1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（五大题型）训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量工具，系统覆盖点面、面面、点线、异面直线距离及存在性问题，形成从基础到综合的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |点到平面距离|4题|结合法向量公式，涵盖选择、填空、解答题|以法向量为核心，构建距离计算基础模型| |平行平面距离|4题|正方体、棱锥载体，含存在性判断|转化为点面距离，体现化归思想| |点到直线距离|4题|正方体、坐标系背景，涉及动态点|利用向量投影，强化空间位置关系推理| |异面直线距离|4题|含最小值问题，直三棱柱、棱锥情境|引入公垂向量，深化空间向量应用| |存在性问题|4题|动态线段、体积、夹角综合|整合距离计算与空间论证，提升数学思维|

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 题型一 点到平面距离的向量求法 1．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 2．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】在正三棱柱中，，，为的中点,所以, 以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    求得, 选项A:,, 设平面的法向量,则,,列方程可得, 代入向量得,令,则,所以, 计算,所以直线不垂直平面,选项A错误； 选项B:因为,所以点到平面的距离,选项B正确； 选项C:因为, 所以异面直线和所成角的余弦值,选项C正确； 选项D:,,设平面的法向量, 则,,列方程可得,代入向量得, 可知,令,则,所, 由前面可知平面的法向量，计算, 所以平面不垂直平面，选项D错误. 3．如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．    【答案】 【分析】根据圆锥的几何性质，结合已知条件得出互相垂直关系，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用三角形的性质，求出面积最大值时点坐标，求出平面法向量和相关向量，进而利用点到平面距离公式计算求解． 【详解】连接，由题意可知，， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    则， 点在底面圆上，且点在直径同侧，设， 母线长，为等腰三角形， ， 设边上的高为，则， ， 令，则，开口向下，对称轴为， 当时，面积最大，此时， ，， ，设平面的法向量为， 则，令，则， 点到平面距离为． 4．如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面； (2)求点F到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)如图建立空间直角坐标系，，，，，，. 取的中点G，连结，则． ，， ．即． 又平面，平面， 平面． (2) (3)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出和平面中的向量，再证明平行即可. （2）求出平面的法向量，再求出点F到平面的距离即可. （3）根据（2）以及线面角公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为，，． ．即． 取，得． 又， 故点F到平面的距离为． （3）， ． ∴直线与平面所成角的大小为． 题型二 平行平面距离的向量求法 5．在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 6．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在动点，使平面 B．若平面，则动点的轨迹长度为 C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2 D．若正方体的外接球为球，则球被平面所截截面圆的面积为 【答案】BCD 【分析】对于A，建立空间直角坐标系，根据空间位置关系向量法计算判断；对于B，由线面平行的判定定理及面面平行的性质定理求得动点的轨迹计算判断；对于C，由点到直线距离空间向量法及点到平面距离空间向量法结合图形计算判断；对于D，由点到平面距离空间向量法计算距离，进而计算截面圆的半径后可得截面圆面积. 【详解】以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 对于A，设，且， ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以平面的法向量为， 若平面，则， 由，解得，不合题意， 不存在动点，使平面，故A错误； 对于B，如图，取的中点，的中点，连接， 则，由正方体性质可知，故， 平面，平面， 平面， ， ， 因为，且平面， 平面， 且平面， 平面平面， 若平面，则平面， 动点的轨迹为线段，其长度为，故B正确； 对于C，， ， 空间向量法计算点到直线的距离为， 则的面积为， 显然，当与重合时，三棱锥的体积最大，则， 点到平面的距离为， 三棱锥体积的最大值为，故C正确； 对于D，正方体外接球的球心为，半径， 则，则点到平面的距离为， 故球被平面所截截面圆半径， 截面圆的面积为，故D正确. 7．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_____. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AMN的一个法向量，然后使用等价转化的思想，面面距转为点面距，最后计算即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)， F(2，4，4)，N(4，2，4). ∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)， ∴， ∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M. ∴平面AMN∥平面EFBD. 设=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量， 则解得 取z=1，则x=2，y=-2，得=(2，2，1). 平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离. ∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=. 故答案为： 8．在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求得线面角； （2）先证平面平面，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出点到面的距离即可； （3）根据补形法确定三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体外接球半径，即可求得结果. 【详解】（1） 建立如图所示，以为坐标原点， 、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 根据题意有：，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则有， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有，又因为， 所以 （2） 连接、、、、、， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面；同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面； 因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，， 令，可得， 则为平面的一个法向量， 所以平面与平面的距离. （3）根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 题型三 点到直线距离的向量求法 9．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 10．如图，在棱长为3的正方体中，点为线段上的一个动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点，使平面 C．若，则点到直线的距离为 D．若，则过点，，三点的平面截正方体所得截面的周长为 【答案】ACD 【分析】由等体积转换法得到三棱锥体积不变，判断A选项；找正方体顶点，由线面垂直证明线线垂直，然后得到线面垂直，判断B选项；建立空间直角坐标系，由向量的投影计算出点到线的距离，判断C选项；利用平行作出截面，由平行得到交点位置，即可求截面的周长，判断D选项. 【详解】因为，又因为点在线段上运动， 且在正方体中，平面， 所以动点到平面的距离不变， 故不变，A选项正确； 当点与点重合时，因为平面，平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 因为，平面， 所以平面，又因为平面, 所以，同理可证明， 因为，平面，所以平面， 因此存在点，使平面，B 选项错误； 以正方体顶点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以在的投影， 所以点到直线的距离，C选项正确； 连接交于点，过点作，分别交于点， 连接和， 在正方体中，所以， 因为，所以过点，，三点的平面截正方体所得截面为四边形， 因为，所以， 所以， 所以，， 所以四边形的周长为，D选项正确. 11．在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 【答案】 【详解】由题意得，， ， ， 向量在直线上的投影长度为， 故点到直线的距离为 12．在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式即可求解； （2）求出平面的一个法向量，然后利用线面角的向量公式即可求解. 【详解】（1）根据题意，平面，， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为： ，由中点坐标得， 向量，，设点到直线的距离为， 则. （2）直线的方向向量取，设平面的法向量为， 由,取得， 设直线与平面所成角为， 则. 题型四 异面直线距离的向量求法 13．正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 14．如图，在直三棱柱中，，，分别是的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．当分别是的中点时，平面 B．当分别运动到的某位置时， C．当分别是的中点时，与侧面所成角为 D．长的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据题意，以为原点建立空间直角坐标系，对于A，利用线面平行的向量法证明即可；对于B，易知分别是的中点时，；对于C，根据空间向量法求线面角即可；对于D，求出异面直线的距离即可判断． 【详解】根据题意，以为原点建立空间直角坐标系， ， 对于A，当分别是的中点时，, 易知平面的一个法向量， ，则， 即，又平面，所以平面，故A正确； 对于B，易知，当分别是的中点时，， ，此时，故B正确； 对于C，当分别是的中点时，， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则，， 设与侧面所成角为， 则，即， 所以与侧面所成角为，故C错误； 对于D，，，， 设与都垂直的向量为， ，不妨取，则，，， 则异面直线的距离， 即长的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 15．在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先利用线面垂直证得平面，然后将求的最小值转化为求异面直线AB，PC的距离，建立空间直角坐标系，利用异面直线距离的向量法公式即可得解. 【详解】因为为等腰直角三角形，， 因为，所以，又，，平面，所以平面， 又，补成长方体，以点为原点，建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 点M，N分别在线段AB，PC上，要求的最小值，即求异面直线AB，PC的距离， 设同时垂直于，则， 取，则，故， 所以的最小值为. 故答案为： 16．如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 【答案】(1)证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. (2) (3). 【分析】（1）（方法一）连接，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（方法二）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用空间向量法证明即可； （2）利用空间向量法求解即可； （3）利用空间向量法，转化为求点E到直线的距离. 【详解】（1）略 （2）由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 题型五 空间线段点的存在性问题 17．在棱长为2的正方体中，M，N两点在线段上运动，且，给出下列结论： ①在M，N两点的运动过程中，⊥平面； ②在平面上存在一点P，使得平面； ③三棱锥的体积为定值； ④以点D为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为． 其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】①建立空间直角坐标系，写出点的坐标，当点移动到点时，由于，故与不垂直，所以①错误； ②证明出线面平行，从而平面上存在一点P，使得平面； ③作出辅助线，利用求出体积为定值； ④得到球面被正方体表面所截得的弧为个半径为的圆弧，求出弧长和. 【详解】以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图1，对于①，当点移动到点时，此时， 则， 因为， 所以与不垂直，所以①错误； 对于②，平面与平面为同一个平面，而， 所以当点在上时，总有平面，从而有平面，所以②正确； 如图3，连接，交于点O，则⊥，故为三角形的高，且， 所以， 又⊥平面， 故，所以③正确； ， 以点D为球心作半径为的球面， 球面被正方体表面所截得的弧为以为圆心，个半径为的圆弧， 弧长和为，所以④正确， 故选：D． 18．在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则平面与平面夹角的余弦值为 B．若，则平面平面 C．若，则点到直线的距离的最小值为 D．存在唯一有序实数对，使得 【答案】BC 【分析】先根据题意建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，进而根据二面角的向量求法即可判断选项A；利用空间向量证明面面平行即可判断选项B；根据点到直线距离的向量求法即可判断选项C；根据题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上，再数形结合可判断D． 【详解】依题意，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 由正方体的棱长为，且点为棱的中点， 则，，，，，，， 对于A，若，，则，即点与点重合，即， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为，故A错误； 对于B，若，则，即， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 结合选项A知平面的法向量为， 所以，即，即平面平面，故B正确； 对于C，若，则，与三点共线，即在线段上， 设，，则， 则，， 所以点到直线的距离为， 所以当，即为线段的中点时，点到直线的距离取最小值，且最小值为，故C正确； 对于D，易知与均垂直于平面，连接，， 则，，若，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 若，则，则点在以为圆心，为半径的圆上（均为侧面内部）， 两圆的圆心距，故两圆弧相交（如图所示）， 故符合条件的点有两个，对应的有两组，故D错误． 19．在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为______. 【答案】 【分析】在线段上作一点，线段上作一点，使得四边形是矩形，由相关性质可将点到直线距离最小值转化为点到点距离最小，最后计算可得. 【详解】因为点在线段上运动，设，， 在线段上作一点，使得， 在线段上作一点，使得如图所示， 由三角形性质可知，在中，，且， 因为底面是矩形，所以，所以且， 所以四边形是平行四边形， 因为平面，平面， 所以，因为， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以四边形是矩形， 所以点到点的距离即为点到线段的距离 因为，所以当为中点时，最小， 即， 所以点在线段上运动，点到距离最小为. 故答案为：. 20．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)设中点，连接， ，，，所以， 因为，所以有，则， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) (3)在棱上存在点，为上靠近的三等分点. 【分析】(1) 依托面面垂直性质得到高线，结合勾股逆定理证，证明垂直平面内两条相交直线，使用面面垂直判定定理完成证明； (2) 利用等体积转换，作为三棱锥的高，求出底面三角形面积后代入锥体体积公式直接计算； (3)建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，设，分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式列出方程，求得即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，平面，因为，所以， 则. （3）在棱上存在点，使得平面与平面的夹角为30°，为上靠近的三等分点.，证明如下： 由（1）得平面，因为平面，则， 过作的平行线，则以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由题意得，则, 因，则，故， 则， 设，由题可知， ， 设平面法向量为， 则，令，则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 因为平面与平面的夹角为30°， 所以， 化简得，即，又，则， 所以为上靠近的三等分点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 题型一 点到平面距离的向量求法 1．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 3．如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．    4．如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，E、F分别是、的中点．若，． (1)求证：平面； (2)求点F到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的大小． 题型二 平行平面距离的向量求法 5．在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 6．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为底面内一动点（含边界），则下列说法正确的是（   ） A．存在动点，使平面 B．若平面，则动点的轨迹长度为 C．若平面，则三棱锥体积的最大值为2 D．若正方体的外接球为球，则球被平面所截截面圆的面积为 7．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_____. 8．在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 题型三 点到直线距离的向量求法 9．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在棱长为3的正方体中，点为线段上的一个动点，则（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．不存在点，使平面 C．若，则点到直线的距离为 D．若，则过点，，三点的平面截正方体所得截面的周长为 11．在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 12．在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型四 异面直线距离的向量求法 13．正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在直三棱柱中，，，分别是的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．当分别是的中点时，平面 B．当分别运动到的某位置时， C．当分别是的中点时，与侧面所成角为 D．长的最小值为 15．在三棱锥中，、均为等腰直角三角形，其中，，，点M，N分别在线段AB，PC上，则的最小值为______. 16．如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 题型五 空间线段点的存在性问题 17．在棱长为2的正方体中，M，N两点在线段上运动，且，给出下列结论： ①在M，N两点的运动过程中，⊥平面； ②在平面上存在一点P，使得平面； ③三棱锥的体积为定值； ④以点D为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为． 其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．②③④ 18．在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则平面与平面夹角的余弦值为 B．若，则平面平面 C．若，则点到直线的距离的最小值为 D．存在唯一有序实数对，使得 19．在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为______. 20．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．    (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $