26.2.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册 -

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过“温故知新”复习顶点式性质，以“如何将一般式化为顶点式”为支架，引导学生从已有知识自然过渡到新知探索。 其亮点在于通过“提、配、化”三步配方实例（如y=-2x²-4x+1转化）培养抽象能力和推理意识，用表格对比一般式与顶点式性质强化模型观念。采用问题驱动和分层练习，帮助学生掌握转化方法与性质应用，为教师提供系统教学流程和巩固素材。

26.2 二次函数的图象和性质 第二十六章 二次函数 人教版九年级上册 26.2.3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大. 向上 直线x=h （h,k） x=h时，y最小值=k 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 向下 直线x=h （h,k） x=h时，y最大值=k 一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2(a≠0)形状相同，位置不同 温故知新 二次函数 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 (0, 0) 直线x=0 y最大值=0 y=-2x2-5 (0, -5) 直线x=0 y最大值=-5 y=-2(x+2)2 (-2, 0) 直线x=-2 y最大值=0 y=-2(x+2)2-4 (-2, -4) 直线x=-2 y最大值=-4 y=(x-4)2+3 (4, 3) 直线x=4 y最小值=3 y=-x2+2x ? ? ? y=3x2+x-6 ? ? ? 顶点式? 我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y= x2-6x+21的图象和性质吗? 化成y=a(x-h)2+k的形式. 思考：怎样将y= x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式? 探索新知 y= x2-6x+21 想一想：配方的方法及步骤是什么？ （1）“提”：提出二次项系数； （2）“配”：括号内配成完全平方； （3）“化”：化成顶点式. 配方后的表达式通常称为顶点式. = (x2-12x)+21 = (x2-12x+62)+21- ×62 = (x-6)2+3 x … 3 4 5 6 7 8 9 … y=(x-6)2+3 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … y=x2-6x+21 =(x-6)2+3 的图象和性质: 方法一：描点画图 方法二：平移画图 (对称性列表) 先画y=x2 y=(x-6)2+3 对称轴是直线x=6，顶点坐标为(6，3). 当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大； 当x=6时，y取最小值，最小值是3. 你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗? 解：配方得y=-2x2-4x+1 =-2(x2+2x)+1 =-2(x2+2x+1)+2+1 =-2(x+1)2+3 =-2(x+1)2+3 由配方结果知，此抛物线开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1, 3)，顶点是图象的最高点. 画图：先利用对称性列表： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 … y=-2x2-4x+1 … -15 -5 1 3 1 -5 -15 … 探索新知 开口向下， 对称轴是x=-1， 顶点坐标是(-1, 3). 当x<-1时，y随x增大而增大； 当x>-1时， y随x增大而减小. 描点、连线，画出这个函数的图象. y=-2x2-4x+1 你能用上面的方法将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k吗？ y=ax2+bx+c （1）“提” （2）“配” （3）“化” ∴对称轴是 ，顶点坐标为 . 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： （1）y=3x2-6x＋7； （2）y=2x2-12x＋8. =3(x2-2x)+7 =3(x2-2x+1)-3+7 =3(x-1)2+4 对称轴是x=1， 顶点坐标为(1，4). =2(x2-6x)+8 =2(x2-6x+9)-18+8 =2(x-3)2-10 对称轴是x=3， 顶点坐标为(3，-10). 对应练习　 要想讨论一般的二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，应该先配方，得： 可知一般二次函数的图象的对称轴是x=- ， 顶点(- , ). 是最高点还是最低点呢?由谁决定呢? y O x （a>0） y O x （a<0） 二次函数y=ax2+bx+c的图象： 最小值 最大值 1.求下列函数的最大值或最小值： (1) y=3x² + 2x; (2) y=－2x2 + 8x － 8. =3(x² + x) =3(x + )² － y最小值= － = － 2(x² － x) － 8 = － 2(x － 2)² y最大值= 0 对应练习　 y=ax2+bx+c(a≠0) (一般式) (顶点式) 配方法 公式法 对称轴是 ，顶点坐标为 . 课堂小结 1.二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象大致是( ) B A B C D 课堂练习 接力中，自己负责的那步出现错误的是( ) A.甲和乙 B.乙和丙 C.乙和丁 D.甲和丙 1.[新课标—情境题]数学老师设计了一个接力游戏，用合作的方式完成配方法求抛物线的顶点坐标，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成求解，过程如图所示： A 课堂练习 2.将二次函数y＝－2(x－1)2＋3化为y＝ax2＋bx＋c的形式，则a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　.  　1　 　4　 　－2　 3.抛物线y＝2x2－4x＋5的顶点坐标为( ) A.(1，3) B.(－1，3) C.(1，－3) D.(－1，－3) A 4.关于二次函数y＝－x2－2x＋2的图象，下列说法错误的是( ) A.开口向下 B.对称轴为直线x＝－1 C.当x＜－1时，y随x的增大而增大 D.顶点坐标为(－1，1) D 5.若二次函数y＝(m＋2)x|m＋2|－2x＋5有最大值，则m的值为　 　.  　－4　 6.已知抛物线y＝－2x2＋4x＋6. (1)请用配方法将y＝－2x2＋4x＋6化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并直接写出其对称轴； (2)在如图所示的平面直角坐标系中， 画出y＝－2x2＋4x＋6的图象； 解：(1)y＝－2x2＋4x＋6＝－2(x2－2x)＋6＝－2(x－1)2＋8，对称轴为直线x＝1. (2)图略. (3)∵抛物线y＝－2x2＋4x＋6经过点(－1，0)，(3，0)， ∴抛物线沿x轴向左平移3个单位长度或向右平移1个单位长度后经过原点，∴m＝1或m＝3. (3)该抛物线沿x轴向左或向右平移m(m＞0)个单位长度后经过原点，求m的值. A.a＞0，b＞0，c＞0 B.a＞0，b＜0，c＞0 C.a＜0，b＞0，c＞0 D.a＜0，b＜0，c＞0 7.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象可得( ) D (1)a＋b＋c　 　0；  (2)a－b＋c　 　0；  (3)2a－b　 　0.  　＜　 　＞　 8.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，用“＞”“＜”或“＝”填空： 　＜　 9.已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋2，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是( ) A.m＝1 B.m＝2 C.m≤－1 D.m≥－1 D 10.[2025·陕西中考]在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧.下列关于该函数的结论正确的是( ) A.图象的开口向下 B.当x＞0时，y值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于－3 D.当x＝2时，y＜0 D 11.[2025·雅安中考]我们规定min｛a，b｝＝例如，min｛1，3｝＝1，min｛3，－4｝＝－4.如果y＝min｛－x2＋2x＋3，x＋1｝，那么y的最大值是( ) A.0 B.1 C.3 D.4 C 12.已知点P1(－1，y1)，P2(2.5，y2)，P3(6，y3)均在二次函数y＝－mx2＋2mx＋1(m＞0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　.(用“＞”连接)  　y2＞y1＞y3　 13.[2025·合肥包河区一模]已知抛物线y＝ax2－2a2x－3(a≠0). (1)当a＝1时，抛物线的顶点坐标为　 　；  (2)点A(3a，y1)，B(n，y2)为抛物线上两点，当3＜n＜4时，总有y1＜y2，则a的取值范围是　 　.  　0＜a≤1或a≤－4　 　(1，－4)　 14.已知抛物线y＝(m－1)x2＋2mx＋的对称轴为直线x＝1. (1)求m的值； 解：(1)由对称轴为直线x＝1得－＝1，解得m＝. 经检验，m＝是原方程的根，∴m＝. (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求得到的新抛物线y1是否经过点P(1，－3). (2)由(1)可知y＝－x2＋x＋＝－(x－1)2＋2， ∴y1＝－(x－1＋2)2＋2－3＝－(x＋1)2－1， 将x＝1代入y1，得y1＝－3， ∴得到的新抛物线y1经过点P(1，－3). 15.如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点P(3，1)，Q(2，4). (1)求该抛物线的解析式. 解：(1)该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋4. (2)设点C(a，t)在该抛物线上. ①若a＝－1，求t的值； ②当a≤x≤3时，t的取值范围为1≤t≤5， 请直接写出a的取值范围. (2)①当a＝－1时，点C的坐标为(－1，t)， 把点C(－1，t)代入y＝－x2＋2x＋4， 得t＝1. ②－1≤a≤1. $