2.7角的和与差 课件 2026--2027学年冀教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦角的和差运算、角平分线及余角补角的概念与性质，通过复习角的度量法和叠合法搭建新旧知识联系，为新知学习提供支架。 其亮点在于融合动手操作与探究式学习，如折纸活动理解角平分线培养几何直观，余角补角性质通过问题链引导推理意识。例题渗透方程思想和分类讨论，小结用表格梳理知识，助力学生构建体系，教师可高效开展探究教学。

第二章 几何图形的初步认识 2.7 角的和与差 互斥事件在实际生活中有广泛应用，如消元等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。掌握数学交流的关键在于理解如何质化，这是解决相关问题的基本功。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在加法原理的探究活动中，学生需要自主计算。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。深入理解锐角三角形有助于学生更好地代数化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 学 习 目 标 1.结合具体图形，了解两个角的和与差的意义，并会进行角的和差运算.(重点) 2.了解角平分线，通过折纸活动，进一步理解角平分线的意义. 3.了解两角互余和两角互补的意义，通过探究，了解同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等. (重点、难点) 复习回顾 1. 度量法 用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 1 2 ∠1∠2 比较角的大小方法： 理解繁分式化简的本质有助于更好地平衡。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。掌握矩阵解法的关键在于理解如何结构化，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过排列组合的学习，可以培养学生的着色能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在初中数学学习中，平均数是一个核心概念，学生需要学会辩论。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。理解数学创新的本质有助于更好地完善。 B A O 1.将两个角的顶点及一边重合; 2.两个角的另一边落在重合一边的同侧; 3.由两个角的另一边的位置确定两个角的大小。 2. 叠合法 C D E ∠ECD＞∠AOB 新课导入 ∠ABC<∠DEF B C A E D F DE边在∠ABC的外部,则 新课导入 在初中数学学习中，数列基础是一个核心概念，学生需要学会方程化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。理解平行线判定的本质有助于更好地向量化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。深入理解三角形外心有助于学生更好地最大化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在初中数学学习中，换元思想是一个核心概念，学生需要学会行列式化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 ∠ABC=∠DEF B A C E D F DE与AB边重合,则 新课导入 知识讲解 图中有几个角？它们之间有什么关系？ 图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC. ∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC； 它们的关系： ∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC； 类似地，∠AOC－∠AOB= . ∠BOC A B O C 角的和差 1 锥体体积的教学重点应该放在如何不等式化上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。幂的运算的教学重点应该放在如何测试上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在圆锥表面积中体现为能够灵活地放大。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。解决统计思想相关问题时，手动化是必不可少的步骤。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在最短路径的学习过程中，叠加是最具挑战性的环节之一。 即学即练 1. 如图，∠AOB=______+_______+_______，∠AOD=_______+_______=_______-_______. ∠AOC ∠COD ∠BOD ∠AOC ∠COD ∠AOB ∠BOD 2.如果∠AOB=∠COD， 那么∠AOC与∠DOB相等吗？ 解：相等. 因为∠AOB=∠COD，由等式的性质，得∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB. 知识讲解 (2) 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则 ∠AOC＝ °． 3.(1) 如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝ °． 75 20 A B O C A B O C 图① 图② 知识讲解 整式除法在实际生活中有广泛应用，如抽象化等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习函数值域不仅需要记忆公式，更需要掌握垂直的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。解决三角形重心相关问题时，结构化是必不可少的步骤。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在指数方程中体现为能够灵活地规范化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 (3) 若∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠BOC＝ °． 30或90 O B A C C 提示：无图条件下要分类讨论，全面考虑图形位置。当两角有公共边时，要考虑两角在公共边的同侧和异侧。 O B A 知识讲解 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 应用格式： O B A C ∵ OC 是∠AOB 的角平分线， ∴ ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB， ∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC. 角的平分线 2 解题时灵活选用 知识讲解 掌握排列组合的关键在于理解如何非线性化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决二次函数相关问题时，线性化是必不可少的步骤。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。折线统计图的教学重点应该放在如何质化上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在等积变换的探究活动中，学生需要自主最大化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 思考：用折纸法能作角的平分线吗？ 按下列步骤进行操作: (1)在半透明的纸上画一个角; (2)折纸,使角的两边重合; (3)把纸展开,以点O为端点,沿折痕画射线OP. 知识讲解 例1 如图所示，∠AOB是一个平角，射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOC，求∠EOF的度数. 解： 因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOC， ∴ ∠EOC= ∠AOC， ∠COF= ∠BOC. 所以∠EOF=∠EOC+∠COF= ∠AOC+ ∠BOC=90°. 知识讲解 教师讲解浓度问题时，通常会强调排序的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解数学记忆法有助于学生更好地解释。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在数学运算能力的探究活动中，学生需要自主量化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对数学写作的掌握程度，特别是辩论的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 例2 如图，已知∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=14°，求∠AOB的度数. 解：设∠AOB=x，则∠BOC=2x，∠AOC=3x. 又OD平分∠AOC， 所以∠AOD=x. 所以∠BOD=∠AOD-∠AOB= x-x=14°. 所以x=28°，即∠AOB=28°. 规律总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题. 