专题 1.1.1 空间向量及其线性运算 专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册《知识解读•题型专练》

**基本信息** 以空间向量概念为起点，通过8类递进题型构建“概念-运算-应用”逻辑链，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量概念|4题|向量基本属性判断|概念生成基础| |加减运算|4题|几何体中向量分解|运算规则应用| |线性运算|5题|基底表示向量|运算深化训练| |线性运算求参数|3题|方程思想求未知量|运算与方程结合| |共线判定|4题|共线条件应用|空间共线逻辑构建| |共线求参数|5题|共线定理参数计算|判定到量化应用| |共面判定|4题|共面条件判断|空间共面逻辑构建| |共面求参数|5题|共面定理参数计算|判定到量化应用|

专题1.1.1 空间向量及其线性运算（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型 1··空间向量的有关概念 1 题型 2·空间向量的加减运算 2 题型 3·空间向量的线性运算 3 题型 4·由空间向量的线性运算求参数 4 题型 5··空间向量共线的判定 5 题型 6··由空间向量共线求参数或值 5 题型 7·空间向量共面的判定 6 题型 8··由空间向量共面求参数 6 题型 1··空间向量的有关概念 1．在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 2．在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 3．给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 题型 2·空间向量的加减运算 5．在三棱锥中，（　　） A． B． C． D． 6．在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 7．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 题型 3·空间向量的线性运算 9．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A．B． C． D． 12．如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 13．已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 题型 4·由空间向量的线性运算求参数 14．在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 15．若，其中，，为已知向量，则未知向量________. 16．在正四棱台中，，，，，，若平面，则_________．    题型 5··空间向量共线的判定 17．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 18．已知直线l的方向向量，若点是直线l上的点，下列点坐标中，也是直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 19．若直线平面，直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 20．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 题型 6··由空间向量共线求参数或值 21．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 22．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 23．在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 24．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 25．已知，，且，，不共面，若，则x，y的值分别为（    ） A．，8 B．，5 C．7，5 D．7，8 题型 7·空间向量共面的判定 26．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 27．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 28．下列条件中，使点与点一定共面的为（    ） A． B． C． D． 29．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型 8··由空间向量共面求参数 30．已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 31．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且 ，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 32．已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 33．在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 34．已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（    ） A．0 B．5 C．9 D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1.1 空间向量及其线性运算（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型 1··空间向量的有关概念 1 题型 2·空间向量的加减运算 3 题型 3·空间向量的线性运算 5 题型 4·由空间向量的线性运算求参数 8 题型 5··空间向量共线的判定 10 题型 6··由空间向量共线求参数或值 12 题型 7·空间向量共面的判定 13 题型 8··由空间向量共面求参数 15 题型 1··空间向量的有关概念 1．在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的性质及中位线的性质，分析即可得答案. 【详解】因为E，F分别是AB，的中点， 所以且，，， 所以与向量相反的向量为. 故选：C 2．在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用相等向量的定义，结合正方体的几何特征即可求解． 【详解】如图， 在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有. 故选：A 3．给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 4．下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确， 故选：D 题型 2·空间向量的加减运算 5．在三棱锥中，（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以. 6．在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 所以. 7．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 8．如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法及减法运算计算判断即可. 【详解】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 题型 3·空间向量的线性运算 9．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 10．如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【详解】连接， 由题意，得 ． 故选：D 11．如图，在四面体OABC中，为BC的中点，，且为OG的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意， , 故选：A 12．如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 13．已知三棱锥分别是的中点，是的中点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量线性运算，结合图形即可得解. 【详解】因为分别是的中点，是的中点， 所以，， 则. 故选：D. 题型 4·由空间向量的线性运算求参数 14．在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 【答案】 【分析】根据向量线性运算规则，用向量表示出，求出参数的值. 【详解】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 15．若，其中，，为已知向量，则未知向量________. 【答案】 【分析】由已知及向量的加减、数乘运算求未知向量即可. 【详解】由题设，则，故. 故答案为： 16．在正四棱台中，，，，，，若平面，则_________．    【答案】/0.75 【分析】画出图形，由题意平面，可以推理得出，再根据题目条件分别把这两个向量表示为，，由向量共线的条件即可求解. 【详解】如图所示：    连接，设，平面平面， 因为平面，且平面， 所以； 因为四棱台底面为正方形，且，， 所以，， 从而， 又因为，， 所以， ， 因为， 所以. 故答案为：. 题型 5··空间向量共线的判定 17．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 18．已知直线l的方向向量，若点是直线l上的点，下列点坐标中，也是直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据空间平行向量的坐标表示，结合方向向量的概念依次判断选项即可. 【详解】设. A：若点在直线上，有， 则不存在实数使得成立，即向量与不共线，故A不符合题意； B：若点在直线上，有， 则存在实数使得成立，即向量与共线，故B符合题意； C：若点在直线上，有， 则不存在实数使得成立，即向量与不共线，故C不符合题意； D：若点在直线上，有， 则不存在实数使得成立，即向量与不共线，故D不符合题意； 故选：B. 19．若直线平面，直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由题可得，根据空间向量共线的判定依次判断即可. 【详解】因为直线平面，直线l的方向向量为，平面的法向量为，所以， 对A，，不平行；对B，，不平行； 对C，，，故C正确；对D， 不平行. 故选：C. 20．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 题型 6··由空间向量共线求参数或值 21．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 22．已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 23．在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】根据三点共线得出，应用平行坐标关系计算即可求解. 【详解】由题意知，， 因为三点共线，所以， 即，解得. 故选：A. 24．已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 25．已知，，且，，不共面，若，则x，y的值分别为（    ） A．，8 B．，5 C．7，5 D．7，8 【答案】A 【分析】利用共线向量定理解决即可. 【详解】因为且，则存在实数，使得，即 ， 又因为，，不共面，则，解得. 故选：A 题型 7·空间向量共面的判定 26．已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 27．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量共面定理逐项判断即可得. 【详解】对A：因为，故共面，故A错误； 对B：因为，故，，共面，故B错误； 对C：因为，故共面，故C错误； 对D：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故D正确. 故选：D. 28．下列条件中，使点与点一定共面的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间共面向量定理以及其推论，看等式右边系数和是否为1，可判断A,B,C;根据空间向量共面定理即可判断D,得出正确答案． 【详解】对于可得，，由空间共面向量定理知，M、A、B、C一定共面，故A正确， 对于可知，系数和不为1，故M、A、B、C不共面，故B错； 对于，系数和 ，故M、A、B、C不共面，故C错； 对于，可得，系数和不为1，根据空间向量共面的推论可知M、A、B、C不共面，故D错； 故选：A. 29．若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的性质（不共面），对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果. 【详解】选项A，若，，共面，则存在实数使得， 故共面，与已知矛盾，故不共面，故A正确； 选项B，因为，所以，，共面，故B错误； 选项C，因为，所以，，共面，故C错误； 选项D，因为，所以，，共面，故D错误. 故选：A. 题型 8··由空间向量共面求参数 30．已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 31．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且 ，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 32．已知空间向量，若共面，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共面的性质进行求解即可. 【详解】共面， ， ，解得. 故选：C 33．在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，连接，由题设易得，进而得到，再根据四点共面求解即可. 【详解】连接交于点，连接， 在正四棱锥中，且为的中点， 则，，即， 则，即， 则， 由题意，四点共面，则，解得. 故选：A 34．已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（    ） A．0 B．5 C．9 D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量， 若向量不能构成空间的一个基底，则为共面向量， 所以存在实数使得， 即， 可得，解得. 故选：D. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $