空间向量及其运算 专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
2026-08-23
|
2份
|
115页
|
1329人阅读
|
7人下载
摘要：
**基本信息**
系统构建空间向量"概念-运算-应用"三层体系，以定理为纲、题型为目，融合直观想象与逻辑推理，实现从知识理解到问题解决的能力进阶。
**专项设计**
|模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑|
|----|-----------|----------|----------|
|空间向量及其线性运算|5大知识点+4题型（13例）|共线/共面判定三思路、参数求解方程法、线性表示分解法|从平面向量自然迁移，通过"概念辨析-线性运算-位置关系"递进，建立空间向量基本理论框架|
|空间向量的数量积运算|3大知识点+5题型（15例）|模长计算平方转化法、夹角余弦定义法、投影向量分解法|以数量积为核心，延伸至模长、夹角、投影等应用，形成"运算性质-几何意义-综合应用"的逻辑链条|
内容正文：
空间向量及其运算
一、空间向量及其线性运算
知识点1：空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；
（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
知识点2：空间向量的加法、减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律： （2）加法结合律：
知识点3：空间向量的数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量与向量的关系
的范围
的方向
的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
与向量的方向相反
3.运算律：分配律：；结合律：．
知识点4：共线向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
注：（1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：
（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
3、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得.
与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。
4、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线
（1）存在实数，使成立.
（2）对空间任一点O，有.
（3）对空间任一点O，有.
知识点5：共面向量
1、共面向量定义：如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行与直线l．如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
3.空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
注：拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
4.向量共面证明思路
（1）证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用，若用，则必须满足.
（2）判断三个向量共面一般用，
证明三线共面常用，
证明四点共面常用（其中）
题型一 空间向量的概念辨析
例1（1）（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件
C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等
（2）（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（ ）
A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面
（3）（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同
（4）（多选题）（25-26高二上·山东济南·期中）下列四个命题中，说法不正确的是（ ）
A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则
C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则
例2（1）（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．任意两个空间向量都共面
D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
（2）（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的
C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上
（3）（多选题）（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（ ）
A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线
B．若两个非零向量与满足，则
C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量
题型二 空间向量的线性运算
例3（1）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（25-26高二上·安徽·期中）若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式不一定等于零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
（3）（25-26高二上·湖南·阶段检测）在四面体中，，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
（4）（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
例4（1）（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（24-25高二上·山西大同·期中）如图，在四面体中，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
（3）（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
（4）（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在四面体中，，分别为棱，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
例5（1）（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有的式子表示）．
（2）（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则___________.
（3）（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
（4）（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
（5）（2025·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（ ）
A． B．
C． D．
（6）（25-26高二上·安徽·阶段检测）在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三 空间向量共线问题
（一）空间向量共线的判定
例6（1）（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（ ）
A． B． C． D．
（2）（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（ ）
A． B． C． D．
（3）（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（ ）
A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上
C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对
（4）（24-25高三上·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（5）（多选题）（25-26高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（ ）
A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上
C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上
（6）（2025·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（ ）
A． B． C． D．
例7（1）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.
（1）用表示；
（2）求证：E，F，B三点共线.
（2）（24-25高三上·山东临沂·阶段检测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，．
（1）试用表示．
（2）证明：四点共面．
（3）证明：三点共线．
（二）由空间向量共线求参数值
例8（1）（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）若向量，，且，则的值是（ ）
A． B．5 C．3 D．
（2）（25-26高二上·安徽滁州·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
（3）（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ）
A．1， B．，0 C．0，1 D．，0
（4）（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
（5）平行六面体中，，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
题型四 空间向量共面问题
（一）空间向量共面的判断
例8（1）（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（24-25高二上·安徽铜陵·阶段检测）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（ ）
A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面
C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面
（3）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
（4）（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（ ）
A． B． C． D．
例9（1）（多选题）（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（ ）
A． B．
C． D．
（2）（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
（3）（多选题）（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则向量，，共面
B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面
D．若，则A，B，C，D共面
（4）（多选题）（25-26高二上·四川资阳·阶段检测）下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，都是直线的方向向量，则必有
B．为空间任意一点，若，且四点共面，则
C．若为不共线的非零向量，，，则
D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式则
（5）（24-25高二上·四川眉山·期中）在四棱柱中，，．
（1）当时，试用表示；
（2）证明：四点共面；
（6）（24-25高二上·河北·期中）如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．
（1）证明：B，E，G，F四点共面．
（2）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值．
（二）空间向量共面求参数
例10（1）（25-26高二下·江苏泰州·月考）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ）
A．1 B． C． D．
（2）（2025·山西吕梁·高二统考期末）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
（3）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
（4）（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
例11（1）（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
（2）（25-26高二上·广东深圳·期中）空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（3）（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）在直三棱柱中，，，.若点满足，且点在平面内，则（ ）
A． B． C． D．
（4）（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
（5）（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（ ）
A． B． C． D．1
例12（1）（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则_____．
（3）（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知正方体，点，，分别在棱，，上，且，，，过，，三点的平面与棱相交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
（4）（25-26高二上·广东·期中）已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例13（1）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．4
（2）（24-25高二上·广东广州·阶段检测）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（3）（24-25高二上·湖北·期中）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（4）（24-25高二上·四川乐山·阶段检测）如图，平行六面体各棱长为，且，动点在该几何体内部，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（5）（24-25高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量是空间中不共面的三个向量，.
（1）若，求的值；
（2）若四点共面，求的值.
（6）（24-25高二上·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点.
（1）若，求的值；
（2）设，，，求的值.
二、空间向量的数量积运算
知识点 1 空间向量的夹角
1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
2、夹角的范围：
通常我们规定：，且
（1）当、共线且同向时，； （2）当、共线且反向时，；
（3）当当、垂直时，即时，．
3、求两个向量的夹角有两种方法：
方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；（2）先求，再利用公式求，最后确定．
方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小．
知识点 2 空间向量的数量积
1、定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即．规定：零向量与任意向量的数量积是0．
2、数量积的几何意义
（1）类比平面向量，等于的长度与在方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上的投影的乘积．
（2）向量在向量上的投影向量
如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）．
（3）向量在平面上的投影
如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．
3、向量数量积的运算规律：
（1）； （2）（交换律）
（3）（分配律）
4、空间向量数量积的性质
设，是非零向量，是单位向量，则
①； ②；
③或； ④； ⑤
知识点 3 空间向量的模长
在空间两个向量的数量积中，特别地， 所以向量的模：．
将其推广：
题型一 空间向量数量积的计算
例1（1）（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（ ）
A．0 B．2 C．1 D．4
（2）（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
（3）（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
（4）（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（ ）
A．0 B． C． D．
（5）（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（ ）
A．0 B． C． D．
例2（1）（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
（2）（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（ ）
A．12 B． C．16 D．
（3）（25-26高二上·河南周口·阶段检测）如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（ ）
A．4 B．2 C．3 D．不确定
（4）（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
（5）（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则__________.
例3（1）（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设．
（1）试用向量表示向量；
（2）若，求的值．
（2）（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设．
（1）试用向量表示向量；
（2）若，求的值．
（3）（24-25高二上·福建南平·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点.
（1）若，求的值；
（2）求的值.
（4）（24-25高二上·辽宁·期中）在正四棱台中，.
（1）若，四棱台的体积为，求该四棱台的高；
（2）若，求的值.
（5）（25-26高二上·贵州遵义·阶段练习）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．
（1）设，，，用表示；
（2）若，求．
题型二 空间向量的夹角运算
例4（1）（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
（2）（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
（3）（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
（4）（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
例5（1）（多选题）（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．异面直线与所成的角为 D．
（2）（多选题）（24-25高二上·辽宁锦州·期末）平行六面体的底面是正方形，，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点在平面内
C． D．直线与所成角的余弦值为
（3）（多选题）（25-26高二上·安徽·阶段检测）在平行六面体中，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．直线与所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为
（4）（多选题）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．与所成角的余弦值为 D．
（5）（多选题）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为
题型三 空间向量模长的运算
例6（1）（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则______.
（2）（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，， ，则线段的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．
（3）（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（ ）
A． B．7 C．8 D．9
（4）（25-26高二下·江苏苏州·期中）线段在平面内，，且，则两点间的距离为（ ）
A．5 B． C． D．
（5）（25-26高二上·河南郑州·期末）在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
例7（1）（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（ ）
A．3 B． C． D．7
（2）（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（ ）
A． B． C． D．
（3）（25-26高二上·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
（4）（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
例8（1）（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点.
（1）设，试用向量表示；
（2）求线段的长度.
（2）（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，．
（1）试用，，表示向量，并求向量的长度；
（2）求；
（3）求异面直线与所成角的余弦值．
（3）（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，．
（1）用向量表示向量，并求的长度；
（2）设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由．
题型四 利用数量积求投影和投影向量
例9（1）（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
（2）（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______．
（3）（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
（4）（多选题）（25-26高二上·广西桂林·阶段检测）在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，，设二面角的大小为，，G为的重心，则下列选项正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则在平面PAC内的投影向量为 D．若，则
（5）（多选题）（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（ ）
A． B．
C． D．向量在方向上的投影数量为
（6）（24-25高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.
（7）（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
题型五 空间向量中的最值（范围）问题
例10（1）（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
（2）（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
（3）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是_________．
（4）（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知三棱锥的棱长均为4，点满足，则的取值范围为______．
（5）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
（6）（25-26高二上·广东江门·期末）如图所示，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且.已知的夹角是，，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
课后练习
1.（25-26高二上·安徽池州·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，在正四面体中，，是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
3.（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是（ ）.
A． B．1 C． D．6
4.（25-26高三上·山东临沂·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且与，与的夹角均为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
5.（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
6.（25-26高二上·福建厦门·期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7.（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
8.（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（ ）
A． B． C．1 D．
9.（24-25高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（ ）
A． B． C． D．
10.（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11.（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知平面与平面所成的二面角的大小为，，且，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．
12.（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使，且．已知，，，则线段的长为（ ）
A． B．6或 C．6 D．4或
13.（25-26高二上·安徽·期中）如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折到的位置，使得二面角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14.（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15.（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
16.（多选题）（25-26高二上·广东揭阳·期末）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则与的夹角是钝角
C．若向量是共面的向量，则也是共面的向量
D．若对空间中任意一点，有，则四点共面
17.（多选题）（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
18.（多选题）（25-26高二上·贵州·阶段检测）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
19.（多选题）（2026·山东济南·三模）若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（ ）
A．直线与是异面直线 B．
C．若，则 D．若为的中点，则
20.（多选题）（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）如果正方体的棱长为1，动点M满足,，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时，与所成角的最大正切值是
B．时，的最小值为
C．当时，所在的平面与平面所成夹角的正切值为
D．当时，M轨迹的体积为
21.（多选题）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知棱长为12的正四面体ABCD中，为CD中点，P、Q分别为四面体ABCD的内切球和外接球上的动点，则（ ）
A．|PQ|的最大值为 B．
C． D．若，则的最大值为
22.（多选题）（25-26高二上·广东深圳·期末）在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，对于任意，三棱锥的体积是定值
B．当时，平面截正方体所得的截面的面积为
C．若且，则当取得最小值时，
D．若，则三棱锥外接球表面积为
23.（25-26高二上·浙江绍兴·期中）已知为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则实数_____.
24.（25-26高二上·北京·期中）已知空间中三点与不重合，则使三点共线一个点的坐标可以是___________．
25.（25-26高二上·四川成都·期中）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，二面角的平面角为，则_____.
26.（25-26高二上·福建·期中）在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则______.
27.（25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.
28.（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）蚌埠又名“珠城”，《尚书•禹贡》中就有“淮夷蚌珠”的记载，这表明4000多年前的夏禹时代，蚌埠所在的淮河沿线就已是产珠之地，珍珠的镶嵌工艺亦历史悠久，在某工艺模型中，已知半径为1的球内切于正四面体ABCD，线段MN是球的一条动直径，点是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则的取值范围是__________．
29.（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，.
（1）若三点共线，求的值；
（2）若四点共面，求的最大值.
30.（25-26高二上·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，．
（1）证明：、、、四点共面；
（2）为的中点，求直线与所成角的余弦值．
31.（25-26高二上·广西河池·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若．
（1）求的值；
（2）求．
32.（25-26高二上·安徽·期中）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，.
（1）用向量，，表示，.
（2）为何值时，最小，最小值是多少？
（3）当时，证明：平面ABCD.
33.（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图所示的几何体是由正三棱锥和三棱柱组合而成，，，.
（1）当时，求二面角的余弦值.
（2）若该几何体的各个顶点可以在球的表面，
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）设的中点为，过点且垂直于的直线与球面交于，两点，若，，求.
1
学科网（北京）股份有限公司
$
空间向量及其运算
一、空间向量及其线性运算
知识点1：空间向量的有关概念
1、空间向量的有关概念
（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．
（2）几类特殊的空间向量
名称
定义及表示
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记为
单位向量
模为1的向量称为单位向量
相反向量
与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量
2、空间向量的表示
表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：
（1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点；
（2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.
知识点2：空间向量的加法、减法运算
1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量，
2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即
3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即
4、空间向量的加法运算律
（1）加法交换律： （2）加法结合律：
知识点3：空间向量的数乘运算
1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
2：数乘向量与向量的关系
的范围
的方向
的模
与向量的方向相同
，其方向是任意的
与向量的方向相反
3.运算律：分配律：；结合律：．
知识点4：共线向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．
在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点：
（1）零向量和空间任一向量是共线向量．
（2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．
注：（1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作：
（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中
3、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得.
与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量．这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。
4、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线
（1）存在实数，使成立.
（2）对空间任一点O，有.
（3）对空间任一点O，有.
知识点5：共面向量
1、共面向量定义：如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量平行与直线l．如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使
3.空间共面向量的表示
如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使．
或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
注：拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．
4.向量共面证明思路
（1）证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用，若用，则必须满足.
（2）判断三个向量共面一般用，
证明三线共面常用，
证明四点共面常用（其中）
题型一 空间向量的概念辨析
例1（1）（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（ ）
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件
C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等
【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确.选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确.选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确.选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误.故选：D.
（2）（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（ ）
A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面
【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确；对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误；
对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误；对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确.故选：D
（3）（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量
C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同
【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同，
所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误；对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确；对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误；
对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误.故选：B.
（4）（多选题）（25-26高二上·山东济南·期中）下列四个命题中，说法不正确的是（ ）
A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则
C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则
【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误.选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误.选项C：若，则，即，所以，说明反向共线；当共线时，①同向时，，②反向时，，所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确.选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误.故选：ABD.
例2（1）（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等
C．任意两个空间向量都共面
D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆
【详解】对于A选项，零向量与任意向量平行，A错；对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；对于C选项，任意两个空间向量，通过平移可以将起点重合，这两个向量所在直线能确定一个平面，因此任意两个空间向量都共面，C对；对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个单位球面，D错.
（2）（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（ ）
A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的
C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上
【解答过程】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误；零向量的方向是任意的，故B错误；相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确；
由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误.故选：C.
（3）（多选题）（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（ ）
A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线
B．若两个非零向量与满足，则
C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量
题型二 空间向量的线性运算
例3（1）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A：，不符合.对于B：，符合.对于C：，不符合.对于D：，不符合.
（2）（25-26高二上·安徽·期中）若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式不一定等于零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答过程】对于A，，故A不符合题意；对于B，，故B不符合题意；对于C，，结果不一定为零向量，故C符合题意；对于D，，故D不符合题意.故选：C.
（3）（25-26高二上·湖南·阶段检测）在四面体中，，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，作出符合题意的图形，
因为，所以，由空间向量的加法、减法和数乘运算法则得
，故A正确.故选：A
（4）（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】在四面体中，是的中点，则，因为，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：A.
例4（1）（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为又因为分别是棱的中点，所以.
（2）（24-25高二上·山西大同·期中）如图，在四面体中，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意得，，
，
∴.故选：C.
（3）（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】为正八面体，四边形为正方形；；
是的中点，，则，为的中点，四边形为平行四边形， ，.
（4）（25-26高二上·贵州黔东南·期末）在四面体中，，分别为棱，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图所示，
因为是CD的中点，所以，也即，
因此．故选：B．
例5（1）（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则______（用含有的式子表示）．
【详解】，因为是的中点，所以，但，而，所以.故答案为：
（2）（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则___________.
【详解】点为的中点，，，.故答案为：.
（3）（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由已知，
.故选：A
（4）（25-26高二上·河南濮阳·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】.因为，，，，所以
.故选：A.
（5）（2025·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】因为P是的中点，所以，又因为点Q在上，且，所以
，所以
（6）（25-26高二上·安徽·阶段检测）在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
，分别是线段，上靠近，的三等分点，
，，，，又，，，即
，故A正确．故选：A．
题型三 空间向量共线问题
（一）空间向量共线的判定
例6（1）（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误；
对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误；对于C，，则、、三点共线，选项C正确；对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误；故选：C.
（2）（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由长方体，可得，，所以四边形是平行四边形，所以，同理可得，又，分别为，的中点，所以，所以，所以向量平行于，因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，，又直线与相交，所以向量不平行于.
故选：B.
（3）（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（ ）
A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上
C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对
【详解】因为，所以，而，故，所以，所以，则点一定在直线上，故A正确.故选：A
（4）（24-25高三上·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答过程】若，则，故，所以，而共起点，故三点共线，若三点共线，则存在实数，使得，故，故，因为不共线，则不共线，故，故，故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件，故选：C.
（5）（多选题）（25-26高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（ ）
A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上
C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上
【详解】当时，，所以，则，即P在棱上，故A错误；
同理当时，则，故P在棱上，故B正确；当时，，所以，即，故点P在线段上，故C正确；当时，，故点在线段上，故D正确．故选：BCD．
（6）（2025·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（ ）
A． B． C． D．
【详解】若，则存在唯一实数使得，即，
所以，无解，所以不共线，则三点不共线，若，则存在唯一实数使得，即，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，，若，则存在唯一实数使得，即，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，，所以，又点为两向量的公共端点，所以三点共线.故选：D.
例7（1）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.
（1）用表示；
（2）求证：E，F，B三点共线.
解：（1）因为， ，所以，
所以；
（2）
，又与相交于B，所以E，F，B三点共线.
（2）（24-25高三上·山东临沂·阶段检测）如图，在正方体中，分别为棱的中点，．
（1）试用表示．
（2）证明：四点共面．
（3）证明：三点共线．
【详解】（1）依题意可得，
（2）连接．因为所以，则共面，故四点共面．
（3）连接．因为，
，所以，则．因为，所以三点共线．
（二）由空间向量共线求参数值
例8（1）（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）若向量，，且，则的值是（ ）
A． B．5 C．3 D．
【详解】因为，所以存在实数，使得，又，，
所以，，，解得，，，因此.
（2）（25-26高二上·安徽滁州·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【详解】由题意知，，因为三点共线，所以，
即，解得.故选：A.
（3）（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（ ）
A．1， B．，0 C．0，1 D．，0
【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足，因为为空间任一点，所以，即，因为，所以，解得，
因为存在三个不为的实数，使，所以，所以，即，所以.综上，，
（4）（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为.因为、、三点共线，所以.所以.故选：D
（5）平行六面体中，，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【详解】
，所以，故选：C.
题型四 空间向量共面问题
（一）空间向量共面的判断
例8（1）（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即，整理得：，令，则，即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和；对于 A：系数和，不满足共面条件，对于B：系数和，不满足共面条件，对于 C：系数和，满足共面条件，对于 D：系数和，不满足共面条件.
（2）（24-25高二上·安徽铜陵·阶段检测）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（ ）
A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面
C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面
【详解】因为，所以，即，故，因为，所以四点共面，C正确．另解：由已知得，所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确．故选：C．
（3）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【详解】已知不共面，逐一判断：A：，故，，共面.
B：，故，，共面.C：假设，整理得.即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面.D：，故，，共面.
（4）（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】对于A，设，，共面，则必有不全为0的实数，，使得，又，，不共面，所以，无解，所以，，不共面，故A不符合；对于B，设，，共面，则必有不全为0的实数，，使得，又，，不共面，所以，无解，所以，，不共面，故B不符合；对于C，假设，，共面，则必有不全为0的实数，，使得，又，，不共面，则，故，所以，，共面，故C符合题意；对于D，设，，共面，则必有不全为0的实数，，使得，又，，不共面，所以，无解，所以，，不共面，故D不符合.故选：C.
例9（1）（多选题）（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是；对于B，在中，，因此四点共面，B是；
对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是；对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是.
故选：ABD
（2）（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底，由，则必定共面，所以充分性成立；必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，，则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立.综上，该条件是充分非必要条件.故选：A.
（3）（多选题）（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则向量，，共面
B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面
D．若，则A，B，C，D共面
【详解】A：因为，，，所以，即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面，因此该选项命题正确；
B：假设，所以存在，使得成立，即，
因为空间向量，，不共面，所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确；
C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，而且，所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确；
D：，因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，而且，所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确.故选：AC
（4）（多选题）（25-26高二上·四川资阳·阶段检测）下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，都是直线的方向向量，则必有
B．为空间任意一点，若，且四点共面，则
C．若为不共线的非零向量，，，则
D．若向量是三个不共面的向量，且满足等式则
【详解】对于选项A:一条直线的方向向量有多个，它们是平行向量，方向相同或相反，模长可以不同，故选项A错误；对于选项B: 由题意可得:，所以，因为四点共面，所以由共面向量定理的推论可得，
即；故选项B错误；对于选项C:因为，所以，故选项C正确；对于选项D:假设存在不全为零的实数,，使得不妨设，则此时共面，与不共面矛盾，所以只有时，，故选项D正确．故选：CD.
（5）（24-25高二上·四川眉山·期中）在四棱柱中，，．
（1）当时，试用表示；
（2）证明：四点共面；
【详解】（1）四棱柱中，，因为，
所以；
（2）设（不为0），
，则共面且有公共点，则四点共面.
（6）（24-25高二上·河北·期中）如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．
（1）证明：B，E，G，F四点共面．
（2）记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值．
【详解】（1）证明：设为空间的一组基底，因为E，F分别为PA，PC的中点，所以，．又，所以
．故B，E，G，F四点共面．
（2）由正四棱锥的对称性知，，．设点E到平面PBG的距离为，点A到平面PBD的距离为，由E是PA的中点得．由，得，则．
（二）空间向量共面求参数
例10（1）（25-26高二下·江苏泰州·月考）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ）
A．1 B． C． D．
【解析】因为，所以，可化简为：
即 ，由于，，，四点共面，则，解得：；故选：C
（2）（2025·山西吕梁·高二统考期末）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【详解】因为，
所以，即．因为M是平面ABC上一点，所以，所以．故选：B.
（3）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知为空间任意一点，满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
解：因为满足任意三点不共线，但四点共面，所以，根据共面向量基本定理，存在，使得，因为，，，所以，即，因为，所以，，解得故选：B
（4）（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
【详解】因为，，，四点共面，所以，其中，所以，即；因为，所以，而不共面，则，即.故选：C
例11（1）（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【详解】由于点P与共面, 三点不共线,故存在实数，使得，
则,即， 而，故，解得，故选：A
（2）（25-26高二上·广东深圳·期中）空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由得，即，
由空间向量共面定理的推论可知，，解得．故选：C．
（3）（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）在直三棱柱中，，，.若点满足，且点在平面内，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为点在平面内，设，其中、，所以，整理可得，因为、、不共面，且，
所以，故，因此，故选：A.
（4）（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【详解】以为空间向量的一组基底，则
，因为，则，因为四点共面，所以，故．故选：B.
（5）（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（ ）
A． B． C． D．1
【详解】由，得，则，显然，否则，点共面，矛盾，因此，
由共面向量定理的推论，得，所以.故选：D
例12（1）（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】依题意，，在四棱台中，
，设，则四点共面，.故选：A
（2）（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则_____．
【详解】
由题意得，，
∵，，，∴，，，
∴，∵点四点共面，
∴，解得.故答案为：.
（3）（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）已知正方体，点，，分别在棱，，上，且，，，过，，三点的平面与棱相交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为点，，分别在棱，，上，且，，，
则，，
设，则，因为四点共面，所以共面．设存在实数，使得，所以，，，解得，．即，所以．故选：A．
（4）（25-26高二上·广东·期中）已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，由点为的中点，可得，所以.因为，所以点在平面内，
的最小值就是三棱锥的高，由，得，得.故选：C.
例13（1）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（ ）
A． B． C．9 D．4
【详解】因为四点共面，则有，由共面条件可得，，即，所以，当且仅当，即，即时，等号成立.故选A.
（2）（24-25高二上·广东广州·阶段检测）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】,因为四点共面，所以，注意到，从而.
当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：B.
（3）（24-25高二上·湖北·期中）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图所示，
延长，，至点，，，使得，，，
所以，又由，所以，，，四点共面，所以的最小值，即为点到平面的距离，因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半，又因为，所以三棱锥为正三棱锥，取等边的中心为，连接，，可得平面，
所以即为点到平面的距离，在等边，因为，可得，在直角中，可得，即点到平面的距离为，所以的最小值为.故选：C
（4）（24-25高二上·四川乐山·阶段检测）如图，平行六面体各棱长为，且，动点在该几何体内部，且满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，则，
即，由平面向量共面定理可知：点在平面内，则的最小值即为点到平面的距离，连接，，，，，，因为平行六面体各棱长为，且，所以，，所以三棱锥为正三棱锥如图所示，设中点为，过点作平面，则点为的中心，即在上，则，则，所以，故选：B.
（5）（24-25高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量是空间中不共面的三个向量，.
（1）若，求的值；
（2）若四点共面，求的值.
【详解】（1）由题可得：，
，因为，所以，即解得所以的值分别为；
（2）因为四点共面，所以存在，使得，即，于是有
所以，即的值为.
（6）（24-25高二上·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点.
（1）若，求的值；
（2）设，，，求的值.
【详解】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心，
∴，∴，，，∴.
（2）因为，且，，，所以，即，因为，，，共面，所以，即.
二、空间向量的数量积运算
知识点 1 空间向量的夹角
1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。
2、夹角的范围：
通常我们规定：，且
（1）当、共线且同向时，； （2）当、共线且反向时，；
（3）当当、垂直时，即时，．
3、求两个向量的夹角有两种方法：
方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；（2）先求，再利用公式求，最后确定．
方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)；
②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；
③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小．
知识点 2 空间向量的数量积
1、定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即．规定：零向量与任意向量的数量积是0．
2、数量积的几何意义
（1）类比平面向量，等于的长度与在方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上的投影的乘积．
（2）向量在向量上的投影向量
如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）．
（3）向量在平面上的投影
如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角．
3、向量数量积的运算规律：
（1）； （2）（交换律）
（3）（分配律）
4、空间向量数量积的性质
设，是非零向量，是单位向量，则
①； ②；
③或； ④； ⑤
知识点 3 空间向量的模长
在空间两个向量的数量积中，特别地， 所以向量的模：．
将其推广：
题型一 空间向量数量积的计算
例1（1）（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（ ）
A．0 B．2 C．1 D．4
由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且，所以，因为、、，所以，，，
又，代入得．
（2）（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（ ）
A．4 B．2 C． D．
【详解】在直四棱柱中，，，
,
.
（3）（25-26高二上·安徽亳州·期末）在三棱锥中，，且，且，若二面角的大小为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【详解】设的中点为，连接，如下图所示：
因为且，所以，又因为，二面角的大小为，所以；因此.故选：B
（4）（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【详解】根据空间向量共面定理：若点在平面内，且，则系数和满足，解得： ,已知正三棱锥侧棱长，底面边长,
在中，，故，得,同理在中，，故，得,展开：
（5）（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（ ）
A．0 B． C． D．
【详解】因为分别是的中点，所以，所以
.
例2（1）（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【详解】
分别是的中点，且，即，又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°，，故选：A.
（2）（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（ ）
A．12 B． C．16 D．
【详解】由平面，平面，得，由题可知，
.故选：B
（3）（25-26高二上·河南周口·阶段检测）如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（ ）
A．4 B．2 C．3 D．不确定
【详解】因为点在平面内，所以，又因为所以；又因为点在平面内，
所以，因为，所以，由空间向量基本定理得：，解得，即，所以，因为两两垂直，所以，所以，故选:B．
（4）（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可作图如下：
由，则，由共面，则，解得，所以
.故选：B.
（5）（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则__________.
【详解】设向量，则，所以，又由，，
所以.故答案为：.
例3（1）（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设．
（1）试用向量表示向量；
（2）若，求的值．
【详解】（1），．
．点为的中点，．
（2），
，，
．
（2）（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设．
（1）试用向量表示向量；
（2）若，求的值．
【详解】（1）解：因为，由向量的线性运算法则，可得：
.
（2）解：由，所以
.
（3）（24-25高二上·福建南平·期中）已知正三棱锥如图所示，其中，，点D在平面内的投影为点E，点F为线段上靠近B的三等分点.
（1）若，求的值；
（2）求的值.
【详解】（1）
，又，∴，，；
（2）由余弦定理得，易知；
故
，∴．
（4）（24-25高二上·辽宁·期中）在正四棱台中，.
（1）若，四棱台的体积为，求该四棱台的高；
（2）若，求的值.
【详解】（1）设该正四棱台的高为，则，解得.
（2）在正四棱台中，底面与底面均为正方形，且对应边互相平行，
所以，，
过作，垂足为，易得，所以，所以.故.
（5）（25-26高二上·贵州遵义·阶段练习）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．
（1）设，，，用表示；
（2）若，求．
【详解】（1）解：如图所示，连接，可得，因为为的中点，则，所以，所以
.
（2）解：因为，所以
，因为平面，平面，且平面,平面，所以，又因为，所以，所以.
题型二 空间向量的夹角运算
例4（1）（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为；又，所以，，设与的夹角为，则，又，所以.故选：B
（2）（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由图可得，，
设正四面体的棱长为，则
,结合题意可得.
因为两条异面直线的夹角的范围是，故直线与夹角的余弦值为.故选：D.
（3）（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面，则，由，，得，则，由，得E为的中点，则，由，得，则，因此＝，所以向量与的夹角的余弦值是.
（4）（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】设的棱长为2，分别是的中点，
则，夹角为，所以，
则，又为边长为2的等边三角形，，故选:C．
例5（1）（多选题）（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C．异面直线与所成的角为 D．
【详解】对于A：，故A正确；对于B：因为，所以
，所以，即，故B错误；
对于C：因为，，所以，所以为异面直线与所成的角，即异面直线与所成的角为，故C错误；对于D：因为，，
所以，所以，即，故D正确.故选：AD
（2）（多选题）（24-25高二上·辽宁锦州·期末）平行六面体的底面是正方形，，，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点在平面内
C． D．直线与所成角的余弦值为
【详解】对于A选项，如下图所示：
因为，所以
，，故A正确；
对于B选项，由题意可知、分别为正方形、的中心，所以，同理可得，所以，
所以
，所以，
所以、、共面，故点在平面内，B对；对于C选项，
，故，C错；
对于D选项，
，所以，
所以直线与所成角的余弦值为，D对.故选：ABD.
（3）（多选题）（25-26高二上·安徽·阶段检测）在平行六面体中，，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．直线与所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为
【详解】对于A，令，则，所以
，所以，故A错误；
对于B：
，故B正确；
对于C，因为，所以
，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，因为，
所以，取的中点，连接，因为，所以，则即为所求二面角的平面角，又因为，所以，故D正确．故选：BCD.
（4）（多选题）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．与所成角的余弦值为 D．
【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点，
因，
，则
，则，即，故A正确；
对于B，由A知，，则
，即得，故B正确；对于C，由A知，，，则
，则，
即与所成角的余弦值为，故C错误；对于D，由A项知，，，
则，故D正确.
（5）（多选题）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为
【解析】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1,则
而， 所以A正确.
=0,所以B正确.向量,显然 为等边三角形，则.所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确又，
则， 所以，所以D不正确.故选：AB
题型三 空间向量模长的运算
例6（1）（25-26高二上·江西九江·期末）在平行六面体中，若，，，则______.
【详解】因为，所以，即
设，
代入得，即，解得或（舍去），故.
故答案为：1
（2）（25-26高二上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，， ，则线段的长为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【详解】平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，，
，线段的长为，故选A.
（3）（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（ ）
A． B．7 C．8 D．9
【详解】依题意，，而，
所以.
（4）（25-26高二下·江苏苏州·期中）线段在平面内，，且，则两点间的距离为（ ）
A．5 B． C． D．
【详解】由，，，得，，得到，又所以，，，∴.
（5）（25-26高二上·河南郑州·期末）在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】
，
，，，
,
．
例7（1）（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（ ）
A．3 B． C． D．7
【详解】由图可知，且；所以
.所以.故选：B.
（2）（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（ ）
A． B． C． D．
【详解】点是的重心，以为起点，则
，
，，故选：D．
（3）（25-26高二上·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意可得，以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得，
，则：
.故选：C
（4）（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由，得，所以．由四点共面，知，解得．
又，，
∵，∴
．故选：B．
例8（1）（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点.
（1）设，试用向量表示；
（2）求线段的长度.
【详解】（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点，所以,，所以
.
（2）因为底面边长和侧棱长都等于2，所以，
所以
.
（2）（25-26高二上·新疆·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，．
（1）试用，，表示向量，并求向量的长度；
（2）求；
（3）求异面直线与所成角的余弦值．
【详解】（1）由平行六面体的性质可知，是的中点，，
，，，
．
（2．
（3），，，
又，
，，
异面直线与所成角的余弦值为．
（3）（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，．
（1）用向量表示向量，并求的长度；
（2）设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由．
【详解】（1）因为，
，
所以；
所以
，所以.
（2）假设存在满足条件，所以，因为，，三点共线，所以设，所以，所以，解得，故满足条件.
题型四 利用数量积求投影和投影向量
例9（1）（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
（2）（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______．
【详解】由于在上的投影向量为，则，即，即，由，则，所以，于是．故答案为：
（3）（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】， ，则
，
，
故.故选：A.
（4）（多选题）（25-26高二上·广西桂林·阶段检测）在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，，设二面角的大小为，，G为的重心，则下列选项正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则在平面PAC内的投影向量为 D．若，则
【详解】对于A选项，因为，所以，故A正确.
对于B选项，如图，取中点，过作且，连接，则平面.
因为△为正三角形，所以，，因为，所以，所以，所以二面角的平面角为，则.
，则，则，因为，，，，，所以
，所以，故B不正确.对于C选项，若，则平面平面，由于平面平面，平面且，所以平面PAC，所以在平面PAC内的投影向量为，故C正确.对于D选项，若，则为等边三角形，.
因为，所以
，所以，故D正确.故选：ACD
（5）（多选题）（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（ ）
A． B．
C． D．向量在方向上的投影数量为
【详解】对于A：由，可得，则，所以A正确；对于B，由
，所以，所以B错误；对于C，，所以C正确；
对于D，向量在方向上的投影数量为，所以D错误；故选：AC.
（6）（24-25高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.
【详解】平面，则，
向量在上的投影向量为故答案为：.
（7）（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【详解】过点分别作垂直，垂足分别为，因为平面，平面，所以，所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为，
因为，所以，设，则，所以，又，点为棱上靠近点的三等分点，所以，所以，所以.
题型五 空间向量中的最值（范围）问题
例10（1）（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）在正三棱柱中，，点为侧面内的一点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【详解】如图所示，取的中点，连接，则，，两式平方后相减可得，即，其中，故，
故当取得最小值时，取得最小值，当位于矩形的中心时，取得最小值，最小值为等边的中线长，即，故.
故选：B
（2）（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长，所以，所以，又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以
所以，所以，所以的最大值是.
（3）（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是_________．
【详解】依题意，设，其中，
.
因此的最大值是1.故答案为：1.
（4）（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知三棱锥的棱长均为4，点满足，则的取值范围为______．
【详解】分别取，的中点，，则，即，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面．
又，因为三棱锥的棱长均为4，所以三棱锥是正四面体，其每个面均为边长为的正三角形.所以，.因为，所以，.所以的取值范围为．故答案为：．
（5）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
【详解】
设，，，则，，由，因，，则，代入整理得，，显然，故，因，故当时，取得最大值，此时取得最小值为36，故的最小值为6.故选：B.
（6）（25-26高二上·广东江门·期末）如图所示，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且.已知的夹角是，，则线段的长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，且，的夹角为，且，，设，则且，由，可得
， 又由，所以，所以，即线段的长度的取值范围为.故选：A.
课后练习
1.（25-26高二上·安徽池州·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为向量，，所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.故选：B．
2.（25-26高二上·河北·阶段检测）如图，在正四面体中，，是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】连接,延长交于，因为是的重心，所以是的中点，
.故选：A
3.（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是（ ）.
A． B．1 C． D．6
【详解】由四点共面，则存在实数，使得，可得，即，可得，因为，即，所以，解得.故选：C.
4.（25-26高三上·山东临沂·期末）如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且与，与的夹角均为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】由图可知：，且，则由题意可得：，
因为，则
，所以.故选：B．
5.（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【详解】连接交于点，连接，在正四棱锥中，且为的中点，
则，，即，则，即，则，由题意，四点共面，则，解得.故选：A
6.（25-26高二上·福建厦门·期中）已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【详解】根据题意为正四面体，两两成角，所以，所以，所以
．
7.（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且，
∴.∵为的中点，∴，∴．故选：A.
8.（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（ ）
A． B． C．1 D．
【详解】设，，由，所以，因为，所以，
，所以，直线与BM所成角的正弦值为.故选：C
9.（24-25高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接,因为平面，平面，设，则，又平面，所以平面，故K为与平面的交点，又因为与平面交于点F，所以F与K重合，又E为的中点，G为平面的重心，因为点A，F，G三点共线，则
又因为点E，F，H三点共线，则，,
所以，解得，即，故.故选：C.
10.（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）若空间向量、满足，则在方向上投影向量的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为空间向量、满足，所以，故，故在方向上的投影向量为，故在方向上投影向量的长度为，当且仅当时，即当时，等号成立，故在方向上投影向量的长度的最小值是.故选：B.
11.（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知平面与平面所成的二面角的大小为，，且，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．
【详解】∵平面与平面所成的二面角的大小为，，
∴的夹角为，，，
因为， 所以
，故.故选：A.
12.（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使，且．已知，，，则线段的长为（ ）
A． B．6或 C．6 D．4或
【详解】由题意知，，，
∴，∵两条异面直线，所成的角为，∴的夹角为或，∴或，所以或，则或．
13.（25-26高二上·安徽·期中）如图，是直角三角形，，，边上有一点，满足，将沿翻折到的位置，使得二面角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，，则，如图，作，，垂足分别为点、，连接，
则，所以，由图可知，，，，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.故选：C.
14.（25-26高二上·河南洛阳·期中）在棱长为4的正方体中，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为球是棱长为的正方体的内切球，是球的直径，所以，，，因为
，又因为点是正方体表面上的一个动点，所以当为正方体顶点时，有最大值为；当为内切球与正方体的切点时，有最小值为，即，，所以，故选：B.
15.（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
【详解】取，，，所以，，，则
，，设，
又，所以，由于共面，故存在使得，所以，解得，
故.故选：A.
16.（多选题）（25-26高二上·广东揭阳·期末）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若，则与的夹角是钝角
C．若向量是共面的向量，则也是共面的向量
D．若对空间中任意一点，有，则四点共面
【详解】对于A，因空间中任意两个向量是共面的，故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；对于B，若，则与的夹角是钝角或者平角，故B错误；对于C，若是共面的向量，则存在实数使得，即，则向量是共面的向量，故C正确；对于D，因为，，所以由空间向量共面的推论可知四点共面，故D正确.故选：ACD
17.（多选题）（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间四边形中，已知为的重心，分别为边的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】
选项A：取中点，则是的一条中线，重心为，则，
，，
，故A正确；选项B：已知是中点，是中点，，故B正确；
选项C：，故C错误；选项D：，
，是中点，
，故D正确．故选：ABD．
18.（多选题）（25-26高二上·贵州·阶段检测）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【详解】如图，设，则，所以，，，
又，，所以，因为，所以的值可能为4和5.故选：BC.
19.（多选题）（2026·山东济南·三模）若、是两条互相垂直的异面直线，、、、是四个不同的点，满足、，、，且，，，则（ ）
A．直线与是异面直线 B．
C．若，则 D．若为的中点，则
【详解】如下图所示：
对于A选项，若、共面，则、、、四点共面，即直线、共线，即直线、共面，这与题设条件矛盾，故直线与是异面直线，A对；
对于B选项，由题意可知，，，所以
，B错；对于C选项，，所以
，故，C错；对于D选项，由题意可知，，
又因为，、平面，所以平面，因为平面，所以，因为为的中点，所以，同理可证，故，D对.
20.（多选题）（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）如果正方体的棱长为1，动点M满足,，那么下列说法正确的是（ ）
A．当时，与所成角的最大正切值是
B．时，的最小值为
C．当时，所在的平面与平面所成夹角的正切值为
D．当时，M轨迹的体积为
【详解】
当时，则，得，
得，则点的轨迹为线段，与所成角为∠BAM，其最大正切值是=，所以A正确;当时，因为，所以四点共面，则M点在三角形的边上及其内部，所以的最小值为≠，所以B错误;当时，得，则M在线段上运动，所以所在的平面为，因为平面与平面平行，所以所在平面与平面所成夹角即为所在平面与平面的夹角.
取的中点为O，连接，由于，则，
得为所在平面与平面的夹角，则，所以C正确;
当时，M的轨迹为以A为球心，半径为的球与正方体所交成的八分之一球，
所以M的轨迹的体积为，所以D正确.故答案为：ACD
21.（多选题）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知棱长为12的正四面体ABCD中，为CD中点，P、Q分别为四面体ABCD的内切球和外接球上的动点，则（ ）
A．|PQ|的最大值为 B．
C． D．若，则的最大值为
【详解】将此正四面体ABCD放入正方体中，如图，则该正方体棱长为，该正方体与正四面体ABCD的外接球相同，且球心为正方体的中心，外接球直径为正方体体对角线，则外接球半径，由正方体性质可证平面，设与平面交点为，可得为的三等分点，正四面体ABCD内切球半径为.A选项，当三点共线且在之间时，的最大值为，故A正确；B选项，，
，由于，则，故B正确；C选项，，同理，故C错误；D选项，设为平面内一点，，则，由于的最大值为，则当最小时，有最大值，最小即为点到平面的距离，由于为CD中点，则点到平面的距离为点D到平面的距离的一半，而点D到平面的距离为，则最小为，则有最大值2，故D错误；故选：AB.
22.（多选题）（25-26高二上·广东深圳·期末）在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，对于任意，三棱锥的体积是定值
B．当时，平面截正方体所得的截面的面积为
C．若且，则当取得最小值时，
D．若，则三棱锥外接球表面积为
【详解】当时,即点在线段上运动，
点到平面的距离为定值，又，故A正确；当时，，故点为线段的中点，设的中点为,连接，平面截正方体所得的截面为梯形中，，易得其面积为,B正确；若,，,设的中点为,设的中点为，则，故点的轨迹为线段.易得,,如图：作关于的对称点，此时，即.故C错误；
若,，故点为线段的靠近C的三等分点，如图：设的中点为R，设的中点为S，连接，因为，则外接球的球心在上，设为,则，故在的中垂面上，又点为线段的靠近C的三等分，则点O为线段的靠近R的三等分点，所以故三棱锥外接球表面积为.故D正确故选：ABD
23.（25-26高二上·浙江绍兴·期中）已知为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则实数_____.
【详解】为空间中任意一点，三点不共线，且，若四点共面，则，解得
24.（25-26高二上·北京·期中）已知空间中三点与不重合，则使三点共线一个点的坐标可以是___________．
【详解】因为所以，，
当三点共线时，（）所以，即，因为与不重合，所以且，假设，则，所以使三点共线一个点的坐标可以是.故答案为：（答案不唯一）.
25.（25-26高二上·四川成都·期中）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，二面角的平面角为，则_____.
【详解】由条件知，，，又二面角的平面角为，则，所以
，所以.故答案为：.
26.（25-26高二上·福建·期中）在四面体中，Q为的重心，分别为侧棱PA，PB，PC上的点，若，，，PQ与平面EFG交于点D，则______.
【详解】连接如图，设中点为， ，连接，由共面可知，与平面的交点即与的交点.
因为，，，设，
则，设，则，故，故，解得，代入可得，即.由重心性质可得，设，又，则，故，解得.故，故.故答案为：.
27.（25-26高二上·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.
【详解】由题知，设，则，
又，且
，因为，，，四点共面，所以，
即，又因为，则，即，所以，所以，
所以，
所以，解得，故，所以，所以.故答案为：
28.（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）蚌埠又名“珠城”，《尚书•禹贡》中就有“淮夷蚌珠”的记载，这表明4000多年前的夏禹时代，蚌埠所在的淮河沿线就已是产珠之地，珍珠的镶嵌工艺亦历史悠久，在某工艺模型中，已知半径为1的球内切于正四面体ABCD，线段MN是球的一条动直径，点是正四面体ABCD的表面上的一个动点，则的取值范围是__________．
【详解】设内切球球心为O，可知O为MN的中点，则，，，所以，设正四面体ABCD的棱长为a，外接球半径为R，如图所示，可知H为正三角形ABC的外心，则，
在和中，，解得，，
设正四面体ABCD的内切球半径为r，内切球半径为图中OH，
所以，解得，又的最大值为外接球半径R，最小值为内切球半径r，所以，进一步可得，即的取值范围为．
29.（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，.
（1）若三点共线，求的值；
（2）若四点共面，求的最大值.
【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则，又，
，所以即，解得，所以；
（2）因为A，B，C，D四点共面，所以，即，于是有，
解得，即，所以，当，时，取到最大值.
30.（25-26高二上·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，．
（1）证明：、、、四点共面；
（2）为的中点，求直线与所成角的余弦值．
【详解】（1）设，，，则、、不共面，由题意可得，，所以，又因为直线、不重合，所以，故、、、四点共面.
（2）由题意可得，，由空间向量数量积的定义可得，
，同理可得，因为为的中点，所以，，
所以，故
，
，
，所以，因此直线与所成角的余弦值为.
31.（25-26高二上·广西河池·阶段检测）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是，为与的交点．若．
（1）求的值；
（2）求．
【详解】（1）
平行六面体所有棱长均为2，的模均为2，夹角均为，为与的中点，，，
，
．
（2），
，
，
，．
32.（25-26高二上·安徽·期中）如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，.
（1）用向量，，表示，.
（2）为何值时，最小，最小值是多少？
（3）当时，证明：平面ABCD.
【详解】（1）由题意得，，，，可知，则
.
（2）因，，，，则，则当时，有最小值，最小值为.
（3）当时，，则，
，所以，，因为AB，平面ABCD，，平面ABCD.，所以平面ABCD.
33.（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图所示的几何体是由正三棱锥和三棱柱组合而成，，，.
（1）当时，求二面角的余弦值.
（2）若该几何体的各个顶点可以在球的表面，
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）设的中点为，过点且垂直于的直线与球面交于，两点，若，，求.
【详解】（1）当时，正三棱锥为正四面体，取的中点，连接,
由于, 均为等边三角形，故,故为二面角的平面角，
,故，故二面角的余弦值为.
（2）（ⅰ）由于该组合体的顶点都在同一个球面上，因此三棱柱为直三棱柱，结合底面等边三角形，故三棱柱为正棱柱，设正三棱锥的底面的中心为，即为等边的中心，的中心为，则球心为的中点，设球半径为,,
在正三棱锥中，，
，，故，化简可得，
（ⅱ）由于，，故，则，由（ⅰ）可知球心到的距离为0，（因为），则为球的直径，故，故，由于是的中点，所以,，所以.
1
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
1
2
3
相关资源
示范课
由于学科网是一个信息分享及获取的平台，不确保部分用户上传资料的 来源及知识产权归属。如您发现相关资料侵犯您的合法权益，请联系学科网，我们核实后将及时进行处理。