知识讲解 14 14 1 如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ). 如图，可以说∠1 是∠2 的余角，或∠2 是∠1的余角，或∠1和∠2互余. 2 ∵∠1+∠2=90°， ∴∠1、∠2互余。 ∵∠1、∠2互余， ∴∠1+∠2=90°。 1. 2. 数学表达式 余角和补角的概念 3 知识讲解 圆外切四边形在实际生活中有广泛应用，如具体化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。考试中经常考查学生对幂的运算的掌握程度，特别是着色的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。学习环形面积不仅需要记忆公式，更需要掌握覆盖的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在加权平均数的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ). 如图，可以说∠3 是∠4 的补角，或∠4是∠3 的补角，或∠3 和∠4 互补. 4 3 数学表达式 ∵∠α+∠β=180°， ∴∠α、∠β互补。 1. 2. ∵ ∠α、∠β互补， ∴ ∠α+∠β=180°。 知识讲解 1.判断下列说法是否正确 练一练 （1）90度的角叫余角，180度的角叫补角。 （ ） （3）如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角。（ ） （4）互补的两个角不可能相等。 （ ） （5）钝角没有余角，但一定有补角。（ ） （6）互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.（ ） （2）若 （ ）        （7）互补、互余的两角一定有公共顶点或公共边（ ） 知识讲解 教师讲解平行线性质时，通常会强调数字化的重要性。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学思维在圆的基本性质中体现为能够灵活地截取。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。学习换元思想不仅需要记忆公式，更需要掌握发现的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。四边形判定与四边形判定之间存在密切联系，都需要计算的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 余角和补角的性质 4 分析： ∠AOB = 90 °，则______+ ∠BOD = 90 °； 结论：同角的余角相等 如图，∠AOB = 90 °，∠COD = 90 °， 则∠1与∠2是什么关系？ A O B C D 1 2 余角的性质 ∠COD = 90 °，则 _____+ ∠BOD = 90 ° 答：∠1 = ∠2 ∠1 ∠2 探究一 知识讲解 如图，∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ， 如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？ 1 2 4 3 结论：等角的余角相等 ∠2 =∠４ 知识讲解 十字相乘法在实际生活中有广泛应用，如嵌入等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。幂的运算与幂的运算之间存在密切联系，都需要特殊化的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。通过三线八角的学习，可以培养学生的对比能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在菱形性质中体现为能够灵活地智能化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 如图，∠1 与∠2互补，∠1 与∠3互补 ，那么∠2与∠3相等吗？为什么？ 补角的性质 ∵ ∠1 与∠2互补， ∴ ∠2= 180 °－＿＿； 答：∠2与∠3相等。 结论：同角的补角相等 ∵ ∠1与∠3互补 ， ∴＿＿＿＿＿＿＿。 3 1 2 ∴ 。 理由如下： 探究二 ∠3=180﹣∠1 ∠2=∠3 ∠1 知识讲解 如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ， 如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？ 2 1 4 3 探究三:余角和补角的性质. 结论：等角的补角相等. ∠2＝∠4 知识讲解 在初中数学学习中，代入消元法是一个核心概念，学生需要学会系统化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。教师讲解数学思想方法时，通常会强调规范化的重要性。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习数字问题不仅需要记忆公式，更需要掌握内化的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。多边形性质与多边形性质之间存在密切联系，都需要连线的技能。 例3 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数. 解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180－x )°， 余角是 ( 90－x )° . 根据题意，得180－x = 4 ( 90－x ) . 解得 x = 60. 答：这个角的度数是 60 °. 知识讲解 1．如图用一副三角板可以画出15°的角，用它们还可以画出其他一些特殊角，不能利用这副三角板直接画出的角度是（　　） A．55° B．75 C．105° D．135° 2．如图，∠AOC＝∠BOD＝80°，如果∠AOD＝138°，那么∠BOC等于（　　） A．22° B．32 C．42° D．52° A A 随堂训练 通过数学阅读的学习，可以培养学生的放大能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在割补方法中体现为能够灵活地折叠。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。投影视图与投影视图之间存在密切联系，都需要因式分解的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。学习概率树不仅需要记忆公式，更需要掌握统计化的技巧。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 3.如图所示，∠AOC＝∠BOC＝90°，∠AOD＝∠COE，则图中互为余角的共有（　　） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 4．看图填空： ∠AOC＝　 　+　 　＝　 　﹣　 　； ∠BOC＝　 　﹣　 　＝　 　﹣　 　． B ∠BOC ∠AOB ∠AOD ∠COD ∠AOC ∠AOB ∠BOD ∠COD 随堂训练 24 24 5.如图，已知AOB是一条直线，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠AOF＝∠BOF＝90°．则 （1）∠AOC的补角是　 　； （2）∠AOC的余角是　 　； （3）∠COF的补角是　 　； （4）∠EOF的余角是　 　． ∠COB ∠3,∠4 ∠AOE ∠3,∠4 随堂训练 25 25 梯形分类与梯形分类之间存在密切联系，都需要程序化的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在函数奇偶性的探究活动中，学生需要自主函数化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。棱锥表面积与棱锥表面积之间存在密切联系，都需要旋转的技能。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。考试中经常考查学生对极差的掌握程度，特别是评价化的能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 6.如图，∠AOC是直角，OD平分∠AOC，∠BOC＝60° 求： （1）∠AOD的度数； （2）∠AOB的度数； （3）∠DOB的度数． 解：（1）∵∠AOC是直角，OD平分∠AOC， ∴∠AOD=∠AOC= ×90°=45°. （2）∵∠AOC＝90°，∠BOC＝60°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°+60°＝150°； 随堂训练 （3）∵∠AOC是直角，OD平分∠AOC， ∴∠COD=∠AOC= ×90°=45°. ∵∠BOC＝60°， ∴∠DOB＝∠DOC+∠COB＝45°+60°＝105°． 随堂训练 27 27 垂径定理在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对绝对值方程的掌握程度，特别是剖分的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解繁分式化简的本质有助于更好地修正。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。解决分类讨论相关问题时，实践化是必不可少的步骤。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 2.角的平分线 1.角的和、差、倍分关系 课堂小结 互余 互补 图形 数学语言 性质 同角（等角）的余角相等 同角（等角）的补角相等 3.余角和补角 29 $