26.2.3 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质，课堂导入通过复习y=a(x-h)²+k的形状位置、开口方向等性质，搭建学习支架，引导学生理解需用配方法将一般式转化为顶点式，建立前后知识脉络。 其亮点是以配方法为核心，通过“提、配、化”步骤结合实例推导顶点坐标公式，培养数学思维的推理能力和数学眼光的抽象能力。用表格归纳a、b、c与图象关系，体现数学语言的简洁表达。学生能提升数形结合能力，教师可借助系统练习和小结优化教学。

第26章 二次函数 26.2.3二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质 （人教版）九年级 上 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 板书设计 01 教学目标 01 02 03 掌握用配方法将二次函数一般式y=ax²+bx+c转化为 顶点式y=a(x-h)²+k的方法. 能准确说出二次函数一般式的顶点坐标、对称轴和最值; 会画出二次函数一般式的图象，并能根据图象和解析式分 析其性质，培养学生的数形结合能力。 02 新知导入 1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的______相同，_____不同. 如 何 变 化 上加下减 左加右减 2.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点： (1)当a＞0时, 开口_____，当a＜0时，开口_____；(2)对称轴是_______； (3)顶点是__________. 形状 位置 向上 向下 直线x=h (h,k) 02 新知导入 3.抛物线y=-4(x+2)2-5的开口______，对称轴是直线_______，顶点坐标为_________； 它可由抛物线y=-4x2向____(填“左”或“右”)平移____个单位，再向___(填“上”或“下”)平移____个单位得到； 当x=___时，y有最___值，其值为___；当______时，y随着x的增大而增大，当______时，y随着x的增大而减小. 向下 x=-2 (-2,-5) 左 2 下 5 -2 大 -5 x＜-2 x＞-2 02 新知导入 从简单的二次函数 y=ax2 开始，我们逐步深入，研究了二次函数 y=a(x-h)2+𝑘的图象和性质. 我们还知道，通过配方，可以将二次函数y=ax2＋bx＋c 转化为  y=a(x-h)2+𝑘 .这样，就可以利用 y=a(x-h)2+𝑘 的图象和性质来研究二次函数y=ax2＋bx＋c  的图象和性质. 03 新知讲解 探究 对于二次函数  ，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 化成y=a(x-h)2+k的形式. 思考：怎样将  化成y=a(x-h)2+k的形式? 03 新知讲解 探究   想一想：配方的方法及步骤是什么？ （1）“提”：提出二次项系数； （2）“配”：括号内配成完全平方； （3）“化”：化成顶点式. 配方后的表达式通常称为顶点式. = (x2-12x)+21 = (x2-12x+62)+21- ×62 = (x-6)2+3 03 新知讲解 探究 根据前面的学习，可以先画出二次函数  的图象，然后把这个图象向右平移 6 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度，就得到二次函数y-6x+21  的图象.     思考：还有其他平移方法吗？ 把抛物线  向上平移 3 个单位长度，再向右平移 6 个单位长度，就得到抛物线y-6x+21 . 03 新知讲解 思考 由配方的结果可知，抛物线y-6x+21 的顶点是(6.3)，对称轴是x=6. 先利用图象的对称性列表： x ⋯ 3 4 5 6 7 8 9 ⋯ y= ⋯ 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 ⋯ 然后描点画图，得到  的图象. 能直接画出二次函数 y-6x+21的图象吗？ 03 新知讲解 思考 从二次函数  的图象可以看出： 在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降； 在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升. 也就是说，当 x<6 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x>6 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x=6 时，y 取最小值，最小值是 3. 03 新知讲解 探究 你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗? 解：配方得y=-2x2-4x+1 =-2(x2+2x)+1 =-2(x2+2x+1)+2+1 =-2(x+1)2+3 =-2(x+1)2+3 由配方结果知，此抛物线开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1, 3)，顶点是图象的最高点. 画图：先利用对称性列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=-2x2-4x+1 … -15 -5 1 3 1 -5 -15 … 03 新知讲解 探究 开口向下， 对称轴是x=-1， 顶点坐标是(-1, 3). 当x<-1时，y随x增大而增大； 当x>-1时，y随x增大而减小. 描点、连线，画出这个函数的图象. y=-2x2-4x+1 03 新知讲解 思考 y = ax2 + bx + c ∴对称轴是x = − ，顶点坐标为(− ，). 你能用上面的方法将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k吗？ = (x2 + x) + c = [x2 + x + ()2 − ()2] + c =(x + )2 + 03 新知讲解 思考 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a > 0， 那么当 x < 时，y 随 x 的增大而减小， 当 x > 时，y 随 x 的增大而增大； 因此，当 a > 0时， 抛物线 的顶点是最低点， 也就是说当 x = 时， 二次函数 有最小值. 03 新知讲解 思考 如图 ，从二次函数 的图象可以看出： 如果 a < 0， 那么当 x < 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x >时，y 随 x 的增大而减小. 因此，当 a < 0时， 抛物线 的顶点是最高点， 也就是说当 x = 时， 二次函数 有最大值. 03 新知讲解 函数  y=ax2+bx+c (a>0)  y=ax2+bx+c (a<0) 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 () 对称轴 直线 x=− 增减性 当 x<​​ 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x> 时，y 随 x 的增大而增大. 当 x<​​ 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x>​​ 时，y 随 x 的增大而减小. 最值 当 x=​时，y最小值​= 当 x= 时，y最大值​= 二次函数  的图象和性质 03 新知讲解 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系 (1)a决定抛物线的开口方向 当a >0时， 当a <0时， 开口向上； 开口向下． x y O x y O 03 新知讲解 b与a同号 对称轴在y轴左侧； (2)b联合a决定对称轴的位置 对称轴在y轴右侧； 当b=0 ，即 时， 对称轴是y轴． 当b与a异号，即 时， 当b与a同号，即 时， 记忆口诀：左同右异 x (3) c决定抛物线与y轴的交点位置 c＝0 c＞0 c＜0 x y O x y O x y O 03 新知讲解 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系 字母符号 图象的特征 a＞0 开口_____________ a＜0 开口_____________ b=0 对称轴为_____轴 a，b同号 对称轴在y轴的____侧 a，b异号 对称轴在y轴的____侧 c=0 经过原点 c＞0 与y轴交于_____半轴 c＜0 与y轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 03 新知讲解 也可以利用信息技术工具来进一步感受二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系。 04 课堂练习 1. 抛物线y＝x2＋2x－1的对称轴是（　B　） A. 直线x＝1 B. 直线x＝－1 C. 直线x＝ D. 直线x＝－2 B 2. 对于二次函数y＝－x2－2x＋2，下列结论正确的是（　B　） A. 其图象的对称轴为直线x＝1 B. 其图象的顶点坐标为（－1，3） C. 当x＜1时，y随x的增大而增大 D. 当x＞－1时，y随x的增大而增大 B 04 课堂练习 3.二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,下列正确的是( ) A.y=(x-1)2+2 B.y=(x-1)2+3 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+4 B 4.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大，则x的取值范围是( ) A.x<1 B.x>1 C.x<-1 D.x>-1 A 04 课堂练习 5. 二次函数y＝－2x2－12x＋1的最大值是 　19　. 6. 若A（－2，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y＝x2＋2x－8图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 　y1＜y2＜y3　（用“＜”连接）. 19　 y1＜y2＜y3　 04 课堂练习 （1） 抛物线的对称轴是直线 　x＝1　； （2） 若抛物线经过点（4，9），求a的值； 解：（2） 把（4，9）代入y＝ax2－2ax＋2（a≠0），得9＝16a－8a＋2，解得a＝ x＝1　 7. 已知抛物线y＝ax2－2ax＋2（a≠0）. （3） 当a＜0，0≤x≤3时，函数y＝ax2－2ax＋2（a≠0）的最大值是6，求a的值. 解：（3） ∵ a＜0，0≤x≤3，对称轴为直线x＝1，∴ 当x＝1时，函数有最大值，即a－2a＋2＝6，解得a＝－4 05 课堂小结 y=ax2+bx+c(a≠0) (一般式) (顶点式) 配方法 公式法 对称轴是 ，顶点坐标为 . 06 板书设计 26.2.3二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质 二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质： $