第二章《实数》专题训练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师版八年级数学上册《实数》专题训练，覆盖21个常考题型，含基础概念、运算应用及创新探究，梯度设计适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|多题|无理数、平方根、二次根式意义|结合数轴化简等情境化设计| |运算应用|多题|开方运算、二次根式混合运算|含程序转换器等跨情境题型| |综合探究|多题|规律探究、分母有理化、双根号化简|分层设计，从基础巩固到创新拓展|

第二章《实数》专题训练2026-2027学年北师版八年级数学上册 （解析版） 一、《实数》常考题型梳理： 题型1：无理数的概念 题型2：算术平方根的概念 题型3：算术平方根的非负性 题型4：平方根的概念 题型5：立方根的概念及性质 题型6：开方运算中小数点移动规律 题型7：平方根与立方根求参数 题型8：利用开方解方程 题型9：估算无理数范围 题型10：无理数的整数和小数部分 题型11：实数综合运算 题型12：程序设计与实数运算 题型13：二次根式有意义的条件 题型14： 判断是否为最简二次根式: 题型15： 利用二次根式的性质化简 题型:16： 二次根式的乘除运算 题型17：二次根式的加减运算 题型18：二次根式的混合运算 题型19： 二次根式中的规律探究问题 题型20： 二次根式中的分母有理化 题型21：复合二次根式（双根号）化简 二、《实数》常考题型训练： 题型1：无理数的概念 1.在实数，，，，，（两个之间为依次增加一个）中， 无理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据无理数的三种形式求解． 【详解】解：＝2， 无理数有：﹣，，4.010010001…，共3个． 故选择：C． 2．在实数，，0，，，，，中，无理数的个数有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式： 开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数， 结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 【详解】解：在实数，，0，，，，，中， 是无理数的有：，，，， ∴是无理数的有4个， 故选：D． 题型2：算术平方根的概念 1．4的算术平方根是（　 　） A． ±2 B．﹣2 C．2 D． 【答案】C 【解答】解：4的算术平方根是：， 故选：C． 2．的算术平方根是（　 　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义，熟练掌握并深刻理解算术平方根的定义是解题的关键． 先求得的值，再继续求它的算术平方根即可得出答案． 【详解】解：， 而的算术平方根是， 的算术平方根是， 故选：C． 3．下列计算正确的是（   ） A．＝±4 B．±＝3 C． D．＝﹣3 【答案】C 【分析】根据算术平方根，平方根的定义，二次根式的性质分别计算即可． 【详解】解：A．＝4，故选项错误，不符合题意； B．±＝±3，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．＝3，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 4．学完平方根后，当堂检测环节周老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况： ①0的平方根是0；②16的平方根是； ③9的算术平方根是3；④的平方根是． 若每做对一道题得25分，则该次检测嘉嘉应得分（ ） A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根及平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．根据算术平方根及平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：①0的平方根是0，正确； ②16的平方根是，正确； ③9的算术平方根是3，正确； ④，其平方根是，则④错误； 那么该次检测嘉嘉应得分为（分， 故选：C 题型3：算术平方根的非负性 1．若 ，则a不可以是（　 　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据算术平方根的非负性求解即可． 【详解】∵ ， ∴， ∴a不可以是， 故选：A． 2．若＝a﹣2，则a与2的大小关系是（   ） A．a＝2 B．a＞2 C．a≤2 D．a≥2 【答案】D 【分析】由==，可知0，即2. 【详解】由==，可知0，即2， 故选D. 3．已知，那么的值为_____ ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次根式和绝对值， 根据，，，可得， ． 【详解】解：根据，，，可得 ， ． 即 ，． 解得 ，． 所以． 故答案为： 4．若实数，，满足： ，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值，二次根式和完全平方式的非负性，根据几个非负数的和为0，则每个式子的值多位0，求出x、y、z的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， 且， ，，， ，，， ． 故答案为：4 题型4：平方根的概念 1．9的平方根是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴9的平方根是． 2．的平方根是（　 　） A． B． C． D．±3 【答案】C 【分析】本题主要考查了求算术平方根，平方根．先根据算术平方根的性质可得，再根据平方根的性质计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故选：C 3．下列各式正确的是（   ） A．= ±3 B．= ±3 C．=3 D．=-3 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：A．= 3，不符合题意； B．= 3，不符合题意； C．==3 ，C符合题意； D．==3，不符合题意． 故选C． 4. 小雪在作业本上做了四道题目： ①＝﹣3； ②±＝4； ③＝9； ④＝-6， 她做对了的题目有（ ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【答案】A 【分析】依据立方根、平方根算术平方根的定义求解即可 【详解】①=-3,故①正确;②±=±4,故②错误; =3，故③错误;④=6,故④错误． 故选:A. 题型5：立方根的概念及性质 1．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（　 　） A．±4 B．4 C．±2 D．2 【答案】D 【解答】解：棱长＝＝4，4的算术平方根为2． 故选：D． 2．的平方根是（   ） A．2 B．±2 C．±4 D．不存在 【答案】B 【分析】先计算的值，在计算的平方根可得答案. 【详解】解：=4， 4的平方根为， 故选B. 3．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（　 　） A．±4 B．4 C．±2 D．2 【答案】D 【解答】解：棱长＝＝4，4的算术平方根为2． 故选：D． 题型6：开方运算中小数点移动规律 1．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求算术平方根，由题意得出被开放数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，即可得解． 【详解】解：，， 被开放数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位， ， 故答案为：． 2．已知，.则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的小数点的移动规律可知进而即可解答． 【详解】解：∵是向右移动位得到的， ∴， ∵， ∴， 故选． 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 题型7：平方根与立方根求参数 1. 已知的平方根是，的立方根是4． (1) 求、的值． (2) 求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)6． 【分析】（1）根据立方根与平方根的意义求出、的值； （2）求出，再根据算术平方根的定义求出结果． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是4， ∴， 解得：， ∴，； （2）由（1）可知： ， ∴的算术平方根为6． 2．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为． (1) 求、的值； (2) 求的算术平方根． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方根与立方根，解题的关键是熟练掌握平方根与立方根的定义，本题的易错点在于平方根和算术平方根的区分． （1）根据平方根与立方根的定义即可求出答案．根据和是某正数的两个不相等的平方根，可得和互为相反数，其和为；由的立方根为得，即可求出答案． （2）根据第一问求出的值代入得，再由算术平方根的定义求出答案． 【详解】（1）解：由题意和是某正数的两个不相等的平方根可得， ， ， ， 由于的立方根为， ， ； （2）当时，    ∴的算术平方根是 3．若一个正数m的平方根分别是和． (1)求m，n的值； (2)若，求c的立方根． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出n的值，继而求出m的值； （2）根据（1）中的结果求出c的值，再根据立方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ， ； （2）解：，，， ， 的立方根是3， 的立方根是． 题型8：利用开方解方程 1 . 根据平方根、立方根的定义解方程 （1）   （2） 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）先移项，化为 再利用立方根的含义可得答案； （2）先移项，再两边都除以化为：，再利用平方根的含义解方程即可. 【详解】解：（1） （2） 移项得： 或 或 2．根据平方根、立方根的定义解方程 （1）    （2） 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）先移项，化为 再利用立方根的含义可得答案； （2）先移项，再两边都除以化为：，再利用平方根的含义解方程即可. 【详解】解：（1） （2） 移项得： 或 或 3．解方程 （1）2（x﹣1）2=8； （2）（x﹣2）3=﹣1． 【答案】（1）x1=3，或x2=﹣1;（2）x=1． 【分析】（1）根据平方根即可解答； （2）根据立方根即可解答. 【详解】（1）原方程可化为，（x﹣1）2=4， 开方得，x﹣1=±2 ∴x1=3，或x2=﹣1， （2）开立方得，x﹣2=﹣1， ∴x=1． 题型9：估算无理数范围 1．估计的值（　 　） A．在2与3之间 B．在3与4之间 C．在4与5之间 D．在5与6之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是求出介于哪两个整数之间． 根据数的平方估出介于哪两个整数之间，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：B． 2 . 若a＜＜b，其中a，b为两个连续的整数，则ba的值为（　 　） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【解答】解：∵4＜8＜9， ∴， 又∵，其中a，b为两个连续的整数， ∴a＝2，b＝3， ∴ba＝32＝9． 故选：C． 3．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的估算，先求出正方形花坛的边长为，再进行估算即可得解． 【详解】解：设正方形边长为， 则面积， 解得：， ， ， 边长介于和之间， 故选：D． 4.把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中， 被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（ ） A． B． C． D．﹣ 【答案】B 【分析】设被墨迹覆盖住的无理数为x，由图可知：3＜x＜4，得，进而解决此题． 【详解】解：设被墨迹覆盖住的无理数为x． 由图可知：3＜x＜4． ∴． ∵， ∴x＝． 故选：B． 5．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】C 【分析】根据实数的估算，由平方数估算出近似值，表示在数轴上即可. 【详解】∵9＜10＜16 ∴ ∴3＜＜4 题型10：无理数的整数和小数部分 1．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定． 【详解】解：， ， 则． 故答案是：3，． 2．设的小数部分是的整数部分是，则的值是（   ） A．3 B．7 C．9 D．一个无理数 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算；由题意确定出m与n的值即可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴； 故选：A． 3．阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)求的整数部分与小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根． 【答案】(1)的整数部分为，的小数部分为， (2) 【分析】（1）利用例题结合，进而得出答案； （2）利用例题结合，，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分为，的小数部分为， （2）解：∵， ∴的整数部分为， 的小数部分为， ∵， 即， ∴的整数部分为， 则 ∴的平方根为 题型11：实数综合运算 1．计算：． 【答案】 【分析】根据立方根及算术平方根的定义将原式化简，再进行加减运算． 【详解】解： ． 2．计算： 【答案】 【分析】先根据算术平方根和立方根的运算法则计算，再进行加减计算即可； 【详解】解： ． 3．计算： 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根的计算和有理数的混合运算． 解题思路是先分别计算出每一项的值，再按照有理数加减运算法则计算最终结果． 【详解】解：． 题型12：程序设计与实数运算 1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为81时，输出的y值是（    ）    A． B．3 C．9 D． 【答案】A 【分析】根据流程图进行求解即可． 【详解】解：当时：，是有理数，继续输入，得到，是有理数，继续输入，得到，是无理数，输出， ∴输出的y值是； 故选A． 2．有一个数值转换器，流程如下： 当输入的值为时，输出的值是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】依据转换器流程，先求出的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数；再取算术平方根为，最后输出，即可求出y的值． 【详解】解：∵的算术平方根是8，8是有理数， 取8的立方根为2，是有理数， 再取2的算术平方根为，是无理数， 则输出， ∴y的值是． 故选：B． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根、平方根、有理数、无理数的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据算术平方根、平方根、有理数、无理数的定义解决此题即可． 【详解】解： 25的算术平方根为5，5是有理数 取5的平方根，是无理数 输出值是． 故选：B． 题型13：二次根式有意义的条件 1．要使二次根式有意义，的值可以是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴的值可以是2． 故选：A． 2．下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（　　） A． B．0 C．π D．7 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件求出，再验证选项即可． 【详解】解：要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数，解得． 选项A：，不符合； 选项B：，不符合； 选项C：，不符合； 选项D：，符合条件； 故选：D． 3．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 题型14： 判断是否为最简二次根式: 1．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数，对各选项逐一分析即可． 【详解】解：选项A：，即，被开方数含分母，不满足条件①，故不是最简二次根式； 选项B：，被开方数3是质数，无平方因数，且不含分母，满足最简二次根式的条件； 选项C：，被开方数8可分解为，其中4是平方数，可化简为，故不是最简二次根式； 选项D：，被开方数含分母，不满足条件①，故不是最简二次根式； 故选B 2．下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母．据此判断即可． 【详解】解：A、的被开方数含分母，故不是最简二次根式； B、的被开方数，含分母，故不是最简二次根式； C、的被开方数，含开得尽方的因数，故不是最简二次根式； D、的被开方数不含开得尽方的因数，故是最简二次根式． 故选：D 3．列二次根式中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开方的因数（或因子），且分母不含根号，逐一分析各选项是否满足条件即可作答． 【详解】解：A、的被开方数7是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式的条件； B、的被开方数的分母10含非平方因子，且可化为，需进一步化简，不符合条件； C、，被开方数含分母5，不符合条件； D、，被开方数12含平方因子4，可化简，不符合条件； 故选：A 题型15： 利用二次根式的性质化简 1．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，关键是根据二次根式的性质化简解答． 先根据，两点在数轴上的位置得到，再把绝对值和二次根式进行化简求解即可． 【详解】解：由图可知，， ， ． 故选：A． 2．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数轴，实数的混合运算，立方根，算术平方根，绝对值，熟练根据数轴得出相关式子或字母的正负是解题的关键．先利用数轴得出，，，再利用立方根，算术平方根，绝对值进行化简求值即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：B． 3．如图，实数a，b对应数轴上的位置如图所示，化简. 【答案】－a－b 【分析】根据数轴上的位置，确定各式的正负，再进行化简即可． 【详解】解：由数轴知，a＜0，且b＞0，|a|＜|b|， ∴a-b<0,a+b>0 ∴ ＝－a＋b－(b－a)－(a＋b) ＝－a＋b－b＋a－a－b＝－a－b. 题型:16： 二次根式的乘除运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 【详解】解： 故选：B 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再按照二次根式的乘除的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后再按照二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型17：二次根式的加减运算 1．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型． （1）化简后根据二次根式的加减运算法则即可求出答案． （2）先根据二次根式的乘除运算法则计算，再合并即可求出答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的加减运算法则计算即可得； （2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先运用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先运用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （3）先运用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可； （4）先运用二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型18：二次根式的混合运算 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，完全平方公式，熟记二次根式相关运算法则是解题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式、二次根式乘除运算法则化简，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2.计算： （1） （2） ． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式进行求解即可得到答案； （2）利用二次根式的性质和二次根式的混合运算计算法则进行求解. 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先计算二次根式的乘除法，化简，再计算加减法； （2）先计算二次根式乘法，再计算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型19： 二次根式中的规律探究问题 1. 已知为实数，规定运算：，． 按上述规定，当时，的值等于（ ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，然后计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， ， 故选: C． 2．【观察·发现】 填空： ①；  ②；  ③ ④______； ⑤______； ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 【答案】 【观察·发现】④；⑤；⑥ 【归纳·猜想】 【应用·运算】①，验证见解析；② 【分析】本题考查了实数的规律题． [观察·发现]由题干中的已知等式即可得出答案； [归纳•猜想]由已知等式总结规律即可； [应用•运算]①由所得规律即可求得答案，然后将原式计算并验证即可； ②由所得规律求得m，n的值后代入原式计算即可． 【详解】解：[观察·发现]由已知等式可得④，⑤，⑥， 故答案为：④；⑤；⑥； [归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为， 故答案为：； [应用·运算]①由所得规律可得，验证如下： ， 故答案为：； ②若， 则，， 解得：，， 则， 故答案为：． 3．将1、、、按图所示的方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左到右第n个数， 则（4,2）与（21,2）表示的两数的积是_________ 【答案】6 【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：从图示中知道，（4，2）所表示的数是： ∵第20排最后一个数的序号是：1+2+3+4+…+20=210，则（21，2）表示的是第210+2=212个数， 212÷4=53， ∴（21，2）表示的数是： ∴（4，2）与（21，2）表示的两数之积是： 题型20： 二次根式中的分母有理化 1．阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1) 的值； (2) （为正整数）的值； (3) 的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先找出有理化因式，最后求出即可； （2）先找出有理化因式，最后求出即可； （3）先分母有理化，再合并即可． 【详解】（1）， （2）原式， （3）原式， ， ， ． 2．阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2) 根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3) 类比应用：__________； (4) 请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等： （1）根据题意可得规律； （2）根据结合题意求解即可； （3）先求出，再由进行求解即可； （4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解： 以此类推可得， ， 故答案为：． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 故答案为：； （4）解：∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 3．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ，即， ． 题型21：复合二次根式（双根号）化简 1．先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如的化简， 我们只要找到两个数a，b，使，，即，， 那么便有：. 例如化简：. 解：首先把化为， 这里，， 由于，， 所以， 所以. 根据上述方法化简：. 解：根据题意，可知，， 由于，， 所以，， 所以. 2.阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数， 使，，即把变成， 从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1) 化简：． (2) 化简：． (3) 计算：． （1）解：∵， ∴； （2）解：∵ ， 而，则 ∴； （3）解： ． 3. 王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题， 以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． （1）小青编的题，观察下列等式： 直接写出以下算式的结果： ______；（n为正整数）＝______； （2）小明编的题，由二次根式的乘法可知： ，， 再根据平方根的定义可得 ，， 直接写出以下算式的结果： ______，______，______： （3） 王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算： 【答案】（1），（n为正整数）；（2），，；（3） 【分析】（1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可； （2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简，最后利用平方差公式计算即可. 【详解】解：（1）， 故答案为：，（n为正整数） （2） 故答案为：，， （3） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章《实数》专题训练2026-2027学年北师版八年级数学上册 一、《实数》常考题型梳理： 题型1：无理数的概念 题型2：算术平方根的概念 题型3：算术平方根的非负性 题型4：平方根的概念 题型5：立方根的概念及性质 题型6：开方运算中小数点移动规律 题型7：平方根与立方根求参数 题型8：利用开方解方程 题型9：估算无理数范围 题型10：无理数的整数和小数部分 题型11：实数综合运算 题型12：程序设计与实数运算 题型13：二次根式有意义的条件 题型14： 判断是否为最简二次根式: 题型15： 利用二次根式的性质化简 题型:16： 二次根式的乘除运算 题型17：二次根式的加减运算 题型18：二次根式的混合运算 题型19： 二次根式中的规律探究问题 题型20： 二次根式中的分母有理化 题型21：复合二次根式（双根号）化简 二、《实数》常考题型训练： 题型1：无理数的概念 1.在实数，，，，，（两个之间为依次增加一个）中， 无理数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．在实数，，0，，，，，中，无理数的个数有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．4个 题型2：算术平方根的概念 1．4的算术平方根是（　 　） A． ±2 B．﹣2 C．2 D． 2．的算术平方根是（　 　） A．2 B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A．＝±4 B．±＝3 C． D．＝﹣3 4．学完平方根后，当堂检测环节周老师布置了4道填空题，下面是嘉嘉的完成情况： ①0的平方根是0；②16的平方根是； ③9的算术平方根是3；④的平方根是． 若每做对一道题得25分，则该次检测嘉嘉应得分（ ） A．25分 B．50分 C．75分 D．100分 题型3：算术平方根的非负性 1．若 ，则a不可以是（　 　） A． B．0 C．1 D．2 2．若＝a﹣2，则a与2的大小关系是（   ） A．a＝2 B．a＞2 C．a≤2 D．a≥2 3．已知，那么的值为_____ ． 4．若实数，，满足： ，则的值为______． 题型4：平方根的概念 1．9的平方根是（　 　） A． B． C． D． 2．的平方根是（　 　） A． B． C． D．±3 3．下列各式正确的是（   ） A．= ±3 B．= ±3 C．=3 D．=-3 4. 小雪在作业本上做了四道题目： ①＝﹣3； ②±＝4； ③＝9； ④＝-6， 她做对了的题目有（ ） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 题型5：立方根的概念及性质 1．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（　 　） A．±4 B．4 C．±2 D．2 2．的平方根是（   ） A．2 B．±2 C．±4 D．不存在 3．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（　 　） A．±4 B．4 C．±2 D．2 题型6：开方运算中小数点移动规律 1．若，，则 ． 2．已知，.则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型7：平方根与立方根求参数 1. 已知的平方根是，的立方根是4． (1) 求、的值． (2) 求的算术平方根． 2．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为． (1) 求、的值； (2) 求的算术平方根． 3．若一个正数m的平方根分别是和． (1)求m，n的值； (2)若，求c的立方根． 题型8：利用开方解方程 1 . 根据平方根、立方根的定义解方程 （1）     （2） 2．根据平方根、立方根的定义解方程 （1）     （2） 3．解方程 （1）2（x﹣1）2=8； （2）（x﹣2）3=﹣1． 题型9：估算无理数范围 1．估计的值（　 　） A．在2与3之间 B．在3与4之间 C．在4与5之间 D．在5与6之间 2 . 若a＜＜b，其中a，b为两个连续的整数，则ba的值为（　 　） A．6 B．8 C．9 D．12 3．某小区新修了一个正方形花坛，已知其面积为，则其边长介于（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 4.把无理数，，，﹣表示在数轴上，在这四个无理数中， 被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（ ） A． B． C． D．﹣ 5．如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 题型10：无理数的整数和小数部分 1．若的整数部分为，小数部分为，则 ， ． 2．设的小数部分是的整数部分是，则的值是（   ） A．3 B．7 C．9 D．一个无理数 3．阅读并解答：为了求的整数部分与小数部分，聪明的小明这样思考： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)求的整数部分与小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的平方根． 题型11：实数综合运算 1．计算：． 2．计算： 3．计算： 题型12：程序设计与实数运算 1．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的x的值为81时，输出的y值是（    ）    A． B．3 C．9 D． 2．有一个数值转换器，流程如下： 当输入的值为时，输出的值是（ ） A．2 B． C． D． 3．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（    ） A． B． C． D．5 题型13：二次根式有意义的条件 1．要使二次根式有意义，的值可以是（   ） A．2 B．0 C． D． 2．下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（　　） A． B．0 C．π D．7 3．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型14： 判断是否为最简二次根式: 1．下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．列二次根式中，为最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 题型15： 利用二次根式的性质化简 1．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，化简：（   ） A． B． C． D． 3．如图，实数a，b对应数轴上的位置如图所示，化简. 题型:16： 二次根式的乘除运算 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算： (1) (2) 3．计算题 (1) (2) (3) (4) 题型17：二次根式的加减运算 1．计算 (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型18：二次根式的混合运算 1．计算： (1) (2) 2.计算： （1） （2） ． 3．计算： (1)； (2)． 题型19： 二次根式中的规律探究问题 1. 已知为实数，规定运算：，． 按上述规定，当时，的值等于（ ） A． B． C． D．0 2．【观察·发现】 填空： ①；  ②；  ③ ④______； ⑤______； ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 3．将1、、、按图所示的方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左到右第n个数， 则（4,2）与（21,2）表示的两数的积是_________ 题型20： 二次根式中的分母有理化 1．阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： (1) 的值； (2) （为正整数）的值； (3) 的值． 2．阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 (1) 由此可归纳出结论： _________． (2) 根据上面的结论计算： 类似的： __________； (3) 类比应用：__________； (4) 请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 3．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ， ． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 题型21：复合二次根式（双根号）化简 1．先阅读下面的解题过程，然后再解答.形如的化简， 我们只要找到两个数a，b，使，，即，， 那么便有：. 例如化简：. 解：首先把化为， 这里，， 由于，， 所以， 所以. 根据上述方法化简： 2.阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数， 使，，即把变成， 从而可以对根式进行化简． 例如：化简：． 解：， ． 根据上述材料，解答下列问题． (1) 化简：． (2) 化简：． (3) 计算：． 3. 王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题， 以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． （1）小青编的题，观察下列等式： 直接写出以下算式的结果： ______；（n为正整数）＝______； （2）小明编的题，由二次根式的乘法可知： ，， 再根据平方根的定义可得 ，， 直接写出以下算式的结果： ______，______，______： （3） 王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $