第42讲　实验九　用单摆测定重力加速度 讲义-2027届高三物理一轮复习

第42讲　实验九　用单摆测定重力加速度 一、实验目的 1．学会用单摆测量当地的重力加速度。 2．能正确熟练地使用停表。 二、实验原理 当摆角很小时，单摆做简谐运动，其振动周期T＝ 2π　，它与摆角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝ 　。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地重力加速度g的值。 三、实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的小钢球、不易伸长的细线(约1米)、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。 四、实验步骤 1．做单摆 将细线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把细线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。 2．测摆长 用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小钢球直径D，则单摆的摆长l＝ l′＋　。 3．测周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放摆球，当单摆经过_平衡位置__时开始计时，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 4．改变摆长，重复做几次实验。 五、数据处理 1．公式法 将测得的几组周期T和摆长l代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即当地重力加速度的值。 2．图像法 由单摆的周期公式T＝2π可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l－T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g＝_4π2k__。 拓展：(1)测量摆长，未加小球半径时，用公式法求得的g值偏小，但根据T2－l图线，由斜率求得的g值是准确的，因为T2＝(L＋r)＝L＋r(L为绳长)，此时图线如图中a所示。 (2)同理，如果把绳长加小球直径作为摆长，此时，T2＝(l－r)＝l－r，其T2－l图线如图中b所示，由斜率求得的g值仍然是准确的。 六、注意事项 (1)一般选用一米左右的细线。 (2)悬线顶端不能晃动，需有夹子夹住，保证悬点固定。 (3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。 (4)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°。 (5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时 ，并数准全振动的次数。 七、误差分析 产生原因 减小方法 偶然 误差 测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差 ①多次测量再求平均值； ②计时从单摆经过平衡位置时开始 系统 误差 主要来源于单摆模型本身 ①摆球要选体积小，密度大的； ②最大摆角要小于5° 教材原型实验 (基础考点·自主探究) 【跟踪训练】 (实验原理、数据处理和误差分析)某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)该同学先用游标卡尺测量小铁球的直径如图甲所示，则小铁球的直径d＝________cm. (2)该同学用停表计时，记录了单摆全振动50次所用的时间如图乙所示，停表读数为________s。 (3)若摆线的长度为0.98 m，该同学由以上数据求出重力加速度g＝________m/s2(结果保留三位有效数字，π2取9.86)。 (4)若该同学测得的g值偏小，可能的原因是________(填正确答案标号)。 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现了松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，停表提前按下 D．实验中误将49次全振动数为50次 (实验器材、实验操作和数据处理) 实验小组的同学用如图所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。(π取3.14) (1)实验室有如下器材可供选用： A．长约1 m的细线 B．长约1 m的橡皮绳 C．直径约2 cm的铁球 D．直径约2 cm的塑料球 E．米尺 F．时钟 G．停表 实验时需要从上述器材中选择：________(填写器材前面的字母)。 (2)在挑选合适的器材制成单摆后他们开始实验，操作步骤如下： ①将单摆上端固定在铁架台上； ②测得摆线长度作为单摆的摆长； ③在摆角较小的位置将小球由静止释放； ④记录小球完成n次全振动所用的总时间t，得到单摆振动周期T＝； ⑤根据单摆周期公式计算重力加速度的大小。其中有一处操作不妥当的是________。(填写操作步骤前面的序号) (3)按照以上的实验步骤，测量多组摆长和对应的周期，并根据实验数据作出了图像，根据该图像得出重力加速度的测量值为________m/s2。(计算结果保留三位有效数字) (4)实验后同学们进行了反思。他们发现由单摆周期公式可知周期与摆角无关，而实验中却要求摆角较小。请你简要说明其中的原因：________。 创新实验提升 (能力考点·深度研析) ►考向1　实验器材和实验方案的改进 某同学用如图甲所示的实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。细线的一端固定在一力传感器触点上，力传感器与电脑屏幕相连，能直观显示细线的拉力大小随时间的变化情况，在摆球的平衡位置处放置一个光电门，连接数字计时器，记录摆球经过光电门的次数及时间。 (1)用游标卡尺测量摆球直径d，结果如图乙所示，则摆球直径d＝_______cm； (2)将摆球从平衡位置拉到一个合适的角度，由静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定摆动后，启动数字计时器，摆球某次通过光电门时从1开始计数计时，当摆球第n次(n为大于3的奇数)通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T＝________(用t、n表示)。此过程中在计算机屏幕上得到如图丙所示的F－t图像，可知图像中两相邻峰值之间的时间间隔为________。 (3)若在某次实验时该同学未测量摆球直径d，在测得多组细线长度l和对应的周期T后，画出l－T2图像。在图线上选取M、N两个点，找到两点相应的横、纵坐标。如图丁所示，利用该两点的坐标可得重力加速度表达式g＝________，理论上图线在纵轴截距的绝对值等于________。 ►考向2　实验原理的改进 (2024·湖北卷)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。 具体步骤如下： ①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。 ②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。 ③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。 ④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。 ⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。 该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。 (1)由步骤④，可知振动周期T＝________。 (2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝________。 (3)由实验数据作出的l－T2图线如图(b)所示，可得g＝________m/s2(保留三位有效数字，π2取9.87)。 (4)本实验的误差来源包括________(双选，填标号)。 A．空气阻力 B．弹簧质量不为零 C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置 提能训练　练案[42] 1．(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________mm，则摆球的直径为________mm。 (2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(填“大于”或“小于”)。 (3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________s，该小组测得的重力加速度大小为________m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870) 2．(2024·广西卷)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。 (1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变。 (2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为________cm。 (3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为_________________________。 3．某实验小组的同学用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”实验。 (1)实验中该同学进行了如下操作，其中正确的是________。 A．用公式g＝计算时，将摆线长当作摆长 B．摆线上端牢固地系于悬点，摆动中不能出现松动 C．确保摆球在同一竖直平面内摆动 D．摆球不在同一竖直平面内运动，形成了圆锥摆 (2)在实验中，多次改变摆长L并测出相应周期T，计算出T2，将数据对应坐标点标注在T2－L坐标系(如图乙所示)中。请将L＝0.700 m，T2＝2.88 s2所对应的坐标点标注在图中，根据已标注数据坐标点描绘出T2－L图线，并通过图线求出当地的重力加速度g＝________m/s2(结果保留3位有效数字)。 (3)将不同实验小组的实验数据标注到同一T2－L坐标系中，分别得到实验图线a、b、c，如图丙所示。已知图线a、b、c平行，图线b过坐标原点。对于图线a、b、c，下列分析正确的是________。 A．出现图线c的原因可能是因为使用的摆线比较长 B．出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L C．由图线b计算出的g值最接近当地的重力加速度，由图线a计算出的g值偏大，图线c计算出的g值偏小 (4)该同学通过自制单摆测量重力加速度。他利用细线和铁锁制成一个单摆，计划利用手机的秒表计时功能和卷尺完成实验。但铁锁的重心未知，不容易确定准确的摆长。请帮助该同学提出“通过一定测量，求出当地重力加速度”的方法______________________________________________________。 4．某智能手机中的“磁传感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越大。宁德某中学的小宁在家里用手机、磁化的小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度，实验步骤如下： ①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。 ②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。 ③运行手机“磁传感器”功能，手机记录磁感应强度的变化。 ④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L及相应的周期T。 (1)如图乙所示，图中记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为________。 (2)实验中用游标卡尺测量摆球直径如图丙所示，则摆球直径为________cm。 (3)得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了T2－L图像，如图丁所示，根据图中数据可得当地重力加速度g＝________m/s2。(π取3.14，结果保留三位有效数字) (4)查资料可知宁德地区的重力加速度为9.79 m/s2，则本实验的相对误差为_______%。(结果保留2位有效数字) 5．(2024·黑吉辽卷)图(a)为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。 (1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图(b)所示，从图中读出D＝________cm。 (2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如图(c)所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了________个周期。 (3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示： 颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫 ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 … 1.792 ln T －0.45 －0.53 －0.56 －0.65 －0.78 －0.92 －1.02 根据表中数据绘制出ln T－ln D图像如图(d)所示，则T与D的近似关系为________。 A．T∝ B．T∝D2 C．T∝ D．T∝ (4)请写出一条提高该实验精度的改进措施：___________________________ ____________________________________________________________________。 6．某学习小组学习了单摆的相关知识后，想利用如图甲所示的装置测量当地的重力加速度。 (1)赵同学找到实验室的光敏电阻等元件，利用如图乙所示装置记录振动周期，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一光敏电阻与激光光源，光敏电阻与某自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的振动周期为T＝________s(结果保留四位有效数字)。 (2)王同学则利用计算机绘制了a、b两个摆球的振动图像(如图丁所示)，由图可知，两单摆摆长之比la∶lb＝________。 (3)李同学每次用同一套实验装置，用同样的步骤进行实验，但所测得的重力加速度总是偏大，其原因可能是________。 A．开始计时时，过早按下秒表 B．测周期记录全振动次数时，将n次全振动误记为(n＋1)次 C．摆球的质量过大 D．计算摆长时，只考虑悬线的长度，没有加上小球的半径 学科网（北京）股份有限公司 $ 第42讲　实验九　用单摆测定重力加速度 一、实验目的 1．学会用单摆测量当地的重力加速度。 2．能正确熟练地使用停表。 二、实验原理 当摆角很小时，单摆做简谐运动，其振动周期T＝ 2π　，它与摆角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝ 　。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地重力加速度g的值。 三、实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的小钢球、不易伸长的细线(约1米)、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。 四、实验步骤 1．做单摆 将细线穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把细线的另一端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂。实验装置如图。 2．测摆长 用毫米刻度尺量出摆线长l′，用游标卡尺测出小钢球直径D，则单摆的摆长l＝ l′＋　。 3．测周期 将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放摆球，当单摆经过_平衡位置__时开始计时，记下单摆做30～50次全振动的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。 4．改变摆长，重复做几次实验。 五、数据处理 1．公式法 将测得的几组周期T和摆长l代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即当地重力加速度的值。 2．图像法 由单摆的周期公式T＝2π可得l＝T2，因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l－T2图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g＝_4π2k__。 拓展：(1)测量摆长，未加小球半径时，用公式法求得的g值偏小，但根据T2－l图线，由斜率求得的g值是准确的，因为T2＝(L＋r)＝L＋r(L为绳长)，此时图线如图中a所示。 (2)同理，如果把绳长加小球直径作为摆长，此时，T2＝(l－r)＝l－r，其T2－l图线如图中b所示，由斜率求得的g值仍然是准确的。 六、注意事项 (1)一般选用一米左右的细线。 (2)悬线顶端不能晃动，需有夹子夹住，保证悬点固定。 (3)应在小球自然下垂时用毫米刻度尺测量悬线长。 (4)单摆必须在同一平面内振动，且摆角小于5°。 (5)选择在摆球摆到平衡位置处时开始计时 ，并数准全振动的次数。 七、误差分析 产生原因 减小方法 偶然 误差 测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差 ①多次测量再求平均值； ②计时从单摆经过平衡位置时开始 系统 误差 主要来源于单摆模型本身 ①摆球要选体积小，密度大的； ②最大摆角要小于5° 教材原型实验 (基础考点·自主探究) 【跟踪训练】 (实验原理、数据处理和误差分析)某同学在做“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)该同学先用游标卡尺测量小铁球的直径如图甲所示，则小铁球的直径d＝________cm. (2)该同学用停表计时，记录了单摆全振动50次所用的时间如图乙所示，停表读数为________s。 (3)若摆线的长度为0.98 m，该同学由以上数据求出重力加速度g＝________m/s2(结果保留三位有效数字，π2取9.86)。 (4)若该同学测得的g值偏小，可能的原因是________(填正确答案标号)。 A．测摆线长时摆线拉得过紧 B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现了松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，停表提前按下 D．实验中误将49次全振动数为50次 [答案]　(1)1.57　(2)100.0　(3)9.74　(4)BC [解析]　(1)由题图甲知小铁球的直径d＝15 mm＋7×0.1 mm＝15.7 mm＝1.57 cm。 (2)由停表可读出时间为t＝100.0 s。 (3)单摆周期公式T＝2π，解得g＝，其中T＝，L＝l线＋，解得g≈9.74 m/s2。 (4)测摆线长时摆线拉得过紧，会使得摆长测量值偏大，由g＝知，将导致g值测量结果偏大，A错误；摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现了松动，使摆线长度增加了，使得测量的摆长偏小，根据g＝，会导致g值测量结果偏小，B正确；开始计时时，停表提前按下，使得测量的周期偏大，由g＝知，会导致g值测量结果偏小，C正确；实验中误将49次全振动数为50次，使得测量的周期偏小，由g＝知，会导致g值测量结果偏大，D错误。 (实验器材、实验操作和数据处理) 实验小组的同学用如图所示的装置做“用单摆测定重力加速度”的实验。(π取3.14) (1)实验室有如下器材可供选用： A．长约1 m的细线 B．长约1 m的橡皮绳 C．直径约2 cm的铁球 D．直径约2 cm的塑料球 E．米尺 F．时钟 G．停表 实验时需要从上述器材中选择：________(填写器材前面的字母)。 (2)在挑选合适的器材制成单摆后他们开始实验，操作步骤如下： ①将单摆上端固定在铁架台上； ②测得摆线长度作为单摆的摆长； ③在摆角较小的位置将小球由静止释放； ④记录小球完成n次全振动所用的总时间t，得到单摆振动周期T＝； ⑤根据单摆周期公式计算重力加速度的大小。其中有一处操作不妥当的是________。(填写操作步骤前面的序号) (3)按照以上的实验步骤，测量多组摆长和对应的周期，并根据实验数据作出了图像，根据该图像得出重力加速度的测量值为________m/s2。(计算结果保留三位有效数字) (4)实验后同学们进行了反思。他们发现由单摆周期公式可知周期与摆角无关，而实验中却要求摆角较小。请你简要说明其中的原因：________。 [答案]　(1)ACEG　(2)②　(3)9.86　(4)见解析 [解析]　(1)单摆的摆长不可伸长，为减小空气阻力的影响和实验误差，应选用长约1 m的细线、直径约2 cm的铁球，要用米尺测量摆长，停表测量周期，故选择ACEG。 (2)操作不妥当的是②。单摆的摆长应等于摆线长度加摆球的半径。 (3)根据单摆的周期公式T＝2π 解得T2＝l 由图像可知k＝ 解得g＝9.86 m/s2。 (4)公式T＝2π是单摆做简谐运动的周期公式。当摆角较小时才可以将单摆的运动视为简谐运动。 创新实验提升 (能力考点·深度研析) ►考向1　实验器材和实验方案的改进 某同学用如图甲所示的实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。细线的一端固定在一力传感器触点上，力传感器与电脑屏幕相连，能直观显示细线的拉力大小随时间的变化情况，在摆球的平衡位置处放置一个光电门，连接数字计时器，记录摆球经过光电门的次数及时间。 (1)用游标卡尺测量摆球直径d，结果如图乙所示，则摆球直径d＝_______cm； (2)将摆球从平衡位置拉到一个合适的角度，由静止释放摆球，摆球在竖直平面内稳定摆动后，启动数字计时器，摆球某次通过光电门时从1开始计数计时，当摆球第n次(n为大于3的奇数)通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T＝________(用t、n表示)。此过程中在计算机屏幕上得到如图丙所示的F－t图像，可知图像中两相邻峰值之间的时间间隔为________。 (3)若在某次实验时该同学未测量摆球直径d，在测得多组细线长度l和对应的周期T后，画出l－T2图像。在图线上选取M、N两个点，找到两点相应的横、纵坐标。如图丁所示，利用该两点的坐标可得重力加速度表达式g＝________，理论上图线在纵轴截距的绝对值等于________。 [答案]　(1)1.240　(2)　　(3)4π2　(或摆球半径) [解析]　(1)摆球直径为d＝12 mm＋8×0.05 mm＝12.40 mm＝1.240 cm。 (2)摆球每个周期经过光电门2次，摆球通过平衡位置时从1开始计数，同时开始计时，当摆球第n次(n为大于3的奇数)通过光电门时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期为T＝＝。图像达到峰值的时刻对应摆球经过最低点的时刻，每个周期摆球经过两次该位置，图像中两相邻峰值之间的时间间隔为。 (3)根据单摆周期公式T＝2π，解得l＝T2－，l－T2图像的斜率k＝，由题图丁知k＝，解得重力加速度表达式为g＝4π2。根据l＝T2－知，理论上图线在纵轴截距的绝对值等于摆球半径。 ►考向2　实验原理的改进 (2024·湖北卷)某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。 具体步骤如下： ①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图(a)所示。 ②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。 ③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。 ④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。 ⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。 该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T＝2π，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。 (1)由步骤④，可知振动周期T＝________。 (2)设弹簧的原长为l0，则l与g、l0、T的关系式为l＝________。 (3)由实验数据作出的l－T2图线如图(b)所示，可得g＝________m/s2(保留三位有效数字，π2取9.87)。 (4)本实验的误差来源包括________(双选，填标号)。 A．空气阻力 B．弹簧质量不为零 C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置 [答案]　(1)　(2)l0＋T2　(3)9.61　(4)AB [解析]　(1)30次全振动时间为t，则振动周期T＝。 (2)设托盘与砝码的总质量为M，静止时有k(l－l0)＝Mg，又T＝2π，联立解得l＝l0＋T2。 (3)l－T2图像斜率为＝ m/s2，解得g＝9.61 m/s2。 (4)弹簧振子为理想化模型，不计阻力与弹簧质量，因此空气阻力和弹簧质量都会引起测量误差，而光电门位置不影响周期的测量，A、B正确。 提能训练　练案[42] 1．(2023·新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。 (1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为________mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为________mm，则摆球的直径为________mm。 (2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角________5°(填“大于”或“小于”)。 (3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为________cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60 s，则此单摆周期为________s，该小组测得的重力加速度大小为________m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870) [答案]　(1)0.006(0.005～0.007均可) 20.035(20.034～20.036均可) 20.029(20.027～20.031均可) (2)大于　(3)82.5　1.82　9.83 [解析]　(1)题图(a)中螺旋测微器读数为0.6×0.01 mm＝0.006 mm；题图(b)中螺旋测微器读数为20.0 mm＋3.5×0.01 mm＝20.035 mm，摆球直径d＝20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm。 (2)假设将角度盘放置在距离悬点极近位置，摆球摆动时，角度盘显示角度小于实际摆动角度，故实际摆角大于5°。 (3)摆长L＝s＋d＝81.50 cm＋×2.002 9 cm＝82.5 cm。从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点一共经历30个周期，周期T＝ s＝1.82 s，根据单摆周期公式T＝2π，得g＝＝ m/s2＝9.83 m/s2。 2．(2024·广西卷)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。 (1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中________不变。 (2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为________cm。 (3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为_________________________。 [答案]　(1)摆长　(2)1.06　(3)x＝cos [解析]　(1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。 (2)摆球直径d＝1.0 cm＋6×0.1 mm＝1.06 cm。 (3)根据单摆的周期公式T＝2π可得单摆的摆长L＝，从平衡位置拉开5°的角度释放，可得振幅A＝Lsin 5°，以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x＝Acos ωt＝cos。 3．某实验小组的同学用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”实验。 (1)实验中该同学进行了如下操作，其中正确的是________。 A．用公式g＝计算时，将摆线长当作摆长 B．摆线上端牢固地系于悬点，摆动中不能出现松动 C．确保摆球在同一竖直平面内摆动 D．摆球不在同一竖直平面内运动，形成了圆锥摆 (2)在实验中，多次改变摆长L并测出相应周期T，计算出T2，将数据对应坐标点标注在T2－L坐标系(如图乙所示)中。请将L＝0.700 m，T2＝2.88 s2所对应的坐标点标注在图中，根据已标注数据坐标点描绘出T2－L图线，并通过图线求出当地的重力加速度g＝________m/s2(结果保留3位有效数字)。 (3)将不同实验小组的实验数据标注到同一T2－L坐标系中，分别得到实验图线a、b、c，如图丙所示。已知图线a、b、c平行，图线b过坐标原点。对于图线a、b、c，下列分析正确的是________。 A．出现图线c的原因可能是因为使用的摆线比较长 B．出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L C．由图线b计算出的g值最接近当地的重力加速度，由图线a计算出的g值偏大，图线c计算出的g值偏小 (4)该同学通过自制单摆测量重力加速度。他利用细线和铁锁制成一个单摆，计划利用手机的秒表计时功能和卷尺完成实验。但铁锁的重心未知，不容易确定准确的摆长。请帮助该同学提出“通过一定测量，求出当地重力加速度”的方法______________________________________________________。 [答案]　(1)BC　(2)图见解析　9.86　(3)B　(4)见解析 [解析]　(1)用公式g＝计算时，应该将悬点到摆球重心之间的间距当作摆长，即应该将摆线长与摆球的半径之和当作摆长，A错误；实验过程，单摆的摆长不能发生变化，即摆线上端牢固地系于悬点，摆动中不能出现松动，B正确；单摆的运动应该是同一竖直平面内的圆周运动，即实验时应该确保摆球在同一竖直平面内摆动，不能使摆球不在同一竖直平面内运动，形成圆锥摆，C正确，D错误。 (2)将该坐标点标注在图中，用一条倾斜的直线将描绘的点迹连接起来，使点迹均匀分布在直线两侧，如图所示 根据T＝2π 则有T2＝L 结合图像有＝ s2·m－1 解得g＝9.86 m/s2。 (3)根据图线c可知，在T2取值为0时，L不为0，表明选择的L的长度比实际的摆长大一些，即有可能是将摆线的长与摆球的直径之和作为摆长L，此时有T＝2π，即有T2＝L－，该图像与摆线的长度大小无关，A错误；若将摆线长记作摆长L，则有T＝2π，即有T2＝L＋，该函数对应的图像是a，即出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L，B正确；根据上述可知，三条图像的斜率均为k＝，解得g＝可知，三条图线求出的重力加速度相同，C错误。 (4)不容易确定准确的摆长，但可以通过多次改变摆线的长度，测量对应的周期，获得较准确的重力加速度。具体做法：设摆线下端距重心x，第一次测出摆线长l1，则摆长为L1＝l1＋x，测出对应的周期T1。仅改变摆线长，第二次测出摆线长l2，则摆长为L2＝l2＋x，测出对应的周期T2。根据T1＝2π，T2＝2π，解得重力加速度g＝。 4．某智能手机中的“磁传感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越大。宁德某中学的小宁在家里用手机、磁化的小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度，实验步骤如下： ①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。 ②打开夹子释放小球，小球运动，取下夹子。 ③运行手机“磁传感器”功能，手机记录磁感应强度的变化。 ④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L及相应的周期T。 (1)如图乙所示，图中记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为________。 (2)实验中用游标卡尺测量摆球直径如图丙所示，则摆球直径为________cm。 (3)得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了T2－L图像，如图丁所示，根据图中数据可得当地重力加速度g＝________m/s2。(π取3.14，结果保留三位有效数字) (4)查资料可知宁德地区的重力加速度为9.79 m/s2，则本实验的相对误差为_______%。(结果保留2位有效数字) [答案]　(1)　(2)2.00　(3)9.96　(4)1.7 [解析]　(1)测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期T的测量值为T＝＝。 (2)实验中用游标卡尺测量摆球直径如图丙所示，则摆球直径为d＝20 mm＋0×0.1 mm＝20.0 mm＝2.00 cm。 (3)据单摆周期公式可得T＝2π，整理可得T2＝(L＋r)，其中r＝＝1.00 cm，对比图丁可得k＝＝ s2/m，解得g≈9.96 m/s2。 (4)查资料可知宁德地区的重力加速度为9.79 m/s2，则本实验的相对误差为η＝×100%≈1.7%。 5．(2024·黑吉辽卷)图(a)为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。 (1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图(b)所示，从图中读出D＝________cm。 (2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如图(c)所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了________个周期。 (3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示： 颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫 ln D 2.939 2 2.788 1 2.595 3 2.484 9 2.197 … 1.792 ln T －0.45 －0.53 －0.56 －0.65 －0.78 －0.92 －1.02 根据表中数据绘制出ln T－ln D图像如图(d)所示，则T与D的近似关系为________。 A．T∝ B．T∝D2 C．T∝ D．T∝ (4)请写出一条提高该实验精度的改进措施：___________________________ ____________________________________________________________________。 [答案]　(1)7.55　(2)10　(3)A　(4)用游标卡尺测外径D(其他：测40次或60次左端与0点等高所用的时间来求周期，适当减小摆动的幅度……) [解析]　(1)刻度尺的最小分度为0.1 cm，需估读到0.01 cm，读数约为7.55 cm。 (2)每半个周期经过平衡位置一次，积木经过平衡位置20次，则其摆动了10个周期。 (3)由题图(d)可得＝，解得ln T＝0.5ln D－1.9，则ln T＝ln D－ln e1.9＝ln ，故T＝，所以T∝，A正确。 (4)用游标卡尺测外径D、通过测40次或60次左端与O点等高所用的时间来求周期、适当减小摆动的幅度均可提高该实验的精度。 6．某学习小组学习了单摆的相关知识后，想利用如图甲所示的装置测量当地的重力加速度。 (1)赵同学找到实验室的光敏电阻等元件，利用如图乙所示装置记录振动周期，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一光敏电阻与激光光源，光敏电阻与某自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丙所示，则该单摆的振动周期为T＝________s(结果保留四位有效数字)。 (2)王同学则利用计算机绘制了a、b两个摆球的振动图像(如图丁所示)，由图可知，两单摆摆长之比la∶lb＝________。 (3)李同学每次用同一套实验装置，用同样的步骤进行实验，但所测得的重力加速度总是偏大，其原因可能是________。 A．开始计时时，过早按下秒表 B．测周期记录全振动次数时，将n次全振动误记为(n＋1)次 C．摆球的质量过大 D．计算摆长时，只考虑悬线的长度，没有加上小球的半径 [答案]　(1)2.000　(2)4∶9　(3)B [解析]　(1)单摆在一个周期内两次经过平衡位置，根据图丙的变化规律可知，该单摆的周期为T＝2.369 s－0.369 s＝2.000 s。 (2)由图丁振动图线可知，两单摆的周期之比＝，由公式T＝2π，可得两单摆摆长之比la∶lb＝4∶9。 (3)根据题意，由单摆的周期公式T＝2π可得g＝。开始计时时，过早按下秒表，周期的测量值偏大，则重力加速度的测量值偏小，选项A错误；如果振动次数多数了一次，即T偏小，g偏大，选项B正确；摆球的质量过大，不会影响单摆的周期与摆长，所以不影响重力加速度的测量，选项C错误；算摆长时漏加小球半径，则l偏小，求得的g偏小，选项D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $