专题01 空间向量线性运算及其综合运用（7大题型专练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以基底分解法和定理判定法为核心，系统构建空间向量线性运算的解题体系，覆盖从基础计算到综合应用的全题型逻辑链，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量线性运算|7题型（各含1典例+3变式）|基底分解法（非坐标系下向量分解）、定理判定法（共线/共面定理应用）|从线性运算概念到共线/共面定理推导，再到数量积综合应用，形成“概念-定理-应用”递进逻辑|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01空间向量线性运算及其综合运用参考答案 (题型突破举一反三) 题型01空间向量线性运算相送计算 E 典例精析 【典例1】【答案】A 【解析】 D B D B 因为征=4+4E=4+54G=瓜+4低+40) 所以正=+4码+号40=M+号6+号0 2 故选：A 上举一反 【变式1-1】【答案】A 【解析】在正四面体ABCD中，连接AO并延长交CD于E,由O为△ACD的重心，得E是CD的中点， 而M为枝D的中点，则OM=O+B+B丽=号正+西+D -c+列-西+-5+a5+ 3 6 故选：A 1/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C 【变式1-2】【答案】A 【解析】在平行六面体ABCD-ABCD中， 连接AC,如图所示： A B --- B 因为点E为CD,的中点，AB=a,AD=i,AA=c, 所以花=AC+C正=B+而+C可 =丽+D+c+可) =孤+而+号瓜+兮副 -孤+而+杯 1- 1- =2a+b+2C, 2 故选：A 【变式1-3】【答案】B 【解折】：G是。BC的垂心，÷G-号征 石-号亚-丽+c亚c-丽-网列c-网 3 3(21 +oc-30i, 31 3 2/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c=m+G-m++兮0c-0i-i++0c-++ 故选：B 题型02空间向量共线判定问题 三典例精析 【典例2】【答案】D 【解析】对于A,当a,6同向时，同--a-, 当a,反向时，d-=a+,放A错误： 对于B,若AB,CD共线，则ABIICD或A,B,C,D四点共线，故B错误； 对于C,若PB,PC共线时，则PA=PB+uPC可知A,B,C三点共线，+4不一定为1， 比如PB=2PC,PA=PB+2PC=4PC,可得A,B,C三点共线，必要性不成立，故C错误； 对于D,因为么B.C三点不共线，对空间任意一点0：若OP-01+0B+日0C, 2++日-1，所以可知P,4B,C四点共面，故D正确， 因为488 故选：D 三举一反目 【变式2-1】【答案】C 【解析】若a+B=l,则PA=aPB+(1-a)PC,故PA-PC=a(PB-PC), 所以CA=aCB,而CA,CB共起点，故A,B,C三点共线， 若A,B,C三点共线，则存在实数入，使得CA=CB, 故PA-PC=(PB-PC),故PA=PB+(1-2)PC, 因为P,B,C不共线，则PB,PC不共线，故元=a,1-元=B, 故a+B=1, 故“M+B=1”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C 3/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式2-2】【答案】A 【解析】因为m+n=1,所以m=1-n,而OP=mOA+nOB, 故OP=1-n)0A+nOB,所以Op-OA=n(OB-OA, 所以AP=nAB,则点P一定在直线AB上，故A正确， 故选：A 【变式2-3】【答案】C 【解析】对于A,对于空间中的任意向量，都有AB+BC=AC,不能说明三点共线，说法A错误； 对于B,若AB-BC=AC,则AC+BC=AB,而AC+CB=AB,据此可知BC=CB,即B,C两点重合， 选项B错误； 对于C,AB=-2BC,则A、B、C三点共线，选项C正确： 对于D,AB=BC,则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错 误： 故选：C 题型03空间向量共面判定问题 三典例精析 【典例3】【答案】C 【解析】若M在平面ABC内，则存在实数无，4，使得AM=元AB+4AC,即 OM-04=1(0B-0A)+OC-04) 整理得：OM=(1-元-4)0A+20B+u0C,令x=1-1-4,y=元，2=u,则x+y+2=1, 即点A,B,C不共线，O为平面ABC外一点，则M,A,B,C四点共面的充要条件是：存在实数x,y,2,使得 OM=xOA+yOB+zOC且系数和x+y+z=1: 对于A:系数和1+1+1=3≠1，不满足共面条件， 对于B:系数和3+(-2)+(-1)=01，不满足共面条件， 1113+2+1=1,满足共面条件， 对于C:系数和2+366 1,1_6+3+211 对于D:系数和l+2+66 ≠1，不满足共面条件。 4/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三举一反三 【变式3-1】【答案】B 【解析】对A,假设a=x(a+b列+y(a-c),即a=(x+y)a+x6-yc, x+y=1 则了x=0,显然无实数解，则与向量 不共面，故A错误； -y=0 a a+b,a-c 对B,因为5+c=(a+b)-(a-c),所以a+b,a-c,b+c共面，故B正确： 对C,假设b-c=m(a+b)+n(a-c),即i-c=(m+n)a+md-nc, m+n=0 则 m=1,显然无实数解，则与向量 不共面，故C错误： -n=-1 b-c a+b,a-c 对D,假设a+b+c=s(a+b)+(a-c),即a+i+c=(s+t)a+sb-tc, s+t=1 则 s=1, 显然无实数解，则 与向量 不共面，故D错误； -t=1 a+b+c a+b,a-c 故选：B 【变式3-2】【答案】B 【解析】由2OP=-OA+OB+20C,可得0P-0B=2(0C-0P)+0P-OA, 即BP=2PC+AP,根据平面向量的基本定理，可得AP,BP,PC共面， 又因为三个向量有公共点P,所以P,A,B,C四点共面： 故选：B 【变式3-3】【答案】C 【解析】若MA,MC共线，则MC=MA(a∈R), 又M=5-3W→M=5MA-W远→5，M=M丽，则.B关线， 3 与条件矛盾，故A错误： 同理若MB,MC共线，则MC=MB(∈R), 又派=5M-m与A=5m-3W→生)B=M,则M8共线， 5 5/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 与条件矛盾，故B错误： 根据空间向量的共面定理可知MA,MB,MC共面，即C正确，D错误， 故选：C 题型04共线向量定理推论及其应用 三典例精析 【典例4】【答案】B 【解析】以OAOB,OC为空间向量的一组基底， 则oP=30c+20N =0A+10B+30c 20 20 5 因为00=A0p,则00-01+0B+32oc 20 20 5 ++2=1,故2-9 因为4，B,C,Q四点共面，所以20+20+5 故选：B. 举一反王 【变式41】【答案】C 【解析】如图：连接DG交BC于H,则H为BC中点，连接AH,EH,AG, 因为AGc平面AHD,EHc平面AHD,设AG∩EH=K,则K∈EH,K∈AG, 又EHc平面BCE,所以K∈平面BCE,故K为AG与平面BCE的交点， 又因为AG与平面BCE交于点F,所以F与K重合， 又E为AD的中点，G为平面BCD的重心， 因为点A,R,G三点共线，则征=mG=m(aD+DG)=mAD+号D丽 n-nm0c-到 6/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =3m(D+B+4C) 又因为点E,P,H三点共线，则AF=xA所+yAE,(x+y=1), F=+y证-5丽+aC)+号而， mx 32 所以x+y=1,解得 ,即 ，故 m=上 32 3 AF-3AG 4 4 AG 4 故选：C B 【变式42】【答案】B 【解析】A,B,C三点共线，OA=20B+μOC,“2+4=1,解得4=-1， 又由20i+m0B+0c-0:得O1=-o5-0c, _m_”=l,则+m+n=0 由A,B,C三点共线知，元元 故选：B 【变式43】【答案】125 【解析】由题意可知 40=D+D0=D+DE=而+oB+丽)=D+D5+8c -而+B-D+兮c-号+号4c+号而， 2 12 所以x= = 4 故答案为：125 7/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05共面向量定理推论及甚应用 典例精析 1 【典例5】【答案】 【解折】PA-号P丽-元+名D-号P丽-PC+(P历-P丽号P历-xc+号PD, 3 1 因为4B,C,D四点共面，所以2x+ +1，解得= 举一反三 【变式5-1】【答案】6 【解析】因为么B.CD四点共面，所以+2=1，解得2=名 1 故答案为： 【变式5-2】【答案】7 【解析】由题知，设p所=pD则丽=P所-PE=APD-}P, 又所=所-死-丽-PA,且G=-F+G-丽-P+PG-所 3 丽i+c-丽=m元. 因为E,F,G,H四点共面，所以E丽=xEF+yEG, 即mABP网a写) 又因为DBC,则0-8C,即PD-PA=(PC-P丽). 所以PC=2PD-2PA+PB, 所o-写c-}A-丽+号而-名m. 31 3 8/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以m-网=P西-网传丽+而名网 (名jm++j丽+号而， 3 2x-6 2 30 2.1 3 6 所以 ,解得y 3= 丽=十D,所以D-品PD,所形号 PH 4 11 11 故答案为：7 【变式5-3】【答案】24 【解析】如图，设BC的中点为H,连接AH. H 因为点G为△ABC的重心，所以点G在线段AH上. 因为PG=m+4G=m+}研-Pm+号×（丽+4C) =mi+(+P丽++)-Pi+写P丽+元， 元=-ri+丽-P网)-六m+丽+ 3n 所以而+压+ 18n 32=24 去M.EF因齿天面，则a写，解和启子 故答案为：24 题型06空间向量数乘运算的实际运用 9/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 典例精析 1 【典例6】【答案】 【解析】 在四面体BCD中，棱AC:BD的中点分别为E”F,取BC的中点G,所以G=号DC=D, 2 GE=1BA=-1AB 2 所E-G+6E=D0=4a+6-20a+)-a-45. 又因为FE=a-46+k松所以k= 2 故答案为：一2 上举一反三 【变式6-1】【答案】1 【解析折】由空间内一点M满足SW=S-3沥+45C=2()S-3S亚+250， 可得号亚-号-亚+2c, 1 13 因为22+2=1，根据空间向量的基本定理，可得在平面1BC内存在一点D 使得50=号7-58+25c,所以W=50,即点D为5M的中点。 可得'M-ABc=',-ABC,所以三棱锥M-ABC和S-ABC的体积比值为1. 故答案为：1. 10/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D M 3 【变式6-2】【答案】4/0.75 【解析】如图所示： D C A B E 连接AC,设AC∩B,D,=F,平面AACC∩平面ABD=AF, 因为OE∥平面ABD,且OEc平面AACC, 所以OE∥AF: 因为四棱台底面为正方形，且AB=3√2,4B=2V2, 所以AC=6,AC1=4, 从而OE-0c+C正=}AC+CC, 又因为AC=6,AC1=4, 所以C+F=cc-号C, F-AC+CC+CF-2AC+CC 3 因为OE11AF, 1 所以=子=2=3 -124 故答案为：4 【变式6-3】【答案】V6 11/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【解析】由题设，可得如下三棱锥P-ABC的示意图，且AP⊥BP,BP⊥CP,AP⊥CP, E 又PA=PB=PC=1,即△ABC为边长为V2的等边三角形， 若E为AB中点，由PA-PC=CA,PB-PC=CB,则PD=CA+CB=2CE, dPD卡2x2x5-N6. 故答案为：√6 题型07空间向量数量积综合类问题 典例精析 【典例7】【解析】(1)类比到空间中，该命题为： 若O为平面ABC外一点，则点P在平面ABC内的充要条件是： 存在实数元、4、y,满足OP=OA+uOB+OC,且1+u+v=1. 证明：①若点P∈平面ABC, 由向量共面的充要条件知存在实数s、t使得AP=sAB+tAC, 由向量加减法得OP-OA=s(OB-OA+(OC-0A, 整理得OP=(1-S-t)0A+sOB+1OC, 令1=1-s-t,4=S,v=t,则OP=0A+uOB+0C,其中元+u+v=1. ②反之，若己知OP=0A+40B+vOC,且元+u+v=1. 则OP=(1-u-v)OA+uOB+vOC】 整理得0P-OA=4(OB-OA+v(OC-OA, 即AP=AAB+vAC, 根据向量共面的充要条件知AP、AB、AC共面，即A、B、C、P共面， 所以点P在平面ABC内. 12/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 综上所述，若O为平面ABC外一点，则点P在平面ABC内的充要条件是： 存在实数元、4、v,满足OP=0A+uOB+vOC,且+u+v=1. (②0油《)的结论如2x+宁1，从-日 从而0p=0a+08+0c, 4 由已知OA=0B=0C-2,OAOB=OB.0C=2,OA·0C=1得 0m.oi=4oi+0i.0+oc.o-}×4+5×2+x1=9 4 4 ②因为o=om-(4oi+05+ocj 6oi+o+6oc+2goi.ae+。oioc+o.oc -×4 +x4+ 16 4 16 u例要 上举一反三 【变式7-1】【解析】(1)AA.DC=AM.AB=5×4×cos60°=10 (2)证明：因为AF·DB=Af:(AB-AD)=AA.AB-AAD =5×4×c0s60°-5×4×c0s60°=10-10=0， 所以AA⊥DB (3)因为AC=AC-AA=AB+AD-AA, C=(AB+AD-AA)=4B'+AD+A4+24B.AD-24B.A4-24D.A4. =16+16+25+0-2x4×5x）2x4x5x7. 2 所以AC=V17 13/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【变式7-2】【解析】(1)由平行六面体的性质可知CC=A4=c, M是CC的中点， .CM-LcC, 4=4c+cW-(B+8c+oc-a+5+, AB⊥AD, .a.b=0, 2 时+f+4f+0+问5os60+国s0-vy44+子+2x3+2x3 1√65 2 (②44=ca+6+j=ca+c-6+2e2-cos60+月6cs60+ ,1.921 =3x2×2+3x2x2+22: (3)..BC=B,AC=a+b+6, BcAC=6-(a+i+c)=万a+2+i-c=0+4+2x3×}=7, 2 又BC=2,AG=Va+万+c'=后2+i2+c2+2a万+2a-c+26d =d+5++2d-56lcos90+2dcos60+25cos60 444+9+0+2x2x3×号+2x2x3x-2四. ∴.cos BC,AC= BC.AC77√29 BC AC 22958, 7√29 :异面直线BC与AC所成角的余弦值为58， 14/16 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式7-3)【解析】(1)因为M0=xMG+yMN(,y∈R),点Q在平面MGN上， 如图，分别取AB,CC,CD的中点E,F,O, D G A B B 连接OG,OF,FN,EN,AD,OE,NG, 因为M,G分别为A4,AD的中点，故MG∥AD, 又由正方体ABCD-4BCD可得D0=DG,G-4B,DC∥AB,DG=B, 故D,O∥AE,DO=AE,故四边形DOEA为平行四边形，故AD,∥OE, 故MG∥OE,故M,G,O,E四点共面，同理可证M,G,N,E四点共面， 故M,G,O,N,E五点共面，同理可证G,O,N,F四点共面， 故六点共面，由正方体的对称性可得六边形为正六边形 故点Q的轨迹是正六边形OFNEMG, 因为正方体ABCD-ABCD的棱长为4，所以正六边形OFNEMG的边长为2V2, 所以点0的轨迹围成图形的面积是S=6x×22x22×sn60=125, (2)如图，根据向量数量积的几何意义可得 当Q位于O时，此时MQ在MG上的投影最大， 故MG.Mo=MGxM@cos∠0MuG =22xM@cos∠QMG≤2V2×MOcos30°=2V2×2V6.cos30°=12， :.MG-M@的最大值为12. E M G 15/16 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16/16 专题01 空间向量线性运算及其综合运用 （题型突破·举一反三） 题型 1：空间向量线性运算相关计算 题型 2：空间向量共线判定问题 题型 3：空间向量共面判定问题 题型 4：共线向量定理推论及其应用 题型 5：共面向量定理推论及其应用 题型 6：空间向量数乘运算的实际运用 题型 7：空间向量数量积综合类问题 空间向量线性运算是将立体几何问题代数化的核心工具，解题核心在于向量的分解转化与定理的精准应用，常用解题方法如下： 一是基底分解法。选取空间中三个不共面的向量作为一组基底，利用三角形法则、平行四边形法则与数乘运算规则，将待求向量拆解为基向量的线性组合，把未知向量的运算转化为已知基向量的加减、数乘计算，这是线性运算最基础的解题思路。该方法适用于无明确垂直关系的几何体，无需建立坐标系，通过线性运算即可完成长度推导、平行关系验证等问题。 二是定理判定法。针对共线、共面类题型，直接套用共线向量定理与共面向量定理：证明两向量共线只需证存在实数λ使得二者满足倍数关系；证明三点共线或四点共面，可利用定理推论，通过系数和为 1 的线性表达式快速判定，解题时通过列方程求解参数即可完成验证。 题型01 空间向量线性运算相关计算 【典例1】（2026·高二·福建福州·期中）已知正方体为上底面的中心，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高二·辽宁·期中）已知在正四面体ABCD中，M为棱BD的中点，O为的重心，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高二·北京通州·期中）如图，在平行六面体中，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）在四面体中，点G是的重心，设，，，则（   ） A． B． C． D． 题型02 空间向量共线判定问题 【典例2】（2026·高二·河北邯郸·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，共线，则 C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件 D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 【变式2-1】（2026·高三·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（2026·高二·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【变式2-3】（2026·高二·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 题型03 空间向量共面判定问题 【典例3】（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·高二·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高二·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【变式3-3】（2026·高二·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 题型04 共线向量定理推论及其应用 【典例4】（2026·高二·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【变式4-1】（2026·高二·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【变式4-3】（2026·高二·安徽池州·期中）在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为___________. 题型05 共面向量定理推论及其应用 【典例5】已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【变式5-1】（2026·高二·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【变式5-2】（2026·高二·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    【变式5-3】（2026·高二·河南新乡·阶段检测）如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则______．    题型06 空间向量数乘运算的实际运用 【典例6】（2026·高二·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 【变式6-1】（2026·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为________． 【变式6-2】（2026·高二·陕西·阶段检测）在正四棱台中，，，，，，若平面，则_________．    【变式6-3】（2026·高二·北京·期中）三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，若，则________． 题型07 空间向量数量积综合类问题 【典例7】（2026·高二·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 【变式7-1】（2026·高二·河北邯郸·阶段检测）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【变式7-2】（2026·高二·新疆·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式7-3】（2026·高二·湖北十堰·期中）如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．    (1)求点Q的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量线性运算及其综合运用 （题型突破·举一反三） 题型 1：空间向量线性运算相关计算 题型 2：空间向量共线判定问题 题型 3：空间向量共面判定问题 题型 4：共线向量定理推论及其应用 题型 5：共面向量定理推论及其应用 题型 6：空间向量数乘运算的实际运用 题型 7：空间向量数量积综合类问题 空间向量线性运算是将立体几何问题代数化的核心工具，解题核心在于向量的分解转化与定理的精准应用，常用解题方法如下： 一是基底分解法。选取空间中三个不共面的向量作为一组基底，利用三角形法则、平行四边形法则与数乘运算规则，将待求向量拆解为基向量的线性组合，把未知向量的运算转化为已知基向量的加减、数乘计算，这是线性运算最基础的解题思路。该方法适用于无明确垂直关系的几何体，无需建立坐标系，通过线性运算即可完成长度推导、平行关系验证等问题。 二是定理判定法。针对共线、共面类题型，直接套用共线向量定理与共面向量定理：证明两向量共线只需证存在实数λ使得二者满足倍数关系；证明三点共线或四点共面，可利用定理推论，通过系数和为 1 的线性表达式快速判定，解题时通过列方程求解参数即可完成验证。 题型01 空间向量线性运算相关计算 【典例1】（2026·高二·福建福州·期中）已知正方体为上底面的中心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 因为， 所以. 故选：A 【变式1-1】（2026·高二·辽宁·期中）已知在正四面体ABCD中，M为棱BD的中点，O为的重心，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在正四面体ABCD中，连接并延长交于，由O为的重心，得是的中点， 而M为棱BD的中点，则 . 故选：A 【变式1-2】（2026·高二·北京通州·期中）如图，在平行六面体中，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在平行六面体中， 连接，如图所示： 因为点为的中点，， 所以 ， 故选：A. 【变式1-3】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）在四面体中，点G是的重心，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵G是的重心，∴. ， . 故选：B 题型02 空间向量共线判定问题 【典例2】（2026·高二·河北邯郸·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，共线，则 C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件 D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 【答案】D 【解析】对于A，当同向时，， 当反向时，，故A错误； 对于B，若共线，则或四点共线，故B错误； 对于C，若共线时，则可知A，B，C三点共线，不一定为1， 比如，，可得A，B，C三点共线，必要性不成立，故C错误； 对于D，因为三点不共线，对空间任意一点，若， 因为，所以可知四点共面，故D正确， 故选：D 【变式2-1】（2026·高三·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 【变式2-2】（2026·高二·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【解析】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 【变式2-3】（2026·高二·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 题型03 空间向量共面判定问题 【典例3】（2026·高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 【变式3-1】（2026·高二·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 【变式3-2】（2026·高二·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【解析】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 【变式3-3】（2026·高二·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【解析】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 题型04 共线向量定理推论及其应用 【典例4】（2026·高二·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 【变式4-1】（2026·高二·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 【变式4-2】已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【解析】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 【变式4-3】（2026·高二·安徽池州·期中）在四面体中，已知为线段上的点，为线段上的点，且，若，则的值为___________. 【答案】 【解析】由题意可知， ， 所以，所以. 故答案为：. 题型05 共面向量定理推论及其应用 【典例5】已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【解析】， 因为四点共面，所以，解得． 【变式5-1】（2026·高二·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【解析】因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 【变式5-2】（2026·高二·广东江门·期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    【答案】 【解析】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 【变式5-3】（2026·高二·河南新乡·阶段检测）如图，已知三棱锥，为的重心，点，为，的中点，点分别在上，，．若四点共面，则______．    【答案】24 【解析】如图，设的中点为，连接． 因为点为的重心，所以点在线段上． 因为 ， 所以， 所以． 若四点共面，则，解得． 故答案为： 题型06 空间向量数乘运算的实际运用 【典例6】（2026·高二·甘肃白银·期末）在四面体中，，，棱，的中点分别为，，若，则_____. 【答案】 【解析】 在四面体中，棱，的中点分别为，，取的中点，所以，， 所以， 又因为，所以. 故答案为：. 【变式6-1】（2026·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为________． 【答案】 【解析】由空间内一点满足， 可得， 因为，根据空间向量的基本定理，可得在平面内存在一点， 使得，所以，即点为的中点， 可得，所以三棱锥和的体积比值为. 故答案为：. 【变式6-2】（2026·高二·陕西·阶段检测）在正四棱台中，，，，，，若平面，则_________．    【答案】/0.75 【解析】如图所示： 连接，设，平面平面， 因为平面，且平面， 所以； 因为四棱台底面为正方形，且，， 所以，， 从而， 又因为，， 所以， ， 因为， 所以. 故答案为：. 【变式6-3】（2026·高二·北京·期中）三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，若，则________． 【答案】 【解析】由题设，可得如下三棱锥的示意图，且， 又，即△为边长为的等边三角形. 若为中点，由，，则， ∴. 故答案为： 题型07 空间向量数量积综合类问题 【典例7】（2026·高二·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若 为直线 外一点，则点 在直线 上的充要条件是：存在实数、 ，满足，且．” (1)请将该命题类比到空间中，并证明． (2)在四面体 中，已知，，．点 在平面 内，且满足． ①求的值； ②求的值． 【解析】（1）类比到空间中，该命题为： 若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、 ，满足，且． 证明：①若点平面 ， 由向量共面的充要条件知存在实数 、 使得， 由向量加减法得， 整理得， 令，，，则，其中． ②反之，若已知，且． 则， 整理得， 即， 根据向量共面的充要条件知、、共面，即 、 、 、 共面， 所以点 在平面 内． 综上所述，若 为平面 外一点，则点 在平面 内的充要条件是： 存在实数、 、，满足，且． （2）①由（1）的结论知，从而， 从而， 由已知，，得 ， ②因为 ， 所以． 【变式7-1】（2026·高二·河北邯郸·阶段检测）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【解析】（1）. （2）证明：因为 ， 所以. （3）因为， 所以， . 所以. 【变式7-2】（2026·高二·新疆·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）由平行六面体的性质可知， 是的中点， ， ， ， ， ． （2）． （3），， ， 又， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 【变式7-3】（2026·高二·湖北十堰·期中）如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．    (1)求点Q的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值． 【解析】（1）因为，∴点在平面上， 如图，分别取，，的中点， 连接 因为分别为，的中点，故， 又由正方体可得，，，， 故，，故四边形为平行四边形，故， 故，故四点共面，同理可证四点共面， 故五点共面，同理可证四点共面， 故六点共面，由正方体的对称性可得六边形 为正六边形． 故点的轨迹是正六边形， 因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为， 所以点的轨迹围成图形的面积是． （2）如图，根据向量数量积的几何意义可得 当位于时，此时在上的投影最大， 故 ， ∴的最大值为12． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $