第二章 实数 （卷一）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上实数单元培优卷，以无人机表演、陕北剪纸等时代与文化情境为载体，通过“友好无理数”新定义、数形结合探究等设计，考查无理数识别、二次根式运算及应用，体现几何直观与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|无理数识别、最简二次根式、勾股定理|第3题无人机爬升情境计算距离，体现应用意识| |填空题|5/20|二次根式化简、数轴与绝对值、图形面积|第13题相邻正方形面积求阴影，考查几何直观| |解答题|10/90|实数运算、新定义探究、文化应用|第20题陕北剪纸中长方形与圆形面积计算，第25题“友好无理数”定义探究，培养推理意识与创新思维|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 八年级 (上) 第二章 实数（卷一）   一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.有下列几个数：，2.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”），，，，，其中无理数的个数为（     ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D.  3.2026年河南省文化旅游发展大会于5月22日在安阳成功举行，大型无人机灯光表演在殷墟博物馆上空惊艳亮相．彩排阶段，工作人员从平地上的点操控无人机起飞，先垂直爬升2米，后水平飞行3米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（        ） A.5米 B.6米 C.7米 D.米  4.已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（        ） A.0 B.1 C. D.  5.已知，那么可化简为（       ） A. B. C. D. 6.定义：不大于数a的最大整数称为它的整数部分．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（     ） A.1 B. C.6 D. 7.若实数a，b满足，则函数的图象不经过（        ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限  8.如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（        ） A. B. C. D.  9.如图，在等腰Rt 中，, ，点在线段上，过点作CF AD，交延长线于点，过点作交于点，连接．若AD= ，则的长为（       ） A. B. C. D.  10.如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点：以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（       ） A. B. C. D. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）  11.________．  12.若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则________． 13.如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为________．  14.已知，为有理数，，分别为的整数部分和小数部分，且，则的值为________．  15.如图，已知在Rt 中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则的长为 ________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）  16.（4分）计算：． 17.(8分) 计算： （1）； （2）． 18.(8分) 阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： （1）求的整数部分与小数部分各是多少？ （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根． 19.(8分) 已知正数的两个不相等的平方根为m和． （1）当时，求的值； （2）若，求的值． 20.(8分) 陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． （1）求宣纸的周长； （2）剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 21.(10分) 已知：，． （1）求的值； （2）求的值．   22.(10分) 如图1，我们在学习“实数”时，画了这样一个图，即“以数轴上的单位长度为1的线段为边作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题： （1）点表示的数为______． （2）这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想； A．整体思想  B．归纳   C．数形结合      D．分类讨论 （3）利用这种方法，在图2的数轴上用圆规找出实数的准确位置． 23.(11分) 小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为的正方形的边长是，且， 设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又， 当时，假设忽略不计，得，解得，即． （1）填空：的整数部分的值为_______； （2）类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）   24.(11分) 学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题： 具体运算，发现规律 （1），，，计算：________ 观察归纳，写出结论 （2）________（n为正整数） 灵活运用，提升能力（备注：，） （3）请利用你所发现的规律，计算的值． 25.(12分) 对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： （1）的“友好无理数”是_______． （2）请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是_______和_______． （3）将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为_______； ②如果，那么的值为_______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 八年级 (上) 第二章 实数（卷一） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ，）   1.有下列几个数：，2.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”），，，，，其中无理数的个数为（     ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 C 【解析】 本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键. 无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可. 【解答】 解：0.1是无限循环小数，是有理数，不符合要求； 2.1010010001...（每两个“1”之间依次多1个“0”）是无限不循环小数，是无理数，符合要求； ，是有理数，不符合要求； 是无理数，符合要求； 是有理数，不符合要求； 是无理数，符合要求； 其中无理数的个数为3， 故选：C. 2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据最简二次根式的定义逐个判断即可. 【解答】 解：A. 的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B. 是最简二次根式，故本选项符合题意； C. 的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D. 的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B.  3.2026年河南省文化旅游发展大会于5月22日在安阳成功举行，大型无人机灯光表演在殷墟博物馆上空惊艳亮相．彩排阶段，工作人员从平地上的点操控无人机起飞，先垂直爬升2米，后水平飞行3米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（        ） A.5米 B.6米 C.7米 D.米 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：由勾股定理得点A与点B之间的距离是 （米）. 故选：D. 4.已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（        ） A.0 B.1 C. D. 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：的平方根是，的立方根是， ，， 解得，， . 故选：C.  5.已知，那么可化简为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【解答】 解： ，， ， 原式， 故选：．  6.定义：不大于数a的最大整数称为它的整数部分．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（     ） A.1 B. C.6 D. 【答案】 A 【解析】 先根据无理数的估算得出1<3-<2，再根据定义得出a=1，b=2-，最后再代入利用平方差公式计算即可. 【解答】 解：， ， ， ，  7.若实数a，b满足，则函数的图象不经过（        ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】 D 【解析】 先利用偶次方和算术平方根的非负性求出a，b的值，再根据一次函数的性质判断图象经过的象限，即可得到答案. 【解答】 解： 解得 函数解析式为 函数图象经过第一、二、三象限， 因此函数图象不经过第四象限.  8.如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 先分别求出 、、的周长，再归纳类推出一般规律，由此即可得. 【解答】 解：是等腰直角三角形，，， ，， 的周长为 ， 同理可得：的周长为 ， 的周长为 ， 归纳类推得：的周长为 （为正整数）， 的周长为  9.如图，在等腰Rt 中，, ，点在线段上，过点作CF AD，交延长线于点，过点作交于点，连接．若AD= ，则的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键，过点A作 于点G，先利用勾股定理可得 ，利用三角形的面积公式可得 ，再利用勾股定理可得CG，GD的长，则可得CD的长，然后利用 的面积计算即可得. 【解答】 解：如图，过点A作 于点G， 在 中， 在Rt 中，CG= 在Rt 中， 故选：A. 10.如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点：以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 首先利用勾股定理求出AB的长，确定 对应的数，进而求出 等点对应的数，通过观察数据找出 的规律，最后代入n的值求解. 【解答】 解：由图可知， 点坐标为 ， 点坐标为（0，2）， 以AB长度为半径，原点O为圆心画圆交数轴正半轴于点 对应的数为 在 的右侧取最近整数点 对应的数为3， 以 为圆心， 长为半径画圆交数轴正半轴于点 对应的数为 在 的右侧取最近整数点 对应的数为4， 以 为圆心， 长为半径画圆交数轴正半轴于点 对应的数为 同理可得 对应的数为5， 对应的数为 …， 观察规律可知： 对应的数为 对应的数为 …， 对应的数为 对应的数为 故选：A. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）  11.________． 【答案】 【解析】 先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果. 【解答】 解： . 12.若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则________． 【答案】 【解析】 根据数轴上的点右边的数总是大于左边的数，根据数轴即可确定a，b的符号，以及绝对值的大小，即可进行化简. 【解答】 解：根据数轴可知： 所以， 所以，  13.如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽是解题的关键． 分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可求解． 【解答】 解：两个正方形的面积分别为3和9， 它们的边长分别为：和3， 由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为3， 阴影部分的面积为． 故答案为：.  14.已知，为有理数，，分别为的整数部分和小数部分，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 先估算 的取值范围，得出 ，再代入 ，整理得 ，根据题意得到 ，解二元一次方程组得到 ，代入 计算即可. 【解答】 解：， ， ， 分别为 的整数部分和小数部分， ， 把 代入 得： ， 整理得： ， ， 为有理数， ， 解得：， . 15.如图，已知在Rt 中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则的长为 ________． 【答案】 【解析】 本题考查翻折变换，含 和含 角直角三角形的性质，勾股定理，二弄清线段之间的关系，熟练运用相关图形的性质是解题的关键。先根据勾股定理求出AC，进而求出BN，CN，证明出 即可求出MN，BM，AM解决问题. 【解答】 解： ，AB=2 ，BC=2， 将 沿着BN折叠，使点C的对应点 恰好落在AC边上， 将 沿着BM折叠，使点A的对应点 恰好落在BC的延长线上， 为等腰直角三角形， 故答案为： 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）  16.（4分）计算：． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解 将各项代入原式， 原式 17.(8分) 计算： （1）； （2）． 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解: ； （2）解: . 18.(8分) 阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： （1）求的整数部分与小数部分各是多少？ （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根． 【答案】 的整数部分为4，的小数部分为 a+b- 的平方根为 【解析】 （1）利用例题结合 ，进而得出答案； （2）利用例题结合 ，可求得a与b的值，进而得出答案. 【解答】 （1）解： 即 的整数部分为4，的小数部分为 （2）解： 即 的整数部分为2，小数部分为 的整数部分为b=3, 的平方根为 19.(8分) 已知正数的两个不相等的平方根为m和． （1）当时，求的值； （2）若，求的值． 【答案】 x=64 x=4 【解析】 （1）根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，结合n的值求出m，再计算x. （2）利用平方根的平方等于原数，代入等式化简求得x. 【解答】 （1）解：∵ 正数x的两个不相等的平方根为m和m+n， ∴ m+(m+n)=0，m²=x，(m+n)²=x， ∴ 2m+n=0， ∵ n=16， ∴ 2m+16=0， ∴ m=-8， ∴ x=m²=(-8)²=64. （2）把m²=x，(m+n)²=x代入m²x+(m+n)²x=32得： x²+x²=32， ∴ 2x²=32， ∴ x²=16， ∴ x=±4， ∵ x为正数， ∴ x=4. 20.(8分) 陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． （1）求宣纸的周长； （2）剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】 98cm 能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为rcm， 由题意得：， 解得：， 圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为21cm，且 ， ， 能够裁出来 【解析】 (1)设这张宣纸的长为4xcm，宽为3xcm，由题意易得，然后进行求解即可； (2)设圆形纸胚的半径为rcm，由题意易得，然后问题可求解 【解答】 (1)解：设这张宣纸的长为4xcm，宽为3xcm，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， 这张宣纸的长为，宽为， 这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为98cm （2）能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为rcm， 由题意得：， 解得：， 圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为21cm，且 ， ， 能够裁出来。 21.(10分) 已知：，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】 3 【解析】 （1）由已知可得 , , 再利用平方差公式计算即可; （2）由已知可得 , , 再利用完全平方公式将原式变形为 , 进而代入计算即可. 【解答】 （1）解: , , , , 原式 ; （2）解: , , , , 原式 .  22.(10分) 如图1，我们在学习“实数”时，画了这样一个图，即“以数轴上的单位长度为1的线段为边作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题： （1）点表示的数为______． （2）这种研究和解决问题的方式，体现了__C____的数学思想； A．整体思想       B．归纳      C．数形结合       D．分类讨论 （3）利用这种方法，在图2的数轴上用圆规找出实数的准确位置． 【答案】 C 画图见解析 【解析】 （1）利用勾股定理求出正方形对角线的长，结合题意即可求出 ，从而可得答案； （2）根据常用的数形结合思想即可得出结论； （3）取表示 的点C，格点B，连接BC，再以C为圆心，CB为半径画弧，与数轴交于点A，从而可得实数 的准确位置. 【解答】 （1） 解： 正方形的边长为1 正方形的对角线的长 点A表示的数为 （2）解：利用勾股定理求出实数 在数轴上的位置，故体现了的数学思想方法为：数形结合 故选：C （3）解：如图，点A即为所求； 图2 理由： 由勾股定理可得： 点A对应的数为： 23.(11分) 小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为的正方形的边长是，且， 设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又， 当时，假设忽略不计，得，解得，即． （1）填空：的整数部分的值为___11____； （2）类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】 【解析】 （1）利用夹逼法求解即可； （2）仿照题干中的解题思路解答即可． 【解答】 （1）解：， ， 的整数部分的值为； 故答案为：； （2）解：面积为的正方形的边长是，且， 设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又， 当时，假设忽略不计，得， 解得， 即．  24.(11分) 学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题： 具体运算，发现规律 （1），，，计算：________ 观察归纳，写出结论 （2）________（n为正整数） 灵活运用，提升能力（备注：，） （3）请利用你所发现的规律，计算的值． 【答案】 【解析】 （1）根据题中所给新运算可进行求解； （2）由(1)及题干可进行求解； （3）根据(2)中的结论把所求式子中的每一项进行展开，再计算求解即可. 【解答】 （1）解：由题意得，； （2）解：， ， ， ......， 以此类推可知，; （3）解： . 25.(12分) 对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： （1）的“友好无理数”是_______． （2）请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是_______和____（答案不唯一）_． （3）将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为_______； ②如果，那么的值为_______． 【答案】 和或和（答案不唯一） ①；② 【解析】 （1）设的“友好无理数”是，根据“友好无理数”的定义列式求解即可； （2）设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为，结合题意列式得到，由此代入计算验证即可； （3）①根据计算得到，由此代入计算即可； ②根据题意得到，代入计算即可求解． 【解答】 （1）解：设的“友好无理数”是， ， 解得，， 故答案为：； （2）解：设一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”分别为， ， ，则， ， ， 是无理数，即， ， 令，则，符合题意； 令，则，符合题意； 故答案为：和或和（答案不唯一）； （3）解：①将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”， ，，，， ，，，， ， ， 整理得，， 解得，， 当时，； 当时，； ， ； ②根据上述计算，， 变形得，， ， ， ， ， 解得，， ． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版初中数学 • 培优卷 八年级 (上) 第二章 实数（卷一） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ，）   1.有下列几个数：，2.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”），，，，，其中无理数的个数为（     ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D.  3.2026年河南省文化旅游发展大会于5月22日在安阳成功举行，大型无人机灯光表演在殷墟博物馆上空惊艳亮相．彩排阶段，工作人员从平地上的点操控无人机起飞，先垂直爬升2米，后水平飞行3米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（        ） A.5米 B.6米 C.7米 D.米 4.已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（        ） A.0 B.1 C. D.  5.已知，那么可化简为（       ） A. B. C. D.  6.定义：不大于数a的最大整数称为它的整数部分．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（     ） A.1 B. C.6 D.  7.若实数a，b满足，则函数的图象不经过（        ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限  8.如图，已知是等腰直角三角形，，依次以点为直角顶点作等腰，若，则的周长为（        ） A. B. C. D.  9.如图，在等腰Rt 中，, ，点在线段上，过点作CF AD，交延长线于点，过点作交于点，连接．若AD= ，则的长为（       ） A. B. C. D. 10.如图，在的网格中构造正方形，以长度为半径，数轴的原点为圆心画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点；再以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点，在的右侧取最近整数点：以为圆心，长为半径画圆，交数轴正半轴于点．以此类推，点在数轴上对应的数是（       ） A. B. C. D. 二、 填空题（本题共计 5 小题 ，每题 4 分 ，共计20分 ）  11.________． 12.若数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则________．  13.如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为________．  14.已知，为有理数，，分别为的整数部分和小数部分，且，则的值为________． 15.如图，已知在Rt 中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则的长为 ________． 三、 解答题（本题共计 10 小题 ，共计90分 ）  16.（4分）计算：． 17.(8分) 计算： （1）； （2）． 18.(8分) 阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ，即， 的整数部分为，小数部分为． 请解答： （1）求的整数部分与小数部分各是多少？ （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根． 19.(8分) 已知正数的两个不相等的平方根为m和． （1）当时，求的值； （2）若，求的值． 20.(8分) 陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． （1）求宣纸的周长； （2）剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 21.(10分) 已知：，． （1）求的值； （2）求的值． 22.(10分) 如图1，我们在学习“实数”时，画了这样一个图，即“以数轴上的单位长度为1的线段为边作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题： （1）点表示的数为______． （2）这种研究和解决问题的方式，体现了______的数学思想； A．整体思想       B．归纳      C．数形结合       D．分类讨论 （3）利用这种方法，在图2的数轴上用圆规找出实数的准确位置． 23.(11分) 小李同学探索的近似值的过程如下： 面积为的正方形的边长是，且， 设，其中； 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： 又， 当时，假设忽略不计，得，解得，即． （1）填空：的整数部分的值为_______； （2）类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 24.(11分) 学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题： 具体运算，发现规律 （1），，，计算：_______ 观察归纳，写出结论 （2）_______（n为正整数） 灵活运用，提升能力（备注：，） （3）请利用你所发现的规律，计算的值． 25.(12分) 对于两个无理数，如果它们的和等于它们的积，那么我们称这两个无理数互为“友好无理数”．请根据条件填空： （1）的“友好无理数”是______． （2）请写出一组符号不同且互为有理化因式的“友好无理数”，它们可以是_______和_____． （3）将一组无理数从左到右排列，第一个数记作，第二个数记作，第三个数记作，第个数记作．即．已知，且这个数中，每相邻两个数都是“友好无理数”． ①如果，且，那么的值为_______； ②如果，那么的值为_______． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $