第35讲 电容器　带电粒子在电场中的运动 讲义 -2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习教案聚焦电容器与带电粒子在电场中的运动核心考点，涵盖电容概念、动态分析（U不变与Q不变两类）、粒子直线运动、曲线运动及交变电场运动，按“概念规律-动态分析-运动模型-综合应用”逻辑递进，通过考点梳理、考向分类、方法指导、真题训练四环节，帮助学生构建知识网络与解题框架。 资料以科学思维为核心，创新设计对比表格（电容器动态分析）、推论总结（偏转运动）、v-t图像法（交变电场）等策略，如通过U不变与Q不变情境对比培养模型建构能力，结合分层练习（例题+变式+真题）实现精准突破，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

第35讲 电容器　带电粒子在电场中的运动 考点一 电容器 电容 知识点1 电容、电容器的概念 一、电容器　电容 1.电容器 （1）组成：由两个彼此绝缘又相距很近的导体组成。 （2）带电荷量：一个极板所带电荷量的绝对值。 （3）电容器的充、放电 ①充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能。 ②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能。 2.电容 （1）意义：表示电容器容纳电荷本领的物理量。 （2）定义式：C＝＝。 （3）单位：法拉（F），1 F＝106 μF＝1012pF。 （4）性质：表示电容器容纳电荷　本领的高低。 （5）决定因素：由电容器本身物理条件（大小、形状、极板相对位置及电介质）决定，与电容器是否带电及电压无关　。 3.平行板电容器 （1）影响因素：平行板电容器的电容与两极板的正对面积成正比，与电介质的相对介电常数成正比，与两极间的距离成反比。 （2）决定式：C＝，k为静电力常量。 知识点2 电容器的动态分析 1.电容器动态分析的两类问题的比较 分类 充电后与电池两极相连 充电后与电池两极断开 不变量 U Q d变大 C变小→Q变小、E变小 C变小→U变大、E不变 S变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 εr变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 分类 充电后与电池两极相连 充电后与电池两极断开 不变量 U Q d变大 C变小→Q变小、E变小 C变小→U变大、E不变（） S变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 εr变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 考向1 电容和电容器的概念 例1 （2025·内蒙古通辽·三模）除颤器通过在短时间内向心脏提供一定强度的电流，利用电击将心脏的电活动“清除”，以使心脏活动达到正常节律。在除颤器中，电容器是储存能量并在需要时能够快速释放能量的关键元件。某除颤器的电容C=200μF，电容器储存电能的电势差U=200V，电容器储存的能量可以通过公式计算，除颤器的放电时间一般在10毫秒到20毫秒。下列说法正确的是（    ） A．除颤器储存的电荷量为0.04C B．除颤器放电时的平均电流为2A C．除颤器储存的能量为2J D．除颤器放出能量的平均功率为4 kW 【变式训练1】（2026·江苏苏州·三模）两个带电的平行板电容器、用导线按如图所示方式连接，的电容是的倍，板间距相等，则（     ） A．所带电荷量是的 B．所带电荷量是的倍 C．极板间场强大小是的 D．极板间场强大小是的倍 【变式训练2】（2026·河南郑州·一模）把干电池、电阻箱、电容器、电流表、单刀双掷开关按图电路图连成实验电路并将电阻箱调到合适阻值。先使开关接1，电源给电容器充电，电容器充电完毕，断开开关，然后将开关接2，电容器放电。在放电过程中，电路中的电流大小为，电容器所带电荷量为，电容器两极板电势差为，电容器的电容为。下面关于、、、随时间的变化的图像，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（2026·安徽阜阳·二模）某电容器的外壳上标有“2.0μF　16V”的字样。该参数表明（　　） A．该电容器两端电压为8V时，其电容为1.0μF B．该电容器两端电压由电容器本身决定，与电容器带电荷量无关 C．该电容器正常工作时所带电荷量不超过3.2×10-6C D．给该电容器充电时，电压每升高1V，单个极板的电荷量增加2.0×10-6C 考向2 U不变的动态分析 例2（2026·河北·三模）为监测土壤湿度，某智慧农业系统采用电容式湿度传感器，其原理简化图如图所示，连接在电路中的平行金属板电容器的两极板插入土壤（视为电介质）中。已知土壤的相对介电常数随着土壤中含水量的增大而增大。闭合开关后，当土壤逐渐变干燥时，下列说法正确的是（     ） A．电容器的电容增大 B．电容器两板间的电压增大 C．电容器带的电荷量减小 D．通过电流表的电流方向为从到 【变式训练1】（2026·吉林长春·模拟预测）某湿度传感器利用平行板电容器测量空气湿度。电容器上极板（可移动）与固定支架间嵌入一种吸湿材料，当环境湿度增加时，吸湿材料体积膨胀，反之则体积缩小。将该电容器与恒压电源、电流表连接成如图所示的电路，闭合开关。下列说法正确的是（    ） A．空气湿度降低时，电容器的电容会变大 B．空气湿度降低时，极板间电场强度变大 C．空气湿度一定时，滑片向上移动，电容器所带电荷量会增加 D．保持滑片位置不变，若出现从到的电流，说明环境湿度升高 【变式训练2】（2026·辽宁·一模）如图是一种“跳跳小火箭”的实验装置：两块水平正对放置的薄木板用四根竹筷子固定，在两薄木板的内侧均贴上锡纸，并分别与直流稳压电源的正负极相连，在下板的锡纸上放置一个用锡纸裁剪的“小火箭”，接通电源后“小火箭”会上下跳动。忽略“小火箭”带电量对两极板电量和两极板间电场的影响，下列说法正确的是（　　） A．“小火箭”在向上运动的过程中，其电势能增大 B．通电后若改变两板间距离，则板上锡纸的电荷量随之改变，电荷量数值与极板距离成线性关系 C．通电后若断开电源，增大两板间距离，则两板间电场强度减小 D．通电后若断开电源，减小两板间距离，则两板间电压减小 【变式训练3】（多选）（2026·辽宁·模拟预测）我国科学家狄增峰团队成功研制出一种人造蓝宝石作为绝缘介质的晶圆，这种材料具有卓越的绝缘性能，即使在厚度仅为1纳米时也能有效阻止电流泄漏，为开发低功耗芯片提供了重要的技术支撑。如图所示，直流电源与一平行板电容器、理想二极管连接，电容器A板接地。闭合开关，电路稳定后，一带电油滴位于电容器中的P点恰好处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．该带电油滴带负电 B．B板下移，油滴将继续保持静止状态 C．减小极板间的正对面积，P点的电势升高 D．两板间插入人造蓝宝石的过程中，电路中有电流 考向3 Q不变的动态分析 例3（多选）（2025·黑龙江·二模）如图所示，用一个电源分别给两个中间为真空的平行板电容器充电。开始时，电键全部断开，然后将电键S1分别接到1、2两处，稳定后断开。两个电容器充电过程中电流强度随时间变化的情况如乙图所示，则下列说法正确的是（　　）    A．电容器的带电量 B．两个电容器两端的电压大小关系为 C．减小电容器C2的正对面积，闭合电键S1至1，电阻R1上有向左的瞬时电流流过 D．在电容器C1中间插入有机玻璃，闭合电键S2，电阻R2上有向右的瞬时电流流过 【变式训练1】（2026·黑龙江·模拟预测）地球表面与电离层之间有稳定的电势差，会在两者间的低空大气中形成电场，其电场强度即大气电场强度，晴天时方向多垂直地面向下，地面附近的电场分布如图所示，低空大气上表层与地面构成平行板电容器模型，忽略大气相对介电常数的变化，下列说法正确的是（     ） A．低空大气越厚，电容越大 B．若地面所带的电荷量不变，则低空大气越厚，大气电场强度越大 C．地面单位面积所带的电荷量越大，大气电场强度越大 D．地面单位面积所带的电荷量越小，地面上方的P点电势越高 【变式训练2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某实验小组在研究影响平行板电容器电容的因素的实验电路中，加入了一个电池，如图所示。开关S闭合后，静电计G的指针张开一个角度，两正对水平金属板A、B间有一带电油滴悬浮不动。忽略静电计G所引起的极板电荷量影响。下列说法正确的是（　　） A．若仅将B板水平左移少许，则油滴将向下运动 B．若仅将A板竖直上移少许，A板所带的电荷量不变 C．若断开S，仅将A板水平右移少许，则G的指针张角将变小 D．若断开S，仅将B板水平右移少许，则油滴将向上运动 考点二 带电粒子（体）在电场中的直线运动 知识点1 带电粒子（体）在电场中的直线运动 1.带电粒子（体）在电场中运动时重力的处理 基本粒子 如电子、质子、α粒子等，除有说明或明确的暗示外，一般都不考虑重力（但并不忽略质量） 带电体 如带电液滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示外，一般都不能忽略重力 2.带电粒子（体）在电场中直线运动的分析方法 考向1 带电粒子（体）在匀强电场中的直线运动 例1 （2026·安徽芜湖·二模）如图所示，来自电子源的电子初速度为零，经电压为U的电场加速后，形成一束柱状的电子流。若电子流横截面积为S，电子的比荷为k，元电荷为e，电子流形成的电流大小为I，则电子流单位体积内的电子数n表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·重庆江津·三模）细胞膜是由磷脂双分子层构成的富有弹性的半透膜（如图甲所示）。设运送粒子时，细胞膜内上、下表面的电荷量为定值，此时可将细胞膜视为面积很大的平行板电容器（如图乙所示），其间电场可视为匀强电场。某正粒子只在电场力作用下从膜的一个表面由静止开始运动到另一个表面，该过程中粒子运动的加速度大小a、运动时间t、到达另一表面时速度大小v、电场力做功W与膜两表面距离d的关系图像正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，匀强电场中有一个梯形，梯形平面与匀强电场的方向平行，，相互平行且均垂直于，，，，已知点电势为，点电势为，点电势为，则下列说法正确的是（　　） A．点电势为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．一电子由点到点再到点的过程中，电势能减少了 D．一正电荷由点无初速度释放，将沿着所在直线运动 【变式训练3】（2026·浙江·三模）如图所示，真空中放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，二板间电势差恒为U。现有一质量为m、电荷量为q（q>0）的微粒，固定在两极板中央O点。若微粒与极板碰撞前后瞬间速率不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。则（     ） A．若上板向右平移一小位移，微粒的电势能增大 B．若释放微粒，微粒第一次到达下极板所需时间 C．若释放微粒，微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小 D．微粒在二极板间来回运动一次，电源消耗的电能为Uq 【变式训练4】（2026·北京昌平·二模）如图所示，两块平行金属薄板A、B与恒压电源连接，两板中央各有一小孔，小孔分别位于M、N点，有一带电粒子在A板上方的O点由静止释放，粒子到达N点时速度恰好为零。M、N、O在同一竖直线上。不计空气阻力和电场的边缘效应。现将B板向下平移至N′点，在O点由静止释放的该粒子（　　） A．运动到N点返回 B．运动到N和N′点之间返回 C．运动到N′点返回 D．穿过N′点 考点三 带电粒子在电场中的曲线运动 知识点1 带电粒子在电场中的曲线运动 1.带电粒子在匀强电场中的偏转 （1）研究条件：带电粒子垂直于电场方向进入匀强电场。 （2）处理方法：类似于平抛运动，应用运动的合成与分解的方法。 ①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间t＝。 ②沿电场方向，做初速度为零的匀加速直线运动。 知识点2 带电粒子在电场中偏转的重要推论 推论1：如图所示，粒子从偏转电场中射出时，其速度的反向延长线与初速度方向交于一点，此点平分沿初速度方向的位移。 证明：由tan θ＝，y＝和x＝，知x＝。故O点平分了沿初速度方向的位移，所以粒子从偏转电场中射出时，就好像是从极板间处沿直线射出似的。 推论2：位移方向与初速度方向间夹角的正切值为速度偏转角正切值的，即tan α＝tan θ。 推论3：不同的带电粒子（电性相同，初速度为零），经同一电场加速后，再进入同一偏转电场，则它们的运动轨迹必定重合（与比荷无关）。 证明：带电粒子先经加速电场（电压U加）加速，又进入偏转电场（电压U偏），射出偏转电场时，偏移量y＝at2＝，速度偏转角的正切值tan θ＝，可见偏移量y和偏转角θ只与U加、U偏有关，与q、m无关，运动轨迹必定重合。 考向1 带电粒子在匀强电场中的偏转 例1 （2026·辽宁鞍山·模拟预测）如图所示水平放置的平行板电容器，两板间距为，电压恒为，两板间为匀强电场。为便于描述，以两板中心连线中点为坐标原点并建立如图平面直角坐标系。、分别为A、B两板与轴交点，点为一粒子源沿轴正向以速度发射出一个质量为、带正电粒子，粒子沿轴正向做匀速运动（粒子落到极板即被吸附，坐标轴不随极板转动）。则下列说法正确的是（　　） A．A板带正电，B板带负电，粒子的电荷量为 B．若两板以点为轴在纸面内逆时针转动，同时粒子速度方向变为与x轴正方向成向右上方，则粒子将做曲线运动 C．若A、B两板分别以、为轴在纸面内逆时针转动后，仍沿轴正向射入的粒子将做直线运动 D．若两板以O点为轴在纸面内顺时针转动，粒子由点以沿轴负方向射入，当其达到A板时增加的动能为，则粒子的初速度为 【变式训练1】（2026·黑龙江大庆·三模）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向上的匀强电场中，两个相同的带负电粒子a、b同时从O点以初速度射出，速度方向与水平方向夹角均为。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。当a到达最高点时，a、b间的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，空间存在大小为、方向竖直向下的匀强电场，一质量为、电荷量为的粒子以速度从连线上的点水平向右射出，已知与水平方向成角，粒子的重力可以忽略。则粒子到达连线上的某点时（　　） A．所用的时间为 B．速度大小为 C．与点的距离为 D．速度方向与竖直方向的夹角为 考点四 带电粒子在交变电场中的运动 知识点1 带电粒子在交变电场中的运动 1. 常见的交变电场类型：电压（或场强）波形：正弦波、矩形波、锯齿波等。 2. 交变电场中常见的粒子运动及分析思路 （1）粒子做单向直线运动：一般对整段或分段研究用牛顿运动定律结合运动学公式求解； （2）粒子做往返运动：一般分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理等求解； （3）粒子做偏转运动：一般根据交变电场特点分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理等求解。 3. 分析思路 （1）动力学观点：根据牛顿第二定律及运动学规律分析； （2）能量观点：应用动能定理、功能关系等分析； （3）动量观点： 应用动量定理分析。✨得分速记：带电粒子在交变电场中的解题技巧 1.分段分析法：把周期问题拆成匀变速小段，交变电场是分段均匀的，一个周期内电场不变的每一段都可以视为匀强电场，分段分析即可：对每一段分别分析受力（电场力的大小、方向），确定加速度和运动性质（加速/减速）；再用牛顿运动定律+匀变速运动公式逐段推导速度、位移，利用运动的周期性推得总结果。 2.v-t图像法：直观解决往返运动位移判定‌ 这是最实用的技巧，尤其适合判断粒子是否会打到极板上：根据分段加速度画出v-t图：加速度相同的过程是平行直线，面积表示位移，在t轴上方就是向正方向运动，下方就是反向运动；直接看面积的正负总和就能判断总位移方向：如果总位移一直向某一方向，最终会打到极板；如果总面积正负抵消，就是往复运动。 3.‌分方向合成：解决垂直入射的偏转问题‌ 如果粒子垂直电场方向入射（比如平行偏转板加交变电压），直接用运动分解： 垂直电场方向‌：不受力，一直保持匀速直线运动，运动总时间由极板长度和初速度直接确定； 沿电场方向‌：按交变电场分段分析加速度、速度变化，计算偏转位移即可。 4.‌功能辅助：电场力做功只和电势差有关，不涉及运动时间时：直接用动能定理求解末速度，不用分析中间过程的加速度变化，比动力学方法更简单。 考向1　带电粒子在交变电场中的直线运动 例1 （2025·浙江·一模）如图甲为直线加速器原理图。多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增加。序号为奇数的圆筒和交流电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交流电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）中央的一个电子，在圆板和圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1。若已知电子的质量为、电子电荷量为、电压的绝对值为、周期为，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。为使电子能量不断增大，则（　　） A．圆筒内的电场强度与其长度成反比 B．圆筒的长度与序号的平方根成正比 C．此加速器输出电子流的功率与圆筒总数的平方成正比 D．若圆筒间隙均为，考虑电子通过圆筒间隙的时间，则时刻进入的电子能达到的最大动能为 【变式训练1】 匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示。当时。在此匀强电场中由静止释放一个带正电的粒子，带电粒子只受静电力的作用，下列说法正确的是（　　） A．带电粒子将做往复运动 B．3s末带电粒子回到原出发点 C．3s末带电粒子的速度不为零 D．前3s内，静电力做的总功为零 【变式训练2】（2022·湖南常德·模拟预测）如图（a）所示，两水平平行正对的金属板M、N间距为d，加有如图（b）所示的交变电压。一质量为m、电荷量为q的带正电的微粒，时刻微粒在两板正中间的P点以速度v0平行金属板运动，3t0时间内粒子未到达极板。则在0~3t0时间内，下列说法正确的是（　　） A．时间内，微粒偏向N板运动 B．时，重力对微粒做功的瞬时功率为 C．0~2t0时间内，电场力对微粒做的功为 D．0~3t0时间内，微粒动能增量为 考向2　带电粒子在交变电场中的曲线运动 例2（2026·黑龙江哈尔滨·三模）在如图甲所示的平行金属板、上加如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压，其周期为，现有一电子时刻以平行于极板的速度从两板中央射入。电子比荷为，不计电子的重力，则（     ） A．若时电子恰好能从板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为 B．若电子恰能平行于极板飞出，则极板长可能是 C．若电子在时刻射出极板，两极板间距至少为 D．若电子恰能平行轴线方向飞出极板，两极板间距至少为 【变式训练1】（2026·湖南怀化·一模）如图甲，长4L、宽2L的光滑刚性绝缘矩形框内存在如图乙所示的交变电压，左边框上a点开有一小孔。时，质量m、电荷量Q的带电粒子（不计重力）以初速度v（未知）从a点水平射入，然后与上边框碰撞于b点。假设每次碰撞，粒子平行于边框的速度分量不变，垂直于边框的速度分量仅反向，电荷量不变。其中a、b均为中点，m、Q、T、L均为已知量，则（　　） A．粒子带正电 B．若粒子时刻到达b点，那么粒子有可能与下边框垂直碰撞 C．若粒子时刻到达b点，那么粒子无法从a点射出 D．粒子时刻到达b点时的电场强度为粒子时刻到达b点时电场强度的4倍 【变式训练2】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图（a），平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图（b）所示的方波形电压，时A板比B板的电势高，电压的正向值为，反向值也为。现有由质量为m的带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板方向的速度射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响。则下列说法错误的是（　　） A．粒子飞出电场时的速度大小都为 B．粒子飞出电场时的速度方向都改变了 C．粒子飞出电场时位置离的最大距离是 D．0时刻进入电场的粒子，向下侧移量为 【真题回顾】 1．（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A．具有不同比荷 B．电势能均随时间逐渐增大 C．到达M、N的速度大小相等 D．到达K所用时间之比为 2．（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1所示。从离子源S释放的正离子（初速度视为零）经电压为的电场加速后，沿方向射入电压为的电场（为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为d，关系如图2所示。长度为a的样品垂直放置在距极板L处，样品中心位于点。假设单个离子在通过区域的极短时间内，电压可视为不变，当时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．的最大值 B．当且时，离子恰好能打到样品边缘 C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大 D．在和时刻射入的离子，有可能分别打在A和B点 3．（多选）（2022·福建·高考真题）我国霍尔推进器技术世界领先，其简化的工作原理如图所示。放电通道两端电极间存在一加速电场，该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被电离的比例。工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力。某次测试中，氙气被电离的比例为95%，氙离子喷射速度为，推进器产生的推力为。已知氙离子的比荷为；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的相互作用，则（　　） A．氙离子的加速电压约为 B．氙离子的加速电压约为 C．氙离子向外喷射形成的电流约为 D．每秒进入放电通道的氙气质量约为 4．（2025·四川·高考真题）如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q（）的金属微粒，从两极板中央O点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。求： (1)微粒第一次到达下极板所需时间； (2)微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小。 5．（2025·江苏·高考真题）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度射出，速度方向与水平方向夹角均为。已知粒子的质量为m。电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求： (1) a运动到最高点的时间t； (2) a到达最高点时，a、b间的距离H。 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 第35讲 电容器　带电粒子在电场中的运动 考点一 电容器 电容 知识点1 电容、电容器的概念 一、电容器　电容 1.电容器 （1）组成：由两个彼此绝缘又相距很近的导体组成。 （2）带电荷量：一个极板所带电荷量的绝对值。 （3）电容器的充、放电 ①充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能。 ②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能。 2.电容 （1）意义：表示电容器容纳电荷本领的物理量。 （2）定义式：C＝＝。 （3）单位：法拉（F），1 F＝106 μF＝1012pF。 （4）性质：表示电容器容纳电荷　本领的高低。 （5）决定因素：由电容器本身物理条件（大小、形状、极板相对位置及电介质）决定，与电容器是否带电及电压无关　。 3.平行板电容器 （1）影响因素：平行板电容器的电容与两极板的正对面积成正比，与电介质的相对介电常数成正比，与两极间的距离成反比。 （2）决定式：C＝，k为静电力常量。 知识点2 电容器的动态分析 1.电容器动态分析的两类问题的比较 分类 充电后与电池两极相连 充电后与电池两极断开 不变量 U Q d变大 C变小→Q变小、E变小 C变小→U变大、E不变 S变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 εr变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 分类 充电后与电池两极相连 充电后与电池两极断开 不变量 U Q d变大 C变小→Q变小、E变小 C变小→U变大、E不变（） S变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 εr变大 C变大→Q变大、E不变 C变大→U变小、E变小 考向1 电容和电容器的概念 例1 （2025·内蒙古通辽·三模）除颤器通过在短时间内向心脏提供一定强度的电流，利用电击将心脏的电活动“清除”，以使心脏活动达到正常节律。在除颤器中，电容器是储存能量并在需要时能够快速释放能量的关键元件。某除颤器的电容C=200μF，电容器储存电能的电势差U=200V，电容器储存的能量可以通过公式计算，除颤器的放电时间一般在10毫秒到20毫秒。下列说法正确的是（    ） A．除颤器储存的电荷量为0.04C B．除颤器放电时的平均电流为2A C．除颤器储存的能量为2J D．除颤器放出能量的平均功率为4 kW 【答案】A 【详解】A．根据 代入数据，解得 故A正确； B．除颤器放电时的平均电流为 由于除颤器放电的时间不确定，所以除颤器放电时的平均电流无法确定，故B错误； C．除颤器储存的能量为 故C错误； D．除颤器放出能量的平均功率为 由于除颤器放电的时间不确定，所以除颤器放出能量的平均功率不确定，故D错误。 故选A。 【变式训练1】（2026·江苏苏州·三模）两个带电的平行板电容器、用导线按如图所示方式连接，的电容是的倍，板间距相等，则（     ） A．所带电荷量是的 B．所带电荷量是的倍 C．极板间场强大小是的 D．极板间场强大小是的倍 【答案】B 【详解】AB．由题图可知，两电容器的电压相同，的电容是的倍，根据 可知所带电荷量是的倍，故A错误，B正确； CD．根据可知，M、N极板间场强大小相等，故CD错误。 故选B。 【变式训练2】（2026·河南郑州·一模）把干电池、电阻箱、电容器、电流表、单刀双掷开关按图电路图连成实验电路并将电阻箱调到合适阻值。先使开关接1，电源给电容器充电，电容器充电完毕，断开开关，然后将开关接2，电容器放电。在放电过程中，电路中的电流大小为，电容器所带电荷量为，电容器两极板电势差为，电容器的电容为。下面关于、、、随时间的变化的图像，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】D．放电过程中，电容器电容保持不变，故D错误； ABC．放电过程中，电容器所带电量逐渐减小，根据电容定义式可知电容器两极板间电压逐渐减小，则放电电流逐渐减小，根据可知图像的切线斜率绝对值逐渐减小，故B正确，AC错误。 故选B。 【变式训练3】（2026·安徽阜阳·二模）某电容器的外壳上标有“2.0μF　16V”的字样。该参数表明（　　） A．该电容器两端电压为8V时，其电容为1.0μF B．该电容器两端电压由电容器本身决定，与电容器带电荷量无关 C．该电容器正常工作时所带电荷量不超过3.2×10-6C D．给该电容器充电时，电压每升高1V，单个极板的电荷量增加2.0×10-6C 【答案】D 【详解】AB．电容器的电容由电容器本身决定，与电容器带电荷量多少无关，根据Q=CU可知，给电容器充电时，电容器的带电荷量增加，电容器两极板间的电压也增大，故AB错误； C．该电容器正常工作时两端最大电压为16V，所带电荷量的最大值Q=CU=3.2×10-5C，故C错误； D．给该电容器充电时，电压每升高1V，单个极板的电荷量增加ΔQ=CΔU=2.0×10-6C，故D正确。 故选D。 考向2 U不变的动态分析 例2（2026·河北·三模）为监测土壤湿度，某智慧农业系统采用电容式湿度传感器，其原理简化图如图所示，连接在电路中的平行金属板电容器的两极板插入土壤（视为电介质）中。已知土壤的相对介电常数随着土壤中含水量的增大而增大。闭合开关后，当土壤逐渐变干燥时，下列说法正确的是（     ） A．电容器的电容增大 B．电容器两板间的电压增大 C．电容器带的电荷量减小 D．通过电流表的电流方向为从到 【答案】C 【详解】A．当土壤逐渐变干燥时，土壤的相对介电常数减小，根据平行板电容器的决定式 可知电容器的电容减小，故A错误； B．电容器两板间的电压等于电源电动势，土壤逐渐变干燥时，两板间的电压保持不变，故B错误； C．根据电容器的定义式 土壤逐渐变干燥时，电容器两板间的电压不变，电容器的电容减小，可知电容器带的电荷量减小，故C正确； D．由选项C分析可知电容器放电，电容器左板带正电，因此通过电流表的电流方向为从M到N，故D错误。 故选C。 【变式训练1】（2026·吉林长春·模拟预测）某湿度传感器利用平行板电容器测量空气湿度。电容器上极板（可移动）与固定支架间嵌入一种吸湿材料，当环境湿度增加时，吸湿材料体积膨胀，反之则体积缩小。将该电容器与恒压电源、电流表连接成如图所示的电路，闭合开关。下列说法正确的是（    ） A．空气湿度降低时，电容器的电容会变大 B．空气湿度降低时，极板间电场强度变大 C．空气湿度一定时，滑片向上移动，电容器所带电荷量会增加 D．保持滑片位置不变，若出现从到的电流，说明环境湿度升高 【答案】C 【详解】A．环境湿度降低时，吸湿材料体积缩小，极板间距d增大，根据可知，电容变小，故A错误； B．电源保持电压恒定（滑动变阻器未调节），环境湿度降低时，吸湿材料体积缩小，极板间距d增大，根据电场强度可知，极板间电场强度变小，故B错误； C．空气湿度一定时，滑片向上移动，由电路图可知电容器两端电压增大，根据可知，电容器所带电荷量会增加，故C正确； D．若电流计示数为从a到b，说明电容器放电，则电容减小，d增大说明湿度降低，故D错误。 故选C。 【变式训练2】（2026·辽宁·一模）如图是一种“跳跳小火箭”的实验装置：两块水平正对放置的薄木板用四根竹筷子固定，在两薄木板的内侧均贴上锡纸，并分别与直流稳压电源的正负极相连，在下板的锡纸上放置一个用锡纸裁剪的“小火箭”，接通电源后“小火箭”会上下跳动。忽略“小火箭”带电量对两极板电量和两极板间电场的影响，下列说法正确的是（　　） A．“小火箭”在向上运动的过程中，其电势能增大 B．通电后若改变两板间距离，则板上锡纸的电荷量随之改变，电荷量数值与极板距离成线性关系 C．通电后若断开电源，增大两板间距离，则两板间电场强度减小 D．通电后若断开电源，减小两板间距离，则两板间电压减小 【答案】D 【详解】A．根据电场的基本性质，电场方向是从正极指向负极在本题中，电源正极连接下板，负极连接上板，电场方向是竖直向上的，结合题意得小火箭带正电，当“小火箭”向上运动时，电场力做正功，根据电场力做功与电势能变化的关系，电势能减小，故A错误； B．根据平行板电容器的电容公式 电容器的电容的定义式 联立解得 即电荷量数值与极板距离成反比例关系，故B错误； C．根据平行板电容器的电容公式 电容器的电容的定义式 电场强度与电势差的关系 联立解得 即通电后若断开电源，两极板所带的电荷量不变，增大两板间距离，则两板间电场强度不变，故C错误； D．根据平行板电容器的电容公式 电容器的电容的定义式 联立解得 即通电后若断开电源，两极板所带的电荷量不变，减小两板间距离，则两板间电压减小，故D正确。 故选D。 【变式训练3】（多选）（2026·辽宁·模拟预测）我国科学家狄增峰团队成功研制出一种人造蓝宝石作为绝缘介质的晶圆，这种材料具有卓越的绝缘性能，即使在厚度仅为1纳米时也能有效阻止电流泄漏，为开发低功耗芯片提供了重要的技术支撑。如图所示，直流电源与一平行板电容器、理想二极管连接，电容器A板接地。闭合开关，电路稳定后，一带电油滴位于电容器中的P点恰好处于静止状态。下列说法正确的是（　　） A．该带电油滴带负电 B．B板下移，油滴将继续保持静止状态 C．减小极板间的正对面积，P点的电势升高 D．两板间插入人造蓝宝石的过程中，电路中有电流 【答案】ABD 【详解】A．油滴受重力和电场力的作用，处于平衡状态，重力方向竖直向下，电场力方向竖直向上，A板带正电荷，因此该带电油滴带负电，A项正确； B．B板下移，d增大，由可知，电容减小，由Q=CU可知，Q减小，由于二极管具有单向导电性，电容器不会放电，则Q不变，由 可得，则电场强度不变，电场力不变，油滴将继续保持静止状态，B项正确； C．减小极板间的正对面积，同样Q不变，由可知，E增大，由U=Ed可知，A板与P点之间的电势差增大，A板接地，电势始终为0，因此P点的电势降低，C项错误； D．两板间插入人造蓝宝石，增大，由可知，电容增大，此时电容器的电荷量增大，电源为电容器充电，电路中有电流，D项正确。 故选ABD。 考向3 Q不变的动态分析 例3（多选）（2025·黑龙江·二模）如图所示，用一个电源分别给两个中间为真空的平行板电容器充电。开始时，电键全部断开，然后将电键S1分别接到1、2两处，稳定后断开。两个电容器充电过程中电流强度随时间变化的情况如乙图所示，则下列说法正确的是（　　）    A．电容器的带电量 B．两个电容器两端的电压大小关系为 C．减小电容器C2的正对面积，闭合电键S1至1，电阻R1上有向左的瞬时电流流过 D．在电容器C1中间插入有机玻璃，闭合电键S2，电阻R2上有向右的瞬时电流流过 【答案】CD 【详解】AB．根据可知，图线与坐标轴包围的面积代表电容所带电荷量，由图可知C1所带的电荷量大，用同一个电源充电，稳定时电压相同，故AB错误； C．电容器的下极板带负电，稳定时两电容的电压相等，减小电容器C2的正对面积，根据电容的决定式可知，电容器C2的电容减小，电荷量减小，则闭合电键S1至1，电阻R1上有向左的瞬时电流流过，故C正确； D．当C1中间插入有机玻璃后，电容增大，带电量将要变大，需充电，有电荷从C2移动到C1，负电荷通过电阻R2向左，所以电流通过R2向右，故D正确。 故选CD。 【变式训练1】（2026·黑龙江·模拟预测）地球表面与电离层之间有稳定的电势差，会在两者间的低空大气中形成电场，其电场强度即大气电场强度，晴天时方向多垂直地面向下，地面附近的电场分布如图所示，低空大气上表层与地面构成平行板电容器模型，忽略大气相对介电常数的变化，下列说法正确的是（     ） A．低空大气越厚，电容越大 B．若地面所带的电荷量不变，则低空大气越厚，大气电场强度越大 C．地面单位面积所带的电荷量越大，大气电场强度越大 D．地面单位面积所带的电荷量越小，地面上方的P点电势越高 【答案】C 【详解】A．由于低空大气上表层与地面构成平行板电容器模型，根据公式 低空大气厚度d越大，电容C越小，故A错误； B．电场强度 又因为 联立，可得 所以地面所带的电荷量不变时，低空大气厚度d增大，大气电场强度不变，故B错误； C．地面单位面积所带的电荷量 又 则地面单位面积所带的电荷量越大，大气电场强度越大，故C正确； D．地面单位面积所带的电荷量越小，大气电场强度越小，由可知，P点与地面间的电势差也越小，P点的电势越低，故D错误。 故选C。 【变式训练2】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某实验小组在研究影响平行板电容器电容的因素的实验电路中，加入了一个电池，如图所示。开关S闭合后，静电计G的指针张开一个角度，两正对水平金属板A、B间有一带电油滴悬浮不动。忽略静电计G所引起的极板电荷量影响。下列说法正确的是（　　） A．若仅将B板水平左移少许，则油滴将向下运动 B．若仅将A板竖直上移少许，A板所带的电荷量不变 C．若断开S，仅将A板水平右移少许，则G的指针张角将变小 D．若断开S，仅将B板水平右移少许，则油滴将向上运动 【答案】D 【详解】A．S闭合，不变，B板水平左移，仅改变正对面积，极板间距不变。由得，板间电场强度不变，油滴受力不变，仍保持静止，故A错误； B．S闭合，不变，A板竖直上移，极板间距增大，由得电容减小，由得，A板所带电荷量减小，故B错误； C．断开S，不变，A板水平右移，正对面积减小，由得电容减小，由得，电容器电压增大，因此静电计G的指针张角变大，故C错误； D．断开S，不变，B板水平右移，正对面积减小，板间电场强度，不变减小，因此增大，电场力增大，油滴将向上运动，故D正确。 故选D。 考点二 带电粒子（体）在电场中的直线运动 知识点1 带电粒子（体）在电场中的直线运动 1.带电粒子（体）在电场中运动时重力的处理 基本粒子 如电子、质子、α粒子等，除有说明或明确的暗示外，一般都不考虑重力（但并不忽略质量） 带电体 如带电液滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示外，一般都不能忽略重力 2.带电粒子（体）在电场中直线运动的分析方法 考向1 带电粒子（体）在匀强电场中的直线运动 例1 （2026·安徽芜湖·二模）如图所示，来自电子源的电子初速度为零，经电压为U的电场加速后，形成一束柱状的电子流。若电子流横截面积为S，电子的比荷为k，元电荷为e，电子流形成的电流大小为I，则电子流单位体积内的电子数n表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】电子经电压U加速，由动能定理 时间内流过横截面积S的电荷量 则电子流形成的电流 联立解得 故选D。 【变式训练1】（2026·重庆江津·三模）细胞膜是由磷脂双分子层构成的富有弹性的半透膜（如图甲所示）。设运送粒子时，细胞膜内上、下表面的电荷量为定值，此时可将细胞膜视为面积很大的平行板电容器（如图乙所示），其间电场可视为匀强电场。某正粒子只在电场力作用下从膜的一个表面由静止开始运动到另一个表面，该过程中粒子运动的加速度大小a、运动时间t、到达另一表面时速度大小v、电场力做功W与膜两表面距离d的关系图像正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知极板带电量不变，平行板电容器恒定，由 可知：板间电场强度与间距无关，恒定。 A．根据 不变，则是定值，图像为水平直线，A错误。 B．粒子初速度为0，匀加速： 可得 与成正比，不是过原点直线，B错误。 C．由 得 与成正比，不是过原点直线，C错误。 D．电场力做功 为定值，与成正比，图像是过原点倾斜直线，D正确。 故选D。 【变式训练2】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，匀强电场中有一个梯形，梯形平面与匀强电场的方向平行，，相互平行且均垂直于，，，，已知点电势为，点电势为，点电势为，则下列说法正确的是（　　） A．点电势为 B．匀强电场的电场强度大小为 C．一电子由点到点再到点的过程中，电势能减少了 D．一正电荷由点无初速度释放，将沿着所在直线运动 【答案】D 【详解】A．作AD的中点F，如图所示 则F点电势 则由平行且等于可得 即 解得，故A错误； B．在BD上找点H，使，则在同一等势面上。可得 可得 且，可得几何关系，即电场方向沿DB从D指向B。 则电场强度大小为，故B错误； C．电子带电量，电势能 从到电势能变化，即电势能增加了，不是减少，故C错误； D．电场方向沿DB所在直线。正电荷受力沿电场方向，从D点无初速度释放，加速度沿DB方向，因此将沿DB所在直线运动，故D正确。 故选D。 【变式训练3】（2026·浙江·三模）如图所示，真空中放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，二板间电势差恒为U。现有一质量为m、电荷量为q（q>0）的微粒，固定在两极板中央O点。若微粒与极板碰撞前后瞬间速率不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。则（     ） A．若上板向右平移一小位移，微粒的电势能增大 B．若释放微粒，微粒第一次到达下极板所需时间 C．若释放微粒，微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小 D．微粒在二极板间来回运动一次，电源消耗的电能为Uq 【答案】C 【详解】A．由电容定义式及决定式， ，又 解得 若上板向右平移一小位移，电容器内的电场强度不变，O点电势不变（其中为O点距离下极板的距离），微粒的电势能不变，故A错误； B．由牛顿第二定律 由运动学公式 联立可得微粒第一次到达下极板所需的时间为，故B错误； C．微粒第一次到达下极板时的速度大小为 由于微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变，设微粒碰后第一次到达上极板时的速度大小为，满足 代入解得 同理可得微粒第一次从上极板回到点时的速度大小为，满足 代入解得 故微粒第一次从上极板回到点时的动量大小为，故C正确； D．微粒在二极板间来回运动一次，电源消耗的电能为，故D错误。 故选C。 【变式训练4】（2026·北京昌平·二模）如图所示，两块平行金属薄板A、B与恒压电源连接，两板中央各有一小孔，小孔分别位于M、N点，有一带电粒子在A板上方的O点由静止释放，粒子到达N点时速度恰好为零。M、N、O在同一竖直线上。不计空气阻力和电场的边缘效应。现将B板向下平移至N′点，在O点由静止释放的该粒子（　　） A．运动到N点返回 B．运动到N和N′点之间返回 C．运动到N′点返回 D．穿过N′点 【答案】D 【详解】根据动能定理可得 即 根据可知，B板向下平移至N′点时，AB板间电场强度减小，粒子运动到N点时，重力做功大于电场力做的功，所以粒子的动能不为零，粒子运动到N′点时，重力做功仍大于电场力做的功，所以粒子的动能不为零，粒子将穿过N′点。 故选D。 考点三 带电粒子在电场中的曲线运动 知识点1 带电粒子在电场中的曲线运动 1.带电粒子在匀强电场中的偏转 （1）研究条件：带电粒子垂直于电场方向进入匀强电场。 （2）处理方法：类似于平抛运动，应用运动的合成与分解的方法。 ①沿初速度方向做匀速直线运动，运动时间t＝。 ②沿电场方向，做初速度为零的匀加速直线运动。 知识点2 带电粒子在电场中偏转的重要推论 推论1：如图所示，粒子从偏转电场中射出时，其速度的反向延长线与初速度方向交于一点，此点平分沿初速度方向的位移。 证明：由tan θ＝，y＝和x＝，知x＝。故O点平分了沿初速度方向的位移，所以粒子从偏转电场中射出时，就好像是从极板间处沿直线射出似的。 推论2：位移方向与初速度方向间夹角的正切值为速度偏转角正切值的，即tan α＝tan θ。 推论3：不同的带电粒子（电性相同，初速度为零），经同一电场加速后，再进入同一偏转电场，则它们的运动轨迹必定重合（与比荷无关）。 证明：带电粒子先经加速电场（电压U加）加速，又进入偏转电场（电压U偏），射出偏转电场时，偏移量y＝at2＝，速度偏转角的正切值tan θ＝，可见偏移量y和偏转角θ只与U加、U偏有关，与q、m无关，运动轨迹必定重合。 考向1 带电粒子在匀强电场中的偏转 例1 （2026·辽宁鞍山·模拟预测）如图所示水平放置的平行板电容器，两板间距为，电压恒为，两板间为匀强电场。为便于描述，以两板中心连线中点为坐标原点并建立如图平面直角坐标系。、分别为A、B两板与轴交点，点为一粒子源沿轴正向以速度发射出一个质量为、带正电粒子，粒子沿轴正向做匀速运动（粒子落到极板即被吸附，坐标轴不随极板转动）。则下列说法正确的是（　　） A．A板带正电，B板带负电，粒子的电荷量为 B．若两板以点为轴在纸面内逆时针转动，同时粒子速度方向变为与x轴正方向成向右上方，则粒子将做曲线运动 C．若A、B两板分别以、为轴在纸面内逆时针转动后，仍沿轴正向射入的粒子将做直线运动 D．若两板以O点为轴在纸面内顺时针转动，粒子由点以沿轴负方向射入，当其达到A板时增加的动能为，则粒子的初速度为 【答案】C 【详解】A．粒子沿轴正向做匀速运动，受力平衡。粒子受竖直向下的重力和竖直向上的电场力，故 因粒子带正电，电场力向上，则电场强度方向向上，所以下板B带正电，上板A带负电。由 解得，故A错误； B．若两板以点为轴在纸面内逆时针转动，电场强度方向也逆时针转动，即指向左上方，与轴夹角为。电场力大小不变。粒子受重力竖直向下，根据几何关系可知，电场力与重力夹角为120°。合力方向与粒子初速度方向相反，所以粒子做直线运动，故B错误； C．若A、B两板分别以、为轴在纸面内逆时针转动，两板仍平行，板间距变为 电压不变，场强 电场力 方向垂直板向上（与轴夹角指向左上方）。电场力竖直分量 与重力平衡。水平分量 方向向左。粒子所受合力水平向左，初速度水平向右，粒子做匀减速直线运动，故C正确； D．两板以O为轴在纸面内顺时针转动90°，电场力大小不变为mg，方向为水平向右，水平方向做匀加速直线运动， 竖直方向做初速度为v0，加速度为g的匀加速直线运动， 而动能的增加量为 解得，故D错误。 故选C。 【变式训练1】（2026·黑龙江大庆·三模）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向上的匀强电场中，两个相同的带负电粒子a、b同时从O点以初速度射出，速度方向与水平方向夹角均为。已知粒子的质量为m，电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。当a到达最高点时，a、b间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】a、b均做类斜抛运动，运动轨迹如图所示 则竖直方向上，对球，根据牛顿第二定律有 a运动到最高点，由运动学公式有 联立解得a运动到最高点的时间 方法一：根据题意可知，两个小球均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为，则两小球一直在同一竖直线上，斜上抛的小球竖直方向上运动的位移为 斜下抛的小球竖直方向上运动位移为 解得 则小球a到达最高点时与小球b之间的距离 方法二：两个小球均受到相同电场力，以a球为参考系，球以的速度向下做匀速直线运动，则a到达最高点时，a、b间的距离 故选A。 【变式训练2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，空间存在大小为、方向竖直向下的匀强电场，一质量为、电荷量为的粒子以速度从连线上的点水平向右射出，已知与水平方向成角，粒子的重力可以忽略。则粒子到达连线上的某点时（　　） A．所用的时间为 B．速度大小为 C．与点的距离为 D．速度方向与竖直方向的夹角为 【答案】A 【详解】A．粒子在电场中做类平抛运动，当到达连线上某点时，位移与水平方向的夹角为，根据牛顿第二定律可得 垂直电场方向的位移为 平行电场方向的位移为 根据几何关系有 联立解得 故A正确； B．水平速度为 竖直方向速度为 则到到达连线上某点速度为 故B错误； C．水平位移为 根据几何关系可得粒子到达连线上的点与点的距离，即合位移为 故C错误； D．速度方向与竖直方向的夹角正切值为 则夹角不等于，故D错误。 故选A。 考点四 带电粒子在交变电场中的运动 知识点1 带电粒子在交变电场中的运动 1. 常见的交变电场类型：电压（或场强）波形：正弦波、矩形波、锯齿波等。 2. 交变电场中常见的粒子运动及分析思路 （1）粒子做单向直线运动：一般对整段或分段研究用牛顿运动定律结合运动学公式求解； （2）粒子做往返运动：一般分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理等求解； （3）粒子做偏转运动：一般根据交变电场特点分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公式或者动能定理等求解。 3. 分析思路 （1）动力学观点：根据牛顿第二定律及运动学规律分析； （2）能量观点：应用动能定理、功能关系等分析； （3）动量观点： 应用动量定理分析。✨得分速记：带电粒子在交变电场中的解题技巧 1.分段分析法：把周期问题拆成匀变速小段，交变电场是分段均匀的，一个周期内电场不变的每一段都可以视为匀强电场，分段分析即可：对每一段分别分析受力（电场力的大小、方向），确定加速度和运动性质（加速/减速）；再用牛顿运动定律+匀变速运动公式逐段推导速度、位移，利用运动的周期性推得总结果。 2.v-t图像法：直观解决往返运动位移判定‌ 这是最实用的技巧，尤其适合判断粒子是否会打到极板上：根据分段加速度画出v-t图：加速度相同的过程是平行直线，面积表示位移，在t轴上方就是向正方向运动，下方就是反向运动；直接看面积的正负总和就能判断总位移方向：如果总位移一直向某一方向，最终会打到极板；如果总面积正负抵消，就是往复运动。 3.‌分方向合成：解决垂直入射的偏转问题‌ 如果粒子垂直电场方向入射（比如平行偏转板加交变电压），直接用运动分解： 垂直电场方向‌：不受力，一直保持匀速直线运动，运动总时间由极板长度和初速度直接确定； 沿电场方向‌：按交变电场分段分析加速度、速度变化，计算偏转位移即可。 4.‌功能辅助：电场力做功只和电势差有关，不涉及运动时间时：直接用动能定理求解末速度，不用分析中间过程的加速度变化，比动力学方法更简单。 考向1　带电粒子在交变电场中的直线运动 例1 （2025·浙江·一模）如图甲为直线加速器原理图。多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，圆筒的长度依照一定的规律依次增加。序号为奇数的圆筒和交流电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交流电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，此时位于和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）中央的一个电子，在圆板和圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1。若已知电子的质量为、电子电荷量为、电压的绝对值为、周期为，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。为使电子能量不断增大，则（　　） A．圆筒内的电场强度与其长度成反比 B．圆筒的长度与序号的平方根成正比 C．此加速器输出电子流的功率与圆筒总数的平方成正比 D．若圆筒间隙均为，考虑电子通过圆筒间隙的时间，则时刻进入的电子能达到的最大动能为 【答案】B 【详解】A．圆筒内处于静电屏蔽状态，电场强度为0，选项A错误； B．圆筒的长度满足 而 故 即，选项B正确； C．此加速器输出电子流的功率 代入得，选项C错误； D．若圆筒间隙均为，则经过个间隙，总用时满足 即 求得 为使一直加速应满足 得 最大动能为，选项D错误。 故选B。 【变式训练1】 匀强电场的电场强度E随时间t变化的图像如图所示。当时。在此匀强电场中由静止释放一个带正电的粒子，带电粒子只受静电力的作用，下列说法正确的是（　　） A．带电粒子将做往复运动 B．3s末带电粒子回到原出发点 C．3s末带电粒子的速度不为零 D．前3s内，静电力做的总功为零 【答案】D 【详解】A．带电粒子由静止释放后，在时间内，由牛顿第二定律可知粒子的加速度大小为 在时间内，粒子的加速度大小为 可知粒子由静止先以加速度大小加速2s，再以加速度大小减速1s，由于，可知3s末粒子速度为零，同理在时间内由静止又以加速度大小加速2s，再以加速度大小减速1s，此时粒子速度是零，因此粒子在时间内，带电粒子将始终向同一个方向运动，其速度时间图像如图所示 A错误； B．由带电粒子的速度时间图像可知，带电粒子将始终向同一个方向运动，因此3s末带电粒子回不到原出发点，B错误； C．由带电粒子的速度时间图像可知，3s末带电粒子的速度是零，C错误； D．在前3s内，由动能定理可知 前3s内，静电力做的总功是零，D正确。 故选D。 【变式训练2】（2022·湖南常德·模拟预测）如图（a）所示，两水平平行正对的金属板M、N间距为d，加有如图（b）所示的交变电压。一质量为m、电荷量为q的带正电的微粒，时刻微粒在两板正中间的P点以速度v0平行金属板运动，3t0时间内粒子未到达极板。则在0~3t0时间内，下列说法正确的是（　　） A．时间内，微粒偏向N板运动 B．时，重力对微粒做功的瞬时功率为 C．0~2t0时间内，电场力对微粒做的功为 D．0~3t0时间内，微粒动能增量为 【答案】C 【详解】A．时间内，，电场线方向由N指向M,粒子带正电，因此受电场力方向指向M板，故A错误； B．时间内，对粒子受力分析，粒子所受电场力为 方向竖直向上，因此此时合力的大小为mg，方向竖直向上，根据牛顿第二定律，粒子的加速度大小为g，方向竖直向上。t0~2t0时间内，电场力方向改变，大小未改变，此时合力向下，大小为3mg，根据牛顿第二定律，此时粒子的加速度大小为3g，方向竖直向下，根据运动学公式，时粒子在竖直方向的速度大小为 方向竖直向下，根据瞬时功率的公式 重力的瞬时功率为 故B错误； C．根据B选项分析，粒子在时间内的竖直位移为 方向竖直向上。粒子在t0~2t0时间内的竖直位移为 方向竖直向下，则0~2t0时间内，粒子竖直方向的总位移为0，则重力做的总功为0。根据动能定理，电场力对微粒做的功为 故C正确； D．时间内，粒子的受力与相同，故加速度与时间内相同，根据前面选项已知的信息，的速度为 方向竖直向下，则时间内，微粒动能增量为 故D错误。 故选C。 考向2　带电粒子在交变电场中的曲线运动 例2（2026·黑龙江哈尔滨·三模）在如图甲所示的平行金属板、上加如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压，其周期为，现有一电子时刻以平行于极板的速度从两板中央射入。电子比荷为，不计电子的重力，则（     ） A．若时电子恰好能从板的边缘飞出，则电子飞出时速度的大小为 B．若电子恰能平行于极板飞出，则极板长可能是 C．若电子在时刻射出极板，两极板间距至少为 D．若电子恰能平行轴线方向飞出极板，两极板间距至少为 【答案】B 【详解】A．若时电子恰好能从板的边缘飞出，只有电场力做功，由动能定理得 代入​ 解得，故A错误； B．电子恰能平行极板飞出，说明飞出时竖直方向总速度为0。时刻射入的电子，在垂直于极板方向上做匀加速运动，向正极板方向偏转，半个周期后电场方向反向，电子继续在该方向上做匀减速运动，再经过半个周期，电场方向上的速度减到零，此时实际速度等于初速度，方向平行于极板，以后继续重复这样的运动，要使电子恰能平行于极板飞出，因此飞行时间 所以极板长度 当时， 因此极板长可能为，故B正确； C．由牛顿第二定律有 可得电子在垂直于极板方向上的加速度 若射出，在​时间内的位移 在时间内的位移 在时间内的位移 总位移 刚好不碰极板时 代入 解得，故C错误； D．电子恰能平行轴线方向飞出极板，最小间距对应飞行时间为 则总位移 代入 解得，故D错误。 故选B。 【变式训练1】（2026·湖南怀化·一模）如图甲，长4L、宽2L的光滑刚性绝缘矩形框内存在如图乙所示的交变电压，左边框上a点开有一小孔。时，质量m、电荷量Q的带电粒子（不计重力）以初速度v（未知）从a点水平射入，然后与上边框碰撞于b点。假设每次碰撞，粒子平行于边框的速度分量不变，垂直于边框的速度分量仅反向，电荷量不变。其中a、b均为中点，m、Q、T、L均为已知量，则（　　） A．粒子带正电 B．若粒子时刻到达b点，那么粒子有可能与下边框垂直碰撞 C．若粒子时刻到达b点，那么粒子无法从a点射出 D．粒子时刻到达b点时的电场强度为粒子时刻到达b点时电场强度的4倍 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，t=0时刻粒子往上做类平抛运动，所受电场力向上；此时上边框为高电势，电场竖直向下，粒子的受力方向与电场方向相反，故粒子带负电，故A错误； B．时刻到达b点的粒子，因电场力此时向下，故做斜下抛运动，其速度水平分量不可能为0，故不会与下边框垂直碰撞，故B错误； C．根据题意可知，时刻粒子在b点的碰后速度与碰前速度关于上边框对称，结合受力可知其运动轨迹具有对称性。故粒子最终将从a点水平向左飞出，故C错误； D．根据类平抛运动的规律有 解得 因为时间之比为1∶2，故电场强度之比为4∶1，故D正确。 故选D。 【变式训练2】（2026·安徽合肥·模拟预测）如图（a），平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图（b）所示的方波形电压，时A板比B板的电势高，电压的正向值为，反向值也为。现有由质量为m的带正电且电荷量为q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板方向的速度射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响。则下列说法错误的是（　　） A．粒子飞出电场时的速度大小都为 B．粒子飞出电场时的速度方向都改变了 C．粒子飞出电场时位置离的最大距离是 D．0时刻进入电场的粒子，向下侧移量为 【答案】D 【详解】A．由于电压的正向值和反向值均为，则根据牛顿第二定律可得 解得 由于所有粒子在AB间的飞行时间均为T，且由图（b）可知交变电场的变化周期也为T，故粒子在飞出电场时的速度沿电场线方向的分速度大小均为 所以粒子飞出电场时的速度大小均为，故A正确，不符合题意； B．设速度方向与的夹角为，则 解得 即粒子飞出电场时的速度方向都改变了，故B正确，不符合题意； C．当粒子由时刻进入电场时，其向下的侧移最大，根据匀变速直线运动位移与时间的关系式可知，此时粒子飞出电场时位置离的最大距离为 当粒子由时刻进入电场时，其向上的侧移最大，根据对称性以及匀变速直线运动位移与时间的关系式可知，此时粒子飞出电场时位置离的最大距离为 所以粒子飞出电场时位置离的最大距离是，故C正确，不符合题意； D．由C选项可知，0时刻进入电场的粒子，向下侧移量为，故D错误，符合题意。 故选D。 【真题回顾】 1．（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示的矩形区域OMPQ内分布有平行于OQ的匀强电场，N为QP的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b分别从Q点和O点垂直于OQ同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，K为轨迹交点。忽略粒子所受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（　　） A．具有不同比荷 B．电势能均随时间逐渐增大 C．到达M、N的速度大小相等 D．到达K所用时间之比为 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子a、b分别从Q点和O点同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N点，可知，运动时间相等，由图可知，沿初速度方向位移之比为，则初速度之比为，沿电场方向的位移大小相等，由可知，粒子运动的加速度大小相等，由牛顿第二定律有 可得 可知，带电粒子具有相同比荷，故A错误； B．带电粒子运动过程中，电场力均做正功，电势能均随时间逐渐减小，故B错误； C．沿电场方向，由公式可知，到达M、N的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为，则到达M、N的速度大小不相等，故C错误； D．由图可知，带电粒子a、b到达K的水平位移相等，由于带电粒子a、b初速度之比为，则所用时间之比为，故D正确。 故选D。 2．（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1所示。从离子源S释放的正离子（初速度视为零）经电压为的电场加速后，沿方向射入电压为的电场（为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为d，关系如图2所示。长度为a的样品垂直放置在距极板L处，样品中心位于点。假设单个离子在通过区域的极短时间内，电压可视为不变，当时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．的最大值 B．当且时，离子恰好能打到样品边缘 C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大 D．在和时刻射入的离子，有可能分别打在A和B点 【答案】B 【详解】A．粒子在加速电场中被加速时 在偏转电场中做类平抛运动，则， 解得 选项A错误； B．当时粒子从板的边缘射出，恰能打到样品边缘时，则 解得 选项B正确； C．根据 若其它条件不变，要增加样品的辐照范围，则需减小U1，选项C错误； D ．由图可知t1时刻所加的向上电场电压小于t2时刻所加的向下的电场的电压，则t1时刻射入的粒子打到A点时的竖直位移小于打到B点时的竖直位移，则选项D错误。 故选B。 3．（多选）（2022·福建·高考真题）我国霍尔推进器技术世界领先，其简化的工作原理如图所示。放电通道两端电极间存在一加速电场，该区域内有一与电场近似垂直的约束磁场（未画出）用于提高工作物质被电离的比例。工作时，工作物质氙气进入放电通道后被电离为氙离子，再经电场加速喷出，形成推力。某次测试中，氙气被电离的比例为95%，氙离子喷射速度为，推进器产生的推力为。已知氙离子的比荷为；计算时，取氙离子的初速度为零，忽略磁场对离子的作用力及粒子之间的相互作用，则（　　） A．氙离子的加速电压约为 B．氙离子的加速电压约为 C．氙离子向外喷射形成的电流约为 D．每秒进入放电通道的氙气质量约为 【答案】AD 【详解】AB．氙离子经电场加速，根据动能定理有 可得加速电压为 故A正确，B错误； D．在时间内，有质量为的氙离子以速度喷射而出，形成电流为，由动量定理可得 进入放电通道的氙气质量为，被电离的比例为，则有 联立解得 故D正确； C．在时间内，有电荷量为的氙离子喷射出，则有 ， 联立解得 故C错误。 故选AD。 4．（2025·四川·高考真题）如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距为d，下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q（）的金属微粒，从两极板中央O点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变。不计微粒重力。求： (1)微粒第一次到达下极板所需时间； (2)微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由牛顿第二定律 由运动学公式 联立可得微粒第一次到达下极板所需的时间为 （2）微粒第一次到达下极板时的速度大小为 由于微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的绝对值不变，设微粒碰后第一次到达上极板时的速度大小为，满足 代入解得 同理可得微粒第一次从上极板回到O点时的速度大小为，满足 代入解得 故微粒第一次从上极板回到O点时的动量大小为 5．（2025·江苏·高考真题）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带正电粒子a、b同时从O点以初速度射出，速度方向与水平方向夹角均为。已知粒子的质量为m。电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求： (1) a运动到最高点的时间t； (2) a到达最高点时，a、b间的距离H。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，由对球，根据牛顿第二定律有 a运动到最高点的时间，由运动学公式有 联立解得 （2）方法一、根据题意可知，两个小球均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为，则两小球一直在同一竖直线上，斜上抛的小球竖直方向上运动的位移为 斜下抛的小球竖直方向上运动位移为 则小球a到达最高点时与小球b之间的距离 方法二、两个小球均受到相同电场力，以a球为参考系，球以的速度向下做匀速直线运动，则a到达最高点时，a、b间的距离 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $