26.2.3《二次函数y=a.x2+bx十c的图象和性质》教学课件 2026-2027学年人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过复习顶点式、平移等旧知，以“如何研究一般二次函数”设问，引导用配方法转化为顶点式，搭建从特殊到一般的化归学习支架。 其亮点在于分步拆解配方过程，结合描点法与平移法画图，渗透化归思想培养数学思维。对比a>0和a<0的性质用表格归纳，强化数学语言表达，如探究二配方易错点提示帮助学生掌握运算，教师可借助结构化流程提升教学效率。

人教版·九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2二次函数的图象和性质 3.二次函数 的图象和性质 明确本课目标：核心是"配方化顶点式"，由此得到对称轴、顶点和全部性质；描点画图是难点，需要数形结合。强调"化归"——把新问题转化为已解决的问题。 学 习 目 标 1.会用配方法把 化成 的形式，并求出抛物线的对称轴和顶点坐标.（重点） 2.掌握二次函数的图象和性质，能说出随x 增大的变化情况.（重点） 3.会用描点法画二次函数的图象，体会从特殊到一般的化归思想.（难点） 明确本课目标：核心是"配方化顶点式"，由此得到对称轴、顶点和全部性质；描点画图是难点，需要数形结合。强调"化归"——把新问题转化为已解决的问题。 知识回顾 1.顶点式 ：抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 . 2.增减性与最值：当时，开口向 ，顶点是 点；当 时，开口向 ，顶点是 点；在对称轴两侧，增减情况恰好 . 3.图象平移： 右移得，再上移得 ，即口诀： . x=h 上 最低 下 最高 相反 左加右减，上加下减 复习提问：顶点式的对称轴、顶点、开口、增减性、平移口诀，请学生齐答填空。强调"顶点和对称轴一旦确定，取点就围绕对称轴展开"，为后面的列表做铺垫。 情境引入 我们已经研究了和的图象和性质，那么，一般的二次函数呢？ 问题：二次函数的图象和性质怎样研究？ 思路：通过配方，把转化为的形式，利用已有结论研究新问题. 研究路径：→平移→ →配方→ 体现数学的化归思想 情境引入：从特殊到一般。y=ax²最简单，y=a(x-h)²+k由平移得到，都可解决；面对y=ax²+bx+c，引导学生想到"化归"——配方转化成顶点式。板书研究路径图。 新知探究 探究一：画 的图象 思考：对于二次函数，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 配方： . 即 . 配方要点：提出二次项系数，再加上同时减去 36（一次项系数 的一半的平方），凑完全平方. 探究一开题：先示范配方。提问：-12的一半的平方是多少？（36）配方后立即请学生读出顶点(6,3)和对称轴x=6。强调加上又减去36，值不变。 新知探究 配方的每一步：依据是什么？ ① 提：提出二次项系数 → ② 配：配上一次项系数一半的平方： = 36 ③ 整理：配成完全平方公式，再去括号合并得： 要点：配方就是"凑完全平方"，加上的是一次项系数一半的平方，多退少补、值不变. 想一想：把提到括号外时，常数项 21 为什么不提出来？ 逐步拆解配方三步：提、配、整理。让学生在练习本上同步演算一遍。思考题答案：常数项不必提出，留在括号外直接参与最后合并。 新知探究 方法一：描点法——先列表 由配方的结果可知：抛物线的顶点是，对称轴是 .先利用图象的对称性，从顶点向两侧对称取点列表： x 3 4 5 6 7 8 9 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 观察： 时取最小值 3；顶点两侧等距离的 值相等. 直接描点法第一步：由顶点(6,3)和对称轴x=6，利用对称性列表。提问：为什么只需在对称轴一侧计算，另一侧对称写出？（抛物线关于对称轴对称） 新知探究 描点画图，得到函数图象 画图步骤： 1. 列表（利用对称性取点）； 2. 描点； 3. 用平滑曲线顺次连线. 得到 的图象. 规范画图三步骤：列表、描点、连线。连线必须是平滑曲线，不能画成折线；图象可无限延伸，注意延伸感。对照图26.2-13检查自己坐标纸上的图。 新知探究 方法二：平移法画图象 由配方结果： 画法：先画 的图象， 再把它向右平移 6 个单位长度， 然后向上平移 3 个单位长度. 想一想：还有其他平移方法吗？ （先向上 3 个单位长度、再向右 6 个单位长度也可以；平移结果与顺序无关.） 平移法：动态演示图象变换——先右移6再上移3，顶点从(0,0)到(6,3)。追问"还有其他平移方法吗"：先上后右同样可行，顺序不影响结果。 新知探究 从图象看性质 抛物线的性质 1. 开口向上；对称轴；顶点 . 2. 当 x<6 时，随 的增大而减小；当 时，随 的增大而增大. 3. 当 时，取最小值，最小值是 3. 即：对称轴左侧抛物线从左到右下降，右侧上升，顶点是最低点. 数形结合读性质：开口、对称轴、顶点、增减性、最值五要素。强调增减性必须分对称轴两侧描述；最小值在顶点处取得。 新知探究 探究二：的图象和性质 你能用上面的方法研究二次函数 的图象和性质吗？ 按下面的步骤试一试： ① 配方，化为顶点式； ②列表、描点画图； ③指出函数图象是由那个基础函数的图象经过怎样的平移得到？并指出开口方向、对称轴和顶点； ④ 说出增减性与最值. 探究二放手给学生：仿照探究一的四个步骤独立研究y=-2x²-4x+1。教师巡视，收集配方中的典型错误（如-2只乘到x²项）。给3-4分钟。 新知探究 探究二：配方求解 配方： 易错点：提出 后，括号内是一次项系数 2，其一半的平方是 1. 对照讲解：提出-2后括号内是x²+2x，配1。强调-2乘进括号时符号处理：-2(x+1)²展开是-2x²-4x-2，再加2+1回补。让做错的学生订正。 新知探究 探究二：配方求解 列表、描点画图： 对照讲解：提出-2后括号内是x²+2x，配1。强调-2乘进括号时符号处理：-2(x+1)²展开是-2x²-4x-2，再加2+1回补。让做错的学生订正。 新知探究 探究二：配方求解 把函数的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数的图象。 抛物线的开口向 下，顶点是，对称轴是直线； 对照讲解：提出-2后括号内是x²+2x，配1。强调-2乘进括号时符号处理：-2(x+1)²展开是-2x²-4x-2，再加2+1回补。让做错的学生订正。 新知探究 探究二：图象与性质 抛物线 ： 1. 开口向 下；对称轴；顶点 . 2. 当 时， 随的增大而增大；当 时， 随的增大而减小. 3. 当 时， 取最大值，最大值是 3；顶点是最高点. 对比探究一：开口方向相反时，增减性、最值都相反. 总结探究二性质，与探究一对照：a的符号决定开口，开口决定增减与最值的"方向"。两支抛物线形状相同、位置不同，再次印证化归思想。 新知探究 一般地：对 配方 = 即：一般式，可以化为顶点式, 其中. （配上一次项系数一半的平方） （写成完全平方和的形式） （整理成顶点式） 一般式配方推导：与探究一、二的配方步骤完全一致，只是字母代替数字。板书时强调每一步的依据，最后对照顶点式读出h和k。 新知探究 二次函数 的对称轴与顶点 抛物线的对称轴是直线 ， 顶点坐标是 . 顶点式： 提示：求对称轴和顶点，可以先配方，也可以直接用公式，两种方法都要熟练！ 核心公式页：对称轴x=-b/(2a)，顶点(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))。带学生读两遍并板书记忆方法——"负b比2a"。两种求法：配方、公式。 新知探究 二次函数 的性质 1. 开口方向：当时开口向 上；当时开口向 下； 2. 对称轴：抛物线对称轴是直线； 3. 抛物线的顶点坐标：； a>0的一般性质：开口向上，左减右增，顶点是最低点，有最小值。结合图26.2-14左图，请学生用手势比划"下降—最低—上升"。 新知探究 当 a<0 时（图 26.2-14） 4. 增减性： 时，当时， 随 的增大而减小；当时，随的增大而增大； 时，当时， 随 的增大而增大；当时，随的增大而减小. a<0与a>0完全对称：开口向下，左增右减，顶点是最高点，有最大值。引导学生对比记忆："a定开口，轴定分界，顶点定最值"。 新知探究 当 a<0 时（图 26.2-14） 5. 最值： 时，开口向上，抛物线有最低点，即当时，函数 有最小值，； 时，开口向下，抛物线有最高点，即当时，函数 有最大值，. a<0与a>0完全对称：开口向下，左增右减，顶点是最高点，有最大值。引导学生对比记忆："a定开口，轴定分界，顶点定最值"。 新知探究 性质归纳：一张表看全 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 左侧减小，右侧增大 左侧增大，右侧减小 最值 最小值 最大值 顶点位置 最低点 最高点 记忆：的符号定开口与最值方向；与 共同决定对称轴与顶点位置. 归纳总表：竖着读是"一个a>0的世界"，横着读是两种情形的对照。请两名学生分别复述a>0、a<0的性质，用表格自查记忆盲点。 随堂练习 课堂检测 1. 抛物线的顶点坐标是 . 2. 抛物线的对称轴是直线 . 3. 二次函数，当 时，取最 值 . 4. 将抛物线向左平移 2 个单位长度、再向下平移 1 个单位长度，所得抛物线的解析式是： 。 课堂检测四题：1、2练公式法，3练最值，4练平移口诀。限时5分钟，口答核对。错得最多的是第3题最小值-3的符号。 新知探究 例1 用配方法研究二次函数 例1 求抛物线 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说出随增大的变化情况. 思路：配方 → 化为顶点式 → 读出顶点、对称轴 → 写性质. 例1是探究方法的直接应用。先让学生说思路：配方。追问：-8的一半的平方是多少？16。然后板演完整过程。 新知探究 例1：解答 解： ∴ 抛物线开口向 上，对称轴是直线，顶点坐标是. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，取最小值 1. 例1解答规范：先配方，再用"∴"分条写出五要素——开口、对称轴、顶点、增减性、最值。提醒学生书写格式：等号对齐，最后结论完整。 新知探究 变式训练 变式 求抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值. 参考答案：方法一：先化为顶点式： 开口向下，对称轴，顶点；当时取最大值 1. 参考答案：方法二：利用顶点坐标公式： 对称轴，利用时判断开口方向，利用最值公式. 变式训练：独立完成后同桌互查。答案y=-(x-2)²+1。关注提出-1后配方、符号处理是否正确。快的学生追问：图象与x轴交点？ 随堂练习 练习第 1题 1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着的增大，的变化情况，再描点画图： 步骤提示：① 配方化为顶点式；② 写出开口、对称轴、顶点与增减性；③ 对称取点列表；④ 描点画图. 课本第43页练习第1(1)题。学生独立完成，教师巡视。关注：提出-3后的配方、列表是否利用对称性、画图是否平滑。 巩固练习 练习第 2题 2.先确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出 y 随 x 增大的变化情况，再描点画图。 提示：提出 4 后，括号内一次项系数是 -6，它的一半的平方是 9；注意 4×(-9) 的符号处理. 练习第1(2)题由学生独立完成。提示：4(x²-6x)+26配方时凑9。易错点：4乘进括号回补时的符号与数值，-36+26=-10。 巩固练习 练习2解答 解： ∴ 开口向 上，对称轴，顶点. 时 y 随 x 的增大而减小，时增大；当 时取最小值 . 练习(2)解答：y=4(x-3)²-10。列表取x=1,2,3,4,5，y=6,-6,-10,-6,6。顶点(3,-10)在x轴下方，画图时y轴负半轴要留够。 课堂小结 1. 研究路径（化归思想）： →平移→ ←配方← 2. 对称轴即顶点公式：对称轴 ， 顶点. 课堂小结由学生先说、教师补全。四条主线：化归路径、顶点公式、a定性质、画图步骤。布置下节课预告：二次函数性质的综合应用与实际问题。 课堂小结 3. 性质看：开口向上、左减右增、有最小值；开口向下、左增右减、有最大值. 4. 画图步骤：配方（或用公式）→ 顶点与对称轴 → 对称取点列表 → 描点、平滑连线. 课堂小结由学生先说、教师补全。四条主线：化归路径、顶点公式、a定性质、画图步骤。布置下节课预告：二次函数性质的综合应用与实际问题。 作业布置 1.必做题：课本第 43 页练习第 1 题（在坐标纸上完善两个描点画图）. 2.探究性作业：分别用配方法和公式法求二次函数 的对称轴、顶点坐标和最值，比较两种方法的特点. 作业分层：必做题巩固画图基本功；探究性作业对比两种方法，答案顶点(-1,-4)、最小值-4，下节课开头抽查讲评。 北师版·九年级上册 谢谢观看！ 请预习下节新课 $