空间向量与立体几何：空间向量共线问题与共面问题、空间向量数乘运算的几何表示专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量共线、共面及数乘运算几何表示，以题载知构建从基础到应用的逻辑链条，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量共线问题|3例+3变式|三点共线判断、共线参数求解|以共线定理为核心，衔接向量共线与点共线的转化| |空间向量共面问题|5例+5变式|四点共面判断、参数计算、充要条件分析|基于共面向量定理，拓展至多参数与最值问题| |数乘运算几何表示|3例+3变式|几何体中向量线性表示|结合中点、三等分点等位置关系，强化基向量表示应用|

空间向量与立体几何：空间向量共线问题与共面问题、空间向量数乘运算的几何表示专项训练 空间向量与立体几何：空间向量共线问题与共面问题、空间向量数乘运算的几何表示专项训练 考点目录 空间向量共线问题 空间向量共面问题 空间向量数乘运算的几何表示 考点一 空间向量共线问题 例1．（25-26高二上·江苏徐州·阶段检测）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 例2．（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·云南迪庆·期末）已知向量，，若，则______． 变式1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式2．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 变式3．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 考点二 空间向量共面问题 例1．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 例3．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测·多选）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二上山东青岛·阶段检测）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 例5．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 变式1．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 变式3．（25-26高二上·四川绵阳·期末·多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·上海·期末）已知空间中四个点，，若四点共面，则实数为_______. 变式5．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 考点三 空间向量数乘运算的几何表示 例1．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·山东淄博·期中）在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在四面体中，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高二上·江西抚州·期末）如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：空间向量共线问题与共面问题、空间向量数乘运算的几何表示专项训练 空间向量与立体几何：空间向量共线问题与共面问题、空间向量数乘运算的几何表示专项训练 考点目录 空间向量共线问题 空间向量共面问题 空间向量数乘运算的几何表示 考点一 空间向量共线问题 例1．（25-26高二上·江苏徐州·阶段检测）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 例2．（24-25高二上·福建厦门·期末）下列向量中与共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据（）可得，进行判断. 【详解】因为，所以C选项满足题意； 其他选项不存在，使写成该选项的形式，所以其他选项均不满足题意. 故选：C 例3．（25-26高二上·云南迪庆·期末）已知向量，，若，则______． 【答案】 【分析】由列式计算即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 即，解得， 所以. 故答案为：. 变式1．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题意可设，即， 所以，解得， 所以. 变式2．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 变式3．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 考点二 空间向量共面问题 例1．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 例2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 例3．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测·多选）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】空间向量基本定理及推论判断即可. 【详解】因为，结合平面向量的基本定理可知四点共面，所以A选项正确； 由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数，使得，且，显然B选项不正确，C选项正确； 化简，可得， 满足四点不共面，D选项不正确． 故选：AC 例4．（25-26高二上山东青岛·阶段检测）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 例5．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【分析】利用空间向量的共面定理建立方程，求解参数即可. 【详解】因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 变式1．（25-26高三上·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合共面向量与向量运算的性质，可得答案. 【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底， 由，则必定共面，所以充分性成立； 必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，， 则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立. 综上，该条件是充分非必要条件. 故选：A. 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用四点共面可得，由此解得，再利用基本不等式即可求解． 【详解】由题可知，存在实数，使得， 又，，，所以， 解得，，所以， 当且仅当时取等号． 变式3．（25-26高二上·四川绵阳·期末·多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 变式4．（25-26高二上·上海·期末）已知空间中四个点，，若四点共面，则实数为_______. 【答案】 【分析】由题意分析出向量共面，即存在唯一的有序实数对，使得，据此列出方程组，即可求出实数. 【详解】因为，， 所以. 若四点共面，则有向量共面， 即存在唯一的有序实数对，使得， 即， 所以，解得，所以实数为. 故答案为： 变式5．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知A,B,C三点不共线，对空间任意一点O，都满足.若A,B,C,D四点共面，则m＝______. 【答案】2 【分析】根据空间向量共面定理的推论求解. 【详解】因为A,B,C,D四点共面，所以3＋2－3m＋m＝1，解得m＝2. 考点三 空间向量数乘运算的几何表示 例1．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 例2．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 例3．（25-26高二上·山东淄博·期中）在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱柱的特征及空间向量线性运算的几何意义计算即可. 【详解】易知. 故选：C 变式1．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）如图，在斜棱柱中，与的交点为点，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算法则求解即可. 【详解】. 故选：A. 变式2．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在四面体中，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作出符合题意的图形，再利用空间向量的加法、减法和数乘运算法则求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，所以， 由空间向量的加法、减法和数乘运算法则得 ，故A正确. 故选：A 变式3．（24-25高二上·江西抚州·期末）如图，三棱锥中，，，，且，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的运算法则求解即可. 【详解】如图所示： . 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $