。例如，多项式2a-12b的项是2a和-12b，不是2a和12b；常数项也包括它前面的符号，如m³-2的常数项是-2，不是2。 知识点 5：多项式的次数 多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。 例如，多项式2n-10有2项，次数最高的项是一次项2n，这个多项式的次数是1。 多项式x²+2x+8有3项，次数最高的项是二次项x²，这个多项式的次数是2。 确定多项式次数的步骤： （1）找出多项式中的每一项； （2）分别计算每一项的次数； （3）取次数最高的项的次数作为多项式的次数。 多项式的命名： （1）按次数命名：一次多项式、二次多项式、三次多项式等； （2）按项数命名：二项式、三项式等； （3）综合命名：如是二次三项式，2n-10是一次二项式。 ⚠️易错提醒：多项式的次数不是所有项的次数之和，而是次数最高的项的次数。例如，多项式x³+2x²+3x+1的次数是3，不是3+2+1+0=6。 知识点 6：整式的概念 单项式与多项式统称整式（integral expression）。 例如，前面学习的单项式，以及多项式2n-10，x²+2x+8，2a+3b， ab-πr²等都是整式。 整式、单项式、多项式的关系： （1）单项式一定是整式，多项式也一定是整式； （2）整式包括单项式和多项式； （3）一个代数式如果不是单项式，也不是多项式，那它一定不是整式。 判断整式的方法： （1）先判断是否是单项式或多项式； （2）如果是单项式或多项式，则是整式； （3）分母中含有字母的代数式一定不是整式，如、都不是整式。 💡重要结论：整式是单项式和多项式的统称。判断一个代数式是否是整式，关键看分母中是否含有字母：分母中不含字母的代数式是整式，分母中含有字母的代数式不是整式。 ⚠️ ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错点1：误认为含加减运算的代数式是单项式。单项式中只含有乘法运算（包括乘方），不含有加法、减法运算。例如，2n-10、x²+2x+8都含有减法或加法运算，它们是多项式，不是单项式。 易错点2：单项式的系数遗漏符号或遗漏分数系数。系数包括它前面的符号，如-3x的系数是-3，不是3；系数是分数时要完整写出，如 a²h的系数是，不是1。当系数为1或-1时，1省略不写，但系数仍然是1或-1。 易错点3：单项式的次数计算错误。计算单项式的次数时，不要把系数的指数也算进去，如的次数是2+1=3，不是3+2+1=6；也不要漏掉指数为1的字母，如abc的次数是1+1+1=3；π是常数，不是字母，如πr²的次数是2。 易错点4：多项式的项遗漏前面的符号。多项式的每一项都包含它前面的正负号。例如，多项式2a-12b的项是2a和-12b，不是2a和12b；常数项也包括它前面的符号，如m³-2的常数项是-2，不是2。 易错点5：多项式的次数计算错误。多项式的次数不是所有项的次数之和，而是次数最高的项的次数。例如，多项式的次数是3，不是3+2+1+0=6。确定多项式的次数时，要先找出每一项的次数，再取最大值。 易错点6：混淆单项式、多项式、整式的概念。单项式是数或字母的积，多项式是几个单项式的和，整式是单项式和多项式的统称。单项式一定是整式，多项式也一定是整式，但整式不一定是单项式（也可能是多项式）。分母中含有字母的代数式不是整式。 二、基本概念定义 单项式：数或字母的____，像这样的代数式叫作单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。 单项式的系数：单项式中的____叫作这个单项式的系数。 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的____叫作这个单项式的次数。对于一个非零的数，规定它的次数为0。 多项式：几个单项式的____叫作多项式。其中，每个单项式叫作多项式的____，不含字母的项叫作____。 整式：单项式与多项式统称____。 三、数学思想方法 1. 分类思想 分类思想是指根据事物的不同特征进行分类，分别研究各类事物的思想方法。在本节中，代数式可以分为整式和非整式，整式又可以分为单项式和多项式，单项式按次数可以分为一次单项式、二次单项式等，多项式按次数和项数可以命名为二次三项式、一次二项式等，体现了分类思想。分类思想使代数式的研究更加有条理，便于我们理解和掌握不同类型代数式的特征。 2. 抽象思想 抽象思想是指从具体事物中抽象出一般概念和规律的思想方法。在本节中，从汽车行驶路程92t、三角形面积 ah、长方体体积xyz等具体问题中，抽象出单项式的概念；从长方形周长2a+2b、m的立方与2的差m³-2等具体问题中，抽象出多项式的概念，体现了抽象思想。抽象思想使数学从具体走向一般，是代数的核心思想。 3. 整体思想 整体思想是指将问题中的某些部分看作一个整体，从整体的角度来分析和解决问题的思想方法。在本节中，多项式的每一项都包含它前面的正负号，在确定多项式的项时，要将符号和后面的部分看作一个整体；在确定多项式的次数时，要将每一项看作一个整体来计算次数，体现了整体思想。整体思想使我们能够准确把握多项式的结构，避免遗漏符号。 4. 转化思想 转化思想是指将未知的、陌生的问题转化为已知的、熟悉的问题来解决的思想方法。在本节中，确定多项式的次数可以转化为确定每一项（单项式）的次数，再取最大值；判断一个代数式是否是整式，可以转化为判断它是否是单项式或多项式，体现了转化思想。转化思想使复杂的问题变得简单，是解决数学问题的重要思想方法。 5. 应用意识 应用意识是指运用数学知识解决实际问题的意识和能力。在本节中，单项式和多项式广泛应用于实际生活中，如汽车行驶路程、三角形面积、长方体体积、邮票花费、国旗面积、长方形周长、共享单车数量、印章表面积等，体现了应用意识。应用意识使数学学习与实际生活紧密结合，体现了数学的实用价值，培养用数学眼光观察世界、用数学思维分析问题、用数学方法解决问题的能力。 四、真题训练 一、选择题 1.（2024-2025学年·人教版同步）下列代数式中，是单项式的是（　　　） 2.（2025-2026学年·北京期中）单项式-4a²b³c的系数和次数分别是（　　　） A. 4，6 B. -4，6 C. 4，5 D. -4，5 【答案】B 【解析】本题考查单项式的系数和次数。系数是数字因数，包括符号，所以系数是-4；次数是所有字母指数的和，a的指数是2，b的指数是3，c的指数是1，所以次数是2+3+1=6。 【解答】解：单项式-4a²b³c的系数是-4， 次数是2+3+1=6。 故选：B。 3.（2024-2025学年·山东济南期末）单项式 a²h的系数和次数分别是（　　　） A. ，2 B. 1，3 C. ，3 D. 1，2 4.（2025-2026学年·广东广州海珠期末）下列代数式中，次数为3的单项式是（　　　） 5.（2024-2025学年·江苏南京期中）下列说法正确的是（　　　） A. 单项式x的系数是0 B. 单项式的次数是2 C. 单独的一个数不是单项式 D. 单项式-2πr的系数是-2π 6.（2025-2026学年·福建福州期末）多项式的项和次数分别是（　　　） 7.（2024-2025学年·河南周口期末）下列代数式中，是整式的是（　　　） A. B. C. x²+2x+1 D. 2x- 8.（2025-2026学年·辽宁大连甘井子期末）多项式的常数项是（　　　） 9.（2024-2025学年·四川成都期中）如果一个多项式是二次三项式，那么它的（　　　） A. 最高次项的次数是2，有3项 B. 最高次项的次数是3，有2项 C. 最高次项的次数是2，有2项 D. 最高次项的次数是3，有3项 10.（2025-2026学年·广东信宜期末）下列说法正确的是（　　　） A. 单项式的系数是-2，次数是2 B. 单项式a的系数是0，次数是0 C. 多项式2a-12b的项是2a和12b D. 单项式πr²的次数是2 二、填空题 11.（2024-2025学年·人教版同步）单项式-3x²y的系数是________，次数是________。 12.（2025-2026学年·北京期中）多项式2n-10的项是________和________，其中常数项是________，次数是________。 13.（2024-2025学年·广东海伦期末）单项式a²的系数是________，次数是________。 14.（2025-2026学年·北师大版同步）在代数式：①-5，②x，③2x+1，④x²y，⑤中，是单项式的有________（填序号），是多项式的有________（填序号），是整式的有________（填序号）。 15.（2024-2025学年·江苏泰州期末）若单项式-2x^m y³的次数是5，则m=________。 16.（2025-2026学年·山东济南期末）一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为________（用多项式表示），它的项分别是________，次数是________。 三、解答题 17.（2025-2026学年·人教版同步）指出下列单项式的系数和次数： （1）92t；　　（2）a²；　　（3）0.9p；　　（4） a²h。 18.（2024-2025学年·人教版同步）用单项式填空，并指出它们的系数和次数： （1）若三角形的一条边长为a，这条边上的高为h，则这个三角形的面积为________； （2）一个长方体包装盒的长、宽、高分别为x cm，y cm，z cm，则这个长方体包装盒的体积为________cm³； （3）有理数n的相反数是________。 19.（2025-2026学年·北京期中）指出下列多项式的项和次数： （1）2n-10；　　（2）x²+2x+8；　　（3）m³-2。 20.（2024-2025学年·广东广州期末）用多项式填空，并指出它们的项和次数： （1）一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为________； （2）m为一个有理数，m的立方与2的差为________。 21.（2025-2026学年·山东济南期末）已知多项式-5a²b+2ab-b⁴。 （1）指出这个多项式的项； （2）指出这个多项式的次数； （3）这个多项式是几次几项式？ 22.（2024-2025学年·江苏南京期末）某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收b辆。第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为多少？（用多项式表示）并指出这个多项式的项和次数。 学科网（北京）股份有限公司 $