专题1.1.2 空间向量的数量积运算 专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《知识解读•题型专练》

**基本信息** 围绕空间向量数量积运算，按概念辨析、运算求解、综合应用逻辑编排6类题型，突出从基础到综合的知识生成链，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|4题|定义与性质判断|概念基础，建立数量积认知起点| |求数量积|5题|基本运算求解|核心运算，掌握数量积计算方法| |夹角计算|5题|夹角余弦值计算|直接应用，连接数量积与空间角| |求模|5题|模长公式应用|度量计算，实现长度量化表达| |综合应用|6题|几何问题综合处理|能力提升，深化空间观念与推理| |投影向量|5题|投影向量坐标表示|延伸拓展，完善数量积应用体系|

专题 1.1.2 空间向量的数量积运算（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型 1··空间向量数量积的概念辨析 1 题型 2·求空间向量的数量积 2 题型 3··空间向量的夹角(余弦值)的计算 2 题型 4·利用空间向量的数量积求模 3 题型 5·空间向量数量积的应用 4 题型 6·投影向量的求解 7 题型 1··空间向量数量积的概念辨析 1．关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 3．夹角的定义： 已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则叫做向量，的夹角，记作_________. 4．①（其中为单位向量）； ②_________（其中为非零向量）； ③； ④ _________． 题型 2·求空间向量的数量积 5．已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 6．在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 9．在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 题型 3··空间向量的夹角(余弦值)的计算 10．三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 11．已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 12．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 14．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 题型 4·利用空间向量的数量积求模 15．如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 16．如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．3 B． C． D． 17．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 18．如图，平行六面体中，，，则__________． 19．在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型 5·空间向量数量积的应用 20．正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 21．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 22．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 23．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 24．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 25．在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 题型 6·投影向量的求解 26．已知向量，，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是______. 27．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 28．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 29．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为___________. 30．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为__________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.1.2 空间向量的数量积运算（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型 1··空间向量数量积的概念辨析 1 题型 2·求空间向量的数量积 3 题型 3··空间向量的夹角(余弦值)的计算 5 题型 4·利用空间向量的数量积求模 7 题型 5·空间向量数量积的应用 11 题型 6·投影向量的求解 16 题型 1··空间向量数量积的概念辨析 1．关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 2．已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则与共线 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】对ACD，举特例零向量判断即可；对B，根据数量积公式判断即可. 【详解】对A，若，则，不能得出，故A错误； 对B，，当与存在零向量时，与共线成立； 当与均不为零向量时，，故夹角为或，则与共线，故B正确； 对C，若，则，不能得出，故C错误； 对D，，，故不成立，故D错误； 故选：B 3．夹角的定义： 已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，，则叫做向量，的夹角，记作_________. 【答案】 【分析】略 【详解】略 4．①（其中为单位向量）； ②_________（其中为非零向量）； ③； ④ _________． 【答案】 【分析】略 【详解】略 题型 2·求空间向量的数量积 5．已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】 ，故选项A正确． 6．在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 7．在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据几何体特征以及二面角定义，利用向量数量积的运算律计算可得结果. 【详解】设的中点为，连接，如下图所示： 因为且，所以， 又因为，二面角的大小为，所以； 因此 . 故选：B 8．已知，则（   ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】利用空间向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果. 【详解】因为， 所以,， 则,所以, 故选：B 9．在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将题设中的和分别用线性表示，再根据向量数量积的运算律计算即得. 【详解】    如图，设，依题意， 连接，因 ， 又， 则 . 故选：A. 题型 3··空间向量的夹角(余弦值)的计算 10．三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入向量夹角公式，即可求解. 【详解】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C 11．已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【详解】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 12．已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】夹角为锐角，则，排除平行的情况即可. 【详解】因为向量的夹角为锐角， 则，得， 当时，，得， ∴的取值范围为． 故选：B. 13．已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的运算律以及模长公式，结合夹角公式即可代入求解. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故 故选：A 14．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【详解】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 题型 4·利用空间向量的数量积求模 15．如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】由可得，利用数量积运算即可得出结果. 【详解】因为，即，所以， 因为平行六面体各条棱长均为，， 所以，， 因为， ∴ ， 所以，即线段的长度为. 故选：D. 16．如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由题意可得，， 所以，向量两两夹角为， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， 因为， 故 ， 因此，. 故选：D. 17．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 18．如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 19．在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， ，，， , ． 题型 5·空间向量数量积的应用 20．正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 21．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 22．如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 23．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得； （2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又 ， ． 24．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设． (1)用表示，并求； (2)求与的夹角． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理，结合空间向量数量积的运算性质以及模公式进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 ． （2）因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以，故与的夹角为． 25．在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 题型 6·投影向量的求解 26．已知向量，，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是______. 【答案】 【分析】根据投影向量的定义计算． 【详解】向量 在向量 上的投影向量的坐标为, 故答案为：． 27．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量的定义，结合空间向量公式计算可求结果. 【详解】因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B． 28．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量的计算公式求解出结果. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 故选：B. 29．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为___________. 【答案】 【分析】根据投影向量的求法，代入即可求得答案. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为 . 故答案为： 30．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为__________． 【答案】2 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可． 【详解】空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $