专题1.4.2 空间向量应用（二）（专题训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《知识解读•题型专练》

**基本信息** 聚焦空间向量在距离与角计算中的应用，通过7类典型题型构建从距离到角度的递进训练体系，培养空间观念与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点到平面距离|4题|正方体、直三棱柱等几何体中点面距离计算|从距离到角度逐步深入，以向量法为统一工具，构建空间几何量计算体系| |平行平面距离|4题|正方体、直三棱柱中平行平面间距离求解| |点到直线距离|5题|正方体、三棱锥中点线距离计算| |异面直线距离|6题|正方体、四面体中异面直线距离求解| |异面直线所成角|5题|直四棱柱、四棱锥中异面直线夹角计算| |线面角|2题|直三棱柱、旋转体中线面角求解| |二面角|9题|四棱锥、直三棱柱中二面角计算|

专题1.4.2 空间向量应用（二）（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型 1·点到平面距离的向量求法 1 题型 2·平行平面距离的向量求法 7 题型 3·点到直线距离的向量求法 13 题型 4·异面直线距离的向量求法 20 题型 5·向量法求异面直线所成的角 28 题型 6·向量法求线面角 34 题型 7·向量法求二面角 37 题型 1·点到平面距离的向量求法 1．如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 【答案】(1) 连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ． (2)1； 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）略 （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 2．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明： 因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. (2) 【分析】（1）利用勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，从而可得. （2）根据（1）的结果可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 3．如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) 方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据空间向量的位置关系证明可得结果； 方法二：连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明可得结论. （2）方法一：由点到平面距离的向量求法直接计算可得结果； 方法二：利用等体积法计算即可. 【详解】（1）略 （2）方法一： 点到平面的距离. 方法二： 因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为， 因为，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得. 4．如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，且．    (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由异面直线夹角余弦公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用相关公式求出点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，． 又因为，， 所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （2）由（1）知，，，． 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，．所以平面的一个法向量为． 所以点到平面的距离为． 题型 2·平行平面距离的向量求法 5．如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可； （2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可. 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，                     设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 6．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1) 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    (2). 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 7．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 8．如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点．    (1)求证：平面ABD； (2)求证：平面EGF平面ABD； (3)求平面EGF与平面ABD的距离． 【答案】(1)由题设，两两互相垂直， 以B为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，    则，设，则. 所以，易得，， 所以，，所以，， 又，且都在平面内，故平面ABD. (2)由题意知，则， 所以，，则，， 所以，， 又且都在平面内，所以平面EFG， 结合（1）知，平面EGF平面ABD. (3). 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，应用向量法可得，，再由线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）同（1）可证平面EFG，结合（1）结论及线面垂直的性质即可证； （3）向量法求点F到平面ABD的距离，结合（2）结论即可得结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）（2）知，，是平面ABD的法向量， 所以点F到平面ABD的距离为， 由（2）知，平面EGF与平面ABD的距离等于点F到平面ABD的距离， 所以两平面间的距离为. 题型 3·点到直线距离的向量求法 9．如图，在棱长为的正方体中，分别为线段，的中点． (1)求证：； (2)求点到直线的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）依题意建系，利用向量法证明两直线的位置关系即可； （2）利用空间中点到直线的距离的向量公式计算即得； （3）利用空间向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图所示. 已知正方体棱长为，则，，，， 所以，，因， 所以. （2）由题可得，，，. ，，， 则与同方向的单位向量为， 设点到的距离为，则， 即点到直线的距离为. （3）根据正方体性质，可知平面的法向量可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设平面与平面所成角为， 故， 即平面与平面所成角的余弦值为. 10．在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式即可求解； （2）求出平面的一个法向量，然后利用线面角的向量公式即可求解. 【详解】（1）根据题意，平面，， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为： ，由中点坐标得， 向量，，设点到直线的距离为， 则. （2）直线的方向向量取，设平面的法向量为， 由,取得， 设直线与平面所成角为， 则. 11．如图，在棱长为2的正方体中，是的中点. (1)求点到面的距离； (2)求点到直线的距离； (3)求直线与面所成的角的正弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法求结论； （2）根据点到直线的距离的向量求法可得点到直线的距离为，代入数据即可求得结论； （3）求直线的方向向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 由正方体棱长为2，可得，，，， 故，， 设平面的法向量， 则 ， 令，得， 即为平面的一个法向量，且， 根据点到平面距离公式点到面的距离，又， 所以 ， 所以点到面的距离为； （2）根据点到直线的向量公式点到直线的距离， 又，，， 所以， 所以点到直线的距离为； （3）直线方向向量， 设直线与面所成的角为， 则 ， 所以直线与面所成的角的正弦值为 12．如图，三棱柱的各棱长均为2，侧面底面，，E，F分别是棱，的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求直线EF与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量法来求点到线的距离即可； （2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）取BC中点O，由，结合菱形，可知，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面ABC， 由于底面是等边三角形，所以， 则建立如图空间直角坐标系， 根据已知条件可知：，，             所以，， 所以点到直线EF的距离为． （2）根据已知条件可知： 则， 设是平面的法向量， 则， 令，可得，      设直线与平面所成角为， 则， 故直线EF与平面所成角的正弦值为． 13．如图，在正四棱柱中，． (1)求点到直线的距离； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，根据点到直线距离向量法计算求解； （2）根据面面角向量法计算求解. 【详解】（1）以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 由，得， 所以， 所以点到直线的距离为； （2）， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 设二面角的平面角为， 则， 因为，所以， 即二面角的正弦值为. 题型 4·异面直线距离的向量求法 14．如图，正方体的棱长为分别为的中点，求异面直线与的距离． 【答案】 【分析】根据异面直线距离的向量法即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则, 则, 设，的公垂线所在向量为， 则且， 取，则，又， 故与的距离为 ． 15．如图，在正方体中，为棱的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)当时，求异面直线与间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可建立空间直角坐标系，将异面直线所成角转化为对应方向向量夹角的余弦值（取绝对值）求解. （2）可利用向量法，求出两异面直线的公垂线方向向量，再取两直线上任意两点连线在公垂线方向上的投影长度即为异面直线距离. 【详解】（1）以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，，，. 记直线与所成的角为，则. （2）记为与公垂线段的方向向量， 则 即可取， 而， 记直线与间的距离为，则. 16．如图，在四面体中，，． (1)求二面角的平面角的大小； (2)求异面直线与间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点，由已知可得，可得为二面角的平面角，求解即可； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，过作直线平面， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得异面直线与的公垂线的方向向量，利用向量法可求异面直线与间的距离． 【详解】（1）取中点，连接， 因为，所以， 所以为二面角的平面角， 又，所以，， 又，所以是等边三角形， 所以，所以二面角的平面角的大小为； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，过作直线平面， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）可知，又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，所以平面， 则， 则， 设，且， 则，令，则， 则， 则异面直线与间的距离． 17．如图，在平行六面体中，，，，，.求： (1)证明直线直线； (2)求异面直线和间的距离. 【答案】(1) 证明：取空间向量的一个基底，则，， 且，， ， 因此， 即，所以直线直线. (2). 【分析】（1）根据空间向量基本定理，利用基底表示各向量，再结合向量垂直的数量积表示，可得证. （2）直线平面，直线平面，求出平面的法向量，进而求出异面直线的距离. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，， 由和是异面直线，令直线平面，直线平面， 设是平面的法向量，则，且， 即，取，得， ， ， 异面直线与间的距离即在上投影向量的模长， 所以异面直线与间的距离为. 18．三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【答案】(1) 三棱台中，，则， 有，得，所以， 又，所以在平面内，，有， 平面平面，所以平面． (2) 【分析】（1）由题意和三棱台的结构特征可得，进而证得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质证得、 ，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线距，即可求解. 【详解】（1）略 （2）已知平面平面ABC，平面平面，， 平面，所以平面，由平面，得， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，由平面ABC，得 . 以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系． 则有， ， 因为，所以， 设向量，且满足：， 则有，令， 在的投影数量为， 异面直线与DE的距离.    19．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，是底面圆的直径，. (1)求圆柱的表面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用直径所对的圆周角为直角和勾股定理求出的长度和柱体的高，再根据圆柱结构特征即可求其表面积； (2)法一：利用平行线转化，求出异面直线与所成角即为，再利用勾股定理的逆定理证明，然后通过余弦定理计算夹角即可求解； 法二：建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量法求出异面直线所成的角的余弦值即可. 【详解】（1）因为AB是底面圆O的直径，所以.因为，，所以.因为，所以圆柱的侧面积为，故其表面积为. （2）（方法一）由三棱柱的性质可得，所以异面直线与所成的角即为.连接. 因为 ， 所以则，所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. （方法二）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示 由题意得，所以. 设异面直线与所成的角为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 20．如图在平行六面体中，，.令，，，以为基底，解决下列问题： (1)用、、表示向量，并求； (2)求直线和夹角的余弦值. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）利用向量的线性运算和模长公式求解； （2）利用平面向量的数量积求两条直线夹角的余弦. 【详解】（1）， 由已知可得，， 因此，. （2）由（1）知， 因为， 所以，所以； 且 ， 所以. 即直线和夹角的余弦值为. 题型 5·向量法求异面直线所成的角 21．如图，已知直四棱柱中，，，，，，是的中点，是的中点． (1)求异面直线ND1与B1C夹角的余弦值； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量夹角公式求解即可； （2）建立空间直角坐标系，确定平面法向量，再结合向量夹角公式求解. 【详解】（1）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 得，，，， 由为的中点，得， 所以，， 所以， 故异面直线与夹角的余弦值为. （2）由（1）得，，，，），， 则有，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则有，， 分别取，则有，，，， 即，， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 22．如图，在四棱锥中，，，且，为的中点． (1)求证：平面； (2)若面，，，求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)取中点，连接. 由中位线性质：为的中点且， 已知且，则且， 故四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，平面. (2) 【分析】（1）取中点，易证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得结论； （2）建立空间直角坐标系，得出和的坐标，根据夹角余弦公式求出余弦值. 【详解】（1）略 （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. 各点坐标：，，，，， 故，， 直线与所成角的余弦值为. 23．在长方体中，底面为正方形，，，为的中点，为的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 所以， 所以，故； (2) 【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积与垂直的关系可证明； (2)直接结合（1）中的坐标系，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）略； （2），， 所以， ，， 所以， 因为异面直线所成角范围， 故异面直线与所成角的余弦值为 24．在四棱锥中，平面，与平面所成的角为，在四边形中，． (1)求的长； (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，由题意得，再得到点的坐标即可求解； （2）通过向量与的夹角公式即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系， ， ， ， 由平面，得为与平面所成的角，． 在中，由，得， ． ． （2）由（1）得， ，设异面直线与所成的角为，为锐角， ， ∴异面直线与所成的角的余弦值为． 25．在棱长为1的正方体中，P为的中点，，，分别是平面、平面平面ABCD的中心． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）应用空间向量法求出点的坐标，再应用向量垂直的坐标运算计算证明； （2）应用异面直线夹角余弦公式计算求解； （3）应用向量坐标模长公式计算求解. 【详解】（1）以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，， ， ； （2），， ， ， ∴异面直线与所成的角的余弦值为； （3），，． 题型 6·向量法求线面角 26．如图，直三棱柱的体积为，四边形的面积为且，，的中点为，，的中点为. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 连接， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； (2) 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，证出线面平行； （2）先根据体积、矩形面积、线段长度条件列方程组解出三条棱长，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关向量，构造平面的法向量，代入线面角向量公式算出正弦值． 【详解】（1）略 （2）令，，，其中， 由，为的中点，知， 由直三棱柱的体积为，四边形的面积为，， 得，解得，，， 如图，以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， ，，， 设平面的法向量为， 那么，即，取，则， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 27．如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)由题意知：，，平面， ∴平面， 又∵平面，所以． 又点C为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 又∵平面，所以． (2) 【分析】（1）先证得平面，可得，再证平面，即可得； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标运算求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，可得，利用空间向量坐标计算即可． 【详解】（1）略 （2）由（１）知平面， 以O为原点，，的方向分别作为x， z轴， 底面内与垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，又， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 题型 7·向量法求二面角 28．四棱锥中，底面为等腰梯形，平面，，．求： (1)直线与面所成的角； (2)平面与平面所成锐二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过求解直线的方向向量与平面的法向量，利用向量夹角公式求出它们的余弦值，从而得到线面角的正弦值及所成角. （2）分别求出平面与平面的法向量，计算这两个法向量夹角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系将其转化为锐二面角的正切值. 【详解】（1）作于点， 因为平面，且平面，所以， 可以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如下： 由题意得， 因为且，在面内，与轴正方向夹角为， 投影到轴的长度为，投影到轴的长度为， 即，因为且，所以，则， ，取作为的方向向量， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设直线与平面所成的角为， 则， 由于，解得. （2）设平面的法向量为，由上知， 则，故可取， 设平面的法向量为，由上知， 则故可取， 设所求锐二面角为， 则， 进而，则. 29．如图，四棱锥中，底面，，，，.    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)在中，， 由余弦定理得， 所以，故， 所以为直角三角形，且， 又因为面，平面，所以 又因为，且，平面， 所以面，平面， 所以， 又因为、、平面，所以 又因为平面平面，所以平面 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理得到，进而得到，然后利用线面平行的判定定理证得； （2）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）略 （2）因为平面，，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则 设为面的一个法向量， ，故， 令，解得， 记与面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 30．如图，直三棱柱中，，分别为线段的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)因为直三棱柱中，， 所以两两垂直，以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 不妨设，则各点坐标如下： ，，，，，， 因为分别为线段的中点，所以： 的坐标为，的坐标为， 根据坐标，可得向量： ， ， ， 所以向量与垂直，即. (2) 【分析】（1）通过建系求出向量和的坐标，利用数量积为0这一代数条件直接证明了空间两直线的垂直关系； （2）通过求平面的法向量，利用线面角的正弦值等于方向向量与法向量夹角余弦值的绝对值计算出结果，再借助同角三角函数平方关系得出余弦值. 【详解】（1）略 （2）由两两垂直，可得平面， 平面的一个法向量可取为， 直线的方向向量为， 设直线与平面所成的角为， 根据线面角的正弦值公式： ， 因为线面角的范围是， 所以. 31．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)若，，． （i）求直线与平面所成的角的大小； （ii）求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明：因底面为正方形，，分别为，的中点, 则,又因，则,因平面， 故平面. (2)（i）（ii） 【分析】（1）先证，，再由线面垂直的判定定理即得证； （2）（i）依题建系，求出相关点的坐标，计算出平面的法向量，利用向量夹角的坐标公式即可求得线面角；（ii）接着求出平面的法向量，利用向量夹角的坐标公式即可求得二面角. 【详解】（1）略 （2）（i）在平面中，过点作于点， 由（1）得平面，因平面，则， 又因平面，故平面. 过点作的平行线，交于点，则， 故可以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 因，，， 则， 则， 故， 设平面的法向量为， 则，故可取； 设与平面所成的角为，则， 因，则，即直线与平面所成的角为. （ii）设平面的法向量为， 则，故可取. 设二面角的平面角为，因， 则， 即二面角的正弦值为. 32．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面，．点为棱的中点，点为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．则，，，，． 因为，分别为，的中点，所以，． ，，， ，且平面， 所以平面； (2) (3) 【分析】（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，根据向量共面定理证明线面平行； （2）首先求平面的法向量，再代入线面角的向量公式，即可求解； （3）首先求平面的法向量，代入二面角的向量公式，即可求解. 【详解】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．则，，，，． 因为，分别为，的中点，所以，． ，，， ，且平面， 所以平面； （2）因为，，所以． 平面的一个法向量为， 设与平面的夹角为， 则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）平面的一个法向量为． 平面中，，． 取平面的一个法向量为， 则，得，令，得 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成二面角为，则． 33．如图，在直三棱柱中，，．点为棱的中点，点为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】(1)以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 由题意可取，，， ，，， 为的中点，E为的中点， ，，故， 平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又，且不在平面内， 平面． (2) 【分析】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出各点坐标及相关向量坐标，求出平面法向量，进而利用法向量与垂直证明结论； （2）求出两个平面的法向量，利用向量夹角余弦公式求出余弦值，进而求出二面角正弦值． 【详解】（1）略 （2）易知平面的一个法向量为， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， ，令，则 ， 设平面与平面所成二面角为，则， ． 34．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，． (1)求证：平面PAB: (2)求二面角的大小； (3)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1) 平面平面，且平面平面，,平面， 平面，又平面，∴， 又且，平面， 平面. (2) (3) 【分析】（1）先证明，，再证明平面. （2）通过建立空间直角坐标系求解法向量，再代入公式即可. （3）利用向量方法求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，，， 又平面，平面平面，平面平面， 平面，平面，， 又，， 如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，则，， 又观察可知平面的法向量为， . 故二面角的大小为. （3） 设平面的法向量为，则，令，则，， 又，. 直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. 35．如图，在三棱锥中，两两垂直，    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量公式可得答案； （2）求出两个半平面的法向量，利用向量夹角公式可求二面角. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系； ，,； 设平面的一个法向量为，则， 令，得，即， 设直线与平面所成角为，则. 即直线与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）知平面的一个法向量为， 易求平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，易知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为.    36．在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，求： (1)异面直线与所成角的余弦值； (2)直线与平面所成角的正弦值； (3)二面角的余弦值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量，利用坐标法求异面直线所成角； （2）表示直线的方向向量及平面的法向量，利用坐标法可得线面角； （3）表示两平面的法向量，利用坐标法可得二面角. 【详解】（1）由题意，平面，， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,， 所以，， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）的，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 而平面的一个法向量为， 所以， 由图可知，二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题1.4.2空间向量应用（二) (专题训练) 【人教A版(2019)】 题型归纳 题型1点到平面距离的向量求法.1 题型2平行平面距离的向量求法… 3 题型3·点到直线距离的向量求法 ..5 题型4异面直线距离的向量求法… .8 题型5·向量法求异面直线所成的角… .11 题型6向量法求线面角.… 题型7向量法求二面角， ..15 题型1点到平面距离的向量求法， 1.如图，在边长为2的正方体ABCD-AB,C1D1中，E是棱AB上的点，平面C1A1E交棱BC于点F. B (1)证明：EF∥AC: 2 (2)若直线A1B,与平面C1A1E所成角的正弦值为3，求线段AE的长度及此时点B,到平面C1A,E的距 离。 1/19 2.如图，在多面体ABCDEF中，平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形，四边形ABEF 为平行四边形，AD1/BC,AB1BC,AB=AD=号BC=2,AP=R2BF=22, M B (1)证明：CD⊥BF: (2)若点M是CE中点，求点M到平面BDE的距离. 3.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,点P为BC的中点. A B A B (1)证明：A1B/平面APC1: (2)求点A1到平面APC1的距离. 2/19 4.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为梯形，AD/BC, ∠BAD=90°，且PA=AD=CD=AC=1. A (1)求异面直线PC与AB所成角的余弦值： (2)求点A到平面PCD的距离. 题型2·平行平面距离的向量求法 5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E为BB1的中点. 0 C A B D B (1)求点D到平面AD1E的距离为d: (2)求BC1到平面AD1E的距离. 3/19 6.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，∠ABC=90°，BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上，且 EB1=1,D、F、G分别为CC1,C1B,C1A1的中点 B C G E (1)求证：平面EGF//平面ABD: (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 7.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B的中点，F为线段AB的中点， D D A (1)求直线EC与AC1所成角的余弦值： (2)求直线FC到平面AEC1的距离. 4/19 8.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上，且 EB1=1,D、F、G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点. B (1)求证：B1D⊥平面ABD: (2)求证：平面EGF/I平面ABD: (3)求平面EGF与平面ABD的距离. 题型3·点到直线距离的向量求法 9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1BC1D1中，E,F分别为线段AB,B,C1的中点. D C B D (1)求证：D1F⊥CE: (2)求F点到直线A1C的距离： (3)求平面A1EC与平面BCC1B1所成角的余弦值. 5/19 10.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点， AB=AC=2,PA=3. P D有 (1)求点P到直线EF的距离： (2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值. 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点. D B C E A (1)求点D到面BEC1的距离： (2)求点D到直线BE的距离： (3)求直线AB与面BEC1所成的角的正弦值 6/19 12.如图，三棱柱ABC-A1B,C1的各棱长均为2，侧面BCC1B1⊥底面ABC,∠B,BC=60°，B,F 分别是棱AB,BC1的中点。 B C A E B (1)求点B到直线EF的距离： (2)求直线EF与平面ABB1A1所成角的正弦值. 13.如图，在正四棱柱ABCD-A,B,C,D,中，AA1=2AB=2,C1E=2E元 D C B B (1)求点A1到直线AE的距离： (2)求二面角A-DE-A1的正弦值. 7/19 题型4异面直线距离的向量求法 14.如图，正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为1，E、F分别为AA1、AB的中点，求异面直线EF与 BD1的距离. D C B A B 15.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点 A D C E A-- D C (1)求直线AC与D1E所成角的余弦值： (2)当AB=2时，求异面直线A1C与D1E间的距离. 8/19 16.如图，在四面体D-ABC中，AB=BC=CD=DA=5,AC=6,BD=4. (1)求二面角B-AC-D的平面角的大小： (2)求异面直线AB与CD间的距离. 17.如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=4,AD=4,AA'=3V2,∠BAD=60°， ∠BAA=∠DAA=45°.求： D' A B D…fC :. B (1)证明直线AC⊥直线BD: (2)求异面直线AC和BD间的距离. 9/19 18.三棱台ABC-A1B,C1中，AB=2A1B1,AB⊥BC,AC⊥BB1,平面AA1B1B⊥平面ABC, AB=3,BC=2,BB,=1,A2=2EB'A1C与AC,交于D. A B (1)证明：DE平面A1BC1: (2)求异面直线A1C1与DE的距离. 19.如图，直三棱柱ABP-ABP1内接于一个圆柱OO1,AB是底面圆O的直径， AP=V3,BP=1,AA=AB A 01 A:: (1)求圆柱001的表面积： (2)求异面直线A1B与B1P1所成角的余弦值， 10/19 20.如图在平行六面体ABCD-A,B,C,D1中，AB=AD=AA1=V21 ∠AAB=∠A1AD=∠BAD=60:令AB=°AD=6AA=,以a,6,为基底，解决下列间 题： D B (1)用a6表示向量A,C,并求AC (2)求直线AC和BC1夹角的余弦值. 题型5·向量法求异面直线所成的角 21.如图，已知直四棱柱ABCD-A1B,C1D1中，AD⊥AB,AB/1CD,AA1=2,AB=2AD=2, DC=1,N是BC1的中点，M是DD1的中点 D A- B (1)求异面直线ND1与B1C夹角的余弦值： (2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值： 11/19 22.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,AB∥DC,且DC=2AB,M为PD的中点. D B (1)求证：AM∥平面PBC: (2)若PD⊥面ABCD,PD=DC=2,AD=1,求直线AM与BC所成角的余弦值. 23.在长方体ABCD-A1B,CD1中，底面ABCD为正方形，AA1=4,AB=2,E为AD的中点，F为 CC1的中点. D B (1)求证：EF⊥D1F (2)求异面直线AF与A1E所成角的余弦值. 12/19 24.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中， ∠ADC=∠DAB=90°，AB=4,CD=1,AD=2. ! D:C B (1)求BP的长； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值. 25.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1、 平面BBC1C、平面ABCD的中心. D 01● A B Di-- O (1)求证：B1O3⊥PA; (2)求异面直线P03与0102所成角的余弦值： (3)求P02的长. 13/19 题型6向量法求线面角 26.如图，直三棱柱ABC-A1B,C1的体积为3，四边形ACC1A1的面积为2且CC1>AC,AC⊥BC, AB的中点为M'C1M=5:BC,的中点为N C B (1)求证：MN∥平面ACC1A: (2)求直线C1M与平面ACN所成角的正弦值. 27.如图，在△PAO中，PO⊥OA,PO=2OA.将△PAO绕边PO旋转到△PBO的位置，使 ∠AOB=120°，点C为AB中点. (1)证明：PC⊥AB, (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 14/19 题型7·向量法求二面角 28.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，PD⊥平面ABCD,AB=2CD,PD=AD=CD=1. 求： P D B (1)直线AB与面PBD所成的角； (2)平面PAD与平面PBC所成锐二面角的正切值. 29.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,AD=BC=1,∠ACB=60, AD⊥PB. D D B (1)证明：BC∥平面PAD; (2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 15/19 30.如图，直三棱柱ABC-A1BC1中AB=AC=AA1,AB1AC,D,E分别为线段BC,BB1的中点. A B | B D (1)证明：A1D⊥AE: (2)求直线A1D与平面ACC1A1所成角的余弦值. 31.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD,E,F分别为AD,BC的中点. B (1)求证：AD⊥平面PEF: (2)若AB=2,PE=1,∠PEF=60°. (i)求直线PD与平面PBC所成的角的大小： (i)求二面角D-PC-B的正弦值. 16/19 32.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2,AD=1,PA⊥平面ABCD,PA=2. 点M为棱PD的中点，点N为棱BC的中点. D M不 ☑C B (1)证明：MN/平面PAB; (2)求直线CM与平面ABCD所成角的正弦值： (3)求平面CMN与平面ABCD所成二面角的余弦值， 33.如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°.点D为棱BB1的中点， 点E为线段AC1的中点. C A B D B (1)证明：DE/平面ABC1: (2)求平面CDE与平面ABC所成二面角的正弦值. 17/19 34.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,AB⊥AD,PA=PD, AB=1,AD=2,AC=CD=5 (1)求证：PD⊥平面PAB: (2)求二面角P-AB-C的大小： (3)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 35.如图，在三棱锥O-ABC中，OA,OB,OC两两垂直，OA=OC=3,OB=2. O---------- (1)求直线OB与平面ABC所成角的正弦值： (2)求二面角O-BC-A的余弦值. 18/19 36.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD,若 SA=4,AB=BC=2,AD=1,求： A-- (1)异面直线DC与SB所成角的余弦值： (2)直线SA与平面SDC所成角的正弦值： (3)二面角D-SC-B的余弦值； 19/19