第32讲 实验：用单摆测定重力加速度 讲义-2027届高考物理一轮复习

该高中物理讲义聚焦“用单摆测定重力加速度”高考核心实验，涵盖实验原理、数据处理、误差分析及创新实验等考点，按教材原型实验到创新实验的逻辑层次展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建实验思维框架，突破测量误差与数据处理难点。 资料融合传统实验与数字化创新，如用图像法求斜率算重力加速度、传感器自动计时等，培养科学思维与科学探究能力。设计分层练习（例题、变式、真题），确保高效复习，提升学生实验设计与数据处理能力，为教师把控复习节奏提供有力支撑。

第32讲 用单摆测定重力加速度 考点一 教材原型实验 知识点1 实验原理及步骤 一、实验目的 1.学会用单摆测量当地的重力加速度。 2.能正确熟练地使用停表。 二、实验原理 当摆角很小时，单摆做简谐运动，其振动周期T＝2π ，它与摆角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝ 。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地重力加速度g的值。 三、实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的小钢球、不易伸长的细线（约1米）、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。 四、实验步骤 1.做单摆 将细线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把细线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。 2.测摆长 用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小钢球直径D，则单摆的摆长l＝ l′＋ 。 3.测周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度（小于5°），然后释放摆球，当单摆经过平衡位置时开始计时，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 4.改变摆长，重复做几次实验。 知识点2 数据处理与误差分析 一、数据处理 1.公式法 将测得的几组周期T和摆长l代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即当地重力加速度的值。 2.图像法 由单摆的周期公式T＝2π可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l－T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g＝ 4π2k 。 拓展：（1）测量摆长，未加小球半径时，用公式法求得的g值偏小，但根据T2－l图线，由斜率求得的g值是准确的，因为T2＝(L＋r)＝L＋r（L为绳长），此时图线如图中a所示。 （2）同理，如果把绳长加小球直径作为摆长，此时，T2＝(l－r)＝l－r，其T2－l图线如图中b所示，由斜率求得的g值仍然是准确的。 二、注意事项 （1）一般选用一米左右的细线。 （2）悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。 （3）应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。 （4）单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°。 （5）选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。 三、误差分析 产生原因 减小方法 偶然误差 测量时间（单摆周期）及摆长时产生误差 ①多次测量再求平均值； ②计时从单摆经过平衡位置时开始 系统误差 主要来源于单摆模型本身 ①摆球要选体积小，密度大的； ②最大摆角要小于5° 考向1 实验原理、数据处理与误差分析 例1 （2026•永川区校级一模）在学习了用单摆测重力加速度实验后，小李同学放学后来到了实验室，利用如图1所示的装置测量当地的重力加速度，除了图甲中的实验器材，实验室还提供了10分度的游标卡尺、米尺和秒表。 （1）组装实验器材前，小赞用游标卡尺测量了摆球的直径，其读数如图乙所示，则摆球的直径为d＝　17.6　 mm。 （2）实验时，小李同学测量了摆球做n＝50次全振动的时间t，该时间如图丙所示，则单摆的周期T＝　1.5　 s（结果保留两位有效数字）；若摆线的长度用L表示，则当地的重力加速度g＝　　 （用L、d、n、t表示）。 【答案】（1）17.6；（2）1.5，。 【解答】解：（1）图中游标卡尺的最小分度值为0.1mm，摆球的直径为d＝1.7cm+0.1mm×6＝17.6mm （2）摆球做n＝50次全振动的时间t＝60s+15.6s＝75.6s 则单摆的周期 根据 可得 故答案为：（1）17.6；（2）1.5，。 【变式训练1】 某实验小组进行“单摆测重力加速度”的实验装置如图甲所示。 （1）用如图乙所示方式测量摆长，已知悬点对齐零刻度，测得的摆长L＝　98.50　 cm； （2）释放摆球，从摆球第1次经过平衡位置开始计时，第n次经过平衡位置结束计时，秒表记录的时间为t，则单摆周期T＝　　 （用t和n表示）； （3）多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用多组实验数据绘制得到如图丙的T2﹣L图像，可知当地重力加速度g＝　　 （用图丙中字母表示）； （4）单摆可用于计时，当其位于不同地区时，有可能因g值不同产生偏差。为能方便快捷地重新调准，某同学设计了一装置如图丁所示：劲度系数为k的轻质弹性细绳OB两端分别与地面、不可伸长的轻绳OA拴连，OA绕过光滑定滑轮拴连一质量为m的小球。操作步骤： ①托住小球上下移动，当OA、OB两绳都竖直且刚好伸直时，记下球心位置，在此位置固定一小孔卡口（可开合以释放、卡死摆线）； ②释放小球，使摆线穿过卡口。待小球静止后闭合卡口，若令　π2 s﹣2（结果可用π表示），则可使该摆球小角度摆动周期为2s，重新调准时，只需让小球停摆，打开卡口，待小球静止后再闭合卡口，重新让小球开始摆动即可。 【答案】（1）98.50；（2）；（3）；（4）②π2。 【解答】解：（1）刻度尺的最小分度值为0.1cm，测得的摆长L＝98.50cm； （2）由题意可知，单摆的周期为； （3）根据单摆的周期公式有，整理得，结合图像斜率有，解得； （4）②当OA、OB两绳都竖直且伸直时，记下球心位置，在此位置固定一小孔卡口，此时轻质弹性细绳的弹力为零；释放小球，使摆线穿过卡扣，待小球静止后闭合卡口，故单摆的摆长为；单摆的周期为 联立解得 则 故答案为：（1）98.50；（2）；（3）；（4）②π2。 【变式训练2】（2026•朝阳区模拟）某同学做“用单摆测量重力加速度”实验。 （1）在测量单摆周期时，他在摆球某次经过平衡位置时开始计时并计为第1次，摆球第N次经过平衡位置时停止计时，测得所用时间为t，则周期T＝　　 。 （2）该同学多次测量单摆的摆长L和周期T，在作图求重力加速度g时，为得到线性图线，若纵轴选用L，则横轴应选用　T2 （选填“T”、“T2”或“”）。 （3）如图甲所示为惠更斯摆钟示意图，将其下方钟摆的运动视为简谐运动。若发现该钟比设计要求走得快，为校准时间，应采取的措施是　B　 （填选项前的字母）。 A.将摆杆上的摆球向上调节 B.将摆杆上的摆球向下调节 C.增加摆球的质量 D.减小初始摆角 （4）人类使用摆计时始于17世纪，而在公元前16世纪的古埃及则使用水钟计时。图乙所示是某同学设计的水钟，在横截面积足够大的水瓶侧壁开一小孔，用带孔的小胶塞密封后插入出水管，当出水管排水时，瓶内水面缓慢下降，从而通过记录水面位置来计时。将水面最初位置标记为时间刻度0，出水管水平线标记为时间刻度1，请推导说明二者中点时间刻度t能否标记为刻度0.5。不计各种阻力。 【答案】（1）；（2）T2；（3）B；（4）不能；根据动能定理可得出水速度满足，水面下降过程中高度h不断减小，出水速度逐渐减小，流完前半段的时间小于后半段的时间。 【解答】解：（1）单摆的周期 （2）根据单摆周期公式 变形得 为得到线性图线，若纵轴选用L，则横轴应选用T2； （3）AB.根据单摆周期公式 该钟比设计要求走得快，说明钟摆的周期变小，为校准时间，应采取的措施是将摆杆上的摆球向下调节，增加摆长，故A错误，B正确； CD.单摆的周期与摆球质量无关，与摆角（不大于5°）的大小无关，故CD错误。 故选：B。 （4）设质量为m的水从液面下落到小孔处，水面到管口的深度为h，根据动能定理 可得出水速度满足 水面下降过程中高度h不断减小，出水速度逐渐减小，相同高度对应的水量相同，流水越小，用时越长；从0、1刻度的中点位置，将各个过程分成前后两段，流完前半段的高度的平均流速大于后半段，因此流完前半段的时间小于0.5，二者中点时间刻度t不能标记为刻度0.5。 故答案为：（1）；（2）T2；（3）B；（4）不能；根据动能定理可得出水速度满足，水面下降过程中高度h不断减小，出水速度逐渐减小，流完前半段的时间小于后半段的时间。 考点二 创新实验 知识点1 实验方法改进 一、周期测量方法创新 1.积累计数法优化‌：传统测量30—50次全振动的基础上，创新采用‌倒计时预计数法‌：提前从“5、4、3、2、1、0”倒计数，在“0”时刻按下秒表，解决了单次启动计时反应延迟的问题，大幅降低偶然误差。 2.传感器自动计时‌： 利用智能手机自带的‌距离传感器/加速度传感器‌，通过专用APP（如phyphox）直接记录单摆周期，无需人工计数；距离传感器可感知摆球经过最低点的时间，自动生成距离－时间图像，直接读取周期。 3.使用光敏电阻、光电门等传感器搭配单片机，挡光时自动触发计数，累计N次全振动后自动停止计时，完全消除人工计数错误。 二、摆长测量方法创新 1.等效摆长法适配特殊场景‌：当摆球形状不规则（如石块）无法测量球半径时，采用‌两次摆长法 2.激光测距自动化‌：采用激光测距仪直接测量悬点到摆球球心的距离 三、数据处理方法创新 1.图像法优化 2.利用Excel、Python对多组数据做‌最小二乘法线性拟合‌，自动计算斜率，相比人工描点连线，避免了主观绘图误差，结果更精准。 3.数字化实验系统可自动绘制图像并计算重力加速度，直接输出误差分析结果，省去人工计算环节。 四、特殊场景方法创新 1.圆锥摆修正法‌：如果摆动不小心形成圆锥摆，可引入等效摆长修正公式修正周期，依然可以得到准确结果，拓展了实验的容错范围。 2.双线摆法‌：采用两根等长摆线固定摆球，保证单摆在竖直平面内摆动，避免圆锥摆形成，比传统单摆更容易控制摆动平面，提升稳定性。 知识点2 实验器材改进 一、核心摆体结构创新 双线摆结构‌：用两根等长细线固定摆球两端，替代传统单线悬挂，让摆球始终限定在竖直平面内摆动，完全避免圆锥摆带来的周期误差，结构简单易改造，稳定性远高于传统单线摆。 固定悬点改进‌：传统用手缠绕或简易悬挂容易导致摆长松动，创新采用带锁紧旋钮的悬点固定装置，夹紧摆线后摆长不会随摆动滑动，从装置上消除摆长变动的系统误差。 可调节模块化摆杆‌：部分大学实验采用带刻度的金属摆杆替代细线，搭配可滑动重锤，可直接读取摆长，省去摆线长度和球半径两次测量，简化操作。 二、长度测量工具创新 解决传统刻度尺、游标卡尺读数误差大、操作繁琐问题： 激光测距仪替代传统尺‌：采用激光直接测量悬点到摆球球心的距离，精度可达0.1mm，远高于刻度尺1mm的精度，无需接触即可完成测量，避免操作中碰动摆球改变摆长。 集成刻度摆杆‌：将刻度直接印在固定摆线上方的刚性杆上，摆长可直接从刻度读取，无需额外测量摆线长度，仅需一次测量即可得到摆长，减少测量次数带来的误差。 三、计时工具数字化创新 光电门+数字计时器组合‌：将光电门固定在摆球平衡位置（最低点），摆球经过光电门时自动触发计时，自动完成N次全振动计数，计时精度可达0.001s，无需人工计数，大幅降低偶然误差；仅测量2～3个周期就可以得到准确结果，节省实验时间。 智能手机集成测量方案‌：利用手机自带的传感器替代专业器材，成本极低且实现简单： 加速度传感器/陀螺仪：通过记录摆动过程的加速度变化，直接提取周期数据 距离传感器：手机放在最低点，感知摆球每次经过的时间，自动计算周期 配套实验APP（如phyphox）可直接完成数据处理，输出重力加速度结果，适合学生自主创新实验 单片机+光敏电阻自动化计时‌：通过Arduino等开源单片机控制光敏电阻，摆球挡光时自动计数计时，可自定义测量周期数，自动计算重力加速度，适合科创类创新实验设计。 考向1 实验器材创新 例1 （2026•郴州模拟）某实验小组用轻杆、小球、带角度刻度的硬纸板等制作简易加速度计，如图所示。轻杆上端通过转轴固定在竖直放置的纸板O点，下端固定一小球，轻杆可在竖直纸面内自由转动。将此装置竖直固定于运动小车上，且纸板与运动方向平行，可粗略测量小车的加速度。 （1）若小车启动时，轻杆摆动方向如图所示，则小车运动方向为　向右　 （填“向左”或“向右”）。 （2）若轻杆摆动稳定时与竖直方向的夹角为θ，则小车的加速度大小a＝　gtanθ　 （用θ，g表示）。 （3）实验小组将纸板上的角度刻度换算标注为对应加速度值，制成加速度刻度盘，则刻度盘上的加速度刻度　不均匀　 （填“均匀”或“不均匀”）。 【答案】（1）向右；（2）gtanθ；（3）不均匀。 【解答】解：（1）小球受到重力和拉力如图 可知小球的合力方向向右，小车运动方向为向右。 （2）根据几何知识有，根据牛顿第二定律有F＝ma 联立得a＝gtanθ （3）由（2）加速度表达式可知加速度与角度不成正比，则刻度盘上的加速度刻度不均匀。 故答案为：（1）向右；（2）gtanθ；（3）不均匀。 【变式训练1】（2026•红桥区校级模拟）图甲为某兴趣小组设计的实验装置，在单摆悬点处安装力传感器，可采集摆线的拉力；在小球的平衡位置正下方处安装光电门，可采集小球底部的轻质遮光片遮住光的时间。利用本装置可以完成测量当地重力加速度大小g、验证机械能守恒定律等实验。实验操作如下： ①测量所需长度：用刻度尺测得摆线长度为L，用游标卡尺测得小球直径为D；用螺旋测微器测量遮光片的宽度为d，如图乙所示，则d＝　1.200　 mm； ②测量当地重力加速度的大小：将小球拉至与竖直方向成较小角度并由静止释放。从某时刻开始计时，利用力传感器，获得摆线所受拉力F的大小与时间t的关系图像，如图丙所示，则单摆的周期T＝　2（t2﹣t1）　 （用t1、t2表示），重力加速度大小的测量值为g＝　　 （用L、D、t1和t2表示）； ③验证机械能守恒定律： （ⅰ）将小球拉至与竖直方向成较大角度θ，并由静止释放； （ⅱ）记录小球经过平衡位置时遮光片的遮光时间，则此时遮光片的速度v视为小球经过平衡位置时的速度； （ⅲ）改变θ，重复（ⅰ）和（ⅱ）。 根据所测数据，小球由静止运动到平衡位置的过程中，在误差允许的范围内，若满足v2＝　　 的关系式（用g、θ、L、D表示），则小球在上述过程中机械能守恒。根据多次测量结果发现：小球由静止运动到平衡位置的过程中，重力势能减少量总是小于动能增加量，可能的原因是　遮光片的速度大于小球的速度　 （写出一条即可）。 【答案】①1.200；②2（t2﹣t1），；③，遮光片的速度大于小球的速度。 【解答】解：①用螺旋测微器测量遮光片的宽度为d＝1mm+20.0×0.01mm＝1.200mm； ②小球在最低点时拉力最大，相邻最大拉力间时间为半个周期，则单摆周期T＝2（t2﹣t1） 根据单摆周期公式有，解得 ③小球由静止运动到平衡位置的过程中，若机械能守恒，则有，即 小球由静止运动到平衡位置的过程中，重力势能减少量总是小于动能增加量，可能的原因是遮光片的速度大于小球的速度。 故答案为：①1.200；②2（t2﹣t1），；③，遮光片的速度大于小球的速度。 【变式训练2】（2026•雨花区校级二模）实验是物理学研究的重要方法。 （1）在“用单摆测定重力加速度”的某次实验中，先用游标卡尺测摆球直径如图（a）所示，则d＝　2.150　 cm，然后测得线长为L，从经过最低点开始计时到接下来第n次经过最低点所用时间为t，则测量的重力加速度g＝　　 （用题目中所给的字母符号表示）； （2）在“探究弹簧弹力的大小与形变量的关系”实验时，设计了如图（b）所示的实验装置。倾角为30°的斜面上固定有一深度为15cm、右端开口的圆筒，圆筒内侧左边筒底固定一原长小于筒深的轻弹簧，弹簧右端与一跨过光滑定滑轮的细线相连。实验时，通过改变细线上所挂钩码的质量m来改变弹簧伸出筒口右端的长度x，作出x﹣m的关系如图（c）所示，可得该弹簧的劲度系数k＝　20　 N/m，原长l0＝　10　 cm（重力加速度g取10m/s2）。 【答案】（1）2.150，；（2）20，10。 【解答】解：（1）游标卡尺是20分度的，精确度为0.05mm，所以摆球直径d＝21mm+10×0.05mm＝21.50mm＝2.150cm，单摆在一个周期内有2次经过最低点，所以单摆的周期为T，根据单摆周期公式T＝2可得，重力加速度g； （2）设圆筒的深度为h，对弹簧根据胡克定律有mg＝k（h+x﹣l0），整理可得x，根据图像则有，则弹簧的劲度系数为k＝20N/m，把m＝3×102g时x＝10×10﹣2m代入解得弹簧的原长l0＝10cm 故答案为：（1）2.150，；（2）20，10。 考向2 实验方法创新 例2（2026•武汉模拟）某同学用智能手机和双线摆测量重力加速度。实验步骤如下： ①用螺旋测微器测量小铁球的直径，用磁铁将小铁球磁化； ②按图（a）组装实验装置，调整双线固定端A、B水平，测出摆线长度l和A、B两点之间的距离s； ③将智能手机放在水平载物台上，并位于小球静止位置的正下方。将双线摆拉开较小的角度，由静止释放，使用手机软件采集数据，并绘制磁感应强度B的大小随时间t变化的图像； ④改变l和s，重复步骤②③，得到多组不同等效摆长的双线摆的振动周期。 回答下列问题： （1）螺旋测微器的示数如图（b），则小铁球的直径D＝　20.018　 mm，双线摆的等效摆长L＝　　 （用l、D、s表示）； （2）某次绘制的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图（c）所示。图中第1个曲线峰值点对应的时刻为t1，第21个峰值点对应的时刻为t2，则双线摆的振动周期T＝　　 ； （3）根据实验数据拟合出“T2﹣L”图像为一条倾斜的直线，斜率k＝4.03s2/m，则重力加速度大小g＝　9.79　 m/s2（取π2＝9.86，结果保留三位有效数字）。 【答案】（1）20.018，；（2）；（3）9.79。 【解答】解：（1）由图可知小铁球的直径D＝20mm+1.8×0.01mm＝20.018mm 双线摆的等效摆长 （2）每次小球经过平衡位置时，磁感应强度出现峰值，相邻两次峰值的时间间隔就是半个周期，有 可得双线摆的振动周期 （3）根据单摆周期公式可得 可得 T2﹣L图像为一条倾斜的直线，斜率，解得g≈9.79m/s2 故答案为：（1）20.018，；（2）；（3）9.79。 【变式训练1】（2026•天津模拟）某学习小组用单摆实验装置进行有关力学实验，实验装置如图（a）所示，其中光电门位于悬点的正下方。 （1）该小组先用该装置测量当地重力加速度，操作如下： ①先测出小球的直径d； ②测出此时悬点与小球上端的距离l，则单摆的摆长L＝ 　l　 ，然后调整悬点的高度，使小球能正好通过光电门； ③保持细线拉直，使小球在竖直平面内偏离平衡位置一小段距离后静止释放，通过光电计时器记录下小球连续两次经过光电门的时间间隔为t0，则单摆的周期T＝ 　2t0 ； ④多次改变细线的长度，重复②③的操作，记录下多组摆长L和对应的周期T； ⑤作出T2−L图像，并得到该图像的斜率k＝4.0s2/m，则当地重力加速度g＝ 　9.9　 m/s2（π2≈9.86，计算结果保留两位有效数字）。 【答案】②l；③2t0；⑤9.9。 【解答】解：②单摆的摆长应为摆线长l加上小球的半径 即 ③由于摆球一个周期内两次经过最低点，结合题意小球连续两次经过光电门的时间间隔为t0则有t0 解得单摆的周期为T＝2t0 ⑤根据单摆的周期公式 可得，故在T2﹣L图像中，其斜率为 解得 故答案为：②l；③2t0；⑤9.9。 【变式训练2】（2026•朝阳区校级二模）某同学用如图甲所示的实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。细线的一端固定在一力传感器触点上，力传感器与电脑屏幕相连，能直观显示细线的拉力大小随时间的变化情况，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器，记录小球经过光电门的次数及时间。 （1）用游标卡尺测量摆球直径d，结果如图乙所示，则摆球直径d＝　1.240　 cm。 （2）将摆球从平衡位置拉开一个合适的角度，由静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定摆动后，启动数字计时器，摆球某次通过光电门时从1开始计数计时，当摆球第n次（n为大于3的奇数）通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T＝　　 （用t、n表示）。 （3）若在某次实验时该同学未测量摆球直径d，在测得多组细线长度l和对应的周期T后，画出l﹣T2图像。在图线上选取M、N两个点，找到两点相应的横、纵坐标。如图丁所示，利用该两点的坐标可得重力加速度表达式g＝　　 ，理论上图线在纵轴截距的绝对值等于　　 。 （4）小刘同学将一个摆长未知的单摆挂在测力传感器的探头上，用测力探头和计算机组成的实验装置来测定单摆动过程中摆线受到的拉力（摆角小于5°），计算机屏幕上得到如图所示F﹣t的图像，由图像可确定：此摆球的质量为　0.05　 kg（g＝10m/s2）。 【答案】（1）1.240；（2）；（3），；（4）0.05。 【解答】解：（1）游标卡尺的最小分度值为0.05mm，读数为主尺读数与游标尺读数之和，所以摆球直径d＝12mm+8×0.05mm＝12.40mm＝1.240cm （2）小球运动的周期数为，此单摆的周期 （3）根据单摆周期公式 可得 可知l﹣T2图像的斜率 由图丁可知 故重力加速度表达式为 理论上图线在纵轴截距的绝对值等于 （4）每个周期内小球两次经过最低点，摆线的拉力两次达到最大，所以单摆的周期为T＝0.4πs； 最高点时有F2＝mgcosθ 最低点时有 根据动能定理有 代入数据解得m＝0.05kg 故答案为：（1）1.240；（2）；（3），；（4）0.05。 【真题回顾】 1．（2025•浙江）在用单摆测重力加速度的实验中， （1）如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2所示，则单摆的周期为 　1.31　 s（结果保留3位有效数字）。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为T＝ 　　 ； （2）丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l﹣T2关系图线，如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度g＝ 　4π2k　 ，小钢球重心到摆线下端的高度差h＝ 　bk　 ；（结果均用k、b表示） （3）丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为8.64m/s2。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是 　由于阻力的存在，实际上小球在做阻尼振动，回复力要小于理想情况下的回复力，因此会导致k值小于理想的k值　 。 【答案】（1）1.31；；（2）4π2k；bk；（3）由于阻力的存在，实际上小球在做阻尼振动，回复力要小于理想情况下的回复力，因此会导致k值小于理想的k值。 【解答】解：（1）对于甲同学：小球每经过最低点拉力最大，相邻两次经过最低点时间间隔为半个周期，因此图2中起始值到终止值共有5个周期， 则Ts≈1.31s。 对于乙同学：小球每经过最低点遮光一次，相邻两次遮光时间间隔为半个周期，因此从第1次遮光到第n次遮光，共有个周期，则T。 （2）摆长L＝l+h，根据单摆周期公式T＝2π，整理可得l•T2﹣h，图中斜率k，横截距b，联立可得：g＝4π2k，h＝bk。 （3）小球做类单摆的简谐运动，理想情况下，重力沿圆弧方向的分力提供回复力，有F＝﹣kx。由于阻力的存在，实际上小球在做阻尼振动，回复力要小于理想情况下的回复力，因此会导致k值小于理想的k值，根据简谐运动周期公式：T＝2π，实际周期大于理想情况下单摆下的周期，结合单摆周期公式T＝2π，可得g的测量值小于真实值。 故答案为：（1）1.31；；（2）4π2k；bk；（3）由于阻力的存在，实际上小球在做阻尼振动，回复力要小于理想情况下的回复力，因此会导致k值小于理想的k值。 2．（2023•新课标）一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 （1）用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图（a） 所示，该示数为　0.005　 mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图（b）所示，该示数为　20.034　 mm，则摆球的直径为　20.029　 mm。 （2）单摆实验的装置示意图如图（c）所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角　大于　 5° （填“大于”或“小于”）。 （3）某次实验所用单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为　82.5　 cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60s，则此单摆周期为　1.82　 s，该小组测得的重力加速度大小为　9.83　 m/s2。（结果均保留3位有效数字，π2取9.870 ） 【答案】（1）0.005；20.034；20.029；（2）大于；（3）82.5；1.82；9.83 【解答】解：（1）测量前测微螺杆和测砧相触时，图（a）的示数为 d0＝0mm+0.5×0.01mm＝0.005mm 螺旋测微器的分度值为0.01mm，需要估读到分度值的下一位，则图中的读数为： d1＝20mm+3.4×0.01mm＝20.034mm 因此摆球的直径为： d＝d1﹣d0＝20.034mm﹣0.005mm＝20.029mm （2）角度盘的大小一定，则在规定的位置安装角度盘，测量的角度准确，但将角度盘固定在规定位置的上方时，角度盘到悬挂点的距离将会变短，因此在保持角度相同的情况下，摆线在刻度盘上扫过的弧长会变短，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，其实际摆角大于5°； （3）根据几何关系可知，摆长为： 一次全振动过程中单摆经过最低点两次，则单摆的周期为： 根据单摆的周期公式可得： 代入数据解得：g＝9.83m/s2。 故答案为：（1）0.005；20.034；20.029；（2）大于；（3）82.5；1.82；9.83 3．（2023•河北）某实验小组利用图1装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。 （1）关于本实验，下列说法正确的是 　ABD　 。（多选） A．小钢球摆动平面应与光电门U形平面垂直 B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度 C．小钢球可以换成较轻的橡胶球 D．应无初速度、小摆角释放小钢球 （2）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测微器示数如图2，小钢球直径d＝　20.035　 mm，记摆长。 （3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T，并作出l﹣T2图像，如图3。根据图线斜率可计算重力加速度g＝　9.87　 m/s2（保留3位有效数字，π2取9.87）。 （4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将 　不变　 （填“偏大”“偏小”或“不变”）。 【答案】（1）ABD；（2）20.035；（3）9.87；（4）不变。 【解答】解：（1）A．使用光电门测量时，光电门U形平面与被测物体的运动方向垂直是光电门使用的基本要求，故A正确； B．测量摆线长度时，要保证绳子处于伸直状态，故B正确； C．单摆是一个理想化模型，若采用质量较轻的橡胶球，空气阻力对摆球运动的影响较大，故C错误； D．无初速度、小摆角释放的目的是保持摆球在竖直平面内运动，不形成圆锥摆，且单摆只有在摆角很小的情况下才可视为简谐运动，使用计算单摆的周期，故D正确。 故选：ABD。 （2）螺旋测微器的精确度为0.01mm，小钢球直径d＝20mm+3.5×0.01mm＝20.035mm （3）单摆周期公式 整理得 结合l﹣T2图像可知，图像的斜率 解得g＝9.87m/s2 （4）若将摆线长度L误认为摆长l，有 则得到的图线为 仍用上述图像法处理数据，图线斜率不变，仍为，故得到的重力加速度值不变。 故答案为：（1）ABD；（2）20.035；（3）9.87；（4）不变。 4．（2023•重庆）某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。 （1）用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图1甲所示，则摆球的直径d为 　19.20　 mm。 （2）用摆线和摆球组成单摆，如图1乙所示。当摆线长度l＝990.1mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00s，由此算得重力加速度g为 　9.86　 m/s2（保留3位有效数字）。 （3）改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图2所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是 　随着摆长的增大Δg逐渐减小　 ，原因是 　l越接近l　 。 【答案】（1）19.20；（2）9.86；（3）随着摆长的增大Δg逐渐减小，摆长越大时，l越接近l 【解答】解：（1）游标卡尺的精度为0.02mm，固定尺读数为19mm，游标尺读数为10×0.02mm，则摆球的直径d＝19mm+0.20mm＝19.20mm； （2）单摆的摆长为：L＝l990.1mm19.20mm＝999.7mm＝0.9997m 根据单摆的周期公式T＝2，代入解得：g＝9.86m/s2 （3）由图可知Δg的变化特点是随着摆长的增大Δg逐渐减小，摆长越大时，l越接近l。 故答案为：（1）19.20；（2）9.86；（3）随着摆长的增大Δg逐渐减小，摆长越大时，l越接近l 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第32讲 用单摆测定重力加速度 考点一 教材原型实验 知识点1 实验原理及步骤 一、实验目的 1.学会用单摆测量当地的重力加速度。 2.能正确熟练地使用停表。 二、实验原理 当摆角很小时，单摆做简谐运动，其振动周期T＝2π ，它与摆角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝ 。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地重力加速度g的值。 三、实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的小钢球、不易伸长的细线（约1米）、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。 四、实验步骤 1.做单摆 将细线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把细线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。 2.测摆长 用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小钢球直径D，则单摆的摆长l＝ l′＋ 。 3.测周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度（小于5°），然后释放摆球，当单摆经过平衡位置时开始计时，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 4.改变摆长，重复做几次实验。 知识点2 数据处理与误差分析 一、数据处理 1.公式法 将测得的几组周期T和摆长l代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即当地重力加速度的值。 2.图像法 由单摆的周期公式T＝2π可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l－T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g＝ 4π2k 。 拓展：（1）测量摆长，未加小球半径时，用公式法求得的g值偏小，但根据T2－l图线，由斜率求得的g值是准确的，因为T2＝(L＋r)＝L＋r（L为绳长），此时图线如图中a所示。 （2）同理，如果把绳长加小球直径作为摆长，此时，T2＝(l－r)＝l－r，其T2－l图线如图中b所示，由斜率求得的g值仍然是准确的。 二、注意事项 （1）一般选用一米左右的细线。 （2）悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。 （3）应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。 （4）单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°。 （5）选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。 三、误差分析 产生原因 减小方法 偶然误差 测量时间（单摆周期）及摆长时产生误差 ①多次测量再求平均值； ②计时从单摆经过平衡位置时开始 系统误差 主要来源于单摆模型本身 ①摆球要选体积小，密度大的； ②最大摆角要小于5° 考向1 实验原理、数据处理与误差分析 例1 （2026•永川区校级一模）在学习了用单摆测重力加速度实验后，小李同学放学后来到了实验室，利用如图1所示的装置测量当地的重力加速度，除了图甲中的实验器材，实验室还提供了10分度的游标卡尺、米尺和秒表。 （1）组装实验器材前，小赞用游标卡尺测量了摆球的直径，其读数如图乙所示，则摆球的直径为d＝　　 mm。 （2）实验时，小李同学测量了摆球做n＝50次全振动的时间t，该时间如图丙所示，则单摆的周期T＝　　 s（结果保留两位有效数字）；若摆线的长度用L表示，则当地的重力加速度g＝　　 （用L、d、n、t表示）。 【变式训练1】 某实验小组进行“单摆测重力加速度”的实验装置如图甲所示。 （1）用如图乙所示方式测量摆长，已知悬点对齐零刻度，测得的摆长L＝　 　 cm； （2）释放摆球，从摆球第1次经过平衡位置开始计时，第n次经过平衡位置结束计时，秒表记录的时间为t，则单摆周期T＝　　 （用t和n表示）； （3）多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用多组实验数据绘制得到如图丙的T2﹣L图像，可知当地重力加速度g＝　 　（用图丙中字母表示）； （4）单摆可用于计时，当其位于不同地区时，有可能因g值不同产生偏差。为能方便快捷地重新调准，某同学设计了一装置如图丁所示：劲度系数为k的轻质弹性细绳OB两端分别与地面、不可伸长的轻绳OA拴连，OA绕过光滑定滑轮拴连一质量为m的小球。操作步骤： ①托住小球上下移动，当OA、OB两绳都竖直且刚好伸直时，记下球心位置，在此位置固定一小孔卡口（可开合以释放、卡死摆线）； ②释放小球，使摆线穿过卡口。待小球静止后闭合卡口，若令　 　s﹣2（结果可用π表示），则可使该摆球小角度摆动周期为2s，重新调准时，只需让小球停摆，打开卡口，待小球静止后再闭合卡口，重新让小球开始摆动即可。 【变式训练2】（2026•朝阳区模拟）某同学做“用单摆测量重力加速度”实验。 （1）在测量单摆周期时，他在摆球某次经过平衡位置时开始计时并计为第1次，摆球第N次经过平衡位置时停止计时，测得所用时间为t，则周期T＝　 　 。 （2）该同学多次测量单摆的摆长L和周期T，在作图求重力加速度g时，为得到线性图线，若纵轴选用L，则横轴应选用　 　 （选填“T”、“T2”或“”）。 （3）如图甲所示为惠更斯摆钟示意图，将其下方钟摆的运动视为简谐运动。若发现该钟比设计要求走得快，为校准时间，应采取的措施是　 　　 （填选项前的字母）。 A.将摆杆上的摆球向上调节 B.将摆杆上的摆球向下调节 C.增加摆球的质量 D.减小初始摆角 （4）人类使用摆计时始于17世纪，而在公元前16世纪的古埃及则使用水钟计时。图乙所示是某同学设计的水钟，在横截面积足够大的水瓶侧壁开一小孔，用带孔的小胶塞密封后插入出水管，当出水管排水时，瓶内水面缓慢下降，从而通过记录水面位置来计时。将水面最初位置标记为时间刻度0，出水管水平线标记为时间刻度1，请推导说明二者中点时间刻度t能否标记为刻度0.5。不计各种阻力。 考点二 创新实验 知识点1 实验方法改进 一、周期测量方法创新 1.积累计数法优化‌：传统测量30—50次全振动的基础上，创新采用‌倒计时预计数法‌：提前从“5、4、3、2、1、0”倒计数，在“0”时刻按下秒表，解决了单次启动计时反应延迟的问题，大幅降低偶然误差。 2.传感器自动计时‌： 利用智能手机自带的‌距离传感器/加速度传感器‌，通过专用APP（如phyphox）直接记录单摆周期，无需人工计数；距离传感器可感知摆球经过最低点的时间，自动生成距离－时间图像，直接读取周期。 3.使用光敏电阻、光电门等传感器搭配单片机，挡光时自动触发计数，累计N次全振动后自动停止计时，完全消除人工计数错误。 二、摆长测量方法创新 1.等效摆长法适配特殊场景‌：当摆球形状不规则（如石块）无法测量球半径时，采用‌两次摆长法 2.激光测距自动化‌：采用激光测距仪直接测量悬点到摆球球心的距离 三、数据处理方法创新 1.图像法优化 2.利用Excel、Python对多组数据做‌最小二乘法线性拟合‌，自动计算斜率，相比人工描点连线，避免了主观绘图误差，结果更精准。 3.数字化实验系统可自动绘制图像并计算重力加速度，直接输出误差分析结果，省去人工计算环节。 四、特殊场景方法创新 1.圆锥摆修正法‌：如果摆动不小心形成圆锥摆，可引入等效摆长修正公式修正周期，依然可以得到准确结果，拓展了实验的容错范围。 2.双线摆法‌：采用两根等长摆线固定摆球，保证单摆在竖直平面内摆动，避免圆锥摆形成，比传统单摆更容易控制摆动平面，提升稳定性。 知识点2 实验器材改进 一、核心摆体结构创新 双线摆结构‌：用两根等长细线固定摆球两端，替代传统单线悬挂，让摆球始终限定在竖直平面内摆动，完全避免圆锥摆带来的周期误差，结构简单易改造，稳定性远高于传统单线摆。 固定悬点改进‌：传统用手缠绕或简易悬挂容易导致摆长松动，创新采用带锁紧旋钮的悬点固定装置，夹紧摆线后摆长不会随摆动滑动，从装置上消除摆长变动的系统误差。 可调节模块化摆杆‌：部分大学实验采用带刻度的金属摆杆替代细线，搭配可滑动重锤，可直接读取摆长，省去摆线长度和球半径两次测量，简化操作。 二、长度测量工具创新 解决传统刻度尺、游标卡尺读数误差大、操作繁琐问题： 激光测距仪替代传统尺‌：采用激光直接测量悬点到摆球球心的距离，精度可达0.1mm，远高于刻度尺1mm的精度，无需接触即可完成测量，避免操作中碰动摆球改变摆长。 集成刻度摆杆‌：将刻度直接印在固定摆线上方的刚性杆上，摆长可直接从刻度读取，无需额外测量摆线长度，仅需一次测量即可得到摆长，减少测量次数带来的误差。 三、计时工具数字化创新 光电门+数字计时器组合‌：将光电门固定在摆球平衡位置（最低点），摆球经过光电门时自动触发计时，自动完成N次全振动计数，计时精度可达0.001s，无需人工计数，大幅降低偶然误差；仅测量2～3个周期就可以得到准确结果，节省实验时间。 智能手机集成测量方案‌：利用手机自带的传感器替代专业器材，成本极低且实现简单： 加速度传感器/陀螺仪：通过记录摆动过程的加速度变化，直接提取周期数据 距离传感器：手机放在最低点，感知摆球每次经过的时间，自动计算周期 配套实验APP（如phyphox）可直接完成数据处理，输出重力加速度结果，适合学生自主创新实验 单片机+光敏电阻自动化计时‌：通过Arduino等开源单片机控制光敏电阻，摆球挡光时自动计数计时，可自定义测量周期数，自动计算重力加速度，适合科创类创新实验设计。 考向1 实验器材创新 例1 （2026•郴州模拟）某实验小组用轻杆、小球、带角度刻度的硬纸板等制作简易加速度计，如图所示。轻杆上端通过转轴固定在竖直放置的纸板O点，下端固定一小球，轻杆可在竖直纸面内自由转动。将此装置竖直固定于运动小车上，且纸板与运动方向平行，可粗略测量小车的加速度。 （1）若小车启动时，轻杆摆动方向如图所示，则小车运动方向为　 　　 （填“向左”或“向右”）。 （2）若轻杆摆动稳定时与竖直方向的夹角为θ，则小车的加速度大小a＝ 　　 （用θ，g表示）。 （3）实验小组将纸板上的角度刻度换算标注为对应加速度值，制成加速度刻度盘，则刻度盘上的加速度刻度　 　　 （填“均匀”或“不均匀”）。 【变式训练1】（2026•红桥区校级模拟）图甲为某兴趣小组设计的实验装置，在单摆悬点处安装力传感器，可采集摆线的拉力；在小球的平衡位置正下方处安装光电门，可采集小球底部的轻质遮光片遮住光的时间。利用本装置可以完成测量当地重力加速度大小g、验证机械能守恒定律等实验。实验操作如下： ①测量所需长度：用刻度尺测得摆线长度为L，用游标卡尺测得小球直径为D；用螺旋测微器测量遮光片的宽度为d，如图乙所示，则d＝　 　　 mm； ②测量当地重力加速度的大小：将小球拉至与竖直方向成较小角度并由静止释放。从某时刻开始计时，利用力传感器，获得摆线所受拉力F的大小与时间t的关系图像，如图丙所示，则单摆的周期 T＝　 　 　 （用t1、t2表示），重力加速度大小的测量值为g＝　 　 （用L、D、t1和t2表示）； ③验证机械能守恒定律： （ⅰ）将小球拉至与竖直方向成较大角度θ，并由静止释放； （ⅱ）记录小球经过平衡位置时遮光片的遮光时间，则此时遮光片的速度v视为小球经过平衡位置时的速度； （ⅲ）改变θ，重复（ⅰ）和（ⅱ）。 根据所测数据，小球由静止运动到平衡位置的过程中，在误差允许的范围内，若满足v2＝　 　 的关系式（用g、θ、L、D表示），则小球在上述过程中机械能守恒。根据多次测量结果发现：小球由静止运动到平衡位置的过程中，重力势能减少量总是小于动能增加量，可能的原因是　 　 　 （写出一条即可）。 【变式训练2】（2026•雨花区校级二模）实验是物理学研究的重要方法。 （1）在“用单摆测定重力加速度”的某次实验中，先用游标卡尺测摆球直径如图（a）所示，则 d＝　 　　 cm，然后测得线长为L，从经过最低点开始计时到接下来第n次经过最低点所用时间为t，则测量的重力加速度g＝ 　 （用题目中所给的字母符号表示）； （2）在“探究弹簧弹力的大小与形变量的关系”实验时，设计了如图（b）所示的实验装置。倾角为30°的斜面上固定有一深度为15cm、右端开口的圆筒，圆筒内侧左边筒底固定一原长小于筒深的轻弹簧，弹簧右端与一跨过光滑定滑轮的细线相连。实验时，通过改变细线上所挂钩码的质量m来改变弹簧伸出筒口右端的长度x，作出x﹣m的关系如图（c）所示，可得该弹簧的劲度系数k＝ 　　 N/m，原长l0＝　 　　 cm（重力加速度g取10m/s2）。 考向2 实验方法创新 例2（2026•武汉模拟）某同学用智能手机和双线摆测量重力加速度。实验步骤如下： ①用螺旋测微器测量小铁球的直径，用磁铁将小铁球磁化； ②按图（a）组装实验装置，调整双线固定端A、B水平，测出摆线长度l和A、B两点之间的距离s； ③将智能手机放在水平载物台上，并位于小球静止位置的正下方。将双线摆拉开较小的角度，由静止释放，使用手机软件采集数据，并绘制磁感应强度B的大小随时间t变化的图像； ④改变l和s，重复步骤②③，得到多组不同等效摆长的双线摆的振动周期。 回答下列问题： （1）螺旋测微器的示数如图（b），则小铁球的直径D＝　 　 mm，双线摆的等效摆长L＝　 　（用l、D、s表示）； （2）某次绘制的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图（c）所示。图中第1个曲线峰值点对应的时刻为t1，第21个峰值点对应的时刻为t2，则双线摆的振动周期T＝　 　 ； （3）根据实验数据拟合出“T2﹣L”图像为一条倾斜的直线，斜率k＝4.03s2/m，则重力加速度大小g＝ 　 　 m/s2（取π2＝9.86，结果保留三位有效数字）。 【变式训练1】（2026•天津模拟）某学习小组用单摆实验装置进行有关力学实验，实验装置如图（a）所示，其中光电门位于悬点的正下方。 （1）该小组先用该装置测量当地重力加速度，操作如下： ①先测出小球的直径d； ②测出此时悬点与小球上端的距离l，则单摆的摆长L＝ 　 ，然后调整悬点的高度，使小球能正好通过光电门； ③保持细线拉直，使小球在竖直平面内偏离平衡位置一小段距离后静止释放，通过光电计时器记录下小球连续两次经过光电门的时间间隔为t0，则单摆的周期T＝ 　 　 ； ④多次改变细线的长度，重复②③的操作，记录下多组摆长L和对应的周期T； ⑤作出T2−L图像，并得到该图像的斜率k＝4.0s2/m，则当地重力加速度g＝ 　 　　 m/s2（π2≈9.86，计算结果保留两位有效数字）。 【变式训练2】（2026•朝阳区校级二模）某同学用如图甲所示的实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。细线的一端固定在一力传感器触点上，力传感器与电脑屏幕相连，能直观显示细线的拉力大小随时间的变化情况，在摆球的平衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器，记录小球经过光电门的次数及时间。 （1）用游标卡尺测量摆球直径d，结果如图乙所示，则摆球直径d＝　 　 cm。 （2）将摆球从平衡位置拉开一个合适的角度，由静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定摆动后，启动数字计时器，摆球某次通过光电门时从1开始计数计时，当摆球第n次（n为大于3的奇数）通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T＝ 　 （用t、n表示）。 （3）若在某次实验时该同学未测量摆球直径d，在测得多组细线长度l和对应的周期T后，画出l﹣T2图像。在图线上选取M、N两个点，找到两点相应的横、纵坐标。如图丁所示，利用该两点的坐标可得重力加速度表达式g＝ 　 ，理论上图线在纵轴截距的绝对值等于　 　 。 （4）小刘同学将一个摆长未知的单摆挂在测力传感器的探头上，用测力探头和计算机组成的实验装置来测定单摆动过程中摆线受到的拉力（摆角小于5°），计算机屏幕上得到如图所示F﹣t的图像，由图像可确定：此摆球的质量为　 　 kg（g＝10m/s2）。 【真题回顾】 1．（2025•浙江）在用单摆测重力加速度的实验中， （1）如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2所示，则单摆的周期为 　 　　 s（结果保留3位有效数字）。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为T＝ 　 　 ； （2）丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l﹣T2关系图线，如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度g＝ 　　 ，小钢球重心到摆线下端的高度差h＝ 　 ；（结果均用k、b表示） （3）丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为8.64m/s2。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 。 2．（2023•新课标）一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 （1）用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图（a） 所示，该示数为　 　　 mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图（b）所示，该示数为　 　　 mm，则摆球的直径为　 　　 mm。 （2）单摆实验的装置示意图如图（c）所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角　 　　 5° （填“大于”或“小于”）。 （3）某次实验所用单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为　 　　 cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60s，则此单摆周期为　 　　 s，该小组测得的重力加速度大小为　 　　 m/s2。（结果均保留3位有效数字，π2取9.870 ） 3．（2023•河北）某实验小组利用图1装置测量重力加速度。摆线上端固定在O点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。 （1）关于本实验，下列说法正确的是 　 　　 。（多选） A．小钢球摆动平面应与光电门U形平面垂直 B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度 C．小钢球可以换成较轻的橡胶球 D．应无初速度、小摆角释放小钢球 （2）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢球直径d。螺旋测微器示数如图2，小钢球直径d＝　 　　 mm，记摆长。 （3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T，并作出l﹣T2图像，如图3。根据图线斜率可计算重力加速度g＝　 　　 m/s2（保留3位有效数字，π2取9.87）。 （4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将 　 　　 （填“偏大”“偏小”或“不变”）。 4．（2023•重庆）某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。 （1）用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图1甲所示，则摆球的直径d为 　 　　 mm。 （2）用摆线和摆球组成单摆，如图1乙所示。当摆线长度l＝990.1mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00s，由此算得重力加速度g为 　 　　 m/s2（保留3位有效数字）。 （3）改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和l作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图2所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是 　 　 　　 ，原因是 　 　 　 。 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $